Subukan nating alamin kung anong uri ng konsepto ang isang "ugat" at "kung ano ang kinakain nito." Upang gawin ito, isaalang-alang ang mga halimbawa na nakatagpo mo na sa mga aralin (mabuti, o kailangan mo lang itong harapin).
Halimbawa, mayroon tayong equation. Ano ang solusyon sa equation na ito? Anong mga numero ang maaaring kuwadrado at makuha nang sabay-sabay? Ang pag-alala sa multiplication table, madali mong maibibigay ang sagot: at (dahil kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibong numero, makakakuha ka ng positibong numero)! Upang gawing simple, ang mga mathematician ay nagpakilala ng isang espesyal na konsepto ng square root at itinalaga ito ng isang espesyal na simbolo.
Tukuyin natin ang arithmetic square root.
Bakit kailangang hindi negatibo ang numero? Halimbawa, kung ano ang katumbas ng. Okay, subukan nating malaman ito. Siguro tatlo? Suriin natin: at hindi. Siguro, ? Muli, suriin: Well, hindi ba ito napili? Ito ay dapat asahan - dahil walang mga numero na, kapag kuwadrado, ay nagbibigay ng negatibong numero!
Ito ay dapat tandaan: ang numero o expression sa ilalim ng root sign ay dapat na hindi negatibo!
Gayunpaman, ang pinaka-matulungin ay malamang na napansin na ang kahulugan ay nagsasabi na ang solusyon ng square root ng "isang numero ay tinatawag na hindi negatibo numero na ang parisukat ay ". Sasabihin ng ilan sa inyo na sa simula pa lang ay sinuri namin ang halimbawa, mga piling numero na maaaring i-squad at makuha sa parehong oras, ang sagot ay at, at narito ang pinag-uusapan tungkol sa ilang uri ng "hindi negatibong numero"! Ang ganitong pananalita ay lubos na angkop. Narito ito ay kinakailangan lamang upang makilala sa pagitan ng mga konsepto ng quadratic equation at ang arithmetic square root ng isang numero. Halimbawa, hindi ito katumbas ng isang expression.
Ito ay sumusunod na, iyon ay, o. (Basahin ang paksang "")
At sinundan iyon.
Siyempre, ito ay lubhang nakalilito, ngunit dapat tandaan na ang mga palatandaan ay ang resulta ng paglutas ng equation, dahil kapag nilulutas ang equation, dapat nating isulat ang lahat ng mga x na, kapag ipinalit sa orihinal na equation, ay magbibigay ng tamang resulta. Sa aming quadratic equation magkasya pareho at.
Gayunpaman, kung kunin lang ang square root mula sa isang bagay, pagkatapos ay palaging nakakakuha kami ng isang hindi negatibong resulta.
Ngayon subukang lutasin ang equation na ito. Ang lahat ay hindi gaanong simple at makinis, tama ba? Subukang ayusin ang mga numero, baka may masunog? Magsimula tayo sa simula - mula sa simula: - hindi magkasya, magpatuloy - mas mababa sa tatlo, magsipilyo din, ngunit paano kung. Suriin natin: - hindi rin magkasya, dahil ito ay higit sa tatlo. Sa mga negatibong numero, ang parehong kuwento ay lalabas. At ano ang gagawin ngayon? Wala ba kaming naibigay sa paghahanap? Hindi naman, ngayon alam na nating sigurado na ang sagot ay ilang numero sa pagitan ng at, pati na rin sa pagitan ng at. Gayundin, malinaw na ang mga solusyon ay hindi magiging integer. Bukod dito, hindi sila makatwiran. Kaya, ano ang susunod? Bumuo tayo ng graph ng function at markahan ang mga solusyon dito.
Subukan nating linlangin ang system at makakuha ng sagot gamit ang isang calculator! Alisin natin ang ugat ng negosyo! Oh-oh-oh, ito pala. Ang numerong ito ay hindi natatapos. Paano mo ito maaalala, dahil walang calculator sa pagsusulit !? Ang lahat ay napaka-simple, hindi mo kailangang tandaan ito, kailangan mong tandaan (o magagawang mabilis na tantiyahin) ang isang tinatayang halaga. at ang mga sagot mismo. Ang ganitong mga numero ay tinatawag na hindi makatwiran, at ito ay upang pasimplehin ang notasyon ng naturang mga numero na ang konsepto ng isang square root ay ipinakilala.
Tingnan natin ang isa pang halimbawa upang palakasin. Suriin natin ang sumusunod na problema: kailangan mong tumawid nang pahilis sa isang parisukat na patlang na may gilid na km, ilang km ang kailangan mong puntahan?
Ang pinaka-halatang bagay dito ay isaalang-alang ang tatsulok nang hiwalay at gamitin ang Pythagorean theorem:. Sa ganitong paraan, . Kaya ano ang kinakailangang distansya dito? Malinaw, ang distansya ay hindi maaaring maging negatibo, nakuha namin iyon. Ang ugat ng dalawa ay humigit-kumulang pantay, ngunit, tulad ng nabanggit namin kanina, ay isa nang kumpletong sagot.
Upang ang paglutas ng mga halimbawa na may mga ugat ay hindi maging sanhi ng mga problema, kailangan mong makita at makilala ang mga ito. Upang gawin ito, kailangan mong malaman ang hindi bababa sa mga parisukat ng mga numero mula hanggang, pati na rin makilala ang mga ito. Halimbawa, kailangan mong malaman kung ano ang squared, at gayundin, sa kabaligtaran, kung ano ang squared.
Nalaman mo ba kung ano ang square root? Pagkatapos ay lutasin ang ilang mga halimbawa.
Mga halimbawa.
Well, paano ito gumana? Ngayon tingnan natin ang mga halimbawang ito:
Mga sagot:
ugat ng kubo
Buweno, naisip namin ang konsepto ng isang square root, ngayon ay susubukan naming malaman kung ano ang isang cube root at kung ano ang kanilang pagkakaiba.
Ang cube root ng ilang numero ay ang bilang na ang cube ay katumbas ng. Napansin mo ba kung gaano ito kadali? Walang mga paghihigpit sa mga posibleng halaga ng parehong halaga sa ilalim ng cube root sign at ang numerong kukunin. Iyon ay, ang cube root ay maaaring makuha mula sa anumang numero:.
Nahuli kung ano ang isang cube root at paano ito kunin? Pagkatapos ay magpatuloy sa mga halimbawa.
Mga halimbawa.
Mga sagot:
Root - oh degree
Well, nalaman namin ang mga konsepto ng square at cube roots. Ngayon ay ginagawa nating pangkalahatan ang nakuhang kaalaman sa pamamagitan ng konsepto ika-ugat.
ika-ugat mula sa isang numero ay isang numero na ang ika-kapangyarihan ay katumbas, i.e.
ay katumbas ng.
