Unang antas

Derivative ng function. Comprehensive Guide (2019)

Isipin ang isang tuwid na kalsada na dumadaan sa isang maburol na lugar. Ibig sabihin, ito ay pataas at pababa, ngunit hindi lumiliko sa kanan o kaliwa. Kung ang axis ay nakadirekta nang pahalang sa kahabaan ng kalsada, at patayo, ang linya ng kalsada ay magiging halos kapareho sa graph ng ilang tuluy-tuloy na function:

Ang axis ay isang tiyak na antas ng zero na taas, sa buhay ginagamit natin ang antas ng dagat bilang ito.

Pasulong sa kahabaan ng naturang kalsada, tayo rin ay umaakyat o pababa. Masasabi rin natin: kapag nagbago ang argumento (gumagalaw kasama ang abscissa axis), nagbabago ang halaga ng function (gumagalaw kasama ang ordinate axis). Ngayon isipin natin kung paano matukoy ang "steepness" ng ating kalsada? Ano kaya ang halagang ito? Napakasimple: gaano kalaki ang magbabago sa taas kapag sumusulong sa isang tiyak na distansya. Sa katunayan, sa iba't ibang mga seksyon ng kalsada, pasulong (sa kahabaan ng abscissa) ng isang kilometro, tayo ay tataas o bababa sa ibang bilang ng mga metro na may kaugnayan sa antas ng dagat (kasama ang ordinate).

Tinutukoy namin ang pag-unlad pasulong (basahin ang "delta x").

Ang letrang Griyego (delta) ay karaniwang ginagamit sa matematika bilang prefix na nangangahulugang "pagbabago". Iyon ay - ito ay isang pagbabago sa magnitude, - isang pagbabago; Pagkatapos ano? Tama, pagbabago sa laki.

Mahalaga: ang expression ay iisang entity, isang variable. Hindi mo dapat tanggalin ang "delta" mula sa "x" o anumang iba pang titik! Iyon ay, halimbawa, .

Kaya, kami ay sumulong, pahalang, sa. Kung ihahambing natin ang linya ng kalsada sa graph ng isang function, kung gayon paano natin tinutukoy ang pagtaas? Syempre, . Iyon ay, kapag sumusulong tayo ay tumataas nang mas mataas.

Madaling kalkulahin ang halaga: kung sa simula tayo ay nasa taas, at pagkatapos lumipat tayo ay nasa taas, kung gayon. Kung ang dulong punto ay naging mas mababa kaysa sa panimulang punto, ito ay magiging negatibo - nangangahulugan ito na hindi tayo pataas, ngunit pababa.

Bumalik sa "steepness": ito ay isang value na nagsasaad kung gaano kalaki (steeply) ang pagtaas ng taas kapag sumusulong sa bawat unit na distansya:

Ipagpalagay na sa ilang seksyon ng landas, kapag sumusulong ng km, ang kalsada ay tumaas ng km. Tapos ang tirik sa lugar na ito ay pantay. At kung ang kalsada, kapag sumusulong ng m, lumubog ng km? Pagkatapos ay pantay ang slope.

Ngayon isaalang-alang ang tuktok ng isang burol. Kung dadalhin mo ang simula ng seksyon kalahating kilometro sa tuktok, at ang dulo - kalahating kilometro pagkatapos nito, makikita mo na ang taas ay halos pareho.

Iyon ay, ayon sa aming lohika, lumalabas na ang slope dito ay halos katumbas ng zero, na malinaw na hindi totoo. Marami ang maaaring magbago ilang milya lamang ang layo. Ang mga maliliit na lugar ay kailangang isaalang-alang para sa isang mas sapat at tumpak na pagtatantya ng steepness. Halimbawa, kung susukatin mo ang pagbabago sa taas kapag gumagalaw ng isang metro, ang resulta ay magiging mas tumpak. Ngunit kahit na ang katumpakan na ito ay maaaring hindi sapat para sa atin - pagkatapos ng lahat, kung mayroong isang poste sa gitna ng kalsada, maaari tayong dumaan dito. Anong distansya ang dapat nating piliin kung gayon? sentimetro? milimetro? Mas kaunti ay mas mabuti!

