Hayaang kailanganin upang mahanap ang mga numerical na halaga ng x kung saan ang ilang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay sabay-sabay na nagiging tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Sa ganitong mga kaso, sinasabi namin na kailangan naming lutasin ang isang sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi kilalang x.
Upang malutas ang isang sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, dapat mahanap ang lahat ng mga solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay sa sistema. Pagkatapos ang karaniwang bahagi ng lahat ng nahanap na solusyon ay ang solusyon ng system.
Halimbawa: Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,
Una nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.
Ang paglalapat ng paraan ng pagitan (Larawan 1), nakita namin na ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (2) ay binubuo ng dalawang pagitan: (-, 1) at (5, 7).
Larawan 1
Ngayon, lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay
Gamit ang paraan ng pagitan (Larawan 2), nakita namin na ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (3) ay binubuo rin ng dalawang pagitan: (2, 3) at (4, +).
Ngayon kailangan nating hanapin ang karaniwang bahagi ng solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay (2) at (3). Iguhit natin ang coordinate axis x at markahan ang mga solusyon na matatagpuan dito. Malinaw na ngayon na ang karaniwang bahagi ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay (2) at (3) ay ang pagitan (5, 7) (Fig. 3).
Dahil dito, ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (1) ay ang pagitan (5, 7).
Halimbawa: Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
x2 - 6x + 10< 0,
Solusyonan muna natin ang hindi pagkakapantay-pantay
x 2 - 6x + 10< 0.
Ang paglalapat ng buong parisukat na pamamaraan, maaari nating isulat iyon
x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.
Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay (2) ay maaaring isulat bilang
(x - 3) 2 + 1< 0,
na nagpapakita na wala itong solusyon.
Ngayon hindi mo malulutas ang hindi pagkakapantay-pantay
dahil malinaw na ang sagot: ang system (1) ay walang solusyon.
Halimbawa: Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang muna ang unang hindi pagkakapantay-pantay; meron kami
1 < 0, < 0.
Gamit ang curve ng mga palatandaan, nakahanap tayo ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito: x< -2; 0 < x < 2.
Lutasin natin ngayon ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng ibinigay na sistema. Mayroon kaming x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Ang pagkakaroon ng marka ng mga nahanap na solusyon ng una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay sa isang karaniwang tunay na linya (Larawan 6), nakita namin ang mga ganoong agwat kung saan ang mga solusyon na ito ay nag-tutugma (pagpigil sa solusyon): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Halimbawa: Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Binabago namin ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng system:
x 3 (x - 10) (x + 10) 0, o x (x - 10) (x + 10) 0
(dahil ang mga kadahilanan sa kakaibang kapangyarihan ay maaaring mapalitan ng kaukulang mga kadahilanan ng unang antas); gamit ang paraan ng agwat, nakakahanap tayo ng mga solusyon sa huling hindi pagkakapantay-pantay: -10 x 0, x 10.
Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema; meron kami
Nakikita namin (Larawan 8) x -9; 3< x < 15.
Ang pagsasama-sama ng mga nahanap na solusyon, nakukuha namin (Larawan 9) x 0; x > 3.
Halimbawa: Maghanap ng mga integer na solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:
x + y< 2,5,
Solusyon: Dalhin natin ang system sa form
Pagdaragdag ng una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, mayroon tayong y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
saan -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Paraan ng Spacing- ito ay isang unibersal na paraan upang malutas ang halos anumang hindi pagkakapantay-pantay na nangyayari sa isang kurso sa algebra ng paaralan. Ito ay batay sa mga sumusunod na katangian ng mga pag-andar:
1. Ang tuluy-tuloy na function na g(x) ay maaari lamang magbago ng sign sa punto kung saan ito ay katumbas ng 0. Sa graphically, nangangahulugan ito na ang graph ng isang tuluy-tuloy na function ay maaaring lumipat mula sa isang kalahating eroplano patungo sa isa pa lamang kung ito ay tumatawid sa x- axis (natatandaan namin na ang ordinate ng anumang punto na nakahiga sa OX axis (abscissa axis) ay katumbas ng zero, iyon ay, ang halaga ng function sa puntong ito ay 0):
Nakikita natin na ang function na y=g(x) na ipinapakita sa graph ay tumatawid sa OX axis sa mga puntong x= -8, x=-2, x=4, x=8. Ang mga puntong ito ay tinatawag na mga zero ng function. At sa parehong mga punto ang function na g(x) ay nagbabago ng sign.
2. Maaari ding baguhin ng function ang sign sa mga zero ng denominator - ang pinakasimpleng halimbawa ng isang kilalang function:
Nakikita namin na ang function ay nagbabago ng sign sa ugat ng denominator, sa punto , ngunit hindi naglalaho sa anumang punto. Kaya, kung ang function ay naglalaman ng isang fraction, maaari nitong baguhin ang sign sa mga ugat ng denominator.
2. Gayunpaman, ang function ay hindi palaging nagbabago ng sign sa ugat ng numerator o sa ugat ng denominator. Halimbawa, ang function na y=x 2 ay hindi nagbabago ng sign sa puntong x=0:
kasi ang equation x 2 \u003d 0 ay may dalawang pantay na ugat x \u003d 0, sa puntong x \u003d 0, ang pag-andar, kumbaga, ay nagiging 0 nang dalawang beses. Ang nasabing ugat ay tinatawag na ugat ng pangalawang multiplicity.
