Ang rectangular coordinate system sa eroplano ay ibinibigay ng dalawang magkaparehong patayo na linya. Ang mga tuwid na linya ay tinatawag na coordinate axes (o coordinate axes). Ang punto ng intersection ng mga linyang ito ay tinatawag na pinagmulan at tinutukoy ng titik O.

Karaniwan ang isa sa mga linya ay pahalang, ang isa ay patayo. Ang pahalang na linya ay itinalaga bilang x (o Ox) axis at tinatawag na abscissa axis, ang patayo ay ang y (Oy) axis, ay tinatawag na ordinate axis. Ang buong sistema ng coordinate ay tinutukoy ng xOy.

Hinahati ng puntong O ang bawat isa sa mga axes sa dalawang semiaxes, ang isa ay itinuturing na positibo (ito ay tinutukoy ng isang arrow), ang isa ay itinuturing na negatibo.

Ang bawat punto F ng eroplano ay nakatalaga ng isang pares ng mga numero (x;y) — ang mga coordinate nito.

Ang x-coordinate ay tinatawag na abscissa. Ito ay katumbas ng Ox na kinuha na may naaangkop na tanda.

Ang y coordinate ay tinatawag na ordinate at katumbas ng distansya mula sa point F hanggang sa Oy axis (na may kaukulang sign).

Ang mga distansya ng axle ay karaniwang (ngunit hindi palaging) sinusukat sa parehong yunit ng haba.

Ang mga punto sa kanan ng y-axis ay may mga positibong abscissas. Para sa mga puntong nasa kaliwa ng y-axis, ang abscissas ay negatibo. Para sa anumang puntong nakahiga sa Oy-axis, ang x-coordinate nito ay katumbas ng zero.

Ang mga puntos na may positibong ordinate ay nasa itaas ng x-axis, ang mga may negatibong ordinate ay nasa ibaba. Kung ang isang punto ay nasa x-axis, ang y-coordinate nito ay zero.

Hinahati ng coordinate axes ang eroplano sa apat na bahagi, na tinatawag na coordinate quarters (o coordinate angles o quadrants).

1 coordinate quarter matatagpuan sa kanang sulok sa itaas ng xOy coordinate plane. Ang parehong mga coordinate ng mga puntos na matatagpuan sa I quarter ay positibo.

Ang paglipat mula sa isang quarter patungo sa isa pa ay isinasagawa sa counterclockwise.

2nd quarter matatagpuan sa kaliwang sulok sa itaas. Ang mga puntos na nakahiga sa ikalawang quarter ay may negatibong abscissa at positibong ordinate.

3rd quarter ay nasa ibabang kaliwang kuwadrante ng xOy plane. Ang parehong mga coordinate ng mga punto na kabilang sa III coordinate angle ay negatibo.

4th coordinate quarter ay ang ibabang kanang sulok ng coordinate plane. Anumang punto mula sa IV quarter ay may positibong unang coordinate at negatibong pangalawa.

Isang halimbawa ng lokasyon ng mga punto sa isang rectangular coordinate system:

Ang matematika ay isang medyo kumplikadong agham. Ang pag-aaral nito, ang isa ay hindi lamang upang malutas ang mga halimbawa at mga problema, kundi pati na rin upang gumana sa iba't ibang mga figure, at kahit na mga eroplano. Isa sa pinaka ginagamit sa matematika ay ang coordinate system sa eroplano. Ang mga bata ay tinuruan kung paano gamitin ito nang tama nang higit sa isang taon. Samakatuwid, mahalagang malaman kung ano ito at kung paano ito gagawin nang tama.

Alamin natin kung ano ang system na ito, kung anong mga aksyon ang maaari mong gawin dito, at alamin din ang mga pangunahing katangian at tampok nito.

Depinisyon ng konsepto

Ang coordinate plane ay isang eroplano kung saan tinukoy ang isang partikular na coordinate system. Ang nasabing eroplano ay tinutukoy ng dalawang tuwid na linya na nagsasalubong sa tamang anggulo. Ang punto ng intersection ng mga linyang ito ay ang pinagmulan ng mga coordinate. Ang bawat punto sa coordinate plane ay binibigyan ng isang pares ng mga numero, na tinatawag na mga coordinate.