Sa totoong buhay, ang pagsukat ng distansya sa pinakamalapit na milimetro ay higit pa sa sapat. Ngunit ang mga mathematician ay palaging nagsusumikap para sa pagiging perpekto. Samakatuwid, ang konsepto ay infinitesimal, ibig sabihin, ang halaga ng modulo ay mas mababa sa anumang numero na maaari nating pangalanan. Halimbawa, sasabihin mo: isang trilyon! gaano pa kaunti? At hinati mo ang numerong ito sa - at magiging mas kaunti pa ito. At iba pa. Kung gusto naming isulat na ang halaga ay napakaliit, sumusulat kami ng ganito: (basahin namin ang "x ay may posibilidad na zero"). Napakahalagang maunawaan na ang numerong ito ay hindi katumbas ng zero! Ngunit napakalapit dito. Nangangahulugan ito na maaari itong hatiin sa.

Ang konsepto na kabaligtaran ng walang hanggan maliit ay walang hanggan malaki (). Marahil ay naranasan mo na ito noong ikaw ay gumagawa ng mga hindi pagkakapantay-pantay: ang bilang na ito ay mas malaki sa modulus kaysa sa anumang numerong maiisip mo. Kung makabuo ka ng pinakamalaking posibleng numero, i-multiply lang ito sa dalawa at makakakuha ka ng higit pa. At ang infinity ay higit pa sa nangyayari. Sa katunayan, ang walang hanggan malaki at walang hanggan maliit ay kabaligtaran sa isa't isa, iyon ay, sa, at vice versa: at.

Ngayon bumalik sa aming kalsada. Ang perpektong kinakalkula na slope ay ang slope na kinakalkula para sa isang walang katapusang maliit na bahagi ng landas, iyon ay:

Pansinin ko na sa isang walang katapusang maliit na displacement, ang pagbabago sa taas ay magiging napakaliit din. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang walang katapusang maliit ay hindi nangangahulugang katumbas ng zero. Kung hahatiin mo ang mga infinitesimal na numero sa isa't isa, maaari kang makakuha ng ganap na ordinaryong numero, halimbawa,. Iyon ay, ang isang maliit na halaga ay maaaring eksaktong dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa pa.

Bakit lahat ng ito? Ang daan, ang tirik ... Hindi tayo magra-rally, pero nag-aaral tayo ng matematika. At sa matematika ang lahat ay eksaktong pareho, naiiba lamang ang tawag.

Ang konsepto ng isang derivative

Ang derivative ng isang function ay ang ratio ng increment ng function sa increment ng argument sa isang infinitesimal na increment ng argument.

Pagtaas sa matematika ay tinatawag na pagbabago. Kung gaano kalaki ang nabago ng argumento () kapag ang paglipat sa kahabaan ng axis ay tinatawag pagtaas ng argumento at tinutukoy ng Kung gaano kalaki ang nabago ng function (taas) kapag sumusulong kasama ang axis sa pamamagitan ng isang distansya ay tinatawag pagtaas ng function at minarkahan.

Kaya, ang derivative ng isang function ay ang kaugnayan sa kung kailan. Tinutukoy namin ang derivative na may parehong titik bilang ang function, sa pamamagitan lamang ng isang stroke mula sa kanang tuktok: o simple. Kaya, isulat natin ang derivative formula gamit ang mga notasyong ito:

Tulad ng pagkakatulad sa kalsada, dito, kapag tumaas ang function, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo.

Ngunit ang derivative ba ay katumbas ng zero? Syempre. Halimbawa, kung kami ay nagmamaneho sa isang patag na pahalang na kalsada, ang matarik ay zero. Sa katunayan, ang taas ay hindi nagbabago. Kaya sa derivative: ang derivative ng isang constant function (constant) ay katumbas ng zero:

dahil ang pagtaas ng naturang function ay zero para sa anuman.

Kunin natin ang halimbawa sa tuktok ng burol. Ito ay naging posible na ayusin ang mga dulo ng segment sa magkabilang panig ng vertex sa paraang ang taas sa mga dulo ay magiging pareho, iyon ay, ang segment ay kahanay sa axis:

Ngunit ang malalaking segment ay tanda ng hindi tumpak na pagsukat. Itataas namin ang aming segment parallel sa sarili nito, pagkatapos ay bababa ang haba nito.

