Pag-uuri ng mga kaganapan sa posibleng maaasahan at random. Mga uri ng mga kaganapan, direktang pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap

Ang isa sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay ang konsepto ng isang kaganapan.

Kaganapan tumutukoy sa anumang katotohanan na maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng pagsusulit.

Sa ilalim pagsusulit (karanasan, eksperimento) sa kahulugang ito ay nauunawaan ang katuparan ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon kung saan ito o ang kababalaghang iyon ay sinusunod at ito o ang resultang iyon ay naitala.

Halimbawa, ang isang tagabaril ay bumaril sa isang target. Sa kasong ito, ang isang shot ay isang pagsubok, ang isang hit o miss ay isang kaganapan. Isa pang halimbawa: mula sa isang urn na naglalaman ng mga bola na may iba't ibang kulay, isang bola ang iguguhit. Sa kasong ito, ang pagkuha ng bola mula sa urn ay isang pagsubok. Ang hitsura ng isang bola ng isang tiyak na kulay ay isang kaganapan.

Ang mga kaganapan ay karaniwang tinutukoy sa malalaking titik ng alpabetong Latin: A, B, C atbp.

Ang kaganapan ay tinatawag maaasahan , kung bilang resulta ng pagsubok ay dapat itong mangyari. Ang kaganapan ay tinatawag random , kung bilang resulta ng pagsubok ito ay maaaring mangyari o hindi. Ang kaganapan ay tinatawag imposible , kung bilang resulta ng pagsubok ay hindi ito maaaring mangyari.

Halimbawa, ang isang mamatay ay itinapon. Sa kasong ito, ang hitsura ng isang integer ay isang maaasahang kaganapan, ang hitsura ng numero 2 ay isang random na kaganapan, at ang hitsura ng numero 8 ay isang imposibleng kaganapan.

Tinatawag ang mga pangyayari hindi magkatugma , kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng alinmang iba pa. Kung hindi man ang mga kaganapan ay tinatawag magkadugtong .

Halimbawa, ang isang mag-aaral na tumatanggap ng "mahusay", "mahusay" at "kasiya-siya" na mga marka sa isang pagsusulit sa isang disiplina ay hindi magkatugma na mga kaganapan, ngunit ang pagtanggap ng parehong mga marka sa tatlong magkakaibang disiplina ay magkasanib na mga kaganapan.

Tinatawag ang mga pangyayari ang tanging posible , kung ang paglitaw ng isa at isa lamang sa kanila bilang resulta ng pagsubok ay isang maaasahang kaganapan.

Halimbawa, dalawang estudyante ang dumating para kumuha ng pagsusulit. Ang isa sa mga sumusunod na kaganapan ay tiyak na mangyayari: ang parehong mga mag-aaral ay papasa sa pagsusulit (kaganapan A), isang mag-aaral lamang ang papasa sa pagsusulit (event SA), wala sa mga mag-aaral ang makapasa sa pagsusulit (event SA). Mga kaganapan A, SA, SA ay ang mga posible lamang.

Tinatawag ang mga pangyayari pare-parehong posible , kung, ayon sa mga kondisyon ng mahusay na proporsyon, may dahilan upang maniwala na wala sa mga kaganapang ito ay higit na posible kaysa sa iba.

Halimbawa, ang hitsura ng isang amerikana o ulo kapag naghagis ng barya ay pantay na posibleng mga kaganapan. Sa katunayan, ipinapalagay na ang barya ay gawa sa isang homogenous na materyal, ay may regular na cylindrical na hugis, at ang pagkakaroon ng minting ay hindi nakakaapekto sa pagkawala ng isang panig o isa pa ng barya.

Ang ilang mga kaganapan ay nabuo buong grupo , kung sila lamang ang posible at hindi magkatugma na mga resulta ng pagsubok. Nangangahulugan ito na isa at isa lamang sa mga kaganapang ito ang dapat mangyari bilang resulta ng pagsusulit.

Halimbawa, ang isang mag-aaral ay sumasagot sa mga tanong sa isang papel ng pagsusulit. Ang tiket ay naglalaman ng dalawang katanungan. Ang mga sumusunod na resulta ng pagsusulit ay posible: sasagutin ng mag-aaral ang parehong tanong (kaganapan A 1), sasagutin ang isang tanong (kaganapan A 2), hindi sasagutin ang anumang tanong (kaganapan A 3). Mga kaganapan A 1 , A 2 at A 3 bumuo ng isang kumpletong pangkat.

Kabaligtaran pangalanan ang dalawang natatanging posibleng pangyayari na bumubuo ng isang kumpletong grupo.

Halimbawa, magkasalungat ang pangyayari na kasalukuyang nasa silid-aralan ang isang mag-aaral at ang pangyayaring nasa labas siya ng silid-aralan.

Kung ang isa sa dalawang magkasalungat na pangyayari ay isinasaad ng A, pagkatapos ay may iba pang karaniwang itinalaga bilang .

Pag-uuri ng mga kaganapan sa posible, malamang at random. Mga konsepto ng simple at kumplikadong mga pangyayari sa elementarya. Mga operasyon sa mga kaganapan. Klasikong kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan at mga katangian nito. Mga elemento ng combinatorics sa probability theory. Geometric na posibilidad. Axioms of probability theory.

Pag-uuri ng kaganapan

Ang isa sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay ang konsepto ng isang kaganapan. Sa ilalim kaganapan maunawaan ang anumang katotohanang maaaring mangyari bilang resulta ng isang karanasan o pagsubok. Sa ilalim karanasan, o pagsusulit, ay tumutukoy sa pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon.

Mga halimbawa ng mga kaganapan:

Hindi mabilang na katulad na mga halimbawa ang maaaring ibigay. Ang mga kaganapan ay ipinahiwatig ng malalaking titik ng alpabetong Latin, atbp.

Makilala magkasanib na kaganapan At hindi magkatugma. Ang mga kaganapan ay tinatawag na magkasanib na kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa. Kung hindi, ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma. Halimbawa, dalawang dice ang itinatapon. Ang kaganapan ay ang pagkawala ng tatlong puntos sa unang die, ang kaganapan ay ang pagkawala ng tatlong puntos sa pangalawang die. at - magkasanib na mga kaganapan. Hayaang makatanggap ang tindahan ng isang batch ng mga sapatos na may parehong estilo at laki, ngunit magkaibang kulay. Kaganapan - ang isang kahon na kinuha nang random ay maglalaman ng mga itim na sapatos, isang kaganapan - ang kahon ay maglalaman ng kayumanggi na sapatos, at - mga hindi tugmang kaganapan.

Ang kaganapan ay tinatawag maaasahan, kung ito ay siguradong magaganap sa ilalim ng mga kundisyon ng isang ibinigay na eksperimento.

Ang isang kaganapan ay tinatawag na imposible kung hindi ito maaaring mangyari sa ilalim ng mga kondisyon ng isang naibigay na karanasan. Halimbawa, ang kaganapan na ang isang karaniwang bahagi ay kukunin mula sa isang batch ng mga karaniwang bahagi ay maaasahan, ngunit ang isang hindi karaniwang bahagi ay imposible.

Ang kaganapan ay tinatawag maaari, o random, kung bilang resulta ng karanasan ay maaaring lumitaw ito, ngunit maaaring hindi ito lumitaw. Ang isang halimbawa ng isang random na kaganapan ay maaaring ang pagkakakilanlan ng mga depekto ng produkto sa panahon ng inspeksyon ng isang batch ng mga natapos na produkto, isang pagkakaiba sa pagitan ng laki ng naprosesong produkto at ang tinukoy na isa, o ang pagkabigo ng isa sa mga link sa automated control system.

