Bumalik tayo sa ating gawain - upang mahanap ang acceleration kung saan ang katawan ay gumagalaw sa isang bilog na may pare-pareho ang bilis sa ganap na halaga.

Ang acceleration, gaya ng nalalaman, ay tinutukoy ng formula

saan ang bilis ng katawan sa ilang unang sandali ng oras, at ang bilis nito pagkatapos ng isang yugto ng panahon . Sa aming kaso, ang mga module ng bilis at ay katumbas ng bawat isa.

Ipagpalagay na ang katawan ay gumagalaw sa isang bilog na may radius at sa isang punto sa oras ito ay nasa punto A (Larawan 67).

Ano ang acceleration sa puntong ito? Ang bilis sa puntong ito ay nakadirekta nang tangential sa bilog sa punto A. Pagkaraan ng isang segundo, ang katawan ay nasa punto B, at ang bilis nito ay ngayon.

nakadirekta nang tangential sa bilog sa punto B. Ang bilis ng modulo at 10 ay pantay (ang mga haba ng mga arrow at pareho).

Gusto naming hanapin ang acceleration sa point A ng bilog (instantaneous acceleration). Samakatuwid, dapat nating kunin ang mga puntos na A at B na malapit sa isa't isa, nang napakalapit na ang arko, kumbaga, ay nagkontrata sa isang punto.

Alamin muna natin kung paano nakadirekta ang acceleration na ito.

Gumuhit tayo ng radii mula sa gitna O ng bilog hanggang sa mga punto A at B. Ang radius ng bilog ay patayo sa tangent sa punto ng kontak, samakatuwid, ang radii at ay patayo sa mga vectors at Upang malaman ang direksyon ng acceleration vector, kailangan mong maghanap ng vector na katumbas ng pagkakaiba ng mga vectors at Ang direksyon nito ay ang direksyon ng vector acceleration. Alam na natin kung paano ibawas ang mga vector (tingnan ang § 6). Upang mahanap ang pagkakaiba, inaayos namin ang mga vector upang lumabas ang mga ito mula sa isang punto (Larawan 68), at ikonekta ang kanilang mga dulo sa pamamagitan ng pagdidirekta ng arrow mula sa bawas hanggang sa pinababa (mula sa dulo ng vector hanggang sa dulo ng vector. Ang vector ay ang pagkakaiba ng mga vector.Samakatuwid, ang acceleration ay nakadirekta kasama ang vector.Ano ang masasabi tungkol sa direksyon na ito?

Ang tatsulok (tingnan ang Fig. 68) ay isosceles. Ang anggulo sa vertex A ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng radii at (Fig. 67), dahil ang mga ito ay nabuo ng magkabilang patayo na panig. Ang mga puntos na A at B ay malapit sa isa't isa, kaya ang anggulo ay napakaliit (malapit sa zero). Ang bawat isa sa mga anggulo sa base ng tatsulok ay malapit sa isang tamang anggulo, dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng dalawang tamang anggulo. Nangangahulugan ito na ang vector

patayo sa velocity vector. Samakatuwid, ang acceleration ay patayo sa bilis. Ngunit ang bilis ay padaplis sa bilog sa punto A, at ang padaplis ay patayo sa radius. Nangangahulugan ito na ang acceleration ay nakadirekta sa radius patungo sa gitna ng bilog. Kaya naman tinatawag itong centripetal acceleration.

Kapag ang isang katawan ay gumagalaw nang pantay-pantay sa isang bilog, ang acceleration sa anumang punto ay patayo sa bilis ng paggalaw at nakadirekta patungo sa gitna ng bilog.

Ang kagiliw-giliw na tampok na ito ng acceleration kapag gumagalaw sa isang bilog na may pare-pareho ang bilis ng modulo ay ipinapakita sa Figure 69.

Hanapin natin ngayon ang modulus ng centripetal acceleration. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin kung ano ang ganap na halaga ng dami. Mula sa Figure 68, makikita na ang modulus ng pagkakaiba ng mga vector ay katumbas ng haba ng segment. Dahil ang anggulo ay napakaliit, ang Ang segment ay bahagyang naiiba mula sa arko ng isang bilog (ipinapakita sa pamamagitan ng isang tuldok na linya) na nakasentro sa punto A. Ang radius ng bilog na ito ay numerong katumbas ng Ngunit, tulad ng alam natin (tingnan ang § 24), ang haba ng naturang arko ay Samakatuwid, ang absolute value ng acceleration ay . Ngunit ang angular velocity kaya lang

Ang acceleration ng isang katawan na gumagalaw sa isang bilog ay ang produkto ng linear velocity nito at ang angular velocity ng pagliko ng radius na iginuhit patungo sa katawan.

Ito ay mas maginhawa upang kumatawan sa formula para sa centripetal acceleration sa isang form na kasama nito ang halaga ng radius ng bilog kung saan gumagalaw ang katawan. Dahil ang mga angular at linear na bilis ay nauugnay sa kaugnayan (- radius ng bilog), kung gayon, pinapalitan ang expression na ito sa formula, nakukuha natin:

Ngunit samakatuwid, ang formula para sa centripetal acceleration ay maaari ding isulat bilang mga sumusunod:

Sa pare-parehong pabilog na paggalaw, gumagalaw ang isang katawan

acceleration, na nakadirekta kasama ang radius sa gitna ng bilog at ang modulus ay tinutukoy ng expression

Samakatuwid, ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ito ay kilala na ang bilis ng katawan ay pantay at ang acceleration ng katawan sa lahat ng mga punto ay patayo sa vector ng bilis nito at ay katumbas ng ganap na halaga, kung gayon maaari itong maitalo na ang gayong katawan ay gumagalaw sa isang bilog, ang radius nito ay tinutukoy ng formula

Nangangahulugan ito na kung alam natin ang paunang bilis ng katawan at ang ganap na halaga ng centripetal acceleration nito, maaari tayong gumuhit ng isang bilog kung saan lilipat ang katawan at mahanap ang posisyon nito anumang oras (ang unang posisyon ng katawan ay dapat, siyempre. , maging kilala). Kaya, ang pangunahing problema ng mekanika ay malulutas.

