1. Linear fractional function at ang graph nito

Ang isang function ng form na y = P(x) / Q(x), kung saan ang P(x) at Q(x) ay polynomials, ay tinatawag na fractional rational function.

Marahil ay pamilyar ka na sa konsepto ng mga rational na numero. Ganun din makatwirang pag-andar ay mga function na maaaring kinakatawan bilang isang quotient ng dalawang polynomial.

Kung ang isang fractional rational function ay isang quotient ng dalawang linear function - polynomials ng unang degree, i.e. tingnan ang function

y = (ax + b) / (cx + d), pagkatapos ito ay tinatawag na fractional linear.

Tandaan na sa function na y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kung hindi man ang function ay magiging linear y = ax/d + b/d) at ang a/c ≠ b/d (kung hindi man ay ang ang function ay pare-pareho). Ang linear-fractional function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na numero, maliban sa x = -d/c. Ang mga graph ng linear-fractional function ay hindi naiiba sa anyo mula sa graph na alam mo y = 1/x. Ang curve na siyang graph ng function na y = 1/x ay tinatawag hyperbole. Sa walang limitasyong pagtaas sa x sa absolute value, ang function na y = 1/x ay bumababa nang walang katiyakan sa absolute value at ang parehong sangay ng graph ay lumalapit sa abscissa axis: ang kanan ay lumalapit mula sa itaas, at ang kaliwa ay lumalapit mula sa ibaba. Ang mga linyang nilalapitan ng mga sanga ng hyperbola ay tinatawag na nito asymptotes.

Halimbawa 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Solusyon.

Piliin natin ang bahaging integer: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ngayon ay madaling makita na ang graph ng function na ito ay nakuha mula sa graph ng function na y = 1/x sa pamamagitan ng mga sumusunod na pagbabagong-anyo: shift ng 3 unit segment pakanan, stretch along the Oy axis ng 7 beses at shift by 2 unit segment pataas.

Anumang fraction y = (ax + b) / (cx + d) ay maaaring isulat sa parehong paraan, na i-highlight ang "buong bahagi". Dahil dito, ang mga graph ng lahat ng linear-fractional function ay mga hyperbola na inilipat kasama ang mga coordinate axes sa iba't ibang paraan at nakaunat kasama ang Oy axis.

Upang mag-plot ng isang graph ng ilang arbitrary linear-fractional function, hindi na kailangang baguhin ang fraction na tumutukoy sa function na ito. Dahil alam natin na ang graph ay isang hyperbola, ito ay sapat na upang mahanap ang mga linya kung saan ang mga sanga nito ay lumalapit - ang hyperbola asymptotes x = -d/c at y = a/c.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function na y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solusyon.

Ang function ay hindi tinukoy, kapag x = -1. Samakatuwid, ang linyang x = -1 ay nagsisilbing patayong asymptote. Upang mahanap ang pahalang na asymptote, alamin kung ano ang lumalapit sa mga halaga ng function na y(x) kapag ang argumento na x ay tumaas sa ganap na halaga.

Upang gawin ito, hinati namin ang numerator at denominator ng fraction sa x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Bilang x → ∞ ang fraction ay may posibilidad na 3/2. Samakatuwid, ang pahalang na asymptote ay ang tuwid na linya y = 3/2.

Halimbawa 3

I-plot ang function na y = (2x + 1)/(x + 1).

Solusyon.

Pinipili namin ang "buong bahagi" ng fraction:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ngayon ay madaling makita na ang graph ng function na ito ay nakuha mula sa graph ng function na y = 1/x sa pamamagitan ng mga sumusunod na pagbabagong-anyo: isang shift ng 1 unit sa kaliwa, isang simetriko display na may kinalaman sa Ox, at isang shift ng 2 unit interval pataas sa kahabaan ng Oy axis.

Domain ng kahulugan D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Saklaw ng mga value E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Mga intersection point na may mga palakol: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Ang function ay tumataas sa bawat isa sa mga pagitan ng domain ng kahulugan.

Sagot: figure 1.