Sa kurso ng matematika ng paaralan, ang mga mag-aaral ay kailangang magtrabaho nang malapit sa sistema ng coordinate - bumuo ng mga numero at puntos dito, matukoy kung aling eroplano ito o ang coordinate na iyon, at tukuyin din ang mga coordinate ng punto at isulat o pangalanan ang mga ito. Samakatuwid, pag-usapan natin nang mas detalyado ang lahat ng mga tampok ng mga coordinate. Ngunit una, hawakan natin ang kasaysayan ng paglikha, at pagkatapos ay pag-uusapan natin kung paano magtrabaho sa coordinate plane.

Sanggunian sa kasaysayan

Ang mga ideya tungkol sa paglikha ng coordinate system ay noong mga araw ni Ptolemy. Kahit na noon, iniisip ng mga astronomo at mathematician kung paano matutunan kung paano itakda ang posisyon ng isang punto sa isang eroplano. Sa kasamaang palad, sa oras na iyon ay walang coordinate system na kilala sa amin, at ang mga siyentipiko ay kailangang gumamit ng iba pang mga sistema.

Sa una, nagtatakda sila ng mga punto sa pamamagitan ng pagtukoy ng latitude at longitude. Sa loob ng mahabang panahon ito ay isa sa mga pinakaginagamit na paraan ng pagmamapa nito o ng impormasyong iyon. Ngunit noong 1637, si Rene Descartes ay lumikha ng kanyang sariling coordinate system, na kalaunan ay pinangalanang "Cartesian".

Nasa dulo na ng XVII century. ang konsepto ng "coordinate plane" ay naging malawakang ginagamit sa mundo ng matematika. Sa kabila ng katotohanang ilang siglo na ang lumipas mula nang likhain ang sistemang ito, malawak pa rin itong ginagamit sa matematika at maging sa buhay.

Mga halimbawa ng coordinate plane

Bago pag-usapan ang teorya, magbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng paglalarawan ng coordinate plane upang maisip mo ito. Ang sistema ng coordinate ay pangunahing ginagamit sa chess. Sa board, ang bawat parisukat ay may sariling mga coordinate - isang titik na coordinate, ang pangalawa - digital. Sa tulong nito, matutukoy mo ang posisyon ng isang partikular na piraso sa pisara.

Ang pangalawang pinaka-kapansin-pansin na halimbawa ay ang minamahal na laro na "Battleship". Tandaan kung paano, kapag naglalaro, pinangalanan mo ang isang coordinate, halimbawa, B3, kaya eksaktong nagpapahiwatig kung saan ka naglalayon. Kasabay nito, kapag naglalagay ng mga barko, nagtatakda ka ng mga punto sa coordinate plane.

Ang sistemang ito ng coordinate ay malawakang ginagamit hindi lamang sa matematika, mga larong lohika, kundi pati na rin sa mga usaping militar, astronomiya, pisika at marami pang ibang agham.

Coordinate axes

Tulad ng nabanggit na, ang dalawang axes ay nakikilala sa sistema ng coordinate. Pag-usapan natin ang mga ito nang kaunti, dahil ang mga ito ay may malaking kahalagahan.

Ang unang axis - abscissa - ay pahalang. Ito ay tinutukoy bilang ( baka). Ang pangalawang axis ay ang ordinate, na pumasa patayo sa reference point at tinutukoy bilang ( Oy). Ang dalawang palakol na ito ang bumubuo sa sistema ng coordinate, na naghahati sa eroplano sa apat na quarter. Ang pinagmulan ay matatagpuan sa intersection point ng dalawang axes na ito at tumatagal sa halaga 0 . Tanging kung ang eroplano ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang axes na bumalandra nang patayo at may reference point, ito ba ay isang coordinate plane.

Tandaan din na ang bawat isa sa mga palakol ay may sariling direksyon. Karaniwan, kapag nagtatayo ng isang sistema ng coordinate, kaugalian na ipahiwatig ang direksyon ng axis sa anyo ng isang arrow. Bilang karagdagan, kapag gumagawa ng coordinate plane, ang bawat isa sa mga axes ay nilagdaan.

quarters

Ngayon sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa isang konsepto bilang quarters ng coordinate plane. Ang eroplano ay nahahati ng dalawang palakol sa apat na quarter. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling numero, habang ang pag-numero ng mga eroplano ay counterclockwise.

Ang bawat quarter ay may sariling katangian. Kaya, sa unang quarter, ang abscissa at ang ordinate ay positibo, sa ikalawang quarter, ang abscissa ay negatibo, ang ordinate ay positibo, sa pangatlo, parehong ang abscissa at ang ordinate ay negatibo, sa ikaapat, ang abscissa ay positibo, at ang ordinate ay negatibo.