Sa huli, kapag malapit na tayo sa tuktok, ang haba ng segment ay magiging napakaliit. Ngunit sa parehong oras, ito ay nanatiling kahanay sa axis, iyon ay, ang pagkakaiba sa taas sa mga dulo nito ay katumbas ng zero (ay hindi malamang, ngunit katumbas ng). Kaya ang derivative

Ito ay mauunawaan bilang mga sumusunod: kapag tayo ay nakatayo sa pinakatuktok, ang isang maliit na paglipat sa kaliwa o kanan ay nagbabago sa ating taas nang bale-wala.

Mayroon ding purong algebraic na paliwanag: sa kaliwa ng itaas, ang function ay tumataas, at sa kanan, ito ay bumababa. Gaya ng nalaman na natin kanina, kapag tumaas ang function, positive ang derivative, at kapag bumaba ito, negative. Ngunit ito ay nagbabago nang maayos, nang walang pagtalon (dahil ang kalsada ay hindi nagbabago nang husto sa slope nito kahit saan). Samakatuwid, dapat mayroong pagitan ng negatibo at positibong mga halaga. Ito ay kung saan ang function ay hindi tumataas o bumababa - sa vertex point.

Totoo rin ito para sa lambak (ang lugar kung saan bumababa ang function sa kaliwa at tumataas sa kanan):

Kaunti pa tungkol sa mga increment.

Kaya binabago namin ang argumento sa isang halaga. Nagbabago tayo mula sa anong halaga? Ano na siya (argumento) ngayon? Maaari tayong pumili ng anumang punto, at ngayon ay sasayaw tayo mula rito.

Isaalang-alang ang isang punto na may coordinate. Ang halaga ng function sa loob nito ay pantay. Pagkatapos ay ginagawa namin ang parehong pagtaas: taasan ang coordinate ng. Ano ang argumento ngayon? Napakadaling: . Ano ang halaga ng function ngayon? Kung saan napupunta ang argumento, napupunta doon ang function: . Paano ang tungkol sa pagtaas ng function? Walang bago: ito pa rin ang halaga kung saan nagbago ang function:

Magsanay sa paghahanap ng mga increment:

1. Hanapin ang increment ng function sa isang punto na may increment ng argument na katumbas ng.
2. Ang parehong para sa isang function sa isang punto.

Mga solusyon:

Sa iba't ibang mga punto, na may parehong pagtaas ng argumento, ang pagtaas ng function ay magiging iba. Nangangahulugan ito na ang derivative sa bawat punto ay may sariling (tinalakay namin ito sa pinakadulo simula - iba ang matarik na kalsada sa iba't ibang mga punto). Samakatuwid, kapag sumulat tayo ng isang derivative, dapat nating ipahiwatig kung anong punto:

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang isang function ng kapangyarihan ay tinatawag na isang function kung saan ang argument ay sa ilang lawak (lohikal, tama?).

At - sa anumang lawak: .

Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang exponent ay:

Hanapin natin ang derivative nito sa isang punto. Tandaan ang kahulugan ng derivative:

Kaya ang argumento ay nagbabago mula sa. Ano ang pagdaragdag ng function?

Ang pagtaas ay. Ngunit ang pag-andar sa anumang punto ay katumbas ng argumento nito. kaya naman:

Ang derivative ay:

Ang derivative ng ay:

b) Ngayon isaalang-alang ang quadratic function (): .

Ngayon tandaan natin iyan. Nangangahulugan ito na ang halaga ng pagtaas ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay walang katapusan na maliit, at samakatuwid ay hindi gaanong mahalaga laban sa background ng isa pang termino:

Kaya, mayroon kaming isa pang panuntunan:

c) Ipinagpapatuloy namin ang lohikal na serye: .

Ang expression na ito ay maaaring pasimplehin sa iba't ibang paraan: buksan ang unang bracket gamit ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng cube ng kabuuan, o i-decompose ang buong expression sa mga salik gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube. Subukang gawin ito sa iyong sarili sa alinman sa mga iminungkahing paraan.

Kaya, nakuha ko ang sumusunod:

At muli nating tandaan iyon. Nangangahulugan ito na maaari nating pabayaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng:

Nakukuha namin ang: .

d) Maaaring makuha ang mga katulad na tuntunin para sa malalaking kapangyarihan:

e) Lumalabas na ang panuntunang ito ay maaaring gawing pangkalahatan para sa isang power function na may arbitrary exponent, hindi kahit isang integer:

(2)

Maaari mong bumalangkas ang panuntunan sa mga salitang: "ang antas ay dinadala bilang isang koepisyent, at pagkatapos ay bumababa ng".