Kung - kahit, pagkatapos:
- may negatibo, ang expression ay walang kahulugan (ang mga ugat ng isang even -th na antas ng mga negatibong numero hindi ma-extract!);
- na may di-negatibo() expression ay may isang hindi-negatibong ugat.
Kung - ay kakaiba, kung gayon ang expression ay may isang solong ugat para sa alinman.
Huwag mag-alala, ang parehong mga prinsipyo ay nalalapat dito tulad ng mga square at cube roots. Iyon ay, ang mga prinsipyong inilapat namin kapag isinasaalang-alang ang mga square root ay pinalawak sa lahat ng mga ugat ng isang even -th degree.
At ang mga katangiang iyon na ginamit para sa cube root ay nalalapat sa mga ugat ng isang kakaibang antas.
Well, naging mas malinaw? Unawain natin gamit ang mga halimbawa:
Narito ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: una naming tingnan - oo, ang antas ay pantay, ang numero sa ilalim ng ugat ay positibo, kaya ang aming gawain ay upang mahanap ang isang numero na ang ikaapat na antas ay magbibigay sa amin. Well, anumang hula? Siguro, ? Eksakto!
Kaya, ang antas ay pantay - kakaiba, sa ilalim ng ugat ang numero ay negatibo. Ang aming gawain ay upang mahanap ang tulad ng isang numero, na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, lumiliko out. Medyo mahirap mapansin agad ang ugat. Gayunpaman, maaari mong paliitin ang iyong paghahanap kaagad, tama ba? Una, ang nais na numero ay tiyak na negatibo, at pangalawa, makikita na ito ay kakaiba, at samakatuwid ang nais na numero ay kakaiba. Subukang kunin ang ugat. Siyempre, at maaari mong ligtas na itabi. Siguro, ?
Oo, ito ang hinahanap namin! Tandaan na upang gawing simple ang pagkalkula, ginamit namin ang mga katangian ng mga degree: .
Mga pangunahing katangian ng mga ugat
Malinaw? Kung hindi, pagkatapos isaalang-alang ang mga halimbawa, ang lahat ay dapat mahulog sa lugar.
Pagpaparami ng ugat
Paano paramihin ang mga ugat? Ang pinakasimpleng at pinakapangunahing ari-arian ay nakakatulong na sagutin ang tanong na ito:
Magsimula tayo sa isang simple:
Ang mga ugat ng mga nagresultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Huwag mag-alala, narito ang ilang mga halimbawa:
Ngunit paano kung walang dalawang multiplier, ngunit higit pa? Pareho! Gumagana ang root multiplication formula sa anumang bilang ng mga salik:
Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang triple sa ilalim ng ugat, habang inaalala na ang triple ay ang square root ng!
Bakit kailangan natin ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:
Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawang mas madali ang buhay? Para sa akin, tama! Kailangan mo lang itong tandaan maaari lamang tayong magdagdag ng mga positibong numero sa ilalim ng tanda ng ugat ng pantay na antas.
Tingnan natin kung saan pa ito maaaring magamit. Halimbawa, sa isang gawain kailangan mong ihambing ang dalawang numero:
Iyon pa:
Hindi mo sasabihin kaagad. Well, gamitin natin ang parsed property ng pagdaragdag ng numero sa ilalim ng root sign? Pagkatapos ay pasulong:
Buweno, alam na mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo! Yung. kung ibig sabihin. Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!
Bago iyon, ipinakilala namin ang isang kadahilanan sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lang i-factor ito at i-extract ang na-extract!
Posibleng pumunta sa kabilang paraan at mabulok sa iba pang mga kadahilanan:
Hindi masama, tama? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya kung paano ka komportable.
Halimbawa, narito ang isang expression:
Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng kapangyarihan at salik ang lahat:
Ang lahat ay tila malinaw sa ito, ngunit paano kunin ang isang ugat mula sa isang numero sa isang degree? Narito, halimbawa, ito:
Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:
Well, malinaw ba ang lahat? Pagkatapos narito ang isang halimbawa:
Ito ay mga pitfalls, tungkol sa kanila laging dapat tandaan. Ito ay talagang isang pagmuni-muni sa mga halimbawa ng ari-arian:
| para sa kakaiba: para sa kahit na at: |
Malinaw? Ayusin ito gamit ang mga halimbawa:
Oo, nakikita natin ang ugat sa pantay na antas, ang negatibong numero sa ilalim ng ugat ay nasa pantay na antas din. Well, pareho ba itong gumagana? At narito kung ano:
Iyon lang! Ngayon narito ang ilang mga halimbawa:
Nakuha ko? Pagkatapos ay magpatuloy sa mga halimbawa.
Mga halimbawa.
Mga sagot.
Kung nakatanggap ka ng mga sagot, maaari kang magpatuloy nang may kapayapaan ng isip. Kung hindi, tingnan natin ang mga halimbawang ito:
Tingnan natin ang dalawang iba pang mga katangian ng mga ugat:
Ang mga katangiang ito ay dapat suriin sa mga halimbawa. Well, gagawin natin ito?
Nakuha ko? Ayusin natin.
Mga halimbawa.
Mga sagot.
MGA UGAT AT ANG KANILANG MGA KATANGIAN. AVERAGE LEVEL
Arithmetic square root
Ang equation ay may dalawang solusyon: at. Ito ay mga numero na ang parisukat ay katumbas.
Isaalang-alang ang equation. I-solve natin ito sa graphically. Gumuhit tayo ng isang graph ng function at isang linya sa antas. Ang mga punto ng intersection ng mga linyang ito ang magiging solusyon. Nakita namin na ang equation na ito ay mayroon ding dalawang solusyon - isang positibo, ang isa ay negatibo:
Ngunit sa kasong ito, ang mga solusyon ay hindi mga integer. Bukod dito, hindi sila makatuwiran. Upang maisulat ang mga di-makatuwirang desisyon na ito, ipinakilala namin ang isang espesyal na simbolo ng square root.
Arithmetic square root ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay . Kapag ang expression ay hindi tinukoy, dahil walang ganoong numero, ang parisukat nito ay katumbas ng negatibong numero.
square root: .
Halimbawa, . At sinusundan iyon o.
Muli, ito ay napakahalaga: Ang square root ay palaging isang hindi negatibong numero: !
ugat ng kubo out of number ay ang bilang na ang kubo ay katumbas. Ang cube root ay tinukoy para sa lahat. Maaari itong makuha mula sa anumang numero: . Tulad ng nakikita mo, maaari rin itong tumagal ng mga negatibong halaga.
Ang ugat ng ika-degree ng isang numero ay ang bilang na ang ika-degree ay katumbas ng, i.e.
