Hello kitties! Huling oras na sinuri namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo matandaan, inirerekumenda ko ang pagbabasa). Ang pangunahing konklusyon ng araling iyon: mayroon lamang isang unibersal na kahulugan ng mga ugat, na kailangan mong malaman. Ang natitira ay walang kapararakan at pag-aaksaya ng oras.

Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplikasyon (kung hindi malulutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo nang maayos. Kaya mag-stock ng popcorn, gawing komportable ang iyong sarili - at magsisimula na tayo. :)

Hindi ka pa naninigarilyo, hindi ba?

Ang aralin ay naging medyo malaki, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:

1. Una, titingnan natin ang mga patakaran para sa pagpaparami. Ang takip ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, mayroong isang "multiply" na senyales sa pagitan nila - at gusto naming gawin ang isang bagay dito.
2. Pagkatapos ay susuriin natin ang baligtad na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, at naiinip kaming ipakita ito bilang produkto ng dalawang ugat sa mas simpleng paraan. Sa kung anong takot ang kinakailangan ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga hindi makapaghintay na tumalon sa Part 2, welcome kayo. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.

Pangunahing tuntunin sa pagpaparami

Magsimula tayo sa pinakasimpleng - classical square roots. Ang mga pinapahiwatig ng $\sqrt(a)$ at $\sqrt(b)$. Para sa kanila, ang lahat ay karaniwang malinaw:

tuntunin sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, kailangan mo lamang na i-multiply ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat ng multiplier ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.

Mga halimbawa. Isaalang-alang ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa ay nakuha natin ang mga ugat mula sa 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang lata ay magsisimula: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi binibilang sa kanilang sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang eksaktong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.

Hiwalay, gusto kong tandaan ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nagkansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.

Siyempre, hindi lahat ay palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong crap sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano magbago pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya, kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function sa pangkalahatan. At kadalasan, ang mga nagtitipon ng mga problema ay umaasa lamang sa katotohanan na makakahanap ka ng ilang mga tuntunin o mga kadahilanan sa pagkontrata, pagkatapos nito ang gawain ay lubos na mapadali.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na i-multiply ang eksaktong dalawang ugat. Maaari mong i-multiply ang tatlo nang sabay-sabay, apat - oo kahit sampu! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

At muli isang maliit na pangungusap sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong multiplier, mayroong isang decimal na bahagi sa ilalim ng ugat - sa proseso ng mga kalkulasyon, pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos kung saan ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa anumang hindi makatwiran na mga expression (iyon ay, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na icon). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.

Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso - kapag ang root exponent ay naglalaman ng isang arbitrary na numero na $n$, at hindi lamang ang "klasikal" na dalawa.

Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, nalaman namin ang mga square root. At ano ang gagawin sa mga cube? O sa pangkalahatan na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:

Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radikal na expression, pagkatapos kung saan ang resulta ay nakasulat sa ilalim ng isang radikal.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban kung ang dami ng mga kalkulasyon ay maaaring higit pa. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

At muli pansin ang pangalawang ekspresyon. Pina-multiply namin ang mga ugat ng kubo, inaalis ang bahagi ng decimal, at bilang isang resulta ay nakukuha namin ang produkto ng mga numerong 625 at 25 sa denominator. Ito ay isang medyo malaking numero - sa personal, hindi ko kaagad kalkulahin kung ano ang katumbas nito sa.

Samakatuwid, pinili lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, ang kahulugan) ng ugat ng $n$th degree:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kaliwa| isang\kanan|. \\ \end(align)\]

Ang ganitong mga "scam" ay makakatipid sa iyo ng maraming oras sa isang pagsusulit o pagsusulit, kaya tandaan:

Huwag magmadali upang i-multiply ang mga numero sa radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?

Sa lahat ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga estudyante ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas. Sa halip, pinarami nila ang lahat ng bagay sa unahan, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero? :)

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay larong pambata kumpara sa ating pag-aaralan ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponent

Well, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong exponents. Paano kung magkaiba ang mga score? Sabihin, paano mo i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?

Oo, siyempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:

Panuntunan sa pagpaparami ng ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, gawin lamang ang sumusunod na pagbabago:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang pangungusap, kung saan babalik tayo sa ibang pagkakataon.

Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)

Madaling magparami ng mga ugat.

Bakit kailangang hindi negatibo ang mga radikal na expression?

Siyempre, maaari kang maging tulad ng mga guro sa paaralan at mag-quote ng isang aklat-aralin na may matalinong hitsura:

Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay magkakaiba din).

