average na halaga- ito ay isang pangkalahatang tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa isang qualitatively homogenous na populasyon ayon sa isang tiyak na quantitative attribute. Halimbawa, ang average na edad ng mga taong nahatulan ng pagnanakaw.
Sa mga istatistika ng panghukuman, ang mga average ay ginagamit upang makilala ang:
Average na mga tuntunin ng pagsasaalang-alang ng mga kaso ng kategoryang ito;
Katamtamang laki ng paghahabol;
Ang average na bilang ng mga nasasakdal bawat kaso;
Average na halaga ng pinsala;
Average na workload ng mga hukom, atbp.
Ang average na halaga ay palaging pinangalanan at may parehong dimensyon bilang katangian ng isang hiwalay na yunit ng populasyon. Ang bawat average na halaga ay nagpapakilala sa pinag-aralan na populasyon ayon sa alinmang isang iba't ibang katangian, samakatuwid, sa likod ng anumang average, mayroong isang serye ng pamamahagi ng mga yunit ng populasyon na ito ayon sa pinag-aralan na katangian. Ang pagpili ng uri ng average ay tinutukoy ng nilalaman ng indicator at ang paunang data para sa pagkalkula ng average.
Ang lahat ng uri ng mga average na ginagamit sa mga pag-aaral sa istatistika ay nahahati sa dalawang kategorya:
1) mga average ng kapangyarihan;
2) mga katamtamang istruktura.
Kasama sa unang kategorya ng mga average ang: arithmetic mean, harmonic mean, geometric mean at root ibig sabihin ng square . Ang pangalawang kategorya ay fashion at panggitna. Bukod dito, ang bawat isa sa mga nakalistang uri ng mga average ng kuryente ay maaaring magkaroon ng dalawang anyo: simple lang at natimbang . Ang simpleng anyo ng mean ay ginagamit upang makuha ang mean ng katangiang pinag-aaralan kapag ang kalkulasyon ay batay sa hindi pinagsama-samang mga istatistika, o kapag ang bawat variant ay nangyayari nang isang beses lamang sa populasyon. Ang mga timbang na average ay mga halaga na isinasaalang-alang na ang mga pagpipilian para sa mga halaga ng isang tampok ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga numero, at samakatuwid ang bawat pagpipilian ay kailangang i-multiply sa kaukulang dalas. Sa madaling salita, ang bawat opsyon ay "tinitimbang" sa dalas nito. Ang dalas ay tinatawag na istatistikal na timbang.
simpleng ibig sabihin ng aritmetika- ang pinakakaraniwang uri ng daluyan. Ito ay katumbas ng kabuuan ng mga indibidwal na halaga ng katangian na hinati sa kabuuang bilang ng mga halagang ito:
saan x 1 ,x 2 , … ,x N- mga indibidwal na halaga ng variable na katangian (mga opsyon), at N - ang bilang ng mga yunit ng populasyon.
Arithmetic weighted average ginagamit kapag ang data ay ipinakita sa anyo ng mga serye ng pamamahagi o pagpapangkat. Ito ay kinakalkula bilang kabuuan ng mga produkto ng mga opsyon at ang kanilang kaukulang mga frequency, na hinati sa kabuuan ng mga frequency ng lahat ng mga opsyon:
saan x i- ibig sabihin i-th variant ng feature; fi- dalas i ika mga pagpipilian.
Kaya, ang bawat variant na value ay binibigyang timbang ng dalas nito, kung kaya't ang mga frequency ay tinatawag na mga istatistikal na timbang.
Magkomento. Pagdating sa arithmetic mean nang hindi tinukoy ang uri nito, ang simpleng arithmetic mean ang ibig sabihin.
Talahanayan 12
Solusyon. Para sa pagkalkula, ginagamit namin ang formula ng arithmetic weighted average:
Kaya, sa karaniwan, mayroong dalawang nasasakdal sa bawat kasong kriminal.
Kung ang pagkalkula ng average na halaga ay isinasagawa ayon sa data na naka-grupo sa anyo ng serye ng pamamahagi ng agwat, pagkatapos ay kailangan mo munang matukoy ang mga median na halaga ng bawat pagitan x "i, at pagkatapos ay kalkulahin ang average na halaga gamit ang weighted arithmetic mean formula, kung saan ang x" i ay pinapalitan ng x i.
Halimbawa. Ang data sa edad ng mga kriminal na nahatulan ng pagnanakaw ay ipinakita sa talahanayan:
Talahanayan 13
Tukuyin ang karaniwang edad ng mga kriminal na nahatulan ng pagnanakaw.
Solusyon. Upang matukoy ang average na edad ng mga kriminal batay sa serye ng pagkakaiba-iba ng pagitan, kailangan mo munang hanapin ang mga median na halaga ng mga pagitan. Dahil ang isang serye ng agwat na may bukas na una at huling mga agwat ay ibinigay, ang mga halaga ng mga agwat na ito ay kinukuha na katumbas ng mga halaga ng mga katabing saradong agwat. Sa aming kaso, ang halaga ng una at huling mga pagitan ay 10.
Ngayon nakita namin ang average na edad ng mga kriminal na gumagamit ng weighted arithmetic mean formula:
Kaya, ang average na edad ng mga nagkasala na nahatulan ng pagnanakaw ay humigit-kumulang 27 taon.
Average na harmonic simple ay ang reciprocal ng arithmetic mean ng mga katumbas na halaga ng katangian:
kung saan 1/ x i ay ang kapalit ng mga opsyon, at ang N ay ang bilang ng mga yunit ng populasyon.
Halimbawa. Upang matukoy ang average na taunang workload para sa mga hukom ng isang korte ng distrito kapag isinasaalang-alang ang mga kasong kriminal, isang survey ang isinagawa sa workload ng 5 mga hukom ng hukuman na ito. Ang average na oras na ginugol sa isang kasong kriminal para sa bawat isa sa mga na-survey na hukom ay naging pantay (sa mga araw): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Hanapin ang average na gastos para sa isa kasong kriminal at ang karaniwang taunang bigat ng trabaho sa mga hukom ng korte ng distritong ito kapag isinasaalang-alang ang mga kasong kriminal.
Solusyon. Upang matukoy ang average na oras na ginugol sa isang kasong kriminal, ginagamit namin ang harmonic simpleng formula:
Upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa halimbawa, kunin natin ang bilang ng mga araw sa isang taon na katumbas ng 365, kabilang ang mga katapusan ng linggo (hindi ito nakakaapekto sa paraan ng pagkalkula, at kapag kinakalkula ang isang katulad na tagapagpahiwatig sa pagsasanay, kinakailangang palitan ang bilang ng mga nagtatrabaho araw sa isang partikular na taon sa halip na 365 araw). Kung gayon ang average na taunang bigat ng trabaho para sa mga hukom ng korte ng distrito na ito kapag isinasaalang-alang ang mga kasong kriminal ay magiging: 365 (araw): 5.56 ≈ 65.6 (mga kaso).
Kung ginamit namin ang simpleng arithmetic mean formula upang matukoy ang average na oras na ginugol sa isang kasong kriminal, makakakuha kami ng:
365 (araw): 5.64 ≈ 64.7 (mga kaso), i.e. ang average na workload para sa mga hukom ay mas mababa.
Suriin natin ang bisa ng diskarteng ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang data sa oras na ginugol sa isang kasong kriminal para sa bawat hukom at kinakalkula ang bilang ng mga kasong kriminal na isinasaalang-alang ng bawat isa sa kanila bawat taon.
Nakukuha namin nang naaayon:
365(araw) : 6 ≈ 61 (kaso), 365(araw): 5.6 ≈ 65.2 (kaso), 365(araw): 6.3 ≈ 58 (kaso),
365(araw): 4.9 ≈ 74.5 (mga kaso), 365(mga araw) : 5.4 ≈ 68 (mga kaso).
Ngayon, kinakalkula namin ang average na taunang workload para sa mga hukom ng korte ng distrito kapag isinasaalang-alang ang mga kasong kriminal:
Yung. ang average na taunang pagkarga ay pareho sa paggamit ng harmonic mean.
Kaya, ang paggamit ng arithmetic mean sa kasong ito ay labag sa batas.
Sa mga kaso kung saan ang mga variant ng isang tampok ay kilala, ang kanilang mga volumetric na halaga (ang produkto ng mga variant sa pamamagitan ng dalas), ngunit ang mga frequency mismo ay hindi alam, ang harmonic weighted average na formula ay inilalapat:
,
saan x i ay ang mga halaga ng mga pagpipilian sa katangian, at w i ang mga volumetric na halaga ng mga pagpipilian ( w i = x i f i).
Halimbawa. Ang data sa presyo ng isang yunit ng parehong uri ng mga kalakal na ginawa ng iba't ibang mga institusyon ng sistema ng penitentiary, at sa dami ng pagpapatupad nito ay ibinibigay sa talahanayan 14.