Alalahanin na kami ay interesado sa acceleration sa panahon ng pare-parehong paggalaw sa isang bilog dahil ang anumang paggalaw sa isang curvilinear trajectory ay isang paggalaw sa mga arko ng mga bilog na may magkakaibang radii.

Ngayon ay maaari nating sabihin na sa pare-parehong paggalaw sa anumang punto ng isang curvilinear trajectory, ang katawan ay gumagalaw na may acceleration na nakadirekta patungo sa gitna ng bilog kung saan ang ibinigay na trajectory ay isang bahagi malapit sa puntong ito. Ang numerical value ng acceleration ay depende sa bilis ng katawan sa puntong ito at sa radius ng kaukulang bilog. Ang Figure 70 ay nagpapakita ng ilang kumplikadong trajectory at nagpapahiwatig ng mga vectors ng centripetal acceleration sa iba't ibang mga punto ng trajectory.

Isang gawain. Ang sasakyang panghimpapawid, na umaalis sa tuktok, ay gumagalaw kasama ang isang arko, na sa ibabang bahagi nito ay isang arko ng isang bilog na may radius na 500 m (Larawan 71). Kalkulahin ang acceleration ng sasakyang panghimpapawid sa nadir nito kung ang bilis nito ay 800 km/h at ihambing ang halagang ito sa acceleration dahil sa gravity.

4. Ang isang grinding wheel na may radius na 10 cm ay gumagawa ng 1 revolution sa loob ng 0.2 segundo habang umiikot. Hanapin ang bilis ng mga puntos na pinakamalayo mula sa axis ng pag-ikot.

5. Ang isang kotse ay gumagalaw sa kahabaan ng pag-ikot ng kalsada na may radius na 100 m sa bilis na 54 km/h. Ano ang centripetal acceleration ng kotse?

6. Ang panahon ng rebolusyon ng unang barko-satellite na "Vostok" sa paligid ng Earth ay 90 minuto. Ang average na taas ng spacecraft sa itaas ng Earth ay maaaring ituring na katumbas ng 320 km. Ang radius ng Earth ay 6,400 km. Kalkulahin ang bilis ng barko.

7. Ano ang bilis ng sasakyan kung ang mga gulong nito na may radius na 30 cm ay gagawa ng 10 revolution sa loob ng 1 segundo?

8. Dalawang pulley, ang radii nito ay konektado ng walang katapusang sinturon. Ang panahon ng pag-ikot ng pulley na may mas maliit na radius ay 0.5 sec. Ano ang bilis kung saan gumagalaw ang mga punto ng sinturon? Ano ang panahon ng pag-ikot ng pangalawang pulley?

9. Ang buwan ay gumagalaw sa paligid ng Earth sa layong 385,000 km mula rito, na gumagawa ng isang rebolusyon sa loob ng 27.3 araw. Kalkulahin ang centripetal acceleration ng Buwan.

Sa pag-aaral ng paggalaw sa pisika, ang konsepto ng isang tilapon ay gumaganap ng isang mahalagang papel. Siya ang higit na tumutukoy sa uri ng paggalaw ng mga bagay at, bilang resulta, ang uri ng mga formula na naglalarawan sa paggalaw na ito. Ang isa sa mga karaniwang trajectory ng paggalaw ay isang bilog. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin kung ano ang centripetal acceleration kapag gumagalaw sa isang bilog.

Ang konsepto ng buong acceleration

Bago tukuyin ang centripetal acceleration kapag gumagalaw sa isang bilog, isaalang-alang natin ang konsepto ng kabuuang acceleration. Sa ilalim nito, ipinapalagay ang isang pisikal na dami, na sabay na naglalarawan ng pagbabago sa halaga ng absolute at ang velocity vector. Sa anyong matematikal, ganito ang hitsura ng kahulugang ito:

Ang acceleration ay ang kabuuang derivative ng bilis na may paggalang sa oras.

Tulad ng nalalaman, ang bilis ng katawan sa bawat punto ng tilapon ay tangential. Ang katotohanang ito ay nagpapahintulot sa amin na katawanin ito bilang isang produkto ng module v at ang unit tangent vector u¯, ibig sabihin.:

Pagkatapos ay ang kabuuang acceleration ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Ang halaga a¯ ay ang vector sum ng dalawang termino. Ang unang termino ay nakadirekta nang tangential (bilang ang bilis ng katawan) at tinatawag na tangential acceleration. Tinutukoy nito ang rate ng pagbabago ng modulus ng bilis. Ang pangalawang termino ay ang normal na acceleration. Isasaalang-alang namin ito nang mas detalyado sa ibang pagkakataon sa artikulo.

Ang expression sa itaas para sa normal na bahagi ng acceleration ay maaaring isulat nang tahasan:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Narito ang dl ay ang landas na nilakbay ng katawan kasama ang tilapon sa oras dt, re¯ ay ang unit vector na nakadirekta sa gitna ng curvature ng trajectory, r ay ang radius ng curvature na ito. Ang resultang formula ay humahantong sa ilang mahahalagang katangian ng isang bahagi ng kabuuang acceleration:

• Ang halaga ng an¯ ay tumataas bilang parisukat ng bilis at bumababa nang kabaligtaran sa radius, na nagpapakilala nito sa tangential na bahagi. Ang huli ay hindi katumbas ng zero lamang sa kaso ng pagbabago sa velocity modulus.
• Ang normal na acceleration ay palaging nakadirekta sa gitna ng curvature, kaya naman tinatawag itong centripetal.