Function 
nagbabago ng sign sa zero ng numerator, ngunit hindi nagbabago ng sign sa zero ng denominator: , dahil ang ugat ay ang ugat ng pangalawang multiplicity, iyon ay, ng even multiplicity:
Mahalaga! Sa mga ugat ng kahit multiplicity, ang function ay hindi nagbabago ng sign.
Tandaan! Anuman hindi linear ang hindi pagkakapantay-pantay ng kurso sa paaralan ng algebra, bilang panuntunan, ay nalutas gamit ang paraan ng mga pagitan.
Nag-aalok ako sa iyo ng isang detalyadong isa, na sumusunod kung saan maaari mong maiwasan ang mga pagkakamali kapag paglutas ng mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay.
1. Una kailangan mong dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa form
P(x)V0,
kung saan ang V ay ang inequality sign:<,>, ≤ o ≥. Para dito kailangan mo:
a) ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay,
b) hanapin ang mga ugat ng nagresultang expression,
c) i-factor ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay
d) isulat ang parehong mga kadahilanan bilang isang degree.
Pansin! Ang huling aksyon ay dapat gawin upang hindi magkamali sa multiplicity ng mga ugat - kung ang resulta ay isang multiplier sa isang kahit na antas, kung gayon ang kaukulang ugat ay may pantay na multiplicity.
2. Ilagay ang mga nakitang ugat sa number line.
3. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga bilog na nagsasaad ng mga ugat sa numerical axis ay iiwan na "walang laman", kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, pagkatapos ay ang mga bilog ay pininturahan.
4. Pinipili namin ang mga ugat ng kahit multiplicity - sa kanila P(x) hindi nagbabago ang tanda.
5. Tukuyin ang tanda P(x) sa kanang bahagi ng puwang. Upang gawin ito, kumuha ng arbitraryong halaga x 0, na mas malaki kaysa sa pinakamalaking ugat at palitan sa P(x).
Kung P(x 0)>0 (o ≥0), pagkatapos ay sa pinakakanang pagitan ay inilalagay namin ang "+" sign.
Kung P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Kapag dumadaan sa isang punto na nagsasaad ng ugat ng kahit multiplicity, HINDI nagbabago ang tanda.
7. Muli nating tinitingnan ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, at piliin ang mga pagitan ng tanda na kailangan natin.
8. Pansin! Kung HINDI STRICT ang ating hindi pagkakapantay-pantay, suriin natin ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero nang hiwalay.
9. Isulat ang sagot.
Kung ang orihinal ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng hindi alam sa denominator, pagkatapos ay inililipat din namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa, at bawasan ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
(kung saan ang V ay ang inequality sign:< или >)
Ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
HINDI mahigpit isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
ay katumbas ng sistema:
Sa pagsasagawa, kung ang function ay may form , pagkatapos ay magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
- Hanapin ang mga ugat ng numerator at denominator.
- Inilalagay namin ang mga ito sa axis. Ang lahat ng mga lupon ay naiwang walang laman. Pagkatapos, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, pagkatapos ay ipininta namin ang mga ugat ng numerator, at palaging iiwan ang mga ugat ng denominator na walang laman.
- Susunod, sinusunod namin ang pangkalahatang algorithm:
- Pinipili namin ang mga ugat ng kahit multiplicity (kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga ugat, pagkatapos ay binibilang namin kung gaano karaming beses ang parehong mga ugat na nangyari). Walang pagbabago ng sign sa mga ugat ng kahit multiplicity.
- Nalaman namin ang sign sa pinakakanang pagitan.
- Naglalagay kami ng mga karatula.
- Sa kaso ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero, ay hiwalay na sinusuri.
- Pinipili namin ang mga kinakailangang agwat at hiwalay na nakatayo na mga ugat.
- Isulat namin ang sagot.
Para mas maintindihan algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, panoorin ang VIDEO LESSON kung saan ang halimbawa ay sinusuri nang detalyado solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan.
Patuloy naming sinusuri ang mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable sa kanilang komposisyon. Napag-aralan na natin ang mga linear at quadratic inequalities, na mga espesyal na kaso ng rational inequalities. Sa artikulong ito, linawin namin kung anong uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay ang makatwiran, sasabihin namin sa iyo kung anong mga uri ang nahahati sa kanila (integer at fractional). Pagkatapos nito, ipapakita namin kung paano lutasin ang mga ito nang tama, ibigay ang mga kinakailangang algorithm at pag-aralan ang mga partikular na problema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ang konsepto ng mga makatwirang pagkakapantay-pantay
Kapag ang paksa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinag-aralan sa paaralan, agad nilang kinukuha ang mga rational inequalities. Nakukuha at hinahasa nila ang mga kasanayan sa pagtatrabaho sa ganitong uri ng pagpapahayag. Bumuo tayo ng kahulugan ng konseptong ito:
Kahulugan 1
Ang rational inequality ay isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga variable na naglalaman ng mga rational expression sa parehong bahagi.
Tandaan na ang kahulugan ay hindi nakakaapekto sa bilang ng mga variable sa anumang paraan, na nangangahulugan na maaaring magkaroon ng arbitraryong malaking bilang ng mga ito. Samakatuwid, ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na may 1, 2, 3 o higit pang mga variable ay posible. Kadalasan, ang isang tao ay kailangang harapin ang mga expression na naglalaman lamang ng isang variable, mas madalas na dalawa, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may malaking bilang ng mga variable ay karaniwang hindi isinasaalang-alang sa lahat sa loob ng balangkas ng isang kurso sa paaralan.