2. Fractional-rational function

Isaalang-alang ang isang fractional rational function ng form na y = P(x) / Q(x), kung saan ang P(x) at Q(x) ay mga polynomial na mas mataas kaysa sa una.

Mga halimbawa ng mga rational function:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Kung ang function na y = P(x) / Q(x) ay isang quotient ng dalawang polynomial na may degree na mas mataas kaysa sa una, kung gayon ang graph nito ay, bilang panuntunan, ay magiging mas kumplikado, at kung minsan ay mahirap itong buuin nang eksakto. , kasama ang lahat ng mga detalye. Gayunpaman, kadalasan ay sapat na upang maglapat ng mga pamamaraan na katulad ng mga nakilala na natin sa itaas.

Hayaang maging wasto ang fraction (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Malinaw, ang graph ng isang fractional rational function ay maaaring makuha bilang kabuuan ng mga graph ng elementary fractions.

Pag-plot ng mga fractional rational function

Isaalang-alang ang ilang mga paraan upang magplano ng isang fractional-rational function.

Halimbawa 4

I-plot ang function na y = 1/x 2 .

Solusyon.

Ginagamit namin ang graph ng function na y \u003d x 2 upang i-plot ang graph y \u003d 1 / x 2 at gamitin ang paraan ng "paghahati" ng mga graph.

Domain D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Saklaw ng mga halaga E(y) = (0; +∞).

Walang mga punto ng intersection sa mga axes. Ang pag-andar ay pantay. Tumataas para sa lahat ng x mula sa pagitan (-∞; 0), bumababa para sa x mula 0 hanggang +∞.

Sagot: figure 2.

Halimbawa 5

I-plot ang function na y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Solusyon.

Domain D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Dito ginamit namin ang pamamaraan ng factoring, reduction at reduction sa isang linear function.

Sagot: figure 3.

Halimbawa 6

I-plot ang function na y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Solusyon.

Ang domain ng kahulugan ay D(y) = R. Dahil ang function ay pantay, ang graph ay simetriko tungkol sa y-axis. Bago mag-plot, muli naming binabago ang expression sa pamamagitan ng pag-highlight ng integer na bahagi:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Tandaan na ang pagpili ng bahagi ng integer sa formula ng isang fractional-rational function ay isa sa mga pangunahing kapag nag-plot ng mga graph.

Kung x → ±∞, pagkatapos ay y → 1, ibig sabihin, ang linyang y = 1 ay isang pahalang na asymptote.

Sagot: figure 4.

Halimbawa 7

Isaalang-alang ang function na y = x/(x 2 + 1) at subukang hanapin nang eksakto ang pinakamalaking halaga nito, i.e. ang pinakamataas na punto sa kanang kalahati ng graph. Upang tumpak na mabuo ang graph na ito, ang kaalaman ngayon ay hindi sapat. Ito ay malinaw na ang aming kurba ay hindi maaaring "umakyat" nang napakataas, dahil ang denominator ay mabilis na nagsisimulang "malampasan" ang numerator. Tingnan natin kung ang halaga ng function ay maaaring katumbas ng 1. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang equation x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ang equation na ito ay walang tunay na ugat. So mali ang assumption natin. Upang mahanap ang pinakamalaking halaga ng function, kailangan mong malaman kung aling pinakamalaking A ang equation A \u003d x / (x 2 + 1) ay magkakaroon ng solusyon. Palitan natin ang orihinal na equation ng isang quadratic: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ang equation na ito ay may solusyon kapag 1 - 4A 2 ≥ 0. Mula dito makikita natin ang pinakamalaking halaga A \u003d 1/2.

Sagot: Figure 5, max y(x) = ½.

May tanong ka ba? Hindi alam kung paano bumuo ng mga function graph?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Bumuo ng isang function

Dinadala namin sa iyong atensyon ang isang serbisyo para sa pag-plot ng mga function graph online, ang lahat ng karapatan ay pagmamay-ari ng kumpanya Desmos. Gamitin ang kaliwang column upang magpasok ng mga function. Maaari kang magpasok nang manu-mano o gamit ang virtual na keyboard sa ibaba ng window. Upang palakihin ang window ng chart, maaari mong itago ang parehong kaliwang column at ang virtual na keyboard.