Kaya, ang pangunahing kondisyon para sa pagkakaroon ng isang nonzero na dami ay ang curvature ng trajectory. Kung walang ganoong kurbada (rectilinear displacement), kung gayon an¯ = 0, dahil r->∞.

Centripetal acceleration sa circular motion

Ang bilog ay isang geometric na linya, ang lahat ng mga punto ay nasa parehong distansya mula sa isang punto. Ang huli ay tinatawag na sentro ng bilog, at ang distansya na nabanggit ay ang radius nito. Kung ang bilis ng katawan sa panahon ng pag-ikot ay hindi nagbabago sa ganap na halaga, pagkatapos ay nagsasalita sila ng pare-parehong variable na paggalaw sa isang bilog. Ang centripetal acceleration sa kasong ito ay madaling kalkulahin gamit ang isa sa dalawang formula sa ibaba:

Kung saan ang ω ay ang angular velocity, sinusukat sa radians per second (rad/s). Ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay nakuha salamat sa formula para sa relasyon sa pagitan ng angular at linear velocities:

Mga puwersang sentripetal at sentripugal

Sa isang pare-parehong paggalaw ng isang katawan sa kahabaan ng isang bilog, nangyayari ang centripetal acceleration dahil sa pagkilos ng kaukulang puwersang centripetal. Ang vector nito ay palaging nakadirekta patungo sa gitna ng bilog.

Ang likas na katangian ng puwersang ito ay maaaring magkakaiba. Halimbawa, kapag ang isang tao ay umiikot ng isang bato na nakatali sa isang lubid, pagkatapos ay sa kanyang tilapon ito ay hawak ng puwersa ng pag-igting ng lubid. Ang isa pang halimbawa ng pagkilos ng centripetal force ay ang gravitational interaction sa pagitan ng Araw at ng mga planeta. Ito ang nagpapagalaw sa lahat ng mga planeta at asteroid sa mga pabilog na orbit. Ang sentripetal na puwersa ay hindi maaaring baguhin ang kinetic energy ng katawan, dahil ito ay nakadirekta patayo sa bilis nito.

Maaaring bigyang-pansin ng bawat tao ang katotohanan na habang pinipihit ang kotse, halimbawa, sa kaliwa, ang mga pasahero ay pinindot sa kanang gilid ng interior ng sasakyan. Ang prosesong ito ay resulta ng pagkilos ng centrifugal force ng rotational motion. Sa katunayan, ang puwersang ito ay hindi totoo, dahil ito ay dahil sa mga inertial na katangian ng katawan at ang pagnanais nitong lumipat sa isang tuwid na landas.

Ang centrifugal at centripetal na pwersa ay pantay sa magnitude at magkasalungat sa direksyon. Kung hindi ito ang kaso, kung gayon ang pabilog na tilapon ng katawan ay malalabag. Kung isasaalang-alang natin ang pangalawang batas ni Newton, maaari itong maitalo na sa panahon ng pag-ikot ng paggalaw, ang centrifugal acceleration ay katumbas ng centripetal.

Aslamazov L.G. Pabilog na galaw // Kvant. - 1972. - Bilang 9. - S. 51-57.

Sa pamamagitan ng espesyal na kasunduan sa editoryal board at mga editor ng journal na "Kvant"

Upang ilarawan ang paggalaw sa isang bilog, kasama ang linear velocity, ang konsepto ng angular velocity ay ipinakilala. Kung ang isang punto ay gumagalaw sa isang bilog sa oras Δ t inilalarawan ang isang arko, ang angular na sukat nito ay Δφ, pagkatapos ay ang angular na bilis.

Ang angular velocity ω ay nauugnay sa linear velocity υ sa pamamagitan ng kaugnayan υ = ω r, saan r- ang radius ng bilog kung saan gumagalaw ang punto (Larawan 1). Ang konsepto ng angular velocity ay lalong maginhawa para sa paglalarawan ng pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang axis. Kahit na ang mga linear na bilis ng mga punto na matatagpuan sa iba't ibang mga distansya mula sa axis ay hindi magiging pareho, ang kanilang mga angular na bilis ay magiging pantay, at maaari nating pag-usapan ang tungkol sa angular na bilis ng pag-ikot ng katawan sa kabuuan.

Gawain 1. Radius ng Disk r gumulong nang hindi nadudulas sa isang pahalang na eroplano. Ang bilis ng gitna ng disk ay pare-pareho at katumbas ng υ p. Sa anong angular na bilis ang pag-ikot ng disk sa kasong ito?

Ang bawat punto ng disk ay nakikilahok sa dalawang paggalaw - sa translational motion na may bilis υ p kasama ang gitna ng disk at sa rotational motion sa paligid ng center na may tiyak na angular velocity ω.

Upang mahanap ang ω, ginagamit namin ang kawalan ng slippage, iyon ay, ang katotohanan na sa bawat sandali ng oras ang bilis ng isang disk point na nakikipag-ugnay sa eroplano ay zero. Nangangahulugan ito na para sa punto PERO(Larawan 2) ang bilis ng paggalaw ng pagsasalin υ p ay katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa linear na bilis ng paggalaw ng paikot υ vr = ω· r. Mula dito ay agad kaming nakakuha ng .

Gawain 2. Maghanap ng mga puntos ng bilis AT, MULA SA at D ang parehong disk (Larawan 3).

