Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na numero na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama .

Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b.

karaniwang maramihan ilang mga numero ang tinatawag na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng jcommon multiples, palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag hindi bababa sacommon multiple (LCM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero, na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero , kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m at n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m at n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m,n tumutugma sa hanay ng mga multiple para sa LCM( m,n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. Pati na rin ang:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang kaugnayan nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k ay iba't ibang prime number, at d 1 ,...,d k at e 1 ,...,ek ay mga di-negatibong integer (maaari silang maging zero kung ang kaukulang prime ay wala sa decomposition).

Pagkatapos LCM ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang pagpapalawak ng LCM ay naglalaman ng lahat ng pangunahing salik na kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak ng numero a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng salik na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero ay maaaring bawasan sa ilang sunud-sunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak sa mga kadahilanan ng nais na produkto (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi nangyayari sa unang numero o nasa loob nito isang mas maliit na bilang ng mga beses;

- ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang mga pangunahing salik ng numerong 28 (2, 2, 7) ay dinagdagan ng salik na 3 (bilang 21), ang resultang produkto (84) ang magiging pinakamaliit na bilang na mahahati ng 21 at 28.

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay dinagdagan ng isang kadahilanan na 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay prime, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

tuntunin. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.

Iba pang Pagpipilian:

Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Solusyon. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Isinulat namin ang pinakamalaking kapangyarihan ng lahat ng pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Paano mahanap ang LCM (least common multiple)

Ang karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang integer na pantay na nahahati ng parehong ibinigay na mga numero nang walang natitira.

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang pinakamaliit sa lahat ng integer na nahahati nang pantay-pantay at walang natitira sa parehong ibinigay na mga numero.

Paraan 1. Maaari mong mahanap ang LCM, sa turn, para sa bawat isa sa mga ibinigay na numero, na isinusulat sa pataas na pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga numero na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito sa 1, 2, 3, 4, at iba pa.

Halimbawa para sa mga numero 6 at 9.
I-multiply namin ang numero 6, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin: 6, 12, 18 , 24, 30
I-multiply namin ang numero 9, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 9, 18 , 27, 36, 45
Gaya ng nakikita mo, ang LCM para sa mga numero 6 at 9 ay magiging 18.

Ang pamamaraang ito ay maginhawa kapag ang parehong mga numero ay maliit at ito ay madaling i-multiply ang mga ito sa isang sequence ng integers. Gayunpaman, may mga kaso kung kailan kailangan mong hanapin ang LCM para sa dalawang-digit o tatlong-digit na mga numero, at gayundin kapag mayroong tatlo o higit pang mga unang numero.

Paraan 2. Mahahanap mo ang LCM sa pamamagitan ng pag-decompose ng mga orihinal na numero sa prime factor.
Pagkatapos ng agnas, kinakailangang i-cross out ang parehong mga numero mula sa nagresultang serye ng mga pangunahing kadahilanan. Ang natitirang mga numero ng unang numero ay magiging salik para sa pangalawa, at ang natitirang mga numero ng pangalawang numero ang magiging salik para sa una.

Halimbawa para sa numerong 75 at 60.
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60 ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa mga pangunahing kadahilanan:
75 = 3 * 5 * 5, at
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Tulad ng nakikita mo, ang mga kadahilanan 3 at 5 ay nangyayari sa parehong mga hilera. Sa isip ay "pinutol" natin sila.
Isulat natin ang natitirang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bawat isa sa mga bilang na ito. Kapag nabubulok ang numero 75, naiwan tayo sa numero 5, at kapag nabubulok ang numero 60, mayroon tayong 2 * 2
Kaya, upang matukoy ang LCM para sa mga numero 75 at 60, kailangan nating i-multiply ang natitirang mga numero mula sa pagpapalawak ng 75 (ito ay 5) sa pamamagitan ng 60, at ang mga numero na natitira mula sa pagpapalawak ng numero 60 (ito ay 2 * 2 ) multiply sa 75. Iyon ay, para sa kadalian ng pag-unawa , sinasabi namin na kami ay multiply "crosswise".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ganito namin nahanap ang LCM para sa mga numerong 60 at 75. Ito ang numerong 300.

