anumang koleksyon ng dalawa o higit pang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng parehong hindi kilalang dami ay tinatawag

Narito ang mga halimbawa ng mga naturang sistema:

Ang intersection interval ng dalawang ray ay ang aming solusyon. Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay lahat X matatagpuan sa pagitan ng dalawa at walo.

Sagot: X

Ang paggamit ng ganitong uri ng pagmamapa ng solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag minsan paraan ng bubong.

Kahulugan: Ang intersection ng dalawang set PERO at AT ay tinatawag na tulad ng isang ikatlong set, na kinabibilangan ng lahat ng mga elemento na kasama sa at sa PERO at sa AT. Ito ang kahulugan ng intersection ng mga set ng arbitrary na kalikasan. Isinasaalang-alang namin ngayon ang mga numerical set nang detalyado, samakatuwid, kapag naghahanap ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga naturang set ay ray - co-directional, counter-directed, at iba pa.

Alamin natin sa tunay mga halimbawa paghahanap ng mga linear na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kung paano matukoy ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa mga indibidwal na hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa system.

Compute sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Maglagay tayo ng dalawang linya ng puwersa sa ibaba ng isa. Sa itaas inilalagay namin ang mga halagang iyon X, na tumutupad sa unang hindi pagkakapantay-pantay x>7 , at sa ibaba - na nagsisilbing solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay x>10 Iniuugnay namin ang mga resulta ng mga linya ng numero, alamin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay masisiyahan x>10.

Sagot: (10;+∞).

Ginagawa namin sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang sample. Sa ibinigay na numerical axis, i-plot ang lahat ng value na iyon X kung saan ang una ay umiiral hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, at sa pangalawang numerical axis, na inilagay sa ilalim ng una, lahat ng value na iyon X, kung saan nasiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ihambing natin ang dalawang resultang ito at matukoy na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay magkakasabay na masisiyahan para sa lahat ng mga halaga X na matatagpuan sa pagitan ng 7 at 10, na isinasaalang-alang ang mga palatandaan, nakakakuha kami ng 7<x≤10

Sagot: (7; 10].

Ang mga sumusunod ay malulutas sa parehong paraan. mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Ang artikulong ito ay nangolekta ng paunang impormasyon tungkol sa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Dito ay nagbibigay kami ng isang kahulugan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay at isang kahulugan ng isang solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Inililista din nito ang mga pangunahing uri ng mga sistema na madalas mong ginagamit sa mga aralin sa algebra sa paaralan, at nagbibigay ng mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay?

Maginhawang tukuyin ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay sa parehong paraan tulad ng ipinakilala namin ang kahulugan ng isang sistema ng mga equation, iyon ay, ayon sa uri ng talaan at ang kahulugan na naka-embed dito.

Kahulugan.

Sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang talaan na kumakatawan sa isang tiyak na bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat sa ibaba ng isa, pinagsama sa kaliwa ng isang kulot na bracket, at nagsasaad ng hanay ng lahat ng mga solusyon na sabay-sabay na mga solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Kumuha ng dalawang arbitrary , halimbawa, 2 x−3>0 at 5−x≥4 x−11 , isulat ang mga ito sa ilalim ng isa
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
at makiisa sa tanda ng system - isang kulot na bracket, bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng sumusunod na anyo:

Katulad nito, ang isang ideya ay ibinigay tungkol sa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay sa mga aklat-aralin sa paaralan. Kapansin-pansin na ang mga kahulugan sa mga ito ay binibigyan ng mas makitid: para sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable o may dalawang variable.

Ang mga pangunahing uri ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Malinaw na mayroong walang katapusang maraming iba't ibang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Upang hindi mawala sa pagkakaiba-iba na ito, ipinapayong isaalang-alang ang mga ito sa mga pangkat na may sariling natatanging katangian. Ang lahat ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring nahahati sa mga grupo ayon sa sumusunod na pamantayan:

• sa pamamagitan ng bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sistema;
• sa pamamagitan ng bilang ng mga variable na kasangkot sa pag-record;
• sa pamamagitan ng likas na katangian ng hindi pagkakapantay-pantay.