Tinatawag ang mga pangyayari pare-parehong posible, kung, ayon sa mga kondisyon ng pagsubok, wala sa mga kaganapang ito ang mas posible kaysa sa iba. Halimbawa, hayaan ang isang tindahan na mabigyan ng mga bombilya (sa pantay na dami) ng ilang mga manufacturing plant. Ang mga kaganapan na kinasasangkutan ng pagbili ng isang bumbilya mula sa alinman sa mga pabrika ay pantay na posible.

Ang isang mahalagang konsepto ay buong pangkat ng mga kaganapan. Ang ilang mga kaganapan sa isang naibigay na eksperimento ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat kung kahit isa sa mga ito ay siguradong lalabas bilang isang resulta ng eksperimento. Halimbawa, ang isang urn ay naglalaman ng sampung bola, anim sa kanila ay pula, apat ay puti, at limang bola ay may mga numero. - ang hitsura ng isang pulang bola sa isang draw, - ang hitsura ng isang puting bola, - ang hitsura ng isang bola na may isang numero. Ang mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng magkasanib na mga kaganapan.

Ipakilala natin ang konsepto ng isang kabaligtaran, o karagdagang, kaganapan. Sa ilalim kabaligtaran Ang isang kaganapan ay nauunawaan bilang isang kaganapan na dapat mangyari kung ang ilang mga kaganapan ay hindi mangyayari. Ang mga magkasalungat na kaganapan ay hindi magkatugma at ang tanging posible. Bumubuo sila ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan. Halimbawa, kung ang isang batch ng mga ginawang produkto ay binubuo ng mabuti at may sira na mga produkto, kung gayon kapag ang isang produkto ay inalis, ito ay maaaring maging isang magandang kaganapan, o may sira na kaganapan.

Mga operasyon sa mga kaganapan

Kapag bumubuo ng isang aparato at pamamaraan para sa pag-aaral ng mga random na kaganapan sa teorya ng posibilidad, ang konsepto ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan ay napakahalaga.

Ang kabuuan, o unyon, ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito.

Ang kabuuan ng mga kaganapan ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod:

Halimbawa, kung ang isang kaganapan ay tumama sa target sa unang shot, isang kaganapan - sa pangalawa, kung gayon ang kaganapan ay tumama sa target sa pangkalahatan, hindi mahalaga kung aling shot - ang una, pangalawa o pareho.

Ang produkto, o intersection, ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng magkasanib na paglitaw ng lahat ng mga kaganapang ito.

Ang produksyon ng mga kaganapan ay ipinahiwatig

Halimbawa, kung ang kaganapan ay ang target ay natamaan ng unang shot, ang kaganapan ay ang target ay natamaan ng pangalawang shot, kung gayon ang kaganapan ay ang target ay natamaan ng parehong mga shot.

Ang mga konsepto ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan ay may malinaw na geometric na interpretasyon. Hayaang ang kaganapan ay binubuo ng isang punto ng pagpasok sa rehiyon, ang kaganapan ay binubuo ng pagpasok sa rehiyon, pagkatapos ay ang kaganapan ay binubuo ng punto ng pagpasok sa rehiyon na may kulay sa Fig. 1, at ang kaganapan ay kapag ang isang punto ay tumama sa lugar na may kulay sa Fig. 2.

Klasikong kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan

Upang quantitatively ihambing ang mga kaganapan ayon sa antas ng posibilidad ng kanilang paglitaw, isang numerical na panukala ay ipinakilala, na tinatawag na posibilidad ng isang kaganapan.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang numero na nagpapahayag ng sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay ilalarawan ng simbolo.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kaso na pabor dito, mula sa kabuuang bilang ng mga natatanging posible, pantay na posible at hindi tugmang mga kaso, sa bilang i.e.

Ito ang klasikong kahulugan ng posibilidad. Kaya, upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan, kinakailangan, na isinasaalang-alang ang iba't ibang mga kinalabasan ng pagsubok, upang makahanap ng isang hanay ng mga natatanging posible, pantay na posible at hindi magkatugma na mga kaso, kalkulahin ang kanilang kabuuang bilang, ang bilang ng mga kaso na paborable sa isang naibigay na kaganapan, at pagkatapos ay isagawa ang pagkalkula gamit ang formula (1.1).

Mula sa formula (1.1) sumusunod na ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang hindi negatibong numero at maaaring mag-iba mula sa zero hanggang isa depende sa proporsyon ng paborableng bilang ng mga kaso mula sa kabuuang bilang ng mga kaso:

Mga Katangian ng Probability

Ari-arian 1. Kung pabor ang lahat ng kaso para sa isang partikular na kaganapan, tiyak na magaganap ang kaganapang ito. Dahil dito, ang pinag-uusapang kaganapan ay maaasahan, at ang posibilidad ng paglitaw nito ay , dahil sa kasong ito

Ari-arian 2. Kung walang isang kaso na paborable para sa isang partikular na kaganapan, hindi maaaring mangyari ang kaganapang ito bilang resulta ng karanasan. Dahil dito, imposible ang pinag-uusapang kaganapan, at ang posibilidad ng paglitaw nito ay , dahil sa kasong ito:

Ari-arian 3. Ang posibilidad ng paglitaw ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay katumbas ng isa.

Ari-arian 4. Ang posibilidad ng paglitaw ng kabaligtaran na kaganapan ay tinutukoy sa parehong paraan tulad ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan:

kung saan ang bilang ng mga kaso ay paborable sa paglitaw ng kabaligtaran na kaganapan. Samakatuwid ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan na nagaganap ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaisa at ang posibilidad ng kaganapang naganap:

Ang isang mahalagang bentahe ng klasikal na kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan ay na sa tulong nito ang posibilidad ng isang kaganapan ay maaaring matukoy nang hindi gumagamit ng karanasan, ngunit batay sa lohikal na pangangatwiran.

Halimbawa 1. Habang nagdi-dial ng numero ng telepono, nakalimutan ng subscriber ang isang digit at random na na-dial ito. Hanapin ang posibilidad na ang tamang numero ay na-dial.

Solusyon. Ipahiwatig natin ang kaganapan na ang kinakailangang numero ay na-dial. Maaaring i-dial ng subscriber ang alinman sa 10 digit, kaya ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta ay 10. Ang mga resultang ito ay ang tanging posible (dapat i-dial ang isa sa mga digit) at pantay na posible (ang digit ay na-dial nang random). Isang resulta lang ang pumapabor sa kaganapan (isa lang ang kinakailangang numero). Ang kinakailangang probabilidad ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapan sa bilang ng lahat ng mga kinalabasan:

Mga elemento ng combinatorics

Sa teorya ng posibilidad, madalas na ginagamit ang mga pagkakalagay, permutasyon at kumbinasyon. Kung ang isang set ay ibinigay, kung gayon paglalagay (kombinasyon) ng mga elemento ng ay anumang nakaayos (hindi nakaayos) subset ng mga elemento ng set. Kapag inilagay ay tinatawag muling pagsasaayos mula sa mga elemento.

Hayaan, halimbawa, bigyan ng isang set. Ang mga pagkakalagay ng tatlong elemento ng set na ito ng dalawa ay , , , , , ; kumbinasyon - , , .