Kaya, matututuhan natin ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagtingin sa notasyon nito. Parehong sa kanan at sa kaliwang bahagi dapat itong magkaroon ng mga makatwirang ekspresyon. Narito ang ilang halimbawa:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
At narito ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Ang lahat ng rational inequalities ay nahahati sa integer at fractional.
Kahulugan 2
Ang isang integer rational equality ay binubuo ng integer rational expression (sa parehong bahagi).
Kahulugan 3
Fractionally rational equality- ito ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng fractional expression sa isa o pareho ng mga bahagi nito.
Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 at 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 ay fractional rational at 0 .5 x ≤ 3 (2 − 5 y) at 1: x + 3 > 0- buo.
Nasuri namin kung ano ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at natukoy ang kanilang mga pangunahing uri. Maaari tayong magpatuloy sa isang pangkalahatang-ideya kung paano lutasin ang mga ito.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng mga solusyon sa isang integer na rational inequality r(x)< s (x) , na kinabibilangan lamang ng isang variable x . Kung saan r(x) at s(x) ay anumang integer rational na mga numero o expression, at ang inequality sign ay maaaring iba. Upang malutas ang gawaing ito, kailangan nating baguhin ito at makakuha ng katumbas na pagkakapantay-pantay.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa. Nakukuha namin ang sumusunod:
ng anyong r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Alam natin yan r(x) − s(x) ay magiging isang integer na halaga, at anumang integer na expression ay maaaring ma-convert sa isang polynomial. Magtransform tayo r(x) − s(x) sa h(x) . Ang expression na ito ay magiging isang magkaparehong polynomial. Isinasaalang-alang na ang r (x) − s (x) at h (x) ay may parehong hanay ng mga posibleng halaga ng x, maaari nating ipasa ang mga hindi pagkakapantay-pantay h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , na magiging katumbas ng orihinal.
Kadalasan ang gayong simpleng pagbabago ay sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang resulta ay maaaring isang linear o quadratic na hindi pagkakapantay-pantay, ang halaga nito ay hindi mahirap kalkulahin. Tingnan natin ang mga isyung ito.
Halimbawa 1
Kundisyon: lutasin ang isang integer rational inequality x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Solusyon
Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Ngayon na nakumpleto na natin ang lahat ng mga operasyon na may mga polynomial sa kaliwa, maaari tayong magpatuloy sa linear inequality. 3 x − 2 ≤ 0, katumbas ng ibinigay sa kondisyon. Ang paglutas nito ay madali:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Sagot: x ≤ 2 3 .
Halimbawa 2
Kundisyon: humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Solusyon
Inilipat namin ang expression mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi at nagsasagawa ng karagdagang pagbabago gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Bilang resulta ng aming mga pagbabago, nakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay na magiging totoo para sa anumang mga halaga ng x, samakatuwid, ang anumang tunay na numero ay maaaring maging solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Sagot: anumang tunay na numero.
Halimbawa 3
Kundisyon: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Solusyon
Hindi kami maglilipat ng anuman mula sa kanang bahagi, dahil mayroong 0 . Magsimula tayo kaagad sa pamamagitan ng pag-convert sa kaliwang bahagi sa isang polynomial:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Nakakuha kami ng quadratic inequality na katumbas ng orihinal, na madaling malutas sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan. Gamitin natin ang graphical na pamamaraan.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga ugat ng square trinomial − 2 x 2 + 11 x + 6:
D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x u003d 6
Ngayon sa diagram ay minarkahan namin ang lahat ng kinakailangang mga zero. Dahil ang nangungunang coefficient ay mas mababa sa zero, ang mga sangay ng parabola sa graph ay titingin sa ibaba.
Kakailanganin namin ang isang parabola area na matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, dahil mayroon kaming > sign sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang nais na pagitan ay (− 0 , 5 , 6) , samakatuwid, ang hanay ng mga halaga na ito ang magiging solusyon na kailangan namin.
Sagot: (− 0 , 5 , 6) .
Mayroon ding mas kumplikadong mga kaso kapag ang isang polynomial ng pangatlo o mas mataas na antas ay nakuha sa kaliwa. Upang malutas ang gayong hindi pagkakapantay-pantay, inirerekumenda na gamitin ang paraan ng agwat. Una naming kalkulahin ang lahat ng mga ugat ng polynomial h(x), na kadalasang ginagawa sa pamamagitan ng pag-factor ng polynomial.
Halimbawa 4
Kundisyon: magcompute (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .
Solusyon
Magsimula tayo, gaya ng dati, sa pamamagitan ng paglipat ng expression sa kaliwang bahagi, pagkatapos nito ay kinakailangan upang buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino.
(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal, sa kaliwa kung saan mayroong isang polynomial ng ikatlong antas. Inilapat namin ang paraan ng pagitan upang malutas ito.
Una, kinakalkula namin ang mga ugat ng polynomial, kung saan kailangan nating lutasin ang cubic equation x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Mayroon ba itong makatwirang mga ugat? Maaari lamang silang maging kabilang sa mga divisors ng libreng termino, i.e. sa mga numero ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Pinapalitan namin ang mga ito sa orihinal na equation at nalaman na ang mga numero 1, 2 at 3 ang magiging mga ugat nito.