Isaalang-alang muna ang punto AT. Ang linear na bilis ng paikot na paggalaw nito ay nakadirekta patayo pataas at katumbas ng , iyon ay, katumbas ng magnitude sa bilis ng translational motion, na, gayunpaman, ay nakadirekta nang pahalang. Ang pagdaragdag ng dalawang bilis na ito sa vectorially, nakita namin na ang nagresultang bilis υ B ay pantay sa magnitude at bumubuo ng isang anggulo ng 45º sa abot-tanaw. Sa punto MULA SA rotational at translational bilis ay nakadirekta sa parehong direksyon. Nagreresulta sa bilis υ C katumbas ng 2υ n at nakadirekta nang pahalang. Katulad nito, ang bilis ng isang punto ay matatagpuan D(Tingnan ang Fig. 3).

Kahit na sa kaso kapag ang bilis ng isang punto na gumagalaw kasama ang isang bilog ay hindi nagbabago sa magnitude, ang punto ay may ilang acceleration, habang nagbabago ang direksyon ng velocity vector. Ang acceleration na ito ay tinatawag sentripetal. Ito ay nakadirekta patungo sa gitna ng bilog at katumbas ng ( R ay ang radius ng bilog, ang ω at υ ay ang angular at linear velocities ng punto).

Kung ang bilis ng isang punto na gumagalaw sa isang bilog ay nagbabago hindi lamang sa direksyon, kundi pati na rin sa magnitude, pagkatapos kasama ang centripetal acceleration, mayroon ding tinatawag na tangential acceleration. Ito ay nakadirekta nang tangential sa bilog at katumbas ng ratio (Δυ ay ang pagbabago sa bilis sa paglipas ng panahon Δ t).

Gawain 3. Maghanap ng Mga Pagpapabilis ng Mga Puntos PERO, AT, MULA SA at D radius ng disk r gumulong nang hindi nadulas sa isang pahalang na eroplano. Ang bilis ng sentro ng disk ay pare-pareho at katumbas ng υ p (Larawan 3).

Sa coordinate system na nauugnay sa gitna ng disk, ang disk ay umiikot na may angular na bilis ω, at ang eroplano ay umuusad nang may bilis na υ p. Walang slippage sa pagitan ng disk at ng eroplano, samakatuwid, . Ang bilis ng translational motion υ p ay hindi nagbabago, samakatuwid ang angular velocity ng pag-ikot ng disk ay pare-pareho at ang mga punto ng disk ay mayroon lamang centripetal acceleration na nakadirekta patungo sa gitna ng disk. Dahil ang sistema ng coordinate ay gumagalaw nang walang acceleration (na may pare-pareho ang bilis υ n), pagkatapos ay sa isang nakapirming sistema ng coordinate, ang mga acceleration ng mga disk point ay magiging pareho.

Bumaling tayo ngayon sa mga problema sa dynamics ng rotational motion. Isaalang-alang muna natin ang pinakasimpleng kaso, kapag ang paggalaw sa isang bilog ay nangyayari sa isang pare-pareho ang bilis. Dahil ang acceleration ng katawan ay nakadirekta patungo sa gitna, kung gayon ang vector sum ng lahat ng pwersa na inilapat sa katawan ay dapat ding idirekta patungo sa gitna, at ayon sa pangalawang batas ni Newton.

Dapat tandaan na ang kanang bahagi ng equation na ito ay kinabibilangan lamang ng mga tunay na puwersa na kumikilos sa isang partikular na katawan mula sa ibang mga katawan. Hindi puwersang sentripetal hindi nangyayari kapag gumagalaw sa isang bilog. Ang terminong ito ay ginagamit lamang upang tukuyin ang resulta ng mga puwersa na inilapat sa isang katawan na gumagalaw sa isang bilog. Tungkol sa puwersang sentripugal, pagkatapos ito ay lumitaw lamang kapag naglalarawan ng paggalaw sa isang bilog sa isang non-inertial (umiikot) na coordinate system. Hindi natin gagamitin dito ang konsepto ng centripetal at centrifugal force sa lahat.

Gawain 4. Tukuyin ang pinakamaliit na radius ng curvature ng kalsada na maaaring madaanan ng kotse sa bilis na υ = 70 km/h at ang coefficient ng friction ng gulong sa kalsada k =0,3.

R = m g, puwersa ng reaksyon sa kalsada N at puwersa ng alitan F tr sa pagitan ng mga gulong ng sasakyan at kalsada. Puwersa R at N nakadirekta patayo at pantay sa laki: P = N. Ang friction force na pumipigil sa kotse mula sa pagdulas (“skidding”) ay nakadirekta patungo sa gitna ng pagliko at nagbibigay ng centripetal acceleration: . Ang maximum na halaga ng friction force F tr max = k· N = k· m g, samakatuwid, ang pinakamababang halaga ng radius ng bilog, kung saan posible pa ring gumalaw sa bilis na υ, ay tinutukoy mula sa equation . Mula dito (m).

Lakas ng reaksyon sa kalsada N kapag ang kotse ay gumagalaw sa isang bilog, hindi ito dumaan sa gitna ng grabidad ng kotse. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang sandali nito na may kaugnayan sa sentro ng grabidad ay dapat magbayad para sa frictional moment na may posibilidad na mabaligtad ang kotse. Ang magnitude ng friction force ay mas malaki, mas malaki ang bilis ng sasakyan. Sa isang tiyak na bilis, ang sandali ng puwersa ng friction ay lalampas sa sandali ng puwersa ng reaksyon at ang kotse ay tataob.

Gawain 5. Sa anong bilis ng isang kotse na gumagalaw sa isang arko ng isang bilog na radius R= 130 m, pwede bang tumaob? Nasa taas ang sentro ng grabidad ng sasakyan h= 1 m sa itaas ng kalsada, lapad ng track ng sasakyan l= 1.5 m (Larawan 4).