Ang dalawang kumbinasyon ay naiiba sa hindi bababa sa isang elemento, at ang mga pagkakalagay ay naiiba sa alinman sa mga elemento mismo o sa pagkakasunud-sunod kung saan sila lumilitaw. Ang bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ni ay kinakalkula ng formula

ay ang bilang ng mga pagkakalagay ng mga elemento sa pamamagitan ng ; - bilang ng mga permutasyon ng mga elemento.

Halimbawa 2. Sa isang batch ng 10 bahagi mayroong 7 karaniwang mga. Hanapin ang posibilidad na sa 6 na bahagi na kinuha nang random ay mayroong eksaktong 4 na karaniwang mga bahagi.

Solusyon. Ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta ng pagsubok ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan ang 6 na bahagi ay maaaring makuha mula sa 10, ibig sabihin, katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 10 elemento ng 6. Ang bilang ng mga resultang paborable sa kaganapan (kabilang sa 6 kinuha ang mga bahagi mayroong eksaktong 4 na pamantayan) ay tinutukoy bilang mga sumusunod: 4 na karaniwang mga bahagi ay maaaring makuha mula sa 7 karaniwang mga bahagi sa iba't ibang paraan; sa kasong ito, ang natitirang bahagi ay dapat na hindi pamantayan; May mga paraan para kumuha ng 2 hindi karaniwang bahagi mula sa hindi karaniwang mga bahagi. Samakatuwid, ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay katumbas ng . Ang paunang posibilidad ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapan sa bilang ng lahat ng mga kinalabasan:

Istatistikong kahulugan ng posibilidad

Ang Formula (1.1) ay ginagamit upang direktang kalkulahin ang mga probabilidad ng mga kaganapan lamang kapag ang karanasan ay nabawasan sa isang pattern ng mga kaso. Sa pagsasagawa, ang klasikal na kahulugan ng probabilidad ay kadalasang hindi naaangkop sa dalawang dahilan: una, ipinapalagay ng klasikal na kahulugan ng probabilidad na ang kabuuang bilang ng mga kaso ay dapat na may hangganan. Sa katunayan, ito ay madalas na hindi limitado. Pangalawa, madalas na imposibleng ipakita ang mga kinalabasan ng isang eksperimento sa anyo ng pantay na posible at hindi magkatugma na mga kaganapan.

Ang dalas ng paglitaw ng mga kaganapan sa panahon ng paulit-ulit na Mga Eksperimento ay may posibilidad na maging matatag sa paligid ng ilang pare-parehong halaga. Kaya, ang isang tiyak na pare-parehong halaga ay maaaring maiugnay sa kaganapan na isinasaalang-alang, sa paligid kung saan ang mga frequency ay pinagsama-sama at kung saan ay isang katangian ng layunin na koneksyon sa pagitan ng hanay ng mga kondisyon kung saan isinasagawa ang mga eksperimento at ang kaganapan.

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay ang bilang sa paligid kung saan ang mga frequency ng kaganapang ito ay pinagsama-sama habang ang bilang ng mga pagsubok ay tumataas.

Ang kahulugan ng posibilidad na ito ay tinatawag istatistika.

Ang bentahe ng istatistikal na paraan ng pagtukoy ng posibilidad ay na ito ay batay sa isang tunay na eksperimento. Gayunpaman, ang makabuluhang disbentaha nito ay upang matukoy ang posibilidad na kinakailangan upang magsagawa ng isang malaking bilang ng mga eksperimento, na kadalasang nauugnay sa mga gastos sa materyal. Ang istatistikal na pagpapasiya ng probabilidad ng isang kaganapan, bagama't ito ay lubos na nagpapakita ng nilalaman ng konseptong ito, ay hindi ginagawang posible na aktwal na kalkulahin ang posibilidad.

Isinasaalang-alang ng klasikal na kahulugan ng probabilidad ang kumpletong pangkat ng isang may hangganang bilang ng pantay na posibleng mga kaganapan. Sa pagsasagawa, kadalasan ang bilang ng mga posibleng resulta ng pagsubok ay walang katapusan. Sa ganitong mga kaso, ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay hindi naaangkop. Gayunpaman, kung minsan sa mga ganitong kaso maaari kang gumamit ng ibang paraan ng pagkalkula ng posibilidad. Para sa katiyakan, nililimitahan natin ang ating sarili sa two-dimensional na kaso.

Hayaan ang isang tiyak na rehiyon ng lugar , na naglalaman ng isa pang rehiyon ng lugar, na ibigay sa eroplano (Larawan 3). Ang isang tuldok ay itinapon sa lugar nang random. Ano ang posibilidad na mahulog ang isang punto sa rehiyon? Ipinapalagay na ang isang puntong itinapon nang random ay maaaring tumama sa anumang punto sa rehiyon, at ang posibilidad na matamaan ang anumang bahagi ng rehiyon ay proporsyonal sa lugar ng bahagi at hindi nakasalalay sa lokasyon at hugis nito. Sa kasong ito, ang posibilidad na matamaan ang lugar kapag naghagis ng isang punto nang random sa lugar ay

Kaya, sa pangkalahatang kaso, kung ang posibilidad ng isang random na hitsura ng isang punto sa loob ng isang tiyak na lugar sa isang linya, eroplano o sa espasyo ay natutukoy hindi sa posisyon ng lugar na ito at mga hangganan nito, ngunit sa pamamagitan lamang ng laki nito, i.e. haba. , area o volume, kung gayon ang posibilidad ng isang random na punto na bumabagsak sa loob ng isang partikular na rehiyon ay tinukoy bilang ang ratio ng laki ng rehiyong ito sa laki ng buong rehiyon kung saan maaaring lumitaw ang isang partikular na punto. Ito ang geometric na kahulugan ng posibilidad.

Halimbawa 3. Ang isang bilog na target ay umiikot sa isang pare-pareho ang angular na bilis. Ang isang ikalimang bahagi ng target ay pininturahan ng berde, at ang natitira ay puti (Larawan 4). Ang isang putok ay pinaputok sa target sa paraang ang pagtama sa target ay isang maaasahang kaganapan. Kailangan mong matukoy ang posibilidad ng pagpindot sa target na sektor na may kulay na berde.

Solusyon. Ipahiwatig natin ang "tama ang shot sa sektor na may kulay na berde." Tapos . Ang posibilidad ay nakuha bilang ratio ng lugar ng bahagi ng target na pininturahan ng berde sa buong lugar ng target, dahil ang mga hit sa anumang bahagi ng target ay pantay na posible.

Axioms of probability theory

Mula sa istatistikal na kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan, sumusunod na ang posibilidad ng isang kaganapan ay ang numero sa paligid kung saan ang mga frequency ng kaganapang ito na naobserbahan sa eksperimentong pinagsama-sama. Samakatuwid, ang mga axioms ng probability theory ay ipinakilala upang ang probabilidad ng isang kaganapan ay may mga pangunahing katangian ng frequency.

Axiom 1. Ang bawat kaganapan ay tumutugma sa isang tiyak na numero na nakakatugon sa kondisyon at tinatawag na posibilidad nito.

Teorya ng posibilidad – isang mathematical science na nag-aaral ng mga pattern ng random phenomena. Ang mga random na phenomena ay nauunawaan bilang mga phenomena na may hindi tiyak na kinalabasan na nangyayari kapag ang isang tiyak na hanay ng mga kundisyon ay paulit-ulit na ginawa.

