Sa pagitan ng mga ugat at mga coefficient ng quadratic equation, bilang karagdagan sa mga root formula, may iba pang kapaki-pakinabang na mga relasyon na ibinibigay ng Ang teorama ni Vieta. Sa artikulong ito, magbibigay kami ng pormulasyon at patunay ng teorama ni Vieta para sa isang quadratic equation. Susunod, isaalang-alang namin ang isang theorem converse sa Vieta's theorem. Pagkatapos nito, susuriin namin ang mga solusyon sa mga pinaka-katangiang halimbawa. Sa wakas, isinulat namin ang mga formula ng Vieta na tumutukoy sa koneksyon sa pagitan ng mga tunay na ugat algebraic equation degree n at mga coefficient nito.
Pag-navigate sa pahina.
Vieta's theorem, formulation, proof
Mula sa mga formula ng mga ugat ng quadratic equation a x 2 +b x+c=0 ng form , kung saan D=b 2 −4 a c , ang mga relasyon x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ang mga resultang ito ay nakumpirma Ang teorama ni Vieta:
Teorama.
Kung ang Ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation a x 2 +b x+c=0, kung gayon ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficient b at a, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng ang mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficient c at a, iyon ay, .
Patunay.
Patunayan natin ang Vieta theorem ayon sa sumusunod na scheme: bubuuin natin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation gamit ang mga kilalang root formula, pagkatapos ay babaguhin natin ang mga resultang expression, at siguraduhin na sila ay katumbas ng −b /a at c/a, ayon sa pagkakabanggit.
Magsimula tayo sa kabuuan ng mga ugat, buuin ito. Ngayon dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, mayroon kami. Sa numerator ng resultang fraction , pagkatapos nito : . Sa wakas, pagkatapos ng 2, makuha namin. Ito ay nagpapatunay sa unang kaugnayan ng Vieta theorem para sa kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation. Lumipat tayo sa pangalawa.
Binubuo namin ang produkto ng mga ugat ng quadratic equation:. Ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga fraction, ang huling produkto ay maaaring isulat bilang. Ngayon pinarami namin ang bracket sa pamamagitan ng bracket sa numerator, ngunit mas mabilis na i-collapse ang produktong ito sa pamamagitan ng pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, Kaya . Pagkatapos, pag-alala, ginagawa namin ang susunod na paglipat. At dahil ang formula D=b 2 −4 a·c ay tumutugma sa discriminant ng quadratic equation, kung gayon ang b 2 −4·a·c ay maaaring palitan sa huling fraction sa halip na D, makuha natin . Pagkatapos buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino, dumating tayo sa fraction , at ang pagbabawas nito ng 4·a ay nagbibigay ng . Pinatutunayan nito ang pangalawang kaugnayan ng teorama ni Vieta para sa produkto ng mga ugat.
Kung aalisin natin ang mga paliwanag, ang patunay ng Vieta theorem ay magkakaroon ng isang maigsi na anyo:
,
.
Nananatili lamang na tandaan na kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang quadratic equation ay may isang ugat. Gayunpaman, kung ipagpalagay natin na ang equation sa kasong ito ay may dalawang magkatulad na ugat, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay mula sa Vieta theorem ay hawak din. Sa katunayan, para sa D=0 ang ugat ng quadratic equation ay , pagkatapos at , at dahil D=0 , iyon ay, b 2 −4·a·c=0 , kung saan b 2 =4·a·c , pagkatapos .
Sa pagsasagawa, ang theorem ng Vieta ay kadalasang ginagamit kaugnay ng pinababang quadratic equation (na may pinakamataas na coefficient na katumbas ng 1 ) ng anyong x 2 +p·x+q=0 . Minsan ito ay binabalangkas para sa mga quadratic na equation na ganito lang ang uri, na hindi nililimitahan ang generality, dahil ang anumang quadratic equation ay maaaring palitan ng isang katumbas na equation sa pamamagitan ng paghahati sa parehong mga bahagi nito sa isang non-zero number a. Narito ang kaukulang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta:
Teorama.
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + p x + q \u003d 0 ay katumbas ng koepisyent sa x, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay ang libreng termino, iyon ay, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Theorem inverse to Vieta's theorem
Ang pangalawang pagbabalangkas ng Vieta theorem, na ibinigay sa nakaraang talata, ay nagpapahiwatig na kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0, kung gayon ang mga relasyon x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Sa kabilang banda, mula sa mga nakasulat na relasyon x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, sumusunod na ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation x 2 +p x+q=0. Sa madaling salita, ang assertion converse sa Vieta's theorem ay totoo. Binubalangkas namin ito sa anyo ng isang teorama, at patunayan ito.
Teorama.
Kung ang mga numerong x 1 at x 2 ay tulad ng x 1 +x 2 =−p at x 1 x 2 =q, kung gayon ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0 .
Patunay.
Matapos palitan ang mga coefficients p at q sa equation x 2 +p x+q=0 ng kanilang expression sa pamamagitan ng x 1 at x 2, ito ay na-convert sa isang katumbas na equation.
Pinapalitan natin ang numerong x 1 sa halip na x sa resultang equation, mayroon tayong pagkakapantay-pantay x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, na para sa alinmang x 1 at x 2 ay ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0, dahil x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Samakatuwid, ang x 1 ay ang ugat ng equation x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, na nangangahulugan na ang x 1 ay ang ugat ng katumbas na equation x 2 +p x+q=0 .
Kung sa equation x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 palitan ang numerong x 2 sa halip na x, pagkatapos ay makukuha natin ang pagkakapantay-pantay x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ito ang tamang equation dahil x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Samakatuwid, ang x 2 ay ang ugat din ng equation x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, at samakatuwid ang mga equation x 2 +p x+q=0 .
Kinukumpleto nito ang patunay ng theorem converse sa Vieta's theorem.
Mga halimbawa ng paggamit ng teorama ni Vieta
Oras na para pag-usapan ang praktikal na aplikasyon ng theorem ng Vieta at ang inverse theorem nito. Sa subsection na ito, susuriin namin ang mga solusyon ng ilan sa mga pinakakaraniwang halimbawa.
Magsisimula tayo sa pamamagitan ng paglalapat ng theorem converse sa Vieta's theorem. Maginhawang gamitin ito upang suriin kung ang ibinigay na dalawang numero ay ang mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation. Sa kasong ito, ang kanilang kabuuan at pagkakaiba ay kinakalkula, pagkatapos kung saan ang bisa ng mga relasyon ay nasuri. Kung ang parehong mga ugnayang ito ay nasiyahan, kung gayon, sa bisa ng teorama ay nakikipag-usap sa teorama ni Vieta, napagpasyahan na ang mga bilang na ito ay ang mga ugat ng equation. Kung ang hindi bababa sa isa sa mga relasyon ay hindi nasiyahan, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi ang mga ugat ng quadratic equation. Maaaring gamitin ang diskarteng ito kapag nilulutas ang mga quadratic equation upang suriin ang mga natagpuang ugat.
Halimbawa.
Alin sa mga pares ng mga numero 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2), o 3) ang isang pares ng mga ugat ng quadratic equation 4 x 2 −16 x+9=0?
Solusyon.
Ang mga coefficient ng ibinigay na quadratic equation 4 x 2 −16 x+9=0 ay a=4 , b=−16 , c=9 . Ayon sa teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay dapat na katumbas ng −b/a, iyon ay, 16/4=4, at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng c/a, iyon ay, 9 /4.
Ngayon kalkulahin natin ang kabuuan at produkto ng mga numero sa bawat isa sa tatlong ibinigay na mga pares, at ihambing ang mga ito sa mga halagang nakuha lang.
Sa unang kaso, mayroon tayong x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Ang resultang halaga ay naiiba sa 4, samakatuwid, ang karagdagang pag-verify ay hindi maaaring isagawa, ngunit sa pamamagitan ng teorama, ang kabaligtaran ng teorem ni Vieta, maaari nating agad na tapusin na ang unang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation. .
Lumipat tayo sa pangalawang kaso. Dito, iyon ay, ang unang kondisyon ay nasiyahan. Sinusuri namin ang pangalawang kundisyon: , iba ang resultang halaga sa 9/4 . Samakatuwid, ang pangalawang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Ang huling kaso ay nananatili. Dito at . Ang parehong mga kondisyon ay natutugunan, kaya ang mga numerong ito na x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation.