Halimbawa. Tukuyin ang LCM para sa mga numero 12, 16, 24
Sa kasong ito, ang aming mga aksyon ay magiging mas kumplikado. Ngunit, una, tulad ng dati, nabubulok namin ang lahat ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Upang matukoy nang tama ang LCM, pipiliin namin ang pinakamaliit sa lahat ng mga numero (ito ang numero 12) at sunud-sunod na dumaan sa mga salik nito, na tinatawid ang mga ito kung kahit isa sa iba pang mga hanay ng mga numero ay may parehong multiplier na hindi pa natawid palabas.

Hakbang 1. Nakita namin na ang 2 * 2 ay nangyayari sa lahat ng serye ng mga numero. Tinatawid namin sila.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hakbang 2. Sa prime factor ng numero 12, ang numero 3 na lang ang natitira. Ngunit ito ay naroroon sa prime factor ng numero 24. Tinatanggal namin ang numero 3 mula sa magkabilang row, habang walang inaasahang aksyon para sa numero 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Tulad ng nakikita mo, kapag nabubulok ang numero 12, "pinutol" namin ang lahat ng mga numero. Kaya natapos ang paghahanap ng NOC. Ito ay nananatili lamang upang kalkulahin ang halaga nito.
Para sa numero 12, kinukuha namin ang natitirang mga kadahilanan mula sa numero 16 (ang pinakamalapit sa pataas na pagkakasunud-sunod)
12 * 2 * 2 = 48
Ito ang NOC

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang paghahanap ng LCM ay medyo mas mahirap, ngunit kapag kailangan mong hanapin ito para sa tatlo o higit pang mga numero, pinapayagan ka ng paraang ito na gawin ito nang mas mabilis. Gayunpaman, ang parehong paraan ng paghahanap ng LCM ay tama.

Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ang mga numerong ito.

Hanapin natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numerong 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numerong 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numero 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag coprime.

Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag coprime kung ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ay 1.

Greatest Common Divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.

Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang deuces).
Ang mga salik na 2 * 2 * 3 ay nananatili. Ang kanilang produkto ay 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.

Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Kung ang lahat ng ibinigay na numero ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang divisor binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 15, 45, 75, at 180 ay 15, dahil hinahati nito ang lahat ng iba pang numero: 45, 75, at 180.

Least common multiple (LCM)

Kahulugan. Least common multiple (LCM) Ang mga natural na numerong a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa mga simpleng kadahilanan: 75 \u003d 3 * 5 * 5, at 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (iyon ay, pinagsama natin ang mga salik).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Hanapin din ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero.

Upang hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 12, 15, 20, at 60 ay magiging 60, dahil nahahati ito sa lahat ng ibinigay na numero.

Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang isyu ng divisibility of numbers. Isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisors nito (nang walang numero mismo), tinawag nila ang perpektong numero. Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33,550,336. Alam lamang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33 550 336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hanggang ngayon, hindi alam ng mga siyentipiko kung may mga kakaibang perpektong numero, kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa mga prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, iyon ay, ang mga prime number ay parang mga brick kung saan ang natitirang natural na mga numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, mas bihira ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw: mayroon ba ang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Greek mathematician na si Euclid (ika-3 siglo BC), sa kanyang aklat na "Beginnings", na sa loob ng dalawang libong taon ay ang pangunahing aklat-aralin ng matematika, ay pinatunayan na mayroong walang hanggan na maraming prime number, iyon ay, sa likod ng bawat prime number mayroong isang even mas malaking prime number.
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician noong panahong iyon, si Eratosthenes, ang gumawa ng ganitong paraan. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay i-cross out ang unit, na hindi prime o composite na numero, pagkatapos ay i-cross out sa isa ang lahat ng numero pagkatapos ng 2 (mga numero na multiple ng 2, ibig sabihin, 4, 6, 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawa, ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 3 ay na-cross out (mga numero na multiple ng 3, i.e. 6, 9, 12, atbp.). sa huli, ang mga prime number lang ang nananatiling uncross out.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng maraming takdang-aralin sa matematika. Kabilang sa mga ito, madalas na may mga gawain na may sumusunod na pagbabalangkas: mayroong dalawang halaga. Paano mahahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga ibinigay na numero? Ito ay kinakailangan upang maisagawa ang mga naturang gawain, dahil ang nakuha na mga kasanayan ay ginagamit upang gumana sa mga fraction na may iba't ibang mga denominador. Sa artikulo, susuriin natin kung paano hanapin ang LCM at ang mga pangunahing konsepto.