Halimbawa, kapag naghagis ng barya, hindi mo mahuhulaan kung saang panig ito mapupunta. Ang resulta ng paghagis ng barya ay random. Ngunit sa isang sapat na malaking bilang ng mga tosses ng barya, mayroong isang tiyak na pattern (ang coat of arms at ang hash mark ay mahuhulog nang humigit-kumulang sa parehong bilang ng beses).

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Pagsubok (karanasan, eksperimento) - ang pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon kung saan ito o ang hindi pangkaraniwang bagay na iyon ay sinusunod at ito o iyon resulta ay naitala.

Halimbawa: paghahagis ng dice at pagkuha ng ilang puntos; pagkakaiba sa temperatura ng hangin; paraan ng paggamot sa sakit; ilang yugto ng buhay ng isang tao.

Random na kaganapan (o isang kaganapan lang) - resulta ng pagsubok.

Mga halimbawa ng mga random na kaganapan:

pagkuha ng isang puntos kapag naghagis ng isang die;

exacerbation ng coronary heart disease na may matalim na pagtaas sa temperatura ng hangin sa tag-araw;

pag-unlad ng mga komplikasyon ng sakit dahil sa maling pagpili ng paraan ng paggamot;

pagpasok sa isang unibersidad pagkatapos ng matagumpay na pag-aaral sa paaralan.

Ang mga kaganapan ay itinalaga sa malalaking titik ng alpabetong Latin: A , B , C , …

Ang kaganapan ay tinatawag maaasahan , kung bilang resulta ng pagsubok ay dapat itong mangyari.

Ang kaganapan ay tinatawag imposible , kung bilang resulta ng pagsubok ay hindi ito maaaring mangyari.

Halimbawa, kung ang lahat ng mga produkto sa isang batch ay pamantayan, kung gayon ang pagkuha ng isang karaniwang produkto mula dito ay isang maaasahang kaganapan, ngunit ang pagkuha ng isang may sira na produkto sa ilalim ng parehong mga kundisyon ay isang imposibleng kaganapan.

CLASSICAL DEFINITION OF PROBABILITY

Ang probabilidad ay isa sa mga pangunahing konsepto ng probability theory.

posibilidad ng klasikong kaganapan ay tinatawag na ratio ng bilang ng mga kaso na paborable sa kaganapan , sa kabuuang bilang ng mga kaso, i.e.

, (5.1)

saan
- posibilidad ng kaganapan ,

- bilang ng mga kaso na paborable sa kaganapan ,

- kabuuang bilang ng mga kaso.

Mga katangian ng posibilidad ng kaganapan

Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

Ang posibilidad ng isang maaasahang kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.

Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

(Mag-alok na lutasin ang ilang simpleng problema sa pasalita).

ISTATISTIKONG PAGPAPASAYA NG PROBABILIDAD

Sa pagsasagawa, ang pagtatantya ng mga probabilidad ng mga kaganapan ay kadalasang nakabatay sa kung gaano kadalas magaganap ang isang partikular na kaganapan sa mga pagsusulit na isinagawa. Sa kasong ito, ginagamit ang istatistikal na kahulugan ng posibilidad.

Statistical probability ng isang event tinatawag na relatibong limitasyon ng dalas (ang ratio ng bilang ng mga kaso m, paborable para sa paglitaw ng isang kaganapan , sa kabuuang bilang mga pagsubok na isinagawa), kapag ang bilang ng mga pagsubok ay may posibilidad na infinity, i.e.

saan
- istatistikal na posibilidad ng isang kaganapan ,
- bilang ng mga pagsubok kung saan lumitaw ang kaganapan , - kabuuang bilang ng mga pagsubok.

Hindi tulad ng klasikal na probabilidad, ang statistical probability ay isang katangian ng experimental probability. Ang klasikal na probabilidad ay nagsisilbing teoretikal na kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon at hindi nangangailangan na ang mga pagsubok ay isagawa sa katotohanan. Ang statistical probability formula ay ginagamit upang pang-eksperimentong matukoy ang probabilidad ng isang kaganapan, i.e. ito ay ipinapalagay na ang mga pagsubok ay aktwal na natupad.

Ang posibilidad ng istatistika ay humigit-kumulang katumbas ng kamag-anak na dalas ng isang random na kaganapan, samakatuwid, sa pagsasagawa, ang kamag-anak na dalas ay kinuha bilang ang istatistikal na posibilidad, dahil ang posibilidad ng istatistika ay halos imposibleng mahanap.

Ang istatistikal na kahulugan ng posibilidad ay naaangkop sa mga random na kaganapan na may mga sumusunod na katangian:

Probability addition at multiplication theorems

Pangunahing Konsepto

a) Ang tanging posibleng mga kaganapan

Mga kaganapan
Ang mga ito ay tinatawag na ang tanging posible kung, bilang resulta ng bawat pagsubok, kahit isa sa mga ito ay tiyak na magaganap.

Ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.

Halimbawa, kapag naghahagis ng die, ang tanging posibleng mangyari ay ang mga panig na may isa, dalawa, tatlo, apat, lima at anim na puntos. Bumubuo sila ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan.

b) Ang mga pangyayari ay tinatawag na hindi magkatugma, kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng iba pang mga kaganapan sa parehong pagsubok. Kung hindi man sila ay tinatawag na joint.

c) Kabaligtaran pangalanan ang dalawang natatanging posibleng pangyayari na bumubuo ng isang kumpletong grupo. Italaga At .

G) Ang mga pangyayari ay tinatawag na malaya, kung ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa komisyon o hindi pagkumpleto ng iba.

Mga aksyon sa mga kaganapan

Ang kabuuan ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito.

Kung At – magkasanib na mga kaganapan, pagkatapos ang kanilang kabuuan
o
nagsasaad ng paglitaw ng alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o parehong mga kaganapan nang magkasama.

Kung At – hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ang kanilang kabuuan
nangangahulugang pangyayari o pangyayari , o mga kaganapan .

Halaga Ang ibig sabihin ng mga pangyayari ay:

Ang produkto (intersection) ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng magkasanib na paglitaw ng lahat ng mga kaganapang ito.

Ang produkto ng dalawang pangyayari ay tinutukoy ng
o
.

Trabaho kinakatawan ng mga pangyayari

Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawa o higit pang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Para sa dalawang kaganapan;

- Para sa mga pangyayari.

Mga kahihinatnan:

a) Kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na pangyayari At katumbas ng isa:

Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay tinutukoy ng :
.

b) Kabuuan ng mga probabilidad ng mga pangyayaring bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga pangyayari ay katumbas ng isa: o
.

Theorem para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang mga probabilidad ng kanilang intersection, i.e.

Probability multiplication theorem

a) Para sa dalawang malayang kaganapan:

b) Para sa dalawang umaasang pangyayari

saan
– kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan , ibig sabihin. posibilidad ng isang kaganapan , kinakalkula sa ilalim ng kondisyon na ang kaganapan nangyari.

c) Para sa mga independiyenteng kaganapan:

d) Probability ng hindi bababa sa isa sa mga pangyayaring naganap , na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga independiyenteng kaganapan:

Kondisyon na maaaring mangyari

Probability ng pangyayari , kinakalkula sa pag-aakalang nangyari ang kaganapan , ay tinatawag na conditional probability ng kaganapan at itinalaga
o
.