Kaya ang polynomial x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 maaaring ilarawan bilang isang produkto (x − 1) (x − 2) (x − 3), at hindi pagkakapantay-pantay x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 maaaring iharap bilang (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Sa ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay, magiging mas madali para sa atin na matukoy ang mga palatandaan sa mga pagitan.
Susunod, ginagawa namin ang natitirang mga hakbang ng paraan ng agwat: gumuhit ng isang linya ng numero at mga puntos dito na may mga coordinate 1 , 2 , 3 . Hinahati nila ang tuwid na linya sa 4 na pagitan kung saan kinakailangan upang matukoy ang mga palatandaan. Inilalagay namin ang mga puwang ng isang minus, dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may palatandaan < .
Kailangan lang nating isulat ang handa na sagot: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Sagot: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Sa ilang mga kaso, gawin ang paglipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) hanggang h (x)< 0 (≤ , >, ≥), saan h(x)– ang isang polynomial na mas mataas sa 2 ay hindi naaangkop. Ito ay umaabot sa mga kaso kung saan mas madaling i-represent ang r(x) − s(x) bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals kaysa sa pag-factor ng h(x) sa magkahiwalay na salik. Tingnan natin ang problemang ito.
Halimbawa 5
Kundisyon: humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Solusyon
Nalalapat ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga integer. Kung ililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, buksan ang mga bracket at isagawa ang pagbabawas ng mga termino, makukuha namin x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Ang paglutas ng gayong hindi pagkakapantay-pantay ay hindi madali, dahil kailangan mong hanapin ang mga ugat ng isang fourth-degree polynomial. Wala itong anumang makatwirang ugat (halimbawa, 1 , − 1 , 19 o − 19 hindi magkasya), at mahirap maghanap ng iba pang mga ugat. Kaya hindi natin magagamit ang pamamaraang ito.
Ngunit mayroon ding iba pang mga solusyon. Kung ililipat namin ang mga expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay maaari naming isagawa ang bracketing ng karaniwang kadahilanan x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x) − 19 .
Nakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal, at ang solusyon nito ay magbibigay sa amin ng nais na sagot. Hanapin ang mga zero ng expression sa kaliwang bahagi, kung saan malulutas namin ang mga quadratic equation x 2 − 2 x − 1 = 0 at x 2 − 2 x − 19 = 0. Ang kanilang mga ugat ay 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Bumaling tayo sa pagkakapantay-pantay x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , na maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan:
Ayon sa larawan, ang sagot ay - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Sagot: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Idinagdag namin na kung minsan ay hindi posible na mahanap ang lahat ng mga ugat ng isang polynomial h(x), samakatuwid, hindi namin ito maaaring katawanin bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals. Pagkatapos ay lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong h (x)< 0 (≤ , >, ≥) hindi natin kaya, samakatuwid, imposible ring lutasin ang orihinal na rational inequality.
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang mga fractionally rational inequalities ng form r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), kung saan ang r (x) at s(x) ay mga makatwirang ekspresyon, ang x ay isang variable. Hindi bababa sa isa sa mga tinukoy na expression ay magiging fractional. Ang algorithm ng solusyon sa kasong ito ay ang mga sumusunod:
- Tinutukoy namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa variable x .
- Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa, at ang nagresultang expression r(x) − s(x) kinakatawan bilang isang fraction. Samantala, saan p(x) at q(x) ay mga integer na expression na mga produkto ng linear binomials, hindi nabubulok na square trinomals, pati na rin ang mga kapangyarihan na may natural na exponent.
- Susunod, malulutas namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.
- Ang huling hakbang ay upang ibukod ang mga puntos na nakuha sa panahon ng solusyon mula sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa x variable na tinukoy namin sa simula.
Ito ang algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational inequality. Karamihan sa mga ito ay malinaw, ang maliliit na paliwanag ay kinakailangan lamang para sa talata 2. Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa at nakuha ang r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), at pagkatapos ay kung paano ito dalhin sa form na p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Una, tinutukoy namin kung ang isang ibinigay na pagbabago ay palaging maisasagawa. Sa teorya, palaging may ganitong posibilidad, dahil ang anumang makatwirang pagpapahayag ay maaaring ma-convert sa isang rational fraction. Narito mayroon kaming isang fraction na may mga polynomial sa numerator at denominator. Alalahanin ang pangunahing theorem ng algebra at Bezout's theorem at tukuyin na ang anumang polynomial ng nth degree na naglalaman ng isang variable ay maaaring gawing produkto ng linear binomials. Samakatuwid, sa teorya, maaari nating palaging baguhin ang expression sa ganitong paraan.
Sa pagsasagawa, ang pag-factor ng mga polynomial ay kadalasang isang mahirap na gawain, lalo na kung ang antas ay mas mataas sa 4. Kung hindi natin maisagawa ang pagpapalawak, hindi natin malulutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, ngunit ang mga ganitong problema ay karaniwang hindi pinag-aaralan sa loob ng balangkas ng kurso sa paaralan.
Susunod, kailangan nating magpasya kung ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) katumbas ng r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) at sa orihinal. May posibilidad na ito ay maaaring maging hindi pantay.
Ang pagkakapantay-pantay ng hindi pagkakapantay-pantay ay masisiguro kapag ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga p(x)q(x) tumutugma sa saklaw ng expression r(x) − s(x). Pagkatapos ang huling talata ng mga tagubilin para sa paglutas ng mga fractionally rational inequalities ay hindi kailangang sundin.