Kung - kahit, kung gayon:
- kung, kung gayon ang ika- ugat ng a ay hindi tinukoy.
- kung, kung gayon ang di-negatibong ugat ng equation ay tinatawag na arithmetic root ng ika-degree ng at ay denoted.
Kung - ay kakaiba, kung gayon ang equation ay may iisang ugat para sa alinman.
Napansin mo ba na isinusulat namin ang antas nito sa kaliwang tuktok ng root sign? Ngunit hindi para sa square root! Kung makakita ka ng ugat na walang degree, ito ay parisukat (degrees).
Mga halimbawa.
Mga pangunahing katangian ng mga ugat
MGA UGAT AT ANG KANILANG MGA KATANGIAN. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Square root (arithmetic square root) mula sa isang di-negatibong numero ay tinatawag na ganyan di-negatibong numero na ang parisukat ay
Mga katangian ng ugat:
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Nalaman mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...
Para saan?
Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?
PUNUAN ANG IYONG KAMAY, SOLUSYON NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.
Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.
At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
- I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
- I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - Bumili ng isang aklat-aralin - 899 rubles
Oo, mayroon kaming 99 tulad na mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.
Sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin!
Layunin ng Aralin:
pang-edukasyon: lumikha ng mga kondisyon para sa pagbuo ng isang holistic na pagtingin sa ugat ng n-th degree, ang mga kasanayan ng may kamalayan at makatuwirang paggamit ng mga katangian ng ugat sa paglutas ng iba't ibang mga problema.
Pang-edukasyon: lumikha ng mga kondisyon para sa pagbuo ng algorithmic, malikhaing pag-iisip, bumuo ng mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili.
Pang-edukasyon: upang itaguyod ang pagbuo ng interes sa paksa, aktibidad, upang linangin ang katumpakan sa trabaho, ang kakayahang ipahayag ang sariling opinyon, upang magbigay ng mga rekomendasyon.
Sa panahon ng mga klase
1. Pansamahang sandali.
Magandang hapon! Magandang oras!
Gaano ako kasaya na makita ka.
Tumunog na ang bell
Magsisimula na ang lesson.
Ngumiti sila. Nag-level up.
nagkatinginan
At tahimik silang naupo.
2. Pagganyak ng aralin.
Isang namumukod-tanging Pranses na pilosopo, ang siyentipikong si Blaise Pascal ay nagsabi: "Ang kadakilaan ng tao ay nasa kanyang kakayahang mag-isip." Ngayon ay susubukan nating madama na tulad ng mga dakilang tao sa pamamagitan ng pagtuklas ng kaalaman para sa ating sarili. Ang motto para sa aralin ngayon ay ang mga salita ng sinaunang Greek mathematician na si Thales:
Ano ang pinakamarami sa mundo? - Space.
Ano ang pinakamabilis? - Isip.
Ano ang pinakamatalino? - Oras.
Ano ang pinaka kasiya-siya? - Makamit ang gusto mo.
Nais kong makamit ng bawat isa sa inyo ang ninanais na resulta sa aralin ngayon.
3. Aktwalisasyon ng kaalaman.
1. Pangalanan ang magkabaligtaran na algebraic na operasyon sa mga numero. (Pagdaragdag at pagbabawas, pagpaparami at paghahati)
2. Palagi bang posible na magsagawa ng gayong algebraic na operasyon bilang paghahati? (Hindi, hindi mo maaaring hatiin sa zero)
3. Ano pang operasyon ang maaari mong gawin gamit ang mga numero? (Exponentiation)
4. Anong operasyon ang magiging kabaligtaran niya? (pagbunot ng ugat)
5. Anong degree root ang maaari mong i-extract? (Ikalawang ugat)
6. Anong mga katangian ng square root ang alam mo? (Pagkuha ng square root mula sa isang produkto, mula sa isang quotient, mula sa isang ugat, exponentiation)
7. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:
Mula sa kasaysayan. Kahit na 4000 taon na ang nakalilipas, pinagsama-sama ng mga siyentipiko ng Babylonian, kasama ang mga talahanayan ng pagpaparami at mga talahanayan ng mga reciprocal (sa tulong kung saan ang dibisyon ng mga numero ay nabawasan sa multiplikasyon), mga talahanayan ng mga parisukat ng mga numero at mga square root ng mga numero. Kasabay nito, nahanap nila ang tinatayang halaga ng square root ng anumang integer.
4. Pag-aaral ng bagong materyal.
Malinaw, alinsunod sa mga pangunahing katangian ng mga degree na may natural na exponents, mula sa anumang positibong numero mayroong dalawang magkasalungat na halaga ng ugat ng isang pantay na degree, halimbawa, ang mga numero 4 at -4 ay ang mga square root ng 16 , dahil (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, at ang mga numero 3 at -3 ay ang ikaapat na ugat ng 81, dahil (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.
Gayundin, walang kahit na ugat ng isang negatibong numero, dahil ang kahit na kapangyarihan ng anumang tunay na numero ay hindi negatibo. Tulad ng para sa ugat ng isang kakaibang antas, kung gayon para sa anumang tunay na numero mayroon lamang isang ugat ng isang kakaibang antas mula sa numerong ito. Halimbawa, ang 3 ay ang ikatlong ugat ng 27 dahil ang Z3 = 27, at -2 ang ikalimang ugat ng -32 dahil (-2)5 = 32.
Kaugnay ng pagkakaroon ng dalawang ugat ng pantay na antas mula sa isang positibong numero, ipinakilala namin ang konsepto ng isang ugat ng aritmetika upang maalis ang kalabuan ng ugat.
Ang isang di-negatibong halaga ng n-th na ugat ng isang hindi negatibong numero ay tinatawag na arithmetic root.
Pagtatalaga: - ang ugat ng n-th degree.
Ang bilang n ay tinatawag na antas ng arithmetic root. Kung n = 2, kung gayon ang antas ng ugat ay hindi ipinahiwatig at nakasulat. Ang ugat ng ikalawang antas ay tinatawag na square root, at ang ugat ng ikatlong degree ay tinatawag na cubic root.
B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0
B, bp = a, p - kahit a ≥ 0, b ≥ 0
p - kakaiba a, b - anuman
Ari-arian
1. , a ≥ 0, b ≥ 0
2. , a ≥ 0, b > 0
3. , isang ≥ 0
4. , m, n, k - natural na mga numero
5. Pagsasama-sama ng bagong materyal.
gawaing pasalita
a) Anong mga ekspresyon ang may katuturan?
b) Para sa anong mga halaga ng variable a ang pagpapahayag ay may katuturan?
Lutasin ang #3, 4, 7, 9, 11.
