Kahulugan. Extremum point ng isang function ng dalawang variable Tinatawag ang minimum at maximum na mga punto ng function na ito. Ang mga halaga ng function mismo sa mga extremum point ay tinatawag extrema ng isang function ng dalawang variable .

Kahulugan. Dot P(x0 , y 0 ) tinawag z = z(x, y) , kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga punto sa paligid nito. Ang halaga ng function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum ng isang function ng dalawang variable .

Kahulugan. Dot P(x0 , y 0 ) tinawag pinakamataas na punto ng isang function ng dalawang variable z = z(x, y) , kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga punto sa paligid nito. Halaga ng function sa pinakamataas na punto ay tinatawag na maximum ng isang function ng dalawang variable .

Theorem (isang kinakailangang tanda ng isang extremum ng isang function ng dalawang variable). Kung ang punto P(x0 , y 0 ) - matinding punto ng isang function ng dalawang variable z = z(x, y) , pagkatapos ay ang una mga partial derivatives function (sa pamamagitan ng "X" at "Y") sa puntong ito ay katumbas ng zero o wala:

Kahulugan. Ang mga punto kung saan ang unang partial derivatives ng isang function ng dalawang variable ay katumbas ng zero ay tinatawag nakatigil na mga punto .

Kahulugan. Ang mga punto kung saan ang unang partial derivatives ng isang function ng dalawang variable ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos .

Tulad ng sa kaso ng isang function ng isang variable, ang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng dalawang variable ay hindi sapat. Maraming function sa mga kaso kung saan ang unang partial derivative ng function ay katumbas ng zero o wala, ngunit walang extrema sa mga kaukulang punto. Ang bawat extremum point ay isang kritikal na punto, ngunit hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum .

Isang sapat na tanda ng pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng dalawang variable. Sa punto P mayroong isang extremum ng isang function ng dalawang variable kung nasa paligid ng puntong ito buong pagdaragdag ng function hindi nagbabago ng tanda. Dahil sa kritikal na punto ang unang kumpletong pagkakaiba ay katumbas ng zero, ang pagtaas ng function ay tumutukoy sa pangalawang kumpletong kaugalian

Ang pinakamahusay na pag-unawa sa aplikasyon ng kabuuang pagkakaiba ay magmumula sa pag-aaral at pagsasanay sa mga hakbang 3 at 4 ng algorithm para sa paghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable, na sumusunod sa pangalawang punto ng araling ito.

Lokal na katangian ng extrema ng isang function ng dalawang variable. Ang maximum ng isang function ng dalawang variable sa anumang bahagi ng domain ng kahulugan ng function ay hindi nangangahulugang ang maximum sa buong domain ng kahulugan, tulad ng minimum sa anumang lugar ay hindi ang minimum sa buong domain ng kahulugan. Isaalang-alang natin ang taas ng mga alon sa isang seksyon ng baybaying rehiyon ng dagat (ang seksyon ay mas maliit kaysa sa rehiyon). Pagkatapos sa lugar na ito maaari naming i-record (hindi bababa sa visually) ang pinakamataas na taas ng alon. Ngunit sa ibang lugar, kung saan ang hangin ay nagdudulot ng mas malaking taas ng alon, naitala namin ang pinakamababang taas ng alon. Nangangahulugan ito na ang maximum na taas ng wave sa unang seksyon ay maaaring mas mababa kaysa sa minimum na taas ng wave sa pangalawang seksyon. Samakatuwid, tulad ng sa kaso ng extrema ng isang function ng isang variable, kinakailangang linawin ang konseptong ito at pag-usapan ang extrema bilang lokal na extrema ng isang function ng dalawang variable.

Algorithm para sa paghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable at mga halimbawa ng mga solusyon

Ang algorithm para sa paghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable ay ang pinakamalaking interes, dahil, una, ito ay naiiba sa algorithm para sa paghahanap ng extrema ng isang function ng isang variable, at pangalawa, sa pamamagitan ng pagkakatulad dito, isang algorithm para sa paghahanap ng isang function ng tatlong variable ay maaaring malikha. Sa partikular, kakailanganing kalkulahin mga kwalipikasyon .