Sa oras ng pagbagsak ng kotse, bilang reaksyon ng puwersa ng kalsada N, at ang lakas ng alitan F mp ay nakakabit sa "panlabas" na gulong. Kapag ang isang kotse ay gumagalaw sa isang bilog na may bilis na υ, isang friction force ang kumikilos dito. Lumilikha ang puwersang ito ng sandali tungkol sa sentro ng grabidad ng sasakyan. Ang pinakamataas na sandali ng puwersa ng reaksyon ng kalsada N = m g kamag-anak sa sentro ng grabidad ay (sa sandali ng pagbaligtad, ang puwersa ng reaksyon ay dumadaan sa panlabas na gulong). Sa pag-equate ng mga sandaling ito, nakita namin ang equation para sa maximum na bilis kung saan ang kotse ay hindi pa tumagilid:

Mula sa kung saan ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Upang ang isang kotse ay lumipat sa ganoong bilis, kinakailangan ang isang koepisyent ng friction (tingnan ang nakaraang problema).

Ang isang katulad na sitwasyon ay nangyayari kapag lumiliko ng isang motorsiklo o bisikleta. Ang frictional force na lumilikha ng centripetal acceleration ay may isang sandali tungkol sa center of gravity na may posibilidad na mabaligtad ang motorsiklo. Samakatuwid, upang mabayaran ang sandaling ito sa sandali ng puwersa ng reaksyon ng kalsada, ang nakamotorsiklo ay nakasandal patungo sa pagliko (Larawan 5).

Gawain 6. Naglalakbay ang isang nakamotorsiklo sa isang pahalang na kalsada sa bilis na υ = 70 km/h, lumiliko na may radius R\u003d 100 m. Sa anong anggulo α sa abot-tanaw dapat siyang ikiling upang hindi mahulog?

Ang lakas ng friction sa pagitan ng motorsiklo at kalsada, dahil nagbibigay ito ng centripetal acceleration sa nakamotorsiklo. Lakas ng reaksyon sa kalsada N = m g. Ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga sandali ng puwersa ng friction at ang puwersa ng reaksyon na nauugnay sa sentro ng grabidad ay nagbibigay ng equation: F tp l sinα = N· l cos α, saan l- distansya OA mula sa sentro ng grabidad hanggang sa tugaygayan ng motorsiklo (tingnan ang fig. 5).

Pinapalitan dito ang mga halaga F tp at N, maghanap ng isang bagay o . Tandaan na ang resulta ng pwersa N at F ngunit sa anggulong ito ng pagkahilig ng motorsiklo ay dumadaan sa sentro ng grabidad, na nagsisiguro na ang kabuuang sandali ng mga puwersa ay katumbas ng zero N at F tp .

Upang mapataas ang bilis ng paggalaw sa kahabaan ng pag-ikot ng kalsada, ang seksyon ng kalsada sa pagliko ay ginawang hilig. Kasabay nito, bilang karagdagan sa puwersa ng friction, ang puwersa ng reaksyon ng kalsada ay nakikilahok din sa paglikha ng centripetal acceleration.

Gawain 7. Sa anong pinakamataas na bilis υ maaaring gumalaw ang isang kotse sa isang inclined track na may inclination angle α na may curvature radius R at koepisyent ng friction ng gulong sa kalsada k?

Ang puwersa ng grabidad ay kumikilos sa kotse m g, puwersa ng reaksyon N, nakadirekta patayo sa track plane, at ang friction force F tp nakadirekta sa kahabaan ng track (Larawan 6).

Dahil hindi kami interesado sa kasong ito, ang mga sandali ng mga puwersa na kumikilos sa kotse, iginuhit namin ang lahat ng mga puwersa na inilapat sa sentro ng grabidad ng kotse. Ang kabuuan ng vector ng lahat ng pwersa ay dapat na nakadirekta patungo sa gitna ng bilog kung saan gumagalaw ang kotse, at magbigay ng centripetal acceleration dito. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga projection ng mga puwersa sa direksyon sa gitna (pahalang na direksyon) ay , iyon ay

Ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng pwersa sa patayong direksyon ay zero:

N cos α - m g – F t p sinα = 0.

Ang pagpapalit sa mga equation na ito ng pinakamataas na posibleng halaga ng friction force F tp = kN at hindi kasama ang puwersa N, hanapin ang maximum na bilis , kung saan posible pa ring lumipat sa naturang track. Ang expression na ito ay palaging mas malaki kaysa sa halaga na nauugnay sa isang pahalang na kalsada.

Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa dynamics ng pag-ikot, lumipat tayo sa mga problema para sa rotational motion sa vertical plane.

Gawain 8. sasakyang masa m= 1.5 t gumagalaw sa bilis na υ = 70 km/h sa kahabaan ng kalsada na ipinapakita sa Figure 7. Mga seksyon ng kalsada AB at araw ay maaaring ituring na mga arko ng mga bilog ng radius R= 200 m na magkadikit sa isang punto AT. Tukuyin ang puwersa ng presyon ng kotse sa kalsada sa mga puntos PERO at MULA SA. Paano nagbabago ang puwersa ng presyon kapag ang isang kotse ay dumaan sa isang punto AT?

Sa punto PERO ang gravity ay kumikilos sa kotse R = m g at puwersa ng reaksyon sa kalsada N A. Ang kabuuan ng vector ng mga puwersang ito ay dapat na nakadirekta sa gitna ng bilog, iyon ay, patayo pababa, at lumikha ng isang centripetal acceleration: , kung saan (H). Ang puwersa ng presyon ng kotse sa kalsada ay katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa puwersa ng reaksyon. Sa punto MULA SA ang vector sum ng mga pwersa ay nakadirekta patayo pataas: at (H). Kaya, sa punto PERO ang puwersa ng presyon ay mas mababa kaysa sa puwersa ng grabidad, at sa isang punto MULA SA- higit pa.

