Sorokina Vika

Ang mga patunay ng mga katangian ng bisector ng isang tatsulok ay ibinibigay at ang aplikasyon ng teorya sa paglutas ng mga problema ay isinasaalang-alang.

I-download:

Preview:

Committee on Education of the Administration of Saratov, Oktyabrsky District Municipal Autonomous Educational Institution Lyceum No. 3 na pinangalanan. A. S. Pushkin.

Munisipal na Siyentipiko at Praktikal

pagpupulong

"Mga Unang Hakbang"

Paksa: Bisector at mga katangian nito.

Ang gawain ay natapos ng: isang mag-aaral ng ika-8 baitang

Sorokina VictoriaSuperbisor: Guro sa matematika ng pinakamataas na kategoryaPopova Nina Fyodorovna

Saratov 2011

1. Pahina ng pamagat……………………………………………………………………1
2. Mga Nilalaman …………………………………………………………………2
3. Panimula at mga layunin………………………………………………………………... ..3
4. Isinasaalang-alang ang mga katangian ng bisector

• Ikatlong lugar ng mga puntos…………………………………………….3
• Teorama 1…………………………………………………………………………4
• Teorama 2…………………………………………………………………………4
• Ang pangunahing pag-aari ng bisector ng isang tatsulok:

1. Teorama 3…………………………………………………………………………4
2. Gawain 1……………………………………………………………… ….7
3. Gawain 2……………………………………………………………….8
4. Gawain 3…………………………………………………………………….9
5. Gawain 4………………………………………………………………….9-10

• Teorama 4………………………………………………………………10-11
• Mga formula para sa paghahanap ng bisector:

1. Teorama 5…………………………………………………………………….11
2. Teorama 6…………………………………………………………….11
3. Teorama 7…………………………………………………………………….12
4. Gawain 5………………………………………………………………12-13

• Teorama 8…………………………………………………………….13
• Gawain 6………………………………………………………………………….14
• Gawain 7………………………………………………………………14-15
• Pagpapasiya gamit ang bisector ng mga kardinal na puntos………………15

1. Konklusyon at konklusyon……………………………………………………..15
2. Listahan ng mga ginamit na literatura …………………………………..16

Bisector

Sa isang aralin sa geometry, na pinag-aaralan ang paksa ng mga katulad na tatsulok, nakilala ko ang isang problema sa theorem sa ratio ng bisector sa magkabilang panig. Mukhang maaaring mayroong isang bagay na kawili-wili sa paksa ng bisector, ngunit ang paksang ito ay interesado sa akin, at gusto kong pag-aralan ito nang mas malalim. Pagkatapos ng lahat, ang bisector ay napakayaman sa mga kamangha-manghang katangian nito na tumutulong sa paglutas ng iba't ibang mga problema.

Kung isasaalang-alang ang paksang ito, makikita mo na ang mga aklat-aralin sa geometry ay kakaunti ang sinasabi tungkol sa mga katangian ng bisector, at sa mga pagsusulit, alam mo ang mga ito, maaari mong malutas ang mga problema nang mas madali at mas mabilis. Bilang karagdagan, upang makapasa sa GIA at sa Unified State Examination, ang mga modernong estudyante ay kailangang mag-aral ng mga karagdagang materyales para sa kurikulum ng paaralan mismo. Iyon ang dahilan kung bakit nagpasya akong pag-aralan ang paksa ng bisector nang mas detalyado.

Bisector (mula sa Latin bi- “double”, at sectio "pagputol") ng isang anggulo - isang sinag na may simula sa tuktok ng anggulo, na naghahati sa anggulo sa dalawang pantay na bahagi. Ang bisector ng isang anggulo (kasama ang extension nito) ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo (o ang kanilang mga extension)

Pangatlong lugar ng mga puntos

Larawan F ay ang locus ng mga puntos (ang hanay ng mga puntos) na may ilang mga ari-arian PERO, kung ang dalawang kondisyon ay natutugunan:

1. mula sa katotohanan na ang punto ay kabilang sa pigura F, ito ay sumusunod na ito ay may ari-arian NGUNIT;
2. mula sa katotohanan na ang punto ay nasiyahan sa ari-arian PERO, sumusunod na ito ay kabilang sa pigura F.