Kapag kinakalkula ang conditional probability gamit ang classical probability formula, ang bilang ng mga resulta At
kinakalkula na isinasaalang-alang ang katotohanan na bago mangyari ang kaganapan isang pangyayari ang naganap .

Mga kaganapan at ang kanilang pag-uuri

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Kapag nagtatayo ng anumang teorya sa matematika, una sa lahat, ang pinakasimpleng mga konsepto ay nakilala, na tinatanggap bilang mga paunang katotohanan. Ang ganitong mga pangunahing konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang konsepto random na eksperimento, random na kaganapan, posibilidad ng isang random na kaganapan.

Random na eksperimento– ito ang proseso ng pagtatala ng isang obserbasyon ng isang kaganapan na interesante sa amin, na isinasagawa sa ilalim ng kondisyon ng isang naibigay na nakatigil (hindi nagbabago sa paglipas ng panahon) isang tunay na hanay ng mga kundisyon, kabilang ang hindi maiiwasang impluwensya ng isang malaking bilang ng mga random (hindi pumapayag sa mahigpit na accounting at kontrol) na mga kadahilanan.

Ang mga salik na ito, sa turn, ay hindi nagpapahintulot sa amin na gumawa ng ganap na maaasahang mga konklusyon tungkol sa kung ang kaganapan ng interes sa amin ay magaganap o hindi. Sa kasong ito, ipinapalagay na mayroon tayong pangunahing posibilidad (hindi bababa sa mental na maisasakatuparan) na ulitin ang ating eksperimento o pagmamasid nang maraming beses sa loob ng balangkas ng parehong hanay ng mga kundisyon.

Narito ang ilang halimbawa ng mga random na eksperimento.

1. Ang isang random na eksperimento na binubuo ng paghagis ng isang perpektong simetriko na barya ay nagsasangkot ng mga random na kadahilanan tulad ng puwersa kung saan ang barya ay itinapon, ang tilapon ng barya, ang unang bilis, ang sandali ng pag-ikot, atbp. Ginagawang imposible ng mga random na salik na ito na tumpak na matukoy ang kinalabasan ng bawat indibidwal na pagsubok: "kapag naghagis ng barya, may lalabas na coat of arms" o "paghahagis ng barya, lilitaw ang mga buntot."

2. Ang planta ng Stalkanat ay sumusubok sa mga manufactured cable para sa maximum na pinapayagang load. Ang pag-load ay nag-iiba sa loob ng ilang partikular na limitasyon mula sa isang eksperimento patungo sa isa pa. Ito ay dahil sa mga random na kadahilanan tulad ng mga micro defect sa materyal kung saan ginawa ang mga cable, iba't ibang mga interference sa pagpapatakbo ng mga kagamitan na nangyayari sa panahon ng paggawa ng mga cable, mga kondisyon ng imbakan, mga eksperimentong kondisyon, atbp.

3. Isang serye ng mga putok ang pinaputok mula sa parehong baril sa isang tiyak na target. Ang pagpindot sa target ay nakasalalay sa maraming random na mga kadahilanan, na kinabibilangan ng kondisyon ng baril at projectile, ang pag-install ng baril, ang kakayahan ng gunner, mga kondisyon ng panahon (hangin, ilaw, atbp.).

Kahulugan. Ang pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kondisyon ay tinatawag pagsusulit. Ang resulta ng pagsusulit ay tinatawag kaganapan.

Ang mga random na kaganapan ay ipinahiwatig sa malalaking titik ng alpabetong Latin: A, B, C...o malaking titik na may index: .

Halimbawa, ang pagpasa sa pagsusulit sa ilalim ng isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon (isang nakasulat na pagsusulit, kabilang ang isang sistema ng rating, atbp.) ay isang pagsusulit para sa mag-aaral, at ang pagtanggap ng isang partikular na marka ay isang kaganapan;

Ang pagpapaputok ng baril sa ilalim ng isang partikular na hanay ng mga kundisyon (kondisyon ng panahon, kondisyon ng baril, atbp.) ay isang pagsubok, at ang pagtama o pagkawala ng target ay isang kaganapan.

Maaari naming ulitin ang parehong eksperimento nang maraming beses sa ilalim ng parehong mga kundisyon. Ang pagkakaroon ng isang malaking bilang ng mga random na kadahilanan na nagpapakilala sa mga kondisyon ng bawat naturang eksperimento ay ginagawang imposible na gumawa ng isang ganap na tiyak na konklusyon tungkol sa kung ang kaganapan ng interes sa amin ay magaganap o hindi sa isang hiwalay na pagsubok. Tandaan na sa probabilidad na teorya ang gayong problema ay hindi ibinibigay.

Pag-uuri ng kaganapan

Nangyayari ang mga pangyayari maaasahan, imposible At random.

Kahulugan. Ang kaganapan ay tinatawag maaasahan, kung sa ilalim ng isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon ito ay kinakailangang mangyari.

Ang lahat ng maaasahang kaganapan ay ipinahiwatig ng isang liham (ang unang titik ng salitang Ingles pangkalahatan- pangkalahatan)

Ang mga halimbawa ng maaasahang mga kaganapan ay: ang paglitaw ng isang puting bola mula sa isang urn na naglalaman lamang ng mga puting bola; nanalo ng win-win lottery.

Kahulugan. Ang kaganapan ay tinatawag imposible, kung sa ilalim ng isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon hindi ito maaaring mangyari.

Ang lahat ng imposibleng kaganapan ay ipinahiwatig ng liham.

Halimbawa, sa Euclidean geometry, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay hindi maaaring mas malaki kaysa sa , at hindi ka makakakuha ng gradong "6" sa isang pagsusulit na may limang-puntong sistema ng pagmamarka.

Kahulugan. Ang kaganapan ay tinatawag random, kung ito ay maaaring lumitaw o hindi sa ilalim ng isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon.

Halimbawa, ang mga random na kaganapan ay: ang kaganapan ng paglitaw ng isang alas mula sa isang deck ng mga baraha; kaganapan na nanalo sa isang laban sa koponan ng football; kaganapan ng panalo ng cash at loterya ng damit; pagbili ng kaganapan ng isang may sira na TV, atbp.

Kahulugan. Mga kaganapan ay tinatawag hindi magkatugma, kung ang paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito ay hindi kasama ang paglitaw ng anumang iba pa.

Halimbawa 1. Kung isasaalang-alang natin ang pagsubok, na binubuo ng paghuhugas ng barya, kung gayon ang mga kaganapan - ang hitsura ng isang coat of arm at ang hitsura ng isang numero - ay hindi magkatugma na mga kaganapan.

Kahulugan. Mga kaganapan ay tinatawag pinagsamang, kung ang paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito ay hindi nagbubukod sa paglitaw ng iba pang mga kaganapan.

Halimbawa 2. Kung ang isang putok ay pinaputok mula sa tatlong baril, pagkatapos ay ang mga sumusunod na kaganapan ay pinagsama: isang tama mula sa unang baril; tumama mula sa pangalawang baril; tumama mula sa ikatlong baril.

Kahulugan. Mga kaganapan ay tinatawag ang tanging posible, kung kapag ang isang ibinigay na hanay ng mga kundisyon ay natanto, hindi bababa sa isa sa mga tinukoy na kaganapan ang dapat mangyari.