6. Edukasyong pisikal.
Sa lahat ng bagay, kailangan ang katamtaman,
Hayaan itong maging pangunahing panuntunan.
Gumawa ng himnastiko, kung naisip mo nang mahabang panahon,
Ang himnastiko ay hindi nakakapagod sa katawan,
Ngunit nililinis nito ang buong katawan!
Ipikit mo ang iyong mga mata, relaks ang iyong katawan
Isipin - ikaw ay mga ibon, bigla kang lumipad!
Ngayon lumangoy ka tulad ng isang dolphin sa karagatan,
Ngayon sa hardin pumili ka ng mga hinog na mansanas.
Kaliwa, kanan, tumingin sa paligid
Buksan ang iyong mga mata at bumalik sa trabaho!
7. Malayang gawain.
Nagtatrabaho sa mga pares na may 178 #1, #2.
8. D / z. Alamin ang aytem 10 (p.160-161), lutasin ang No. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).
9. Ang mga resulta ng aralin. Pagninilay ng aktibidad.
Nakamit ba ng aralin ang layunin nito?
Ano ang iyong natutunan?
Video aralin 2: Mga katangian ng ugat ng degree n > 1
Lecture: Root ng degree n > 1 at ang mga katangian nito
ugat
Ipagpalagay na mayroon kang isang equation tulad ng:
Ang solusyon sa equation na ito ay magiging x 1 \u003d 2 at x 2 \u003d (-2). Ang parehong mga solusyon ay angkop bilang isang sagot, dahil ang mga numero na may pantay na mga module, kapag itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, ay nagbibigay ng parehong resulta.
Ito ay isang simpleng halimbawa, gayunpaman, ano ang magagawa natin kung, halimbawa,
Subukan nating i-graph ang function y=x 2 . Ang graph nito ay isang parabola:
Sa graph, kailangan mong maghanap ng mga puntos na tumutugma sa halaga y \u003d 3. Ang mga puntong ito ay:
Nangangahulugan ito na ang halagang ito ay hindi matatawag na integer, ngunit maaaring katawanin bilang isang square root.
Anumang ugat ay hindi makatwiran na numero. Kabilang sa mga hindi makatwiran na numero ang mga ugat, mga di-pana-panahong walang katapusan na fraction.
Kuwadrado na ugat ay isang di-negatibong numerong "a", ang radikal na pagpapahayag nito ay katumbas ng ibinigay na numerong "a" na parisukat.
Halimbawa,
Iyon ay, bilang isang resulta, makakakuha lamang tayo ng isang positibong halaga. Gayunpaman, bilang isang solusyon sa isang quadratic equation ng form
Ang solusyon ay magiging x 1 = 4, x 2 = (-4).
Mga katangian ng square root
1. Anuman ang halaga ng x, ang expression na ito ay totoo sa anumang kaso:
2. Paghahambing ng mga numerong naglalaman ng square root. Upang ihambing ang mga numerong ito, kinakailangang ipasok ang pareho at ang pangalawang numero sa ilalim ng root sign. Ang bilang na iyon ay magiging mas malaki na ang radikal na pagpapahayag ay mas malaki.
Ipinasok namin ang numero 2 sa ilalim ng tanda ng ugat
Ngayon ilagay natin ang numero 4 sa ilalim ng root sign. Bilang resulta nito, nakukuha natin
At ngayon lamang maihahambing ang dalawang resultang expression:
3. Pag-alis ng multiplier mula sa ilalim ng ugat.
Kung ang radikal na expression ay maaaring mabulok sa dalawang mga kadahilanan, ang isa ay maaaring alisin sa subsign ng ugat, kung gayon ang panuntunang ito ay dapat gamitin.
4. Mayroong isang pag-aari na kabaligtaran dito - nagpapakilala ng isang multiplier sa ilalim ng ugat. Malinaw na ginamit namin ang property na ito sa pangalawang property.
ugatn-th degree at mga katangian nito
Ano ang ugatnika degree? Paano i-extract ang ugat?
Sa ikawalong baitang, nagawa mo nang makilala parisukat na ugat. Nalutas namin ang mga karaniwang halimbawa na may mga ugat, gamit ang ilang mga katangian ng mga ugat. Nagpasya din quadratic equation, kung saan nang hindi kinukuha ang square root - walang paraan. Ngunit ang square root ay isang espesyal na kaso lamang ng isang mas malawak na konsepto - ugat n ika degree . Bilang karagdagan sa parisukat, mayroong, halimbawa, isang cube root, isang ugat ng ikaapat, ikalima at mas mataas na degree. At para sa matagumpay na trabaho na may ganitong mga ugat, magiging maganda pa rin na magsimula sa "ikaw" na may mga square root.) Samakatuwid, para sa mga may problema sa kanila, masidhi kong inirerekumenda ang pag-uulit.
Ang pag-extract ng ugat ay isa sa mga inverse operations ng exponentiation.) Bakit "isa sa"? Kasi, ang pag-extract ng ugat, hinahanap natin base ayon sa sikat antas at tagapagpahiwatig. At mayroong isa pang kabaligtaran na operasyon - paghahanap tagapagpahiwatig ayon sa sikat antas at batayan. Ang operasyong ito ay tinatawag na paghahanap logarithm. Ito ay mas kumplikado kaysa sa pagkuha ng ugat at pinag-aaralan sa high school.)
Kaya't magkakilala tayo!
Una, ang pagtatalaga. Ang parisukat na ugat, tulad ng alam na natin, ay tinutukoy ng ganito:. Ang icon na ito ay tinatawag na napakaganda at siyentipiko - radikal. At ano ang mga ugat ng iba pang mga degree? Ito ay napaka-simple: sa itaas ng "buntot" ng radikal, sila ay nagsusulat din ng isang tagapagpahiwatig ng antas kung saan ang ugat ay hinahanap. Kung naghahanap ka ng cube root, sumulat ng triple: . Kung ang ugat ng ikaapat na antas, kung gayon, ayon sa pagkakabanggit, . At iba pa.) Sa pangkalahatan, ang ugat ng ika-n degree ay tinutukoy ng ganito:
saan .
Numeroa , tulad ng sa square roots, ay tinatawag radikal na pagpapahayag at narito ang numeron ito ay bago sa atin. At tinawag tagapagpahiwatig ng ugat .
Paano kunin ang mga ugat ng anumang degree? Tulad ng mga parisukat - alamin kung anong numero sa ika-n na kapangyarihan ang nagbibigay sa amin ng isang numeroa .)
Paano, halimbawa, kunin ang cube root ng 8? Yan ay ? At anong numero nakakubo bibigyan tayo ng 8? Deuce, siyempre.) Kaya isinulat nila:
O kaya . Ano ang numero sa ikaapat na kapangyarihan ng 81? Tatlo.) Kaya,
Paano naman ang ikasampung ugat ng 1? Well, ito ay walang utak na ang isang yunit sa anumang kapangyarihan (kabilang ang ikasampu) ay katumbas ng isa.) Iyon ay:
At sa pangkalahatan ay nagsasalita.