Sa punto AT ang kotse ay gumagalaw mula sa isang matambok na seksyon ng kalsada patungo sa isang malukong (o vice versa). Kapag nagmamaneho sa isang convex na seksyon, ang projection ng gravity sa direksyon patungo sa gitna ay dapat lumampas sa puwersa ng reaksyon ng kalsada NB 1 , at . Kapag nagmamaneho sa isang malukong seksyon ng kalsada, sa kabaligtaran, ang puwersa ng reaksyon ng kalsada N B 2 ay higit na gumaganap sa projection ng gravity: .

Mula sa mga equation na ito ay nakukuha natin iyon kapag dumadaan sa punto AT ang puwersa ng presyon ng kotse sa kalsada ay biglang nagbabago sa halagang ≈ 6·10 3 N. Siyempre, ang mga naturang shock load ay kumikilos nang mapanirang kapwa sa kotse at sa kalsada. Samakatuwid, ang mga kalsada at tulay ay laging nagsisikap na gawing maayos ang kanilang kurbada.

Kapag ang isang kotse ay gumagalaw kasama ang isang bilog sa isang pare-pareho ang bilis, ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng mga puwersa sa direksyon ng tangent sa bilog ay dapat na katumbas ng zero. Sa aming kaso, ang tangential component ng gravity ay balanse ng puwersa ng friction sa pagitan ng mga gulong ng kotse at ng kalsada.

Ang magnitude ng friction force ay kinokontrol ng torque na inilapat sa mga gulong ng motor. Ang sandaling ito ay may posibilidad na maging sanhi ng pagkadulas ng mga gulong kaugnay sa kalsada. Samakatuwid, lumilitaw ang puwersa ng friction na pumipigil sa pagdulas at proporsyonal sa inilapat na sandali. Ang maximum na halaga ng friction force ay kN, saan k ay ang koepisyent ng friction sa pagitan ng mga gulong ng kotse at ng kalsada, N- lakas ng presyon sa kalsada. Kapag ang kotse ay gumagalaw pababa, ang friction force ay gumaganap ng papel ng isang puwersa ng pagpepreno, at kapag gumagalaw pataas, sa kabaligtaran, ang papel ng puwersa ng traksyon.

Gawain 9. Masa ng sasakyan m= 0.5 t, gumagalaw sa bilis na υ = 200 km/h, gumagawa ng "patay na loop" ng radius R= 100 m (Larawan 8). Tukuyin ang puwersa ng presyon ng kotse sa kalsada sa tuktok ng loop PERO; sa punto AT, ang radius vector kung saan gumagawa ng isang anggulo α = 30º na may patayo; sa punto MULA SA kung saan ang bilis ng sasakyan ay nakadirekta patayo. Posible ba para sa isang kotse na lumipat sa isang loop sa ganoong pare-pareho ang bilis na may isang koepisyent ng friction ng gulong sa kalsada k = 0,5?

Sa tuktok ng loop, ang puwersa ng grabidad at ang puwersa ng reaksyon ng kalsada N A nakadirekta patayo pababa. Ang kabuuan ng mga puwersang ito ay lumilikha ng isang centripetal acceleration: . kaya lang N.

Ang puwersa ng presyon ng kotse sa kalsada ay katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa puwersa N A.

Sa punto AT Ang centripetal acceleration ay nilikha ng kabuuan ng puwersa ng reaksyon at ang projection ng gravity sa direksyon patungo sa sentro: . Mula rito N.

Madaling makita iyon NB > N A; habang tumataas ang anggulong α, tumataas ang puwersa ng reaksyon ng kalsada.

Sa punto MULA SA puwersa ng reaksyon H; Ang centripetal acceleration sa puntong ito ay nilikha lamang ng puwersa ng reaksyon, at ang gravity ay nakadirekta nang tangential. Kapag gumagalaw sa ibabang bahagi ng loop, lalampas din ang puwersa ng reaksyon sa pinakamataas na halaga Ang puwersa ng H reaksyon ay nasa punto D. Ibig sabihin , sa gayon, ay ang pinakamababang halaga ng puwersa ng reaksyon.

Ang bilis ng sasakyan ay magiging pare-pareho kung ang tangential component ng gravity ay hindi lalampas sa maximum friction force kN sa lahat ng mga punto sa loop. Ang kundisyong ito ay tiyak na nasiyahan kung ang pinakamababang halaga lumampas sa pinakamataas na halaga ng tangential component ng weight force. Sa aming kaso, ang maximum na halaga na ito ay katumbas ng m g(ito ay naabot sa punto MULA SA), at nasiyahan ang kundisyon para sa k= 0.5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

Kaya, sa aming kaso, ang paggalaw ng kotse kasama ang "patay na loop" sa isang pare-pareho ang bilis ay posible.

Isaalang-alang ngayon ang paggalaw ng kotse sa kahabaan ng "patay na loop" na naka-off ang makina. Tulad ng nabanggit na, kadalasan ang sandali ng puwersa ng friction ay sumasalungat sa sandaling inilapat sa mga gulong ng motor. Kapag ang sasakyan ay umaandar nang patayin ang makina, ang sandaling ito ay wala, at ang puwersa ng friction sa pagitan ng mga gulong ng kotse at ng kalsada ay maaaring mapabayaan.

Ang bilis ng kotse ay hindi na magiging pare-pareho - ang tangential na bahagi ng gravity ay nagpapabagal o nagpapabilis sa paggalaw ng kotse kasama ang "patay na loop". Magbabago din ang centripetal acceleration. Ito ay nilikha, gaya ng dati, sa pamamagitan ng nagreresultang puwersa ng reaksyon ng kalsada at ang projection ng gravity sa direksyon patungo sa gitna ng loop.