Talahanayan 14
Hanapin ang average na presyo ng pagbebenta ng produkto.
Solusyon. Kapag kinakalkula ang average na presyo, dapat nating gamitin ang ratio ng halagang naibenta sa bilang ng mga yunit na naibenta. Hindi namin alam ang bilang ng mga naibentang unit, ngunit alam namin ang halaga ng mga benta ng mga kalakal. Samakatuwid, upang mahanap ang average na presyo ng mga kalakal na ibinebenta, ginagamit namin ang harmonic weighted average na formula. Nakukuha namin
Kung gagamitin mo ang arithmetic mean formula dito, maaari kang makakuha ng average na presyo na hindi makatotohanan:
Geometric ibig sabihin ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagkuha ng ugat ng degree N mula sa produkto ng lahat ng mga halaga ng mga pagpipilian sa tampok:
,
saan x 1 ,x 2 , … ,x N- mga indibidwal na halaga ng variable na katangian (mga opsyon), at
N- bilang ng mga yunit ng populasyon.
Ang ganitong uri ng average ay ginagamit upang kalkulahin ang average na mga rate ng paglago ng serye ng oras.
root ibig sabihin ng square ay ginagamit upang kalkulahin ang standard deviation, na isang indicator ng variation, at tatalakayin sa ibaba.
Upang matukoy ang istraktura ng populasyon, ginagamit ang mga espesyal na average, na kinabibilangan panggitna at fashion , o ang tinatawag na structural averages. Kung ang arithmetic mean ay kinakalkula batay sa paggamit ng lahat ng mga variant ng mga value ng attribute, ang median at mode ay nagpapakilala sa halaga ng variant na sumasakop sa isang partikular na average na posisyon sa ranggo (nakaayos) na serye. Ang pagkakasunud-sunod ng mga yunit ng istatistikal na populasyon ay maaaring isagawa sa pataas o pababang pagkakasunud-sunod ng mga variant ng katangiang pinag-aaralan.
Median (Ako) ay ang value na tumutugma sa variant sa gitna ng ranggo na serye. Kaya, ang median ay ang variant ng ranggo na serye, sa magkabilang panig kung saan sa seryeng ito ay dapat mayroong pantay na bilang ng mga yunit ng populasyon.
Upang mahanap ang median, kailangan mo munang matukoy ang serial number nito sa ranggo na serye gamit ang formula:
kung saan ang N ay ang dami ng serye (ang bilang ng mga yunit ng populasyon).
Kung ang serye ay binubuo ng kakaibang bilang ng mga miyembro, ang median ay katumbas ng variant na may numerong N Me . Kung ang serye ay binubuo ng pantay na bilang ng mga miyembro, ang median ay tinutukoy bilang ang arithmetic mean ng dalawang magkatabing opsyon na matatagpuan sa gitna.
Halimbawa. Nabigyan ng ranggo na serye 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Ang dami ng serye ay N = 9, na nangangahulugang N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Samakatuwid, Me = 6, ibig sabihin. ikalimang opsyon. Kung ang isang hilera ay bibigyan ng 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, i.e. serye na may pantay na bilang ng mga miyembro (N = 8), pagkatapos ay N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. Kaya ang median ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng ikaapat at ikalimang opsyon, i.e. Ako = (9 + 11) / 2 = 10.
Sa isang discrete variational series, ang median ay tinutukoy ng mga naipon na frequency. Ang mga variant frequency, simula sa una, ay isinu-summed hanggang sa lumampas ang median na numero. Ang halaga ng mga huling summed na opsyon ay ang median.
Halimbawa. Hanapin ang median na bilang ng mga nasasakdal sa bawat kasong kriminal gamit ang data sa Talahanayan 12.
Solusyon. Sa kasong ito, ang dami ng serye ng variation ay N = 154, samakatuwid, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. Pagbubuod ng mga frequency ng una at pangalawang pagpipilian, nakukuha natin: 75 + 43 = 118, i.e. nalampasan na natin ang median number. Kaya Ako = 2.
Sa serye ng pagkakaiba-iba ng pagitan ng pamamahagi, ipahiwatig muna ang pagitan kung saan matatagpuan ang median. Siya ay tinatawag panggitna . Ito ang unang agwat na ang naipon na dalas ay lumampas sa kalahati ng dami ng serye ng pagkakaiba-iba ng agwat. Pagkatapos ang numerical value ng median ay tinutukoy ng formula:
saan x Ako- ang mas mababang limitasyon ng median interval; i - ang halaga ng median interval; S Ako-1- ang naipon na dalas ng pagitan na nauuna sa median; f Ako- dalas ng median interval.
Halimbawa. Hanapin ang median na edad ng mga nagkasala na hinatulan ng pagnanakaw, batay sa mga istatistika na ipinakita sa Talahanayan 13.
Solusyon. Ang data ng istatistika ay kinakatawan ng isang serye ng pagkakaiba-iba ng pagitan, na nangangahulugan na una nating tinutukoy ang median na pagitan. Ang dami ng populasyon N = 162, samakatuwid, ang median na pagitan ay ang pagitan ng 18-28, dahil ito ang unang agwat na ang naipon na dalas (15 + 90 = 105) ay lumampas sa kalahati ng volume (162: 2 = 81) ng serye ng pagkakaiba-iba ng pagitan. Ngayon ang numerical value ng median ay tinutukoy ng formula sa itaas:
Kaya, kalahati ng mga nahatulan ng pagnanakaw ay wala pang 25 taong gulang.
Fashion (Mo) pangalanan ang halaga ng katangian, na kadalasang matatagpuan sa mga yunit ng populasyon. Ginagamit ang fashion upang matukoy ang halaga ng tampok na pinakakaraniwan. Para sa isang discrete series, ang mode ang magiging variant na may pinakamataas na frequency. Halimbawa, para sa isang discrete na serye na ipinakita sa Talahanayan 3 Mo= 1, dahil ang halagang ito ng mga opsyon ay tumutugma sa pinakamataas na dalas - 75. Upang matukoy ang mode ng serye ng pagitan, tukuyin muna modal agwat (interval na may pinakamataas na dalas). Pagkatapos, sa loob ng agwat na ito, makikita ang halaga ng tampok, na maaaring maging isang mode.
Ang halaga nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
saan x Mo- ang mas mababang limitasyon ng modal interval; i - ang halaga ng modal interval; f Mo- dalas ng agwat ng modal; f Mo-1- dalas ng agwat bago ang modal; f Mo+1- dalas ng agwat kasunod ng modal.
Halimbawa. Hanapin ang edad na paraan ng mga kriminal na nahatulan ng pagnanakaw, ang data kung saan ipinakita sa talahanayan 13.
Solusyon. Ang pinakamataas na dalas ay tumutugma sa pagitan 18-28, samakatuwid, ang mode ay dapat na nasa pagitan na ito. Ang halaga nito ay tinutukoy ng formula sa itaas:
Kaya, ang pinakamalaking bilang ng mga kriminal na nahatulan ng pagnanakaw ay 24 taong gulang.
Ang average na halaga ay nagbibigay ng pangkalahatang katangian ng kabuuan ng hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan. Gayunpaman, ang dalawang populasyon na may parehong ibig sabihin na mga halaga ay maaaring magkaiba nang malaki sa isa't isa sa mga tuntunin ng antas ng pagbabagu-bago (variation) sa halaga ng pinag-aralan na katangian. Halimbawa, sa isang korte ang mga sumusunod na tuntunin ng pagkakulong ay itinalaga: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 taon, at sa isa pa - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 taong gulang. Sa parehong mga kaso, ang arithmetic mean ay 6.7 taon. Gayunpaman, ang mga pinagsama-samang ito ay makabuluhang naiiba sa bawat isa sa pagkalat ng mga indibidwal na halaga ng itinalagang termino ng pagkakulong na may kaugnayan sa average na halaga.
At para sa unang hukuman, kung saan ang pagkakaiba-iba na ito ay medyo malaki, ang karaniwang termino ng pagkakulong ay hindi sumasalamin sa buong populasyon. Kaya, kung ang mga indibidwal na halaga ng katangian ay naiiba nang kaunti sa bawat isa, kung gayon ang ibig sabihin ng aritmetika ay magiging isang medyo nagpapahiwatig na katangian ng mga katangian ng populasyon na ito. Kung hindi, ang arithmetic mean ay magiging isang hindi mapagkakatiwalaang katangian ng populasyon na ito at ang paggamit nito sa pagsasanay ay hindi epektibo. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang pagkakaiba-iba sa mga halaga ng pinag-aralan na katangian.
pagkakaiba-iba- ito ay mga pagkakaiba sa mga halaga ng isang katangian sa iba't ibang mga yunit ng isang naibigay na populasyon sa parehong panahon o punto sa oras. Ang terminong "variation" ay mula sa Latin na pinagmulan - variatio, na nangangahulugang pagkakaiba, pagbabago, pagbabagu-bago. Ito ay lumitaw bilang isang resulta ng katotohanan na ang mga indibidwal na halaga ng katangian ay nabuo sa ilalim ng pinagsamang impluwensya ng iba't ibang mga kadahilanan (kondisyon), na pinagsama sa iba't ibang paraan sa bawat indibidwal na kaso. Upang sukatin ang pagkakaiba-iba ng isang katangian, ginagamit ang iba't ibang absolute at relative indicator.