Sa zero, ang parehong kuwento: zero sa anumang natural na kapangyarihan ay katumbas ng zero. Yan ay, .
Tulad ng nakikita mo, kung ihahambing sa mga square root, mas mahirap malaman kung aling numero ang nagbibigay sa amin ng root number sa isang degree o iba pa.a . Mas mahirap pulutin sagutin at suriin ito para sa kawastuhan sa pamamagitan ng exponentiationn . Ang sitwasyon ay lubos na pinadali kung alam mo nang personal ang antas ng mga sikat na numero. Kaya ngayon nagte-training kami. :) Kinikilala namin ang mga degree!)
Mga sagot (magulo):
Oo Oo! Mas maraming sagot kaysa sa mga gawain.) Dahil, halimbawa, ang 2 8 , 4 4 at 16 2 ay pareho ang bilang na 256.
sinanay? Pagkatapos ay isaalang-alang namin ang mga halimbawa:
Mga sagot (nagulo rin): 6; 2; 3; 2; 3; 5.
Nangyari? Fabulous! Ituloy natin.)
Mga paghihigpit sa ugat. ugat ng aritmetikanika degree.
Sa mga ugat ng nth degree, pati na rin sa square, mayroon ding mga limitasyon at ang kanilang mga chips. Sa kanilang kaibuturan, hindi sila naiiba sa mga paghihigpit na iyon para sa mga square root.
Hindi mapipili, hindi ba? Ano ang 3, kung ano ang -3 sa ikaapat na kapangyarihan ay magiging +81. :) At sa anumang ugat kahit degree mula sa isang negatibong numero ay magiging parehong kanta. At ito ay nangangahulugan na imposibleng kunin ang kahit na mga ugat mula sa mga negatibong numero . Ito ay isang ipinagbabawal na aksyon sa matematika. Bilang ipinagbabawal bilang paghahati sa zero. Samakatuwid, ang mga expression tulad ng , at mga katulad - walang saysay.
Ngunit ang mga ugat kakaiba antas ng mga negatibong numero - mangyaring!
Halimbawa, ; 
, at iba pa.)
At mula sa mga positibong numero, maaari mong ligtas na kunin ang anumang mga ugat, anumang antas:
Sa pangkalahatan, ito ay naiintindihan, sa palagay ko.) At, sa pamamagitan ng paraan, ang ugat ay hindi kailangang ma-extract nang eksakto. Ito ay mga halimbawa lamang, para lamang sa pag-unawa.) Nangyayari na sa proseso ng paglutas (halimbawa, mga equation) medyo masamang ugat ang lumalabas. Parang . Mula sa walo, ang ugat ng kubo ay ganap na nakuha, at dito ang pito ay nasa ilalim ng ugat. Anong gagawin? ayos lang. Ang lahat ay eksaktong pareho.- ito ang numero na kapag na-cube, ay magbibigay sa atin ng 7. Ang numero lang ay napakapangit at balbon. Heto na:
Bukod dito, ang numerong ito ay hindi kailanman nagtatapos at walang tuldok: ang mga numero ay ganap na sinusunod nang random. Ito ay hindi makatwiran ... Sa ganitong mga kaso, ang sagot ay naiwan sa anyo ng isang ugat.) Ngunit kung ang ugat ay nakuha lamang (halimbawa,), kung gayon, natural, ang ugat ay dapat kalkulahin at isulat:
Muli naming kinuha ang aming pang-eksperimentong numero 81 at kunin ang ikaapat na ugat mula dito:
Dahil tatlo sa ikaapat ay magiging 81. Well, good! Ngunit din minus tatlo ang pang-apat ay magiging 81 din!
Mayroong isang kalabuan:
At, upang maalis ito, tulad ng sa square roots, isang espesyal na termino ang ipinakilala: ugat ng aritmetikanika degree mula sa a - parang ganun hindi negatibo numero,n-ika na antas na katumbas ng a .
At ang sagot na may plus o minus ay tinatawag na iba - algebraic na ugatnika degree. Para sa anumang kahit na kapangyarihan, ang algebraic root ay magiging dalawang magkasalungat na numero. Sa paaralan, gumagana lamang sila sa mga ugat ng aritmetika. Samakatuwid, ang mga negatibong numero sa mga ugat ng aritmetika ay itinatapon lamang. Halimbawa, sumulat sila: Ang plus mismo, siyempre, ay hindi nakasulat: ito magpahiwatig.
Ang lahat, tila, ay simple, ngunit ... Ngunit ano ang tungkol sa mga ugat ng isang kakaibang antas mula sa mga negatibong numero? Pagkatapos ng lahat, palaging may negatibong numero kapag nag-extract! Dahil anumang negatibong numero sa kakaibang degree nagbibigay din ng negatibong numero. At ang arithmetic root ay gumagana lamang sa mga di-negatibong numero! Iyon ang dahilan kung bakit ito ay aritmetika.)
Sa gayong mga ugat, ginagawa nila ito: kumuha sila ng isang minus mula sa ilalim ng ugat at inilagay ito sa harap ng ugat. Ganito:
Sa mga ganitong pagkakataon ay sinasabi na ipinahayag sa mga tuntunin ng isang arithmetic (i.e. hindi na negatibo) na ugat .
Ngunit mayroong isang bagay na maaaring nakalilito - ito ang solusyon ng mga simpleng equation na may mga kapangyarihan. Halimbawa, narito ang isang equation:
Sinusulat namin ang sagot: Sa katunayan, ang sagot na ito ay isang pinaikling notasyon lamang dalawang sagot:
Ang hindi pagkakaunawaan dito ay nagsulat na ako ng medyo mas mataas na ang mga di-negatibong (i.e. arithmetic) na mga ugat lamang ang isinasaalang-alang sa paaralan. At narito ang isa sa mga sagot na may minus ... Paano maging? Hindi pwede! Ang mga palatandaan dito ay ang resulta ng paglutas ng equation. PERO ang ugat mismo- ang halaga ay hindi pa rin negatibo! Tingnan para sa iyong sarili:
Well, mas malinaw na ba ngayon? may mga bracket?)
Sa isang kakaibang antas, ang lahat ay mas simple - palagi itong lumalabas isa ugat. Plus o minus. Halimbawa:
Kaya kung tayo lamang kinukuha namin ang ugat (ng pantay na antas) mula sa numero, pagkatapos ay palagi naming nakukuha isa di-negatibong resulta. Dahil ito ay isang arithmetic root. Ngayon, kung magdedesisyon tayo ang equation na may pantay na degree, nakukuha namin dalawang magkasalungat na ugat, dahil ito ay solusyon ng equation.