Papatunayan natin ang panuntunang ito mamaya (halos sa pinakadulo). Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa. Hanapin ang derivative ng mga function:

1. (sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng formula at paggamit ng kahulugan ng derivative - sa pamamagitan ng pagbibilang ng pagtaas ng function);

1. . Maniwala ka man o hindi, ito ay isang power function. Kung mayroon kang mga tanong tulad ng "Paano ito? At nasaan ang degree? ”, Tandaan ang paksa“ ”!
   Oo, oo, ang ugat ay isang degree din, isang fractional lamang:.
   Kaya ang aming square root ay isang kapangyarihan lamang na may exponent:
   .
   Hinahanap namin ang derivative gamit ang kamakailang natutunang formula:

   Kung sa puntong ito ay naging hindi malinaw muli, ulitin ang paksang "" !!! (tungkol sa isang degree na may negatibong tagapagpahiwatig)

2. . Ngayon ang exponent:

   At ngayon sa pamamagitan ng kahulugan (nakalimutan mo na ba?):
   ;
   .
   Ngayon, gaya ng dati, pinababayaan namin ang terminong naglalaman ng:
   .

3. . Kumbinasyon ng mga nakaraang kaso: .

trigonometriko function.

Dito gagamitin natin ang isang katotohanan mula sa mas mataas na matematika:

Kapag expression.

Malalaman mo ang patunay sa unang taon ng institute (at para makarating doon, kailangan mong makapasa ng mabuti sa pagsusulit). Ngayon ay ipapakita ko lang ito nang graphical:

Nakikita namin na kapag ang function ay hindi umiiral - ang punto sa graph ay mabutas. Ngunit kung mas malapit sa halaga, mas malapit ang pag-andar. Ito ang mismong "nagsusumikap".

Bilang karagdagan, maaari mong suriin ang panuntunang ito gamit ang isang calculator. Oo, oo, huwag kang mahiya, kumuha ng calculator, wala pa tayo sa pagsusulit.

Subukan Natin: ;

Huwag kalimutang ilipat ang calculator sa Radians mode!

atbp. Nakikita namin na ang mas maliit, mas malapit ang halaga ng ratio sa.

a) Isaalang-alang ang isang function. Gaya ng dati, nakita namin ang pagtaas nito:

Gawing produkto natin ang pagkakaiba ng mga sine. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula (tandaan ang paksang ""):.

Ngayon ang derivative:

Gumawa tayo ng substitution: . Pagkatapos, para sa walang hanggan maliit, ito rin ay walang hanggan maliit: . Ang expression para sa ay tumatagal ng form:

At ngayon naaalala natin iyon sa ekspresyon. At gayundin, paano kung ang isang walang katapusang maliit na halaga ay maaaring mapabayaan sa kabuuan (iyon ay, sa).

Kaya nakuha namin ang sumusunod na panuntunan: ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine:

Ito ay mga pangunahing derivatives ("talahanayan"). Narito sila sa isang listahan:

Sa ibang pagkakataon ay magdaragdag kami ng ilan pa sa kanila, ngunit ito ang pinakamahalaga, dahil madalas silang ginagamit.

Pagsasanay:

1. Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto;
2. Hanapin ang derivative ng function.

Mga solusyon:

1. Una, hinahanap namin ang derivative sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay pinapalitan namin ang halaga nito sa halip:
   ;
   .
2. Narito mayroon kaming isang bagay na katulad ng isang function ng kapangyarihan. Subukan nating dalhin siya sa
   normal na view:
   .
   Ok, maaari mo na ngayong gamitin ang formula:
   .
   .
3. . Eeeeee.... Ano yun????

Okay, tama ka, hindi pa rin namin alam kung paano mahahanap ang mga naturang derivatives. Narito mayroon kaming isang kumbinasyon ng ilang mga uri ng mga pag-andar. Upang gumana sa kanila, kailangan mong matuto ng ilang higit pang mga patakaran:

Exponent at natural logarithm.