Ayon sa bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa talaan, ang mga sistema ng dalawa, tatlo, apat, atbp. ay nakikilala. hindi pagkakapantay-pantay. Sa nakaraang talata, nagbigay kami ng isang halimbawa ng isang sistema na isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay. Ipakita natin ang isa pang halimbawa ng isang sistema ng apat na hindi pagkakapantay-pantay .

Hiwalay, sinasabi namin na walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa isang sistema ng isang hindi pagkakapantay-pantay, sa kasong ito, sa katunayan, pinag-uusapan natin ang tungkol sa hindi pagkakapantay-pantay mismo, at hindi tungkol sa sistema.

Kung titingnan mo ang bilang ng mga variable, kung gayon mayroong mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isa, dalawa, tatlo, atbp. mga variable (o, gaya ng sinasabi nila, hindi alam). Tingnan ang huling sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat sa dalawang talata sa itaas. Ito ay isang sistema na may tatlong variable na x , y at z . Tandaan na ang kanyang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi naglalaman ng lahat ng tatlong mga variable, ngunit isa lamang sa mga ito. Sa konteksto ng sistemang ito, dapat na maunawaan ang mga ito bilang mga hindi pagkakapantay-pantay na may tatlong variable ng anyong x+0 y+0 z≥−2 at 0 x+y+0 z≤5, ayon sa pagkakabanggit. Tandaan na ang paaralan ay nakatuon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable.

Ito ay nananatiling talakayin kung anong mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ang nasasangkot sa mga sistema ng pagsulat. Sa paaralan, pangunahing isinasaalang-alang nila ang mga sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay (mas madalas - tatlo, kahit na mas bihira - apat o higit pa) na may isa o dalawang variable, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay karaniwang integer inequalities una o pangalawang degree (mas madalas - mas mataas na degree o fractionally rational). Ngunit huwag magulat kung sa mga materyales sa paghahanda para sa OGE ay makikita mo ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi makatwiran, logarithmic, exponential at iba pang hindi pagkakapantay-pantay. Bilang halimbawa, ipinakita namin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay , ito ay kinuha mula sa .

Ano ang solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay?

Ipinakilala namin ang isa pang kahulugan na nauugnay sa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay - ang kahulugan ng isang solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Kahulugan.

Paglutas ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable ang ganitong halaga ng isang variable ay tinatawag na nagiging totoo ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng system, sa madaling salita, ay ang solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Ipaliwanag natin gamit ang isang halimbawa. Kunin natin ang isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable . Kunin natin ang halaga ng variable x na katumbas ng 8 , ito ay isang solusyon sa ating sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng kahulugan, dahil ang pagpapalit nito sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay nagbibigay ng dalawang tamang numerical inequalities 8>7 at 2−3 8≤0 . Sa kabaligtaran, ang yunit ay hindi isang solusyon sa sistema, dahil kapag ito ay pinalitan para sa variable na x, ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging isang hindi tamang numerical inequality 1>7 .

Katulad nito, maaari nating ipakilala ang kahulugan ng isang solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawa, tatlo, o higit pang mga variable:

Kahulugan.

Paglutas ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawa, tatlo, atbp. mga variable tinatawag na pares, triple, atbp. mga halaga ng mga variable na ito, na sabay-sabay na solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng system, iyon ay, ginagawa nitong tunay na hindi pagkakapantay-pantay ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Halimbawa, ang isang pares ng mga halaga x=1 , y=2 , o sa ibang notasyon (1, 2) ay isang solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable, dahil 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring walang mga solusyon, maaaring may limitadong bilang ng mga solusyon, o maaaring may walang katapusang maraming solusyon. Ang isa ay madalas na nagsasalita ng isang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ang isang sistema ay walang mga solusyon, pagkatapos ay mayroong isang walang laman na hanay ng mga solusyon nito. Kapag mayroong isang may hangganang bilang ng mga solusyon, ang hanay ng mga solusyon ay naglalaman ng isang tiyak na bilang ng mga elemento, at kapag mayroong walang katapusan na maraming mga solusyon, ang hanay ng mga solusyon ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento.