Ngunit ang saklaw para sa p(x)q(x) maaaring mas malawak kaysa sa r(x) − s(x), halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga fraction. Ang isang halimbawa ay mula sa x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 hanggang x x - 1 x + 3 . O maaaring mangyari ito kapag nagdaragdag ng mga katulad na termino, halimbawa, dito:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hanggang 1 x + 3
Para sa mga ganitong kaso, ang huling hakbang ng algorithm ay idinagdag. Sa pamamagitan ng pagpapatupad nito, aalisin mo ang mga extraneous na halaga ng variable na lumitaw dahil sa pagpapalawak ng hanay ng mga wastong halaga. Kumuha tayo ng ilang halimbawa para mas maging malinaw kung ano ang pinag-uusapan natin.
Halimbawa 6
Kundisyon: humanap ng mga solusyon sa rational equality x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .
Solusyon
Kumilos kami ayon sa algorithm na ipinahiwatig sa itaas. Una, tinutukoy namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Sa kasong ito, ito ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , ang solusyon kung saan ay ang set (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Pagkatapos nito, kailangan nating ibahin ang anyo upang ito ay maginhawa upang mailapat ang paraan ng agwat. Una sa lahat, binabawasan namin ang mga algebraic fraction sa pinakamaliit na common denominator (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
I-collapse namin ang expression sa numerator sa pamamagitan ng paglalapat ng formula ng parisukat ng kabuuan:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Ang saklaw ng mga wastong halaga ng resultang expression ay (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Nakikita natin na ito ay katulad ng isa na tinukoy para sa orihinal na pagkakapantay-pantay. Napagpasyahan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 ay katumbas ng orihinal, na nangangahulugan na hindi namin kailangan ang huling hakbang ng algorithm.
Ginagamit namin ang paraan ng pagitan:
Nakikita natin ang solusyon ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , na magiging solusyon sa orihinal na rational inequality x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Sagot: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Halimbawa 7
Kundisyon: kalkulahin ang solusyon x + 3 x - 1-3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2-1 .
Solusyon
Tinutukoy namin ang lugar ng mga tinatanggap na halaga. Sa kaso ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, ito ay magiging katumbas ng lahat ng tunay na numero maliban sa − 2 , − 1 , 0 at 1 .
Inilipat namin ang mga expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Dahil sa resulta, isinusulat namin:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Para sa expression - 1 x - 1, ang hanay ng mga wastong halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero maliban sa isa. Nakikita namin na ang hanay ng mga halaga ay lumawak: − 2 , − 1 at 0 . Kaya, kailangan nating gawin ang huling hakbang ng algorithm.
Dahil nakarating na tayo sa hindi pagkakapantay-pantay - 1 x - 1 > 0 , maaari nating isulat ang katumbas nito na 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Ibinubukod namin ang mga puntos na hindi kasama sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng orihinal na pagkakapantay-pantay. Kailangan nating ibukod mula sa (− ∞ , 1) ang mga numerong − 2 , − 1 at 0 . Kaya, ang solusyon ng rational inequality x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ay magiging mga halaga (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1, 0) ∪ (0 , 1) .
Sagot: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sa konklusyon, nagbibigay kami ng isa pang halimbawa ng isang problema kung saan ang huling sagot ay nakasalalay sa hanay ng mga tinatanggap na halaga.
Halimbawa 8
Kundisyon: hanapin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .
Solusyon
Ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa kondisyon ay tinutukoy ng system x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Ang sistemang ito ay walang solusyon dahil
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Nangangahulugan ito na ang orihinal na pagkakapantay-pantay 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ay walang solusyon, dahil walang ganoong mga halaga ng variable kung saan ito gagawin magkaroon ng kahulugan.
Sagot: walang solusyon.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
>>Math: Rational inequalities
Ang rational inequality na may isang variable x ay isang inequality ng form - rational expressions, i.e. algebraic expression na binubuo ng mga numero at ang variable na x gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagtaas sa isang natural na kapangyarihan. Siyempre, ang variable ay maaaring ipahiwatig ng anumang iba pang titik, ngunit sa matematika, ang letrang x ay kadalasang ginustong.
Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit ang tatlong panuntunan na nabalangkas sa itaas sa § 1. Sa tulong ng mga panuntunang ito, ang isang naibigay na rational inequality ay karaniwang kino-convert sa anyo / (x) > 0, kung saan ang / (x) ay isang algebraic fraction (o polynomial). Susunod, i-decompose ang numerator at denominator ng fraction f (x) sa mga salik ng anyong x - a (kung, siyempre, posible ito) at ilapat ang paraan ng pagitan, na nabanggit na natin sa itaas (tingnan ang halimbawa 3 sa nakaraang talata).
Halimbawa 1 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.
Solusyon. Isaalang-alang ang expression na f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).
Ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 1,-1,2; markahan ang mga puntong ito sa linya ng numero. Ang numerong linya ay nahahati sa mga ipinahiwatig na mga punto sa apat na pagitan (Larawan 6), sa bawat isa kung saan ang expression na f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Para ma-verify ito, magsasagawa kami ng apat na argumento (para sa bawat isa sa mga agwat na ito nang hiwalay). 
Kunin ang anumang puntong x mula sa pagitan (2, Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kanan ng punto 1 at sa kanan ng punto 2. Nangangahulugan ito na ang x > -1, x > 1, x > 2 (Larawan 7). Ngunit pagkatapos ay x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, at samakatuwid ay f (x)> 0 (bilang isang produkto ng rational inequality ng tatlong positibo mga numero).Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x ) > 0.
Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (1,2). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng point-1, sa kanan ng point 1, ngunit sa kaliwa ng point 2. Samakatuwid, x\u003e -1, x\u003e 1, ngunit x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.
Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (-1,1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kaliwa ng punto 1 at sa kaliwa ng punto 2. Kaya x > -1, ngunit x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (bilang produkto ng dalawang negatibo at isang positibong numero). Kaya, sa pagitan (-1,1) ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x)> 0 ay humahawak.
Panghuli, kumuha ng anumang puntong x mula sa bukas na sinag (-oo, -1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa number line sa kaliwa ng point -1, sa kaliwa ng point 1 at sa kaliwa ng point 2. Nangangahulugan ito na x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.
I-summarize natin. Ang mga palatandaan ng expression na f (x) sa mga napiling agwat ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 11. Interesado kami sa mga ito kung saan nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0. Gamit ang geometric na modelo na ipinakita sa fig. 11, itinatag namin na ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan sa pagitan (-1, 1) o sa bukas na sinag
Sagot: -1 < х < 1; х > 2.
Halimbawa 2 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
Solusyon. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, kukuha kami ng kinakailangang impormasyon mula sa Fig. 11, ngunit may dalawang pagbabago kumpara sa halimbawa 1. Una, dahil interesado kami sa kung anong mga halaga ng x ang nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки 
Pangalawa, nasiyahan din tayo sa mga puntong iyon kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay na f (x) = 0. Ito ang mga puntos na -1, 1, 2, minarkahan natin sila sa figure na may mga dark circle at isama ang mga ito sa sagot. Sa fig. Ang 12 ay nagpapakita ng isang geometric na modelo ng tugon, kung saan hindi mahirap ilipat sa isang analytical record.
Sagot: 
HALIMBAWA 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
Solusyon. I-factor natin ang numerator at denominator ng algebraic fraction fx na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa numerator mayroon kaming x 2 - x \u003d x (x - 1).
Upang i-factor ang square trinomial x 2 - bx ~ 6 na nakapaloob sa denominator ng fraction, makikita natin ang mga ugat nito. Mula sa equation x 2 - 5x - 6 \u003d 0 nakita namin ang x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Kaya, 
(ginamit namin ang formula para sa factoring ng isang square trinomial: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Kaya, binago natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
Isaalang-alang ang expression:
Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 0 at 1, at nagiging 0 sa mga puntos na -1 at 6. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Fig. 13). Ang numerical na linya ay hinati ng mga ipinahiwatig na mga punto sa limang pagitan, at sa bawat pagitan ang expression na fx) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Ang pagtatalo sa parehong paraan tulad ng sa Halimbawa 1, dumating tayo sa konklusyon na ang mga palatandaan ng expression na fx) sa mga napiling pagitan ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 13. Interesado kami sa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).
0 sagot: -1
Halimbawa 4 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, mas gusto nilang iwanan lamang ang numero 0 sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, binabago natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
Dagdag pa:
Tulad ng ipinapakita ng karanasan, kung ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman lamang ng numerong 0, mas madaling mangatwiran kapag ang numerator at denominator sa kaliwang bahagi nito ay may positibong leading coefficient. At ano ang mayroon tayo? Mayroon tayong lahat sa denominator ng fraction sa ganitong kahulugan sa pagkakasunud-sunod (ang nangungunang coefficient, i.e. ang coefficient sa x 2, ay 6 - isang positibong numero), ngunit hindi lahat ay nasa pagkakasunud-sunod sa numerator - ang senior coefficient (ang coefficient sa x) ay - 4 (negatibong numero) Ang pagpaparami sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa -1 at pagpapalit ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran, nakakakuha tayo ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay
I-factorize natin ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction. Sa numerator, ang lahat ay simple: 
Upang i-factor ang square trinomial na nakapaloob sa denominator ng isang fraction 
(ginamit ulit namin ang formula para sa pag-factor ng square trinomial).
Kaya, binawasan namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
Isaalang-alang ang ekspresyon
Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa punto at ang denominator - sa mga punto. Napansin namin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Larawan 14), na hinati ng mga ipinahiwatig na puntos sa apat na pagitan, at sa bawat pagitan ang expression Ang f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda (ang mga palatandaang ito ay ipinahiwatig sa Fig. 14). Kami ay interesado sa mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, binago namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x) > 0 o f (x)<0,где 
Sa kasong ito, ang bilang ng mga salik sa numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring anuman. Pagkatapos ang mga puntos na a, b, c, e ay minarkahan sa linya ng numero. at tinukoy ang mga palatandaan ng ekspresyong f (x) sa mga napiling pagitan. Napansin namin na sa pinakakanan ng mga napiling pagitan, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ng expression na f (x) ay humalili sa mga pagitan (tingnan ang Fig. 16a). Ang alternation na ito ay maginhawang inilalarawan sa tulong ng isang kulot na kurba, na iginuhit mula kanan pakaliwa at mula sa itaas hanggang sa ibaba (Larawan 166). Sa mga pagitan kung saan ang kurba na ito (minsan ay tinatawag na kurba ng mga palatandaan) ay matatagpuan sa itaas ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ay nasiyahan; kung saan ang kurba na ito ay matatagpuan sa ibaba ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0.
Halimbawa 5 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. Meron kami
(parehong bahagi ng nakaraang hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng 6).