Kaya, ang algorithm para sa paghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable.

Ang isang function ng dalawang variable ay ibinigay.

Hakbang 2. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation mula sa pagkakapantay-pantay ng mga derivatives na ito hanggang sa zero (ang kanilang pagkakapantay-pantay sa zero ay isang kinakailangang tanda ng pagkakaroon ng isang extremum):

Ang mga solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay mga punto ng posibleng extremum - kritikal na mga punto.

Hakbang 3. Hayaan ang kritikal na punto na matatagpuan sa hakbang 2. Upang matiyak na mayroong isang labis na function ng dalawang variable dito, nakita namin pangalawang order na bahagyang derivatives

bilang mga partial derivatives ng first order partial derivatives na makikita sa hakbang 1.

Hakbang 4. Nagtatalaga kami ng mga pagtatalaga ng titik sa mga pangalawang-order na bahagyang derivative na makikita sa hakbang 3:

Hakbang 4. Nahanap namin ang determinant:

, ibig sabihin, walang extremum sa nakitang kritikal na punto,

at , ibig sabihin, sa natagpuang kritikal na punto mayroong isang minimum na function ng dalawang variable,

at , ibig sabihin, sa nahanap na kritikal na punto ay may pinakamataas na function ng dalawang variable.

Kahulugan 1. Point M(x 0 ; y 0) ay tinatawag na maximum (minimum) point ng function z = f(x; y) kung mayroong neighborhood ng point M na para sa lahat ng points (x; y) mula sa neighborhood na ito. sumusunod ang hindi pagkakapantay-pantay:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

Teorama 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum) . Kung ang isang differentiable function na z = f(x; y) ay umabot sa isang extremum sa puntong M(x 0 ; y 0), kung gayon ang first-order na partial derivatives nito sa puntong ito ay katumbas ng zero, i.e.
;

Ang mga punto kung saan ang mga partial derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag nakatigil o kritikal na puntos.

Teorama 2 (sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum)

Hayaan ang function na z = f(x; y):

a) tinukoy sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto (x 0 ; y 0), kung saan
At
;

b) ay may tuluy-tuloy na mga partial derivatives ng pangalawang order sa puntong ito

;

Pagkatapos, kung  = AC  B 2 > 0, pagkatapos ay sa punto (x 0 ; y 0) ang function na z = f(x; y) ay may extremum, at kung A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (o C > 0) – pinakamababa. Sa kaso  = AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Halimbawa 1. Hanapin ang extremum ng function z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.

Solusyon. Hanapin natin ang unang pagkakasunud-sunod na mga partial derivatives:

Gamitin natin ang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum:

Ang paglutas ng sistema ng mga equation, nakita natin ang mga x at y na coordinate ng mga nakatigil na puntos: x = 0; y = 3, ibig sabihin, M(0; 3).

Kalkulahin natin ang pangalawang pagkakasunud-sunod na bahagyang derivatives at hanapin ang kanilang mga halaga sa punto M.

A =
= 2; C =
= 2;

B =
.

Buuin natin ang discriminant  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Samakatuwid, sa puntong M(0; 3) ang ibinigay na function ay may pinakamababa. Ang halaga ng function sa puntong ito ay z min = 9.

Maghanap ng extrema ng mga function

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ng dalawang variable sa isang closed domain

Para mahanap pinakadakila At hindi bababa sa mga halaga ng isang function sa isang saradong rehiyon, kailangan mong:

1) maghanap ng mga kritikal na punto na matatagpuan sa isang naibigay na lugar at kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito;

2) maghanap ng mga kritikal na punto sa hangganan ng rehiyon at kalkulahin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng mga pag-andar sa kanila;

3) mula sa lahat ng nahanap na halaga, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Halimbawa 2. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function z =
sa isang bilog x 2 + y 2  1.

