Sa artikulong ito, matututunan mo kung paano hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya gamit ang mga integral na kalkulasyon. Sa kauna-unahang pagkakataon, nakatagpo namin ang pagbabalangkas ng naturang problema sa mataas na paaralan, kapag ang pag-aaral ng ilang mga integral ay katatapos pa lamang at oras na upang simulan ang geometric na interpretasyon ng kaalaman na nakuha sa pagsasanay.
Kaya, kung ano ang kinakailangan upang matagumpay na malutas ang problema ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral:
- Kakayahang gumuhit nang tama ng mga guhit;
- Kakayahang malutas ang isang tiyak na integral gamit ang kilalang formula ng Newton-Leibniz;
- Ang kakayahang "makita" ang isang mas kumikitang solusyon - i.e. upang maunawaan kung paano ito o sa kasong iyon ay magiging mas maginhawa upang isakatuparan ang pagsasama? Kasama ang x-axis (OX) o y-axis (OY)?
- Buweno, kung saan walang tamang mga kalkulasyon?) Kabilang dito ang pag-unawa kung paano lutasin ang iba pang uri ng integral at tamang mga kalkulasyon ng numero.
Algorithm para sa paglutas ng problema ng pagkalkula ng lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya:
1. Bumubuo kami ng drawing. Maipapayo na gawin ito sa isang piraso ng papel sa isang hawla, sa isang malaking sukat. Pinirmahan namin ng lapis sa itaas ng bawat graph ang pangalan ng function na ito. Ang lagda ng mga graph ay ginagawa lamang para sa kaginhawahan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang pagkakaroon ng natanggap na graph ng nais na figure, sa karamihan ng mga kaso ay agad na malinaw kung aling mga limitasyon ng pagsasama ang gagamitin. Sa gayon, malulutas namin ang problema sa graphically. Gayunpaman, nangyayari na ang mga halaga ng mga limitasyon ay fractional o hindi makatwiran. Samakatuwid, maaari kang gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon, pumunta sa ikalawang hakbang.
2. Kung ang mga limitasyon sa pagsasama ay hindi tahasang itinakda, makikita natin ang mga punto ng intersection ng mga graph sa isa't isa, at tingnan kung ang aming graphical na solusyon ay tumutugma sa analytical.
3. Susunod, kailangan mong pag-aralan ang pagguhit. Depende sa kung paano matatagpuan ang mga graph ng mga function, mayroong iba't ibang mga diskarte sa paghahanap ng lugar ng figure. Isaalang-alang ang iba't ibang mga halimbawa ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral.
3.1. Ang pinaka-klasiko at pinakasimpleng bersyon ng problema ay kapag kailangan mong hanapin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ano ang isang curvilinear trapezoid? Ito ay isang flat figure na nililimitahan ng x-axis (y=0), diretso x = a, x = b at anumang kurba na tuloy-tuloy sa pagitan mula sa a dati b. Kasabay nito, ang figure na ito ay hindi negatibo at matatagpuan hindi mas mababa kaysa sa x-axis. Sa kasong ito, ang lugar ng curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng tiyak na integral na kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula:
Halimbawa 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Anong mga linya ang tumutukoy sa pigura? Mayroon kaming parabola y = x2 - 3x + 3, na matatagpuan sa itaas ng axis OH, ito ay hindi negatibo, dahil lahat ng mga punto ng parabola na ito ay positibo. Susunod, binigyan ng mga tuwid na linya x = 1 at x = 3 na tumatakbo parallel sa axis OU, ay ang mga hangganang linya ng pigura sa kaliwa at kanan. Well y = 0, siya ang x-axis, na naglilimita sa figure mula sa ibaba. Ang resultang figure ay may kulay, tulad ng nakikita sa figure sa kaliwa. Sa kasong ito, maaari mong simulan agad na malutas ang problema. Bago sa amin ay isang simpleng halimbawa ng isang curvilinear trapezoid, na pagkatapos ay malulutas namin gamit ang Newton-Leibniz formula.
3.2. Sa nakaraang talata 3.1, nasuri ang kaso kapag ang curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa itaas ng x-axis. Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga kondisyon ng problema ay pareho, maliban na ang function ay nasa ilalim ng x-axis. Ang isang minus ay idinagdag sa karaniwang formula ng Newton-Leibniz. Kung paano malutas ang gayong problema, isasaalang-alang pa natin.