Sa pamamagitan ng pag-alala sa mga feature na ito, madali mong matutukoy kung saang quarter kabilang ang isang partikular na punto. Bilang karagdagan, ang impormasyong ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo kung kailangan mong gumawa ng mga kalkulasyon gamit ang Cartesian system.

Paggawa gamit ang coordinate plane

Kapag nalaman natin ang konsepto ng isang eroplano at pinag-usapan ang mga quarter nito, maaari tayong magpatuloy sa isang problema tulad ng pagtatrabaho sa sistemang ito, at pag-usapan din kung paano maglagay ng mga puntos, mga coordinate ng mga numero dito. Sa coordinate plane, hindi ito kasing hirap na tila sa unang tingin.

Una sa lahat, ang sistema mismo ay itinayo, ang lahat ng mahahalagang pagtatalaga ay inilalapat dito. Pagkatapos ay mayroong trabaho nang direkta sa mga puntos o numero. Sa kasong ito, kahit na gumagawa ng mga numero, ang mga puntos ay unang inilapat sa eroplano, at pagkatapos ay ang mga numero ay iguguhit na.

Mga panuntunan para sa paggawa ng isang eroplano

Kung magpasya kang simulan ang pagmamarka ng mga hugis at punto sa papel, kakailanganin mo ng coordinate plane. Ang mga coordinate ng mga punto ay naka-plot dito. Upang makabuo ng coordinate plane, kailangan mo lamang ng ruler at panulat o lapis. Una, ang pahalang na abscissa ay iguguhit, pagkatapos ay ang vertical - ordinate. Mahalagang tandaan na ang mga axes ay bumalandra sa tamang mga anggulo.

Ang susunod na obligadong aytem ay pagmamarka. Ang mga unit-segment ay minarkahan at nilagdaan sa bawat isa sa mga palakol sa parehong direksyon. Ginagawa ito upang maaari kang magtrabaho kasama ang eroplano nang may pinakamataas na kaginhawahan.

Pagmarka ng isang punto

Ngayon pag-usapan natin kung paano i-plot ang mga coordinate ng mga puntos sa coordinate plane. Ito ang mga pangunahing kaalaman na kailangan mong malaman upang matagumpay na mailagay ang iba't ibang mga hugis sa eroplano, at kahit na markahan ang mga equation.

Kapag nagtatayo ng mga punto, dapat tandaan ng isa kung paano naitala nang tama ang kanilang mga coordinate. Kaya, kadalasang nagtatakda ng isang punto, dalawang numero ang nakasulat sa mga bracket. Ang unang digit ay nagpapahiwatig ng coordinate ng punto kasama ang abscissa axis, ang pangalawa - kasama ang ordinate axis.

Ang punto ay dapat na binuo sa ganitong paraan. Markahan muna sa axis baka ibinigay na punto, pagkatapos ay markahan ang isang punto sa axis Oy. Susunod, gumuhit ng mga haka-haka na linya mula sa mga pagtatalaga na ito at hanapin ang lugar ng kanilang intersection - ito ang magiging ibinigay na punto.

Ang kailangan mo lang gawin ay markahan ito at lagdaan ito. Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay medyo simple at hindi nangangailangan ng mga espesyal na kasanayan.

Paglalagay ng Hugis

Ngayon ay lumipat tayo sa isang katanungan tulad ng pagtatayo ng mga numero sa coordinate plane. Upang makabuo ng anumang figure sa coordinate plane, dapat mong malaman kung paano maglagay ng mga puntos dito. Kung alam mo kung paano gawin ito, kung gayon ang paglalagay ng figure sa isang eroplano ay hindi napakahirap.

Una sa lahat, kakailanganin mo ang mga coordinate ng mga punto ng figure. Sa kanila natin ilalapat ang mga napili mo sa ating coordinate system. Pag-isipan natin ang pagguhit ng parihaba, tatsulok at bilog.

Magsimula tayo sa isang parihaba. Ang paglalapat nito ay medyo madali. Una, apat na puntos ang inilapat sa eroplano, na nagpapahiwatig ng mga sulok ng rektanggulo. Pagkatapos ang lahat ng mga punto ay magkakasunod na konektado sa bawat isa.