Ang ilang mga mapagkukunan ay nagpapakilala ng mga kahulugan ng isang partikular at pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng, halimbawa, sa mga aklat-aralin ni Mordkovich. Sa ilalim isang partikular na solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay maunawaan ang nag-iisang solusyon nito. Sa turn nito pangkalahatang solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay- lahat ng ito ay kanyang mga pribadong desisyon. Gayunpaman, ang mga terminong ito ay may katuturan lamang kapag kinakailangan upang bigyang-diin kung aling solusyon ang tinatalakay, ngunit kadalasan ito ay malinaw na mula sa konteksto, kaya't mas karaniwan na simpleng sabihin ang "solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay".

Mula sa mga kahulugan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay at mga solusyon nito na ipinakilala sa artikulong ito, sumusunod na ang solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon ng lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito.

Bibliograpiya.

1. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. Baitang 9 Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ika-13 ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 11. Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2nd ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. GAMITIN-2013. Matematika: karaniwang mga opsyon sa pagsusulit: 30 mga opsyon / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Publishing house "Pambansang Edukasyon", 2012. - 192 p. - (GAMIT-2013. FIPI - paaralan).

Paglutas ng Hindi Pagkakapantay-pantay sa Dalawang Variable, at higit pa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable, mukhang isang hamon. Gayunpaman, mayroong isang simpleng algorithm na tumutulong upang madali at walang kahirap-hirap na malutas ang tila napakakomplikadong mga problema ng ganitong uri. Subukan nating malaman ito.

Ipagpalagay na mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable ng isa sa mga sumusunod na uri:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Upang ilarawan ang hanay ng mga solusyon ng naturang hindi pagkakapantay-pantay sa coordinate plane, magpatuloy bilang sumusunod:

1. Bumuo kami ng isang graph ng function na y = f(x), na naghahati sa eroplano sa dalawang rehiyon.

2. Pinipili namin ang alinman sa mga nakuhang lugar at isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto dito. Sinusuri namin ang kasiyahan ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay para sa puntong ito. Kung, bilang isang resulta ng tseke, ang isang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay nakuha, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa buong lugar kung saan nabibilang ang napiling punto. Kaya, ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lugar kung saan nabibilang ang napiling punto. Kung bilang isang resulta ng tseke ang isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay nakuha, kung gayon ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pangalawang rehiyon, kung saan ang napiling punto ay hindi nabibilang.

3. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga hangganan ng rehiyon, iyon ay, ang mga punto ng graph ng function na y = f(x), ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon at ang hangganan ay ipinapakita bilang isang tuldok na linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kung gayon ang mga hangganan ng rehiyon, iyon ay, ang mga punto ng graph ng function na y = f(x), ay kasama sa hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, at ang hangganan sa kasong ito ay inilalarawan bilang isang solidong linya.
Ngayon tingnan natin ang ilang mga problema sa paksang ito.

Gawain 1.

Anong set ng mga puntos ang ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay x · y ≤ 4?

Solusyon.

1) Bumubuo kami ng graph ng equation x · y = 4. Para magawa ito, binago muna namin ito. Malinaw, ang x ay hindi nagiging 0 sa kasong ito, dahil kung hindi, magkakaroon tayo ng 0 · y = 4, na hindi totoo. Kaya't maaari nating hatiin ang ating equation sa x. Nakukuha namin ang: y = 4/x. Ang graph ng function na ito ay isang hyperbola. Hinahati nito ang buong eroplano sa dalawang rehiyon: ang isa sa pagitan ng dalawang sangay ng hyperbola at ang nasa labas ng mga ito.

2) Pumili kami ng arbitrary na punto mula sa unang rehiyon, hayaan itong maging punto (4; 2).
Sinusuri ang hindi pagkakapantay-pantay: 4 2 ≤ 4 ay mali.