Ang unang locus ng mga puntos na isinasaalang-alang sa geometry ay isang bilog, i.e. locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang nakapirming punto. Ang pangalawa ay ang perpendicular bisector ng segment, i.e. locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa dulo ng isang segment. At sa wakas, ang pangatlo - ang bisector - ang locus ng mga puntos na katumbas ng distansya mula sa mga gilid ng anggulo

Teorama 1:

Ang mga punto ng bisector ay pantay na malayo sa mga gilid isang sulok siya.

Patunay:

Hayaan si P - bisector point PERO. Bumaba mula sa puntoR patayo RV at PC sa bawat gilid na sulok. Pagkatapos VAR = SAR hypotenuse at matinding anggulo. Samakatuwid, RV = PC

Teorama 2:

Kung ang punto P ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulo A, pagkatapos ito ay namamalagi sa bisector.

Patunay: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => Ang АР ay isang bisector.

Kabilang sa mga pangunahing geometric na katotohanan ay dapat maiugnay ang teorama na hinahati ng bisector ang kabaligtaran na may kaugnayan sa magkasalungat na panig. Ang katotohanang ito ay matagal nang nanatili sa mga anino, ngunit saanman may mga problema na mas madaling malutas kung alam mo ito at iba pang mga katotohanan tungkol sa bisector. Naging interesado ako, at nagpasya akong tuklasin ang property na ito ng bisector nang mas malalim.

Pangunahing katangian ng angle bisector ng isang tatsulok

Teorama 3. Hinahati ng bisector ang kabaligtaran na bahagi ng tatsulok na may kaugnayan sa mga katabing panig.

Patunay 1:

Ibinigay: AL- panggitnang guhit ng tatsulok na ABC

Patunayan:

Patunay: Hayaan F - punto ng intersection ng isang linya AL at isang linyang dumadaan sa isang punto AT parallel sa gilid AC.

Tapos BFA = FAC = BAF. Samakatuwid BAF isosceles at AB = BF. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok ALC at FLB meron tayo

ratio

saan

Patunay 2

Hayaang ang F ay ang puntong pinag-intersect ng linyang AL at ang linyang dumadaan sa puntong C na kahanay sa base AB. Pagkatapos ay maaari mong ulitin ang pangangatwiran.

Patunay 3

Hayaang K at M ang mga base ng mga patayo na bumaba sa linya AL mula sa mga puntos B at C ayon sa pagkakabanggit. Ang mga tatsulok na ABL at ACL ay magkatulad sa dalawang anggulo. kaya lang
. At mula sa pagkakatulad ng BKL at CML mayroon tayo

Mula rito

Patunay 4

Gamitin natin ang paraan ng lugar. Kalkulahin ang mga lugar ng mga tatsulok ABL at ACL dalawang paraan.

Mula rito.

Patunay 5

Hayaan ang α= BAC,φ= BLA. Sa pamamagitan ng sine theorem sa tatsulok na ABL

At sa tatsulok na ACL.

kasi ,

Pagkatapos, hinahati ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa mga kaukulang bahagi ng isa pa, nakukuha natin.

Gawain 1

Ibinigay: Sa tatsulok na ABC, ang VC ay ang bisector, BC=2, KS=1,

Solusyon:

Gawain 2

Ibinigay:

Hanapin ang mga bisector ng mga talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok na may mga binti 24 at 18

Solusyon:

Hayaan ang binti AC = 18, binti BC = 24,

AM ay ang bisector ng tatsulok.

Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, makikita natin

na AB = 30.