Solusyon. Hanapin natin ang mga coordinate ng mga kritikal na punto na matatagpuan sa loob ng rehiyon na isinasaalang-alang, kung saan kinakalkula natin ang mga first-order na partial derivatives ng function na z at itinutumbas ang mga ito sa zero.

kung saan ang x = 0, y = 0 at, samakatuwid, ang M(0; 0) ay isang kritikal na punto.

Kalkulahin natin ang halaga ng function na z sa puntong M(0; 0): z(0; 0) = 2.

Hanapin natin ang mga kritikal na punto sa hangganan ng rehiyon - isang bilog na tinukoy ng equation x 2 + y 2 = 1. Ang pagpapalit ng y 2 = 1 - x 2 sa function na z = z(x; y), nakakakuha tayo ng function ng isang variable

z =
;

kung saan ang x[1; 1].

Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng derivative
at equating ito sa zero, nakakakuha tayo ng mga kritikal na puntos sa hangganan ng rehiyon x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Hanapin natin ang halaga ng function na z(x) =
sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

Piliin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa mga halaga ng function z sa mga kritikal na punto na matatagpuan sa loob at sa hangganan ng bilog.

Kaya, z max. = z(0; 0) = 2

Ang extremum point ng isang function ay ang punto sa domain ng kahulugan ng function kung saan ang halaga ng function ay tumatagal sa isang minimum o maximum na halaga. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema (minimum at maximum) ng function.

Kahulugan. Dot x1 function na domain f(x) ay tinatawag na maximum na punto ng function , kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximum.

Kahulugan. Dot x2 function na domain f(x) ay tinatawag na pinakamababang punto ng function, kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas mababa kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x2 pinakamababa.

Sabihin nating punto x1 - maximum na punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x1 tumataas ang function, samakatuwid ang derivative ng function ay mas malaki kaysa sa zero ( f "(x) > 0 ), at sa pagitan pagkatapos x1 bumababa ang function, samakatuwid, derivative ng isang function mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Ipagpalagay din natin na ang punto x2 - pinakamababang punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x2 bumababa ang function, at ang derivative ng function ay mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 tumataas ang function, at ang derivative ng function ay mas malaki sa zero ( f "(x) > 0 ). Sa kasong ito din sa punto x2 ang derivative ng function ay zero o wala.

Fermat's theorem (isang kinakailangang tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kung ang punto x0 - matinding punto ng pag-andar f(x) pagkatapos sa puntong ito ang derivative ng function ay katumbas ng zero ( f "(x) = 0 ) o wala.

Kahulugan. Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos .

Halimbawa 1. Isaalang-alang natin ang pag-andar.

Sa punto x= 0 ang derivative ng function ay zero, samakatuwid ang punto x= 0 ang kritikal na punto. Gayunpaman, tulad ng makikita sa graph ng function, tumataas ito sa buong domain ng kahulugan, kaya ang punto x Ang = 0 ay hindi ang extremum point ng function na ito.

Kaya, ang mga kundisyon na ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng zero o wala ay mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat, dahil ang iba pang mga halimbawa ng mga function ay maaaring ibigay kung saan ang mga kundisyong ito ay natutugunan, ngunit ang function ay walang extremum sa kaukulang punto. kaya lang dapat may sapat na ebidensya, na nagpapahintulot sa isa na hatulan kung mayroong extremum sa isang partikular na kritikal na punto at kung anong uri ng extremum ito - maximum o minimum.

Theorem (ang unang sapat na tanda ng pagkakaroon ng isang extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 f(x) kung, kapag dumadaan sa puntong ito, ang derivative ng function ay nagbabago ng sign, at kung ang sign ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ito ay isang maximum na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ito ay isang minimum na punto.