Mayroong ganoong function sa matematika, ang derivative na para sa alinman ay katumbas ng halaga ng mismong function para sa pareho. Ito ay tinatawag na "exponent", at isang exponential function

Ang base ng function na ito - isang pare-pareho - ay isang walang katapusang decimal fraction, iyon ay, isang hindi makatwiran na numero (tulad ng). Ito ay tinatawag na "Euler number", kung kaya't ito ay tinutukoy ng isang titik.

Kaya ang panuntunan ay:

Napakadaling tandaan.

Well, hindi tayo lalayo, agad nating isasaalang-alang ang inverse function. Ano ang kabaligtaran ng exponential function? Logarithm:

Sa aming kaso, ang base ay isang numero:

Ang ganitong logarithm (iyon ay, isang logarithm na may base) ay tinatawag na "natural", at gumagamit kami ng isang espesyal na notasyon para dito: sumulat kami sa halip.

Ano ang katumbas? Syempre, .

Ang derivative ng natural logarithm ay napaka-simple din:

Mga halimbawa:

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. Ano ang derivative ng function?

Mga sagot: Ang exponent at ang natural na logarithm ay mga function na kakaibang simple sa mga tuntunin ng derivative. Ang mga exponential at logarithmic function sa anumang iba pang base ay magkakaroon ng ibang derivative, na susuriin natin mamaya, pagkatapos nating dumaan sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Anong mga patakaran? Panibagong termino na naman?!...

Differentiation ay ang proseso ng paghahanap ng derivative.

Tanging at lahat. Ano ang isa pang salita para sa prosesong ito? Hindi proizvodnovanie... Ang kaugalian ng matematika ay tinatawag na mismong pagtaas ng function sa. Ang terminong ito ay nagmula sa Latin differentia - pagkakaiba. Dito.

Kapag nakukuha ang lahat ng mga panuntunang ito, gagamit kami ng dalawang function, halimbawa, at. Kakailanganin din namin ang mga formula para sa kanilang mga increment:

Mayroong 5 panuntunan sa kabuuan.

Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng sign ng derivative.

Kung - ilang pare-parehong numero (constant), kung gayon.

Malinaw, gumagana din ang panuntunang ito para sa pagkakaiba: .

Patunayan natin. Hayaan, o mas madali.

Mga halimbawa.

Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

1. sa punto;
2. sa punto;
3. sa punto;
4. sa punto.

Mga solusyon:

1. (ang derivative ay pareho sa lahat ng mga punto, dahil ito ay isang linear function, tandaan?);

Derivative ng isang produkto

Ang lahat ay magkatulad dito: ipinakilala namin ang isang bagong function at hinahanap ang pagtaas nito:

Derivative:

Mga halimbawa:

1. Maghanap ng mga derivatives ng mga function at;
2. Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto.

Mga solusyon:

Derivative ng exponential function

Ngayon ang iyong kaalaman ay sapat na upang matutunan kung paano hanapin ang derivative ng anumang exponential function, at hindi lamang ang exponent (nakalimutan mo na ba kung ano ito?).

Kaya kung saan ang ilang numero.

Alam na natin ang derivative ng function, kaya subukan nating dalhin ang ating function sa isang bagong base:

Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang simpleng panuntunan: . Pagkatapos:

Well, ito ay nagtrabaho. Ngayon subukang hanapin ang derivative, at huwag kalimutan na ang function na ito ay kumplikado.

Nangyari?

Dito, suriin ang iyong sarili:

Ang formula ay naging halos kapareho sa derivative ng exponent: tulad ng dati, nananatili ito, isang kadahilanan lamang ang lumitaw, na isang numero lamang, ngunit hindi isang variable.

Mga halimbawa:
Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

Mga sagot:

Ito ay isang numero lamang na hindi maaaring kalkulahin nang walang calculator, iyon ay, hindi ito maaaring isulat sa isang mas simpleng anyo. Samakatuwid, sa sagot ito ay naiwan sa form na ito.

Derivative ng isang logarithmic function

Narito ito ay katulad: alam mo na ang derivative ng natural logarithm:

Samakatuwid, upang makahanap ng isang arbitrary mula sa logarithm na may ibang base, halimbawa, :

Kailangan nating dalhin ang logarithm na ito sa base. Paano mo babaguhin ang base ng logarithm? Sana ay tandaan mo ang formula na ito:

Ngayon lamang sa halip na magsusulat tayo:

Ang denominator ay naging pare-pareho lamang (isang pare-parehong numero, walang variable). Ang derivative ay napaka-simple:

Ang mga derivatives ng exponential at logarithmic function ay halos hindi na makikita sa pagsusulit, ngunit hindi magiging kalabisan na malaman ang mga ito.