Dahil, kung gayon

Katulad nito, nakita namin ang pangalawang bisector.

Sagot:

Gawain 3

Sa isang kanang tatsulok ABC na may tamang anggulo B angle bisector A tumatawid sa gilid BC

Sa puntong D. Ito ay kilala na BD = 4, DC = 6.

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok ADC

Solusyon:

Sa pamamagitan ng pag-aari ng bisector ng isang tatsulok

Tukuyin ang AB = 2 x , AC = 3 x . Sa pamamagitan ng teorama

Pythagorean BC 2 + AB 2 = AC 2, o 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Mula dito makikita natin iyan x = Pagkatapos AB = , S ABC=

Dahil dito,

Gawain 4

Ibinigay:

Sa isang isosceles triangle ABC gilid AB katumbas ng 10, base Ang AC ay 12.

Mga bisector ng anggulo A at C bumalandra sa isang punto D. Maghanap ng BD.

Solusyon:

Dahil ang mga bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa

Isang punto, kung gayon ang BD ay ang bisector ng B. Ituloy natin ang BD sa intersection na may AC sa punto M . Pagkatapos M ay ang midpoint ng AC, BM AC. kaya lang

CD kasi - tatsulok na bisector BMC noon

Dahil dito,.

Sagot:

Teorama 4 . Ang tatlong bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Sa katunayan, isaalang-alang muna ang punto Р ng intersection ng dalawang bisector, halimbawa, AK 1 at VC 2 . Ang puntong ito ay pantay na malayo sa mga gilid AB at AC, dahil ito ay nasa bisectorA, at pantay na tinanggal mula sa mga gilid AB at BC, bilang pag-aari ng bisectorB. Kaya, ito ay pantay na tinanggal mula sa mga gilid ng AC at BC at sa gayon ay kabilang sa ikatlong bisector ng SC 3 , iyon ay, sa puntong P, lahat ng tatlong bisector ay nagsalubong.

Mga formula para sa paghahanap ng bisector
Theorem5: (ang unang formula para sa bisector): Kung sa tatsulok na ABC segment AL ay isang bisector A, pagkatapos AL² = AB AC - LB LC.

Patunay: Hayaang ang M ang punto ng intersection ng linyang AL na may bilog na nakapaligid sa tatsulok na ABC (Larawan 41). Ang anggulo ng BAM ay katumbas ng anggulo ng MAC ayon sa kumbensyon. Ang mga anggulo BMA at BCA ay katumbas ng mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong chord. Samakatuwid, ang mga tatsulok na BAM at LAC ay magkatulad sa dalawang anggulo. Samakatuwid, AL: AC = AB: AM. Kaya AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.

Teorama6: . (pangalawang formula para sa bisector): Sa tatsulok na ABC na may mga gilid AB=a, AC=b atA, katumbas ng 2α at ang bisector ng l, ang pagkakapantay-pantay ay nagaganap:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Patunay : Hayaang ang ABC ay isang ibinigay na tatsulok, AL ang bisector nito, a=AB, b=AC, l=AL. Tapos si S ABC = S ALB + S ALC . Samakatuwid, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 7: Kung a, b ang mga gilid ng tatsulok, Y ang anggulo sa pagitan nila,ay ang bisector ng anggulong ito. Pagkatapos.

Teorama. Ang bisector ng panloob na anggulo ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa mga bahagi na proporsyonal sa mga katabing panig.

Patunay. Isaalang-alang ang tatsulok na ABC (Fig. 259) at ang bisector ng anggulo nito B. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya na CM sa pamamagitan ng vertex C, parallel sa bisector VC, hanggang sa mag-intersect ito sa puntong M sa pagpapatuloy ng gilid AB. Dahil ang VC ay ang bisector ng anggulo ABC, kung gayon . Dagdag pa, bilang kaukulang mga anggulo sa parallel na linya, at bilang crosswise lying angles sa parallel lines. Mula dito at samakatuwid - isosceles, mula sa kung saan. Ayon sa theorem sa mga parallel na linya na nagsa-intersecting sa mga gilid ng anggulo, mayroon tayo at dahil dito nakuha natin, na kinakailangang patunayan.