Sagot:
Ang theorem, ang reverse ng Vieta's theorem, ay maaaring gamitin sa pagsasanay upang piliin ang mga ugat ng isang quadratic equation. Karaniwan, ang mga ugat ng integer ng ibinigay na mga quadratic equation na may mga coefficient ng integer ay pinipili, dahil sa ibang mga kaso ito ay medyo mahirap gawin. Kasabay nito, ginagamit nila ang katotohanan na kung ang kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng pangalawang koepisyent ng quadratic equation, kinuha gamit ang isang minus sign, at ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng libreng termino, kung gayon ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito. Harapin natin ito ng isang halimbawa.
Kunin natin ang quadratic equation x 2 −5 x+6=0 . Upang ang mga numerong x 1 at x 2 ay maging mga ugat ng equation na ito, dapat masiyahan ang dalawang equalities x 1 +x 2 \u003d 5 at x 1 x 2 \u003d 6. Ito ay nananatiling pumili ng gayong mga numero. Sa kasong ito, ito ay medyo simple na gawin: ang mga naturang numero ay 2 at 3, dahil 2+3=5 at 2 3=6 . Kaya, ang 2 at 3 ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito.
Ang theorem converse sa Vieta's theorem ay lalong maginhawa para sa paghahanap ng pangalawang ugat ng pinababang quadratic equation kapag ang isa sa mga ugat ay kilala na o halata na. Sa kasong ito, ang pangalawang ugat ay matatagpuan mula sa alinman sa mga relasyon.
Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation 512 x 2 −509 x−3=0 . Dito madaling makita na ang yunit ay ang ugat ng equation, dahil ang kabuuan ng mga coefficient ng quadratic equation na ito ay zero. Kaya x 1 =1 . Ang pangalawang ugat na x 2 ay matatagpuan, halimbawa, mula sa kaugnayan x 1 x 2 =c/a. Mayroon kaming 1 x 2 =−3/512 , kung saan ang x 2 =−3/512 . Kaya't tinukoy namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation: 1 at −3/512.
Malinaw na ang pagpili ng mga ugat ay kapaki-pakinabang lamang sa mga pinakasimpleng kaso. Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang mga ugat, maaari mong ilapat ang mga formula ng mga ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant.
Ang isa pang praktikal na aplikasyon ng theorem, ang kabaligtaran ng Vieta's theorem, ay ang compilation ng quadratic equation para sa mga ibinigay na roots x 1 at x 2. Upang gawin ito, sapat na upang kalkulahin ang kabuuan ng mga ugat, na nagbibigay ng koepisyent ng x na may kabaligtaran na tanda ng ibinigay na quadratic equation, at ang produkto ng mga ugat, na nagbibigay ng libreng termino.
Halimbawa.
Sumulat ng isang quadratic equation na ang mga ugat ay ang mga numero −11 at 23.
Solusyon.
Ipahiwatig ang x 1 =−11 at x 2 =23 . Kinakalkula namin ang kabuuan at produkto ng mga numerong ito: x 1 + x 2 \u003d 12 at x 1 x 2 \u003d −253. Samakatuwid, ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation na may pangalawang coefficient -12 at ang libreng termino -253. Ibig sabihin, x 2 −12·x−253=0 ang gustong equation.
Sagot:
x 2 −12 x−253=0 .
Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga gawain na may kaugnayan sa mga palatandaan ng mga ugat ng quadratic equation. Paano nauugnay ang teorama ni Vieta sa mga palatandaan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0 ? Narito ang dalawang nauugnay na pahayag:
- Kung ang intercept q ay isang positibong numero at kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang alinman sa mga ito ay positibo o pareho ay negatibo.
- Kung ang libreng termino q ay isang negatibong numero at kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang mga palatandaan ay iba, sa madaling salita, ang isang ugat ay positibo at ang isa ay negatibo.
Ang mga pahayag na ito ay sumusunod mula sa formula x 1 x 2 =q, pati na rin ang mga patakaran para sa pagpaparami ng positibo, negatibong mga numero at mga numero na may iba't ibang mga palatandaan. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon.
Halimbawa.