Mga benepisyo ng online charting

• Visual na pagpapakita ng mga ipinakilalang function
• Pagbuo ng napakakumplikadong mga graph
• Pag-plot ng mga implicitly na tinukoy na graph (hal. ellipse x^2/9+y^2/16=1)
• Ang kakayahang mag-save ng mga chart at makakuha ng link sa kanila, na magiging available sa lahat sa Internet
• Kontrol ng sukat, kulay ng linya
• Ang kakayahang mag-plot ng mga graph ayon sa mga puntos, ang paggamit ng mga constants
• Pagbuo ng ilang mga graph ng mga function sa parehong oras
• Pag-plot sa mga polar coordinates (gamitin ang r at θ(\theta))

Sa amin ay madaling bumuo ng mga graph ng iba't ibang kumplikado online. Ang pagtatayo ay tapos na kaagad. Ang serbisyo ay hinihiling para sa paghahanap ng mga intersection point ng mga function, para sa pagpapakita ng mga graph para sa kanilang karagdagang paglipat sa isang dokumento ng Word bilang mga ilustrasyon para sa paglutas ng mga problema, para sa pagsusuri ng mga katangian ng pag-uugali ng mga function graph. Ang pinakamahusay na browser para sa pagtatrabaho sa mga chart sa pahinang ito ng site ay ang Google Chrome. Kapag gumagamit ng iba pang mga browser, ang tamang operasyon ay hindi ginagarantiyahan.

Kapag naintindihan mo na talaga kung ano ang function (maaaring kailanganin mong basahin ang aralin nang higit sa isang beses), magagawa mong lutasin ang mga problema sa mga function nang may higit na kumpiyansa.

Sa araling ito, susuriin natin kung paano lutasin ang mga pangunahing uri ng mga problema sa function at mga function graph.

Paano makuha ang halaga ng isang function

Isaalang-alang natin ang gawain. Ang function ay ibinibigay ng formula " y \u003d 2x - 1"

1. Kalkulahin ang " y"Kailan" x \u003d 15"
2. Hanapin ang value na " x", Kung saan ang value na " y "ay katumbas ng" −19 ".

Upang makalkula ang " y"With" x \u003d 15"Ito ay sapat na upang palitan ang kinakailangang numerical value sa function sa halip na" x".

Ang entry ng solusyon ay ganito:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Upang mahanap ang " x"Ayon sa kilalang" y", Kinakailangang palitan ang isang numerical na halaga sa halip na" y "sa formula ng function.

Iyon ay, ngayon, sa kabaligtaran, upang maghanap para sa " x"Papalitan namin sa function" y \u003d 2x - 1 "Sa halip na" y ", ang numero" −19".

−19 = 2x − 1

Nakakuha kami ng isang linear equation na may hindi kilalang "x", na nalutas ayon sa mga patakaran para sa paglutas ng mga linear equation.

Tandaan!

Huwag kalimutan ang tungkol sa panuntunan sa paglipat sa mga equation.

Kapag naglilipat mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan (at vice versa), ang titik o numero ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Tulad ng paglutas ng isang linear equation, upang mahanap ang hindi alam, ngayon kailangan nating dumami magkabilang kaliwa at kanang bahagi sa "−1" para baguhin ang sign.

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Ngayon, hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi ng "2" upang mahanap ang "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Paano suriin kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa isang function

Isaalang-alang natin ang gawain. Ang function ay ibinibigay ng formula na "f(x) = 2 − 5x".

Totoo ba ang pagkakapantay-pantay na "f(−2) = −18"?

Upang masuri kung totoo ang pagkakapantay-pantay, kailangan mong palitan ang numerical value na “x = −2" sa function na " f (x) \u003d 2 - 5x"At ihambing sa kung ano ang nangyayari sa mga kalkulasyon.

Mahalaga!

Kapag pinalitan mo ang isang negatibong numero para sa "x", tiyaking ilakip ito sa mga bracket.

Hindi maayos

Tama

Sa tulong ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang "f(−2) = 12".