Ang pagguhit ng isang tatsulok ay hindi naiiba. Ang tanging bagay ay mayroon itong tatlong sulok, na nangangahulugan na ang tatlong puntos ay inilapat sa eroplano, na nagsasaad ng mga vertice nito.

Tungkol sa bilog, dito dapat mong malaman ang mga coordinate ng dalawang puntos. Ang unang punto ay ang sentro ng bilog, ang pangalawa ay ang punto na nagsasaad ng radius nito. Ang dalawang puntong ito ay naka-plot sa isang eroplano. Pagkatapos ay kinuha ang isang compass, ang distansya sa pagitan ng dalawang punto ay sinusukat. Ang punto ng compass ay inilalagay sa isang punto na nagsasaad ng gitna, at isang bilog ang inilalarawan.

Tulad ng nakikita mo, wala ring kumplikado dito, ang pangunahing bagay ay palaging mayroong isang pinuno at isang kumpas sa kamay.

Ngayon alam mo na kung paano mag-plot ng mga coordinate ng hugis. Sa coordinate plane, hindi ito napakahirap gawin, na tila sa unang tingin.

mga konklusyon

Kaya, isinaalang-alang namin sa iyo ang isa sa mga pinaka-kawili-wili at pangunahing mga konsepto para sa matematika na kailangang harapin ng bawat mag-aaral.

Nalaman namin na ang coordinate plane ay ang eroplano na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang axes. Sa tulong nito, maaari mong itakda ang mga coordinate ng mga puntos, ilagay ang mga hugis dito. Ang eroplano ay nahahati sa quarters, bawat isa ay may sariling mga katangian.

Ang pangunahing kasanayan na dapat mabuo kapag nagtatrabaho sa coordinate plane ay ang kakayahang mag-plot ng mga ibinigay na puntos dito. Upang gawin ito, dapat mong malaman ang tamang lokasyon ng mga axes, ang mga tampok ng quarters, pati na rin ang mga patakaran kung saan itinakda ang mga coordinate ng mga puntos.

Umaasa kami na ang impormasyong ibinigay sa amin ay naa-access at naiintindihan, at naging kapaki-pakinabang din para sa iyo at nakatulong upang mas maunawaan ang paksang ito.

"Mga Function Grade 9" - Y \u003d x3. Maaaring tukuyin ang function gamit ang isang formula, halimbawa: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Kabilang sa mga elementary function ang halos lahat ng function na makikita sa isang textbook ng paaralan. Pinuno Kryuchkova Tatyana Borisovna guro, matematika. Talaan ng nilalaman: Appendix 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. Paglalapat4. Y \u003d 0.3x2. Kalakip 1.

"Properties ng function" - 0. 1. Depinisyon ng function. 3. Saklaw ng mga halaga. y=0, x=0 6. Mga agwat ng constant sign y > 0 sa (0; +). 5.Zero function. Mga katangian ng pag-andar. 7. Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba. y= x, n=2 2. Saklaw D(y)=. Ang ganitong mga dami ay ayon sa pagkakabanggit ay tinatawag na mga constant at variable. -p. T. y = f(x). -isa. Dagdag pa.

"Function research" - Gamit ang function research scheme, kumpletuhin ang gawain: p. 24; No. 296 (a; b), No. 299 (a; b). Gawain sa pagpapatunay: Sagot: D (f) = R, kakaiba, tumataas. Magsagawa ng pasalita: Para sa function na f(x)=х3 matukoy ang D(f), parity, pagtaas, pagbaba. Patunayan na ang function na f(x)=x5+4x ay tumataas sa set R. 2) Isang halimbawa ng pag-aaral ng isang function.

"Coordinate plane" - Ang equation ng isang straight line in. Upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga problema sa coordinate plane. Coordinate line, coordinate angle. Gawain bilang 1. Panuntunan para sa pagbabasa ng mga coordinate. coordinate quarters. Paano minarkahan ang mga puntos sa isang eroplano. (2 paraan). Line equation a. Lesson plan. Mga coordinate ng mga puntos na matatagpuan sa mga palakol.

"Pagtaas ng function" - Algorithm para sa paghahanap ng extrema ng function. Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay isinasagawa nang analitikal o sa pamamagitan ng paraan ng pagitan. Nahanap namin ang f / (x) Tinutukoy namin ang mga kritikal na punto ng function na f(x), i.e. mga punto kung saan wala ang f / (x)=0 o f / (x). Derivative. Nilalaman. Tg(a)=k, k-touch factor. Derivative table.