Nangangahulugan ito na ang mga punto ng rehiyong ito ay hindi nakakatugon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pangalawang rehiyon, kung saan ang napiling punto ay hindi nabibilang.

3) Dahil hindi mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, iginuhit namin ang mga boundary point, iyon ay, ang mga punto ng graph ng function na y = 4/x, na may solidong linya.

Kulayan natin ang hanay ng mga puntos na tumutukoy sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na may dilaw na kulay (Larawan 1).

Gawain 2.

Iguhit ang lugar na tinukoy sa coordinate plane ng system
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Solusyon.

Bumubuo kami ng mga graph ng mga sumusunod na function upang magsimula (Larawan 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - tuwid na linya

x 2 + y 2 \u003d 9 ay isang bilog.

1) y > x 2 + 2.

Kinukuha namin ang punto (0; 5), na nasa itaas ng graph ng function.
Sinusuri ang hindi pagkakapantay-pantay: 5 > 0 2 + 2 ay totoo.

Samakatuwid, ang lahat ng mga puntos na nasa itaas ng ibinigay na parabola y = x 2 + 2 ay nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Kulayan natin sila ng dilaw.

2) y + x > 1.

Kinukuha namin ang punto (0; 3), na nasa itaas ng graph ng function.
Sinusuri ang hindi pagkakapantay-pantay: 3 + 0 > 1 ay totoo.

Samakatuwid, ang lahat ng mga puntong nasa itaas ng linyang y + x = 1 ay nakakatugon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Kulayan natin sila ng berde.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Kumuha kami ng isang punto (0; -4), na nasa labas ng bilog x 2 + y 2 = 9.
Ang pagsuri sa hindi pagkakapantay-pantay: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 ay mali.

Samakatuwid, ang lahat ng mga punto na nakahiga sa labas ng bilog x 2 + y 2 = 9, huwag bigyang-kasiyahan ang ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang lahat ng mga punto na nakahiga sa loob ng bilog x 2 + y 2 = 9 ay nakakatugon sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pintahan natin sila ng purple shading.

Huwag kalimutan na kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang kaukulang linya ng hangganan ay dapat na iguguhit na may tuldok na linya. Nakukuha namin ang sumusunod na larawan (Larawan 3).

(Larawan 4).

Gawain 3.

Iguhit ang lugar na tinukoy sa coordinate plane ng system:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Solusyon.

Upang magsimula, bumuo kami ng mga graph ng mga sumusunod na function:

x 2 + y 2 \u003d 16 - bilog,

x \u003d -y - tuwid

x 2 + y 2 \u003d 4 - bilog (Larawan 5).

Ngayon ay hiwalay na nating hinarap ang bawat hindi pagkakapantay-pantay.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Kinukuha namin ang punto (0; 0), na nasa loob ng bilog x 2 + y 2 = 16.
Ang pagsuri sa hindi pagkakapantay-pantay: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 ay totoo.

Samakatuwid, ang lahat ng mga puntos na nakahiga sa loob ng bilog x 2 + y 2 = 16 ay nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.
Kulayan natin sila ng pula.

Kinukuha namin ang punto (1; 1), na nasa itaas ng graph ng function.
Sinusuri namin ang hindi pagkakapantay-pantay: 1 ≥ -1 - totoo.

Samakatuwid, ang lahat ng mga puntong nasa itaas ng linyang x = -y ay nakakatugon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Kulayan natin sila ng asul.

3) x2 + y2 ≥ 4.

Kinukuha namin ang punto (0; 5), na nasa labas ng bilog x 2 + y 2 = 4.
Sinusuri namin ang hindi pagkakapantay-pantay: 0 2 + 5 2 ≥ 4 ay totoo.

Samakatuwid, ang lahat ng mga punto sa labas ng bilog x 2 + y 2 = 4 ay nakakatugon sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Kulayan natin sila ng asul.