Nangangahulugan ito na ang "f(−2) = −18" para sa function na "f(x) = 2 − 5x" ay hindi wastong pagkakapantay-pantay.

Paano suriin kung ang isang punto ay kabilang sa isang graph ng isang function

Isaalang-alang ang function na " y \u003d x 2 −5x + 6"

Kinakailangang malaman kung ang puntong may mga coordinate (1; 2) ay kabilang sa graph ng function na ito.

Para sa gawaing ito, hindi na kailangang mag-plot ng isang naibigay na function.

Tandaan!

Upang matukoy kung ang isang punto ay kabilang sa isang function, sapat na upang palitan ang mga coordinate nito sa function (coordinate kasama ang axis "Ox" sa halip na "x" at ang coordinate kasama ang axis "Oy" sa halip na "y").

Kung maaari tunay na pagkakapantay-pantay, kaya ang punto ay kabilang sa function.

Balik tayo sa ating gawain. Palitan sa function na "y \u003d x 2 - 5x + 6" ang mga coordinate ng punto (1; 2).

Sa halip na " x"Pinapalitan namin" 1". Sa halip na " y"Kapalit" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (tama)

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang punto na may mga coordinate (1; 2) ay kabilang sa ibinigay na function.

Ngayon suriin natin ang punto gamit ang mga coordinate (0; 1) . Nabibilang ba siya
mga function na "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Sa halip na "x", palitan natin ang "0". Sa halip na " y"Kapalit" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (mali)

Sa kasong ito, hindi namin nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang punto na may mga coordinate (0; 1) ay hindi kabilang sa function na " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Paano makakuha ng mga coordinate ng function point

Mula sa anumang function graph, maaari mong kunin ang mga coordinate ng isang punto. Pagkatapos ay kailangan mong tiyakin na kapag pinapalitan ang mga coordinate sa formula ng function, ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Isaalang-alang ang function na "y(x) = −2x + 1". Nagawa na natin ang iskedyul nito sa nakaraang aralin.

Hanapin natin sa graph ng function na " y (x) \u003d -2x + 1", na katumbas ng" y"Para sa x \u003d 2.

Upang gawin ito, mula sa halagang " 2"Sa axis" Ox", Gumuhit ng patayo sa graph ng function. Mula sa punto ng intersection ng patayo at ang graph ng function, gumuhit ng isa pang patayo sa axis na "Oy".

Ang resultang halaga " −3"Sa axis" Oy"At ang magiging nais na halaga" y».

Siguraduhin natin na nakuha natin nang tama ang mga coordinate ng punto para sa x = 2
sa function na "y(x) = −2x + 1".

Upang gawin ito, pinapalitan namin ang x \u003d 2 sa formula ng function na "y (x) \u003d -2x + 1". Kung iguguhit natin nang tama ang perpendikular, dapat din tayong magtapos sa y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Kapag kinakalkula, nakuha din namin ang y = −3.

Nangangahulugan ito na tama naming natanggap ang mga coordinate mula sa graph ng function.

Mahalaga!

Tiyaking suriin ang lahat ng mga coordinate ng punto mula sa function graph sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng "x" sa function.

Kapag pinapalitan ang numerical value na "x"Sa function, ang resulta ay dapat na parehong value" y", na nakuha mo sa chart.

Kapag kumukuha ng mga coordinate ng mga puntos mula sa graph ng function, malaki ang posibilidad na magkamali ka, dahil Ang pagguhit ng isang patayo sa mga palakol ay isinasagawa "sa pamamagitan ng mata".

Ang pagpapalit lamang ng mga halaga sa isang formula ng function ay nagbibigay ng tumpak na mga resulta.

Kaalaman basic elementary functions, ang kanilang mga katangian at mga graph hindi gaanong mahalaga kaysa sa pag-alam sa talahanayan ng pagpaparami. Para silang isang pundasyon, lahat ay nakabatay sa kanila, lahat ay binuo mula sa kanila, at lahat ay bumaba sa kanila.

Sa artikulong ito, inilista namin ang lahat ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ibigay ang kanilang mga graph at ibigay ang mga ito nang walang derivation at mga patunay. mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ayon sa scheme:

• pag-uugali ng function sa mga hangganan ng domain ng kahulugan, vertical asymptotes (kung kinakailangan, tingnan ang pag-uuri ng artikulo ng mga breakpoint ng isang function);
• pantay at kakaiba;
• convexity (convexity pataas) at concavity (convexity pababa) na mga pagitan, inflection point (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo function convexity, convexity direksyon, inflection point, convexity at inflection kundisyon);
• pahilig at pahalang na mga asymptotes;
• isahan na mga punto ng pag-andar;
• mga espesyal na katangian ng ilang mga pag-andar (halimbawa, ang pinakamaliit na positibong panahon para sa mga function na trigonometriko).

Kung interesado ka sa o, maaari kang pumunta sa mga seksyong ito ng teorya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay: pare-pareho ang function (constant), ugat ng nth degree, power function, exponential, logarithmic function, trigonometric at inverse trigonometric function.

Pag-navigate sa pahina.

Permanenteng pag-andar.

Ang isang pare-parehong function ay ibinibigay sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng formula , kung saan ang C ay ilang tunay na numero. Ang pare-parehong pag-andar ay nagtatalaga sa bawat tunay na halaga ng independiyenteng variable x ang parehong halaga ng umaasa na variable y - ang halaga С. Ang pare-parehong pag-andar ay tinatawag ding pare-pareho.

Ang graph ng isang constant function ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (0,C) . Halimbawa, ipakita natin ang mga graph ng mga pare-parehong function y=5 , y=-2 at , na sa figure sa ibaba ay tumutugma sa itim, pula at asul na mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng isang pare-parehong pag-andar.

• Domain ng kahulugan: ang buong hanay ng mga tunay na numero.
• Ang pare-parehong pag-andar ay pantay.
• Saklaw ng mga halaga: set na binubuo ng isang solong numero C .
• Ang isang pare-parehong pag-andar ay hindi tumataas at hindi bumababa (kaya naman ito ay pare-pareho).
• Walang saysay na pag-usapan ang convexity at concavity ng pare-pareho.
• Walang asymptote.
• Ang function ay dumadaan sa punto (0,C) ng coordinate plane.

Ang ugat ng nth degree.

Isaalang-alang ang basic elementary function, na ibinibigay ng formula , kung saan ang n ay isang natural na numero na mas malaki sa isa.

Ang ugat ng nth degree, n ay isang even na numero.

Magsimula tayo sa nth root function para sa kahit na mga halaga ng root exponent n .

Halimbawa, nagbibigay kami ng isang larawan na may mga larawan ng mga graph ng mga function at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga linya.

Ang mga graph ng mga pag-andar ng ugat ng isang pantay na antas ay may katulad na anyo para sa iba pang mga halaga ng tagapagpahiwatig.

Mga katangian ng ugat ng nth degree para sa even n .

Ang ugat ng nth degree, n ay isang kakaibang numero.

Ang root function ng nth degree na may kakaibang exponent ng root n ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Halimbawa, nagpapakita kami ng mga graph ng mga function at , ang itim, pula, at asul na mga kurba ay tumutugma sa kanila.

Para sa iba pang mga kakaibang halaga ng root exponent, ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng ugat ng nth degree para sa odd n .

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang power function ay ibinibigay ng isang formula ng form .

Isaalang-alang ang uri ng mga graph ng isang power function at ang mga katangian ng isang power function depende sa halaga ng exponent.

Magsimula tayo sa isang power function na may integer exponent a . Sa kasong ito, ang anyo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan at ang mga katangian ng mga function ay nakasalalay sa kahit o kakaibang exponent, gayundin sa sign nito. Samakatuwid, isinasaalang-alang muna namin ang mga function ng kapangyarihan para sa mga kakaibang positibong halaga ng exponent a , pagkatapos ay para sa kahit na positibo, pagkatapos ay para sa mga kakaibang negatibong exponent, at sa wakas, para sa kahit na negatibong a .