Sa mga ugat ng kakaibang degree (kubiko, ikalimang antas, atbp.) Walang mga problema. Kinukuha namin ang aming sarili at hindi naliligo na may mga palatandaan. Ang plus sa ilalim ng ugat ay nangangahulugan ng resulta ng pagkuha na may plus. Ang ibig sabihin ng minus ay minus.
At ngayon oras na para magkita mga katangian ng ugat. Ang ilan ay magiging pamilyar na sa amin mula sa square roots, ngunit ilang mga bago ang idadagdag. Go!
Mga katangian ng ugat. Ang ugat ng gawain.
Ang ari-arian na ito ay pamilyar na sa amin mula sa square roots. Para sa mga ugat ng iba pang mga degree, ang lahat ay magkatulad:
Yan ay, ang ugat ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng bawat salik nang hiwalay.
Kung ang indicatorn kahit na, pagkatapos ay parehong radikal na mga numeroa atb dapat, siyempre, ay hindi negatibo, kung hindi, ang formula ay walang kahulugan. Sa kaso ng isang kakaibang tagapagpahiwatig, walang mga paghihigpit: kinukuha namin ang mga minus pasulong mula sa ilalim ng mga ugat at pagkatapos ay gumagana sa mga ugat ng aritmetika.)
Tulad ng sa square roots, dito ang formula na ito ay pantay na kapaki-pakinabang mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan papuntang kaliwa. Ang paglalapat ng formula mula kaliwa hanggang kanan ay nagpapahintulot sa iyo na kunin ang mga ugat mula sa trabaho. Halimbawa:
Ang formula na ito, sa pamamagitan ng paraan, ay may bisa hindi lamang para sa dalawa, ngunit para sa anumang bilang ng mga kadahilanan. Halimbawa:
Gayundin, gamit ang formula na ito, maaari mong kunin ang mga ugat mula sa malalaking numero: para dito, ang numero sa ilalim ng ugat ay nabubulok sa mas maliit na mga kadahilanan, at pagkatapos ay ang mga ugat ay nakuha nang hiwalay mula sa bawat kadahilanan.
Halimbawa, ang ganitong gawain:
Ang bilang ay sapat na malaki. Nag-ugat ba ito? makinis- din kung walang calculator ito ay hindi malinaw. Masarap i-factor ito. Ano nga ba ang numerong 3375 na nahahati sa? Sa pamamagitan ng 5, tila: ang huling digit ay lima.) Hatiin:
Oh, divisible ulit ng 5! 675:5 = 135. At ang 135 ay muling hinati sa lima. Oo, kailan ito matatapos?
135:5 = 27. Sa numerong 27, malinaw na ang lahat - ito ay isang three in a cube. Ibig sabihin,
Pagkatapos:
Kinuha nila ang root piece by piece, well, okay.)
O ang halimbawang ito:
Muli, nagfa-factor tayo ayon sa mga palatandaan ng divisibility. Ano? Sa 4, dahil ang huling pares ng mga numero 40 ay nahahati sa 4. At sa 10, dahil ang huling digit ay zero. Kaya, maaari mong hatiin sa isang mabilis na 40 nang sabay-sabay:
Tungkol sa numerong 216, alam na natin na ito ay isang anim na cubed. Yan ay,
At ang 40, naman, ay maaaring mabulok bilang . Pagkatapos
At sa wakas ay nakukuha natin:
Hindi naging malinis ang pag-extract ng ugat, well, okay lang. Gayunpaman, pinasimple namin ang expression: alam namin na kaugalian na mag-iwan ng pinakamaliit na posibleng numero sa ilalim ng ugat (kahit na parisukat, kahit na kubiko - anuman). Sa halimbawang ito, nagsagawa kami ng isang napaka-kapaki-pakinabang na operasyon, na pamilyar na rin sa amin mula sa square roots. kinikilala mo ba Oo! Kami nagtiis mga kadahilanan mula sa ilalim ng ugat. Sa halimbawang ito, kumuha kami ng isang deuce at isang anim, i.e. numero 12.
Paano alisin ang kadahilanan sa tanda ng ugat?
Napakadaling alisin ang kadahilanan (o mga kadahilanan) na lampas sa root sign. Binubulok namin ang root expression sa mga kadahilanan at kinukuha kung ano ang nakuha.) At kung ano ang hindi nakuha, iniiwan namin ito sa ugat. Tingnan:
Binubulok namin ang bilang na 9072 sa mga kadahilanan. Dahil mayroon tayong ugat ng ika-apat na antas, una sa lahat sinusubukan nating mabulok sa mga kadahilanan na ang ika-apat na kapangyarihan ng mga natural na numero - 16, 81, atbp.
Subukan nating hatiin ang 9072 sa 16:
Ibinahagi!
Ngunit ang 567 ay tila nahahati sa 81:
Ibig sabihin, .
Pagkatapos
Mga katangian ng ugat. Pagpaparami ng ugat.
Isaalang-alang ngayon ang reverse application ng formula - mula kanan hanggang kaliwa:
Sa unang tingin, walang bago, ngunit ang mga pagpapakita ay mapanlinlang.) Ang reverse application ng formula ay lubos na nagpapalawak sa ating mga kakayahan. Halimbawa:
Hmm, so anong masama dun? Pinarami nila ang lahat. Wala talagang espesyal dito. Ang karaniwang pagpaparami ng mga ugat. At narito ang isang halimbawa!
Hiwalay, ang mga ugat ay hindi puro nakuha mula sa mga kadahilanan. Ngunit ang resulta ay napakahusay.)
Muli, ang formula ay wasto para sa anumang bilang ng mga kadahilanan. Halimbawa, kailangan mong kalkulahin ang sumusunod na expression:
Ang pangunahing bagay dito ay atensyon. Ang halimbawa ay naglalaman ng iba-iba ang mga ugat ay kubiko at ikaapat na antas. At wala sa kanila ang tiyak na nakuha ...
At ang formula para sa produkto ng mga ugat ay naaangkop lamang sa mga ugat na may pareho mga tagapagpahiwatig. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga ugat ng kubo sa isang hiwalay na tumpok at sa isang hiwalay na tumpok - ang ikaapat na antas. At doon, makikita mo, ang lahat ay lalago nang magkasama.))
At hindi ko kailangan ng calculator.
Paano magdagdag ng multiplier sa ilalim ng root sign?