Halimbawa 2 . Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Sa halimbawang ito, mayroon tayong parabola y=x2+6x+2, na nagmumula sa ilalim ng axis OH, diretso x=-4, x=-1, y=0. Dito y = 0 nililimitahan ang nais na pigura mula sa itaas. Direkta x = -4 at x = -1 ito ang mga hangganan kung saan kakalkulahin ang tiyak na integral. Ang prinsipyo ng paglutas ng problema sa paghahanap ng lugar ng isang figure ay halos ganap na tumutugma sa halimbawa ng numero 1. Ang pagkakaiba lamang ay ang ibinigay na function ay hindi positibo, at ang lahat ay tuloy-tuloy din sa pagitan [-4; -1] . Ano ang ibig sabihin ng hindi positibo? Tulad ng makikita mula sa figure, ang figure na nasa loob ng ibinigay na x ay may eksklusibong "negatibong" coordinate, na kung ano ang kailangan nating makita at tandaan kapag nilulutas ang problema. Hinahanap namin ang lugar ng figure gamit ang Newton-Leibniz formula, na may minus sign lamang sa simula.
Ang artikulo ay hindi nakumpleto.
Sa artikulong ito, matututunan mo kung paano hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya gamit ang mga integral na kalkulasyon. Sa kauna-unahang pagkakataon, nakatagpo namin ang pagbabalangkas ng naturang problema sa mataas na paaralan, kapag ang pag-aaral ng ilang mga integral ay katatapos pa lamang at oras na upang simulan ang geometric na interpretasyon ng kaalaman na nakuha sa pagsasanay.
Kaya, kung ano ang kinakailangan upang matagumpay na malutas ang problema ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral:
- Kakayahang gumuhit nang tama ng mga guhit;
- Kakayahang malutas ang isang tiyak na integral gamit ang kilalang formula ng Newton-Leibniz;
- Ang kakayahang "makita" ang isang mas kumikitang solusyon - i.e. upang maunawaan kung paano ito o sa kasong iyon ay magiging mas maginhawa upang isakatuparan ang pagsasama? Kasama ang x-axis (OX) o y-axis (OY)?
- Buweno, kung saan walang tamang mga kalkulasyon?) Kabilang dito ang pag-unawa kung paano lutasin ang iba pang uri ng integral at tamang mga kalkulasyon ng numero.
Algorithm para sa paglutas ng problema ng pagkalkula ng lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya:
1. Bumubuo kami ng drawing. Maipapayo na gawin ito sa isang piraso ng papel sa isang hawla, sa isang malaking sukat. Pinirmahan namin ng lapis sa itaas ng bawat graph ang pangalan ng function na ito. Ang lagda ng mga graph ay ginagawa lamang para sa kaginhawahan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang pagkakaroon ng natanggap na graph ng nais na figure, sa karamihan ng mga kaso ay agad na malinaw kung aling mga limitasyon ng pagsasama ang gagamitin. Sa gayon, malulutas namin ang problema sa graphically. Gayunpaman, nangyayari na ang mga halaga ng mga limitasyon ay fractional o hindi makatwiran. Samakatuwid, maaari kang gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon, pumunta sa ikalawang hakbang.
2. Kung ang mga limitasyon sa pagsasama ay hindi tahasang itinakda, makikita natin ang mga punto ng intersection ng mga graph sa isa't isa, at tingnan kung ang aming graphical na solusyon ay tumutugma sa analytical.
3. Susunod, kailangan mong pag-aralan ang pagguhit. Depende sa kung paano matatagpuan ang mga graph ng mga function, mayroong iba't ibang mga diskarte sa paghahanap ng lugar ng figure. Isaalang-alang ang iba't ibang mga halimbawa ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral.