Well, naging mas malinaw? Sa personal, nang basahin ko ang kalokohang ito sa ika-8 baitang, naunawaan ko sa aking sarili ang isang bagay tulad nito: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ako Hindi ko maintindihan ang mga bagay na iyon sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Sa madaling salita, maaari nating ligtas na itaas ang root expression sa anumang natural na kapangyarihan $k$ - sa kasong ito, ang root index ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa isang karaniwang tagapagpahiwatig, pagkatapos nito ay dumarami tayo. Dito nagmula ang multiplication formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ngunit may isang problema na lubhang naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). At ngayon gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at degree. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa sa parehong kaliwa-papuntang-kanan at kanan-papuntang-kaliwa:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ngunit pagkatapos ay isang kabaliwan ang nangyari:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Hindi ito maaaring dahil $\sqrt(-5) \lt 0$ at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero, ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:

1. Upang labanan laban sa pader upang sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ito ay hindi tumpak";
2. Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.

Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, mahaba at sa pangkalahatan ay fu. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon. :)

Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang paghihigpit na ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng inilarawan na mga problema ay may kinalaman lamang sa mga ugat ng isang kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring alisin sa kanila.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isa pang panuntunan na nalalapat sa pangkalahatan sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago i-multiply ang mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$, maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - pagkatapos ay magiging maayos ang lahat:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Pakiramdaman ang pagkakaiba? Kung nag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay parisukat, ito ay mawawala, at ang crap ay magsisimula. At kung unang kumuha ka ng minus, maaari mo ring itaas / alisin ang isang parisukat hanggang sa ikaw ay asul sa mukha - ang numero ay mananatiling negatibo. :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan upang i-multiply ang mga ugat ay ang mga sumusunod:

1. Alisin ang lahat ng mga minus mula sa ilalim ng mga radical. Ang mga minus ay nasa mga ugat lamang ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
2. Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung pareho ang mga indeks ng mga ugat, i-multiply lang ang mga expression ng ugat. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nasisiyahan kami sa resulta at magagandang marka. :)

Well? Magpractice ba tayo?

Halimbawa 1. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho at kakaiba, ang problema ay nasa minus lamang ng pangalawang multiplier. Tinitiis namin ang minus nafig na ito, pagkatapos ay madaling isaalang-alang ang lahat.

Halimbawa 2. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]

Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na mapupuksa ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.

Halimbawa 3. Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ito ang gusto kong makuha ang iyong atensyon. Mayroong dalawang puntos dito:

1. Sa ilalim ng ugat ay hindi isang tiyak na numero o antas, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
2. Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang root exponent at degree sa radical expression. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo gagamitin ang pangunahing formula.

Halimbawa, maaari mong gawin ito:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo ipinta nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bababa.

Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas kapag nilulutas ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay mas madali itong maisulat:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Buweno, nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang ang kabaligtaran na operasyon: ano ang gagawin kapag may trabaho sa ilalim ng ugat?

Tumingin ulit ako sa plato ... And, let's go!

Magsimula tayo sa isang simple:

Sandali lang. ito, na nangangahulugang maaari naming isulat ito tulad nito:

Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:

Ang mga ugat ng mga nagresultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Huwag mag-alala, narito ang ilang mga halimbawa:

Ngunit paano kung walang dalawang multiplier, ngunit higit pa? Pareho! Gumagana ang root multiplication formula sa anumang bilang ng mga salik:

Ngayon ay ganap na independyente:

Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay upang malaman ang talahanayan ng pagpaparami!

Dibisyon ng ugat

Nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay magpatuloy tayo sa pag-aari ng dibisyon.

Ipaalala ko sa iyo na ang formula sa pangkalahatan ay ganito:

At ibig sabihin nun ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Well, tingnan natin ang mga halimbawa:

Science lang yan. At narito ang isang halimbawa:

Ang lahat ay hindi kasing-kinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.

Paano kung ganito ang ekspresyon:

Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran:

At narito ang isang halimbawa:

Maaari mo ring makita ang expression na ito:

Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong matandaan kung paano isalin ang mga fraction (kung hindi mo naaalala, tingnan ang paksa at bumalik!). Naalala? Ngayon kami ang magpapasya!

Sigurado ako na nakayanan mo ang lahat, lahat, ngayon subukan nating bumuo ng mga ugat sa isang antas.

Exponentiation

Ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.

Kaya, kung i-square natin ang isang numero na ang square root ay katumbas, ano ang makukuha natin?

Aba, syempre,!

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Ang lahat ay simple, tama? At kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!

Manatili sa parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may mga degree.

Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging malinaw sa iyo.

Halimbawa, narito ang isang expression:

Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng kapangyarihan at salik ang lahat:

Sa pamamagitan nito, tila malinaw ang lahat, ngunit paano kunin ang ugat mula sa isang numero sa isang degree? Narito, halimbawa, ito:

Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:

Well, malinaw na ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang iyong sariling mga halimbawa:

At narito ang mga sagot:

Panimula sa ilalim ng tanda ng ugat

Ang hindi lang natin natutunang gawin sa mga ugat! Ito ay nananatiling lamang sa pagsasanay ng pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!

Ito ay medyo madali!

Sabihin nating mayroon tayong numero

Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang triple sa ilalim ng ugat, habang inaalala na ang triple ay ang square root ng!

Bakit kailangan natin ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:

Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawang mas madali ang buhay? Para sa akin, tama! Tanging dapat nating tandaan na maaari lamang tayong magpasok ng mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.

Subukan ang halimbawang ito para sa iyong sarili:
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:

Magaling! Nagawa mong magpasok ng numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang bagay na pantay na mahalaga - isaalang-alang kung paano ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root!

Paghahambing ng ugat

Bakit dapat nating matutunang ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root?

Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahahabang ekspresyon na nakatagpo sa pagsusulit, nakakakuha tayo ng hindi makatwiran na sagot (naaalala mo ba kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)

Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At dito lumitaw ang snag: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito, paano isipin kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas maliit? Ayan yun!

Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?

Hindi mo sasabihin kaagad. Well, gamitin natin ang parsed property ng pagdaragdag ng numero sa ilalim ng root sign?

Pagkatapos ay pasulong:

Well, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo!

Yung. kung ibig sabihin.

Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!

Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero

Bago iyon, ipinakilala namin ang isang kadahilanan sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lang i-factor ito at i-extract ang na-extract!

Posibleng pumunta sa kabilang paraan at mabulok sa iba pang mga kadahilanan:

Hindi masama, tama? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya kung paano ka komportable.

Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang gawain tulad ng isang ito:

Hindi kami natatakot, kumikilos kami! Binubulok namin ang bawat kadahilanan sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na mga kadahilanan:

At ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Hindi ito makakasama sa pagsusulit):

Ito na ba ang wakas? Hindi tayo tumitigil sa kalagitnaan!

Yun nga lang, hindi naman ganun katakot diba?

Nangyari? Magaling, tama ka!

Ngayon subukan ang halimbawang ito:

At ang isang halimbawa ay isang matigas na nut na pumutok, kaya hindi mo agad maisip kung paano ito lapitan. Ngunit kami, siyempre, ay nasa ngipin.

Well, simulan na natin ang factoring, di ba? Kaagad, tandaan namin na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang mga palatandaan ng divisibility):

At ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):

Well, gumana ba ito? Magaling, tama ka!

Summing up

1. Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas.
   .
2. Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
3. Arithmetic root properties:
4. Kapag inihambing ang mga square root, dapat tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo.

Paano mo gusto ang square root? Malinaw ang lahat?

Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang tubig ang lahat ng kailangan mong malaman sa pagsusulit tungkol sa square root.

Ikaw na. Sumulat sa amin kung ang paksang ito ay mahirap para sa iyo o hindi.

May natutunan ka bang bago o lahat ay malinaw na.

Sumulat sa mga komento at good luck sa mga pagsusulit!

Ang materyal ng artikulong ito ay dapat isaalang-alang bilang bahagi ng pagbabago ng paksa ng mga hindi makatwirang ekspresyon. Dito, gamit ang mga halimbawa, susuriin namin ang lahat ng mga subtleties at nuances (kung saan marami) na lumitaw kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo batay sa mga katangian ng mga ugat.

Pag-navigate sa pahina.

Alalahanin ang mga katangian ng mga ugat

Dahil haharapin natin ang pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga ugat, hindi masakit na alalahanin ang mga pangunahing, o mas mabuti, isulat ang mga ito sa papel at ilagay ang mga ito sa harap mo.

Una, pinag-aaralan ang mga square root at ang mga sumusunod na katangian nito (a, b, a 1, a 2, ..., a k ay mga tunay na numero):

At sa paglaon, ang ideya ng ugat ay pinalawak, ang kahulugan ng ugat ng ika-n degree ay ipinakilala, at ang mga naturang katangian ay isinasaalang-alang (a, b, a 1, a 2, ..., a k ay mga tunay na numero, m, n, n 1, n 2, ... , n k - natural na mga numero):

Pag-convert ng mga expression na may mga numero sa ilalim ng mga palatandaan ng ugat

Gaya ng dati, natututo muna silang gumawa ng mga numerical na expression, at pagkatapos lamang nito ay lumipat sila sa mga expression na may mga variable. Gagawin natin ang parehong, at una ay haharapin natin ang pagbabagong-anyo ng mga hindi makatwiran na expression na naglalaman lamang ng mga numerical na expression sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat, at higit pa sa susunod na talata ay ipakikilala natin ang mga variable sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat.

Paano ito magagamit upang baguhin ang mga expression? Napakasimple: halimbawa, maaari nating palitan ang isang hindi makatwiran na expression ng isang expression, o kabaliktaran. Iyon ay, kung ang na-convert na expression ay naglalaman ng isang expression na tumutugma sa expression mula sa kaliwa (kanan) na bahagi ng alinman sa mga nakalistang katangian ng mga ugat, maaari itong mapalitan ng kaukulang expression mula sa kanan (kaliwa) na bahagi. Ito ang pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga ugat.

Kumuha tayo ng ilan pang halimbawa.

Pasimplehin natin ang expression . Ang mga numero 3, 5 at 7 ay positibo, upang ligtas nating mailapat ang mga katangian ng mga ugat. Dito maaari kang kumilos nang iba. Halimbawa, ang isang ugat na nakabatay sa ari-arian ay maaaring katawanin bilang , at isang ugat na nakabatay sa ari-arian na may k=3 bilang , sa diskarteng ito, ang solusyon ay magiging ganito:

Posibleng gawin kung hindi man, palitan ng , at pagkatapos ng , sa kasong ito ang solusyon ay magiging ganito:

Posible ang iba pang mga solusyon, halimbawa:

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Ibahin natin ang ekspresyon. Sa pagtingin sa listahan ng mga katangian ng mga ugat, pipiliin namin mula dito ang mga katangian na kailangan namin upang malutas ang halimbawa, malinaw na dalawa sa kanila at kapaki-pakinabang dito, na wasto para sa anumang a . Meron kami:

Bilang kahalili, maaari munang baguhin ng isa ang mga expression sa ilalim ng root sign gamit

at pagkatapos ay ilapat ang mga katangian ng mga ugat

Hanggang sa puntong ito, na-convert namin ang mga expression na naglalaman lamang ng mga square root. Panahon na upang magtrabaho sa mga ugat na may iba pang mga tagapagpahiwatig.

Halimbawa.

Ibahin ang anyo ng Irrational Expression .

Solusyon.

Sa pamamagitan ng ari-arian ang unang salik ng isang naibigay na produkto ay maaaring mapalitan ng numero −2:

Move on. Sa pamamagitan ng pag-aari, ang pangalawang kadahilanan ay maaaring katawanin bilang, at hindi masakit na palitan ang 81 ng quadruple na kapangyarihan ng tatlo, dahil ang numero 3 ay lilitaw sa natitirang mga kadahilanan sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat:

Maipapayo na palitan ang ugat ng fraction sa ratio ng mga ugat ng anyo , na maaaring mabago pa: . Meron kami

Ang magreresultang expression pagkatapos magsagawa ng mga operasyon na may dalawa ay magkakaroon ng anyo , at nananatili itong baguhin ang produkto ng mga ugat.

Upang ibahin ang anyo ng mga produkto ng mga ugat, sila ay karaniwang nabawasan sa isang tagapagpahiwatig, kung saan ipinapayong kunin ang mga tagapagpahiwatig ng lahat ng mga ugat. Sa aming kaso, LCM(12, 6, 12)=12 , at ang ugat lamang ang kailangang bawasan sa indicator na ito, dahil ang iba pang dalawang ugat ay mayroon nang ganoong indicator. Upang makayanan ang gawaing ito ay nagbibigay-daan sa pagkakapantay-pantay, na inilalapat mula kanan hanggang kaliwa. Kaya . Isinasaalang-alang ang resulta na ito, mayroon kami

Ngayon ang produkto ng mga ugat ay maaaring mapalitan ng ugat ng produkto at ang natitirang, halata na, ang mga pagbabagong-anyo ay maaaring maisagawa:

Gumawa tayo ng maikling bersyon ng solusyon:

Sagot:

.

Hiwalay, binibigyang-diin namin na upang mailapat ang mga katangian ng mga ugat, kinakailangang isaalang-alang ang mga paghihigpit na ipinataw sa mga numero sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat (a≥0, atbp.). Ang hindi pagpansin sa mga ito ay maaaring humantong sa mga maling resulta. Halimbawa, alam namin na ang ari-arian ay humahawak para sa hindi negatibong a . Batay dito, maaari tayong ligtas na pumunta, halimbawa, mula hanggang, dahil ang 8 ay isang positibong numero. Ngunit kung kukuha tayo ng isang makabuluhang ugat ng isang negatibong numero, halimbawa, , at, batay sa katangian sa itaas, palitan ito ng , pagkatapos ay talagang papalitan natin ang −2 ng 2 . Sa katunayan, , a . Iyon ay, para sa negatibong a, ang pagkakapantay-pantay ay maaaring mali, tulad ng iba pang mga katangian ng mga ugat ay maaaring mali nang hindi isinasaalang-alang ang mga kundisyon na tinukoy para sa kanila.

Ngunit ang sinabi sa nakaraang talata ay hindi nangangahulugan na ang mga expression na may negatibong mga numero sa ilalim ng mga palatandaan ng ugat ay hindi maaaring baguhin gamit ang mga katangian ng mga ugat. Kailangan lang nilang "ihanda" muna sa pamamagitan ng paglalapat ng mga patakaran ng pagpapatakbo na may mga numero o paggamit ng kahulugan ng isang kakaibang degree na ugat mula sa isang negatibong numero, na tumutugma sa pagkakapantay-pantay , kung saan ang −a ay isang negatibong numero (habang ang a ay positibo) . Halimbawa, hindi ito agad mapapalitan ng , dahil ang −2 at −3 ay mga negatibong numero, ngunit pinapayagan tayo nitong lumipat mula sa ugat patungo sa , at pagkatapos ay ilapat ang katangian ng ugat mula sa produkto: . At sa isa sa mga naunang halimbawa, kinakailangan na lumipat mula sa ugat hanggang sa ugat ng ikalabing walong antas hindi tulad nito, ngunit tulad nito .

Kaya, upang baguhin ang mga expression gamit ang mga katangian ng mga ugat, kailangan mo

• piliin ang naaangkop na pag-aari mula sa listahan,
• siguraduhin na ang mga numero sa ilalim ng ugat ay nakakatugon sa mga kondisyon para sa napiling pag-aari (kung hindi, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago),
• at isakatuparan ang nilalayong pagbabago.

Pag-convert ng mga expression na may mga variable sa ilalim ng root sign

Upang mabago ang hindi makatwiran na mga expression na naglalaman ng hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga variable sa ilalim ng tanda ng ugat, ang mga katangian ng mga ugat na nakalista sa unang talata ng artikulong ito ay dapat na maingat na mailapat. Ito ay dahil sa karamihan sa mga kundisyon na dapat matugunan ng mga numerong kasangkot sa mga formula. Halimbawa, batay sa formula , ang expression ay maaaring palitan ng isang expression para lamang sa mga x value na nakakatugon sa mga kundisyon x≥0 at x+1≥0 , dahil ang tinukoy na formula ay nakatakda para sa a≥0 at b≥ 0 .

Ano ang panganib ng hindi pagpansin sa mga kundisyong ito? Ang sagot sa tanong na ito ay malinaw na ipinakita ng sumusunod na halimbawa. Sabihin nating kailangan nating kalkulahin ang halaga ng isang expression kapag x=−2 . Kung agad nating papalitan ang numero −2 sa halip na ang variable na x, pagkatapos ay makukuha natin ang halaga na kailangan natin . At ngayon isipin natin na, batay sa ilang mga pagsasaalang-alang, na-convert namin ang ibinigay na expression sa form , at pagkatapos lamang na nagpasya kaming kalkulahin ang halaga. Pinapalitan namin ang numero −2 sa halip na x at dumating sa expression , na walang katuturan.

Tingnan natin kung ano ang nangyayari sa hanay ng mga wastong halaga (ODV) ng x variable habang lumilipat tayo mula sa expression patungo sa expression. Nabanggit namin ang ODZ hindi sa pamamagitan ng pagkakataon, dahil ito ay isang seryosong tool para sa pagkontrol sa admissibility ng mga pagbabagong ginawa, at ang pagbabago ng ODZ pagkatapos ng pagbabago ng expression ay dapat na hindi bababa sa alerto. Hindi mahirap hanapin ang ODZ para sa mga expression na ito. Para sa expression, ang ODZ ay tinutukoy mula sa hindi pagkakapantay-pantay x (x+1)≥0 , ang solusyon nito ay nagbibigay ng numerical set (−∞, −1]∪∪∪)