Ang susunod na kapaki-pakinabang na bagay ay paglalagay ng numero sa ilalim ng ugat. Halimbawa:
Posible bang tanggalin ang triple sa loob ng ugat? elementarya! Kung ang triple ay ginawang ugat, pagkatapos ay gagana ang formula para sa produkto ng mga ugat. Kaya, ginagawa namin ang tatlo sa isang ugat. Dahil mayroon tayong ugat ng ikaapat na antas, gagawin din natin itong ugat ng ikaapat na antas.) Tulad nito:
Pagkatapos
Ang ugat, sa pamamagitan ng paraan, ay maaaring gawin mula sa anumang hindi negatibong numero. Bukod dito, sa lawak na gusto natin (lahat ay nakasalalay sa isang tiyak na halimbawa). Ito ang magiging ugat ng ika-n na kapangyarihan ng mismong numerong ito:
At ngayon - Pansin! Pinagmulan ng napakalaking pagkakamali! Wala akong sinabi dito para sa wala hindi negatibo numero. Gumagana lamang ang arithmetic root sa ganoon. Kung mayroon tayong negatibong numero sa isang lugar sa gawain, pagkatapos ay iwanan natin ang minus sa harap ng ugat (kung nasa labas ito), o alisin ang minus sa ilalim ng ugat, kung nasa loob ito. Paalala ko sa iyo kung sa ilalim ng ugat kahit ang degree ay lumalabas na isang negatibong numero, kung gayon walang sense ang expression.
Halimbawa, ang ganitong gawain. Maglagay ng multiplier sa ilalim ng root sign:
Kung tayo ngayon ay nag-ugat minus dalawa, kung gayon kami ay malupit na magkakamali:
Ano ang mali dito? At ang katotohanan na ang ika-apat na antas, dahil sa pagkakapareho nito, ay ligtas na "kinain" ang minus na ito, bilang isang resulta kung saan ang isang sadyang negatibong numero ay naging positibo. Ang tamang solusyon ay ganito:
Sa mga ugat ng kakaibang degree, ang minus, kahit na hindi "kinakain", ay mas mahusay na iwanan ito sa labas:
Narito ang ugat ng isang kakaibang antas ay kubiko, at mayroon kaming lahat ng karapatan na itaboy ang minus sa ilalim din ng ugat. Ngunit mas mainam sa mga ganitong halimbawa na iwanan din ang minus sa labas at isulat ang sagot na ipinahayag sa pamamagitan ng arithmetic (non-negative) na ugat, dahil ang ugat, bagaman ito ay may karapatan sa buhay, ngunit ay hindi aritmetika.
Kaya, sa pagpapakilala ng isang numero sa ilalim ng ugat, ang lahat ay malinaw din, umaasa ako.) Let's move on to the next property.
Mga katangian ng ugat. Ang ugat ng fraction. Dibisyon ng mga ugat.
Ang pag-aari na ito ay ganap ding inuulit iyon para sa mga square root. Ngayon lang namin pinalawak ito sa mga ugat ng anumang antas:
Ang ugat ng isang fraction ay ang ugat ng numerator na hinati sa ugat ng denominator.
Kung ang n ay pantay, kung gayon ang numeroa dapat hindi negatibo, at ang numerob - mahigpit na positibo (hindi mo maaaring hatiin sa zero). Sa kaso ng isang kakaibang exponent, ang tanging hadlang ay .
Ang pag-aari na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang madali at mabilis na i-extract ang mga ugat mula sa mga fraction:
Ang ideya ay malinaw, sa palagay ko. Sa halip na magtrabaho kasama ang buong fraction, magpapatuloy tayo sa pagtatrabaho nang hiwalay sa numerator at hiwalay sa denominator.) Kung ang fraction ay isang decimal o, horror, isang mixed number, pagkatapos ay magpatuloy muna tayo sa mga ordinaryong fraction:
Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito mula kanan pakaliwa. Dito, masyadong, napaka-kapaki-pakinabang na mga posibilidad ay ipinahayag. Halimbawa, ang halimbawang ito:
Ang mga ugat ay hindi eksaktong kinuha mula sa numerator at denominator, ngunit mula sa buong bahagi ay maayos.) Maaari mong lutasin ang halimbawang ito sa ibang paraan - alisin ang salik sa numerator mula sa ilalim ng ugat, na sinusundan ng pagbawas:
Ayon sa gusto mo. Ang sagot ay palaging pareho - ang tama. Kung hindi ka nagkakamali sa daan.)
Kaya, nalaman namin ang pagpaparami / paghahati ng mga ugat. Bumangon kami sa susunod na hakbang at isaalang-alang ang ikatlong ari-arian - ugat sa antas at ugat ng degree .
Mag-ugat sa antas. Ang ugat ng degree.
Paano itaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan? Halimbawa, sabihin nating mayroon tayong numero . Maaari bang itaas ang bilang na ito sa isang kapangyarihan? Sa isang kubo, halimbawa? Syempre! I-multiply ang ugat sa sarili nitong tatlong beses, at - ayon sa pormula para sa produkto ng mga ugat:
Narito ang ugat at antas parang kapwa kinansela o binabayaran. Sa katunayan, kung itataas natin ang isang numero na, kapag na-cube, ay magbibigay sa atin ng triple, itataas natin ito sa mismong cube na ito, ano ang makukuha natin? Tatlo at makakuha, siyempre! At kaya ito ay para sa anumang hindi-negatibong numero. Sa pangkalahatan:
Kung magkaiba ang exponents at root, wala rin problema. Kung alam mo ang mga katangian ng mga degree.)
Kung ang exponent ay mas mababa sa exponent ng root, i-drive lang namin ang exponent sa ilalim ng root:
Sa pangkalahatan ito ay magiging:
Ang ideya ay malinaw: itinataas natin ang radikal na pagpapahayag sa isang kapangyarihan, at pagkatapos ay pinapasimple natin ito sa pamamagitan ng pagkuha ng mga salik mula sa ilalim ng ugat, kung maaari. Kung angn tuwid, pagkataposa dapat hindi negatibo. Bakit naiintindihan, sa tingin ko.) At kungn kakaiba, pagkatapos ay walang mga paghihigpit saa wala na:
Harapin natin ngayon ugat ng degree . Ibig sabihin, hindi ang ugat mismo ang itataas sa isang kapangyarihan, ngunit radikal na pagpapahayag. Wala ring kumplikado dito, ngunit marami pang saklaw para sa mga pagkakamali. Bakit? Dahil pumapasok ang mga negatibong numero, na maaaring malito ang mga palatandaan. Sa ngayon, magsimula tayo sa mga ugat ng kakaibang kapangyarihan - mas simple ang mga ito.
Sabihin nating mayroon tayong numero 2. Maaari ba nating i-cube ito? Syempre!