Halimbawa 3. Kapag naghahagis ng die, ang mga sumusunod ay ang tanging posibleng mga kaganapan:

A 1 - hitsura ng isang punto,

A 2 - hitsura ng dalawang puntos,

A 3 - hitsura ng tatlong puntos,

A 4 - hitsura ng apat na puntos,

A 5 - hitsura ng limang puntos,

A 6 - hitsura ng anim na puntos.

Kahulugan. Sabi nila, nabubuo ang mga pangyayari buong pangkat ng mga kaganapan, kung ang mga kaganapang ito ay ang tanging posible at hindi magkatugma.

Ang mga kaganapan na isinasaalang-alang sa mga halimbawa 1, 3 ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, dahil ang mga ito ay hindi magkatugma at ang tanging posible.

Kahulugan. Dalawang pangyayari na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay tinatawag kabaligtaran.

Kung ang ilang kaganapan, kung gayon ang kabaligtaran na kaganapan ay tinutukoy ng .

Halimbawa 4. Kung ang kaganapan ay isang coat of arms, kung gayon ang kaganapan ay isang tails.

Ang mga kasalungat na pangyayari ay: “ang mag-aaral ay nakapasa sa pagsusulit” at “ang mag-aaral ay hindi nakapasa sa pagsusulit,” “ang halaman ay natupad ang plano” at “ang halaman ay hindi natupad ang plano.”

Kahulugan. Mga kaganapan ay tinatawag pare-pareho ang posibilidad o pare-parehong posible, kung sa panahon ng pagsubok, lahat sila ay may parehong posibilidad na lumitaw.

Tandaan na ang parehong posibleng mga kaganapan ay maaari lamang lumitaw sa mga eksperimento na may simetriya ng mga resulta, na sinisiguro ng mga espesyal na pamamaraan (halimbawa, paggawa ng ganap na simetriko na mga barya, dice, maingat na pagbabalasa ng mga baraha, domino, paghahalo ng mga bola sa isang urn, atbp.).

Kahulugan. Kung ang mga resulta ng ilang pagsubok ay ang tanging posible, hindi tugma at pantay na posible, kung gayon ang mga ito ay tinatawag elementarya na kinalabasan, kaso o pagkakataon, at ang pagsubok mismo ay tinatawag diagram ng kaso o "urn scheme"(dahil ang anumang probabilidad na problema para sa pagsusulit na pinag-uusapan ay maaaring mapalitan ng katumbas na problema sa mga urn at bola na may iba't ibang kulay) .

Halimbawa 5. Kung mayroong 3 puti at 3 itim na bola sa urn, kapareho ng pagpindot, kung gayon ang kaganapan A 1 – hitsura ng isang puting bola at kaganapan A 2 - ang hitsura ng isang itim na bola ay pantay na maaaring mangyari.

Kahulugan. Sinasabi nila na ang kaganapan pabor kaganapan o pangyayari nagsasangkot ng kaganapan , kung sa hitsura kaganapan tiyak na darating.

Kung ang isang kaganapan ay nagsasangkot ng isang kaganapan, kung gayon ito ay ipinahiwatig ng mga simbolo katumbas o katumbas at magpakilala

Kaya, ang mga katumbas na kaganapan at sa bawat pagsubok ay maaaring mangyari o pareho ay hindi mangyayari.

Upang makabuo ng teorya ng posibilidad, bilang karagdagan sa mga pangunahing konsepto na ipinakilala na (random na eksperimento, random na kaganapan), kinakailangan upang ipakilala ang isa pang pangunahing konsepto - posibilidad ng isang random na kaganapan.

Tandaan na ang mga ideya tungkol sa posibilidad ng isang kaganapan ay nagbago sa panahon ng pagbuo ng teorya ng posibilidad. Tuntunin natin ang kasaysayan ng pag-unlad ng konseptong ito.

Sa ilalim probabilidad naiintindihan ng random na kaganapan ang sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Ang kahulugan na ito ay sumasalamin sa konsepto ng posibilidad mula sa isang husay na pananaw. Ito ay kilala sa sinaunang mundo.

Ang isang quantitative na kahulugan ng probabilidad ng isang kaganapan ay unang ibinigay sa mga gawa ng mga tagapagtatag ng probability theory, na isinasaalang-alang ang mga random na eksperimento na may simetrya o layunin equipossibility ng mga resulta. Ang gayong mga random na eksperimento, tulad ng nabanggit sa itaas, ay kadalasang kinabibilangan ng mga eksperimento na artipisyal na nakaayos kung saan ang mga espesyal na pamamaraan ay ginagamit upang matiyak ang pantay na mga resulta (pag-shuffling ng mga card o domino, paggawa ng perpektong simetriko na dice, mga barya, atbp.). Kaugnay ng gayong mga random na eksperimento noong ikalabing pitong siglo. Ang French mathematician na si Laplace ay bumalangkas ng klasikal na kahulugan ng probabilidad.

Marami, kapag nahaharap sa konsepto ng "teorya ng posibilidad," ay natatakot, iniisip na ito ay isang bagay na napakalaki, napakasalimuot. Ngunit ang lahat ay talagang hindi gaanong kalunos-lunos. Ngayon ay titingnan natin ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad at matutunan kung paano lutasin ang mga problema gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Ang agham

Ano ang pinag-aaralan ng sangay ng matematika bilang "teoryang probabilidad"? Siya ay nagtatala ng mga pattern at dami. Ang mga siyentipiko ay unang naging interesado sa isyung ito noong ikalabing walong siglo, nang sila ay nag-aral ng pagsusugal. Ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan. Ito ay anumang katotohanan na itinatag sa pamamagitan ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Isa pang pangunahing konsepto ng probability theory. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga pangyayari na ito ay nilikha hindi sa pamamagitan ng pagkakataon, ngunit para sa isang tiyak na layunin. Tulad ng para sa obserbasyon, dito ang mananaliksik mismo ay hindi nakikilahok sa eksperimento, ngunit isang saksi lamang sa mga kaganapang ito; hindi niya naiimpluwensyahan ang nangyayari sa anumang paraan.

Mga kaganapan

Nalaman namin na ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan, ngunit hindi namin isinasaalang-alang ang pag-uuri. Ang lahat ng mga ito ay nahahati sa mga sumusunod na kategorya:

Maaasahan.
Imposible.
Random.

Anuman ang uri ng mga kaganapan, naobserbahan o nilikha sa panahon ng karanasan, lahat sila ay napapailalim sa pag-uuri na ito. Inaanyayahan ka naming kilalanin ang bawat uri nang hiwalay.

Maaasahan na kaganapan

Ito ay isang pangyayari kung saan ang kinakailangang hanay ng mga hakbang ay ginawa. Upang mas maunawaan ang kakanyahan, mas mahusay na magbigay ng ilang mga halimbawa. Ang pisika, kimika, ekonomiya, at mas mataas na matematika ay napapailalim sa batas na ito. Ang teorya ng probabilidad ay kinabibilangan ng isang mahalagang konsepto bilang isang maaasahang kaganapan. Narito ang ilang halimbawa:

Nagtatrabaho kami at tumatanggap ng kabayaran sa anyo ng sahod.
Naipasa namin nang maayos ang mga pagsusulit, naipasa ang kumpetisyon, at para dito ay tumatanggap kami ng gantimpala sa anyo ng pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon.
Nag-invest kami ng pera sa bangko, at kung kinakailangan, babawi kami.

Ang mga ganitong kaganapan ay maaasahan. Kung natupad natin ang lahat ng kinakailangang kondisyon, tiyak na makukuha natin ang inaasahang resulta.