Ang mga katangian ng power function na may fractional at irrational exponent (pati na rin ang uri ng mga graph ng naturang power function) ay nakadepende sa halaga ng exponent a. Isasaalang-alang natin ang mga ito, una, kapag ang a ay mula sa zero hanggang isa, pangalawa, kapag ang a ay mas malaki kaysa sa isa, pangatlo, kapag ang a ay mula sa minus one hanggang zero, at pang-apat, kapag ang a ay mas mababa sa minus one.

Sa pagtatapos ng subsection na ito, para sa kapakanan ng pagkakumpleto, inilalarawan namin ang isang power function na may zero exponent.

Power function na may kakaibang positibong exponent.

Isaalang-alang ang isang power function na may kakaibang positibong exponent, iyon ay, na may a=1,3,5,… .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa a=1 mayroon kami linear function y=x .

Mga katangian ng isang power function na may kakaibang positibong exponent.

Power function na may kahit na positibong exponent.

Isaalang-alang ang isang power function na may pantay na positibong exponent, iyon ay, para sa a=2,4,6,… .

Bilang halimbawa, kumuha tayo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya. Para sa a=2 mayroon tayong quadratic function na ang graph ay parisukat na parabola.

Mga katangian ng isang power function na may pantay na positibong exponent.

Power function na may kakaibang negatibong exponent.

Tingnan ang mga graph ng exponential function para sa mga kakaibang negatibong halaga ng exponent, iyon ay, para sa isang \u003d -1, -3, -5, ....

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function bilang mga halimbawa - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa isang = -1 mayroon kami baligtad na proporsyonalidad, na ang graph ay hyperbola.

Mga katangian ng power function na may kakaibang negatibong exponent.

Power function na may kahit na negatibong exponent.

Lumipat tayo sa power function sa a=-2,-4,-6,….

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya.

Mga katangian ng isang power function na may kahit na negatibong exponent.

Isang power function na may rational o irrational exponent na ang value ay mas malaki sa zero at mas mababa sa isa.

Tandaan! Kung ang a ay isang positibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay itinuturing na ang pagitan ay ang domain ng power function. Kasabay nito, itinakda na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at ang simula ng pagsusuri AY HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa ganoong pananaw, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng power function na may fractional positive exponents bilang set . Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na kunin ang pananaw ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Isaalang-alang ang isang power function na may rational o irrational exponent a , at .

Nagpapakita kami ng mga graph ng power function para sa a=11/12 (itim na linya), a=5/7 (pulang linya), (asul na linya), a=2/5 (berdeng linya).

Isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent na mas malaki sa isa.

Isaalang-alang ang isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent a , at .

Ipakita natin ang mga graph ng mga power function na ibinigay ng mga formula (itim, pula, asul at berdeng mga linya ayon sa pagkakabanggit).

>

Para sa iba pang mga halaga ng exponent a , ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng power function para sa .

Isang power function na may totoong exponent na mas malaki sa minus one at mas mababa sa zero.

Tandaan! Kung ang a ay isang negatibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon isinasaalang-alang ng ilang may-akda ang pagitan . Kasabay nito, itinakda na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at ang simula ng pagsusuri AY HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa ganoong pananaw, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng power function na may fractional fractional negative exponents bilang set, ayon sa pagkakabanggit. Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na kunin ang pananaw ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Dumaan kami sa power function , kung saan .

Upang magkaroon ng magandang ideya sa uri ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan para sa , nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga graph ng mga function (itim, pula, asul, at berdeng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit).

Mga katangian ng isang power function na may exponent a , .

Isang power function na may non-integer real exponent na mas mababa sa minus one.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga graph ng power functions para sa , ang mga ito ay inilalarawan sa itim, pula, asul at berdeng mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng power function na may non-integer na negatibong exponent na mas mababa sa minus one.

Kapag ang a=0 at mayroon tayong function - ito ay isang tuwid na linya kung saan ang punto (0; 1) ay hindi kasama (ang expression na 0 0 ay napagkasunduan na huwag ilakip ang anumang kahalagahan).

Exponential function.

Ang isa sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay ang pagpapaandar ng exponential.

Ang graph ng exponential function, kung saan at may ibang anyo depende sa halaga ng base a. Alamin natin ito.