Derivative ng isang kumplikadong function.

Ano ang isang "complex function"? Hindi, hindi ito isang logarithm, at hindi isang arc tangent. Ang mga function na ito ay maaaring mahirap maunawaan (bagaman kung ang logarithm ay tila mahirap sa iyo, basahin ang paksang "Logarithm" at lahat ay gagana), ngunit sa mga tuntunin ng matematika, ang salitang "kumplikado" ay hindi nangangahulugang "mahirap".

Isipin ang isang maliit na conveyor: dalawang tao ang nakaupo at gumagawa ng ilang mga aksyon sa ilang mga bagay. Halimbawa, binalot ng una ang isang chocolate bar sa isang wrapper, at ang pangalawa ay tinatali ito ng isang laso. Ito ay lumalabas na tulad ng isang pinagsama-samang bagay: isang chocolate bar na nakabalot at nakatali sa isang laso. Upang kumain ng chocolate bar, kailangan mong gawin ang kabaligtaran na mga hakbang sa reverse order.

Gumawa tayo ng katulad na mathematical pipeline: unang makikita natin ang cosine ng isang numero, at pagkatapos ay i-square natin ang resultang numero. Kaya, binibigyan nila kami ng isang numero (tsokolate), nakita ko ang cosine nito (pambalot), at pagkatapos ay i-square mo ang nakuha ko (itali ito ng isang laso). Anong nangyari? Function. Ito ay isang halimbawa ng isang kumplikadong function: kapag, upang mahanap ang halaga nito, ginagawa namin ang unang aksyon nang direkta sa variable, at pagkatapos ay isa pang pangalawang aksyon sa kung ano ang nangyari bilang resulta ng una.

Maaari naming gawin ang parehong mga aksyon sa reverse order: una mong parisukat, at pagkatapos ay hinahanap ko ang cosine ng resultang numero:. Madaling hulaan na ang resulta ay halos palaging naiiba. Isang mahalagang katangian ng mga kumplikadong function: kapag nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, nagbabago ang function.

Sa ibang salita, Ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isa pang function: .

Para sa unang halimbawa, .

Pangalawang halimbawa: (pareho). .

Ang huling aksyon na gagawin natin ay tatawagin "panlabas" na function, at ang aksyon na unang ginawa - ayon sa pagkakabanggit "panloob" na function(ito ay mga impormal na pangalan, ginagamit ko lamang ang mga ito upang ipaliwanag ang materyal sa simpleng wika).

Subukang tukuyin para sa iyong sarili kung aling function ang panlabas at kung alin ang panloob:

Mga sagot: Ang paghihiwalay ng panloob at panlabas na mga pag-andar ay halos kapareho sa pagbabago ng mga variable: halimbawa, sa pag-andar

1. Anong aksyon ang una nating gagawin? Una naming kalkulahin ang sine, at pagkatapos ay itataas namin ito sa isang kubo. Kaya ito ay isang panloob na pag-andar, hindi isang panlabas.
   At ang orihinal na function ay ang kanilang komposisyon: .
2. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
3. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
4. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
5. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .

binabago namin ang mga variable at kumuha ng isang function.

Well, ngayon ay kukunin namin ang aming tsokolate - hanapin ang hinango. Ang pamamaraan ay palaging baligtad: una ay hinahanap natin ang derivative ng panlabas na function, pagkatapos ay i-multiply natin ang resulta sa derivative ng panloob na function. Para sa orihinal na halimbawa, ganito ang hitsura:

Isa pang halimbawa:

Kaya, sa wakas ay bumalangkas tayo ng opisyal na tuntunin:

Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

Parang simple lang ang lahat, tama ba?

Suriin natin gamit ang mga halimbawa:

Mga solusyon:

1) Panloob: ;

Panlabas: ;

2) Panloob: ;

(huwag mo lang subukang bawasan sa ngayon! Walang naalis sa ilalim ng cosine, tandaan?)

