Isaalang-alang ang isang quadratic equation.

Tukuyin natin ang mga ugat nito.

Walang tunay na numero na ang parisukat ay -1. Ngunit kung ang formula ay tumutukoy sa operator i bilang isang haka-haka na yunit, kung gayon ang solusyon ng equation na ito ay maaaring isulat sa anyo . Kung saan at - kumplikadong mga numero, kung saan -1 ang tunay na bahagi, 2 o sa pangalawang kaso -2 ay ang haka-haka na bahagi. Ang haka-haka na bahagi ay isa ring tunay (tunay) na numero. Ang haka-haka na bahagi na pinarami ng haka-haka na yunit ay nangangahulugan na haka-haka na numero.

Sa pangkalahatan, ang isang kumplikadong numero ay may anyo

z = x + iy ,

saan x, y ay tunay na mga numero, ay isang haka-haka na yunit. Sa isang bilang ng mga inilapat na agham, halimbawa, sa electrical engineering, electronics, signal theory, ang haka-haka na yunit ay tinutukoy ng j. Mga totoong numero x = Re(z) at y=ako(z) tinawag tunay at haka-haka na mga bahagi numero z. Ang ekspresyon ay tinatawag algebraic form notasyon ng isang kumplikadong numero.

Ang anumang tunay na numero ay isang espesyal na kaso ng isang kumplikadong numero sa form . Ang isang haka-haka na numero ay isa ring espesyal na kaso ng isang kumplikadong numero. .

Kahulugan ng hanay ng mga kumplikadong numero C

Ang expression na ito ay nagbabasa ng mga sumusunod: set MULA SA, na binubuo ng mga elemento tulad na x at y nabibilang sa hanay ng mga tunay na numero R at ang haka-haka na yunit. Tandaan na atbp.

Dalawang kumplikadong numero at ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay, i.e. at .

Ang mga kumplikadong numero at function ay malawakang ginagamit sa agham at teknolohiya, lalo na, sa mechanics, pagsusuri at pagkalkula ng mga AC circuit, analog electronics, signal theory at processing, automatic control theory, at iba pang inilapat na agham.

1. Aritmetika ng mga kumplikadong numero

Ang pagdaragdag ng dalawang kumplikadong numero ay binubuo sa pagdaragdag ng kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi, i.e.

Alinsunod dito, ang pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero

Kumplikadong numero tinawag kumplikado conjugate numero z=x +i.y.

Ang mga kumplikadong conjugate number na z at z * ay naiiba sa mga palatandaan ng haka-haka na bahagi. Obvious naman yun

.

Ang anumang pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga kumplikadong expression ay mananatiling wasto kung sa pagkakapantay-pantay na ito sa lahat ng dako i pinalitan ng - i, ibig sabihin. pumunta sa pagkakapantay-pantay ng mga conjugate na numero. Numero i at – i ay algebraically hindi makilala dahil .

Ang produkto (multiplikasyon) ng dalawang kumplikadong numero ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:

Dibisyon ng dalawang kumplikadong numero:

Halimbawa:

1. Kumplikadong eroplano

Ang isang kumplikadong numero ay maaaring graphic na kinakatawan sa isang hugis-parihaba na coordinate system. Magtakda tayo ng isang rectangular coordinate system sa eroplano (x, y).

sa ehe baka aayusin natin ang mga tunay na bahagi x, ito ay tinatawag na tunay (tunay) na aksis, sa axis Oy– mga haka-haka na bahagi y kumplikadong mga numero. Dala niya ang pangalan imaginary axis. Bukod dito, ang bawat kumplikadong numero ay tumutugma sa isang tiyak na punto ng eroplano, at ang naturang eroplano ay tinatawag kumplikadong eroplano. punto PERO ang kumplikadong eroplano ay tumutugma sa vector OA.

Numero x tinawag abscissa kumplikadong numero, numero y – ordinate.

Ang isang pares ng mga kumplikadong conjugate na numero ay ipinapakita bilang mga tuldok na matatagpuan simetriko tungkol sa totoong axis.

Kung nasa plane set polar coordinate system, pagkatapos ay bawat kumplikadong numero z tinutukoy ng polar coordinates. Kung saan modyul numero ay ang polar radius ng punto, at ang anggulo - ang polar na anggulo o kumplikadong argumento ng numero nito z.

Complex number modulus palaging hindi negatibo. Ang argumento ng isang kumplikadong numero ay hindi natatanging tinukoy. Ang pangunahing halaga ng argumento ay dapat matugunan ang kundisyon . Ang bawat punto ng kumplikadong eroplano ay tumutugma din sa kabuuang halaga ng argumento. Ang mga argumento na nagkakaiba ng maramihang 2π ay itinuturing na pantay. Hindi tinukoy ang argumentong numero na zero.

Ang pangunahing halaga ng argumento ay tinutukoy ng mga expression:

Obvious naman yun

Kung saan
, .

Kumplikadong representasyon ng numero z bilang

tinawag trigonometrikong anyo kumplikadong numero.

Halimbawa.

1. Ang exponential form ng mga kumplikadong numero

Pagkabulok sa Serye ng Maclaurin para sa mga tunay na function ng argumento mukhang:

Para sa exponential function ng isang kumplikadong argumento z magkatulad ang agnas

.

Ang pagpapalawak ng serye ng Maclaurin para sa exponential function ng haka-haka na argumento ay maaaring kinakatawan bilang

Ang nagresultang pagkakakilanlan ay tinatawag Formula ng Euler.

Para sa isang negatibong argumento, mukhang

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga expression na ito, maaari nating tukuyin ang mga sumusunod na expression para sa sine at cosine

.

Gamit ang Euler formula, mula sa trigonometriko na anyo ng representasyon ng mga kumplikadong numero

magagamit demonstrative(exponential, polar) form ng isang complex number, i.e. representasyon nito sa anyo

,

saan - polar coordinate ng isang punto na may parihabang coordinate ( x,y).

Ang conjugate ng complex number ay isinusulat sa exponential form gaya ng mga sumusunod.

Para sa exponential form, madaling tukuyin ang mga sumusunod na formula para sa pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero

Iyon ay, sa exponential form, ang produkto at paghahati ng mga kumplikadong numero ay mas madali kaysa sa algebraic form. Kapag nagpaparami, ang mga module ng mga kadahilanan ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag. Nalalapat ang panuntunang ito sa anumang bilang ng mga salik. Sa partikular, kapag nagpaparami ng isang kumplikadong numero z sa i vector z umiikot ng counterclockwise ng 90

Sa dibisyon, ang numerator modulus ay hinati sa denominator modulus, at ang denominator argument ay ibinabawas mula sa numerator argument.

Gamit ang exponential form ng kumplikadong mga numero, makakakuha ng mga expression para sa mga kilalang trigonometriko na pagkakakilanlan. Halimbawa, mula sa pagkakakilanlan

gamit ang Euler formula, maaari tayong sumulat

Ang equating ang tunay at haka-haka na mga bahagi sa expression na ito, nakakakuha tayo ng mga expression para sa cosine at sine ng kabuuan ng mga anggulo

1. Mga kapangyarihan, ugat at logarithms ng mga kumplikadong numero

Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang natural na kapangyarihan n ginawa ayon sa formula

Halimbawa. Compute .

Isipin ang isang numero sa trigonometrikong anyo

’

Ang paglalapat ng exponentiation formula, nakukuha namin

Paglalagay ng halaga sa expression r= 1, nakukuha natin ang tinatawag na Ang formula ni De Moivre, kung saan matutukoy mo ang mga expression para sa mga sine at cosine ng maraming anggulo.

ugat n ika kapangyarihan ng isang kumplikadong numero z Mayroon itong n iba't ibang mga halaga na tinutukoy ng expression

Halimbawa. Hanapin natin .

Upang gawin ito, ipinapahayag namin ang kumplikadong numero () sa trigonometric form

.

Ayon sa formula para sa pagkalkula ng ugat ng isang kumplikadong numero, nakukuha namin

Logarithm ng isang kumplikadong numero z ay isang numero w, para sa . Ang natural na logarithm ng isang kumplikadong numero ay may walang katapusang bilang ng mga halaga at kinakalkula ng formula

Binubuo ng tunay (cosine) at haka-haka (sine) na mga bahagi. Ang ganitong stress ay maaaring kinakatawan bilang isang vector ng haba U m, paunang yugto (anggulo), umiikot na may angular na bilis ω .

Bukod dito, kung ang mga kumplikadong pag-andar ay idinagdag, kung gayon ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay idinagdag. Kung ang isang kumplikadong pag-andar ay pinarami ng isang pare-pareho o isang tunay na pag-andar, kung gayon ang tunay at haka-haka na mga bahagi nito ay pinarami ng parehong kadahilanan. Ang differentiation/integration ng naturang kumplikadong function ay nababawasan sa differentiation/integration ng tunay at haka-haka na mga bahagi.

Halimbawa, ang pagkakaiba-iba ng kumplikadong pagpapahayag ng stress

ay paramihin ito ng Ang iω ay ang tunay na bahagi ng function na f(z), at ay ang haka-haka na bahagi ng function. Mga halimbawa: .

Ibig sabihin z ay kinakatawan ng isang punto sa kumplikadong z plane, at ang katumbas na halaga w- isang punto sa kumplikadong eroplano w. Kapag ipinakita w = f(z) linya ng eroplano z dumaan sa mga linya ng eroplano w, mga figure ng isang eroplano sa mga figure ng isa pa, ngunit ang mga hugis ng mga linya o figure ay maaaring magbago nang malaki.