Bago mahanap ang sagot sa tanong kung paano hanapin ang LCM, kailangan mong tukuyin ang terminong multiple. Kadalasan, ang mga salita ng konseptong ito ay ang mga sumusunod: ang multiple ng ilang value A ay isang natural na numero na mahahati sa A nang walang natitira. Kaya, para sa 4, 8, 12, 16, 20 at iba pa, hanggang sa ang kinakailangang limitasyon.

Sa kasong ito, ang bilang ng mga divisors para sa isang partikular na halaga ay maaaring limitado, at mayroong walang katapusang maraming multiple. Mayroon ding parehong halaga para sa mga likas na halaga. Ito ay isang tagapagpahiwatig na hinati nila nang walang natitira. Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa konsepto ng pinakamaliit na halaga para sa ilang mga tagapagpahiwatig, magpatuloy tayo sa kung paano ito mahahanap.

Paghahanap ng NOC

Ang hindi bababa sa maramihang ng dalawa o higit pang mga exponent ay ang pinakamaliit na natural na numero na ganap na nahahati ng lahat ng ibinigay na numero.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang ganoong halaga. Isaalang-alang natin ang mga sumusunod na pamamaraan:

1. Kung ang mga numero ay maliit, pagkatapos ay isulat sa linya ang lahat ng nahahati nito. Patuloy na gawin ito hanggang sa makakita ka ng isang bagay na karaniwan sa kanila. Sa talaan, ang mga ito ay tinutukoy ng titik K. Halimbawa, para sa 4 at 3, ang pinakamaliit na multiple ay 12.
2. Kung malaki ang mga ito o kailangan mong humanap ng multiple para sa 3 o higit pang mga value, dito dapat kang gumamit ng ibang technique na kinabibilangan ng mga decomposing na numero sa prime factor. Una, ilatag ang pinakamalaki sa ipinahiwatig, pagkatapos ang lahat ng iba pa. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling bilang ng mga multiplier. Bilang halimbawa, i-decompose natin ang 20 (2*2*5) at 50 (5*5*2). Para sa mas maliit sa kanila, salungguhitan ang mga salik at idagdag sa pinakamalaki. Ang magiging resulta ay 100, na siyang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numero sa itaas.
3. Kapag nakahanap ng 3 numero (16, 24 at 36) ang mga prinsipyo ay kapareho ng para sa iba pang dalawa. Palawakin natin ang bawat isa sa kanila: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Dalawang deuces lamang mula sa agnas ng numerong 16 ang hindi kasama sa pagpapalawak ng pinakamalaki. Idinaragdag namin ang mga ito at makakuha ng 144, na siyang pinakamaliit na resulta para sa naunang ipinahiwatig na mga numerical na halaga.

Ngayon alam na natin kung ano ang pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamaliit na halaga para sa dalawa, tatlo o higit pang mga halaga. Gayunpaman, mayroon ding mga pribadong pamamaraan, tumutulong sa paghahanap ng mga NOC, kung hindi makakatulong ang mga nauna.

Paano mahahanap ang GCD at NOC.

Mga Pribadong Paraan ng Paghahanap

Tulad ng anumang seksyon ng matematika, may mga espesyal na kaso ng paghahanap ng mga LCM na tumutulong sa mga partikular na sitwasyon:

• kung ang isa sa mga numero ay mahahati ng iba nang walang natitira, kung gayon ang pinakamababang multiple ng mga numerong ito ay katumbas nito (NOC 60 at 15 ay katumbas ng 15);
• Ang mga numero ng coprime ay walang karaniwang prime divisors. Ang kanilang pinakamaliit na halaga ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Kaya, para sa mga numero 7 at 8, ito ay magiging 56;
• ang parehong panuntunan ay gumagana para sa iba pang mga kaso, kabilang ang mga espesyal, na maaaring basahin tungkol sa espesyal na panitikan. Dapat din itong isama ang mga kaso ng agnas ng mga pinagsama-samang numero, na paksa ng hiwalay na mga artikulo at maging ang mga disertasyon ng Ph.D.