Kung malapit sa punto x0 , sa kaliwa at sa kanan nito, pinapanatili ng derivative ang sign nito, nangangahulugan ito na ang function ay bumababa lamang o tumataas lamang sa isang partikular na kapitbahayan ng punto x0 . Sa kasong ito, sa punto x0 walang sukdulan.

Kaya, upang matukoy ang extremum point ng function, kailangan mong gawin ang mga sumusunod :

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. I-equate ang derivative sa zero at tukuyin ang mga kritikal na puntos.
3. Sa isip o sa papel, markahan ang mga kritikal na punto sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga resultang pagitan. Kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang kritikal na punto ay ang pinakamataas na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ang pinakamababang punto.
4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.

Halimbawa 2. Hanapin ang extrema ng function .

Solusyon. Hanapin natin ang derivative ng function:

I-equate natin ang derivative sa zero upang mahanap ang mga kritikal na puntos:

.

Dahil para sa anumang mga halaga ng "x" ang denominator ay hindi katumbas ng zero, tinutumbas namin ang numerator sa zero:

Nakakuha ng isang kritikal na punto x= 3 . Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa mga agwat na nililimitahan ng puntong ito:

sa saklaw mula sa minus infinity hanggang 3 - isang minus sign, iyon ay, bumababa ang function,

sa pagitan mula 3 hanggang plus infinity mayroong plus sign, iyon ay, tumataas ang function.

Ibig sabihin, period x= 3 ang pinakamababang punto.

Hanapin natin ang halaga ng function sa pinakamababang punto:

Kaya, ang extremum point ng function ay matatagpuan: (3; 0), at ito ang pinakamababang punto.

Theorem (ang pangalawang sapat na tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 ay ang extremum point ng function f(x) kung ang pangalawang derivative ng function sa puntong ito ay hindi katumbas ng zero ( f ""(x) ≠ 0 ), at kung ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero ( f ""(x) > 0 ), pagkatapos ay ang pinakamataas na punto, at kung ang pangalawang derivative ay mas mababa sa zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Tandaan 1. Kung sa punto x0 Kung ang una at pangalawang derivatives ay nawala, pagkatapos ay sa puntong ito imposibleng hatulan ang pagkakaroon ng isang extremum batay sa pangalawang sapat na pamantayan. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang unang sapat na criterion para sa extremum ng isang function.

Puna 2. Ang pangalawang sapat na criterion para sa extremum ng isang function ay hindi naaangkop kahit na ang unang derivative ay hindi umiiral sa isang nakatigil na punto (kung gayon ang pangalawang derivative ay wala rin). Sa kasong ito, kailangan mo ring gamitin ang unang sapat na tanda ng isang extremum ng isang function.

Lokal na katangian ng extrema ng function

Mula sa mga kahulugan sa itaas, sumusunod na ang extremum ng isang function ay lokal sa kalikasan - ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function kumpara sa mga kalapit na halaga.

Sabihin nating tinitingnan mo ang iyong mga kita sa loob ng isang taon. Kung noong Mayo ay nakakuha ka ng 45,000 rubles, at noong Abril 42,000 rubles at noong Hunyo 39,000 rubles, kung gayon ang mga kita sa Mayo ay ang pinakamataas na function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. Ngunit noong Oktubre nakakuha ka ng 71,000 rubles, noong Setyembre 75,000 rubles, at noong Nobyembre 74,000 rubles, kaya ang mga kita sa Oktubre ay ang pinakamababa sa function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. At madali mong makita na ang maximum sa mga halaga ng Abril-Mayo-Hunyo ay mas mababa kaysa sa minimum ng Setyembre-Oktubre-Nobyembre.

Sa pangkalahatan, sa pagitan ng isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema, at maaaring lumabas na ang ilang minimum ng function ay mas malaki kaysa sa anumang maximum. Kaya, para sa function na ipinapakita sa figure sa itaas, .