Ang bisector ng panlabas na anggulo B ng tatsulok na ABC (Larawan 260) ay may katulad na pag-aari: ang mga segment na AL at CL mula sa vertices A at C hanggang sa punto L ng intersection ng bisector na may pagpapatuloy ng panig AC ay proporsyonal sa mga gilid ng tatsulok:

Ang pag-aari na ito ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng nauna: sa Fig. 260 isang auxiliary straight line SM ay iginuhit, parallel sa bisector BL. Ang mambabasa mismo ay kumbinsido sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng BMC at BCM, at samakatuwid ay ang mga panig na BM at BC ng tatsulok na BMC, pagkatapos nito ay makukuha kaagad ang kinakailangang proporsyon.

Maaari nating sabihin na ang bisector ng panlabas na anggulo ay naghahati din sa kabaligtaran na bahagi sa mga bahagi na proporsyonal sa mga katabing panig; kailangan lang sumang-ayon na payagan ang "external division" ng segment.

Ang puntong L, na nakahiga sa labas ng segment na AC (sa pagpapatuloy nito), ay hinahati ito sa panlabas na may paggalang sa kung Kaya, ang mga bisector ng anggulo ng tatsulok (panloob at panlabas) ay naghahati sa kabaligtaran (panloob at panlabas) sa mga bahagi na proporsyonal sa ang mga katabing gilid.

Problema 1. Ang mga gilid ng trapezoid ay 12 at 15, ang mga base ay 24 at 16. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok na nabuo ng malaking base ng trapezoid at ang mga pinahabang panig nito.

Solusyon. Sa notasyon ng Fig. 261 mayroon tayo para sa segment na nagsisilbing pagpapatuloy ng lateral side ang proporsyon kung saan madali nating mahanap Sa katulad na paraan natutukoy natin ang pangalawang gilid ng tatsulok Ang ikatlong bahagi ay tumutugma sa malaking base: .

Gawain 2. Ang mga base ng trapezoid ay 6 at 15. Ano ang haba ng segment na kahanay sa mga base at paghahati ng mga gilid sa ratio na 1:2, na binibilang mula sa mga vertices ng maliit na base?

Solusyon. Lumiko tayo sa Fig. 262 na naglalarawan ng isang trapezoid. Sa pamamagitan ng vertex C ng maliit na base gumuhit kami ng isang linya parallel sa lateral side AB, pinutol ang isang paralelogram mula sa trapezoid. Since , then from here we find . Samakatuwid, ang buong hindi kilalang segment na KL ay katumbas ng Tandaan na upang malutas ang problemang ito, hindi natin kailangang malaman ang mga gilid ng trapezoid.

Problema 3. Ang panggitnang guhit ng panloob na anggulo B ng tatsulok na ABC ay pinuputol ang panig AC sa mga segment sa anong distansya mula sa mga vertices A at C ang bisector ng panlabas na anggulo B ay magsalubong sa extension AC?

Solusyon. Ang bawat isa sa mga bisector ng anggulo B ay naghahati sa AC sa parehong ratio, ngunit ang isa sa loob at ang isa sa labas. Tinutukoy namin sa pamamagitan ng L ang punto ng intersection ng pagpapatuloy ng AC at ang bisector ng panlabas na anggulo B. Dahil AK Tinutukoy namin ang hindi kilalang distansya na AL noon at magkakaroon kami ng proporsyon Ang solusyon na nagbibigay sa amin ng kinakailangang distansya

Gawin ang pagguhit sa iyong sarili.

Mga ehersisyo

1. Ang isang trapezoid na may mga base 8 at 18 ay nahahati sa pamamagitan ng mga tuwid na linya, parallel sa mga base, sa anim na piraso ng pantay na lapad. Hanapin ang mga haba ng mga segment ng linya na naghahati sa trapezoid sa mga piraso.