Sa problemang ito, ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, na nangangahulugan na iginuhit natin ang lahat ng mga hangganan na may isang solidong linya. Nakukuha namin ang sumusunod na larawan (Larawan 6).

Ang lugar ng interes ay ang lugar kung saan ang lahat ng tatlong kulay na lugar ay nagsalubong sa bawat isa. (fig 7).

May tanong ka ba? Hindi sigurado kung paano lutasin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.
Halimbawa 1. Hanapin ang saklaw ng isang expression
Solusyon. Dapat mayroong isang hindi negatibong numero sa ilalim ng square root sign, na nangangahulugan na ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat magkasabay: Sa ganitong mga kaso, ang problema ay sinasabing nabawasan sa paglutas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Ngunit hindi pa tayo nakakatugon sa gayong mathematical model (system of inequalities). Nangangahulugan ito na hindi pa namin nakumpleto ang solusyon ng halimbawa.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na bumubuo ng isang sistema ay pinagsama sa isang kulot na bracket (ganoon din ang kaso sa mga sistema ng mga equation). Halimbawa, ang entry

nangangahulugan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay 2x - 1 > 3 at 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Minsan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay isinulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

maaaring isulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay 3<2х-1<11.

Sa kursong algebra sa ika-9 na baitang, isasaalang-alang lamang natin ang mga sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Maaari mong kunin ang ilan sa mga partikular na solusyon nito, halimbawa x = 3, x = 4, x = 3.5. Sa katunayan, para sa x = 3 ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal sa anyo 5 > 3, at ang pangalawa - ang anyo 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Kasabay nito, ang halaga x = 5 ay hindi isang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Para sa x = 5, ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong 9 > 3 - ang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero, at ang pangalawa - ang anyo 13< 11- неверное числовое неравенство .
Upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng partikular na solusyon nito. Malinaw na ang gayong paghula tulad ng ipinakita sa itaas ay hindi isang paraan para sa paglutas ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa sumusunod na halimbawa, ipapakita namin kung paano karaniwang nakikipagtalo ang isang tao kapag nilulutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 3 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon.

a) Ang paglutas ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, makikita natin ang 2x > 4, x > 2; paglutas ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, nakita namin ang Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Ang paglutas ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, makikita natin ang x > 2; paglutas ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, nakita namin Minarkahan namin ang mga puwang na ito sa isang linya ng coordinate, gamit ang tuktok na pagpisa para sa unang puwang, at ang ibabang pagpisa para sa pangalawa (Fig. 23). Ang solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging intersection ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, i.e. ang pagitan kung saan ang parehong mga hatches ay nag-tutugma. Sa halimbawang isinasaalang-alang, nakakakuha kami ng isang sinag

sa) Ang paglutas ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, makikita natin ang x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

I-generalize natin ang pangangatwiran na isinagawa sa isinasaalang-alang na halimbawa. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Hayaan, halimbawa, ang pagitan (a, b) ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay fx 2 > g (x), at ang pagitan (c, d) ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f 2 (x) > s 2 (x). ). Minarkahan namin ang mga puwang na ito sa isang linya ng coordinate, gamit ang tuktok na pagpisa para sa unang puwang, at ang ibabang pagpisa para sa pangalawa (Larawan 25). Ang solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ng system, i.e. ang pagitan kung saan ang parehong mga hatches ay nag-tutugma. Sa fig. Ang 25 ay ang pagitan (s, b).

Ngayon ay madali nating malulutas ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha natin sa itaas, sa halimbawa 1:

Ang paglutas ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, makikita natin ang x > 2; paglutas ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, makikita natin ang x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Siyempre, ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi kailangang binubuo ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, gaya ng nangyari sa ngayon; anumang makatwiran (at hindi lamang makatuwiran) na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mangyari. Sa teknikal na paraan, ang pagtatrabaho sa isang sistema ng rational non-linear inequalities ay, siyempre, mas mahirap, ngunit walang panimula na bago (kumpara sa mga sistema ng linear inequalities).

Halimbawa 4 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon.

1) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na mayroon tayo
Tandaan ang mga puntos -3 at 3 sa linya ng numero (Larawan 27). Hinahati nila ang linya sa tatlong agwat, at sa bawat pagitan ang expression na p (x) = (x - 3) (x + 3) ay nagpapanatili ng isang pare-parehong tanda - ang mga palatandaang ito ay ipinahiwatig sa Fig. 27. Interesado kami sa mga agwat kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na p(x) > 0 ay nasiyahan (sila ay nililiman sa Fig. 27), at ang mga punto kung saan ang pagkakapantay-pantay na p(x) = 0 ay nasiyahan, i.e. mga puntos x \u003d -3, x \u003d 3 (minarkahan sila sa Fig. 2 7 na may mga madilim na bilog). Kaya, sa fig. 27 ay nagpapakita ng isang geometric na modelo para sa paglutas ng unang hindi pagkakapantay-pantay.

2) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na mayroon tayo
Pansinin ang mga puntos na 0 at 5 sa linya ng numero (Larawan 28). Hinahati nila ang linya sa tatlong pagitan, at sa bawat pagitan ang expression<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (shaded sa Fig. 28), at ang mga punto kung saan ang pagkakapantay-pantay g (x) - O ay nasiyahan, i.e. puntos x = 0, x = 5 (sila ay minarkahan sa Fig. 28 ng dark circles). Kaya, sa fig. Ang 28 ay nagpapakita ng isang geometric na modelo para sa paglutas ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system.

3) Minarkahan namin ang mga solusyon na natagpuan para sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system sa parehong linya ng coordinate, gamit ang itaas na pagpisa para sa mga solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay, at ang mas mababang pagpisa para sa mga solusyon ng pangalawa (Fig. 29). Ang solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging intersection ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, i.e. ang pagitan kung saan ang parehong mga hatches ay nag-tutugma. Ang ganitong pagitan ay isang segment.

Halimbawa 5 Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon:

a) Mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay nakita natin ang x >2. Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Ang square trinomial x 2 + x + 2 ay walang tunay na mga ugat, at ang nangungunang coefficient nito (ang coefficient sa x 2) ay positibo. Nangangahulugan ito na para sa lahat ng x ang hindi pagkakapantay-pantay x 2 + x + 2>0 ay nasiyahan, at samakatuwid ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay walang mga solusyon. Ano ang ibig sabihin nito para sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay? Nangangahulugan ito na ang sistema ay walang mga solusyon.

b) Mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay nakita natin ang x > 2, at ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa anumang mga halaga ng x. Ano ang ibig sabihin nito para sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay? Nangangahulugan ito na ang solusyon nito ay may anyo x>2, i.e. kasabay ng solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot:

a) walang mga desisyon; b) x>2.

Ang halimbawang ito ay isang paglalarawan para sa mga sumusunod na kapaki-pakinabang

1. Kung sa isang sistema ng ilang mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon, kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon.

2. Kung sa isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng variable , kung gayon ang solusyon ng system ay ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Sa pagtatapos ng seksyong ito, bumalik tayo sa problema ng conceived na numero na ibinigay sa simula nito at lutasin ito, tulad ng sinasabi nila, ayon sa lahat ng mga patakaran.

Halimbawa 2(tingnan ang p. 29). Mag-isip ng natural na numero. Ito ay kilala na kung 13 ay idinagdag sa parisukat ng conceived na numero, kung gayon ang kabuuan ay magiging mas malaki kaysa sa produkto ng conceived na numero at ang bilang na 14. Kung 45 ay idinagdag sa parisukat ng conceived na numero, pagkatapos ay ang kabuuan ay maging mas mababa sa produkto ng conceived number at ang number na 18. What number is conceived?

Solusyon.

Unang yugto. Pag-drawing ng isang mathematical model.
Ang nilalayong bilang na x, tulad ng nakita natin sa itaas, ay dapat matugunan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Pangalawang yugto. Paggawa gamit ang pinagsama-samang modelo ng matematika. Ibahin natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng system sa anyo
x2- 14x+ 13 > 0.