Ang mga pangunahing tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay kinabibilangan ng mga sumusunod:
1) saklaw ng pagkakaiba-iba;
2) average na linear deviation;
3) pagpapakalat;
4) karaniwang paglihis;
5) koepisyent ng pagkakaiba-iba.
Isaalang-alang natin sandali ang bawat isa sa kanila.
Pagbabago ng span Ang R ay ang pinaka-naa-access na ganap na tagapagpahiwatig sa mga tuntunin ng kadalian ng pagkalkula, na tinukoy bilang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng katangian para sa mga yunit ng populasyon na ito:
Ang hanay ng variation (saklaw ng mga pagbabago-bago) ay isang mahalagang tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ng isang katangian, ngunit ginagawang posible na makita lamang ang matinding paglihis, na naglilimita sa saklaw nito. Para sa isang mas tumpak na paglalarawan ng pagkakaiba-iba ng isang katangian batay sa pagbabagu-bago nito, ginagamit ang iba pang mga tagapagpahiwatig.
Average na linear deviation kumakatawan sa arithmetic mean ng mga ganap na halaga ng mga paglihis ng mga indibidwal na halaga ng katangian mula sa mean at tinutukoy ng mga formula:
1) para sa ungrouped data
2) para sa serye ng pagkakaiba-iba
Gayunpaman, ang pinakamalawak na ginagamit na sukatan ng pagkakaiba-iba ay pagpapakalat . Inilalarawan nito ang sukat ng pagkalat ng mga halaga ng pinag-aralan na katangian na may kaugnayan sa average na halaga nito. Ang pagkakaiba ay tinukoy bilang ang average ng mga deviations squared.
simpleng pagkakaiba-iba para sa hindi nakagrupong data:
.
Natimbang na pagkakaiba-iba para sa serye ng variation:
Magkomento. Sa pagsasagawa, mas mainam na gamitin ang mga sumusunod na formula upang kalkulahin ang pagkakaiba-iba:
Para sa isang simpleng pagkakaiba
.
Para sa weighted variance
Karaniwang lihis ay ang square root ng variance:
Ang standard deviation ay isang sukatan ng pagiging maaasahan ng mean. Kung mas maliit ang standard deviation, mas homogenous ang populasyon at mas maganda ang arithmetic mean na sumasalamin sa buong populasyon.
Ang mga sukat ng pagpapakalat na isinasaalang-alang sa itaas (saklaw ng pagkakaiba-iba, pagkakaiba-iba, karaniwang paglihis) ay ganap na mga tagapagpahiwatig, kung saan hindi laging posible na hatulan ang antas ng pagbabagu-bago ng isang katangian. Sa ilang mga problema, kinakailangan na gumamit ng mga kamag-anak na scattering index, ang isa ay ang koepisyent ng pagkakaiba-iba.
Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba- ipinahayag bilang isang porsyento ng ratio ng standard deviation sa arithmetic mean:
Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay ginagamit hindi lamang para sa isang paghahambing na pagtatasa ng pagkakaiba-iba ng iba't ibang mga katangian o parehong katangian sa iba't ibang mga populasyon, ngunit din upang makilala ang homogeneity ng populasyon. Ang istatistikal na populasyon ay itinuturing na quantitatively homogenous kung ang koepisyent ng variation ay hindi lalampas sa 33% (para sa mga distribusyon na malapit sa normal na distribusyon).
Halimbawa. Mayroong mga sumusunod na data sa mga tuntunin ng pagkakulong ng 50 convicts na inihatid para magsilbi sa hatol na ipinataw ng korte sa isang correctional institution ng sistema ng penitentiary: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ayon sa mga tuntunin ng pagkakulong.
2. Hanapin ang mean, variance at standard deviation.
3. Kalkulahin ang coefficient of variation at gumawa ng konklusyon tungkol sa homogeneity o heterogeneity ng pinag-aralan na populasyon.
Solusyon. Upang makabuo ng isang discrete distribution series, kinakailangan upang matukoy ang mga variant at frequency. Ang variant sa problemang ito ay ang termino ng pagkakulong, at ang dalas ay ang bilang ng indibidwal na variant. Nang makalkula ang mga frequency, nakukuha namin ang sumusunod na discrete distribution series:
Hanapin ang mean at variance. Dahil ang istatistikal na data ay kinakatawan ng isang discrete variational series, gagamitin namin ang mga formula ng arithmetic weighted average at variance para kalkulahin ang mga ito. Nakukuha namin:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Ngayon kinakalkula namin ang karaniwang paglihis:
Nahanap namin ang koepisyent ng pagkakaiba-iba:
Dahil dito, ang istatistikal na populasyon ay quantitatively heterogenous.
Ang bawat tao sa modernong mundo, kapag nagpaplanong kumuha ng pautang o pag-stock ng mga gulay para sa taglamig, pana-panahong nakakaharap ng isang konsepto bilang "average". Alamin natin: kung ano ito, anong mga uri at klase nito ang umiiral, at bakit ito ginagamit sa mga istatistika at iba pang mga disiplina.
Average na halaga - ano ito?
Ang isang katulad na pangalan (SV) ay isang pangkalahatang katangian ng isang hanay ng mga homogenous na phenomena, na tinutukoy ng alinmang quantitative variable attribute.
Gayunpaman, nauunawaan ng mga taong malayo sa gayong mga abstruse na kahulugan ang konseptong ito bilang isang average na halaga ng isang bagay. Halimbawa, bago kumuha ng pautang, tiyak na hihilingin ng isang empleyado sa bangko ang isang potensyal na kliyente na magbigay ng data sa average na kita para sa taon, iyon ay, ang kabuuang halaga ng pera na kinikita ng isang tao. Kinakalkula ito sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga kita para sa buong taon at paghahati sa bilang ng mga buwan. Kaya, matutukoy ng bangko kung ang kliyente nito ay makakapagbayad ng utang sa tamang oras.
Bakit ito ginagamit?
Bilang isang patakaran, ang mga average na halaga ay malawakang ginagamit upang magbigay ng isang pangwakas na paglalarawan ng ilang mga social phenomena na may kalikasan ng masa. Magagamit din ang mga ito para sa mas maliliit na kalkulasyon, tulad ng sa kaso ng pautang, sa halimbawa sa itaas.
Gayunpaman, kadalasang ginagamit pa rin ang mga average para sa pandaigdigang layunin. Ang isang halimbawa ng isa sa mga ito ay ang pagkalkula ng halaga ng kuryente na natupok ng mga mamamayan sa loob ng isang buwan ng kalendaryo. Batay sa data na nakuha, ang pinakamataas na pamantayan ay kasunod na itinakda para sa mga kategorya ng populasyon na nagtatamasa ng mga benepisyo mula sa estado.
Gayundin, sa tulong ng mga average na halaga, ang panahon ng warranty para sa serbisyo ng ilang mga kagamitan sa sambahayan, mga kotse, mga gusali, atbp. .
Sa katunayan, ang anumang kababalaghan ng modernong buhay, na may kalikasan ng masa, ay sa isang paraan o iba pa ay kinakailangang konektado sa konsepto na isinasaalang-alang.
Mga aplikasyon
Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay malawakang ginagamit sa halos lahat ng eksaktong agham, lalo na sa mga pang-eksperimentong kalikasan.
Ang paghahanap ng average ay napakahalaga sa medisina, engineering, pagluluto, ekonomiya, politika, at iba pa.
Batay sa mga datos na nakuha mula sa naturang mga generalization, sila ay bumuo ng mga medikal na paghahanda, mga programang pang-edukasyon, nagtatakda ng pinakamababang sahod at suweldo, bumuo ng mga iskedyul ng edukasyon, gumawa ng mga kasangkapan, damit at sapatos, mga bagay sa kalinisan, at marami pang iba.
Sa matematika, ang terminong ito ay tinatawag na "average na halaga" at ginagamit upang ipatupad ang mga solusyon sa iba't ibang mga halimbawa at problema. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang pagdaragdag at pagbabawas na may mga ordinaryong fraction. Pagkatapos ng lahat, tulad ng alam mo, upang malutas ang mga naturang halimbawa, kinakailangan upang dalhin ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator.
Gayundin, sa reyna ng eksaktong mga agham, ang terminong "average na halaga ng isang random na variable" ay madalas na ginagamit, na malapit sa kahulugan. Para sa karamihan, mas pamilyar ito bilang "pag-asa", mas madalas na isinasaalang-alang sa teorya ng posibilidad. Kapansin-pansin na ang isang katulad na kababalaghan ay nalalapat din kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ng istatistika.
Average na halaga sa mga istatistika
Gayunpaman, kadalasan ang konseptong pinag-aaralan ay ginagamit sa mga istatistika. Tulad ng nalalaman, ang agham na ito mismo ay dalubhasa sa pagkalkula at pagsusuri ng dami ng mga katangian ng mass social phenomena. Samakatuwid, ang average na halaga sa mga istatistika ay ginagamit bilang isang dalubhasang pamamaraan para sa pagkamit ng mga pangunahing layunin nito - ang koleksyon at pagsusuri ng impormasyon.
Ang kakanyahan ng istatistikal na pamamaraan na ito ay upang palitan ang mga indibidwal na natatanging halaga ng katangian na isinasaalang-alang ng isang tiyak na balanseng average na halaga.
Isang halimbawa ay ang sikat na food joke. Kaya, sa isang partikular na pabrika tuwing Martes para sa tanghalian, ang kanyang mga amo ay karaniwang kumakain ng kaserol ng karne, at ang mga ordinaryong manggagawa ay kumakain ng nilagang repolyo. Batay sa mga datos na ito, maaari nating tapusin na, sa karaniwan, ang mga tauhan ng halaman ay kumakain sa mga rolyo ng repolyo tuwing Martes.
Bagama't ang halimbawang ito ay bahagyang pinalaki, inilalarawan nito ang pangunahing disbentaha ng paraan ng paghahanap ng average na halaga - ang leveling ng mga indibidwal na katangian ng mga bagay o personalidad.
Ang mga average ay ginagamit hindi lamang upang pag-aralan ang mga nakolektang impormasyon, ngunit din upang magplano at hulaan ang mga karagdagang aksyon.
Ginagamit din ito upang suriin ang mga resultang nakamit (halimbawa, ang pagpapatupad ng plano para sa pagtatanim at pag-aani ng trigo para sa panahon ng tagsibol-tag-init).
Paano magkalkula
Bagaman, depende sa uri ng CV, mayroong iba't ibang mga formula para sa pagkalkula nito, sa pangkalahatang teorya ng mga istatistika, bilang panuntunan, isang paraan lamang para sa pagkalkula ng average na halaga ng isang tampok ang ginagamit. Upang gawin ito, dapat mo munang idagdag ang mga halaga ng lahat ng mga phenomena, at pagkatapos ay hatiin ang resultang kabuuan sa kanilang numero.
Kapag gumagawa ng mga naturang kalkulasyon, nararapat na tandaan na ang average na halaga ay palaging may parehong dimensyon (o mga yunit) bilang isang hiwalay na yunit ng populasyon.
Mga kondisyon para sa tamang pagkalkula
Ang formula na tinalakay sa itaas ay napaka-simple at unibersal, kaya halos imposibleng magkamali dito. Gayunpaman, ito ay palaging nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa dalawang aspeto, kung hindi man ang data na nakuha ay hindi magpapakita ng totoong sitwasyon.
Mga klase sa CB
Ang pagkakaroon ng nahanap na mga sagot sa mga pangunahing tanong: "Ang average na halaga - ano ito?", "Saan ito ginagamit?" at "Paano ko ito makalkula?", sulit na malaman kung anong mga klase at uri ng CB ang umiiral.
Una sa lahat, ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay nahahati sa 2 klase. Ang mga ito ay structural at power average.
Mga uri ng kapangyarihan SW
Ang bawat isa sa mga klase sa itaas, sa turn, ay nahahati sa mga uri. Ang power class ay may apat sa kanila.
- Ang arithmetic mean ay ang pinakakaraniwang uri ng SV. Ito ay isang average na termino, sa pagtukoy kung aling kabuuang dami ng isinasaalang-alang na katangian sa set ng data ang pantay na ipinamamahagi sa lahat ng mga yunit ng hanay na ito.
Ang uri na ito ay nahahati sa mga subspecies: simple at may timbang na arithmetic SV.
- Ang mean harmonic value ay isang indicator na katumbas ng simpleng arithmetic mean, na kinakalkula mula sa mga katumbas na halaga ng katangian na pinag-uusapan.
Ginagamit ito sa mga kaso kung saan alam ang mga indibidwal na halaga ng tampok at produkto, ngunit ang data ng dalas ay hindi.
- Ang geometric na ibig sabihin ay kadalasang ginagamit sa pagsusuri ng mga rate ng paglago ng mga pang-ekonomiyang phenomena. Ginagawa nitong posible na panatilihing hindi nagbabago ang produkto ng mga indibidwal na halaga ng isang naibigay na dami, sa halip na ang kabuuan.
Ito rin ay nangyayari na simple at balanse.
- Ang root mean square value ay ginagamit sa pagkalkula ng mga indibidwal na tagapagpahiwatig ng mga tagapagpahiwatig, tulad ng koepisyent ng pagkakaiba-iba, na nagpapakilala sa ritmo ng output, atbp.
Gayundin, sa tulong nito, ang average na diameters ng mga tubo, gulong, ang average na gilid ng isang parisukat at katulad na mga numero ay kinakalkula.
Tulad ng lahat ng iba pang uri ng average na SW, ang root mean square ay simple at may timbang.
Mga uri ng dami ng istruktura
Bilang karagdagan sa mga karaniwang SW, ang mga uri ng istruktura ay kadalasang ginagamit sa mga istatistika. Ang mga ito ay mas angkop para sa pagkalkula ng mga kamag-anak na katangian ng mga halaga ng isang variable na katangian at ang panloob na istraktura ng serye ng pamamahagi.
Mayroong dalawang ganoong uri.
Upang mahanap ang average na halaga sa Excel (maging ito ay isang numerical, textual, porsyento o iba pang halaga), mayroong maraming mga function. At ang bawat isa sa kanila ay may sariling mga katangian at pakinabang. Pagkatapos ng lahat, maaaring itakda ang ilang mga kundisyon sa gawaing ito.
Halimbawa, ang mga average na halaga ng isang serye ng mga numero sa Excel ay kinakalkula gamit ang mga statistical function. Maaari mo ring manu-manong ipasok ang iyong sariling formula. Isaalang-alang natin ang iba't ibang mga pagpipilian.
Paano mahahanap ang arithmetic mean ng mga numero?
Upang mahanap ang arithmetic mean, idagdag mo ang lahat ng mga numero sa set at hatiin ang kabuuan sa numero. Halimbawa, ang mga marka ng mag-aaral sa computer science: 3, 4, 3, 5, 5. Ano ang napupunta sa quarter: 4. Natagpuan namin ang arithmetic mean gamit ang formula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Paano ito gagawin nang mabilis gamit ang mga function ng Excel? Kunin halimbawa ang isang serye ng mga random na numero sa isang string:
O kaya: gawing aktibo ang cell at manu-manong ipasok ang formula: =AVERAGE(A1:A8).
Ngayon tingnan natin kung ano pa ang magagawa ng AVERAGE function.
Hanapin ang arithmetic mean ng unang dalawa at huling tatlong numero. Formula: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1). Resulta:
Average ayon sa kondisyon
Ang kundisyon para sa paghahanap ng arithmetic mean ay maaaring isang numerical criterion o isang text. Gagamitin namin ang function na: =AVERAGEIF().
Hanapin ang arithmetic mean ng mga numero na mas malaki sa o katumbas ng 10.
Function: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
Ang resulta ng paggamit ng AVERAGEIF function sa kondisyong ">=10": Ang ikatlong argumento - "Averaging range" - ay tinanggal. Una, hindi ito kinakailangan. Pangalawa, ang saklaw na na-parse ng program ay naglalaman LAMANG ng mga numerong halaga. Sa mga cell na tinukoy sa unang argumento, ang paghahanap ay isasagawa ayon sa kondisyong tinukoy sa pangalawang argumento.
Pansin! Maaaring tukuyin ang criterion sa paghahanap sa isang cell. At sa pormula upang gumawa ng isang sanggunian dito.
Hanapin natin ang average na halaga ng mga numero ayon sa pamantayan ng teksto. Halimbawa, ang average na benta ng "mga talahanayan" ng produkto.
Magiging ganito ang function: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Saklaw - isang column na may mga pangalan ng produkto. Ang pamantayan sa paghahanap ay isang link sa isang cell na may salitang "mga talahanayan" (maaari mong ipasok ang salitang "mga talahanayan" sa halip na ang link na A7). Averaging range - ang mga cell kung saan kukunin ang data upang kalkulahin ang average na halaga.
Bilang resulta ng pagkalkula ng function, nakuha namin ang sumusunod na halaga:
Pansin! Para sa isang criterion ng text (kondisyon), dapat na tukuyin ang average na hanay.
Paano makalkula ang timbang na average na presyo sa Excel?
Paano natin malalaman ang average na timbang na presyo?
Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
Gamit ang formula ng SUMPRODUCT, malalaman natin ang kabuuang kita pagkatapos ng pagbebenta ng buong dami ng mga kalakal. At ang SUM function - nagbubuod ng dami ng mga kalakal. Sa pamamagitan ng paghahati ng kabuuang kita mula sa pagbebenta ng mga kalakal sa kabuuang bilang ng mga yunit ng mga kalakal, nakita namin ang average na timbang na presyo. Isinasaalang-alang ng tagapagpahiwatig na ito ang "timbang" ng bawat presyo. Ang bahagi nito sa kabuuang masa ng mga halaga.
Standard deviation: formula sa Excel
Matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng karaniwang paglihis para sa pangkalahatang populasyon at para sa sample. Sa unang kaso, ito ang ugat ng pangkalahatang pagkakaiba. Sa pangalawa, mula sa sample variance.
Upang kalkulahin ang statistical indicator na ito, isang dispersion formula ay pinagsama-sama. Ang ugat ay kinuha mula dito. Ngunit sa Excel mayroong isang handa na pag-andar para sa paghahanap ng karaniwang paglihis.
Ang standard deviation ay naka-link sa sukat ng source data. Ito ay hindi sapat para sa isang matalinghagang representasyon ng variation ng nasuri na hanay. Upang makuha ang relatibong antas ng scatter sa data, kinakalkula ang koepisyent ng variation:
standard deviation / arithmetic mean
Ang formula sa Excel ay ganito ang hitsura:
STDEV (saklaw ng mga halaga) / AVERAGE (saklaw ng mga halaga).
Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay kinakalkula bilang isang porsyento. Samakatuwid, itinakda namin ang format ng porsyento sa cell.
Ang terminong ito ay may iba pang mga kahulugan, tingnan ang karaniwang kahulugan.Katamtaman(sa matematika at istatistika) mga hanay ng mga numero - ang kabuuan ng lahat ng mga numero na hinati sa kanilang numero. Ito ay isa sa mga pinakakaraniwang sukatan ng sentral na ugali.
Ito ay iminungkahi (kasama ang geometric mean at harmonic mean) ng mga Pythagorean.
Ang mga espesyal na kaso ng arithmetic mean ay ang mean (ng pangkalahatang populasyon) at ang sample mean (ng mga sample).
Panimula
Tukuyin ang hanay ng data X = (x 1 , x 2 , …, x n), pagkatapos ang sample mean ay karaniwang tinutukoy ng isang pahalang na bar sa ibabaw ng variable (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , binibigkas na " x na may gitling").
Ang letrang Griyego na μ ay ginagamit upang tukuyin ang arithmetic mean ng buong populasyon. Para sa isang random na variable kung saan tinukoy ang isang mean value, ang μ ay ibig sabihin ng posibilidad o ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable. Kung ang set X ay isang koleksyon ng mga random na numero na may probability mean μ, pagkatapos ay para sa anumang sample x i mula sa koleksyong ito μ = E( x i) ay ang inaasahan ng sample na ito.
Sa pagsasagawa, ang pagkakaiba sa pagitan ng μ at x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ay ang μ ay isang tipikal na variable dahil makikita mo ang sample sa halip na ang buong populasyon. Samakatuwid, kung random na kinakatawan ang sample (sa mga tuntunin ng probability theory), ang x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ngunit hindi μ) ay maaaring ituring bilang random variable na mayroong probability distribution sa sample ( probability distribution ng mean).
Ang parehong mga dami ay kinakalkula sa parehong paraan:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
Kung ang X ay isang random na variable, pagkatapos ay ang matematikal na inaasahan X ay maaaring ituring bilang arithmetic mean ng mga halaga sa paulit-ulit na pagsukat ng dami X. Ito ay isang pagpapakita ng batas ng malalaking numero. Samakatuwid, ang sample mean ay ginagamit upang tantyahin ang hindi kilalang inaasahan sa matematika.
Sa elementarya algebra, napatunayan na ang mean n+ 1 numero sa itaas ng average n mga numero kung at kung ang bagong numero ay mas malaki kaysa sa lumang average, mas mababa kung at kung ang bagong numero ay mas mababa sa average, at hindi magbabago kung at kung ang bagong numero ay katumbas ng average. Ang higit pa n, mas maliit ang pagkakaiba sa pagitan ng bago at lumang mga average.
Tandaan na may ilang iba pang "paraan" na available, kabilang ang power-law mean, Kolmogorov mean, harmonic mean, arithmetic-geometric mean, at iba't ibang weighted na mean (hal., arithmetic-weighted mean, geometric-weighted mean, harmonic-weighted mean) .
Mga halimbawa
- Para sa tatlong numero, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin sa 3:
- Para sa apat na numero, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin sa 4:
O mas madali 5+5=10, 10:2. Dahil nagdagdag kami ng 2 numero, ibig sabihin kung gaano karaming mga numero ang idinagdag namin, hinahati namin sa ganoong kalaki.
Patuloy na random variable
Para sa tuluy-tuloy na ipinamamahaging halaga f (x) (\displaystyle f(x)) ang arithmetic mean sa pagitan [ a ; b ] (\displaystyle ) ay tinukoy sa pamamagitan ng isang tiyak na integral:
F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Ang ilang mga problema sa paggamit ng average
Kakulangan ng katatagan
Pangunahing artikulo: Katatagan sa mga istatistikaBagama't ang arithmetic mean ay kadalasang ginagamit bilang mga paraan o sentral na uso, ang konseptong ito ay hindi nalalapat sa matatag na istatistika, na nangangahulugan na ang arithmetic mean ay labis na naiimpluwensyahan ng "malaking deviations". Kapansin-pansin na para sa mga distribusyon na may malaking skewness, ang arithmetic mean ay maaaring hindi tumutugma sa konsepto ng "average", at ang mga halaga ng mean mula sa matatag na istatistika (halimbawa, ang median) ay maaaring mas mahusay na ilarawan ang gitnang trend.
Ang klasikong halimbawa ay ang pagkalkula ng average na kita. Ang ibig sabihin ng aritmetika ay maaaring ma-misinterpret bilang isang median, na maaaring humantong sa konklusyon na mayroong mas maraming mga tao na may higit na kita kaysa sa talagang mayroon. Ang "mean" na kita ay binibigyang kahulugan sa paraang ang kita ng karamihan sa mga tao ay malapit sa bilang na ito. Ang "average" na ito (sa kahulugan ng arithmetic mean) na kita ay mas mataas kaysa sa kita ng karamihan ng mga tao, dahil ang isang mataas na kita na may malaking paglihis mula sa average ay gumagawa ng arithmetic mean na malakas na skewed (sa kaibahan, ang median na kita ay "lumalaban" tulad ng isang hilig). Gayunpaman, ang "average" na kita na ito ay walang sinasabi tungkol sa bilang ng mga taong malapit sa median na kita (at walang sinasabi tungkol sa bilang ng mga taong malapit sa modal na kita). Gayunpaman, kung ang mga konsepto ng "karaniwan" at "karamihan" ay kinuha nang basta-basta, kung gayon ang isang tao ay maaaring maling isiping ang karamihan sa mga tao ay may mga kita na mas mataas kaysa sa aktwal na mga ito. Halimbawa, ang isang ulat sa "average" na netong kita sa Medina, Washington, na kinalkula bilang aritmetika na average ng lahat ng taunang netong kita ng mga residente, ay magbibigay ng nakakagulat na mataas na bilang dahil kay Bill Gates. Isaalang-alang ang sample (1, 2, 2, 2, 3, 9). Ang arithmetic mean ay 3.17, ngunit ang lima sa anim na halaga ay mas mababa sa ibig sabihin nito.
Pinagsamang interes
Pangunahing artikulo: ROIKung mga numero magparami, ngunit hindi tiklop, kailangan mong gamitin ang geometric mean, hindi ang arithmetic mean. Kadalasan, nangyayari ang insidenteng ito kapag kinakalkula ang return on investment sa pananalapi.
Halimbawa, kung ang mga stock ay bumagsak ng 10% sa unang taon at tumaas ng 30% sa ikalawang taon, hindi tama na kalkulahin ang "average" na pagtaas sa dalawang taon na ito bilang arithmetic mean (−10% + 30%) / 2 = 10%; ang tamang average sa kasong ito ay ibinibigay ng tambalang taunang rate ng paglago, kung saan ang taunang paglago ay halos 8.16653826392% ≈ 8.2%.
Ang dahilan nito ay ang mga porsyento ay may bagong panimulang punto sa bawat oras: 30% ay 30% mula sa isang numerong mas mababa kaysa sa presyo sa simula ng unang taon: kung ang stock ay nagsimula sa $30 at bumagsak ng 10%, ito ay nagkakahalaga ng $27 sa simula ng ikalawang taon. Kung ang stock ay tumaas ng 30%, ito ay nagkakahalaga ng $35.1 sa pagtatapos ng ikalawang taon. Ang arithmetic average ng paglago na ito ay 10%, ngunit dahil ang stock ay lumago lamang ng $5.1 sa loob ng 2 taon, ang average na pagtaas ng 8.2% ay nagbibigay ng huling resulta na $35.1:
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Kung gagamitin natin ang arithmetic mean na 10% sa parehong paraan, hindi natin makukuha ang aktwal na halaga: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Compound interest sa katapusan ng taon 2: 90% * 130% = 117% , ibig sabihin, kabuuang pagtaas ng 17%, at ang average na taunang compound interest ay 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \approx 108.2\%) , ibig sabihin, isang average na taunang pagtaas na 8.2%.
Mga direksyon
Pangunahing artikulo: Mga istatistika ng patutunguhanKapag kinakalkula ang arithmetic mean ng ilang variable na nagbabago nang paikot (halimbawa, phase o anggulo), dapat mag-ingat. Halimbawa, ang average ng 1° at 359° ay magiging 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ang numerong ito ay mali sa dalawang dahilan.
- Una, ang mga angular na sukat ay tinukoy lamang para sa hanay mula 0° hanggang 360° (o mula 0 hanggang 2π kapag sinusukat sa radians). Kaya, ang parehong pares ng mga numero ay maaaring isulat bilang (1° at −1°) o bilang (1° at 719°). Magiiba ang mga average ng bawat pares: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- Pangalawa, sa kasong ito, ang halagang 0° (katumbas ng 360°) ang magiging pinakamainam na kahulugan sa geometriko, dahil mas mababa ang paglihis ng mga numero mula sa 0° kaysa sa anumang iba pang halaga (ang halaga na 0° ay may pinakamaliit na pagkakaiba). Ihambing:
- ang bilang na 1° ay lumilihis mula sa 0° sa pamamagitan lamang ng 1°;
- ang bilang na 1° ay lumilihis mula sa kinakalkulang average na 180° sa pamamagitan ng 179°.
Ang average na halaga para sa isang cyclic variable, na kinakalkula ayon sa formula sa itaas, ay artipisyal na ililipat kaugnay ng tunay na average sa gitna ng numerical range. Dahil dito, ang average ay kinakalkula sa ibang paraan, ibig sabihin, ang bilang na may pinakamaliit na pagkakaiba (center point) ay pinili bilang ang average na halaga. Gayundin, sa halip na ibawas, modulo distance (ibig sabihin, circumferential distance) ang ginagamit. Halimbawa, ang modular na distansya sa pagitan ng 1° at 359° ay 2°, hindi 358° (sa bilog sa pagitan ng 359° at 360°==0° - isang degree, sa pagitan ng 0° at 1° - 1° din, sa kabuuan - 2 °).
4.3. Average na mga halaga. Kakanyahan at kahulugan ng mga average
Average na halaga sa mga istatistika, tinatawag ang isang pangkalahatang tagapagpahiwatig, na nagpapakilala sa tipikal na antas ng isang kababalaghan sa mga tiyak na kondisyon ng lugar at oras, na sumasalamin sa laki ng isang iba't ibang katangian sa bawat yunit ng isang qualitatively homogenous na populasyon. Sa pang-ekonomiyang kasanayan, isang malawak na hanay ng mga tagapagpahiwatig ang ginagamit, na kinakalkula bilang mga average.
Halimbawa, ang pangkalahatang tagapagpahiwatig ng kita ng mga manggagawa sa isang joint-stock na kumpanya (JSC) ay ang average na kita ng isang manggagawa, na tinutukoy ng ratio ng pondo ng sahod at mga social na pagbabayad para sa panahon na sinusuri (taon, quarter, buwan ) sa bilang ng mga manggagawa sa JSC.
Ang pagkalkula ng average ay isang karaniwang pamamaraan ng generalization; ang average na indicator ay sumasalamin sa pangkalahatan na tipikal (tipikal) para sa lahat ng mga yunit ng pinag-aralan na populasyon, habang kasabay nito ay binabalewala nito ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga indibidwal na yunit. Sa bawat kababalaghan at pag-unlad nito ay may kumbinasyon pagkakataon at kailangan. Kapag kinakalkula ang mga average, dahil sa pagpapatakbo ng batas ng malalaking numero, kinansela ng randomness ang isa't isa, nagbabalanse, upang maaari kang mag-abstract mula sa hindi gaanong kahalagahan ng phenomenon, mula sa mga quantitative value ng attribute sa bawat partikular na kaso. Sa kakayahang mag-abstract mula sa randomness ng mga indibidwal na halaga, ang mga pagbabago ay nakasalalay sa pang-agham na halaga ng mga average bilang pagbubuod pinagsama-samang katangian.
Kung saan may pangangailangan para sa pangkalahatan, ang pagkalkula ng mga naturang katangian ay humahantong sa pagpapalit ng maraming iba't ibang mga indibidwal na halaga ng katangian. daluyan isang tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa kabuuan ng mga phenomena, na ginagawang posible upang matukoy ang mga pattern na likas sa mass social phenomena, hindi mahahalata sa iisang phenomena.
Ang average ay sumasalamin sa katangian, tipikal, tunay na antas ng pinag-aralan na mga phenomena, nagpapakilala sa mga antas na ito at ang kanilang mga pagbabago sa oras at espasyo.
Ang average ay isang buod na katangian ng mga regularidad ng proseso sa ilalim ng mga kondisyon kung saan ito nagpapatuloy.
4.4. Mga uri ng mga average at pamamaraan para sa pagkalkula ng mga ito
Ang pagpili ng uri ng average ay tinutukoy ng pang-ekonomiyang nilalaman ng isang tiyak na tagapagpahiwatig at ang paunang data. Sa bawat kaso, ang isa sa mga average na halaga ay inilalapat: aritmetika, garmonic, geometric, quadratic, kubiko atbp. Ang mga nakalistang average ay nabibilang sa klase kapangyarihan daluyan.
Bilang karagdagan sa mga average ng kapangyarihan-batas, sa istatistikal na kasanayan, ginagamit ang mga istrukturang average, na itinuturing na mode at median.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga paraan ng kapangyarihan.
Ang ibig sabihin ng aritmetika
Ang pinakakaraniwang uri ng average ay karaniwan aritmetika. Ginagamit ito sa mga kaso kung saan ang dami ng variable na katangian para sa buong populasyon ay ang kabuuan ng mga halaga ng mga katangian ng mga indibidwal na yunit nito. Ang mga social phenomena ay nailalarawan sa pamamagitan ng additivity (summation) ng mga volume ng iba't ibang katangian, tinutukoy nito ang saklaw ng arithmetic mean at ipinapaliwanag ang pagkalat nito bilang isang generalizing indicator, halimbawa: ang kabuuang pondo ng sahod ay ang kabuuan ng sahod ng lahat. manggagawa, ang kabuuang ani ay ang kabuuan ng mga produktong gawa mula sa buong lugar ng paghahasik.
Upang makalkula ang ibig sabihin ng aritmetika, kailangan mong hatiin ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng tampok sa kanilang numero.
Ang arithmetic mean ay inilapat sa anyo simpleng average at weighted average. Ang simpleng average ay nagsisilbing paunang, pagtukoy sa anyo.
simpleng ibig sabihin ng aritmetika ay katumbas ng simpleng kabuuan ng mga indibidwal na halaga ng na-average na tampok, na hinati sa kabuuang bilang ng mga halagang ito (ginagamit ito sa mga kaso kung saan mayroong hindi pinagsama-samang mga indibidwal na halaga ng tampok):
saan 
- mga indibidwal na halaga ng variable (mga pagpipilian); m
- bilang ng mga yunit ng populasyon.
Ang mga karagdagang limitasyon sa pagbubuod sa mga formula ay hindi ipahiwatig. Halimbawa, kinakailangang hanapin ang average na output ng isang manggagawa (locksmith), kung alam kung gaano karaming bahagi ang ginawa ng bawat isa sa 15 manggagawa, i.e. binigyan ng isang bilang ng mga indibidwal na halaga ng katangian, mga pcs.:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Ang simpleng arithmetic mean ay kinakalkula ng formula (4.1), 1 pc.:
Ang average ng mga opsyon na inuulit sa ibang bilang ng beses, o sinasabing may iba't ibang timbang, ay tinatawag natimbang. Ang mga timbang ay ang bilang ng mga yunit sa iba't ibang pangkat ng populasyon (pinagsasama ng grupo ang parehong mga opsyon).
Arithmetic weighted average- average na pinagsama-samang mga halaga, - ay kinakalkula ng formula:
, (4.2)
saan 
- mga timbang (dalas ng pag-uulit ng parehong mga tampok);
-
ang kabuuan ng mga produkto ng magnitude ng mga tampok sa pamamagitan ng kanilang mga frequency;
-
ang kabuuang bilang ng mga yunit ng populasyon.
Ipapakita namin ang pamamaraan para sa pagkalkula ng arithmetic weighted average gamit ang halimbawang tinalakay sa itaas. Upang gawin ito, pinapangkat namin ang paunang data at inilalagay ang mga ito sa talahanayan. 4.1.
Talahanayan 4.1
Ang pamamahagi ng mga manggagawa para sa pagpapaunlad ng mga bahagi
Ayon sa formula (4.2), ang arithmetic weighted average ay pantay, mga piraso:
Sa ilang mga kaso, ang mga timbang ay maaaring katawanin hindi ng mga ganap na halaga, ngunit ng mga kamag-anak (sa mga porsyento o mga fraction ng isang yunit). Pagkatapos ang formula para sa arithmetic weighted average ay magiging ganito:
saan 
- partikular, i.e. bahagi ng bawat dalas sa kabuuang kabuuan ng lahat
Kung ang mga frequency ay binibilang sa mga fraction (coefficients), kung gayon 
= 1, at ang formula para sa arithmetically weighted average ay:
Pagkalkula ng arithmetic weighted average mula sa mga average ng grupo 
isinasagawa ayon sa pormula:
,
saan f-bilang ng mga yunit sa bawat pangkat.
Ang mga resulta ng pagkalkula ng arithmetic mean ng mga ibig sabihin ng grupo ay ipinakita sa Talahanayan. 4.2.
Talahanayan 4.2
Pamamahagi ng mga manggagawa ayon sa karaniwang haba ng serbisyo
Sa halimbawang ito, ang mga opsyon ay hindi indibidwal na data sa haba ng serbisyo ng mga indibidwal na manggagawa, ngunit mga average para sa bawat workshop. kaliskis f ay ang bilang ng mga manggagawa sa mga tindahan. Samakatuwid, ang karaniwang karanasan sa trabaho ng mga manggagawa sa buong negosyo ay magiging, mga taon:
.
Pagkalkula ng arithmetic mean sa serye ng pamamahagi
Kung ang mga halaga ng na-average na katangian ay ibinibigay bilang mga pagitan ("mula - hanggang"), i.e. serye ng pamamahagi ng agwat, pagkatapos kapag kinakalkula ang arithmetic mean na halaga, ang mga midpoint ng mga agwat na ito ay kinukuha bilang mga halaga ng mga tampok sa mga grupo, bilang isang resulta kung saan nabuo ang isang discrete na serye. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa (Talahanayan 4.3).
Lumipat tayo mula sa isang serye ng pagitan patungo sa isang discrete sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng pagitan ng kanilang mga average na halaga / (simpleng average
Talahanayan 4.3
Pamamahagi ng mga manggagawa sa AO ayon sa antas ng buwanang sahod
|
Mga grupo ng mga manggagawa para sa |
Bilang ng mga manggagawa |
Ang gitna ng pagitan |
|
|
sahod, kuskusin. |
pers., f |
kuskusin., X |
|
|
900 at higit pa |
|||
ang mga halaga ng mga bukas na agwat (una at huli) ay may kondisyon na katumbas sa mga agwat na magkadugtong sa kanila (pangalawa at penultimate).
Sa gayong pagkalkula ng average, pinapayagan ang ilang kamalian, dahil ang isang pagpapalagay ay ginawa tungkol sa pare-parehong pamamahagi ng mga yunit ng katangian sa loob ng pangkat. Gayunpaman, ang error ay magiging mas maliit, mas makitid ang pagitan at mas maraming unit sa pagitan.
Matapos matagpuan ang mga midpoint ng mga agwat, ang mga kalkulasyon ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng sa isang discrete na serye - ang mga pagpipilian ay pinarami ng mga frequency (mga timbang) at ang kabuuan ng mga produkto ay hinati sa kabuuan ng mga frequency (mga timbang) , libong rubles:
.
Kaya, ang average na antas ng suweldo ng mga manggagawa sa JSC ay 729 rubles. kada buwan.
Ang pagkalkula ng arithmetic mean ay madalas na nauugnay sa isang malaking paggasta ng oras at paggawa. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, ang pamamaraan para sa pagkalkula ng average ay maaaring gawing simple at mapadali sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian nito. Ipakita natin (nang walang patunay) ang ilang pangunahing katangian ng arithmetic mean.
Ari-arian 1. Kung ang lahat ng mga indibidwal na halaga ng katangian (i.e. lahat ng mga pagpipilian) pagbaba o pagtaas sa ibeses, pagkatapos ay ang average na halaga ng isang bagong tampok ay bababa o tataas nang naaayon sa iminsan.
Ari-arian 2. Kung mababawasan ang lahat ng variant ng na-average na featuretahiin o dagdagan ng bilang A, pagkatapos ay ang ibig sabihin ng aritmetikamakabuluhang bumaba o tumaas ng parehong bilang A.
Ari-arian 3. Kung ang mga timbang ng lahat ng na-average na opsyon ay nabawasan o pagtaas sa sa beses, ang arithmetic mean ay hindi magbabago.
Bilang mga average na timbang, sa halip na mga ganap na tagapagpahiwatig, maaari kang gumamit ng mga partikular na timbang sa kabuuang kabuuang (mga bahagi o porsyento). Pinapasimple nito ang pagkalkula ng average.
Upang gawing simple ang mga kalkulasyon ng average, sinusunod nila ang landas ng pagbabawas ng mga halaga ng mga opsyon at frequency. Ang pinakamalaking pagpapagaan ay nakakamit kapag PERO ang halaga ng isa sa mga sentral na opsyon na may pinakamataas na dalas ay pinili bilang / - ang halaga ng pagitan (para sa mga hilera na may parehong mga pagitan). Ang halaga ng L ay tinatawag na pinagmulan, kaya ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng average ay tinatawag na "paraan ng pagbibilang mula sa conditional zero" o "paraan ng mga sandali".
Ipagpalagay natin na ang lahat ng mga pagpipilian X unang binawasan ng parehong bilang A, at pagkatapos ay binawasan sa i minsan. Makakakuha kami ng bagong variational distribution series ng mga bagong variant 
.
Pagkatapos bagong mga pagpipilian ipapahayag:
,
at ang kanilang bagong arithmetic mean 
, -sandali ng unang order- formula:
.
Ito ay katumbas ng average ng orihinal na mga opsyon, unang binawasan ng PERO, at pagkatapos ay sa i minsan.
Upang makuha ang tunay na average, kailangan mo ng sandali ng unang pagkakasunud-sunod m 1 , multiply sa i at idagdag PERO:
.
Ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng arithmetic mean mula sa isang variational series ay tinatawag "paraan ng mga sandali". Ang pamamaraang ito ay inilalapat sa mga hilera na may pantay na pagitan.
Ang pagkalkula ng arithmetic mean sa pamamagitan ng paraan ng mga sandali ay inilalarawan ng data sa Talahanayan. 4.4.
Talahanayan 4.4
Pamamahagi ng maliliit na negosyo sa rehiyon ayon sa halaga ng fixed production asset (OPF) noong 2000
|
Mga grupo ng mga negosyo ayon sa halaga ng OPF, libong rubles |
Bilang ng mga negosyo f |
gitnang pagitan, x |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
Paghahanap ng sandali ng unang order
.
Pagkatapos, ipagpalagay na A = 19 at alam iyon i= 2, kalkulahin X, libong rubles.:
Mga uri ng average na halaga at pamamaraan para sa kanilang pagkalkula
Sa yugto ng pagpoproseso ng istatistika, ang iba't ibang mga gawain sa pananaliksik ay maaaring itakda, para sa solusyon kung saan kinakailangan upang piliin ang naaangkop na average. Sa kasong ito, kinakailangan na magabayan ng sumusunod na panuntunan: ang mga halaga na kumakatawan sa numerator at denominator ng average ay dapat na lohikal na nauugnay sa bawat isa.
- mga average ng kapangyarihan;
- mga katamtamang istruktura.
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:
Ang mga halaga kung saan kinakalkula ang average;
Average, kung saan ang linya sa itaas ay nagpapahiwatig na ang pag-average ng mga indibidwal na halaga ay nagaganap;
Dalas (repeatability ng mga indibidwal na halaga ng katangian).
Ang iba't ibang paraan ay nagmula sa pangkalahatang power mean formula:
(5.1)
para sa k = 1 - arithmetic mean; k = -1 - harmonic mean; k = 0 - geometric na ibig sabihin; k = -2 - root mean square.