2. Ang perimeter ng tatsulok ay 32. Hinahati ng bisector ng anggulo A ang panig BC sa mga bahagi na katumbas ng 5 at 3. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok.

3. Ang base ng isang isosceles triangle ay a, ang gilid ay b. Hanapin ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga punto ng intersection ng mga bisector ng mga sulok ng base na may mga gilid.

MGA KATANGIAN NG BISSECTOR

Pag-aari ng Bisector: Sa isang tatsulok, hinahati ng bisector ang tapat na bahagi sa mga segment na proporsyonal sa mga katabing gilid.

Bisector ng isang panlabas na anggulo Ang bisector ng isang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay nagsalubong sa extension ng gilid nito sa isang punto, ang mga distansya mula sa kung saan hanggang sa mga dulo ng panig na ito ay proporsyonal, ayon sa pagkakabanggit, sa mga katabing gilid ng tatsulok. C B A D

Mga formula ng haba ng bisector:

Ang formula para sa paghahanap ng mga haba ng mga segment kung saan hinahati ng bisector ang kabaligtaran na bahagi ng tatsulok

Ang formula para sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment kung saan ang bisector ay nahahati sa intersection point ng mga bisector

Problema 1. Ang isa sa mga bisector ng isang tatsulok ay nahahati sa intersection point ng mga bisector sa isang ratio na 3:2, na binibilang mula sa vertex. Hanapin ang perimeter ng isang tatsulok kung ang haba ng gilid ng tatsulok kung saan iginuhit ang bisector na ito ay 12 cm.

Solusyon Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang ratio ng mga haba ng mga segment kung saan ang bisector ay nahahati sa intersection point ng mga bisector sa tatsulok: 30. Sagot: P = 30cm.

Gawain 2 . Ang mga Bisector BD at CE ∆ ABC ay nagsalubong sa puntong O. AB=14, BC=6, AC=10. Hanapin ang O D.

Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa paghahanap ng haba ng bisector: Mayroon tayong: BD = BD = = Ayon sa formula para sa ratio ng mga segment kung saan ang bisector ay hinati sa intersection point ng mga bisectors: l = . 2 + 1 = 3 bahagi ng lahat.

ito ay bahagi 1  OD = Sagot: OD =

Mga Problema Sa ∆ ABC, ang mga bisector na AL at BK ay iginuhit. Hanapin ang haba ng segment KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. Sa ∆ ABC, ang bisector AD ay iginuhit, at sa pamamagitan ng point D ay isang tuwid na linya na kahanay ng AC at intersecting AB sa punto E. Hanapin ang ratio ng mga lugar ∆ ABC at ∆ BDE , kung AB = 5, AC = 7. Hanapin ang mga bisectors ng acute angle ng right triangle na may legs na 24 cm at 18 cm. Sa isang kanang tatsulok, hinahati ng bisector ng isang matinding anggulo ang kabaligtaran na binti sa mga segment na 4 at 5 cm ang haba. Tukuyin ang lugar ng tatsulok.

5. Sa isang isosceles triangle, ang base at gilid ay 5 at 20 cm, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang bisector ng anggulo sa base ng triangle. 6. Hanapin ang bisector ng tamang anggulo ng isang tatsulok na ang mga binti ay pantay a at b. 7. Kalkulahin ang haba ng bisector ng anggulo A ng tatsulok na ABC na may haba ng gilid a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Hanapin ang ratio kung saan ang mga bisector ng mga panloob na anggulo ay nahahati sa punto ng kanilang intersection.

Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: Sagot: AP = 6 AP = 10 tingnan ang KL = CP =

Ngayon ay magiging isang napakadaling aralin. Isaalang-alang lamang natin ang isang bagay - ang angle bisector - at patunayan ang pinakamahalagang pag-aari nito, na magiging lubhang kapaki-pakinabang sa atin sa hinaharap.