Ang mga espesyal na kaso ay hindi gaanong karaniwan kaysa sa karaniwang mga halimbawa. Ngunit salamat sa kanila, maaari mong matutunan kung paano gumawa ng mga fraction ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Ito ay totoo lalo na para sa mga fraction., kung saan may iba't ibang denominator.

Ilang halimbawa

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa, salamat sa kung saan maaari mong maunawaan ang prinsipyo ng paghahanap ng pinakamaliit na maramihang:

1. Natagpuan namin ang LCM (35; 40). Inilatag muna namin ang 35 = 5*7, pagkatapos ay 40 = 5*8. Nagdaragdag kami ng 8 sa pinakamaliit na numero at makuha ang NOC 280.
2. NOC (45; 54). Inilatag namin ang bawat isa sa kanila: 45 = 3*3*5 at 54 = 3*3*6. Idinaragdag namin ang numerong 6 hanggang 45. Nakukuha namin ang NOC na katumbas ng 270.
3. Well, ang huling halimbawa. Mayroong 5 at 4. Walang simpleng multiple para sa kanila, kaya ang hindi bababa sa karaniwang multiple sa kasong ito ay ang kanilang produkto, katumbas ng 20.

Salamat sa mga halimbawa, mauunawaan mo kung paano matatagpuan ang NOC, ano ang mga nuances at kung ano ang kahulugan ng naturang mga manipulasyon.

Ang paghahanap ng NOC ay mas madali kaysa sa tila sa una. Para dito, parehong isang simpleng pagpapalawak at pagpaparami ng mga simpleng halaga sa bawat isa ay ginagamit.. Ang kakayahang magtrabaho sa seksyong ito ng matematika ay nakakatulong sa karagdagang pag-aaral ng mga paksang pangmatematika, lalo na ang mga fraction ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado.

Huwag kalimutan na pana-panahong lutasin ang mga halimbawa na may iba't ibang mga pamamaraan, bubuo ito ng lohikal na kagamitan at nagbibigay-daan sa iyo na matandaan ang maraming mga termino. Alamin ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng naturang indicator at magagawa mong mahusay na magtrabaho kasama ang natitirang bahagi ng mga seksyon ng matematika. Maligayang pag-aaral ng matematika!

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan at matandaan kung paano hanapin ang least common multiple.

Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng heading na LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bigyang-pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na ugnayan sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.

Halimbawa.

Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang kaugnayan sa pagitan ng LCM at GCD na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Iyon ay, una kailangan nating hanapin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.

Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .

Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Sagot:

LCM(126, 70)=630 .

Halimbawa.

Ano ang LCM(68, 34) ?

Solusyon.

kasi Ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , pagkatapos ay gcd(68, 34)=34 . Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Sagot:

LCM(68, 34)=68 .

Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer a at b : kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.

Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, ang gcd(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng gcd gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor. ).

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga kadahilanang ito ay 3 at 5), kung gayon ang produkto ay kukuha ng anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 75 at 210, iyon ay, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Halimbawa.

Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.

Solusyon.

I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors:

Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .

Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sa ganitong paraan, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Sagot:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong a at b.

Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa agnas ng numerong 75, idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa agnas ng numerong 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75). , 210).

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Solusyon.

Una nating makuha ang agnas ng mga numerong 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Sila ay parang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa agnas ng numerong 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa agnas ng numerong 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.

Sagot:

LCM(84, 648)=4 536 .

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.

Teorama.

Hayaang ibigay ang mga positibong integer a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Una naming mahanap m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .

Ngayon nahanap namin m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.

Kaliwa para hanapin m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Upang gawin ito, makikita natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kung saan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.

Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.

Sagot:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na patakaran. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solusyon.

Una, nakukuha natin ang mga pagpapalawak ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prime factor) at 143=11 13 .

Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7 ) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng nawawalang mga kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .