Ang isang ellipse ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto F_1, at ang F_2 ay isang pare-parehong halaga (2a), mas malaki kaysa sa distansya (2c) sa pagitan ng mga ibinigay na punto (Fig. 3.36, a). Itong geometriko na kahulugan ay nagpapahayag focal property ng isang ellipse.
Focal property ng isang ellipse
Ang mga puntos na F_1 at F_2 ay tinatawag na foci ng ellipse, ang distansya sa pagitan ng mga ito 2c=F_1F_2 ay ang focal length, ang midpoint O ng segment na F_1F_2 ay ang sentro ng ellipse, ang numero 2a ay ang haba ng pangunahing axis ng ellipse (ayon sa pagkakabanggit, ang numero a ay ang pangunahing semiaxis ng ellipse). Ang mga segment na F_1M at F_2M na nagkokonekta sa isang di-makatwirang punto M ng ellipse kasama ang foci nito ay tinatawag na focal radii ng punto M . Ang segment ng linya na nagkokonekta sa dalawang punto ng isang ellipse ay tinatawag na chord ng ellipse.
Ang ratio na e=\frac(c)(a) ay tinatawag na eccentricity ng ellipse. Mula sa kahulugan (2a>2c) sumusunod na 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometric na kahulugan ng isang ellipse, na nagpapahayag ng focal property nito, ay katumbas ng analytical definition nito - ang linyang ibinigay ng canonical equation ng ellipse:
Sa katunayan, ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system (Fig. 3.36, c). Ang sentro O ng ellipse ay kinuha bilang pinagmulan ng sistema ng coordinate; ang tuwid na linya na dumadaan sa foci (ang focal axis o ang unang axis ng ellipse), kukunin natin bilang abscissa axis (ang positibong direksyon dito mula sa puntong F_1 hanggang sa puntong F_2); ang tuwid na linya na patayo sa focal axis at dumadaan sa gitna ng ellipse (ang pangalawang axis ng ellipse) ay kinuha bilang y-axis (ang direksyon sa y-axis ay pinili upang ang rectangular coordinate system na Oxy ay tama ).
Bumuo tayo ng equation ng isang ellipse gamit ang geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property. Sa napiling coordinate system, tinutukoy namin ang mga coordinate ng foci F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para sa isang di-makatwirang punto M(x,y) na kabilang sa ellipse, mayroon kaming:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Sa pagsulat ng pagkakapantay-pantay na ito sa anyo ng coordinate, makakakuha tayo ng:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Inilipat namin ang pangalawang radikal sa kanang bahagi, parisukat ang magkabilang panig ng equation at nagbibigay ng mga katulad na termino:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Hinahati sa 4, parisukat namin ang magkabilang panig ng equation:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Nagpapahiwatig b=\sqrt(a^2-c^2)>0, nakukuha namin b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Hinahati ang parehong bahagi ng a^2b^2\ne0 , dumating tayo sa canonical equation ng ellipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Samakatuwid, ang napiling coordinate system ay kanonikal.
Kung ang foci ng ellipse ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay isang bilog (Larawan 3.36.6), dahil a=b. Sa kasong ito, anumang rectangular coordinate system na may pinanggalingan sa punto O\equiv F_1\equiv F_2, at ang equation na x^2+y^2=a^2 ay ang equation ng isang bilog na may center O at radius a .
Sa pamamagitan ng pangangatwiran pabalik, maipapakita na ang lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (3.49), at sila lamang, ay nabibilang sa locus ng mga puntos, na tinatawag na ellipse. Sa madaling salita, ang analytic na kahulugan ng isang ellipse ay katumbas ng geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property ng ellipse.
Pag-aari ng direktoryo ng isang ellipse
Ang mga directrix ng isang ellipse ay dalawang tuwid na linya na dumadaan parallel sa y-axis ng canonical coordinate system sa parehong distansya \frac(a^2)(c) mula dito. Para sa c=0 , kapag ang ellipse ay isang bilog, walang mga directrix (maaari nating ipagpalagay na ang mga directrix ay inalis nang walang katapusan).
Ellipse na may eccentricity 0
Sa katunayan, halimbawa, para sa focus F_2 at directrix d_2 (Fig. 3.37.6) ang kundisyon \frac(r_2)(\rho_2)=e maaaring isulat sa coordinate form:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Pag-alis ng irrationality at pagpapalit e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dumating tayo sa canonical equation ng ellipse (3.49). Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring isagawa para sa focus F_1 at ang directrix d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ellipse equation sa polar coordinates
Ang ellipse equation sa polar coordinate system F_1r\varphi (Fig.3.37,c at 3.37(2)) ay may anyo
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kung saan ang p=\frac(b^2)(a) ay ang focal parameter ng ellipse.
Sa katunayan, piliin natin ang kaliwang focus F_1 ng ellipse bilang pole ng polar coordinate system, at ang ray F_1F_2 bilang polar axis (Fig. 3.37, c). Pagkatapos para sa isang arbitrary point M(r,\varphi) , ayon sa geometric na kahulugan (focal property) ng isang ellipse, mayroon kaming r+MF_2=2a . Ipinapahayag namin ang distansya sa pagitan ng mga puntong M(r,\varphi) at F_2(2c,0) (tingnan ang punto 2 ng mga pangungusap 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Samakatuwid, sa coordinate form, ang equation ng ellipse F_1M+F_2M=2a ay may anyo
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Ihiwalay namin ang radical, parisukat sa magkabilang panig ng equation, hatiin sa 4 at magbigay ng mga katulad na termino:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Ipinapahayag namin ang polar radius r at ginagawa ang pagpapalit e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient sa ellipse equation
Hanapin natin ang mga intersection point ng ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a) kasama ang mga coordinate axes (vertices ng zllips). Ang pagpapalit ng y=0 sa equation, makikita natin ang mga intersection point ng ellipse na may abscissa axis (na may focal axis): x=\pm a . Samakatuwid, ang haba ng segment ng focal axis na nakapaloob sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2a. Ang segment na ito, gaya ng nabanggit sa itaas, ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang number a ay ang major semi-axis ng ellipse. Ang pagpapalit ng x=0 , makuha namin ang y=\pm b . Samakatuwid, ang haba ng segment ng pangalawang axis ng ellipse na nakapaloob sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2b. Ang segment na ito ay tinatawag na minor axis ng ellipse, at ang bilang b ay tinatawag na minor semiaxis ng ellipse.
Talaga, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, at ang pagkakapantay-pantay b=a ay nakukuha lamang sa kaso c=0 kapag ang ellipse ay isang bilog. Saloobin k=\frac(b)(a)\leqslant1 ay tinatawag na contraction factor ng ellipse.
Pangungusap 3.9
1. Nililimitahan ng mga linyang x=\pm a,~y=\pm b ang pangunahing parihaba sa coordinate plane, sa loob kung saan matatagpuan ang ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a).
2. Ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos na nakuha sa pamamagitan ng pagkontrata ng isang bilog sa diameter nito.
Sa katunayan, hayaan sa rectangular coordinate system na Oxy ang bilog na equation ay may anyo na x^2+y^2=a^2 . Kapag na-compress sa x-axis na may factor na 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Ang pagpapalit ng x=x" at y=\frac(1)(k)y" sa equation ng bilog, makakakuha tayo ng equation para sa mga coordinate ng imaheng M"(x",y") ng point M(x). ,y): (x")^2+(\kaliwa(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} dahil b=k\cdot a . Ito ang canonical equation ng ellipse. 3. Ang mga coordinate axes (ng canonical coordinate system) ay ang mga axes ng symmetry ng ellipse (tinatawag na principal axes ng ellipse), at ang sentro nito ay ang sentro ng simetrya. Sa katunayan, kung ang puntong M(x,y) ay kabilang sa ellipse . pagkatapos ay ang mga puntos na M"(x,-y) at M""(-x,y) , simetriko sa puntong M na may paggalang sa mga coordinate axes, ay nabibilang din sa parehong ellipse. 4. Mula sa equation ng isang ellipse sa isang polar coordinate system r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(tingnan ang Fig. 3.37, c), ang geometric na kahulugan ng focal parameter ay nilinaw - ito ay kalahati ng haba ng chord ng ellipse na dumadaan sa pokus nito patayo sa focal axis ( r = p sa \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ang eccentricity e ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse, katulad ng pagkakaiba sa pagitan ng ellipse at ng bilog. Kung mas malaki ang e, mas pinahaba ang ellipse, at mas malapit ang e sa zero, mas malapit ang ellipse sa bilog (Larawan 3.38, a). Sa katunayan, ibinigay na e=\frac(c)(a) at c^2=a^2-b^2 , nakukuha natin E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kaliwa(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} kung saan ang k ay ang contraction factor ng ellipse, 0 6. Equation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 para sa
7. Equation \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b tumutukoy sa isang ellipse na nakasentro sa puntong O "(x_0, y_0), na ang mga axes ay parallel sa coordinate axes (Fig. 3.38, c). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical na gamit gamit ang parallel translation (3.36). Para sa a=b=R ang equation (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 naglalarawan ng isang bilog ng radius R na nakasentro sa punto O"(x_0,y_0) . Parametric equation ng isang ellipse sa canonical coordinate system ay may anyo \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Sa katunayan, ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (3.49), dumating tayo sa pangunahing trigonometric identity \cos^2t+\sin^2t=1 . Halimbawa 3.20. gumuhit ng ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 sa canonical coordinate system Oxy . Maghanap ng mga semiax, focal length, eccentricity, aspect ratio, focal parameter, directrix equation. Solusyon. Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical na isa, tinutukoy namin ang mga semiax: a=2 - ang pangunahing semiaxis, b=1 - ang menor na semiaxis ng ellipse. Binubuo namin ang pangunahing parihaba na may mga gilid 2a=4,~2b=2 na nakasentro sa pinanggalingan (Fig.3.39). Dahil sa mahusay na proporsyon ng ellipse, nababagay namin ito sa pangunahing rektanggulo. Kung kinakailangan, tinutukoy namin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng ellipse. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=1 sa ellipse equation, nakukuha natin \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- nabibilang sa isang ellipse. Kalkulahin ang ratio ng compression k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricity e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); focal parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Binubuo namin ang mga directrix equation: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Kahulugan 7.1. Ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos na F 1 at F 2 ay isang ibinigay na pare-pareho ay tinatawag na ellipse. Ang kahulugan ng isang ellipse ay nagbibigay ng sumusunod na paraan ng pagbuo nito sa geometrically. Inaayos namin ang dalawang puntos na F 1 at F 2 sa eroplano, at tinutukoy ang isang di-negatibong pare-parehong halaga ng 2a. Hayaan ang distansya sa pagitan ng mga punto F 1 at F 2 ay katumbas ng 2c. Isipin na ang isang hindi mapalawak na thread ng haba 2a ay naayos sa mga punto F 1 at F 2, halimbawa, sa tulong ng dalawang karayom. Malinaw na ito ay posible lamang para sa isang ≥ c. Ang paghila ng thread gamit ang isang lapis, gumuhit ng isang linya, na magiging isang ellipse (Larawan 7.1). Kaya, ang inilarawan na set ay hindi walang laman kung ang isang ≥ c. Kapag a = c, ang ellipse ay isang segment na may dulo ng F 1 at F 2, at kapag c = 0, i.e. kung ang mga nakapirming puntos na tinukoy sa kahulugan ng isang ellipse ay nag-tutugma, ito ay isang bilog ng radius a. Ibinasura ang mga lumalalang kaso na ito, higit pa naming ipinapalagay, bilang panuntunan, na a > c > 0. Ang mga nakapirming puntos na F 1 at F 2 sa kahulugan 7.1 ng ellipse (tingnan ang Fig. 7.1) ay tinatawag ellipse tricks, ang distansya sa pagitan nila, na tinutukoy ng 2c, - Focal length, at ang mga segment na F 1 M at F 2 M, na nagkokonekta sa isang di-makatwirang punto M sa ellipse kasama ang foci nito, - focal radii. Ang anyo ng ellipse ay ganap na tinutukoy ng focal length |F 1 F 2 | = 2с at parameter a, at ang posisyon nito sa eroplano - sa pamamagitan ng isang pares ng mga puntos F 1 at F 2 . Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang ellipse na ito ay simetriko tungkol sa isang tuwid na linya na dumadaan sa foci F 1 at F 2, pati na rin tungkol sa isang tuwid na linya na naghahati sa segment na F 1 F 2 sa kalahati at patayo dito (Fig 7.2, a). Ang mga linyang ito ay tinatawag ellipse axes. Ang punto O ng kanilang intersection ay ang sentro ng simetrya ng ellipse, at ito ay tinatawag ang gitna ng ellipse, at ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga axes ng simetrya (mga punto A, B, C at D sa Fig. 7.2, a) - ang mga vertex ng ellipse. Ang numero a ay tinatawag semi-major axis ng isang ellipse, at b = √ (a 2 - c 2) - nito semi-minor na axis. Madaling makita na para sa c > 0, ang major semiaxis a ay katumbas ng distansya mula sa gitna ng ellipse hanggang sa mga vertices nito na nasa parehong axis ng foci ng ellipse (vertices A at B sa Fig 7.2, a), at ang minor semiaxis b ay katumbas ng distansya mula sa gitnang ellipse hanggang sa iba pang dalawang vertices nito (mga vertices C at D sa Fig. 7.2, a). Ellipse equation. Isaalang-alang ang ilang ellipse sa eroplano na may foci sa mga puntong F 1 at F 2 , pangunahing axis 2a. Hayaang 2c ang focal length, 2c = |F 1 F 2 | Pumili kami ng isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxy sa eroplano upang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa gitna ng ellipse, at ang foci ay nasa abscissa(Larawan 7.2, b). Ang coordinate system na ito ay tinatawag kanonikal para sa ellipse na isinasaalang-alang, at ang kaukulang mga variable ay kanonikal. Sa napiling coordinate system, ang foci ay may mga coordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng mga punto, isinusulat namin ang kondisyon |F 1 M| + |F 2 M| = 2a sa mga coordinate: √((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2) Ang equation na ito ay hindi maginhawa dahil naglalaman ito ng dalawang square radical. Kaya't ibahin natin ito. Inilipat namin ang pangalawang radical sa equation (7.2) sa kanang bahagi at parisukat ito: (x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 . Pagkatapos buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino, nakukuha namin √((x + c) 2 + y 2) = a + εx kung saan ε = c/a. Inuulit namin ang squaring operation upang alisin ang pangalawang radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, o, ibinigay ang halaga ng ipinasok na parameter ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Dahil ang isang 2 - c 2 = b 2 > 0, kung gayon x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4) Ang equation (7.4) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng lahat ng mga punto na nakahiga sa ellipse. Ngunit kapag hinango ang equation na ito, walang katumbas na pagbabagong-anyo ng orihinal na equation (7.2) ang ginamit - dalawang squarings na nag-aalis ng mga square radical. Ang pag-squaring ng isang equation ay isang katumbas na pagbabagong-anyo kung ang magkabilang panig ay naglalaman ng mga dami na may parehong tanda, ngunit hindi namin ito nasuri sa aming mga pagbabago. Maaaring hindi namin suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga pagbabago kung isasaalang-alang namin ang sumusunod. Isang pares ng mga puntos F 1 at F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, sa eroplano ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga ellipse na may foci sa mga puntong ito. Ang bawat punto ng eroplano, maliban sa mga punto ng segment na F 1 F 2 , ay kabilang sa ilang ellipse ng tinukoy na pamilya. Sa kasong ito, walang dalawang ellipse ang nagsalubong, dahil ang kabuuan ng focal radii ay natatanging tumutukoy sa isang tiyak na ellipse. Kaya, ang inilarawan na pamilya ng mga ellipse na walang mga intersection ay sumasaklaw sa buong eroplano, maliban sa mga punto ng segment F 1 F 2 . Isaalang-alang ang isang hanay ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (7.4) na may ibinigay na halaga ng parameter a. Maaari bang ipamahagi ang set na ito sa ilang ellipses? Ang ilan sa mga punto ng set ay nabibilang sa isang ellipse na may semi-major axis a. Hayaang mayroong isang punto sa set na ito na nakahiga sa isang ellipse na may semi-major axis a. Pagkatapos ang mga coordinate ng puntong ito ay sumusunod sa equation mga. ang mga equation (7.4) at (7.5) ay may mga karaniwang solusyon. Gayunpaman, madaling i-verify na ang system para sa ã ≠ a ay walang mga solusyon. Upang gawin ito, sapat na upang ibukod, halimbawa, ang x mula sa unang equation: na pagkatapos ng mga pagbabago ay humahantong sa equation walang mga solusyon para sa ã ≠ a, dahil . Kaya, ang (7.4) ay ang equation ng isang ellipse na may semi-major axis a > 0 at ang minor semi-axis b = √ (a 2 - c 2) > 0. Ito ay tinatawag ang canonical equation ng ellipse. Ellipse view. Ang geometric na paraan ng pagbuo ng isang ellipse na tinalakay sa itaas ay nagbibigay ng sapat na ideya ng hitsura ng isang ellipse. Ngunit ang anyo ng isang ellipse ay maaari ding maimbestigahan sa tulong ng canonical equation nito (7.4). Halimbawa, kung isasaalang-alang ang y ≥ 0, maaari mong ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x: y = b√(1 - x 2 /a 2), at, pagkatapos suriin ang function na ito, buuin ang graph nito. May isa pang paraan upang makagawa ng isang ellipse. Ang isang bilog ng radius a na nakasentro sa pinagmulan ng canonical coordinate system ng ellipse (7.4) ay inilalarawan ng equation x 2 + y 2 = a 2 . Kung ito ay naka-compress sa coefficient a/b > 1 kasama y-axis, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang curve na inilarawan ng equation x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, i.e. isang ellipse. Puna 7.1. Kung ang parehong bilog ay naka-compress na may koepisyent na a/b Ellipse eccentricity. Ang ratio ng focal length ng isang ellipse sa major axis nito ay tinatawag ellipse eccentricity at tinutukoy ng ε. Para sa isang ellipse na ibinigay canonical equation (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Kung sa (7.4) ang mga parameter a at b ay nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay a Para sa c = 0, kapag ang ellipse ay naging bilog, at ε = 0. Sa ibang mga kaso, 0 Ang equation (7.3) ay katumbas ng equation (7.4) dahil ang mga equation (7.4) at (7.2) ay katumbas. Samakatuwid, ang (7.3) ay isa ring ellipse equation. Bilang karagdagan, ang kaugnayan (7.3) ay kawili-wili dahil nagbibigay ito ng simpleng formula na walang radikal para sa haba |F 2 M| isa sa focal radii ng point M(x; y) ng ellipse: |F 2 M| = a + εx. Ang isang katulad na pormula para sa pangalawang focal radius ay maaaring makuha mula sa mga pagsasaalang-alang ng symmetry o sa pamamagitan ng paulit-ulit na mga kalkulasyon kung saan, bago ang squaring equation (7.2), ang unang radical ay inililipat sa kanang bahagi, at hindi ang pangalawa. Kaya, para sa anumang punto M(x; y) sa ellipse (tingnan ang Fig. 7.2) |F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6) at bawat isa sa mga equation na ito ay isang ellipse equation. Halimbawa 7.1. Hanapin natin ang canonical equation ng isang ellipse na may semi-major axis 5 at eccentricity 0.8 at buuin ito. Alam ang major semiaxis ng ellipse a = 5 at ang eccentricity ε = 0.8, makikita natin ang minor semiaxis b nito. Dahil b \u003d √ (a 2 - c 2), at c \u003d εa \u003d 4, pagkatapos b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Kaya ang canonical equation ay may anyo x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Upang makabuo ng isang ellipse, ito ay maginhawa upang gumuhit ng isang parihaba na nakasentro sa pinagmulan ng canonical coordinate system, ang mga gilid nito ay parallel sa mga axes ng symmetry ng ellipse at katumbas nito kaukulang axes (Larawan 7.4). Ang parihaba na ito ay bumalandra sa ang mga palakol ng ellipse sa mga vertice nito A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), at ang ellipse mismo ay nakasulat dito. Sa fig. Ipinapakita rin ng 7.4 ang foci F 1.2 (±4; 0) ng ellipse. Mga geometric na katangian ng isang ellipse. Isulat muli natin ang unang equation sa (7.6) bilang |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Tandaan na ang halaga ng a / ε - x para sa a > c ay positibo, dahil ang focus F 1 ay hindi kabilang sa ellipse. Ang halagang ito ay ang distansya sa patayong linya d: x = a/ε mula sa puntong M(x; y) sa kaliwa ng linyang ito. Ang ellipse equation ay maaaring isulat bilang |F 1 M|/(а/ε - x) = ε Nangangahulugan ito na ang ellipse na ito ay binubuo ng mga puntong M (x; y) ng eroplano kung saan ang ratio ng haba ng focal radius F 1 M sa distansya sa tuwid na linya d ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng ε (Fig. 7.5). Ang linya d ay may "doble" - isang patayong linya d", simetriko sa d na may paggalang sa gitna ng ellipse, na ibinibigay ng equation x \u003d -a / ε. Sa paggalang sa d", ang ellipse ay inilarawan sa parehong paraan tulad ng tungkol sa d. Parehong linya d at d" ay tinatawag ellipse directrix. Ang mga directrix ng ellipse ay patayo sa axis ng symmetry ng ellipse, kung saan matatagpuan ang foci nito, at pinaghihiwalay mula sa gitna ng ellipse sa isang distansya a / ε \u003d a 2 / c (tingnan ang Fig. 7.5) . Tinatawag ang distansya p mula sa directrix hanggang sa pokus na pinakamalapit dito focal parameter ng ellipse. Ang parameter na ito ay katumbas ng p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c Ang ellipse ay may isa pang mahalagang geometric na katangian: ang focal radii F 1 M at F 2 M ay gumagawa ng pantay na mga anggulo sa tangent sa ellipse sa puntong M (Larawan 7.6). Ang ari-arian na ito ay may malinaw na pisikal na kahulugan. Kung ang isang pinagmumulan ng liwanag ay inilagay sa focus F 1, kung gayon ang sinag na lumalabas mula sa pokus na ito, pagkatapos ng pagmuni-muni mula sa ellipse, ay pupunta sa pangalawang focal radius, dahil pagkatapos ng pagmuni-muni ito ay nasa parehong anggulo sa kurba tulad ng bago ang pagmuni-muni . Kaya, ang lahat ng mga sinag na umaalis sa focus F 1 ay mapupunta sa pangalawang focus F 2 at vice versa. Batay sa interpretasyong ito, ang ari-arian na ito ay tinatawag optical property ng isang ellipse. Pagkatapos ng masusing pag-aaral tuwid na linya sa eroplano
patuloy nating pinag-aaralan ang geometry ng two-dimensional na mundo. Dinoble ang pusta at inaanyayahan ko kayong bisitahin ang nakamamanghang gallery ng mga ellipses, hyperbolas, parabolas, na karaniwang mga kinatawan ng pangalawang linya ng order. Nagsimula na ang paglilibot, at una, isang maikling impormasyon tungkol sa buong eksibisyon sa iba't ibang palapag ng museo: Ang isang linya sa isang eroplano ay tinatawag algebraic, kung nasa affine coordinate system
ang equation nito ay may form , kung saan ay isang polynomial na binubuo ng mga termino ng form ( ay isang tunay na numero, ay mga hindi negatibong integer). Gaya ng nakikita mo, ang equation ng isang algebraic na linya ay hindi naglalaman ng mga sine, cosine, logarithms, at iba pang functional beau monde. Tanging "x" at "y" sa integer na hindi negatibo degrees. Pagkakasunod-sunod ng linya ay katumbas ng pinakamataas na halaga ng mga terminong kasama dito. Ayon sa kaukulang teorama, ang konsepto ng isang algebraic na linya, pati na rin ang pagkakasunud-sunod nito, ay hindi nakasalalay sa pagpili. affine coordinate system
, samakatuwid, para sa kadalian ng pagiging, isinasaalang-alang namin na ang lahat ng kasunod na mga kalkulasyon ay nagaganap sa Mga coordinate ng Cartesian
. Pangkalahatang Equation ang pangalawang-order na linya ay may form , kung saan Kung , kung gayon ang equation ay pinapasimple sa Maraming naunawaan ang kahulugan ng mga bagong termino, ngunit, gayunpaman, upang 100% ma-assimilate ang materyal, idikit namin ang aming mga daliri sa socket. Upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng linya, ulitin lahat ng terms ang mga equation nito at para sa bawat isa sa kanila mahanap kabuuan ng mga kapangyarihan mga papasok na variable. Halimbawa: ang termino ay naglalaman ng "x" hanggang sa 1st degree; Ngayon, alamin natin kung bakit itinatakda ng equation ang linya pangalawa order: ang termino ay naglalaman ng "x" sa 2nd degree; Pinakamataas na halaga: 2 Kung idaragdag natin sa ating equation, sabihin nating, , kung gayon matutukoy na nito ikatlong order line. Malinaw na ang pangkalahatang anyo ng 3rd order line equation ay naglalaman ng isang "kumpletong hanay" ng mga termino, ang kabuuan ng mga antas ng mga variable kung saan ay katumbas ng tatlo: Sa kaganapan na ang isa o higit pang angkop na mga termino ay idinagdag na naglalaman ng Kakailanganin nating harapin ang mga algebraic na linya ng ika-3, ika-4 at mas mataas na mga order nang higit sa isang beses, lalo na, kapag nakikilala ang polar coordinate system
. Gayunpaman, bumalik tayo sa pangkalahatang equation at alalahanin ang pinakasimpleng mga pagkakaiba-iba ng paaralan. Ang mga halimbawa ay ang parabola, na ang equation ay madaling bawasan sa isang pangkalahatang anyo, at ang hyperbola na may katumbas na equation. Gayunpaman, hindi lahat ay napakakinis .... Ang isang makabuluhang disbentaha ng pangkalahatang equation ay halos palaging hindi malinaw kung aling linya ang tinutukoy nito. Kahit na sa pinakasimpleng kaso, hindi mo agad malalaman na ito ay hyperbole. Ang ganitong mga layout ay mabuti lamang sa isang pagbabalatkayo, samakatuwid, sa kurso ng analytical geometry, ang isang karaniwang problema ay isinasaalang-alang pagbabawas ng 2nd order line equation sa canonical form
. Ito ang karaniwang tinatanggap na karaniwang anyo ng equation, kapag sa loob ng ilang segundo ay naging malinaw kung anong geometric na bagay ang tinutukoy nito. Bilang karagdagan, ang canonical form ay napaka-maginhawa para sa paglutas ng maraming mga praktikal na gawain. Kaya, halimbawa, ayon sa canonical equation "flat" tuwid
, una, agad na malinaw na ito ay isang tuwid na linya, at pangalawa, ang puntong kabilang dito at ang vector ng direksyon ay nakikita lamang. Malinaw, kahit ano 1st order line kumakatawan sa isang tuwid na linya. Sa ikalawang palapag, wala nang janitor na naghihintay sa amin, ngunit isang mas magkakaibang kumpanya ng siyam na estatwa: Sa tulong ng isang espesyal na hanay ng mga aksyon, ang anumang second-order line equation ay binabawasan sa isa sa mga sumusunod na uri: (at mga positibong tunay na numero) 1) 2) ay ang canonical equation ng hyperbola; 3) 4) – haka-haka
ellipse; 5) - isang pares ng mga intersecting na linya; 6) - mag-asawa haka-haka
mga intersecting na linya (na may tanging tunay na punto ng intersection sa pinanggalingan); 7) - isang pares ng mga parallel na linya; 8) - mag-asawa haka-haka
parallel na linya; 9) ay isang pares ng magkatulad na linya. Ang ilang mga mambabasa ay maaaring makakuha ng impresyon na ang listahan ay hindi kumpleto. Halimbawa, sa talata bilang 7, itinatakda ng equation ang pares direkta
, parallel sa axis, at ang tanong ay lumitaw: nasaan ang equation na tumutukoy sa mga linya parallel sa y-axis? Sagot: ito hindi itinuturing na canon. Ang mga tuwid na linya ay kumakatawan sa parehong karaniwang kaso na pinaikot ng 90 degrees, at isang karagdagang entry sa pag-uuri ay kalabisan, dahil hindi ito nagdadala ng anumang panimula na bago. Kaya, mayroong siyam at siyam lamang ang iba't ibang uri ng mga linya ng 2nd order, ngunit sa pagsasanay ang pinakakaraniwan ay ellipse, hyperbola at parabola
. Tingnan muna natin ang ellipse. Gaya ng dati, nakatuon ako sa mga puntong iyon na may malaking kahalagahan para sa paglutas ng mga problema, at kung kailangan mo ng detalyadong derivation ng mga formula, mga patunay ng theorems, mangyaring sumangguni, halimbawa, sa aklat-aralin ni Bazylev / Atanasyan o Aleksandrov. Spelling ... mangyaring huwag ulitin ang mga pagkakamali ng ilang user ng Yandex na interesado sa "kung paano bumuo ng isang ellipse", "ang pagkakaiba sa pagitan ng isang ellipse at isang oval" at "elebs eccentricity". Ang canonical equation ng isang ellipse ay may anyo , kung saan ang mga positibong tunay na numero, at . Bubuo ako ng kahulugan ng isang ellipse sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay oras na upang magpahinga mula sa pakikipag-usap at lutasin ang isang karaniwang problema: Oo, kunin mo at iguhit mo lang. Ang takdang-aralin ay karaniwan, at ang isang mahalagang bahagi ng mga mag-aaral ay hindi lubos na nakayanan ang pagguhit: Halimbawa 1 Bumuo ng isang ellipse na ibinigay ng equation Solusyon: una naming dinadala ang equation sa canonical form: Bakit nagdadala? Ang isa sa mga bentahe ng canonical equation ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na matukoy ellipse vertex, na nasa mga punto . Madaling makita na ang mga coordinate ng bawat isa sa mga puntong ito ay nakakatugon sa equation. Sa kasong ito: Upang mabilis na isipin kung ano ang hitsura nito o ang ellipse na iyon, tingnan lamang ang mga halaga ng "a" at "be" ng canonical equation nito. Lahat ay maayos, maayos at maganda, ngunit may isang babala: Nakumpleto ko ang pagguhit gamit ang programa. At maaari kang gumuhit sa anumang application. Gayunpaman, sa malupit na katotohanan, isang checkered na piraso ng papel ang nakahiga sa mesa, at ang mga daga ay sumasayaw sa paligid ng aming mga kamay. Ang mga taong may talento sa sining, siyempre, ay maaaring makipagtalo, ngunit mayroon ka ring mga daga (kahit na mas maliit). Ito ay hindi walang kabuluhan na ang sangkatauhan ay nag-imbento ng isang pinuno, isang kumpas, isang protractor at iba pang mga simpleng aparato para sa pagguhit. Para sa kadahilanang ito, malamang na hindi namin magagawang tumpak na gumuhit ng isang ellipse, alam lamang ang mga vertices. Okay pa rin, kung maliit ang ellipse, halimbawa, may mga semiax. Bilang kahalili, maaari mong bawasan ang sukat at, nang naaayon, ang mga sukat ng pagguhit. Ngunit sa pangkalahatang kaso ito ay lubos na kanais-nais na makahanap ng mga karagdagang puntos. Mayroong dalawang diskarte sa pagbuo ng isang ellipse - geometric at algebraic. Hindi ko gusto ang pagbuo na may compass at ruler dahil sa maikling algorithm at ang makabuluhang kalat ng pagguhit. Sa kaso ng emerhensiya, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit sa katotohanan ay mas makatwiran ang paggamit ng mga tool ng algebra. Mula sa ellipse equation sa draft, mabilis naming ipinapahayag ang: Ang equation ay nahahati sa dalawang function: Ang ellipse na ibinigay ng canonical equation ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes, pati na rin tungkol sa pinagmulan. At iyan ay mahusay - ang simetrya ay halos palaging isang tagapagbalita ng isang freebie. Malinaw, ito ay sapat na upang harapin ang 1st coordinate quarter, kaya kailangan namin ng isang function Markahan ang mga puntos sa pagguhit (pulang kulay), simetriko na mga punto sa iba pang mga arko (asul na kulay) at maingat na ikonekta ang buong kumpanya sa isang linya: Ang isang ellipse ay isang espesyal na kaso ng isang hugis-itlog. Ang salitang "oval" ay hindi dapat unawain sa philistine sense ("ang bata ay gumuhit ng isang oval", atbp.). Ito ay isang mathematical term na may detalyadong pagbabalangkas. Ang layunin ng araling ito ay hindi isaalang-alang ang teorya ng mga oval at ang iba't ibang uri nito, na halos hindi binibigyang pansin sa karaniwang kurso ng analytic geometry. At, alinsunod sa mas kasalukuyang mga pangangailangan, agad kaming pumunta sa mahigpit na kahulugan ng isang ellipse: Ellipse- ito ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang kabuuan ng mga distansya sa bawat isa kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na mga trick ellipse, ay isang pare-parehong halaga, ayon sa bilang na katumbas ng haba ng pangunahing axis ng ellipse na ito: . Ngayon ay magiging mas malinaw: Isipin na ang asul na tuldok ay "nakasakay" sa isang ellipse. Kaya, kahit anong punto ng ellipse ang kunin natin, ang kabuuan ng mga haba ng mga segment ay palaging magiging pareho: Siguraduhin natin na sa ating halimbawa ang halaga ng kabuuan ay talagang katumbas ng walo. Ilagay sa isip ang puntong "em" sa kanang tuktok ng ellipse, pagkatapos ay: , na kinakailangang suriin. Ang isa pang paraan upang gumuhit ng isang ellipse ay batay sa kahulugan ng isang ellipse. Ang mas mataas na matematika, kung minsan, ang sanhi ng tensyon at stress, kaya oras na upang magkaroon ng isa pang sesyon ng pagbabawas. Mangyaring kumuha ng isang piraso ng papel o isang malaking sheet ng karton at i-pin ito sa mesa gamit ang dalawang pako. Ito ay magiging mga trick. Itali ang isang berdeng sinulid sa nakausli na mga ulo ng kuko at hilahin ito hanggang sa pamamagitan ng lapis. Ang leeg ng lapis ay nasa isang punto, na kabilang sa ellipse. Ngayon magsimulang gabayan ang lapis sa buong sheet ng papel, na pinapanatili ang berdeng sinulid na masyadong mahigpit. Ipagpatuloy ang proseso hanggang sa bumalik ka sa panimulang punto ... mahusay ... ang pagguhit ay maaaring isumite para sa pagpapatunay ng doktor sa guro =) Sa halimbawa sa itaas, inilarawan ko ang "handa" na mga punto ng pokus, at ngayon ay matututunan natin kung paano kunin ang mga ito mula sa kailaliman ng geometry. Kung ang ellipse ay ibinigay ng canonical equation , kung gayon ang foci nito ay may mga coordinate Ang mga kalkulasyon ay mas madali kaysa sa steamed turnips: ! Sa kahulugan na "ce" imposibleng makilala ang mga tiyak na coordinate ng mga trick! Uulitin ko, ito DISTANCE mula sa bawat pagtutok sa gitna(na sa pangkalahatang kaso ay hindi kailangang matatagpuan nang eksakto sa pinanggalingan). Ang eccentricity ng isang ellipse ay isang ratio na maaaring kumuha ng mga halaga sa loob ng . Sa kaso natin: Alamin natin kung paano nakadepende ang hugis ng isang ellipse sa eccentricity nito. Para dito ayusin ang kaliwa at kanang vertice ng ellipse na isinasaalang-alang, iyon ay, ang halaga ng semi-major axis ay mananatiling pare-pareho. Pagkatapos ang formula ng eccentricity ay kukuha ng form: . Simulan nating tantiyahin ang halaga ng eccentricity sa pagkakaisa. Ito ay posible lamang kung . Ano ang ibig sabihin nito? ... pag-alala ng mga trick Sa ganitong paraan, mas malapit ang eccentricity ng ellipse sa isa, mas pahaba ang ellipse. Ngayon, gayahin natin ang kabaligtaran na proseso: ang foci ng ellipse Sa ganitong paraan, mas malapit ang eccentricity value sa zero, mas mukhang ellipse... tingnan ang nililimitahan na kaso, kapag ang foci ay matagumpay na muling pinagsama sa pinanggalingan: Sa katunayan, sa kaso ng pagkakapantay-pantay ng mga semiax, ang canonical equation ng ellipse ay tumatagal ng anyo, na reflexively transforms sa kilalang circle equation mula sa paaralan na may sentro sa pinagmulan ng radius "a". Sa pagsasagawa, ang notasyon na may "pagsasalita" na titik na "er" ay mas madalas na ginagamit:. Ang radius ay tinatawag na haba ng segment, habang ang bawat punto ng bilog ay inalis mula sa gitna sa pamamagitan ng distansya ng radius. Tandaan na ang kahulugan ng isang ellipse ay nananatiling ganap na tama: ang foci ay tumugma, at ang kabuuan ng mga haba ng mga katugmang mga segment para sa bawat punto sa bilog ay isang pare-parehong halaga. Dahil ang distansya sa pagitan ng foci ay ang eccentricity ng anumang bilog ay zero. Ang isang bilog ay binuo nang madali at mabilis, ito ay sapat na upang braso ang iyong sarili sa isang compass. Gayunpaman, kung minsan ay kinakailangan upang malaman ang mga coordinate ng ilan sa mga punto nito, sa kasong ito pumunta kami sa pamilyar na paraan - dinadala namin ang equation sa isang masayang anyo ng Matan: Pagkatapos ay makikita natin ang nais na mga halaga, naiba-iba
, pagsamahin
at gumawa ng iba pang magagandang bagay. Ang artikulo, siyempre, ay para sa sanggunian lamang, ngunit paano mabubuhay ang isang tao nang walang pag-ibig sa mundo? Malikhaing gawain para sa independiyenteng solusyon Halimbawa 2 Buuin ang canonical equation ng isang ellipse kung ang isa sa foci nito at ang semi-minor axis ay kilala (ang sentro ay nasa pinanggalingan). Maghanap ng mga vertex, karagdagang mga punto at gumuhit ng isang linya sa pagguhit. Kalkulahin ang eccentricity. Solusyon at pagguhit sa pagtatapos ng aralin Magdagdag tayo ng aksyon: Bumalik tayo sa canonical equation ng ellipse, ibig sabihin, sa kondisyon, na ang bugtong nito ay nagpapahirap sa mga matanong na isipan mula noong unang pagbanggit ng kurba na ito. Dito ay isinasaalang-alang namin ang isang ellipse Ang ganitong equation ay bihira, ngunit ito ay dumating sa kabuuan. At ito ay tumutukoy sa isang ellipse. Iwaksi natin ang mistiko: Parametric equation ng isang ellipse
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!
Mga linya ng pangalawang order.
Ellipse at ang canonical equation nito. BilogAng konsepto ng isang algebraic na linya at ang pagkakasunud-sunod nito
ay mga arbitrary na tunay na numero (kaugalian na magsulat gamit ang isang multiplier - "dalawa"), at ang mga coefficient ay hindi sabay na katumbas ng zero.
, at kung ang mga coefficient ay hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, kung gayon ito ay eksakto pangkalahatang equation ng isang "flat" na tuwid na linya
, na kumakatawan sa unang linya ng order.
ang termino ay naglalaman ng "Y" hanggang sa unang kapangyarihan;
walang mga variable sa termino, kaya ang kabuuan ng kanilang mga kapangyarihan ay zero.
ang termino ay may kabuuan ng mga antas ng mga variable: 1 + 1 = 2;
ang termino ay naglalaman ng "y" sa 2nd degree;
lahat ng iba pang termino - mas mababa degree.
, kung saan ang mga coefficient ay hindi sabay na katumbas ng zero.
, tapos pag-uusapan natin Ika-4 na linya ng order, atbp.Ano ang canonical form ng isang equation?
Pag-uuri ng mga linya ng pangalawang order
ay ang canonical equation ng ellipse;
ay ang canonical equation ng parabola;Ellipse at ang canonical equation nito
Paano bumuo ng isang ellipse?
Segment ng linya tinawag pangunahing axis ellipse;
segment ng linya – menor de edad axis;
numero 
tinawag semi-major axis ellipse;
numero 
– semi-minor na axis.
sa ating halimbawa: .
– tumutukoy sa itaas na arko ng ellipse; 
– tumutukoy sa ibabang arko ng ellipse.
. Iminumungkahi nito ang paghahanap ng mga karagdagang puntos na may abscissas 
. Pinindot namin ang tatlong SMS sa calculator: 
Siyempre, kaaya-aya din na kung ang isang malubhang pagkakamali ay ginawa sa mga kalkulasyon, pagkatapos ay agad itong magiging malinaw sa panahon ng pagtatayo.
Mas mainam na iguhit ang paunang sketch nang manipis at manipis, at pagkatapos ay ilapat ang presyon sa lapis. Ang resulta ay dapat na medyo disenteng ellipse. By the way, gusto mo bang malaman kung ano ang curve na ito?Kahulugan ng isang ellipse. Ellipse foci at ellipse eccentricity
Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng foci ay mas mababa sa halagang ito: .
Paano mahahanap ang pokus ng isang ellipse?
, saan iyon distansya mula sa bawat foci hanggang sa sentro ng simetrya ng ellipse.
At, samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng foci ay hindi maaaring itali sa canonical na posisyon ng ellipse. Sa madaling salita, ang ellipse ay maaaring ilipat sa ibang lugar at ang halaga ay mananatiling hindi nagbabago, habang ang mga trick, siyempre, ay magbabago sa kanilang mga coordinate. Mangyaring tandaan ito habang ginalugad mo pa ang paksa.Ang eccentricity ng isang ellipse at ang geometric na kahulugan nito
. Nangangahulugan ito na ang foci ng ellipse ay "magkakalat" sa kahabaan ng abscissa axis hanggang sa mga gilid ng gilid. At, dahil "ang berdeng mga segment ay hindi goma", ang ellipse ay tiyak na magsisimulang mag-flat, na magiging mas payat at mas manipis na sausage na nakasabit sa axis.
pumunta sa isa't isa, papalapit sa gitna. Nangangahulugan ito na ang halaga ng "ce" ay lumiliit at, nang naaayon, ang eccentricity ay nagiging zero: .
Sa kasong ito, ang "berdeng mga segment", sa kabaligtaran, ay "magiging masikip" at magsisimula silang "itulak" ang linya ng ellipse pataas at pababa.
Ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse
ay ang function ng itaas na kalahating bilog;
ay ang function ng lower semicircle.I-rotate at isalin ang isang ellipse
, ngunit sa pagsasanay ay hindi maaaring ang equation 
? Pagkatapos ng lahat, dito, gayunpaman, ito ay parang isang ellipse din!
Bilang resulta ng pagtatayo, ang aming katutubong ellipse ay nakuha, pinaikot ng 90 degrees. Yan ay, 
- ito ay non-canonical entry ellipse 
. Record!- ang equation 
ay hindi tumutukoy ng anumang iba pang ellipse, dahil walang mga punto (foci) sa axis na makakatugon sa kahulugan ng isang ellipse.