Huwag lang mag-relax: kung minsan ang mga mag-aaral na gustong makakuha ng mataas na marka sa parehong OGE o USE, sa unang aralin, ay hindi man lang makabuo ng eksaktong kahulugan ng bisector.

At sa halip na gumawa ng mga talagang kawili-wiling gawain, gumugugol kami ng oras sa mga simpleng bagay. Kaya basahin, panoorin - at gamitin. :)

Upang magsimula sa, isang bahagyang kakaibang tanong: ano ang isang anggulo? Tama iyan: ang isang anggulo ay dalawang sinag lamang na lumalabas sa parehong punto. Halimbawa:

Mga halimbawa ng mga anggulo: acute, obtuse at right

Tulad ng nakikita mo mula sa larawan, ang mga sulok ay maaaring matalim, mahina, tuwid - hindi mahalaga ngayon. Kadalasan, para sa kaginhawahan, ang isang karagdagang punto ay minarkahan sa bawat ray at sinasabi nila, sabi nila, mayroon kaming isang anggulo na $AOB$ (nakasulat bilang $\angle AOB$).

Ang kapitan ay tila nagpapahiwatig na bilang karagdagan sa mga sinag na $OA$ at $OB$, ang isa ay palaging maaaring gumuhit ng isang grupo ng mga sinag mula sa puntong $O$. Ngunit sa kanila ay magkakaroon ng isang espesyal - ito ay tinatawag na bisector.

Kahulugan. Ang bisector ng isang anggulo ay isang sinag na lumalabas sa tuktok ng anggulong iyon at hinahati ang anggulo.

Para sa mga anggulo sa itaas, magiging ganito ang hitsura ng mga bisector:

Mga halimbawa ng bisectors para sa acute, obtuse at right angles

Dahil sa totoong mga guhit ay malayo sa palaging halata na ang isang tiyak na sinag (sa aming kaso, ito ang $OM$ ray) ay naghahati sa paunang anggulo sa dalawang magkapantay, kaugalian sa geometry na markahan ang pantay na mga anggulo na may parehong bilang ng mga arko (sa aming pagguhit ito ay 1 arko para sa isang matinding anggulo, dalawa para sa mapurol, tatlo para sa tuwid).

Okay, nalaman namin ang kahulugan. Ngayon ay kailangan mong maunawaan kung anong mga katangian ang mayroon ang bisector.

Pangunahing pag-aari ng angle bisector

Sa katunayan, ang bisector ay may maraming mga katangian. At tiyak na isasaalang-alang natin ang mga ito sa susunod na aralin. Ngunit mayroong isang trick na kailangan mong maunawaan ngayon:

Teorama. Ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng ibinigay na anggulo.

Isinalin mula sa matematika sa Russian, nangangahulugan ito ng dalawang katotohanan nang sabay-sabay:

1. Ang bawat punto na nakahiga sa bisector ng isang anggulo ay nasa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulong iyon.
2. At kabaligtaran: kung ang isang punto ay namamalagi sa parehong distansya mula sa mga gilid ng isang naibigay na anggulo, kung gayon ito ay garantisadong nakahiga sa bisector ng anggulong ito.

Bago patunayan ang mga pahayag na ito, linawin natin ang isang punto: ano, sa katunayan, ang tinatawag na distansya mula sa isang punto patungo sa isang gilid ng isang anggulo? Ang magandang lumang kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay makakatulong sa atin dito:

Kahulugan. Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa puntong iyon hanggang sa linyang iyon.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang linyang $l$ at isang puntong $A$ na hindi nakalagay sa linyang ito. Gumuhit ng patayo na $AH$, kung saan ang $H\in l$. Kung gayon ang haba ng patayo na ito ay ang distansya mula sa puntong $A$ hanggang sa linyang $l$.