Una, isaalang-alang ang kaso kapag ang base ng exponential function ay tumatagal ng isang halaga mula sa zero hanggang isa, iyon ay, .

Halimbawa, ipinakita namin ang mga graph ng exponential function para sa a = 1/2 - ang asul na linya, a = 5/6 - ang pulang linya. Ang mga graph ng exponential function ay may katulad na hitsura para sa iba pang mga halaga ng base mula sa pagitan.

Mga katangian ng isang exponential function na may base na mas mababa sa isa.

Bumaling tayo sa kaso kapag ang base ng exponential function ay mas malaki kaysa sa isa, iyon ay, .

Bilang isang paglalarawan, nagpapakita kami ng mga graph ng exponential function - ang asul na linya at - ang pulang linya. Para sa iba pang mga halaga ng base, higit sa isa, ang mga graph ng exponential function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng exponential function na may base na mas malaki sa isa.

Logarithmic function.

Ang susunod na basic elementary function ay ang logarithmic function , kung saan , . Ang logarithmic function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento, iyon ay, para sa .

Ang graph ng logarithmic function ay nagkakaroon ng ibang anyo depende sa halaga ng base a.

Magsimula tayo sa kaso kung kailan .

Halimbawa, ipinakita namin ang mga graph ng logarithmic function para sa a = 1/2 - ang asul na linya, a = 5/6 - ang pulang linya. Para sa iba pang mga halaga ng base, hindi hihigit sa isa, ang mga graph ng logarithmic function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng isang logarithmic function na may base na mas mababa sa isa.

Lumipat tayo sa kaso kapag ang base ng logarithmic function ay mas malaki kaysa sa isa ().

Ipakita natin ang mga graph ng logarithmic function - asul na linya, - pulang linya. Para sa iba pang mga halaga ng base, higit sa isa, ang mga graph ng logarithmic function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng isang logarithmic function na may base na mas malaki sa isa.

Trigonometric function, ang kanilang mga katangian at mga graph.

Ang lahat ng trigonometriko function (sine, cosine, tangent at cotangent) ay mga pangunahing elementarya function. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang kanilang mga graph at ilista ang kanilang mga katangian.

Ang mga function ng trigonometric ay may konsepto periodicity(pag-ulit ng mga halaga ng function para sa iba't ibang mga halaga ng argumento na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng halaga ng panahon , kung saan ang T ay ang panahon), samakatuwid, ang isang item ay idinagdag sa listahan ng mga katangian ng trigonometric function "pinakamaliit na positibong panahon". Gayundin, para sa bawat trigonometric function, ipahiwatig namin ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang kaukulang function.

Ngayon ay haharapin natin ang lahat ng trigonometric function sa pagkakasunud-sunod.

Ang function ng sine y = sin(x) .

Gumuhit tayo ng graph ng sine function, ito ay tinatawag na "sinusoid".

Mga katangian ng sine function y = sinx .

Cosine function y = cos(x) .

Ang graph ng cosine function (tinatawag itong "cosine") ganito ang hitsura:

Cosine function properties y = cosx .

Tangent function y = tg(x) .

Ang graph ng tangent function (tinatawag itong "tangentoid") ay ganito ang hitsura:

Function properties padaplis y = tgx .

Cotangent function y = ctg(x) .

Gumuhit tayo ng graph ng cotangent function (tinatawag itong "cotangentoid"):

Cotangent function properties y = ctgx .

Inverse trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph.

Ang inverse trigonometriko function (arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent) ay ang mga pangunahing elementarya function. Kadalasan, dahil sa prefix na "arc", ang mga inverse trigonometric function ay tinatawag na arc function. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang kanilang mga graph at ilista ang kanilang mga katangian.

Arcsine function y = arcsin(x) .

I-plot natin ang arcsine function:

Mga katangian ng function arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliograpiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra at ang Simula ng Pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Vygodsky M.Ya. Handbook ng elementarya na matematika.
• Novoselov S.I. Algebra at elementarya function.
• Tumanov S.I. Elementarya na Algebra. Isang gabay para sa self-education.