Iyon ay, hindi dapat isipin ng isa na ang maximum at minimum ng isang function ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa buong segment na isinasaalang-alang. Sa pinakamataas na punto, ang function ay may pinakamalaking halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamataas na punto, at sa pinakamababang punto ito ay may pinakamaliit na halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon. na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamababang punto.

Samakatuwid, maaari nating linawin ang konsepto sa itaas ng mga extremum point ng isang function at tawagan ang mga minimum na puntos ng mga lokal na minimum na puntos, at ang maximum na mga puntos ng mga lokal na maximum na puntos.

Hinahanap namin ang extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 3.

Solusyon: Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Ang hinango nito umiiral din sa buong linya ng numero. Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga kritikal na punto ay ang mga kung saan, i.e. , mula saan at . Mga kritikal na punto at hatiin ang buong domain ng kahulugan ng function sa tatlong pagitan ng monotonicity: . Pumili tayo ng isang control point sa bawat isa sa kanila at hanapin ang sign ng derivative sa puntong ito.

Para sa pagitan, ang control point ay maaaring: hanapin. Ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, nakukuha natin, at ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, mayroon tayo. Kaya, sa pagitan at , at sa pagitan . Ayon sa unang sapat na criterion para sa isang extremum, walang extremum sa punto (dahil ang derivative ay nagpapanatili ng sign nito sa pagitan), at sa punto ang function ay may minimum (dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag pumasa. sa pamamagitan ng puntong ito). Hanapin natin ang mga katumbas na halaga ng function: , a . Sa agwat ang pag-andar ay bumababa, dahil sa agwat na ito , at sa agwat ito ay tumataas, dahil sa agwat na ito .

Upang linawin ang pagbuo ng graph, makikita natin ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes. Kapag nakakuha tayo ng equation na ang mga ugat ay at , ibig sabihin, dalawang puntos (0; 0) at (4; 0) ng graph ng function ang natagpuan. Gamit ang lahat ng impormasyong natanggap, bumuo kami ng isang graph (tingnan ang simula ng halimbawa).

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Halimbawa 4. Hanapin ang extrema ng function at buuin ang graph nito.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong linya ng numero, maliban sa punto, i.e. .

Upang paikliin ang pag-aaral, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang function na ito ay pantay, dahil . Samakatuwid, ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis Oy at ang pag-aaral ay maaari lamang gawin para sa pagitan.

Paghahanap ng derivative at mga kritikal na punto ng function:

1) ;

2) ,

ngunit ang function ay naghihirap sa isang discontinuity sa puntong ito, kaya hindi ito maaaring maging isang extremum point.

Kaya, ang ibinigay na function ay may dalawang kritikal na punto: at . Isinasaalang-alang ang parity ng function, susuriin lamang namin ang punto gamit ang pangalawang sapat na criterion para sa isang extremum. Upang gawin ito, nakita namin ang pangalawang derivative at tukuyin ang sign nito sa: makuha namin . Dahil at , ito ang pinakamababang punto ng function, at .

Upang makakuha ng mas kumpletong larawan ng graph ng isang function, alamin natin ang pag-uugali nito sa mga hangganan ng domain ng kahulugan:

(dito ang simbolo ay nagpapahiwatig ng pagnanais x sa zero mula sa kanan, at x nananatiling positibo; katulad din ang ibig sabihin ng aspirasyon x sa zero mula sa kaliwa, at x nananatiling negatibo). Kaya, kung , pagkatapos . Susunod, hanapin namin

,

mga. kung , kung gayon .

Ang graph ng isang function ay walang intersection point sa mga axes. Ang larawan ay nasa simula ng halimbawa.

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Patuloy kaming naghahanap ng extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 8. Hanapin ang extrema ng function.

Solusyon. Hanapin natin ang domain ng kahulugan ng function. Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan, nakukuha natin mula sa .

Hanapin natin ang unang derivative ng function.

Isang simpleng algorithm para sa paghahanap ng extrema..