Graphical na representasyon ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Dahil ang isang anggulo ay dalawang ray lamang, at ang bawat sinag ay isang piraso ng isang linya, madaling matukoy ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga gilid ng anggulo. Dalawang perpendicular lang ito:

Tukuyin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga gilid ng isang anggulo

Iyon lang! Ngayon alam na natin kung ano ang distansya at kung ano ang bisector. Samakatuwid, maaari naming patunayan ang pangunahing pag-aari.

Gaya ng ipinangako, hinati namin ang patunay sa dalawang bahagi:

1. Ang mga distansya mula sa isang punto sa bisector hanggang sa mga gilid ng anggulo ay pareho

Isaalang-alang ang isang arbitrary na anggulo na may vertex $O$ at bisector $OM$:

Patunayan natin na ang parehong puntong $M$ ay nasa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulo.

Patunay. Gumuhit tayo ng mga patayo mula sa puntong $M$ hanggang sa mga gilid ng anggulo. Tawagin natin silang $M((H)_(1))$ at $M((H)_(2))$:

Gumuhit ng mga patayo sa mga gilid ng sulok

Nakakuha kami ng dalawang right triangle: $\vartriangle OM((H)_(1))$ at $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mayroon silang karaniwang hypotenuse na $OM$ at pantay na anggulo:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ sa pamamagitan ng pagpapalagay (dahil ang $OM$ ay isang bisector);
2. $\anggulo M((H)_(1))O=\anggulo M((H)_(2))O=90()^\circ $ sa pamamagitan ng pagbuo;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ dahil ang sum Ang mga acute na anggulo ng isang right triangle ay palaging katumbas ng 90 degrees.

Samakatuwid, ang mga tatsulok ay pantay sa gilid at dalawang magkatabing anggulo (tingnan ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Samakatuwid, sa partikular, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. ang mga distansya mula sa puntong $O$ hanggang sa mga gilid ng anggulo ay talagang pantay. Q.E.D. :)

2. Kung ang mga distansya ay pantay, ang punto ay nasa bisector

Ngayon ay bumaliktad ang sitwasyon. Hayaang magbigay ng isang anggulo na $O$ at isang puntong $M$ na katumbas ng layo mula sa mga gilid ng anggulong ito:

Patunayan natin na ang sinag na $OM$ ay isang bisector, i.e. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Patunay. Upang magsimula, iguhit natin ang mismong sinag na ito na $OM$, kung hindi, walang mapapatunayan:

Ginugol ang beam $OM$ sa loob ng sulok

Nakakuha ulit kami ng dalawang right triangle: $\vartriangle OM((H)_(1))$ at $\vartriangle OM((H)_(2))$. Malinaw na pantay sila dahil:

1. Ang hypotenuse na $OM$ ay karaniwan;
2. Ang mga binti $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ ayon sa kondisyon (dahil ang puntong $M$ ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng sulok);
3. Ang natitirang mga binti ay pantay din, dahil sa pamamagitan ng Pythagorean theorem $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Samakatuwid, ang mga tatsulok na $\vartriangle OM((H)_(1))$ at $\vartriangle OM((H)_(2))$ sa tatlong panig. Sa partikular, ang kanilang mga anggulo ay pantay: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. At nangangahulugan lamang ito na ang $OM$ ay isang bisector.

Sa pagtatapos ng patunay, minarkahan namin ang nabuong pantay na mga anggulo na may mga pulang arko:

Hinati ng bisector ang anggulo $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ sa dalawang pantay

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Napatunayan namin na ang bisector ng isang anggulo ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng mga gilid ng anggulong ito. :)

Ngayon na mayroon na tayong higit o mas kaunting nagpasya sa terminolohiya, oras na upang lumipat sa isang bagong antas. Sa susunod na aralin, susuriin natin ang mas kumplikadong mga katangian ng bisector at matutunan kung paano ilapat ang mga ito upang malutas ang mga tunay na problema.