3) Panloob: ;

Panlabas: ;

Agad na malinaw na mayroong tatlong antas na kumplikadong pag-andar dito: pagkatapos ng lahat, ito ay isang kumplikadong pag-andar sa sarili nito, at kinukuha pa rin namin ang ugat mula dito, iyon ay, ginagawa namin ang pangatlong aksyon (ilagay ang tsokolate sa isang pambalot. at may laso sa isang portpolyo). Ngunit walang dahilan upang matakot: gayon pa man, "i-unpack" namin ang function na ito sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng dati: mula sa dulo.

Iyon ay, una nating pinag-iiba ang ugat, pagkatapos ay ang cosine, at pagkatapos lamang ang expression sa mga bracket. At pagkatapos ay pinarami natin ang lahat.

Sa ganitong mga kaso, ito ay maginhawa upang bilangin ang mga aksyon. Ibig sabihin, isipin natin kung ano ang alam natin. Sa anong pagkakasunud-sunod namin magsasagawa ng mga aksyon upang makalkula ang halaga ng expression na ito? Tingnan natin ang isang halimbawa:

Sa paglaon ng aksyon ay ginanap, mas magiging "panlabas" ang kaukulang function. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon - tulad ng dati:

Dito karaniwang 4-level ang nesting. Tukuyin natin ang takbo ng aksyon.

1. Radikal na pagpapahayag. .

2. Ugat. .

3. Sinus. .

4. Square. .

5. Pinagsasama-sama ang lahat:

DERIVATIVE. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Derivative ng function- ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento na may infinitesimal na pagtaas ng argumento:

Mga pangunahing derivatives:

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng tanda ng hinalaw:

Derivative ng sum:

Derivative na produkto:

Derivative ng quotient:

Derivative ng isang kumplikadong function:

Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

1. Tinukoy namin ang "panloob" na function, hanapin ang hinango nito.
2. Tinukoy namin ang "panlabas" na function, hanapin ang derivative nito.
3. Pinaparami namin ang mga resulta ng una at pangalawang puntos.

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin, ang hinango ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi wastong nalutas ang mga problema.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga panuntunang tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay makakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mahusay din na ipaliwanag ito sa mga tiyak na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang elementarya function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Mabuti naman.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang pangwakas na halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Isang gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivative ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga pag-andar sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng pagtaas sa pagtaas ng argumento, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivative at tiyak na tinukoy na mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. . Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, quotient) magkaugnay ang mga function na ito. Dagdag pa, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Mula sa mga alituntunin ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang derivative ng kabuuan ng mga function ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga function, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman natin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:

Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.

Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan
3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1
5. Derivative ng square root
6. Sine derivative
7. Cosine derivative
8. Tangent derivative
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arc cosine
12. Derivative ng arc tangent
13. Derivative ng inverse tangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng isang logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng exponential function

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng isang produkto
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1Kung functions

ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function

at

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.

Panuntunan 2Kung functions

ay naiba sa isang punto , pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba din sa parehong punto

at

mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong multiplier:

Panuntunan 3Kung functions

naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at

mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .

Kung saan titingin sa ibang mga pahina

Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito ang nasa artikulo."Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".

Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-parehong salik, ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Ito ay isang karaniwang pagkakamali na nangyayari sa paunang yugto ng pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang ang karaniwang mag-aaral ay nilulutas ang ilang isa-dalawang bahagi na halimbawa, ang pagkakamaling ito ay hindi na nagagawa.

At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .

Ang isa pang karaniwang pagkakamali ay ang mekanikal na solusyon ng derivative ng isang complex function bilang derivative ng isang simpleng function. kaya lang derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives ng mga simpleng function.

Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang mga pagbabagong-anyo ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa mga bagong window ang mga manual Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".

Kung mayroon kang gawain tulad ng , kung gayon ikaw ay nasa aralin na "Derivatives ng mga simpleng trigonometric function".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng pagpapahayag ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic na kabuuan ng mga function ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivative sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pag-iiba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:

Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa, ay kinuha na may minus sign:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga naturang problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pang trigonometric function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , tapos may lesson ka "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .

Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan naging pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa panuntunan sa pagkita ng kaibhan ng produkto at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha natin ang:

Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Sa function na ito, makikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .

Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na estudyante o ng isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.