Mga pangyayaring imposible

Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang mga elemento ng teorya ng posibilidad. Iminumungkahi naming magpatuloy sa isang paliwanag ng susunod na uri ng kaganapan, katulad ng imposible. Una, itakda natin ang pinakamahalagang tuntunin - ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.

Ang isa ay hindi maaaring lumihis mula sa pagbabalangkas na ito kapag nilutas ang mga problema. Para sa paglilinaw, narito ang mga halimbawa ng mga naturang kaganapan:

Ang tubig ay nagyelo sa temperatura na plus sampu (ito ay imposible).
Ang kakulangan ng kuryente ay hindi nakakaapekto sa produksyon sa anumang paraan (tulad ng imposible tulad ng sa nakaraang halimbawa).

Hindi ito nagkakahalaga ng pagbibigay ng higit pang mga halimbawa, dahil ang mga inilarawan sa itaas ay napakalinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Ang isang imposibleng kaganapan ay hindi mangyayari sa panahon ng isang eksperimento sa anumang sitwasyon.

Mga Random na Kaganapan

Kapag pinag-aaralan ang mga elemento, dapat bigyan ng espesyal na pansin ang partikular na uri ng kaganapang ito. Ito ang pinag-aaralan ng agham. Bilang resulta ng karanasan, maaaring may mangyari o hindi. Bilang karagdagan, ang pagsubok ay maaaring isagawa ng walang limitasyong bilang ng beses. Kabilang sa mga matingkad na halimbawa ang:

Ang paghagis ng barya ay isang karanasan o pagsubok, ang paglapag ng mga ulo ay isang kaganapan.
Ang paglabas ng bola mula sa bag nang walang taros ay isang pagsubok; ang pagkuha ng pulang bola ay isang kaganapan, at iba pa.

Maaaring mayroong isang walang limitasyong bilang ng mga naturang halimbawa, ngunit, sa pangkalahatan, ang kakanyahan ay dapat na malinaw. Upang maibuod at ma-systematize ang kaalaman na nakuha tungkol sa mga kaganapan, isang talahanayan ang ibinigay. Pinag-aaralan lamang ng teorya ng probabilidad ang huling uri ng lahat ng ipinakita.

Pangalan	kahulugan
Maaasahan	Mga kaganapang nagaganap na may 100% na garantiya kung natutugunan ang ilang partikular na kundisyon.	Pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon kapag nakapasa ng mabuti sa entrance exam.
Imposible	Mga kaganapang hindi mangyayari sa anumang pagkakataon.	Umuulan ng niyebe sa temperatura ng hangin na plus tatlumpung degrees Celsius.
Random	Isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi sa panahon ng isang eksperimento/pagsusulit.	Isang hit o miss kapag inihagis ang isang basketball sa hoop.

Mga batas

Ang teorya ng probabilidad ay isang agham na nag-aaral ng posibilidad ng isang pangyayaring naganap. Tulad ng iba, mayroon itong ilang mga patakaran. Ang mga sumusunod na batas ng teorya ng posibilidad ay umiiral:

Convergence ng mga sequence ng random variables.
Batas ng malalaking numero.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng isang bagay na kumplikado, maaari kang gumamit ng isang hanay ng mga simpleng kaganapan upang makamit ang isang resulta sa mas madali at mas mabilis na paraan. Tandaan na ang mga batas ng probability theory ay madaling mapatunayan gamit ang ilang mga theorems. Iminumungkahi namin na kilalanin mo muna ang unang batas.

Convergence ng mga sequence ng random variables

Tandaan na may ilang uri ng convergence:

Ang pagkakasunud-sunod ng mga random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad.
Halos imposible.
Mean square convergence.
Convergence ng pamamahagi.

Kaya, sa simula pa lang, napakahirap na maunawaan ang kakanyahan. Narito ang mga kahulugan na makakatulong sa iyong maunawaan ang paksang ito. Magsimula tayo sa unang view. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag convergent in probability, kung ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: n ay may posibilidad na infinity, ang bilang kung saan ang sequence ay may posibilidad na mas malaki kaysa sa zero at malapit sa isa.

Lumipat tayo sa susunod na view, halos tiyak. Ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing nagtatagpo halos tiyak sa isang random na variable na may n tending to infinity at P tending sa isang value na malapit sa unity.

Ang susunod na uri ay ibig sabihin ng square convergence. Kapag gumagamit ng SC convergence, ang pag-aaral ng mga random na proseso ng vector ay binabawasan sa pag-aaral ng kanilang mga random na proseso ng coordinate.

Ang huling uri ay nananatili, tingnan natin ito sa madaling sabi upang maaari tayong direktang lumipat sa paglutas ng mga problema. Ang convergence sa pamamahagi ay may ibang pangalan - "mahina", at ipapaliwanag namin kung bakit mamaya. Mahinang convergence ay ang convergence ng distribution functions sa lahat ng punto ng continuity ng limiting distribution function.

Talagang tutuparin namin ang aming pangako: ang mahinang convergence ay naiiba sa lahat ng nasa itaas dahil ang random variable ay hindi tinukoy sa probability space. Posible ito dahil ang kundisyon ay nabuo nang eksklusibo gamit ang mga function ng pamamahagi.

Batas ng Malaking Bilang

Theorems ng probability theory, tulad ng:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.
Ang teorama ni Chebyshev.
Pangkalahatan ang teorama ni Chebyshev.
Ang teorama ni Markov.

Kung isasaalang-alang namin ang lahat ng mga teorema na ito, kung gayon ang tanong na ito ay maaaring mag-drag sa ilang dosenang mga sheet. Ang aming pangunahing gawain ay ilapat ang teorya ng posibilidad sa pagsasanay. Iminumungkahi namin na gawin mo ito ngayon. Ngunit bago iyon, tingnan natin ang mga axioms ng probability theory; sila ang magiging pangunahing katulong sa paglutas ng mga problema.

Mga Axiom

Nagkita na kami nung una nung nag-usap kami ng imposibleng pangyayari. Tandaan natin: ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Nagbigay kami ng napakatingkad at di malilimutang halimbawa: bumagsak ang snow sa temperatura ng hangin na tatlumpung degrees Celsius.

Ang pangalawa ay ang mga sumusunod: ang isang maaasahang kaganapan ay nangyayari na may posibilidad na katumbas ng isa. Ngayon ay ipapakita namin kung paano isulat ito gamit ang mathematical language: P(B)=1.

Pangatlo: Ang isang random na kaganapan ay maaaring mangyari o hindi, ngunit ang posibilidad ay palaging mula sa zero hanggang isa. Kung mas malapit ang halaga sa isa, mas malaki ang mga pagkakataon; kung ang halaga ay lumalapit sa zero, ang posibilidad ay napakababa. Isulat natin ito sa wikang matematika: 0<Р(С)<1.

Isaalang-alang natin ang huli, ikaapat na aksiom, na parang ganito: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad. Isinulat namin ito sa wikang matematika: P(A+B)=P(A)+P(B).

Ang axioms ng probability theory ay ang pinakasimpleng tuntunin na hindi mahirap tandaan. Subukan nating lutasin ang ilang mga problema batay sa kaalaman na nakuha na natin.

Ticket sa lottery

Una, tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa - isang lottery. Isipin na bumili ka ng isang tiket sa lottery para sa suwerte. Ano ang posibilidad na manalo ka ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Sa kabuuan, isang libong tiket ang nakikilahok sa sirkulasyon, kung saan ang isa ay may premyo na limang daang rubles, sampu sa mga ito ay mayroong isang daang rubles bawat isa, limampu ay may premyo na dalawampung rubles, at isang daan ay may premyo na lima. Ang mga probabilidad na problema ay batay sa paghahanap ng posibilidad ng suwerte. Ngayon magkasama ay susuriin natin ang solusyon sa gawain sa itaas.

Kung gagamitin natin ang titik A upang tukuyin ang isang panalo ng limang daang rubles, kung gayon ang posibilidad na makakuha ng A ay magiging katumbas ng 0.001. Paano natin nakuha ito? Kailangan mo lamang na hatiin ang bilang ng mga "masuwerteng" tiket sa kanilang kabuuang bilang (sa kasong ito: 1/1000).

Ang B ay isang panalo ng isang daang rubles, ang posibilidad ay magiging 0.01. Ngayon ay kumilos kami sa parehong prinsipyo tulad ng sa nakaraang aksyon (10/1000)

C - ang mga panalo ay dalawampung rubles. Nahanap namin ang posibilidad, ito ay katumbas ng 0.05.

Hindi kami interesado sa natitirang mga tiket, dahil ang kanilang premyong pondo ay mas mababa kaysa sa tinukoy sa kondisyon. Ilapat natin ang ikaapat na axiom: Ang posibilidad na manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles ay P(A)+P(B)+P(C). Ang titik P ay nagsasaad ng posibilidad ng paglitaw ng isang partikular na kaganapan; natagpuan na natin ang mga ito sa mga nakaraang aksyon. Ang natitira na lang ay magdagdag ng kinakailangang data, at ang sagot na makukuha namin ay 0.061. Ang numerong ito ang magiging sagot sa tanong sa gawain.

Card deck

Ang mga problema sa teorya ng posibilidad ay maaaring maging mas kumplikado; halimbawa, gawin natin ang sumusunod na gawain. Sa harap mo ay isang deck ng tatlumpu't anim na baraha. Ang iyong gawain ay upang gumuhit ng dalawang card sa isang hilera nang walang shuffling ang stack, ang una at pangalawang card ay dapat na aces, ang suit ay hindi mahalaga.

Una, hanapin natin ang posibilidad na ang unang card ay magiging isang alas, para dito hinahati natin ang apat sa tatlumpu't anim. Itinabi nila ito. Inalis namin ang pangalawang card, ito ay magiging isang alas na may posibilidad na tatlong tatlumpu't lima. Ang posibilidad ng pangalawang kaganapan ay depende sa kung aling card ang una naming iginuhit, iniisip namin kung ito ay isang alas o hindi. Ito ay sumusunod mula dito na ang kaganapan B ay nakasalalay sa kaganapan A.

Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw, iyon ay, pinarami namin ang A at B. Ang kanilang produkto ay matatagpuan tulad ng sumusunod: pinarami namin ang posibilidad ng isang kaganapan sa kondisyon na posibilidad ng isa pa, na aming kinakalkula, sa pag-aakalang ang una naganap ang kaganapan, iyon ay, gumuhit kami ng isang ace gamit ang unang card.

Upang gawing malinaw ang lahat, bigyan natin ng pagtatalaga ang naturang elemento bilang mga kaganapan. Kinakalkula ito sa pag-aakalang naganap ang kaganapan A. Ito ay kinakalkula bilang mga sumusunod: P(B/A).

Ipagpatuloy natin ang paglutas ng ating problema: P(A * B) = P(A) * P(B/A) o P(A * B) = P(B) * P(A/B). Ang posibilidad ay katumbas ng (4/36) * ((3/35)/(4/36). Kinakalkula namin sa pamamagitan ng pag-round sa pinakamalapit na hundredth. Mayroon kaming: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09. Ang posibilidad na gumuhit tayo ng dalawang ace sa isang hilera ay siyam na raan. Ang halaga ay napakaliit, ito ay sumusunod na ang posibilidad na mangyari ang kaganapan ay napakaliit.

Nakalimutang numero

Iminumungkahi naming pag-aralan ang ilang iba pang variant ng mga gawain na pinag-aaralan ng probability theory. Nakakita ka na ng mga halimbawa ng paglutas ng ilan sa mga ito sa artikulong ito. Subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: nakalimutan ng batang lalaki ang huling digit ng numero ng telepono ng kanyang kaibigan, ngunit dahil napakahalaga ng tawag, sinimulan niyang i-dial ang lahat ng isa-isa. . Kailangan nating kalkulahin ang posibilidad na tatawag siya nang hindi hihigit sa tatlong beses. Ang solusyon sa problema ay pinakasimpleng kung ang mga tuntunin, batas at axioms ng probability theory ay alam.

Bago tingnan ang solusyon, subukang lutasin ito sa iyong sarili. Alam namin na ang huling digit ay maaaring mula sa zero hanggang siyam, iyon ay, sampung halaga sa kabuuan. Ang posibilidad na makuha ang tama ay 1/10.

Susunod, kailangan nating isaalang-alang ang mga pagpipilian para sa pinagmulan ng kaganapan, ipagpalagay na ang batang lalaki ay nahulaan nang tama at agad na nag-type ng tama, ang posibilidad ng naturang kaganapan ay 1/10. Pangalawang opsyon: ang unang tawag ay hindi nakuha, at ang pangalawa ay nasa target. Kalkulahin natin ang posibilidad ng naturang kaganapan: i-multiply ang 9/10 sa 1/9, at bilang resulta ay nakakakuha din tayo ng 1/10. Ang pangatlong opsyon: ang una at pangalawang tawag ay nasa maling address, tanging sa pangatlo ang batang lalaki ay nakarating sa kung saan niya gusto. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: 9/10 na pinarami ng 8/9 at 1/8, na nagreresulta sa 1/10. Hindi kami interesado sa iba pang mga opsyon ayon sa mga kondisyon ng problema, kaya kailangan lang naming magdagdag ng mga resulta na nakuha, sa dulo mayroon kaming 3/10. Sagot: ang posibilidad na tumawag ang batang lalaki ng hindi hihigit sa tatlong beses ay 0.3.

Mga card na may mga numero

Mayroong siyam na card sa harap mo, sa bawat isa kung saan nakasulat ang isang numero mula isa hanggang siyam, ang mga numero ay hindi nauulit. Inilagay ang mga ito sa isang kahon at pinaghalo nang maigi. Kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na iyon

lalabas ang isang even na numero;
dalawang-digit.

Bago lumipat sa solusyon, itakda natin na ang m ay ang bilang ng mga matagumpay na kaso, at ang n ay ang kabuuang bilang ng mga opsyon. Hanapin natin ang posibilidad na maging pantay ang numero. Hindi magiging mahirap na kalkulahin na mayroong apat na pantay na numero, ito ang magiging m natin, mayroong siyam na posibleng opsyon sa kabuuan, iyon ay, m=9. Pagkatapos ang posibilidad ay 0.44 o 4/9.

Isaalang-alang natin ang pangalawang kaso: ang bilang ng mga pagpipilian ay siyam, at maaaring walang matagumpay na mga resulta, iyon ay, ang m ay katumbas ng zero. Ang posibilidad na ang iginuhit na card ay naglalaman ng dalawang-digit na numero ay zero din.

Portal para sa mga mag-aaral. Paghahanda sa sarili