R ay positibo. Ayon sa discriminant formula, makikita natin ang D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , ang halaga ng expression na r 2 +8 ay positibo para sa anumang tunay na r , kaya D>0 para sa anumang tunay na r . Samakatuwid, ang orihinal na quadratic equation ay may dalawang ugat para sa anumang tunay na halaga ng parameter r.
Ngayon alamin natin kung ang mga ugat ay may iba't ibang mga palatandaan. Kung ang mga palatandaan ng mga ugat ay iba, kung gayon ang kanilang produkto ay negatibo, at sa pamamagitan ng Vieta theorem, ang produkto ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng libreng termino. Samakatuwid, kami ay interesado sa mga halagang iyon ng r kung saan ang libreng termino r−1 ay negatibo. Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng r na interesado sa amin, kailangan namin lutasin ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay r−1<0 , откуда находим r<1 .
Sagot:
sa r<1 .
Mga formula ng Vieta
Sa itaas, napag-usapan namin ang tungkol sa teorama ni Vieta para sa isang quadratic equation at sinuri ang mga relasyon na iginiit nito. Ngunit may mga formula na nag-uugnay sa mga tunay na ugat at coefficient hindi lamang ng mga quadratic equation, kundi pati na rin ng cubic equation, quadruple equation, at sa pangkalahatan, algebraic equation degree n. Tinawag sila Mga formula ng Vieta.
Isinulat namin ang mga formula ng Vieta para sa isang algebraic equation ng degree n ng form, habang ipinapalagay namin na mayroon itong n tunay na mga ugat x 1, x 2, ..., x n (kabilang sa mga ito ay maaaring pareho): 
Kumuha ng mga Vieta formula ay nagbibigay-daan polynomial factorization theorem, pati na rin ang kahulugan ng equal polynomials sa pamamagitan ng equality ng lahat ng kaukulang coefficient nito. Kaya ang polynomial at ang pagpapalawak nito sa mga linear na kadahilanan ng anyo ay pantay. Binuksan ang mga bracket sa huling produkto at tinutumbasan ang kaukulang coefficient, nakukuha namin ang mga formula ng Vieta.
Sa partikular, para sa n=2 mayroon na tayong pamilyar na mga formula ng Vieta para sa quadratic equation .
Para sa isang cubic equation, ang mga formula ng Vieta ay may anyo 
Nananatili lamang na tandaan na sa kaliwang bahagi ng mga formula ng Vieta ay mayroong tinatawag na elementarya simetriko polynomial.
Bibliograpiya.
- Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 2010.- 368 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Ang unang pahayag ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga ugat ng equation na ito ay katumbas ng halaga ng koepisyent ng variable x (sa kasong ito ito ay b), ngunit may kabaligtaran na tanda. Biswal, ganito ang hitsura: x1 + x2 = −b.
Ang pangalawang pahayag ay hindi na konektado sa kabuuan, ngunit sa produkto ng parehong dalawang ugat. Ang produktong ito ay equated sa isang libreng koepisyent, i.e. c. O, x1 * x2 = c. Pareho sa mga halimbawang ito ay nalutas sa system.
Ang teorama ni Vieta ay lubos na pinasimple ang solusyon, ngunit may isang limitasyon. Ang isang quadratic equation na ang mga ugat ay matatagpuan gamit ang pamamaraang ito ay dapat bawasan. Sa equation sa itaas para sa coefficient a, ang bago ang x2 ay katumbas ng isa. Anumang equation ay maaaring bawasan sa isang katulad na anyo sa pamamagitan ng paghahati ng expression sa unang koepisyent, ngunit ang operasyong ito ay hindi palaging makatuwiran.
Katibayan ng teorama
Upang magsimula, dapat nating tandaan kung paano, ayon sa tradisyon, kaugalian na hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation. Ang una at pangalawang ugat ay matatagpuan, katulad ng: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Sa pangkalahatan ay nahahati ng 2a, ngunit, tulad ng nabanggit na, ang teorama ay maaari lamang ilapat kapag a=1.Ito ay kilala mula sa Vieta's theorem na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may minus sign. Nangangahulugan ito na ang x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Ang parehong ay totoo para sa produkto ng hindi kilalang mga ugat: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Sa turn, D = b2-4c (muli, may a=1). Lumalabas na ang resulta ay: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Mula sa simpleng patunay sa itaas, isang konklusyon lamang ang mabubuo: Ang teorama ni Vieta ay ganap na nakumpirma.