Upang gamitin ang paraan ng agwat, markahan ang mga punto sa linya ng numero 
(sa mga puntong ito ay nawawala ang numerator ng fraction na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay) at mga puntos (sa mga puntong ito ang denominator ng ipinahiwatig na fraction ay naglalaho). Karaniwan, ang mga puntos ay minarkahan ng eskematiko, na isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan sila sumusunod (alin ang nasa kanan, alin ang nasa kaliwa) at hindi partikular na binibigyang pansin ang sukat. Malinaw na 
Ang sitwasyon ay mas kumplikado sa mga numero. Ang unang pagtatantya ay nagpapakita na ang parehong mga numero ay bahagyang mas malaki kaysa sa 2.6, kung saan ito ay imposible upang tapusin kung alin sa mga ipinahiwatig na mga numero ay mas malaki at kung saan ay mas mababa. Kumbaga (at random) na Then 
Ito ay naging tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang ang aming hula ay nakumpirma: sa katunayan
Kaya, 
Minarkahan namin ang ipinahiwatig na 5 puntos sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod sa linya ng numero (Larawan 17a). Ayusin ang mga palatandaan ng pagpapahayag 
sa mga agwat na nakuha: sa pinakakanan - isang + sign, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili (Larawan 176). Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan at piliin (sa pamamagitan ng pagtatabing) ang mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ng interes sa atin ay nasiyahan (Larawan 17c). Sa wakas, isinasaalang-alang namin na pinag-uusapan namin ang tungkol sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0, na nangangahulugang interesado rin kami sa mga puntong iyon kung saan nawawala ang expression na f (x). Ito ang mga ugat ng numerator ng fraction f (x), i.e. puntos 
markahan namin ang mga ito sa Fig. 17 sa dark circles (at, siyempre, isama sa sagot). Ngayon eto ang pic. Ang 17c ay nagbibigay ng kumpletong geometric na modelo para sa mga solusyon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.
Tema ng aralin "Paglutas ng mga sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay"
Klase 10
Uri ng aralin: paghahanap
Layunin: paghahanap ng mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang modulus, paglalapat ng paraan ng pagitan sa isang bagong sitwasyon.
Layunin ng aralin:
Suriin ang mga kasanayan sa paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema; - ipakita sa mga mag-aaral ang mga posibilidad ng paggamit ng paraan ng pagitan kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang module;
Turuan na mag-isip nang lohikal;
Paunlarin ang kasanayan sa pagtatasa sa sarili ng iyong trabaho;
Matutong ipahayag ang iyong mga iniisip
Matutong ipagtanggol ang iyong pananaw nang may katwiran;
Upang bumuo sa mga mag-aaral ng isang positibong motibo para sa pag-aaral;
Paunlarin ang kalayaan ng mag-aaral.
Sa panahon ng mga klase
ako. Oras ng pag-aayos(1 minuto)
Kumusta, ngayon ay patuloy nating pag-aaralan ang paksang "System of rational inequalities", ilalapat natin ang ating kaalaman at kasanayan sa isang bagong sitwasyon.
Isulat ang petsa at ang paksa ng aralin na "Paglutas ng mga sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay." Ngayon inaanyayahan kita sa isang paglalakbay sa mga kalsada ng matematika, kung saan naghihintay sa iyo ang mga pagsubok, isang pagsubok ng lakas. Mayroon kang mga mapa ng kalsada na may mga gawain sa iyong mga mesa, isang self-assessment waybill, na ibibigay mo sa akin (ang dispatcher) sa pagtatapos ng biyahe.
Ang motto ng paglalakbay ay ang aphorism na "Ang kalsada ay magiging mastered ng taong naglalakad, at ang nag-iisip ng matematika". Dalhin ang iyong bagahe ng kaalaman sa iyo. I-on ang proseso ng pag-iisip at pumunta. Sa kalsada ay sasamahan kami ng isang radyo sa kalsada.Isang fragment ng mga tunog ng musika (1 min). Pagkatapos ay isang malakas na beep.
II. Ang yugto ng pagsubok sa kaalaman. Pangkatang gawain."Pagsusuri ng bagahe"
Narito ang unang pagsubok na "Inspeksyon ng Luggage", na sinusubukan ang iyong kaalaman sa paksa
Ngayon ay hahatiin ka sa mga grupo ng 3 o 4 na tao. Ang bawat isa ay may worksheet sa kanilang desk. Ipamahagi ang mga gawaing ito sa kanilang sarili, lutasin ang mga ito, isulat ang mga handa na sagot sa isang karaniwang sheet. Isang pangkat ng 3 tao ang pipili ng anumang 3 gawain. Ang sinumang nakakumpleto ng lahat ng mga gawain ay ipapaalam ito sa guro. Susuriin ko o ng aking mga katulong ang mga sagot, at kung mali man lang ang isang sagot, ibabalik ang isang sheet sa grupo para muling suriin. (hindi nakikita ng mga bata ang mga sagot, sinasabi lamang sa kanila kung aling gawain ang mali).Ang unang pangkat na makumpleto ang lahat ng mga gawain nang walang pagkakamali ang siyang mananalo. Ipasa upang manalo.
Napakatahimik ng musika.
Kung dalawa o tatlong grupo ang makatapos ng gawain sa parehong oras, ang isa sa mga lalaki mula sa kabilang grupo ay tutulong sa guro na suriin. Mga sagot sa sheet kasama ng guro (4 na kopya).
Humihinto ang trabaho kapag lumitaw ang isang nanalong grupo.