3.1. Ang pinaka-klasiko at pinakasimpleng bersyon ng problema ay kapag kailangan mong hanapin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ano ang isang curvilinear trapezoid? Ito ay isang flat figure na nililimitahan ng x-axis (y=0), diretso x = a, x = b at anumang kurba na tuloy-tuloy sa pagitan mula sa a dati b. Kasabay nito, ang figure na ito ay hindi negatibo at matatagpuan hindi mas mababa kaysa sa x-axis. Sa kasong ito, ang lugar ng curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng tiyak na integral na kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula:
Halimbawa 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Anong mga linya ang tumutukoy sa pigura? Mayroon kaming parabola y = x2 - 3x + 3, na matatagpuan sa itaas ng axis OH, ito ay hindi negatibo, dahil lahat ng mga punto ng parabola na ito ay positibo. Susunod, binigyan ng mga tuwid na linya x = 1 at x = 3 na tumatakbo parallel sa axis OU, ay ang mga hangganang linya ng pigura sa kaliwa at kanan. Well y = 0, siya ang x-axis, na naglilimita sa figure mula sa ibaba. Ang resultang figure ay may kulay, tulad ng nakikita sa figure sa kaliwa. Sa kasong ito, maaari mong simulan agad na malutas ang problema. Bago sa amin ay isang simpleng halimbawa ng isang curvilinear trapezoid, na pagkatapos ay malulutas namin gamit ang Newton-Leibniz formula.
3.2. Sa nakaraang talata 3.1, nasuri ang kaso kapag ang curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa itaas ng x-axis. Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga kondisyon ng problema ay pareho, maliban na ang function ay nasa ilalim ng x-axis. Ang isang minus ay idinagdag sa karaniwang formula ng Newton-Leibniz. Kung paano malutas ang gayong problema, isasaalang-alang pa natin.
Halimbawa 2 . Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Sa halimbawang ito, mayroon tayong parabola y=x2+6x+2, na nagmumula sa ilalim ng axis OH, diretso x=-4, x=-1, y=0. Dito y = 0 nililimitahan ang nais na pigura mula sa itaas. Direkta x = -4 at x = -1 ito ang mga hangganan kung saan kakalkulahin ang tiyak na integral. Ang prinsipyo ng paglutas ng problema sa paghahanap ng lugar ng isang figure ay halos ganap na tumutugma sa halimbawa ng numero 1. Ang pagkakaiba lamang ay ang ibinigay na function ay hindi positibo, at ang lahat ay tuloy-tuloy din sa pagitan [-4; -1] . Ano ang ibig sabihin ng hindi positibo? Tulad ng makikita mula sa figure, ang figure na nasa loob ng ibinigay na x ay may eksklusibong "negatibong" coordinate, na kung ano ang kailangan nating makita at tandaan kapag nilulutas ang problema. Hinahanap namin ang lugar ng figure gamit ang Newton-Leibniz formula, na may minus sign lamang sa simula.
Ang artikulo ay hindi nakumpleto.
Numero ng gawain 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya
Paglalapat ng integral sa paglutas ng mga inilapat na problema
Pagkalkula ng lugar
Ang tiyak na integral ng isang tuluy-tuloy na di-negatibong function na f(x) ay katumbas ng bilang sa ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapalibutan ng curve y \u003d f (x), ang O x axis at ang mga tuwid na linya x \u003d a at x \u003d b. Alinsunod dito, ang formula ng lugar ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano.
Numero ng gawain 1. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Solusyon. Bumuo tayo ng isang pigura, ang lugar kung saan kailangan nating kalkulahin.
Ang y \u003d x 2 + 1 ay isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, at ang parabola ay inililipat paitaas ng isang yunit na nauugnay sa O y axis (Larawan 1).
Figure 1. Graph ng function na y = x 2 + 1
Numero ng gawain 2. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 sa hanay mula 0 hanggang 1.
 |
Solusyon. Ang graph ng function na ito ay ang parabola ng sangay, na nakadirekta pataas, at ang parabola ay inilipat pababa ng isang unit na may kaugnayan sa O y axis (Figure 2).
Figure 2. Graph ng function na y \u003d x 2 - 1
Numero ng gawain 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya
y = 8 + 2x - x 2 at y = 2x - 4.
Solusyon. Ang una sa dalawang linyang ito ay isang parabola na may mga sanga na nakaturo pababa, dahil ang koepisyent sa x 2 ay negatibo, at ang pangalawang linya ay isang tuwid na linya na tumatawid sa parehong coordinate axes.
Upang makabuo ng parabola, hanapin natin ang mga coordinate ng vertex nito: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ang ordinate nito, N(1;9) ang vertex nito.