Pangalawang pagbabalangkas at patunay
Ang teorama ni Vieta ay may ibang interpretasyon. Upang maging mas tumpak, ito ay hindi isang interpretasyon, ngunit isang salita. Ang katotohanan ay kung ang parehong mga kondisyon ay natutugunan tulad ng sa unang kaso: mayroong dalawang magkaibang tunay na ugat, kung gayon ang teorama ay maaaring isulat sa ibang pormula.Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ganito ang hitsura: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Kung ang function na P(x) ay nagsalubong sa dalawang puntos na x1 at x2, maaari itong isulat bilang P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Sa kaso kung ang P ay may pangalawang degree, at ito mismo ang hitsura ng orihinal na expression, kung gayon ang R ay isang pangunahing numero, ibig sabihin ay 1. Ang pahayag na ito ay totoo sa kadahilanang kung hindi man ay hindi gagana ang pagkakapantay-pantay. Ang coefficient x2 kapag binubuksan ang mga bracket ay hindi dapat higit sa isa, at ang expression ay dapat manatiling parisukat.
Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit upang subukan ang mga natagpuang ugat. Kung nahanap mo na ang mga ugat, maaari mong gamitin ang mga formula na \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) upang kalkulahin ang mga value \(p\ ) at \(q\ ). At kung sila ay magiging pareho sa orihinal na equation, kung gayon ang mga ugat ay matatagpuan nang tama.
Halimbawa, gamitin natin ang , lutasin ang equation \(x^2+x-56=0\) at kunin ang mga ugat: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Suriin natin kung nagkamali tayo sa proseso ng paglutas. Sa aming kaso, \(p=1\), at \(q=-56\). Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon tayong:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Ang parehong mga pahayag ay nagtagpo, na nangangahulugan na nalutas namin nang tama ang equation.
Ang pagsusulit na ito ay maaaring gawin nang pasalita. Aabutin ng 5 segundo at ililigtas ka sa mga hangal na pagkakamali.
Inverse Vieta theorem
Kung \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), kung gayon ang \(x_1\) at \(x_2\) ay ang mga ugat ng quadratic equation \ (x^ 2+px+q=0\).
O sa simpleng paraan: kung mayroon kang equation ng form na \(x^2+px+q=0\), pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglutas ng system \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) makikita mo ang mga ugat nito.
Salamat sa theorem na ito, mabilis mong mahahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation, lalo na kung ang mga ugat na ito ay . Ang kasanayang ito ay mahalaga dahil nakakatipid ito ng maraming oras.
Halimbawa . Lutasin ang equation \(x^2-5x+6=0\).
Solusyon
: Gamit ang inverse Vieta theorem, nakuha namin na ang mga ugat ay nakakatugon sa mga kondisyon: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tingnan ang pangalawang equation ng \(x_1 \cdot x_2=6\) system. Sa anong dalawa maaaring mabulok ang numerong \(6\)? Sa \(2\) at \(3\), \(6\) at \(1\) o \(-2\) at \(-3\), at \(-6\) at \(- isa\). At kung aling pares ang pipiliin, sasabihin ng unang equation ng system: \(x_1+x_2=5\). Ang \(2\) at \(3\) ay magkatulad, dahil \(2+3=5\).
Sagot
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Mga halimbawa
. Gamit ang inverse ng Vieta's theorem, hanapin ang mga ugat ng quadratic equation:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Solusyon
:
a) \(x^2-15x+14=0\) - sa anong mga salik nabubulok ang \(14\)? \(2\) at \(7\), \(-2\) at \(-7\), \(-1\) at \(-14\), \(1\) at \(14\ ). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag hanggang sa \(15\)? Sagot: \(1\) at \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) - sa anong mga kadahilanan nabubulok ang \(-4\)? \(-2\) at \(2\), \(4\) at \(-1\), \(1\) at \(-4\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(-3\)? Sagot: \(1\) at \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – sa anong mga salik nabubulok ang \(20\)? \(4\) at \(5\), \(-4\) at \(-5\), \(2\) at \(10\), \(-2\) at \(-10\ ), \(-20\) at \(-1\), \(20\) at \(1\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(-9\)? Sagot: \(-4\) at \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) - sa anong mga kadahilanan nabubulok ang \(780\)? \(390\) at \(2\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Hindi. Ano ang iba pang mga multiplier na mayroon ang \(780\)? \(78\) at \(10\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Oo. Sagot: \(78\) at \(10\).