Hanapin natin ang mga ugat ng trinomial x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Gamit ang parabola y \u003d x 2 - 14x + 13 (Fig. 30), napagpasyahan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay ng interes sa amin ay nasiyahan para sa x< 1 или x > 13.

Ibahin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema sa anyo na x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Tingnan natin ang mga halimbawa kung paano lutasin ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

4x - 19 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Upang malutas ang isang sistema, ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng bumubuo nito ay kailangan. Tanging ang desisyon ay ginawa upang isulat hindi hiwalay, ngunit magkasama, pinagsasama ang mga ito sa isang kulot na bracket.

Sa bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, inililipat namin ang mga hindi alam sa isang panig, ang mga kilala sa isa pa na may kabaligtaran na tanda:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Pagkatapos ng pagpapasimple, ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na hatiin sa numero bago ang x. Hinahati namin ang unang hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero, kaya ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Hinahati namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero, kaya dapat baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Minarkahan namin ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga linya ng numero:

Bilang tugon, isinulat namin ang intersection ng mga solusyon, iyon ay, ang bahagi kung saan ang pagtatabing ay nasa parehong linya.

Sagot: x∈[-2;1).

Alisin natin ang fraction sa unang hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, i-multiply namin ang parehong term sa bahagi sa pamamagitan ng term sa pinakamaliit na common denominator 2. Kapag na-multiply sa isang positibong numero, hindi nagbabago ang inequality sign.

Buksan ang mga bracket sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Ang produkto ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang expression ay katumbas ng pagkakaiba ng mga parisukat ng mga expression na ito. Sa kanang bahagi ay ang parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang expression.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Inilipat namin ang mga hindi alam sa isang panig, ang mga kilala sa isa pa na may kabaligtaran na tanda at pinasimple:

Hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa bilang bago ang x. Sa unang hindi pagkakapantay-pantay, hinahati namin sa isang negatibong numero, kaya ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad. Sa pangalawa, hinahati namin sa isang positibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay minarkahan ng "mas mababa sa" (hindi mahalaga na ang isang palatandaan ay mahigpit na "mas mababa sa", ang isa ay hindi mahigpit, "mas mababa sa o katumbas ng"). Hindi namin maaaring markahan ang parehong mga solusyon, ngunit gamitin ang panuntunang "". Ang pinakamaliit ay 1, samakatuwid, ang sistema ay bumababa sa hindi pagkakapantay-pantay

Markahan namin ang solusyon nito sa linya ng numero:

Sagot: x∈(-∞;1].

Binuksan namin ang mga bracket. Sa unang hindi pagkakapantay-pantay - . Ito ay katumbas ng kabuuan ng mga cube ng mga expression na ito.

Sa pangalawa - ang produkto ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang expression, na katumbas ng pagkakaiba ng mga parisukat. Dahil dito mayroong isang minus sign sa harap ng mga bracket, mas mahusay na buksan ang mga ito sa dalawang yugto: gamitin muna ang formula, at pagkatapos lamang buksan ang mga bracket, binabago ang tanda ng bawat termino sa kabaligtaran.

Inilipat namin ang mga hindi alam sa isang panig, ang mga kilala sa isa pa na may kabaligtaran na tanda:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Parehong mas malaki kaysa sa mga palatandaan. Gamit ang "higit sa higit pa" na panuntunan, binabawasan namin ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi pagkakapantay-pantay. Ang mas malaki sa dalawang numero ay 5, kaya

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Markahan namin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang linya ng numero at isulat ang sagot:

Sagot: x∈(5;∞).

Dahil ang mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay nangyayari sa algebra hindi lamang bilang mga independiyenteng gawain, kundi pati na rin sa kurso ng paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp., mahalagang matutunan ang paksang ito sa oras.

Sa susunod na isasaalang-alang natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa mga espesyal na kaso kapag ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon o ang solusyon nito ay anumang numero.

Rubric: |