Tingnan natin kung paano galugarin ang isang function gamit ang isang graph. Lumalabas na ang pagtingin sa graph, maaari mong malaman ang lahat ng bagay na interesado sa amin, lalo na:

• saklaw ng function
• saklaw ng pag-andar
• function na mga zero
• mga panahon ng pagtaas at pagbaba
• mataas at mababang puntos
• ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.

Linawin natin ang terminolohiya:

Abscissa ay ang pahalang na coordinate ng punto.
Mag-orden- patayong coordinate.
abscissa- ang pahalang na axis, kadalasang tinatawag na axis.
Y-axis- vertical axis, o axis.

Pangangatwiran ay isang malayang variable kung saan nakasalalay ang mga halaga ng function. Kadalasang ipinahiwatig.
Sa madaling salita, tayo mismo ang pipili , palitan sa formula ng function at makakuha ng .

Domain function - ang hanay ng mga (at ang mga lamang) na halaga ng argumento kung saan umiiral ang function.
Tinutukoy: o .

Sa aming figure, ang domain ng function ay isang segment. Sa segment na ito iginuhit ang graph ng function. Dito lang umiiral ang function na ito.

Saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng mga halaga na kinukuha ng variable. Sa aming figure, ito ay isang segment - mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas na halaga.

Mga function na zero- mga punto kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero, ibig sabihin. Sa aming figure, ito ang mga punto at .

Ang mga halaga ng pag-andar ay positibo saan . Sa aming figure, ito ang mga pagitan at .
Ang mga halaga ng pag-andar ay negatibo saan . Mayroon kaming ganitong interval (o interval) mula hanggang.

Ang pinakamahalagang konsepto - pagtaas at pagbaba ng mga function sa ilang set. Bilang isang set, maaari kang kumuha ng segment, interval, unyon ng interval, o buong number line.

Function nadadagdagan

Sa madaling salita, mas marami , mas marami , ibig sabihin, ang graph ay papunta sa kanan at pataas.

Function bumababa sa set kung para sa alinman at kabilang sa set ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay .

Para sa isang bumababa na function, ang isang mas malaking halaga ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga. Pakanan at pababa ang graph.

Sa aming figure, ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan at .

Tukuyin natin kung ano ang maximum at minimum na puntos ng function.

Pinakamataas na punto- ito ay isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Sa madaling salita, ang pinakamataas na punto ay tulad ng isang punto, ang halaga ng function kung saan higit pa kaysa sa mga kapitbahay. Ito ay isang lokal na "burol" sa tsart.

Sa aming figure - ang pinakamataas na punto.

Mababang punto- isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga punto na sapat na malapit dito.
Iyon ay, ang pinakamababang punto ay tulad na ang halaga ng pag-andar sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kalapit. Sa graph, ito ay isang lokal na "butas".

Sa aming figure - ang pinakamababang punto.

Ang punto ay ang hangganan. Ito ay hindi isang panloob na punto ng domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi akma sa kahulugan ng isang pinakamataas na punto. Kung tutuusin, wala siyang kapitbahay sa kaliwa. Sa parehong paraan, maaaring walang pinakamababang punto sa aming tsart.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay sama-samang tinatawag matinding mga punto ng pag-andar. Sa aming kaso, ito ay at .

Ngunit paano kung kailangan mong hanapin, halimbawa, minimum na function sa hiwa? Sa kasong ito, ang sagot ay: kasi minimum na function ay ang halaga nito sa pinakamababang punto.

Katulad nito, ang maximum ng aming function ay . Ito ay naabot sa punto.

Masasabi nating ang extrema ng function ay katumbas ng at .

Minsan sa mga gawain kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang partikular na segment. Ang mga ito ay hindi kinakailangang nag-tutugma sa mga sukdulan.

Sa kaso natin pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan ay katumbas at tumutugma sa pinakamababa ng function. Ngunit ang pinakamalaking halaga nito sa segment na ito ay katumbas ng . Naabot ito sa kaliwang dulo ng segment.

Sa anumang kaso, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tuluy-tuloy na function sa isang segment ay nakakamit alinman sa mga extremum point o sa mga dulo ng segment.