Gawain 10. Ano ang pinakamababang bilis na dapat magkaroon ng kotse sa ilalim ng loop D(tingnan ang Fig. 8) para magawa ito nang patayin ang makina? Ano ang magiging puwersa ng presyon ng kotse sa kalsada sa punto AT? Radius ng loop R= 100 m, bigat ng sasakyan m= 0.5 t.

Tingnan natin kung ano ang pinakamababang bilis na maaaring magkaroon ng kotse sa tuktok ng loop PERO upang patuloy na gumagalaw sa paligid ng bilog?

Ang centripetal acceleration sa puntong iyon sa kalsada ay nilikha ng kabuuan ng puwersa ng grabidad at puwersa ng reaksyon ng kalsada . Ang mas mababa ang bilis ng kotse, mas mababa ang puwersa ng reaksyon. N A. Sa isang halaga, ang puwersang ito ay naglalaho. Sa mas mabagal na bilis, lalampas ang gravity sa halagang kailangan para makalikha ng centripetal acceleration, at aalis ang sasakyan sa kalsada. Sa bilis, ang puwersa ng reaksyon ng kalsada ay nawawala lamang sa tuktok ng loop. Sa katunayan, ang bilis ng kotse sa ibang mga seksyon ng loop ay magiging mas malaki, at dahil madaling makita mula sa solusyon ng nakaraang problema, ang puwersa ng reaksyon ng kalsada ay magiging mas malaki kaysa sa punto. PERO. Samakatuwid, kung ang kotse sa tuktok ng loop ay may bilis , hindi nito iiwan ang loop kahit saan.

Ngayon ay tinutukoy namin kung anong bilis ang dapat magkaroon ng kotse sa ilalim ng loop D sa tuktok ng loop PERO ang bilis niya. Upang mahanap ang bilis υ D maaari mong gamitin ang batas ng konserbasyon ng enerhiya, na parang ang kotse ay gumagalaw lamang sa ilalim ng impluwensya ng grabidad. Ang katotohanan ay ang puwersa ng reaksyon ng kalsada sa bawat sandali ay nakadirekta patayo sa paggalaw ng kotse, at, samakatuwid, ang trabaho nito ay zero (tandaan na ang gawain Δ A = F·Δ s cos α, kung saan ang α ay ang anggulo sa pagitan ng puwersa F at direksyon ng paggalaw Δ s). Ang puwersa ng alitan sa pagitan ng mga gulong ng kotse at ng kalsada kapag nagmamaneho nang nakapatay ang makina ay maaaring mapabayaan. Samakatuwid, ang kabuuan ng potensyal at kinetic na enerhiya ng kotse kapag nagmamaneho nang nakapatay ang makina ay hindi nagbabago.

Itumbas natin ang mga halaga ng enerhiya ng kotse sa mga punto PERO at D. Sa kasong ito, bibilangin namin ang taas mula sa antas ng punto D, iyon ay, ang potensyal na enerhiya ng kotse sa puntong ito ay ituturing na katumbas ng zero. Pagkatapos makuha namin

Pinapalitan dito ang halaga para sa nais na bilis υ D, nakita natin ang: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Kung ang kotse ay pumasok sa loop sa bilis na ito, magagawa nitong kumpletuhin ito nang patayin ang makina.

Alamin natin ngayon kung anong puwersa ang pipindutin ng kotse sa kalsada sa puntong iyon AT. Bilis ng sasakyan sa punto AT muli ito ay madaling mahanap mula sa batas ng konserbasyon ng enerhiya:

Ang pagpapalit ng halaga dito, nakita namin na ang bilis .

Gamit ang solusyon ng nakaraang problema, para sa isang naibigay na bilis, nakita namin ang puwersa ng presyon sa punto B:

Katulad nito, maaari mong mahanap ang puwersa ng presyon sa anumang iba pang punto ng "patay na loop".

Mga ehersisyo

1. Hanapin ang angular velocity ng isang artificial Earth satellite na umiikot sa isang circular orbit na may panahon ng rebolusyon T= 88 min. Hanapin ang linear na bilis ng satellite na ito, kung alam na ang orbit nito ay nasa malayo R= 200 km mula sa ibabaw ng Earth.

2. Radius ng disk R inilagay sa pagitan ng dalawang parallel bar. Ang mga riles ay gumagalaw sa bilis na υ 1 at υ 2. Tukuyin ang angular velocity ng disc at ang velocity ng center nito. Walang madulas.

3. Ang disc ay gumulong sa isang pahalang na ibabaw nang hindi nadudulas. Ipakita na ang mga dulo ng velocity vectors ng vertical diameter points ay nasa parehong tuwid na linya.

4. Ang eroplano ay gumagalaw sa isang bilog na may pare-parehong pahalang na bilis υ = 700 km/h. Tukuyin ang Radius R bilog na ito kung ang katawan ng sasakyang panghimpapawid ay nakahilig sa isang anggulo α = 5°.

5. Mass load m\u003d 100 g, nasuspinde sa isang thread na may haba l= 1 m, pantay na umiikot sa isang bilog sa isang pahalang na eroplano. Hanapin ang panahon ng pag-ikot ng load kung, sa panahon ng pag-ikot nito, ang thread ay pinalihis patayo sa pamamagitan ng isang anggulo α = 30°. Tukuyin din ang pag-igting ng thread.

6. Ang kotse ay gumagalaw sa bilis na υ = 80 km/h kasama ang panloob na ibabaw ng isang patayong silindro ng radius R= 10 m sa isang pahalang na bilog. Sa anong minimum na koepisyent ng friction sa pagitan ng mga gulong ng kotse at sa ibabaw ng silindro posible ito?

7. Mass load m nasuspinde mula sa isang hindi mapalawak na thread, ang pinakamataas na posibleng pag-igting na kung saan ay 1.5 m g. Sa anong pinakamataas na anggulo α maaaring ilihis ang sinulid mula sa patayo upang hindi masira ang sinulid sa karagdagang paggalaw ng pagkarga? Ano ang magiging tensyon ng thread sa sandaling ang thread ay gumagawa ng isang anggulo α/2 sa vertical?

Mga sagot

I. Angular velocity ng isang artipisyal na Earth satellite ≈ 0.071 rad/s. Linear velocity ng satellite υ = ω· R. saan R ay ang radius ng orbit. Nagpapalit dito R = R 3 + h, saan R 3 ≈ 6400 km, nakita namin ang υ ≈ 467 km/s.

2. Dalawang kaso ang posible dito (Larawan 1). Kung ang angular velocity ng disk ay ω, at ang velocity ng sentro nito ay υ, kung gayon ang mga bilis ng mga puntong nakikipag-ugnay sa mga riles ay magiging katumbas ng ayon sa pagkakabanggit.

kung sakaling a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ - ω R;

kung sakaling b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Aming ipinapalagay para sa katiyakan na υ 1 > υ 2). Ang paglutas ng mga sistemang ito, nakita namin:

a)

b)

3. Bilis ng anumang punto M nakahiga sa segment OV(tingnan ang Fig. 2) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula υ M = υ + ω· rM, saan rM- distansya mula sa punto M sa gitna ng disk O. Para sa anumang punto N kabilang sa segment OA, mayroon kaming: υ N = υ – ω· rN, saan r N- distansya mula sa punto N sa gitna. Ipahiwatig sa pamamagitan ng ρ ang distansya mula sa anumang punto ng diameter VA sa punto PERO contact ng disk sa eroplano. Tapos halata naman rM = ρ – R at r N = R – ρ = –(ρ – R). saan R ay ang radius ng disk. Samakatuwid, ang bilis ng anumang punto sa diameter VA ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Dahil ang disk ay gumulong nang hindi dumudulas, pagkatapos ay para sa bilis υ ρ makuha namin ang υ ρ = ω · ρ. Ito ay sumusunod mula dito na ang mga dulo ng velocity vectors ay nasa tuwid na linya na nagmumula sa punto PERO at hilig sa diameter VA sa isang anggulo na proporsyonal sa angular na bilis ng pag-ikot ng disk ω.

Ang napatunayang pahayag ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang kumplikadong paggalaw ng mga puntos na matatagpuan sa diameter VA, ay maaaring ituring sa anumang naibigay na sandali bilang isang simpleng pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming punto PERO na may angular velocity ω katumbas ng angular velocity ng pag-ikot sa paligid ng gitna ng disk. Sa katunayan, sa bawat sandali ang mga bilis ng mga puntong ito ay nakadirekta patayo sa diameter VA, at katumbas ng magnitude sa produkto ng ω at ang distansya sa punto PERO.

Ito ay lumalabas na ang pahayag na ito ay totoo para sa anumang punto sa disk. Bukod dito, ito ay isang pangkalahatang tuntunin. Sa anumang paggalaw ng isang matibay na katawan, sa bawat sandali ay mayroong isang axis sa paligid kung saan ang katawan ay umiikot lamang - ang instantaneous axis ng pag-ikot.

4. Ang eroplano ay apektado (tingnan ang Fig. 3) sa pamamagitan ng gravity R = m g at lakas ng pag-angat N, nakadirekta patayo sa eroplano ng mga pakpak (dahil ang sasakyang panghimpapawid ay gumagalaw sa isang pare-parehong bilis, ang puwersa ng tulak at ang puwersa ng pag-drag ng hangin ay nagbabalanse sa bawat isa). Puwersa ng resulta R

6. Ang kotse ay apektado (Larawan 5) ng gravity R = m g, ang puwersa ng reaksyon mula sa gilid ng silindro N at puwersa ng alitan F tp . Dahil ang kotse ay gumagalaw sa isang pahalang na bilog, ang pwersa R at F tp balansehin ang isa't isa, at ang lakas N lumilikha ng centripetal acceleration. Ang pinakamataas na halaga ng puwersa ng friction ay nauugnay sa puwersa ng reaksyon N ratio: F tp = kN. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation: , kung saan matatagpuan ang pinakamababang halaga ng friction coefficient

7. Ang load ay lilipat sa isang bilog ng radius l(Larawan 6). Ang centripetal acceleration ng load (υ - ang bilis ng load) ay nilikha ng pagkakaiba sa mga halaga ng thread tension force T at gravity projection m g direksyon ng thread: . kaya lang , kung saan ang β ay ang anggulo na nabuo ng thread na may patayo. Habang bumababa ang load, tataas ang bilis nito at bababa ang anggulong β. Ang tensyon ng thread ay magiging maximum sa anggulo β = 0 (sa sandaling patayo ang thread): . Ang maximum na bilis ng load υ 0 ay matatagpuan mula sa anggulo α, kung saan ang thread ay pinalihis, mula sa batas ng konserbasyon ng enerhiya:

Gamit ang ratio na ito, para sa maximum na halaga ng pag-igting ng thread, nakuha namin ang formula: T max = m g(3 – 2 cos α). Ayon sa gawain T m palakol = 2m g. Sa pag-equate ng mga expression na ito, makikita natin ang cos α = 0.5 at, samakatuwid, α = 60°.

Alamin natin ngayon ang tensyon ng thread sa . Ang bilis ng pagkarga sa sandaling ito ay matatagpuan din mula sa batas ng konserbasyon ng enerhiya:

Ang pagpapalit ng halaga ng υ 1 sa formula para sa puwersa ng pag-igting, makikita natin: