Sargsyan Roman

Ang gawaing pananaliksik na "Pagputol ng mga problema" ay natapos ng mga mag-aaral sa ika-8 baitang

Ang mga mag-aaral ay ipinakilala at ginalugad ang mga pamamaraan para sa pagputol ng mga numero sa mga larong "Pentamino", "Tangrams", mga puzzle, at patunay ng mga theorems.

I-download:

Preview:

Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, gumawa ng Google account at mag-log in dito: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Preview:

Pananaliksik sa paksa

"Mga problema sa pagputol"

Ginampanan ni: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

mga mag-aaral sa ika-8 baitang

MBOU "Severomuyskaya Secondary School"

Pinuno: guro ng matematika na si Ogarkova I.I.

1. Panimula
2. Makasaysayang sanggunian
3. Laro "Pentamino"
4. Larong "Tangram"
5. Problema "Cake"
6. Gawain Blg. 4 - "Gupitin ang parihaba"
7. Gawain Blg. 5 - "Gupitin ang dalawang parisukat"
8. Gawain Blg. 6 - "Gupitin ang dalawang parisukat-2"
9. Problema #7 – Krus
10. Gawain Blg. 8 – Krus -2
11. Problema Blg. 9 - Square 8*8
12. Problema Blg. 10 Lugar ng isang paralelogram
13. Problema No. 11 Lugar ng isang trapezoid
14. Problema No. 12 Lugar ng isang tatsulok
15. Konklusyon
16. Panitikan.

Panimula

"Ang paglutas ng problema ay isang praktikal na sining tulad ng

paglangoy, pag-ski o pagtugtog ng piano;

matututuhan mo lamang ito sa pamamagitan ng paggaya sa mabuti

mga sample at patuloy na pagsasanay"

D. Poya

Ang hilig sa matematika ay madalas na nagsisimula sa pag-iisip tungkol sa isang problema na partikular na gusto mo. Ang isang mayamang mapagkukunan ng naturang mga problema ay iba't ibang mga Olympiad - paaralan, lungsod, pag-aaral ng distansya, internasyonal. Bilang paghahanda para sa Olympiad, tiningnan namin ang maraming magkakaibang mga gawain at natukoy ang isang grupo ng mga problema na ang diskarte sa paglutas ay tila interesante at orihinal sa amin. Ito ay mga cutting task. Nagkaroon kami ng mga katanungan: ano ang kakaiba ng gayong mga problema, mayroon bang mga espesyal na pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pagputol.

Kaugnayan (Slide 2)

1. Natuklasan ng mga mathematician ang mga bagong koneksyon sa pagitan ng mga bagay sa matematika. Bilang resulta ng gawaing ito, ang mga pangkalahatang pamamaraan ay matatagpuan para sa paglutas ng iba't ibang mga problema. At ang mga problemang ito ay tumatanggap ng mga karaniwang pamamaraan ng solusyon, lumilipat mula sa kategorya ng creative hanggang sa kategorya ng teknikal, iyon ay, nangangailangan ng paggamit ng mga kilalang pamamaraan para sa kanilang solusyon.
2. Ang mga gawain sa pagputol ay tumutulong sa mga mag-aaral na bumuo ng mga geometric na konsepto sa lalong madaling panahon gamit ang iba't ibang mga materyales. Kapag nilutas ang gayong mga problema, lumilitaw ang isang pakiramdam ng kagandahan, batas at kaayusan sa kalikasan.

Layunin ng pag-aaral: pagputol ng mga gawain

Paksa ng pag-aaral: iba't ibang mga problema sa pagputol, pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Mga pamamaraan ng pananaliksik: pagmomodelo, paghahambing, paglalahat, pagkakatulad, pag-aaral ng mga mapagkukunang pampanitikan at Internet, pagsusuri at pag-uuri ng impormasyon.

(Slide3) Pangunahinlayunin ng pag-aaralay upang mapalawak ang kaalaman tungkol sa iba't ibang mga gawain sa pagputol.

Upang makamit ang layuning ito, iniisip naming lutasin ang mga sumusunod mga gawain: (Slide 4)

1. piliin ang kinakailangang panitikan
2. matutong gupitin ang mga geometric na hugis sa mga bahaging kinakailangan upang bumuo ng isa o isa pang geometric na hugis, gamit ang kanilang mga katangian at katangian;
3. matutong patunayan na ang mga lugar ng mga figure ay pantay-pantay sa pamamagitan ng pagputol sa mga ito sa ilang mga bahagi at pagpapatunay na ang mga figure na ito ay pantay na binubuo;
4. magsagawa ng geometric na pananaliksik at disenyo sa paglutas ng mga problema ng iba't ibang uri.
5. pumili ng materyal para sa pananaliksik, pumili ng pangunahing, kawili-wili, naiintindihan na impormasyon
6. pag-aralan at gawing sistematiko ang impormasyong natanggap
7. maghanap ng iba't ibang pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pagputol
8. uriin ang mga suliraning pinag-aaralan
9. maghanap ng mga paraan upang muling hubugin: isang tatsulok sa isang equipartite parallelogram; paralelogram sa isang equilateral triangle; trapezoid sa isang equilateral triangle.
10. Gumawa ng isang elektronikong presentasyon ng iyong trabaho

Hypothesis: Marahil ang iba't ibang mga problema sa pagputol, ang kanilang "nakaaaliw" na kalikasan, at ang kakulangan ng mga pangkalahatang tuntunin at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral kapag isinasaalang-alang ang mga ito. Ipagpalagay natin na sa mas malapit na pagsusuri sa mga gawain sa pagputol, tayo ay kumbinsido sa kanilang kaugnayan, pagka-orihinal, at pagiging kapaki-pakinabang.

Kapag nilulutas ang mga problema sa pagputol, hindi namin kailangan ng kaalaman sa mga pangunahing kaalaman ng planimetry, ngunit kakailanganin namin ng talino sa paglikha, geometric na imahinasyon at medyo simpleng geometric na impormasyon na alam ng lahat.

(Slide 5) Makasaysayang background

Ang mga problema sa pagputol, bilang isang uri ng palaisipan, ay nakakaakit ng pansin mula noong sinaunang panahon. Ang unang treatise, na tumatalakay sa mga problema sa pagputol, ay isinulat ng sikat na Arabo na astronomo at matematiko mula sa Khorasan, Abu al-Wefa (940 - 998 AD). Sa simula ng ika-20 siglo, salamat sa mabilis na paglaki ng mga peryodiko, ang paglutas ng mga problema ng pagputol ng mga numero sa isang naibigay na bilang ng mga bahagi at pagkatapos ay binubuo ang mga ito sa isang bagong pigura ay nakakuha ng pansin bilang isang paraan ng pag-aliw sa malawak na mga seksyon ng lipunan. Ngayon ay sineseryoso ng mga geometer ang mga problemang ito, lalo na dahil ang mga ito ay nakabatay sa sinaunang problema ng mga pantay na laki at pantay na binubuo ng mga numero, na nagmula sa mga sinaunang geometer. Ang mga kilalang espesyalista sa sangay ng geometry na ito ay ang mga sikat na klasiko ng nakakaaliw na geometry at mga gumagawa ng puzzle na sina Henry E. Dudeney at Harry Lindgren.

Ang isang encyclopedia para sa paglutas ng iba't ibang mga problema sa pagputol ay ang aklat na "Cutting Geometry" ni Harry Lindgren. Sa aklat na ito maaari kang makahanap ng mga tala para sa pagputol ng mga polygon sa mga ibinigay na hugis

Kapag isinasaalang-alang ang mga solusyon sa pagputol ng mga problema, naiintindihan mo na walang unibersal na algorithm o pamamaraan. Minsan ang isang baguhan na geometer ay maaaring higit na malampasan ang isang mas may karanasan na tao sa kanyang solusyon. Ang pagiging simple at pagiging naa-access na ito ay ang batayan para sa katanyagan ng mga laro batay sa paglutas ng mga naturang problema, halimbawa- (Slide 6) pentomino"kamag-anak" ng Tetris, tangram.

(Slide7) Laro "Pentamino" Mga Panuntunan ng laro

Ang kakanyahan ng laro ay upang bumuo ng iba't ibang mga silhouette ng bagay sa isang eroplano. Ang laro ay binubuo ng pagdaragdag ng iba't ibang piraso mula sa isang naibigay na hanay ng mga pentomino. Ang set ng pentomino ay naglalaman ng 12 mga numero, ang bawat isa ay binubuo ng limang magkaparehong mga parisukat, at ang mga parisukat ay "katabi" sa bawat isa lamang sa kanilang mga gilid.

Larong "Tangram" (Slide 8)

Sa larong "tangram", isang makabuluhang bilang ng mga numero ang maaaring mabuo mula sa pitong pangunahing elemento.Ang lahat ng pinagsama-samang mga numero ay dapat magkaroon ng pantay na lugar, dahil binuo mula sa magkatulad na mga elemento. Ito ay sumusunod na:

1. Ang bawat pinagsama-samang pigura ay dapat na tiyak na kasama ang lahat ng pitong elemento.
2. Kapag bumubuo ng isang figure, ang mga elemento ay hindi dapat mag-overlap sa isa't isa, i.e. ay matatagpuan sa isang eroplano lamang.
3. Ang mga elemento ng mga figure ay dapat na katabi ng isa't isa.

Mga gawain

Sa larong tangram, mayroong 3 pangunahing kategorya ng mga gawain:

1. Paghahanap ng isa o higit pang mga paraan upang bumuo ng isang naibigay na figure o isang eleganteng patunay ng imposibilidad ng pagbuo ng isang figure.
2. Paghahanap ng paraan upang ilarawan ang mga silhouette ng mga hayop, tao at iba pang nakikilalang mga bagay na may pinakadakilang pagpapahayag o katatawanan (o pareho nang magkasama).
3. Paglutas ng iba't ibang mga problema ng combinatorial geometry na nagmumula na may kaugnayan sa komposisyon ng mga numero mula sa 7 tans.

Gawain 3 (Slide 9)

cake , pinalamutian ng mga rosas, ay hinati sa mga piraso na may tatlong tuwid na hiwa upang ang bawat piraso ay naglalaman ng eksaktong isang rosas. Ano ang pinakamalaking bilang ng mga rosas na maaaring nasa cake?

Komento. Ang solusyon sa problema ay batay sa aplikasyon ng axiom:"Ang isang tuwid na linya ay naghahati sa isang eroplano sa dalawang kalahating eroplano."Ang lahat ng posibleng mga kaso ng pag-aayos ng tatlong tuwid na linya ay dapat ilarawan. Mula sa figure ay nagiging malinaw na ang pinakamalaking bilang ng mga bahagi - 7 - ay nakuha kapag ang mga linya ay nagsalubong sa mga pares. Samakatuwid, maaaring mayroong hindi hihigit sa 7 rosas sa cake.

Gawain 4 (Slide10)

Gupitin ang parihaba, ax2a sa mga bahagi na mula sa kanila ay posible na bumuo ng isang pantay na sukat dito:

1) kanang tatsulok;

2) parisukat.

Ang solusyon sa problema ay malinaw mula sa Figures 2 at 3.

Gawain 5 (Slide 11)

Gupitin ang dalawang parisukat1x1 at 3x3 sa mga bahagi na maaari silang magamit upang makagawa ng isang parisukat na may pantay na laki.

Komento. Ang gawaing ito ay upang muling hubugin ang isang pigura na binubuo ng dalawang parisukat sa isang parisukat na may pantay na laki. Ang lugar ng bagong parisukat ay 3 2 +1 2 , na nangangahulugan na ang gilid ng isang parisukat na katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na ito ay pantay, ibig sabihin, ay ang hypotenuse ng isang parihaba na may mga binti 3 at 1. Ang pagtatayo ng naturang parisukat ay malinaw mula sa Figure 4

Gawain 6 (Slide 12)

Gupitin ang dalawang random na parisukatsa mga bahagi na maaari silang magamit upang bumuo ng isang parisukat na may pantay na laki.

Ang solusyon sa problema ay malinaw mula sa Figure 5. Ang lugar ng bagong parisukat ay a 2 + b 2 , na nangangahulugang ang gilid ng isang parisukat na katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na ito ay katumbas ng

ibig sabihin, ito ay ang hypotenuse ng isang right triangle na may mga binti a at b.

Gawain 7 (Slide 13)

Krus binubuo ng limang parisukat: isang parisukat sa gitna, at ang apat na iba pang katabi ng mga gilid nito. Gupitin ito sa mga piraso upang makagawa ka ng isang parisukat na pantay na sukat mula sa kanila.

Ang solusyon sa problema ay malinaw mula sa Figure 6.

Gawain 8 (Slide 14)

Krus binubuo ng limang parisukat: isang parisukat sa gitna, at ang apat na iba pang katabi ng mga gilid nito. Paano takpan ang ibabaw ng isang bast na may anim na gayong mga krus, ang bawat mukha nito ay katumbas ng laki sa krus.

Komento. Ang krus ay superimposed sa gilid (Larawan 7), hindi na kailangang i-trim at muling idikit ang "nakausli na mga tainga" - lumipat sila sa katabing gilid at nagtatapos sa mga tamang lugar. Sa pamamagitan ng pagbabalot ng "nakausli na mga tainga" sa mga katabing mukha, maaari mong takpan ang ibabaw ng kubo na may anim na krus (Larawan 8).

Gawain 9 (Slide 15)

Square 8x8 gupitin sa apat na bahagi, tulad ng ipinapakita sa Figure 9. Ang isang 13x5 na parihaba ay ginawa mula sa mga resultang bahagi. Ang lugar ng isang parihaba ay 65, at ang lugar ng isang parisukat ay 64. Ipaliwanag kung nasaan ang error.

Pambungad na pananalita ng guro:

Isang maliit na background sa kasaysayan: Maraming mga siyentipiko ang interesado sa pagputol ng mga problema mula noong sinaunang panahon. Ang mga solusyon sa maraming simpleng problema sa pagputol ay natagpuan ng mga sinaunang Griyego at Tsino, ngunit ang unang sistematikong treatise sa paksang ito ay isinulat ni Abul-Vef. Sinimulan ng mga geometer ang seryosong paglutas ng mga problema sa pagputol ng mga figure sa pinakamaliit na bilang ng mga bahagi at pagkatapos ay bumuo ng isa pang figure sa unang bahagi ng ika-20 siglo. Isa sa mga nagtatag ng seksyong ito ay ang sikat na tagapagtatag ng palaisipan na si Henry E. Dudeney.

Sa ngayon, ang mga mahilig sa palaisipan ay masigasig sa paglutas ng mga problema sa paggupit dahil walang unibersal na paraan para sa paglutas ng mga naturang problema, at lahat ng nagsisikap na lutasin ang mga ito ay ganap na maipapakita ang kanilang katalinuhan, intuwisyon at kakayahan para sa malikhaing pag-iisip. (Sa panahon ng aralin ay isasaad lamang natin ang isa sa mga posibleng halimbawa ng pagputol. Maaaring ipagpalagay na ang mga mag-aaral ay maaaring magkaroon ng ibang tamang kumbinasyon - hindi na kailangang matakot dito).

Ang araling ito ay dapat na isagawa sa anyo ng isang praktikal na aralin. Hatiin ang mga kalahok sa bilog sa mga grupo ng 2-3 tao. Bigyan ang bawat pangkat ng mga figure na inihanda nang maaga ng guro. Ang mga mag-aaral ay may ruler (may mga dibisyon), lapis, at gunting. Pinapayagan na gumawa lamang ng mga tuwid na hiwa gamit ang gunting. Ang pagkakaroon ng pagputol ng isang figure sa mga piraso, kailangan mong gumawa ng isa pang figure mula sa parehong mga bahagi.

Mga gawain sa pagputol:

1). Subukang gupitin ang figure na ipinapakita sa figure sa 3 pantay na hugis na mga bahagi:

Hint: Ang maliliit na hugis ay halos kamukha ng titik T.

2). Ngayon, gupitin ang figure na ito sa 4 na pantay na hugis na bahagi:

Hint: Madaling hulaan na ang maliliit na figure ay bubuo ng 3 cell, ngunit walang maraming figure na may tatlong cell. Mayroon lamang dalawang uri: sulok at parihaba.

3). Hatiin ang figure sa dalawang pantay na bahagi, at gamitin ang mga resultang bahagi upang bumuo ng isang chessboard.

Pahiwatig: Imungkahi na simulan ang gawain mula sa ikalawang bahagi, na parang nakakakuha ng chessboard. Tandaan kung ano ang hugis ng isang chessboard (parisukat). Bilangin ang magagamit na bilang ng mga cell sa haba at lapad. (Tandaan na dapat mayroong 8 mga cell).

4). Subukang gupitin ang keso sa walong pantay na piraso na may tatlong galaw ng kutsilyo.

Tip: subukang gupitin ang keso nang pahaba.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

1). Gumupit ng isang parisukat na papel at gawin ang sumusunod:

· gupitin sa 4 na piraso na maaaring gamitin upang gumawa ng dalawang magkapantay na maliliit na parisukat.

· gupitin sa limang bahagi - apat na isosceles triangle at isang parisukat - at tiklupin ang mga ito upang makakuha ka ng tatlong parisukat.

, Kumpetisyon "Pagtatanghal para sa aralin"

Paglalahad para sa aralin

Bumalik pasulong

Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga tampok ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Ipinakikita ng karanasan na kapag gumagamit ng mga praktikal na pamamaraan ng pagtuturo, posibleng bumuo sa mga mag-aaral ng isang bilang ng mga diskarte sa pag-iisip na kinakailangan para sa wastong pagkilala sa mga mahahalaga at di-mahahalagang mga tampok kapag pamilyar sila sa mga geometric na figure. Ang intuwisyon sa matematika, lohikal at abstract na pag-iisip ay bubuo, nabuo ang isang kultura ng pagsasalita sa matematika, nabuo ang mga kakayahan sa matematika at disenyo, nadaragdagan ang aktibidad ng nagbibigay-malay, nabubuo ang interes sa pag-iisip, nabubuo ang intelektwal at malikhaing potensyal. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang bilang ng mga praktikal na gawain sa pagputol ng geometric mga hugis sa mga piraso upang mabuo ang mga bahaging ito ay lumikha ng isang bagong pigura. Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga takdang-aralin sa mga pangkat. Pagkatapos ay ipinagtatanggol ng bawat pangkat ang kanilang proyekto.

Ang dalawang figure ay tinatawag na pantay na binubuo kung, sa pamamagitan ng pagputol ng isa sa mga ito sa isang tiyak na paraan sa isang limitadong bilang ng mga bahagi, posible (sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga bahaging ito nang naiiba) upang bumuo ng pangalawang figure mula sa kanila. Kaya, ang paraan ng paghahati ay batay sa katotohanan na ang anumang dalawang pantay na binubuo ng mga polygon ay pantay sa laki. Ito ay natural na magpose ng kabaligtaran na tanong: mayroon bang dalawang polygon na may parehong lugar na pantay sa laki? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay (halos sabay-sabay) ng Hungarian mathematician na si Farkas Bolyai (1832) at ang German officer at mathematics enthusiast na si Gerwin (1833): dalawang polygons na may pantay na mga lugar ay pantay na proporsyonal.

Ang Bolyai-Gerwin theorem ay nagsasaad na ang anumang polygon ay maaaring putulin sa mga piraso upang ang mga piraso ay mabuo sa isang parisukat.

Ehersisyo 1.

Gupitin ang parihaba a X 2a sa mga piraso upang sila ay gawin sa isang parisukat.

Pinutol namin ang rectangle ABCD sa tatlong bahagi kasama ang mga linyang MD at MC (M ang gitna ng AB)

Larawan 1

Inilipat namin ang tatsulok na AMD upang ang vertex M ay tumutugma sa vertex C, ang binti AM ay gumagalaw sa segment na DC. Inilipat namin ang tatsulok na MVS sa kaliwa at pababa upang ang binti MV ay magkakapatong sa kalahati ng segment na DC. (Larawan 1)

Gawain 2.

Gupitin ang equilateral triangle sa mga piraso upang sila ay matiklop sa isang parisukat.

Tukuyin natin itong regular na tatsulok na ABC. Kinakailangang gupitin ang tatsulok na ABC sa mga polygon upang sila ay matiklop sa isang parisukat. Kung gayon ang mga polygon na ito ay dapat magkaroon ng kahit isang tamang anggulo.

Hayaang K ang midpoint ng CB, T ang midpoint ng AB, piliin ang mga puntos M at E sa gilid AC upang ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Figure 2

Iguhit natin ang segment MK at ang mga segment na EP at TN patayo dito. Gupitin natin ang tatsulok sa mga piraso kasama ang mga itinayong linya. Iniikot namin ang quadrilateral KRES clockwise na may kaugnayan sa vertex K upang ang SC ay nakahanay sa segment na KV. I-rotate natin ang quadrilateral AMNT clockwise kaugnay ng vertex T upang ang AT ay nakahanay sa TV. Ilipat natin ang tatsulok na MEP upang ang resulta ay isang parisukat. (Figure 2)

Gawain 3.

Gupitin ang parisukat sa mga piraso upang ang dalawang parisukat ay matiklop mula sa kanila.

Tukuyin natin ang orihinal na parisukat na ABCD. Markahan natin ang mga midpoint ng mga gilid ng parisukat - mga puntos M, N, K, H. Gumuhit tayo ng mga segment MT, HE, KF at NP - mga bahagi ng mga segment na MC, HB, KA at ND, ayon sa pagkakabanggit.

Sa pamamagitan ng pagputol ng parisukat na ABCD kasama ang mga iginuhit na linya, nakukuha natin ang parisukat na PTEF at apat na quadrilateral na MDHT, HCKE, KBNF at NAMP.

Larawan 3

Ang PTEF ay isang handa na parisukat. Mula sa natitirang mga quadrangles ay bubuo tayo ng pangalawang parisukat. Ang mga vertice A, B, C at D ay magkatugma sa isang punto, ang mga segment na AM at BC, MD at KS, BN at CH, DH at AN ay magkatugma. Ang mga puntos na P, T, E at F ay magiging mga vertice ng bagong parisukat. (Larawan 3)

Gawain 4.

Ang isang equilateral triangle at isang parisukat ay pinutol mula sa makapal na papel. Gupitin ang mga figure na ito sa mga polygon upang sila ay matiklop sa isang parisukat, at ang mga bahagi ay dapat na ganap na punan ito at hindi dapat magsalubong.

Gupitin ang tatsulok sa mga piraso at gawing parisukat ang mga ito tulad ng ipinapakita sa gawain 2. Haba ng gilid ng tatsulok – 2a. Ngayon ay dapat mong hatiin ang parisukat sa mga polygon upang mula sa mga bahaging ito at ang parisukat na lumabas sa tatsulok, gumawa ka ng isang bagong parisukat. Kumuha ng isang parisukat na may gilid 2 A, tukuyin natin itong LRSD. Gumuhit tayo ng magkabilang patayo na mga segment na UG at VF upang ang DU=SF=RG=LV. Gupitin natin ang parisukat sa mga quadrangles.

Larawan 4

Kumuha tayo ng isang parisukat na binubuo ng mga bahagi ng isang tatsulok. Ilatag natin ang quadrilaterals - mga bahagi ng parisukat, tulad ng ipinapakita sa Figure 4.

Gawain 5.

Ang krus ay binubuo ng limang parisukat: isang parisukat sa gitna, at ang iba pang apat na katabi ng mga gilid nito. Gupitin ito sa mga piraso upang makagawa ka ng isang parisukat mula sa kanila.

Ikonekta natin ang mga vertices ng mga parisukat tulad ng ipinapakita sa Figure 5. Gupitin ang "panlabas" na mga tatsulok at ilipat ang mga ito sa mga libreng puwang sa loob ng ABC square.

Larawan 5

Gawain 6.

I-redraw ang dalawang arbitrary na parisukat sa isa.

Ipinapakita ng Figure 6 kung paano gupitin at ilipat ang mga parisukat na piraso.

Isang serye ng mga elektibong klase sa paksang "Paglutas ng mga problema sa pagputol"

Paliwanag na tala

Basic mga layunin na inilalagay namin sa mga elective na klase ay ang mga sumusunod:

Ipakita ang materyal tungkol sa mga uri ng pagputol ng mga polygon;

Upang maisulong ang pagbuo ng mga kasanayan sa mga mag-aaral upang maisagawa ang mga pagbabagong tulad ng:

• parallel transfer,

  lumiko,

  sentral na simetrya at iba't ibang komposisyon ng mga pagbabagong ito.

AT ang pangunahing layunin ng lahat ng mga klase: makamit ang isang positibong pagbabago sa mga kakayahan sa spatial na pag-iisip.

Ang mga gawaing inaalok sa mga elektibong klase ay likas na malikhain, ang kanilang solusyon ay nangangailangan ng mga mag-aaral na: kasanayan:

ang kakayahang gumawa ng mga pagbabagong kaisipan na nagbabago sa lokasyon ng mga larawang nasa isip ng mga mag-aaral, kanilang istraktura, istraktura;

ang kakayahang baguhin ang imahe pareho sa lokasyon at istraktura nang sabay-sabay at paulit-ulit na gumaganap ng mga komposisyon ng mga indibidwal na operasyon.

Pagpaplanong pampakay:

1. Talatanungan Blg. 1 – 1 oras.

2. Pagputol ng mga problema. Type R cutting - 1 oras.

3. Type P cutting – 1 oras.

4. Q type cutting – 1 oras.

5. Type S cutting – 1 oras.

6. T-type cutting – 1 oras.

7. Talatanungan Blg. 2 – 1 oras.

Kapag nag-compile ng isang serye ng mga elective na klase, ginamit ang mga problema mula sa mga magasin na "Kvant", "Mathematics at School" at ang aklat ni G. Lindgren.

Mga Alituntunin: Kapag ipinakilala sa mga mag-aaral ang mga problema, inirerekomenda naming isaalang-alang ang mga problemang ito nang tumpak ayon sa mga uri ng pagputol na iminungkahi ni G. Lindgren, na nagpapahintulot, sa isang banda, na pag-uri-uriin ang mga problemang ito, sa kabilang banda, sa silid-aralan upang malutas ang mga problemang kinasasangkutan ng spatial. mga pagbabagong-anyo ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado (ang pangalawa at pangatlong uri na tumatakbo sa mga imahe, ayon sa I.S. Yakimanskaya). Inirerekomenda namin ang paggamit ng mga gawain ng mga elektibong klase kapag nagtatrabaho sa mga mag-aaral sa mga baitang 7–9.

Aralin Blg. 1

Paksa: Mga problema sa pagputol. Uri ng R cutting (rational cutting).

Target: Upang makilala ang mga mag-aaral sa konsepto ng isang problema sa pagputol, ipaliwanag ang kakanyahan ng pagputol ng uri ng R, pag-aaral ng solusyon ng mga problema para sa ganitong uri ng pagputol, sa proseso ng paglutas ng mga problema, itaguyod ang pagbuo ng mga kasanayan sa pag-iisip na magsagawa ng mga operasyon (pagputol, pagdaragdag, muling pag-cut, pag-ikot, parallel na paglipat), sa gayon ay nagtataguyod ng pag-unlad ng spatial na pag-iisip.

Kagamitan: papel, colored pastes, gunting, poster.

Paraan: nagpapaliwanag - naglalarawan.

Guro: poster sa pisara:

Scheme: Pagputol ng mga problema

Mga problema sa pagputol

1) Gupitin ang figure sa ilang mga figure

3) Hugis muli ng isa o higit pang mga hugis sa ibang hugis

2) Tiklupin ang isang figure mula sa mga ibinigay na figure

Sa lahat ng mga problema sa pagputol, karamihan sa mga ito ay mga makatwirang problema sa pagputol. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga naturang pagbawas ay madaling makabuo at ang mga puzzle batay sa mga ito ay hindi masyadong simple at hindi masyadong kumplikado.

Mga problema sa R ​​- pagputol

1) Gupitin ang figure sa ilang (karamihan ay pantay) na mga figure

3) Hugis muli ng isa o higit pang mga hugis sa isang partikular na hugis

2) Magdagdag ng isang figure mula sa ibinigay (karamihan ay pantay) na mga numero

3.1. Gamit ang step cutting

3.2. Nang hindi gumagamit ng step cutting

Kilalanin natin ang solusyon ng mga problema para sa bawat uri ng pagputol ng R.

Stage II: Yugto ng paglutas ng problema

Paraan: bahagyang paghahanap

Gawain Blg. 1(AII) : Gupitin ang isang parisukat na may gilid ng apat na parisukat sa dalawang magkapantay na bahagi. Maghanap ng maraming paraan upang mag-cut hangga't maaari.

Tandaan: Maaari ka lamang maghiwa sa mga gilid ng mga cell.

Solusyon:

Hinahanap ng mga mag-aaral ang gayong mga hiwa sa kanilang mga kuwaderno, pagkatapos ay ibubuod ng guro ang lahat ng mga paraan ng pagputol na natagpuan ng mga mag-aaral.

Problema Blg. 2(AII) : Gupitin ang mga hugis na ito sa dalawang pantay na bahagi.

Tandaan: Maaari mong i-cut hindi lamang sa mga gilid ng mga cell, ngunit din pahilis.

Ang mga mag-aaral ay naghahanap ng mga naturang hiwa sa kanilang mga kuwaderno sa tulong ng guro.

Ang parisukat ay may maraming magagandang katangian. Ang mga tamang anggulo, pantay na panig, simetrya ay nagbibigay ng pagiging simple at pagiging perpekto ng anyo. Mayroong maraming mga puzzle sa natitiklop na mga parisukat mula sa mga bahagi ng pareho at magkakaibang mga hugis.

SA halimbawa gawain Blg. 3(BII) : Binigyan ka ng apat na magkatulad na bahagi. Gumawa ng isang parisukat mula sa mga ito sa pag-iisip, gamit ang lahat ng apat na bahagi sa bawat oras. Gawin ang lahat ng pagsusulit sa papel. Ipakita ang mga resulta ng iyong solusyon sa anyo ng isang iginuhit ng kamay na pagguhit.

Solusyon:

Ang isang chessboard na pinutol, na dapat na nakatiklop nang tama, ay isa sa mga sikat at kilalang palaisipan. Ang pagiging kumplikado ng pagpupulong ay depende sa kung gaano karaming mga bahagi ang board ay nahahati sa.

Iminumungkahi ko ang sumusunod na gawain:

Problema Blg. 4(BII) : Magtipon ng isang chessboard mula sa mga bahaging ipinapakita sa larawan.

Solusyon:

Problema #5(VII) : Gupitin ang "Bangka" sa dalawang bahagi upang matiklop mo ang mga ito sa isang parisukat.

Solusyon:

1) gupitin sa dalawang bahagi tulad ng nasa larawan

iikot ang isa sa mga bahagi (i.e. paikutin)

Problema Blg. 6(VII): Anuman sa tatlong figure ay maaaring i-cut sa dalawang bahagi, kung saan ito ay madaling tiklop ng isang parisukat. Maghanap ng gayong mga pagbawas.

A) b)

V)

Solusyon:

parallel transfer ng part 1 relative to part 2

pag-ikot ng part 1 kaugnay ng part 2

) b) V)

Problema Blg. 7(VII): Ang isang parihaba na may mga gilid ng 4 at 9 na mga yunit ay pinutol sa dalawang magkapantay na bahagi, na, kapag nakatiklop nang maayos, ay maaaring makuha bilang isang parisukat.

ang hiwa ay ginawa sa anyo ng mga hakbang, ang taas at lapad nito ay pareho;

ang figure ay nahahati sa mga bahagi at ang isang bahagi ay inilipat pataas ng isa (o ilang) hakbang, inilalagay ito sa isa pang bahagi.

Solusyon:

parallel transfer ng part 1

Problema Blg. 9(VII): Ang pagkakaroon ng pagputol ng figure na ipinapakita sa figure sa dalawang bahagi, tiklupin ang mga ito sa isang parisukat upang ang mga kulay na parisukat ay simetriko na may paggalang sa lahat ng axes ng simetriya ng parisukat.

Solusyon:

parallel transfer ng part 1

Problema Blg. 9(ВIII): Paano dapat gupitin ang dalawang parisukat na 3 x 3 at 4 x 4 upang ang mga resultang bahagi ay matiklop sa isang parisukat? Gumawa ng ilang paraan. Subukang makayanan ang kaunting bahagi hangga't maaari.

Solusyon:

parallel na paglipat ng mga bahagi

Paraan:

Paraan:

parallel na pagsasalin at pag-ikot

paraan:

4 na paraan:

parallel na paglipat at pag-ikot ng mga bahagi

Ang mga mag-aaral, sa tulong ng guro, ay naghahanap ng mga pagbawas.

Problema Blg. 10(AIII): Ang figure na ipinapakita sa figure ay dapat nahahati sa 6 na pantay na bahagi, na gumagawa lamang ng mga hiwa sa kahabaan ng mga linya ng grid. Sa ilang paraan mo ito magagawa?

Solusyon: Dalawang posibleng solusyon.

Problema Blg. 11(BII): Bumuo ng isang chessboard mula sa mga ibinigay na piraso.

Solusyon:

Problema Blg. 12(BIII): I-convert ang 3 x 5 rectangle sa isang 5 x 3 rectangle nang hindi iniikot ang mga kaukulang bahagi.

Tandaan: Gumamit ng step cutting.

Solusyon:(parallel transfer)

Problema Blg. 13(BIII): Gupitin ang hugis sa 2 piraso na may isang hiwa upang bumuo ng 8 x 8 square.

Solusyon:

pag-ikot ng part 2 kaugnay ng part 1

Mga Alituntunin: Ang mga problema sa paggupit ng Type R ay ilan sa pinakamadali at pinakakawili-wili. Maraming mga problema para sa ganitong uri ng pagputol ay nagsasangkot ng ilang mga paraan ng solusyon, at ang mga independiyenteng solusyon ng mga mag-aaral sa mga problemang ito ay makakatulong na matukoy ang lahat ng mga paraan ng solusyon. Ang mga gawain 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 ay kinasasangkutan ng mga mag-aaral na nagtatrabaho sa imahe ng mga figure, sa pamamagitan ng mga pagbabago sa isip ("pagputol", karagdagan, pag-ikot, parallel na paglipat). Ang mga problema 4, 5, 9, 11 ay kinasasangkutan ng mga mag-aaral na nagtatrabaho sa mga modelo (gawa sa papel), sa pamamagitan ng direktang pagputol ng figure gamit ang gunting at pagsasagawa ng mga pagbabagong matematika (pag-ikot, parallel na pagsasalin) upang makahanap ng mga solusyon sa mga problema. Mga Gawain 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - para sa pangalawang uri ng pagpapatakbo gamit ang mga larawan, mga gawain 9, 10, 12 - para sa ikatlong uri ng pagpapatakbo gamit ang mga larawan.

Aralin Blg. 2

Paksa: Cutting type P (P parallelogram shift).

Target: Ipaliwanag ang kakanyahan ng pagputol ng uri P, sa proseso ng pag-aaral ng solusyon ng mga problema para sa ganitong uri ng pagputol, habang isinusulong ang pagbuo ng mga kasanayan sa pag-iisip na isakatuparan ang mga operasyon (pagputol, pagdaragdag, muling pagputol, parallel na paglipat), sa gayon ay itinataguyod ang pag-unlad ng spatial na pag-iisip.

Kagamitan:

Stage I: oriented na yugto

Paraan: may problemang presentasyon.

Guro nagdudulot ng problema (solve problem No. 1) at nagpapakita ng solusyon nito.

Gawain Blg. 1(BIII): I-convert ang parallelogram na may mga gilid na 3 at 5 cm sa isang bagong parallelogram na may parehong mga anggulo gaya ng orihinal na parallelogram, na ang isa sa mga gilid ay 4 cm.

Solusyon: 1)

4)

ABC D – paralelogram

AB = 3, A D=5

gumawa ng isang hiwa AO VO = D K = 4;

ilipat ang bahagi 1 pataas (parallel na pagsasalin) sa kanan kasama ang linya ng hiwa hanggang sa bumagsak ang punto O sa pagpapatuloy ng gilid ng DC;

gumawa ng hiwa KA' para KA' || DC ;

at Δ AA'K ipinapasok namin sa recess na matatagpuan sa ibaba ng punto O (parallel transfer ng Δ AA'K kasama ang tuwid na linya AO).

KVO Ang D ay ang gustong paralelogram (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  MASAMA =  1 +  4,

1 =  2 at  4 =  3 – nakahiga sa magkatulad na linya.

Samakatuwid,  MASAMA =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD, atbp.

U

Mga problema sa P shift

Hugis muli ng isa o higit pang mga hugis sa ibang hugis

mambabasa:

Ang kakanyahan ng pagputol ng uri P:

gumawa kami ng isang seksyon ng figure na ito na nakakatugon sa mga kinakailangan ng gawain;

nagsasagawa kami ng isang parallel na paglipat ng bahagi ng hiwa kasama ang linya ng hiwa hanggang sa tuktok ng bahagi ng hiwa ay tumutugma sa pagpapatuloy ng kabilang panig ng orihinal na pigura (parallelogram);

gumawa ng pangalawang hiwa na kahanay sa gilid ng paralelogram, nakakakuha kami ng isa pang bahagi;

Nagsasagawa kami ng isang parallel na paglipat ng bagong hiwa na bahagi kasama ang linya ng unang hiwa hanggang sa magkasabay ang mga vertices (inilalagay namin ang bahagi sa recess).

Stage II: Yugto ng paglutas ng problema

Paraan: nagpapaliwanag - naglalarawan

Problema Blg. 2(BII): I-convert ang 5 x 5 square sa isang rectangle na may lapad na 3.

Solusyon:

1) 2) – 3) 4)

seksyon AO / VO = D T = 3

parallel transfer ΔABO sa tuwid na linya AO ​​hanggang sa punto O  (DC)

putulin ang TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T sa pamamagitan ng parallel na paglipat sa tuwid na linya AO.

Ang TBOD ay ang gustong parihaba (TB = 3).

Problema Blg. 3(ВIII): Tiklupin ang tatlong magkaparehong parisukat sa isang malaking parisukat.

Tandaan: Tiklupin ang tatlong parisukat sa isang parihaba pagkatapos ay ilapat ang P shift.

Solusyon:

S pr = 1.5 * 4.5 = 6.75

kv = 6.75 =

1) 2) – 3)

4)

Problema Blg. 4(BIII): Gupitin ang 5 x 1 na parihaba sa isang parisukat

Tandaan: gumawa ng isang paghiwa AB (A W =
), ilapat ang P shift sa parihaba na XYWA.

Solusyon:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problema Blg. 5(ВIII): I-convert ang Russian Н sa isang parisukat.

Tandaan: gumawa ng isang hiwa tulad ng ipinapakita sa larawan, tiklupin ang mga resultang bahagi sa isang parihaba.

Solusyon:

Problema Blg. 6(BIII): I-convert ang tatsulok sa isang trapezoid.

Tandaan: Gawin ang hiwa tulad ng ipinapakita sa larawan.

Solusyon:

paikutin ang bahagi 1;

seksyon ng AB;

ΔАВС parallel transfer kasama ang AB hanggang point B  (FM)

gupitin O / O || FM;

ΔAOR sa pamamagitan ng parallel na transportasyon kasama ang AB. Ang punto P ay tumutugma sa punto B;

Ang OFBC ay ang nais na trapezoid.

Problema Blg. 7(ВIII): Gumawa ng isang parisukat mula sa tatlong pantay na mga krus na Greek.

Solusyon:

Problema Blg. 8(BIII): I-convert ang letrang T sa isang parisukat.

Tandaan: Una, gupitin ang isang parihaba mula sa titik t.

Solusyon: S t = 6 (yunit 2), Skv = (
) 2

lumiko

komposisyon ng parallel hyphens

MV = KS =

Problema Blg. 9(ВIII): Muling iguhit ang watawat na ipinapakita sa larawan sa isang parisukat.

Tandaan: I-convert muna ang bandila sa isang parihaba

Solusyon:

lumiko

S fl = 6.75 AB = C D =
Skv = (
) 2

parallel transfer

Mga Alituntunin: Kapag ipinakilala sa mga mag-aaral ang mga problema sa pag-type ng P cutting, inirerekumenda namin na ipakita nila ang kakanyahan ng ganitong uri ng pagputol kapag nilulutas ang isang partikular na problema. Inirerekomenda namin ang paglutas muna ng mga problema sa mga modelo (gawa sa papel), sa pamamagitan ng direktang pagputol ng mga figure gamit ang gunting at pagsasagawa ng parallel transfer, at pagkatapos, sa proseso ng paglutas ng mga problema, mula sa mga modelo ng mga figure hanggang sa paglipat sa pagtatrabaho sa mga larawan ng mga geometric na hugis, sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagbabagong kaisipan (pagputol, parallel na paglipat).

Aralin Blg. 3

Paksa: Cutting type Q (Q ay isang shift ng isang quadrilateral).

Target: Ibalangkas natin ang kakanyahan ng pagputol ng uri Q, sa proseso ng paglutas ng mga problema para sa ganitong uri ng pagputol, habang isinusulong ang pagbuo ng mga kasanayan sa pag-iisip na magsagawa ng mga operasyon (pagputol, karagdagan, sentral na simetrya, pag-ikot, parallel na paglipat), sa gayon ay itinataguyod ang pag-unlad ng spatial na pag-iisip.

Kagamitan: papel, colored pastes, gunting.

Stage I: oriented na yugto

Paraan: may problemang presentasyon.

Ang guro ay nagbibigay ng problema sa mga mag-aaral (lutasin ang problema Blg. 1) at ipinakita ang solusyon.

Gawain Blg. 1(BIII): I-convert ang quadrilateral na ito sa isang bagong quadrilateral.

Solusyon:

ginagawa namin ang HP cut upang ang VN = MN, PF = DF;

gumawa ng isang cut ME / ME || Araw;

gumawa ng isang cut RT / RT || AD ;

Ang Δ 3 at Δ 1 ay pinaikot pakanan na may kaugnayan sa bahagi 2;

Bahagi 1 sa pamamagitan ng parallel na paglipat sa isang tuwid na linya HF hanggang sa puntong T  AR;

Ang AMCP ay ang kinakailangang quadrilateral (na may mga gilid na CP at AM (maaaring tukuyin sa kondisyon)).

Problema Blg. 2(BIII): I-convert ang quadrilateral sa isang bagong quadrilateral (mahabang quadrilateral).

Solusyon:

(iikot ang bahagi 1 na may kaugnayan sa puntong O hanggang ang OU ay tumutugma sa AO);

(iikot ang bahagi (1 – 2) na may kaugnayan sa puntong T hanggang ang VT ay tumutugma sa WT);

Ang XAZW ay ang kinakailangang quadrilateral.

Sa mga problema sa paggamit ng Q cuts, ang mga cut ay ginagawa at ang mga cut pieces ay sumasailalim sa rotation transformation.

Mga gawain para sa Q pagputol

baguhin ang isang ibinigay na hugis (quadrangle) sa ibang hugis (quadrangle)

Sa maraming problema, ang mga elemento ng Q shift ay ginagamit upang ibahin ang anyo ng isang tatsulok sa ilang uri ng quadrilateral o vice versa (isang tatsulok bilang isang "quadrilateral" na ang isa sa mga gilid nito ay may zero na haba).

Stage II: Yugto ng paglutas ng problema

Problema Blg. 3(VII): Ang isang maliit na tatsulok ay pinutol mula sa tatsulok, tulad ng ipinapakita sa figure. Ayusin muli ang maliit na tatsulok upang makabuo ng paralelogram.

I-rotate ang part 1 relative to point P hanggang KR coincided with MR.

Ang AOO'M ay ang kinakailangang paralelogram.

Problema Blg. 4(BII, BIII): Alin sa mga tatsulok na ito ang maaaring gawing parihaba sa pamamagitan ng paggawa ng isa (dalawang) hiwa at muling pagsasaayos ng mga resultang bahagi?

1) 2) 3) 4)

5)

Solusyon:

1)

5)

1), 5) isang hiwa (cut – ang gitnang linya ng tatsulok)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dalawang cut (1st cut – midline, 2nd cut – taas mula sa vertex ng triangle).

Problema Blg. 5(VII): Muling itayo ang trapezoid sa isang tatsulok.

Solusyon:

seksyon KS (AK = KB)

pag-ikot ΔKVS sa paligid ng punto K upang ang mga segment na KV at KA ay nakahanay.

Δ FCD ang gustong tatsulok.

Problema Blg. 6(ВIII): Paano masira ang isang trapezoid sa mga hugis kung saan maaari kang gumawa ng isang parihaba?

Solusyon:

1) O seksyon (AO = OB, O┴AD)

2) gupitin TF (CT = TD, TF ┴AD)

pag-ikot ng bahagi 1 na may kaugnayan sa punto O upang ang AO at BO ay nakahanay.

I-rotate ang bahagi 2 na may kaugnayan sa puntong T upang ang DT at CT ay nakahanay.

PLMF – parihaba.

Stage III: pagtatakda ng takdang-aralin.

Problema Blg. 7(ВIII) : i-convert ang anumang tatsulok sa isang tamang tatsulok.

Komento:

1) unang i-convert ang isang arbitrary na tatsulok sa isang parihaba.

2) parihaba sa tamang tatsulok.

Solusyon:

lumiko

Problema Blg. 8(VII): I-convert ang isang arbitrary parallelogram sa isang tatsulok sa pamamagitan ng paggawa lamang ng isang hiwa.

Solusyon:

lumiko

I-rotate ang bahagi 2 sa paligid ng point O ng 180º (gitna ng simetrya)

Mga Alituntunin: Buod ng kakanyahan ng Q cutting na inirerekomenda namin

isagawa sa proseso ng paglutas ng mga partikular na problema. Ang mga pangunahing pagbabagong matematikal na ginagamit sa paglutas ng mga problema para sa ganitong uri ng pagputol ay: pag-ikot (sa partikular, sentral na simetrya, parallel na pagsasalin). Mga Gawain 1, 2, 7 – para sa mga praktikal na aksyon na may mga modelo ng mga geometric na hugis; ang mga gawain 3, 4, 5, 6, 8 ay kinabibilangan ng pagtatrabaho sa mga larawan ng mga geometric na hugis. Mga Gawain 3, 4, 5, 8 – para sa pangalawang uri ng pagpapatakbo gamit ang mga larawan, mga gawain 1, 2, 4, 6, 7 – para sa ikatlong uri ng pagpapatakbo gamit ang mga larawan.

Aralin Blg. 4.

Paksa: Type S cutting.

Target: Ipaliwanag ang kakanyahan ng pagputol ng uri S, sa proseso ng paglutas ng mga problema para sa ganitong uri ng pagputol, habang isinusulong ang pagbuo ng mga kasanayan sa pag-iisip na isakatuparan ang mga operasyon (pagputol, pagdaragdag, pag-overlapping, pagliko, parallel na paglipat, sentral na simetrya), sa gayon ay itinataguyod ang pag-unlad ng spatial na pag-iisip.

Kagamitan: papel, colored pastes, gunting, code positive.

ako yugto: oriented na yugto.

Paraan: nagpapaliwanag at naglalarawan.

Gawain Blg. 1(VII): kung paano i-cut ang isang parallelogram, na ang mga gilid ay 3.5 cm at 5 cm, sa isang parallelogram na may mga gilid na 3.5 cm at 5.5 cm, na gumagawa lamang ng isang "cut"?

Solusyon:

1) gumuhit ng isang segment (cut) CO = 5.5 cm, hatiin ang paralelogram sa dalawang bahagi.

2) inilalapat namin ang tatsulok na COM sa kabaligtaran ng parallelogram AK. (i.e. parallel transfer ng ∆ COM sa segment SA sa direksyon ng SA).

3) CAOO` ang gustong parallelogram (CO = 5.5 cm, CA = 3.5 cm).

Gawain Blg. 1(ВIII): ipakita kung paano mo maaaring gupitin ang isang parisukat sa 3 bahagi upang magamit mo ang mga ito sa paggawa ng isang parihaba na may isang gilid na doble ang laki ng isa.

Solusyon:

Bumuo ng parisukat na ABCD

iguhit natin ang dayagonal na AC

Iguhit natin ang kalahati ng diagonal BD segment OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Bumuo ng isang rektanggulo mula sa nagresultang 3 bahagi (haba AC, lapad AD

Para dito:

magsagawa ng parallel transfer ng mga bahagi 1 at 2. bahagi 1 (∆1) sa direksyon D A, ∆2 sa direksyon AB sa segment AB.

Ang AOO`C ay ang gustong parihaba (na may mga gilid AC, OA = ½ AC).

Guro: Isinaalang-alang namin ang solusyon ng 2 problema; ang uri ng pagputol na ginagamit sa paglutas ng mga problemang ito ay matalinghagang tinatawag na S-cutting.

S -pagputol ay karaniwang ang pagbabago ng isang paralelogram sa isa pang paralelogram.

Ang kakanyahan ng hiwa na ito sa mga sumusunod:

gumawa kami ng isang hiwa na katumbas ng haba sa gilid ng kinakailangang paralelogram;

nagsasagawa kami ng parallel transfer ng cut part hanggang sa magkasabay ang magkabilang magkabilang gilid ng parallelogram (i.e. inilapat namin ang cut part sa tapat ng parallelogram)

Depende sa mga kinakailangan ng gawain, ang bilang ng mga pagbawas ay depende.

Isaalang-alang natin ang mga sumusunod na gawain:

Gawain Blg. 3(BII): hatiin ang paralelogram sa dalawang bahagi kung saan maaari kang magdagdag ng isang parihaba.

Gumuhit tayo ng arbitrary paralelogram.

Solusyon:

mula sa punto B, babaan ang taas ng VN (VN┴AD)

Magsagawa tayo ng parallel transfer ng ∆ AVN sa segment BC sa direksyon ng BC.

Gumuhit ng guhit ng resultang parihaba.

VNRS – parihaba.

Gawain Blg. 4(BIII): Ang mga gilid ng paralelogram ay 3 at 4 cm. Gawing isang paralelogram na may mga gilid na 3.5cm sa pamamagitan ng paggawa ng dalawang hiwa.

Solusyon:

1)

2)

Ang nais na paralelogram.

Sa pangkalahatan, ang S-cutting ay batay sa paraan ng superimposing strips, na nagpapahintulot sa paglutas ng problema ng pagbabago ng anumang polygons.

Sa mga problema sa itaas, dahil sa kanilang kadalian, binigay namin ang paraan ng paglalapat ng mga guhitan, kahit na ang lahat ng mga solusyon na ito ay maaaring makuha gamit ang pamamaraang ito. Ngunit sa mas kumplikadong mga gawain hindi mo magagawa nang walang mga guhitan.

Sa madaling sabi paraan ng guhit bumabagsak dito:

1) Gupitin (kung kinakailangan) ang bawat polygon (ang polygon na binabago at ang polygon kung saan dapat baguhin ang orihinal na polygon) sa mga bahagi kung saan maaaring tiklop ang dalawang strip.

2) Ilagay ang mga piraso sa ibabaw ng bawat isa sa isang angkop na anggulo, na ang mga gilid ng isa sa mga ito ay palaging nakaposisyon nang pantay na may kaugnayan sa mga elemento ng kabilang strip.

3) Sa kasong ito, ang lahat ng mga linya na matatagpuan sa karaniwang bahagi ng 2 strips ay magpapakita ng mga lugar ng mga kinakailangang pagbawas.

Sulat Ang S, na ginamit sa terminong "S-cut", ay mula sa English Strip - strip.

Stage II: Yugto ng paglutas ng problema

Gamit ang problema 3 bilang isang halimbawa, i-verify natin na ang paraan ng paglalagay ng mga guhit ay nagbibigay ng nais na solusyon.

Problema Blg. 3(VII): Hatiin ang paralelogram sa dalawang bahagi kung saan maaari kang magdagdag ng isang parihaba.

Solusyon:

1)

2)

3)

1) nakakakuha kami ng isang strip mula sa isang paralelogram

2) mga guhitan ng mga parihaba

3) ipatong ang strip 2 sa strip 1, tulad ng ipinapakita sa Figure 3

4) makuha namin ang kinakailangang gawain.

Problema Blg. 5(BIII): Sa isang isosceles triangle, ang mga midpoint ng mga lateral na gilid at ang kanilang mga projection papunta sa base ay minarkahan. Dalawang tuwid na linya ang iginuhit sa pamamagitan ng mga markang punto. Ipakita na ang mga resultang piraso ay maaaring gamitin upang bumuo ng isang rhombus.

Solusyon:

bahagi 2, 3 - pag-ikot sa paligid ng isang punto

bahagi 4 - parallel transfer

Sa problemang ito, ang pagputol ng mga tatsulok ay naipahiwatig na; maaari nating i-verify na ito ay isang S-cut.

Problema Blg. 6(BIII): I-convert ang tatlong Greek crosses sa isang parisukat (gamit ang mga guhit).

Solusyon:

1)

Naglalagay kami ng isang strip ng mga parisukat sa isang strip ng mga krus upang ang punto A at punto C ay nabibilang sa mga gilid ng strip ng mga krus.

∆АВН = ∆СD B, samakatuwid, ang parisukat ay binubuo ng ∆АВС at ∆АВМ.

Yugto III: Pagtatakda ng takdang-aralin

Problema Blg. 7(BIII): I-convert ang rectangle na ito sa isa pang rectangle, ang mga gilid nito ay iba sa mga gilid ng orihinal na rectangle.

Tandaan: Tingnan ang solusyon sa problema 4.

Solusyon:

seksyon AO (AO - lapad ng kinakailangang rektanggulo);

gupitin ang DP / DP  AO (DP – haba ng kinakailangang rektanggulo);

parallel transfer ng ∆AVO sa direksyon ng sasakyang panghimpapawid sa segment ng sasakyang panghimpapawid;

parallel transfer ng ∆АPD sa segment AO sa direksyon ng AO;

Kinakailangang parihaba ang PFED.

Problema Blg. 8(BIII): Ang isang regular na tatsulok ay nahahati sa mga bahagi sa pamamagitan ng isang segment; gumawa ng isang parisukat mula sa mga bahaging ito.

Tandaan: Maaari mong i-verify sa pamamagitan ng pag-overlay sa mga strip na ito ay isang S cut.

pag-ikot ng bahagi 2 sa paligid ng punto O;

pag-ikot ng bahagi 3 sa paligid ng punto C;

parallel transfer ng part 4

Karagdagang gawain Blg. 9(BII): Gupitin ang parallelogram sa isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna nito, upang ang resultang dalawang piraso ay matiklop sa isang rhombus.

Solusyon:

O  QT

QT cut;

bahagi 1 sa pamamagitan ng parallel na paglipat sa BC segment sa direksyon BC (CD at AB ay pinagsama).

Mga Alituntunin: S – pagputol – isa sa pinakamahirap na uri ng pagputol. Inirerekomenda namin na ang kakanyahan ng pagputol na ito ay nakabalangkas sa mga tiyak na gawain. Sa mga klase sa paglutas ng mga problema sa S - cutting, inirerekumenda namin ang paggamit ng mga problema kung saan ibinibigay ang mga cutting figure at kinakailangan upang idagdag ang kinakailangang figure mula sa mga nagresultang bahagi, ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng kahirapan ng mga mag-aaral na nakapag-iisa na nagpapatupad ng paraan ng paglalapat ng mga piraso, na siyang kakanyahan ng S - pagputol. Kasabay nito, sa mga gawain na mas madaling makuha ng mga mag-aaral (halimbawa, sa mga gawain 3, 5, 8), maipapakita ng guro kung paano pinapayagan ng paraan ng paglalapat ng mga strip ang isa na makuha ang mga pagbawas na ibinigay sa mga kondisyon ng gawain. Mga Gawain 4, 5, 6, 8, 9 – para sa mga praktikal na aksyon na may mga modelo ng mga geometric na hugis, mga gawain 1, 2, 3, 7 – para sa pagtatrabaho sa mga larawan ng mga geometric na hugis. Mga Gawain 1, 3, 9 – para sa pangalawang uri ng pagpapatakbo gamit ang mga larawan, mga gawain 2, 4, 5, 6, 7, 8 – para sa ikatlong uri ng pagpapatakbo gamit ang mga larawan.

Aralin Blg. 5

Paksa: T-type cutting.

Target: Ipaliwanag ang kakanyahan ng pagputol ng uri S, sa proseso ng pag-aaral ng solusyon ng mga problema para sa ganitong uri ng pagputol, habang itinataguyod ang pagbuo ng mga kasanayan sa pag-iisip na isakatuparan ang mga operasyon (pagputol, pagdaragdag, pag-ikot, parallel na paglipat), sa gayon ay nagsusulong ng pagbuo ng spatial na pag-iisip.

Kagamitan: papel, colored pastes, gunting, colored pastes, code positives.

Stage I: oriented na yugto

Paraan: nagpapaliwanag at naglalarawan

Guro: Ang paggamit ng T-cutting upang malutas ang mga problema ay kinabibilangan ng pagguhit ng isang mosaic at ang kanilang kasunod na overlay. Ang mga strip na ginamit sa S-cutting ay maaaring makuha mula sa mga mosaic. Samakatuwid, ang pamamaraan ng pag-tile ay pangkalahatan ang paraan ng strip.

Isaalang-alang natin ang kakanyahan ng T-cutting gamit ang halimbawa ng paglutas ng problema.

Gawain Blg. 1(BIII): I-convert ang Greek cross sa isang parisukat.

1) ang unang hakbang ay i-convert ang orihinal na polygon sa isang mosaic na elemento (at ito ay kinakailangan);

2) mula sa mga elementong ito gumawa kami ng mosaic No. 1 (gumagawa kami ng isang mosaic mula sa Greek crosses);

5) lahat ng mga linya na matatagpuan sa karaniwang bahagi ng dalawang mosaic ay magpapakita ng mga lugar ng mga kinakailangang pagbawas.

Stage II: Yugto ng paglutas ng problema

Paraan: bahagyang - paghahanap

Problema Blg. 2(BIII): Ang Greek cross ay pinutol sa tatlong bahagi, tiklupin ang mga bahaging ito sa isang parihaba.

Tandaan: maaari naming i-verify na ang cut na ito ay isang T-type na cut.

Solusyon:

pag-ikot ng bahagi 1 sa paligid ng punto O;

paikutin ang bahagi 2 sa paligid ng punto A.

Problema Blg. 3(BIII): Gupitin ang matambok na may apat na gilid kasama ang dalawang tuwid na linya na nagdudugtong sa mga midpoint ng magkabilang panig. Ipakita na mula sa nagresultang apat na piraso ay laging posible na magdagdag ng paralelogram.

part 2 rotation sa paligid ng point O (o center of symmetry) ng 180;

part 3 rotation sa paligid ng point C (o center of symmetry) ng 180;

bahagi 1 – parallel transfer.

Ipakita natin ang mosaic kung saan nakuha ang hiwa na ito.

Problema Blg. 4(BIII): Tatlong magkaparehong tatsulok ang pinutol sa magkaibang median. Tiklupin ang anim na resultang piraso sa isang tatsulok.

Solusyon:

1) mula sa mga tatsulok na ito ay gumagawa kami ng mga tatsulok tulad ng sa Figure 1 (central symmetry);

2) gumawa kami ng isa pang tatsulok mula sa tatlong bagong tatsulok (nagtutugma ang magkaparehong panig).

Ipakita natin kung paano ginawa ang mga seksyong ito gamit ang mga mosaic.

Problema Blg. 5(BIII): Ang Griyego na krus ay pinutol sa mga piraso, at isang right-angled isosceles triangle ang ginawa mula sa mga pirasong ito.

Solusyon:

bahagi 1 sentral na simetrya;

bahagi 3 gitnang mahusay na proporsyon;

bahagi 3 at 4 – liko.

Problema Blg. 6(BIII): Gupitin ang pigurang ito sa isang parisukat.

Solusyon:

bahagi 1 pag-ikot sa paligid ng punto O;

part 3 turn 90 around point A.

Problema Blg. 7(BIII): Gupitin ang Greek cross sa paralelogram (ibinigay ang mga hiwa).

Solusyon:

bahagi 2 – parallel transfer na may kaugnayan sa bahagi 1;

bahagi 3 parallel transfer kasama ang cut line.

Yugto III: Pagtatakda ng takdang-aralin.

Problema Blg. 8(BIII): Dalawang magkaparehong papel na matambok na quadrangles na may mga hiwa: ang una kasama ang isa sa mga diagonal, at ang pangalawa kasama ang isa pang dayagonal. Patunayan na ang mga resultang bahagi ay maaaring gamitin upang bumuo ng isang paralelogram.

Solusyon: komposisyon ng mga liko.

Problema Blg. 9(BIII): Gumawa ng isang parisukat mula sa dalawang magkaparehong Greek crosses.

Solusyon:

Mga Alituntunin: T - pagputol - ang pinaka kumplikadong uri ng pagputol, na bumubuo ng mga pagbawas ng uri S. Inirerekomenda namin na ipaliwanag mo ang kakanyahan ng T-cutting sa proseso ng paglutas ng mga problema. Dahil sa pagiging kumplikado ng pagpapatupad ng paraan ng mosaic para sa mga mag-aaral, na siyang kakanyahan ng T-cutting, sa silid-aralan inirerekumenda namin ang paggamit ng mga gawain kung saan tinukoy ang pagputol at kinakailangan upang makuha ang nais na figure mula sa mga nagresultang bahagi ng figure gamit mga pagbabagong matematikal (pag-ikot, parallel na pagsasalin). Kasabay nito, sa mga gawain na mas madaling makuha ng mga mag-aaral, maaaring ipakita ng guro kung paano kumuha ng cutting data gamit ang mosaic method. Ang mga gawaing iminungkahi sa aralin Blg. 5 ay para sa ikatlong uri ng pagpapatakbo gamit ang mga imahe at kinasasangkutan ng mga mag-aaral na nagtatrabaho sa mga modelo ng mga geometric na figure sa pamamagitan ng pagsasagawa ng rotation at parallel translation.

Sa harap mo ay isang piraso ng papel na may larawan ng: a) isang tatsulok, b) isang limang-tulis na bituin, c) isang polygon sa hugis ng isang swimming swan. Sa bawat kaso makabuo ng, kung paano tiklop ang isang piraso ng papel upang ang kaukulang hugis ay maputol sa isang tuloy-tuloy na tuwid na hiwa gamit ang gunting.

Clue

Sa lahat ng mga kaso, ang solusyon ay halos ganap na binubuo ng mga hakbang ng dalawang uri: kailangan mong idagdag ang alinman sa kahabaan ng bisector ng ilan sa mga anggulo na nauugnay sa figure (upang "bawasan" ang bilang ng mga segment na natitira hindi sa parehong linya) , o sa kahabaan ng patayo sa isa sa mga segment (upang "magkasya » ang haba nito sa nais na haba).

Solusyon

Ang mga figure sa ibaba ay nagpapakita kung paano tiklop ang mga hugis mula sa pahayag ng problema upang pagkatapos ay gupitin ang bawat isa sa kanila ng isang hiwa.

Sa isang tatsulok, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: idinagdag namin ang isang bisector, pagkatapos ay kasama ang isa (Larawan 1).

Medyo madali ding pakitunguhan ang bituin. Una kailangan mong tiklop ito sa kalahati sa kahabaan ng axis ng simetrya (isang ganap na natural na aksyon - dahil maaari mong "kalahatiin" ang figure sa isang nahulog na swoop). Pagkatapos - pagsamahin ang dalawang sinag ng bituin sa bawat isa, pagdaragdag sa bisector ng "panlabas" na anggulo nito. Pagkatapos nito, tatlong mga segment lamang ang mananatili mula sa tabas, na madaling pagsamahin (Larawan 2).

Ang swan ang pinakamahirap na bagay. Ito ay naiintindihan: isang figure na walang simetriko, na may malaking bilang ng mga panig; samakatuwid, isang malaking bilang ng mga fold ang kakailanganin. Ang diagram para sa pagtitiklop ay ipinapakita sa Fig. 3. Ang mga simpleng tuldok na linya ay kumakatawan sa mga pababang fold, ang mga tuldok-gitling na linya ay kumakatawan sa mga pataas na fold. Una kailangan mong markahan ang mga fold na ito nang hiwalay upang ang sheet ay kunin ang hugis ng bubong ng isang bahay, at pagkatapos ay tiklop ang sheet sa isang patag na hugis.

Ang isang serye ng mga larawan ay nagpapakita ng buong proseso ng pagtitiklop:

Basahin ang tungkol sa kung saan nagmula ang gayong mapanlikhang sistema ng mga fold sa afterword.

Afterword

Ang lahat ng mga opsyon na iminungkahi sa kundisyon ay mga espesyal na kaso lamang ng pangkalahatang tanong, na parang ganito:

Dahil sa isang polygon sa isang flat sheet ng papel, posible bang tiklop ang sheet na ito upang ang polygon ay maaaring gupitin ng isang tuwid na hiwa?

Lumalabas na, anuman ang hugis ng polygon, ang sagot sa tanong na ito ay palaging positibo: oo, maaari mo. (Siyempre, tinatalakay natin ngayon ang problemang ito mula sa punto ng view ng matematika at huwag hawakan ang "pisikal" na bahagi ng bagay: imposibleng tiklop ang isang sheet ng papel nang maraming beses. Ito ay pinaniniwalaan na ito ay imposibleng tiklop kahit na napakanipis na papel nang higit sa 7-8 beses. Ito ay halos gayon: sa ilang Sa pamamagitan ng pagsisikap, maaari kang gumawa ng 12 baluktot, ngunit malamang na hindi ka makakagawa ng higit pa.)

Bukod dito, kung maraming mga polygon ang iguguhit, kung gayon ang sheet ay maaari pa ring tiklop upang ang lahat ng mga ito ay maaaring gupitin sa isang hiwa (at walang dagdag na gupitin). Ang punto ay ang mga sumusunod ay totoo teorama:

Hayaang gumuhit ng arbitrary graph sa isang piraso ng papel. Pagkatapos ang sheet na ito ay maaaring tiklupin upang ang graph na ito ay maaaring gupitin sa isang hiwa, at walang hindi kinakailangan na gupitin.

Ang theorem na ito ay may algorithmic proof. Iyon ay, ang patunay nito ay nagbibigay ng isang tahasang recipe para sa kung paano bumuo ng kinakailangang sistema ng mga fold.

Sa madaling sabi ang kakanyahan ay ito. Una kailangan nating bumuo ng isang tuwid na balangkas. Ito ay isang hanay ng mga linya - ang mga trajectory ng vertices ng orihinal na polygon - kung saan gumagalaw ang mga ito sa panahon ng espesyal na compression nito. Ang compression ay gumagana tulad nito: inililipat namin ang mga gilid ng polygon "papasok" sa isang pare-parehong bilis, upang ang bawat panig ay gumagalaw nang hindi binabago ang direksyon nito. Tulad ng madali mong nakikita, sa una ay gagapang ang mga vertices sa mga bisector ng mga sulok ng polygon. Iyon ay, ang kakaibang konstruksyon na ito sa unang sulyap ay nagsa-generalize lamang ng ideya na iminungkahi sa pahiwatig: na dapat mong subukang magdagdag sa mga bisector ng mga sulok ng isang polygon. Tandaan na sa panahon ng proseso ng compression, ang polygon ay maaaring "malaglag" sa mga piraso, tulad ng nangyari sa Fig. 5.

Matapos makuha ang balangkas, mula sa bawat vertice nito ay kinakailangan na gumuhit ng mga sinag na patayo sa mga gilid ng orihinal na pigura kung saan maaari silang iguguhit. Kung ang sinag ay nakatagpo ng isang linya mula sa balangkas, pagkatapos ay pagkatapos ng pagtawid ay dapat itong magpatuloy hindi tuwid, ngunit kasama ang imahe ng salamin nito na may kaugnayan sa linyang ito. Ang fold system ay binubuo ng mga iginuhit na linya.

Higit pang impormasyon tungkol dito at kung paano matukoy ang direksyon ng fold (“pataas” o “pababa”) ay matatagpuan sa artikulong E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Ang isang maikling kasaysayan at isa pang diskarte sa paglutas ng problema ay matatagpuan sa pahina ni Eric Demain, isa sa mga may-akda ng patunay ng teorama. Maaari ka ring magbasa ng bahagyang mas sikat na kuwento tungkol sa teorama na ito (sa kasamaang palad, sa Ingles din). At sa wakas, ipinapayo ko sa iyo na panoorin ang cartoon na "Mathematical Etudes", kung saan malinaw mong makikita kung paano tiklop ang isang tatsulok at isang bituin at pagkatapos ay gupitin ang mga ito sa isang hiwa.

Sa wakas, napapansin ko na ang mga tanong na katulad ng mga tinalakay sa itaas ay ibinangon sa loob ng mahabang panahon. Halimbawa, sa isang aklat ng Hapon noong 1721, bilang isa sa mga problema, hiniling sa mga mambabasa na gupitin ang isang pigura mula sa tatlong nagkakaisang rhombus gamit ang isang hiwa (Larawan 6). Nang maglaon, ipinaliwanag ng sikat na ilusyonistang si Harry Houdini ang paraan ng pagputol ng bituin sa kanyang aklat. Sa pamamagitan ng paraan, ayon sa alamat, tiyak na dahil ang gayong bituin ay maaaring mabilis na maputol sa papel o tela, nakikita natin ngayon ang limang-tulis na mga bituin sa watawat ng US: ang mananahi na si Betsy Ross, na, ayon sa alamat, ay tinahi ang unang bandila, ay nagawang kumbinsihin si George Washington na mas mahusay silang ginagamit para sa watawat kaysa sa anim na puntos na orihinal na gustong gamitin ng Washington.