At ngayon - i-back extract ang cube root mula sa walo:
Nagsimula sila sa isang deuce, at bumalik sa isang deuce.) Hindi nakakagulat: ang pagtaas sa isang kubo ay nabayaran ng kabaligtaran na operasyon - pagkuha ng ugat ng kubo.
Isa pang halimbawa:
Dito, din, ang lahat ay nasa landas. Ang antas at ang ugat ng bawat isa ay nabayaran. Sa pangkalahatan, para sa mga ugat ng kakaibang degree, maaari nating isulat ang sumusunod na formula:
Ang formula na ito ay wasto para sa anumang tunay na numeroa . Positibo man o negatibo.
Iyon ay, ang isang kakaibang antas at isang ugat ng parehong antas ay palaging nagbabayad sa bawat isa at isang radikal na pagpapahayag ay nakuha. :)
Pero may kahit degree, maaaring hindi na pumasa ang focus na ito. Tingnan para sa iyong sarili:
Wala pang espesyal dito. Ang ikaapat na antas at ang ugat ng ikaapat na antas ay nagbalanse din sa isa't isa at ito ay naging isang deuce lamang, i.e. nakaugat na ekspresyon. At para kahit kanino hindi negatibo ang mga numero ay magiging pareho. At ngayon pinapalitan lang namin ang dalawa sa ugat na ito ng minus dalawa. Kaya't mag-ugat tayo tulad nito:
Ang minus ng deuce ay ligtas na "nasunog" dahil sa ika-apat na antas. At bilang resulta ng pagkuha ng ugat (aritmetika!) Nakuha namin positibo numero. Iyon ay minus two, naging plus two.) Ngunit kung hindi lang natin pinag-iisipan "binawasan" ang antas at ugat (pareho!), Makukuha natin
Alin ang pinakamalaking pagkakamali, oo.
Samakatuwid, para sa kahit Ang formula para sa ugat ng exponent ay ganito:
Dito, idinagdag ang module sign, na hindi minamahal ng marami, ngunit walang kakila-kilabot dito: salamat dito, gumagana din ang formula para sa anumang totoong numeroa. At pinutol lamang ng module ang mga kahinaan:
Sa mga ugat lamang ng ika-n degree na lumitaw ang isang karagdagang pagkakaiba sa pagitan ng kahit na at kakaibang degree. Kahit na ang mga degree, tulad ng nakikita natin, ay mas paiba-iba, oo.)
At ngayon isaalang-alang ang isang bagong kapaki-pakinabang at napaka-kagiliw-giliw na pag-aari, na katangian ng mga ugat ng nth degree: kung ang root exponent at ang exponent ng root expression ay pinarami (hinati) ng parehong natural na numero, kung gayon ang halaga ng root ay hindi nagbabago.
Isang bagay na nakapagpapaalaala sa pangunahing katangian ng isang fraction, hindi ba? Sa mga fraction, maaari din nating i-multiply (hatiin) ang numerator at denominator sa parehong numero (maliban sa zero). Sa katunayan, ang pag-aari na ito ng mga ugat ay bunga din ng pangunahing pag-aari ng fraction. Nang magkakilala tayo degree na may rational exponent pagkatapos ang lahat ay magiging malinaw. Ano, paano at saan.)
Ang direktang aplikasyon ng formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin na gawing simple ang anumang mga ugat mula sa anumang antas. Kasama, kung ang mga exponents ng root expression at ang root mismo iba-iba. Halimbawa, pasimplehin natin ang sumusunod na expression:
Simple lang ang kilos namin. Para sa panimula, itinatangi namin ang ikaapat na antas mula sa ikasampu sa ilalim ng ugat at - sige! Paano? Sa pamamagitan ng mga katangian ng mga degree, siyempre! Inalis namin ang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat o gumagana ayon sa pormula ng ugat mula sa antas.
Pero pasimplehin natin, gamit lang ang property na ito. Upang gawin ito, kinakatawan namin ang apat sa ilalim ng ugat bilang:
At ngayon - ang pinaka-kawili-wili - binabawasan natin ang pag-iisip ang indicator sa ilalim ng ugat (dalawa) na may root indicator (apat)! At nakukuha namin:
- Ang arithmetic root ng isang natural na degree n>=2 mula sa isang hindi negatibong numero a ay ilang hindi negatibong numero, kapag itinaas sa kapangyarihan ng n, ang numero a ay nakuha.
Mapapatunayan na para sa anumang di-negatibong a at natural na n, ang equation na x^n=a ay magkakaroon ng isang solong di-negatibong ugat. Ito ang ugat na tinatawag na arithmetic root ng nth degree mula sa numerong a.
Ang arithmetic root ng ika-n degree mula sa numerong a ay tinutukoy bilang mga sumusunod n√a. Ang numero a sa kasong ito ay tinatawag na root expression.
Ang arithmetic root ng pangalawang degree ay tinatawag na square root, at ang arithmetic root ng ikatlong degree ay tinatawag na cube root.
Mga pangunahing katangian ng arithmetic root ng nth degree
- 1. (n√a)^n = a.
Halimbawa, (5√2)^5 = 2.
Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan ng arithmetic root ng nth degree.
Kung ang a ay mas malaki sa o katumbas ng zero, ang b ay mas malaki kaysa sa zero, at ang n, m ay ilang natural na mga numero na ang n ay mas malaki kaysa o katumbas ng 2 at ang m ay mas malaki sa o katumbas ng 2, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo :
- 2. n√(a*b)= n√a*n√b.
Halimbawa, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.
- 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).
Halimbawa, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.
- 4. (n√a)^m = n√(a^m).
Halimbawa, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.
- 5. m√(n√a) = (n*m) √a.
Halimbawa, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.
Tandaan na sa property 2, ang numero b ay maaaring katumbas ng zero, at sa property 4, ang numerong m ay maaaring maging anumang integer, sa kondisyon na a>0.
Katibayan ng pangalawang ari-arian
Ang lahat ng huling apat na katangian ay napatunayang magkatulad, kaya nililimitahan namin ang aming sarili sa pagpapatunay lamang sa pangalawa: n√(a*b)= n√a*n√b.
Gamit ang kahulugan ng isang arithmetic root, pinatutunayan natin na n√(a*b)= n√a*n√b.
Para magawa ito, pinatutunayan namin ang dalawang katotohanan na n√a*n√b. Higit sa o katumbas ng zero, at iyon (n√a*n√b.)^n = ab.
- 1. Ang n√a*n√b ay mas malaki sa o katumbas ng zero, dahil pareho ang a at b ay mas malaki kaysa o katumbas ng zero.
- 2. (n√a*n√b)^n = a*b since (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.
Q.E.D. Kaya totoo ang ari-arian. Ang mga katangiang ito ay kadalasang kailangang gamitin kapag pinapasimple ang mga expression na naglalaman ng mga ugat ng aritmetika.