Huwag kalimutang kumpletuhin ang Self-Assessment Checklist. At pumunta pa kami.
Sheet na may gawain para sa "Pagsusuri ng bagahe"
1) 3)
2) 4)
III. Ang yugto ng pag-update ng kaalaman at ang pagtuklas ng bagong kaalaman. "Eureka"
Ipinakita ng inspeksyon na mayroon kang yaman ng kaalaman.
Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga sitwasyon sa kalsada, kung minsan ang talino sa paglikha ay kinakailangan, at kung nakalimutan mong dalhin ito sa iyo, suriin natin.
Natutunan mo kung paano lutasin ang mga sistema ng mga rational inequalities gamit ang interval method. Ngayon ay titingnan natin ang solusyon kung aling mga problema ang ipinapayong gamitin ang pamamaraang ito. Ngunit una, tandaan natin kung ano ang isang module.
1. Ipagpatuloy ang mga pangungusap na "Ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numero mismo, kung ..."(pasalita)
"Ang modulus ng isang numero ay katumbas ng kabaligtaran na numero kung..."
2. Hayaang ang A(X) ay isang polynomial sa x
Ipagpatuloy ang pagre-record:
Sagot:
Isulat ang ekspresyong kabaligtaran ng ekspresyong A (x)
A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2
A(x)= -A(x)=
Ang mag-aaral ay nagsusulat sa pisara, ang mga lalaki ay nagsusulat sa mga notebook.
3. Ngayon, subukan nating maghanap ng paraan upang malutas ang isang quadratic inequality sa modulus
Ano ang iyong mga mungkahi para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na ito?
Makinig sa mga mungkahi ng mga lalaki.
Kung walang mga panukala, pagkatapos ay itanong ang tanong: "Posible bang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito gamit ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay?"
Lumabas ang estudyante at nagpasya.
IV. Ang yugto ng pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman, pagguhit ng isang algorithm ng solusyon. Ang muling pagdadagdag ng mga bagahe.
(Gumawa sa mga pangkat ng 4 na tao).
Ngayon iminumungkahi kong lagyan mo muli ang iyong bagahe. Magtatrabaho ka sa mga pangkat.Bawat pangkat ay binibigyan ng 2 task card.
Sa unang card, kailangan mong magsulat ng mga sistema para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ipinakita sa board at bumuo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, hindi mo kailangang lutasin ito.
Ang unang card ng mga grupo ay iba, ang pangalawa ay pareho
Anong nangyari?
Sa ilalim ng bawat equation sa pisara, kailangan mong magsulat ng isang set ng mga system.
4 na estudyante ang lumabas at nagsusulat ng mga sistema. Sa oras na ito, tinatalakay namin ang algorithm sa klase.
v. Ang yugto ng pagsasama-sama ng kaalaman."Daan pauwi".
Napunan muli ang mga bagahe, oras na para bumalik. Ngayon lutasin nang nakapag-iisa ang alinman sa mga iminungkahing hindi pagkakapantay-pantay sa modulus alinsunod sa pinagsama-samang algorithm.
Kasama mo sa kalsada muli ay isang kalsada radio.
I-on ang tahimik na background music. Sinusuri ng guro ang disenyo at, kung kinakailangan, nagpapayo.
Mga takdang-aralin sa pisara.
Natapos na ang gawain. Suriin ang mga sagot (nasa likod ng pisara ang mga ito), punan ang self-assessment waybill.
Pagtatakda ng takdang-aralin.
Isulat ang iyong takdang-aralin (isulat muli sa iyong kuwaderno ang mga hindi pagkakapantay-pantay na hindi mo nagawa o nagawa nang may mga pagkakamali, bilang karagdagan sa Blg. 84 (a) sa pahina 373 ng aklat-aralin kung nais mo)
VI. Yugto ng pagpapahinga.
Gaano naging kapaki-pakinabang ang paglalakbay na ito para sa iyo?
Ano ang iyong natutunan?
Ibuod. Kalkulahin kung gaano karaming mga puntos ang nakuha ng bawat isa sa iyo.(pangalanan ng mga bata ang huling marka).Ibigay ang self-assessment sheet sa dispatcher, iyon ay, sa akin.
Nais kong tapusin ang aralin sa pamamagitan ng isang talinghaga.
"Isang matalinong lalaki ang naglalakad, at tatlong tao ang sumalubong sa kanya, na may dalang mga kariton na may mga bato para sa pagtatayo sa ilalim ng mainit na araw. Huminto ang pantas at nagtanong sa bawat isa. Tinanong niya ang una: "Ano ang ginawa mo sa buong araw?", at sumagot siya ng nakangiti na siya ay may dalang sinumpa na mga bato buong araw. Tinanong ng pantas ang pangalawa: "Ano ang ginawa mo sa buong araw?", at sumagot siya: "Ginawa ko ang aking trabaho nang may tapat," at ang pangatlo ay ngumiti, ang kanyang mukha ay lumiwanag sa kagalakan at kasiyahan: "At nakibahagi ako sa pagtatayo. ng Templo!”
Tapos na ang lesson.
Sheet ng pagtatasa sa sarili
Apelyido, pangalan, klase | Bilang ng mga puntos |
|
Magtrabaho sa isang grupo upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay o mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. | 2 puntos kung gumanap nang tama nang walang tulong sa labas; 1 puntos kung gumanap nang tama sa tulong ng labas; 0 puntos kung hindi mo natapos ang gawain 1 dagdag na puntos para sa panalo ng grupo |