Hindi kinakailangang i-decompose ang huling termino sa lahat ng posibleng salik (tulad ng sa huling halimbawa). Maaari mong suriin kaagad kung ang kanilang kabuuan ay nagbibigay ng \(-p\).
Mahalaga! Gumagana lamang ang theorem ng Vieta at ang converse theorem sa , iyon ay, isa na ang coefficient sa harap ng \(x^2\) ay katumbas ng isa. Kung sa una ay mayroon tayong hindi pinababang equation, kung gayon maaari nating bawasan ito sa pamamagitan lamang ng paghahati sa koepisyent sa harap ng \ (x ^ 2 \).
Halimbawa, hayaan ang equation na \(2x^2-4x-6=0\) at gusto naming gamitin ang isa sa mga theorems ng Vieta. Ngunit hindi natin magagawa, dahil ang coefficient bago ang \(x^2\) ay katumbas ng \(2\). Alisin natin ito sa pamamagitan ng paghahati ng buong equation sa \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
handa na. Ngayon ay maaari nating gamitin ang parehong theorems.
Mga sagot sa mga madalas itanong
Tanong:
Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, maaari mong malutas ang anuman?
Sagot:
Sa kasamaang palad hindi. Kung walang mga integer sa equation o ang equation ay walang mga ugat, kung gayon ang teorama ni Vieta ay hindi makakatulong. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin may diskriminasyon
. Sa kabutihang palad, 80% ng mga equation sa kurso sa matematika ng paaralan ay may mga integer na solusyon.
Quadratic function.
Ang function na ibinigay ng formula na y = ax2 + bx + c , kung saan ang x at y ay mga variable at ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero, na may hindi katumbas ng 0 .
tinawag quadratic function
Pagpili ng isang buong parisukat.
Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ang mga kondisyon para sa kanilang pag-iral at mga numero.
ay ang discriminant ng quadratic equation.
Vieta's direkta at kabaligtaran theorems.
Pagkabulok ng isang parisukat na trinomial sa mga linear na kadahilanan.
Teorama. Hayaan
x 1 at x 2 - mga ugat ng isang parisukat na trinomialx 2 + px + q. Pagkatapos ang trinomial na ito ay nabulok sa mga linear na kadahilanan tulad ng sumusunod:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).Patunay. Palitan sa halip na
p at qkanilang mga ekspresyon sa pamamagitan ngx 1 at x 2 at gamitin ang paraan ng pagpapangkat:x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Napatunayan na ang theorem.
Quadratic equation. Square Trinomial Plot
Uri ng equation
ay tinatawag na quadratic equation. Ang numero D = b 2 - 4ac ay ang discriminant ng equation na ito.
Kung ang
pagkatapos ay ang mga numero
ay ang mga ugat (o mga solusyon) ng quadratic equation. Kung D = 0, kung gayon ang mga ugat ay nag-tutugma:
Kung si D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Mga wastong formula:
- Mga formula ng Vieta; a
palakol 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
formula ng factorization.
Ang graph ng isang quadratic function (square trinomial) y \u003d ax 2 + bx + c ay isang parabola. Ang lokasyon ng parabola depende sa mga palatandaan ng coefficient a at ang discriminant D ay ipinapakita sa fig.
Ang mga numerong x 1 at x 2 sa x-axis ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + + c \u003d 0; mga coordinate ng vertex ng parabola (point A) sa lahat ng kaso
ang punto ng intersection ng parabola na may y-axis ay may mga coordinate (0; c).
Tulad ng isang tuwid na linya at isang bilog, ang isang parabola ay naghahati sa isang eroplano sa dalawang bahagi. Sa isa sa mga bahaging ito, ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay y > ax 2 + bx + c, at sa kabilang bahagi, ang kabaligtaran. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa napiling bahagi ng eroplano ay tinutukoy sa pamamagitan ng paghahanap nito sa isang punto sa bahaging ito ng eroplano.