Sa kabuuan mayroong 19 na presentasyon sa paksa

Kung maglalagay ka ng bilog na unit number sa coordinate plane, makakahanap ka ng mga coordinate para sa mga punto nito. Ang numerical na bilog ay nakaposisyon upang ang sentro nito ay tumutugma sa pinagmulan ng eroplano, ibig sabihin, ang puntong O (0; 0).

Karaniwan, sa isang bilog na unit number, ang mga puntos ay minarkahan na tumutugma sa pinagmulan sa bilog

• quarters - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
• gitnang quarter - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• ikatlong quarter - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Sa coordinate plane, kasama ang nasa itaas na pag-aayos ng bilog ng yunit dito, mahahanap ng isa ang mga coordinate na naaayon sa mga puntong ito ng bilog.

Napakadaling mahanap ang mga coordinate ng mga dulo ng quarters. Sa punto 0 ng bilog, ang x-coordinate ay 1, at y ay 0. Maaari nating isulat ang A (0) = A (1; 0).

Ang katapusan ng unang quarter ay matatagpuan sa positibong y-axis. Samakatuwid, B (π/2) = B (0; 1).

Ang pagtatapos ng ikalawang quarter ay nasa negatibong abscissa: C (π) = C (-1; 0).

Pagtatapos ng ikatlong quarter: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ngunit paano mahahanap ang mga coordinate ng mga midpoint ng quarters? Upang gawin ito, bumuo ng isang tamang tatsulok. Ang hypotenuse nito ay isang segment mula sa gitna ng bilog (o sa pinanggalingan) hanggang sa midpoint ng quarter circle. Ito ang radius ng bilog. Dahil ang bilog ay unit, ang hypotenuse ay katumbas ng 1. Susunod, ang isang patayo ay iguguhit mula sa isang punto sa bilog patungo sa anumang axis. Hayaan ito sa x-axis. Ito ay lumiliko ang isang right-angled na tatsulok, ang mga haba ng mga binti kung saan ay ang x at y na mga coordinate ng punto ng bilog.

Ang isang quarter na bilog ay 90º. At kalahating quarter ay 45º. Dahil ang hypotenuse ay iginuhit sa punto ng gitna ng quarter, ang anggulo sa pagitan ng hypotenuse at ang leg na lumalabas sa pinanggalingan ay 45º. Ngunit ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay 180º. Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng hypotenuse at ng kabilang binti ay nananatiling 45º. Ito ay lumalabas na isosceles right triangle.

Mula sa Pythagorean theorem nakuha natin ang equation x 2 + y 2 = 1 2 . Dahil ang x = y at 1 2 = 1, ang equation ay pinasimple sa x 2 + x 2 = 1. Ang paglutas nito, makukuha natin ang x = √1 = 1/√2 = √2/2.

Kaya, ang mga coordinate ng punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Sa mga coordinate ng mga punto ng mga midpoint ng iba pang mga quarter, tanging ang mga palatandaan ay magbabago, at ang mga module ng mga halaga ay mananatiling pareho, dahil ang right-angled triangle ay babalik lamang. Nakukuha namin:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Kapag tinutukoy ang mga coordinate ng mga ikatlong bahagi ng quarters ng bilog, isang tamang tatsulok ay binuo din. Kung kukunin natin ang puntong π/6 at gumuhit ng patayo sa x-axis, ang anggulo sa pagitan ng hypotenuse at ng binti na nakahiga sa x-axis ay magiging 30º. Ito ay kilala na ang binti na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30º ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse. Kaya nahanap namin ang y coordinate, ito ay katumbas ng ½.

Alam ang haba ng hypotenuse at isa sa mga binti, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem nahanap natin ang kabilang binti:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2

Kaya T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Para sa punto ng ikalawang ikatlong bahagi ng unang quarter (π / 3), mas mahusay na gumuhit ng patayo sa axis sa y axis. Kung gayon ang anggulo sa pinanggalingan ay magiging 30º din. Dito, ang x coordinate ay magiging katumbas na ng ½, at y, ayon sa pagkakabanggit, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Para sa iba pang mga ikatlong quarter na puntos, ang mga palatandaan at pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng coordinate ay magbabago. Ang lahat ng mga puntos na mas malapit sa x-axis ay magkakaroon ng modulo value ng x-coordinate na katumbas ng √3/2. Ang mga puntong iyon na mas malapit sa y-axis ay magkakaroon ng modulo y value na katumbas ng √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)