Ngayon nakita namin ang mga punto ng intersection ng parabola at ang linya sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:
Equating ang kanang bahagi ng isang equation na ang kaliwang panig ay pantay.
Nakukuha namin ang 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 o x 2 - 12 \u003d 0, mula saan 
.
Kaya, ang mga punto ay ang mga punto ng intersection ng parabola at ang tuwid na linya (Figure 1).
Figure 3 Mga graph ng function y = 8 + 2x – x 2 at y = 2x – 4
Bumuo tayo ng isang tuwid na linya y = 2x - 4. Ito ay dumadaan sa mga puntos (0;-4), (2; 0) sa mga coordinate axes.
Upang bumuo ng isang parabola, maaari ka ring magkaroon ng mga intersection point nito sa 0x axis, iyon ay, ang mga ugat ng equation 8 + 2x - x 2 = 0 o x 2 - 2x - 8 = 0. Sa pamamagitan ng Vieta theorem, ito ay madaling mahanap ang mga ugat nito: x 1 = 2, x 2 = apat.
Ang Figure 3 ay nagpapakita ng figure (parabolic segment M 1 N M 2) na nalilimitahan ng mga linyang ito.
Ang pangalawang bahagi ng problema ay upang mahanap ang lugar ng figure na ito. Ang lugar nito ay matatagpuan gamit ang isang tiyak na integral gamit ang formula 
.
Tungkol sa kundisyong ito, nakukuha namin ang integral: 
2 Pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon
Ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng curve y \u003d f (x) sa paligid ng O x axis ay kinakalkula ng formula:
Kapag umiikot sa paligid ng O y axis, ang formula ay mukhang:
Gawain bilang 4. Tukuyin ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng mga tuwid na linya x \u003d 0 x \u003d 3 at isang curve y \u003d sa paligid ng O x axis.
Solusyon. Bumuo tayo ng isang guhit (Figure 4).
Figure 4. Graph ng function na y =
Ang nais na dami ay katumbas ng 
Gawain bilang 5. Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng isang curve y = x 2 at mga tuwid na linya y = 0 at y = 4 sa paligid ng axis O y .
Solusyon. Meron kami:
Suriin ang mga tanong
a)
Solusyon.
Ang una at pinakamahalagang sandali ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit.
Gumawa tayo ng pagguhit:
Ang equation y=0 nagtatakda ng x-axis;
- x=-2 at x=1 - tuwid, parallel sa axis OU;
- y \u003d x 2 +2 - isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, na may vertex sa punto (0;2).
Magkomento. Upang makabuo ng isang parabola, sapat na upang mahanap ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes, i.e. paglalagay x=0 hanapin ang intersection sa axis OU at paglutas ng katumbas na quadratic equation, hanapin ang intersection sa axis Oh .
Ang vertex ng isang parabola ay matatagpuan gamit ang mga formula: 
Maaari kang gumuhit ng mga linya at punto sa punto.
Sa pagitan [-2;1] ang graph ng function y=x 2 +2 matatagpuan sa ibabaw ng axis baka , kaya naman:
Sagot: S \u003d 9 square units
Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, tila totoo. Ito ay lubos na malinaw na kung mayroon tayo, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay naging negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.
Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe Oh?
b) Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=-e x , x=1 at coordinate axes.
Solusyon.
Gumawa tayo ng drawing.
Kung isang curvilinear trapezoid ganap sa ilalim ng ehe Oh , kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
Sagot: S=(e-1) sq. unit" 1.72 sq. unit
Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:
1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.
2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.
Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano.
kasama) Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Solusyon.
Una kailangan mong gumawa ng pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin ang mga intersection point ng parabola 
at direktang 
Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical.
Malutas namin ang equation:
Kaya ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a=0 , ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama b=3 .
|
Binubuo namin ang mga ibinigay na linya: 1. Parabola - vertex sa punto (1;1); intersection ng axis Oh - puntos(0;0) at (0;2). 2. Straight line - ang bisector ng 2nd at 4th coordinate angles. At ngayon Pansin! Kung sa pagitan [ a;b] ilang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) mas malaki sa o katumbas ng ilang tuluy-tuloy na function g(x), kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: At hindi mahalaga kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, ngunit ito ay mahalaga kung aling tsart ay HIGHER (na may kaugnayan sa isa pang tsart), at kung alin ang nasa IBABA. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa |
.Posible na bumuo ng mga linya ng punto sa pamamagitan ng punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran).
Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola mula sa itaas at isang tuwid na linya mula sa ibaba.
Sa segment 
, ayon sa kaukulang formula:
Sagot: S \u003d 4.5 sq. na unit
Gawain 1(sa pagkalkula ng lugar ng isang curvilinear trapezoid).
Sa Cartesian rectangular coordinate system xOy, isang figure ang ibinibigay (tingnan ang figure), bounded ng x axis, straight lines x \u003d a, x \u003d b (isang curvilinear trapezoid. Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng \ u200b\u200bang curvilinear trapezoid.
Solusyon. Binibigyan tayo ng Geometry ng mga recipe para sa pagkalkula ng mga lugar ng polygons at ilang bahagi ng isang bilog (sektor, segment). Gamit ang mga geometric na pagsasaalang-alang, makakahanap lamang kami ng isang tinatayang halaga ng kinakailangang lugar, na nagtatalo bilang mga sumusunod.
Hatiin natin ang segment [a; b] (base ng isang curvilinear trapezoid) sa n pantay na bahagi; ang partisyon na ito ay magagawa sa tulong ng mga puntos x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Gumuhit tayo ng mga linya sa mga puntong ito na kahanay sa y-axis. Pagkatapos ang ibinigay na curvilinear trapezoid ay hahatiin sa n bahagi, sa n makitid na hanay. Ang lugar ng buong trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga haligi.
Isaalang-alang nang hiwalay ang k-th column, i.e. curvilinear trapezoid, ang base nito ay isang segment. Palitan natin ito ng isang parihaba na may parehong base at taas na katumbas ng f(x k) (tingnan ang figure). Ang lugar ng rectangle ay \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kung saan ang \(\Delta x_k \) ay ang haba ng segment; natural na isaalang-alang ang pinagsama-samang produkto bilang isang tinatayang halaga ng lugar ng kth column. 
Kung gagawin natin ngayon ang parehong sa lahat ng iba pang mga column, pagkatapos ay makarating tayo sa sumusunod na resulta: ang lugar S ng isang naibigay na curvilinear trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng lugar S n ng isang stepped figure na binubuo ng n rectangles (tingnan ang figure):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Dito, para sa pagkakapareho ng notasyon, isinasaalang-alang namin na ang isang \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - haba ng segment , \(\Delta x_1 \) - haba ng segment , atbp; habang, tulad ng napagkasunduan namin sa itaas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Kaya, \(S \approx S_n \), at ang tinatayang pagkakapantay-pantay na ito ay mas tumpak, mas malaki n.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ipinapalagay na ang nais na lugar ng curvilinear trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Gawain 2(tungkol sa paglipat ng isang punto)
Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya. Ang pag-asa ng bilis sa oras ay ipinahayag ng formula v = v(t). Hanapin ang displacement ng isang punto sa pagitan ng oras [a; b].
Solusyon. Kung ang paggalaw ay pare-pareho, kung gayon ang problema ay malulutas nang napakasimple: s = vt, i.e. s = v(b-a). Para sa hindi pantay na paggalaw, kailangang gumamit ng parehong mga ideya kung saan ibinatay ang solusyon sa nakaraang problema.
1) Hatiin ang pagitan ng oras [a; b] sa n pantay na bahagi.
2) Isaalang-alang ang isang agwat ng oras at ipagpalagay na sa pagitan ng oras na ito ang bilis ay pare-pareho, tulad ng sa oras t k . Kaya, ipinapalagay namin na v = v(t k).
3) Hanapin ang tinatayang halaga ng pag-aalis ng punto sa pagitan ng oras , ang tinatayang halaga na ito ay ilalarawan ng s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Hanapin ang tinatayang halaga ng displacement s:
\(s \approx S_n \) kung saan
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Ang kinakailangang displacement ay katumbas ng limitasyon ng sequence (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
I-summarize natin. Ang mga solusyon sa iba't ibang mga problema ay nabawasan sa parehong modelo ng matematika. Maraming problema mula sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya ang humahantong sa parehong modelo sa proseso ng solusyon. Kaya, ang modelong ito ng matematika ay dapat na espesyal na pinag-aralan.
Ang konsepto ng isang tiyak na integral
Magbigay tayo ng isang mathematical na paglalarawan ng modelo na binuo sa tatlong itinuturing na mga problema para sa function na y = f(x), na tuluy-tuloy (ngunit hindi kinakailangang hindi negatibo, tulad ng ipinapalagay sa mga isinasaalang-alang na problema) sa segment [ a; b]:
1) hatiin ang segment [a; b] sa n pantay na bahagi;
2) kabuuan $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) kalkulahin ang $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang limitasyong ito ay umiiral sa kaso ng tuluy-tuloy (o piecewise continuous) function. Siya ay tinatawag isang tiyak na integral ng function na y = f(x) sa ibabaw ng segment [a; b] at tinutukoy ng ganito:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Ang mga numerong a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama (mas mababa at itaas, ayon sa pagkakabanggit).
Bumalik tayo sa mga gawaing tinalakay sa itaas. Ang kahulugan ng lugar na ibinigay sa problema 1 ay maaari na ngayong muling isulat gaya ng sumusunod:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
dito S ay ang lugar ng curvilinear trapezoid na ipinapakita sa figure sa itaas. Ito ang ano geometriko na kahulugan ng tiyak na integral.
Ang kahulugan ng displacement s ng isang puntong gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa pagitan ng oras mula t = a hanggang t = b, na ibinigay sa Problema 2, ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
Newton - Leibniz formula
Upang magsimula, sagutin natin ang tanong: ano ang kaugnayan sa pagitan ng isang tiyak na integral at isang antiderivative?
Ang sagot ay matatagpuan sa suliranin 2. Sa isang banda, ang displacement s ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa isang pagitan ng oras mula t = a hanggang t = b at kinakalkula ng ang formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Sa kabilang banda, ang coordinate ng gumagalaw na punto ay ang antiderivative para sa bilis - tukuyin natin ito s(t); kaya ang displacement s ay ipinahayag ng formula na s = s(b) - s(a). Bilang resulta, nakukuha namin ang:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kung saan ang s(t) ay ang antiderivative para sa v(t).
Ang mga sumusunod na teorama ay napatunayan sa kurso ng pagsusuri sa matematika.
Teorama. Kung ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [a; b], pagkatapos ay ang formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kung saan ang F(x) ay ang antiderivative para sa f(x).
Ang formula na ito ay karaniwang tinatawag Formula ng Newton-Leibniz bilang parangal sa Ingles na pisisista na si Isaac Newton (1643-1727) at ang pilosopong Aleman na si Gottfried Leibniz (1646-1716), na tumanggap nito nang nakapag-iisa sa bawat isa at halos sabay-sabay.
Sa pagsasagawa, sa halip na isulat ang F(b) - F(a), ginagamit nila ang notation na \(\left. F(x)\right|_a^b \) (tinatawag itong minsan dobleng pagpapalit) at, nang naaayon, muling isulat ang formula ng Newton-Leibniz sa form na ito:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kaliwa. F(x)\kanan|_a^b \)
Pagkalkula ng isang tiyak na integral, hanapin muna ang antiderivative, at pagkatapos ay magsagawa ng dobleng pagpapalit.
Batay sa formula ng Newton-Leibniz, ang isa ay maaaring makakuha ng dalawang katangian ng isang tiyak na integral.
Ari-arian 1. Ang integral ng kabuuan ng mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Ari-arian 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral
Gamit ang integral, maaari mong kalkulahin ang lugar hindi lamang ng mga curvilinear trapezoid, kundi pati na rin ng mga figure ng eroplano ng isang mas kumplikadong uri, tulad ng ipinapakita sa figure. Ang figure P ay nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at mga graph ng tuluy-tuloy na function y = f(x), y = g(x), at sa segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay na \(g(x) \leq f(x) \) ay hawak. Upang kalkulahin ang lugar S ng naturang figure, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Kaya, ang lugar S ng figure na nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at ang mga graph ng mga function y = f(x), y = g(x), tuloy-tuloy sa segment at tulad na para sa anumang x mula sa ang segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay \(g(x) \leq f(x) \) ay nasiyahan, ay kinakalkula ng formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