Isaalang-alang ang konsepto ng isang padaplis sa isang parabola (o isang bilog). Ang isang linyang y - kx + 1 ay tatawaging tangent sa isang parabola (o isang bilog) kung ito ay may isang karaniwang punto sa kurba na ito.
Sa punto ng contact M(x; y), para sa parabola, ang pagkakapantay-pantay kx + 1 = ax 2 + bx + c ay natupad (para sa bilog, ang pagkakapantay-pantay (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2). Ang equating ang discriminant ng resultang quadratic equation sa zero (dahil ang equation ay dapat magkaroon ng isang natatanging solusyon), dumating kami sa mga kondisyon para sa pagkalkula ng mga coefficient ng tangent.
Ang teorama ni Vieta
Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng pinababang quadratic equation
(1)
.
Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent sa kinuha na may kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:
;
.
Isang tala tungkol sa maraming ugat
Kung ang discriminant ng equation (1) ay zero, ang equation na ito ay may isang ugat. Ngunit, upang maiwasan ang masalimuot na mga pormulasyon, karaniwang tinatanggap na sa kasong ito, ang equation (1) ay may dalawang maramihang, o pantay, na mga ugat:
.
Isang patunay
Hanapin natin ang mga ugat ng equation (1). Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
;
;
.
Paghahanap ng kabuuan ng mga ugat:
.
Upang mahanap ang produkto, inilalapat namin ang formula:
.
Pagkatapos
.
Napatunayan na ang theorem.
Dalawang patunay
Kung ang mga numero at ang mga ugat ng quadratic equation (1), kung gayon
.
Binuksan namin ang mga bracket.
.
Kaya, ang equation (1) ay kukuha ng anyo:
.
Kung ihahambing sa (1) makikita natin:
;
.
Napatunayan na ang theorem.
Inverse Vieta theorem
Hayaang magkaroon ng mga arbitrary na numero. Pagkatapos at ang mga ugat ng quadratic equation
,
saan
(2)
;
(3)
.
Patunay ng converse theorem ni Vieta
Isaalang-alang ang quadratic equation
(1)
.
Kailangan nating patunayan na kung at , pagkatapos at ang mga ugat ng equation (1).
Palitan ang (2) at (3) sa (1):
.
Ipangkat namin ang mga tuntunin ng kaliwang bahagi ng equation:
;
;
(4)
.
Palitan sa (4):
;
.
Palitan sa (4):
;
.
Natupad ang equation. Ibig sabihin, ang numero ay ang ugat ng equation (1).
Napatunayan na ang theorem.
Vieta's theorem para sa kumpletong quadratic equation
Ngayon isaalang-alang ang kumpletong quadratic equation
(5)
,
kung saan , at ilang mga numero. At .
Hinahati namin ang equation (5) sa pamamagitan ng:
.
Iyon ay, nakuha namin ang equation sa itaas
,
saan ; .
Pagkatapos ang Vieta theorem para sa kumpletong quadratic equation ay may sumusunod na anyo.
Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng kumpletong quadratic equation
.
Pagkatapos ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay tinutukoy ng mga formula:
;
.
Vieta's theorem para sa isang cubic equation
Katulad nito, maaari tayong magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang cubic equation. Isaalang-alang ang cubic equation
(6)
,
kung saan ang , , , ay ilang mga numero. At .
Hatiin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng:
(7)
,
saan , , .
Hayaang , , ang mga ugat ng equation (7) (at equation (6)). Pagkatapos
.
Ang paghahambing sa equation (7) ay makikita natin:
;
;
.
Vieta's theorem para sa isang nth degree equation
Sa parehong paraan, makakahanap ka ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat , , ... , , para sa equation ng nth degree
.
Ang theorem ng Vieta para sa isang nth degree equation ay may sumusunod na anyo:
;
;
;
.
Upang makuha ang mga formula na ito, isinusulat namin ang equation sa sumusunod na form:
.
Pagkatapos ay tinutumbasan natin ang mga koepisyent sa , , , ... , at ihambing ang libreng termino.
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: isang aklat-aralin para sa ika-8 baitang ng mga institusyong pang-edukasyon, Moscow, Edukasyon, 2006.