Ang mga average ay simple o may timbang. mga weighted average ay tinatawag na mga dami na isinasaalang-alang na ang ilang mga variant ng mga halaga ng katangian ay maaaring may iba't ibang mga numero, at samakatuwid ang bawat variant ay kailangang i-multiply sa numerong ito. Sa madaling salita, ang "mga timbang" ay ang mga bilang ng mga yunit ng populasyon sa iba't ibang grupo, i.e. bawat opsyon ay "natimbang" sa dalas nito. Ang frequency f ay tinatawag istatistikal na timbang o average na pagtimbang.
Ang ibig sabihin ng aritmetika- ang pinakakaraniwang uri ng daluyan. Ito ay ginagamit kapag ang pagkalkula ay isinasagawa sa ungrouped statistical data, kung saan mo gustong makuha ang average summand. Ang arithmetic mean ay tulad ng isang average na halaga ng isang tampok, kapag natanggap kung saan ang kabuuang dami ng tampok sa populasyon ay nananatiling hindi nagbabago.
Ang arithmetic mean formula ( simple lang) ay may anyo
kung saan ang n ay ang laki ng populasyon.
Halimbawa, ang average na suweldo ng mga empleyado ng isang negosyo ay kinakalkula bilang average ng arithmetic:
Ang pagtukoy ng mga tagapagpahiwatig dito ay ang sahod ng bawat empleyado at ang bilang ng mga empleyado ng negosyo. Kapag kinakalkula ang average, ang kabuuang halaga ng sahod ay nanatiling pareho, ngunit ibinahagi, kumbaga, pantay sa lahat ng mga manggagawa. Halimbawa, kinakailangang kalkulahin ang average na suweldo ng mga empleyado ng isang maliit na kumpanya kung saan 8 tao ang nagtatrabaho:
Kapag kinakalkula ang mga average, ang mga indibidwal na halaga ng katangian na na-average ay maaaring ulitin, kaya ang average ay kinakalkula gamit ang nakapangkat na data. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang paggamit arithmetic mean weighted, na mukhang
(5.3)
Kaya, kailangan nating kalkulahin ang average na presyo ng bahagi ng isang joint-stock na kumpanya sa stock exchange. Nabatid na ang mga transaksyon ay isinagawa sa loob ng 5 araw (5 mga transaksyon), ang bilang ng mga pagbabahagi na ibinebenta sa rate ng benta ay ibinahagi tulad ng sumusunod:
1 - 800 ac. - 1010 rubles
2 - 650 ac. - 990 kuskusin.
3 - 700 ak. - 1015 rubles.
4 - 550 ac. - 900 kuskusin.
5 - 850 ak. - 1150 rubles.
Ang paunang ratio para sa pagtukoy ng average na presyo ng pagbabahagi ay ang ratio ng kabuuang halaga ng mga transaksyon (OSS) sa bilang ng mga nabentang bahagi (KPA).
Higit sa lahat sa eq. Sa pagsasagawa, kailangang gumamit ng arithmetic mean, na maaaring kalkulahin bilang simple at weighted arithmetic mean.
Arithmetic mean (CA)-n ang pinakakaraniwang uri ng daluyan. Ginagamit ito sa mga kaso kung saan ang dami ng variable na katangian para sa buong populasyon ay ang kabuuan ng mga halaga ng mga katangian ng mga indibidwal na yunit nito. Ang mga social phenomena ay nailalarawan sa pamamagitan ng additivity (summation) ng mga volume ng iba't ibang katangian, tinutukoy nito ang saklaw ng SA at ipinapaliwanag ang pagkalat nito bilang isang generalizing indicator, halimbawa: ang pangkalahatang pondo ng suweldo ay ang kabuuan ng suweldo ng lahat ng empleyado.
Upang makalkula ang SA, kailangan mong hatiin ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng tampok sa kanilang numero. Ginagamit ang SA sa 2 anyo.
Isaalang-alang muna ang simpleng arithmetic mean.
1-CA simple (paunang, pagtukoy ng anyo) ay katumbas ng simpleng kabuuan ng mga indibidwal na halaga ng na-average na tampok, na hinati sa kabuuang bilang ng mga halagang ito (ginagamit kapag may mga hindi pinagsama-samang mga halaga ng index ng tampok):
Ang mga kalkulasyon na ginawa ay maaaring ibuod sa sumusunod na pormula:
(1)
saan 
- ang average na halaga ng variable na katangian, ibig sabihin, ang simpleng arithmetic mean;
nangangahulugan ng pagsusuma, ibig sabihin, ang pagdaragdag ng mga indibidwal na tampok;
x- mga indibidwal na halaga ng isang variable na katangian, na tinatawag na mga variant;
n - bilang ng mga yunit ng populasyon
Halimbawa1, kinakailangang hanapin ang average na output ng isang manggagawa (locksmith), kung alam kung ilang bahagi ang ginawa ng bawat isa sa 15 manggagawa, i.e. binigyan ng bilang ng ind. mga halaga ng katangian, mga pcs.: 21; dalawampu; dalawampu; 19; 21; 19; labing-walo; 22; 19; dalawampu; 21; dalawampu; labing-walo; 19; dalawampu.
Ang simple ng SA ay kinakalkula ng formula (1), mga PC.:
Halimbawa2. Kalkulahin natin ang SA batay sa conditional data para sa 20 tindahan na bahagi ng isang kumpanya ng kalakalan (Talahanayan 1). Talahanayan 1
Pamamahagi ng mga tindahan ng kumpanya ng kalakalan na "Vesna" sa pamamagitan ng lugar ng kalakalan, sq. M
|
numero ng tindahan |
numero ng tindahan | ||
Upang kalkulahin ang average na lugar ng tindahan ( 
) kinakailangang magdagdag ng mga lugar ng lahat ng mga tindahan at hatiin ang resulta sa bilang ng mga tindahan:
Kaya, ang karaniwang lugar ng tindahan para sa grupong ito ng mga negosyong pangkalakalan ay 71 sq.m.
Samakatuwid, upang matukoy ang SA ay simple, kinakailangan upang hatiin ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng isang naibigay na katangian sa pamamagitan ng bilang ng mga yunit na may ganitong katangian.
2
saan f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
timbang (dalas ng pag-uulit ng parehong mga tampok); ay ang kabuuan ng mga produkto ng magnitude ng mga tampok at ang kanilang mga frequency; ay ang kabuuang bilang ng mga yunit ng populasyon.
(2)
saan X- mga pagpipilian;
f- dalas (timbang).
Ang SA weighted ay ang quotient ng paghahati sa kabuuan ng mga produkto ng mga variant at ng kanilang mga katumbas na frequency sa kabuuan ng lahat ng frequency. Mga frequency ( f) na lumalabas sa formula ng SA ay karaniwang tinatawag kaliskis, bilang resulta kung saan kinakalkula ng SA na isinasaalang-alang ang mga timbang ay tinatawag na weighted SA.
Ipapakita namin ang pamamaraan para sa pagkalkula ng timbang na SA gamit ang halimbawa 1 na isinasaalang-alang sa itaas. Upang gawin ito, pangkatin namin ang paunang data at ilagay ang mga ito sa Talahanayan.
Ang average ng pinagsama-samang data ay tinutukoy bilang mga sumusunod: una, ang mga variant ay pinarami ng mga frequency, pagkatapos ay ang mga produkto ay idinagdag at ang nagresultang kabuuan ay hinati sa kabuuan ng mga frequency.
Ayon sa formula (2), ang weighted SA ay, mga pcs.: 
P
Pamamahagi ng mga tindahan ng Vesna ayon sa retail space, sq. m
Kaya, ang resulta ay pareho. Gayunpaman, ito na ang magiging arithmetic weighted average.
Sa nakaraang halimbawa, nakalkula namin ang average na arithmetic, sa kondisyon na ang mga ganap na frequency (bilang ng mga tindahan) ay kilala. Gayunpaman, sa ilang mga kaso ay walang ganap na mga frequency, ngunit ang mga kamag-anak na frequency ay kilala, o, bilang sila ay karaniwang tinatawag na, mga frequency na nagpapakita ng proporsyon o ang proporsyon ng mga frequency sa buong populasyon.
Kapag kinakalkula ang SA timbang na paggamit mga frequency ay nagbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang mga kalkulasyon kapag ang dalas ay ipinahayag sa malaki, multi-digit na mga numero. Ang pagkalkula ay ginawa sa parehong paraan, gayunpaman, dahil ang average na halaga ay nadagdagan ng 100 beses, ang resulta ay dapat na hatiin ng 100.
Pagkatapos ang formula para sa arithmetic weighted average ay magiging ganito:
saan d– dalas, ibig sabihin. ang bahagi ng bawat frequency sa kabuuang kabuuan ng lahat ng frequency.
(3)Sa aming halimbawa 2, una naming tinutukoy ang bahagi ng mga tindahan ayon sa mga grupo sa kabuuang bilang ng mga tindahan ng kumpanyang "Spring". Kaya, para sa unang pangkat, ang tiyak na gravity ay tumutugma sa 10% 
. Nakukuha namin ang sumusunod na data Talahanayan 3