• Paghahanap ng derivative ng function
• Itinutumbas namin ang derivative na ito sa zero
• Nahanap namin ang mga halaga ng variable ng nagresultang expression (ang mga halaga ng variable kung saan ang derivative ay na-convert sa zero)
• Gamit ang mga halagang ito, hinahati namin ang linya ng coordinate sa mga pagitan (huwag kalimutan ang tungkol sa mga break point, na kailangan ding i-plot sa linya), ang lahat ng mga puntong ito ay tinatawag na "kahina-hinala" na mga punto para sa extremum
• Kinakalkula namin kung alin sa mga agwat na ito ang derivative ay magiging positibo at alin ang magiging negatibo. Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang halaga mula sa pagitan sa derivative.

Sa mga puntos na kahina-hinala para sa isang extremum, ito ay kinakailangan upang mahanap . Upang gawin ito, tinitingnan namin ang aming mga agwat sa linya ng coordinate. Kung, kapag dumadaan sa isang punto, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, kung gayon ang puntong ito ay magiging maximum, at kung mula minus hanggang plus, kung gayon pinakamababa.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga extremum point. Pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Tingnan natin ang isang halimbawa
Nahanap namin ang derivative at itinutumbas ito sa zero:

I-plot namin ang nakuha na mga halaga ng mga variable sa linya ng coordinate at kinakalkula ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga agwat. Well, halimbawa, para sa una ay kunin natin-2 , kung gayon ang derivative ay magiging pantay-0,24 , para sa pangalawang kukunin natin0 , kung gayon ang derivative ay magiging2 , at para sa pangatlo ay kukunin namin2 , kung gayon ang derivative ay magiging-0.24. Inilalagay namin ang naaangkop na mga palatandaan.

Nakikita namin na kapag dumadaan sa punto -1, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, iyon ay, ito ang magiging pinakamababang punto, at kapag dumaan sa 1, mula plus hanggang minus, ayon sa pagkakabanggit, ito ang magiging pinakamataas na punto.

Panimula

Sa maraming mga lugar ng agham at sa mga praktikal na aktibidad, ang isa ay madalas na humarap sa problema ng paghahanap ng sukdulan ng isang function. Ang katotohanan ay maraming teknikal, pang-ekonomiya, atbp. ang mga proseso ay namodelo ng isang function o ilang function na nakadepende sa mga variable - mga salik na nakakaimpluwensya sa estado ng phenomenon na ginagaya. Kinakailangang hanapin ang sukdulan ng naturang mga pag-andar upang matukoy ang pinakamainam (makatuwiran) na estado at kontrol sa proseso. Kaya sa ekonomiya, ang mga problema sa pagliit ng mga gastos o pag-maximize ng kita ay madalas na nalutas - ang microeconomic na problema ng kumpanya. Sa gawaing ito, hindi namin isinasaalang-alang ang mga isyu sa pagmomodelo, ngunit isinasaalang-alang lamang ang mga algorithm para sa paghahanap ng extrema ng mga function sa pinakasimpleng bersyon, kapag walang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga variable (unconditional optimization), at ang extremum ay hinahangad para lamang sa isang layunin na function.

EXTREMA NG FUNCTION

Isaalang-alang ang graph ng isang tuluy-tuloy na function y=f(x) ipinapakita sa figure. Halaga ng function sa isang punto x 1 ay magiging mas malaki kaysa sa mga halaga ng function sa lahat ng mga kalapit na punto sa kaliwa at sa kanan ng x 1 . Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x 1 maximum. Sa punto x Ang function 3 ay malinaw na mayroon ding maximum. Kung isasaalang-alang natin ang punto x 2, kung gayon ang halaga ng pag-andar dito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga kalapit na halaga. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x 2 pinakamababa. Gayundin para sa punto x 4 .

Function y=f(x) sa punto x 0 ay mayroon maximum, kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga halaga nito sa lahat ng mga punto ng ilang pagitan na naglalaman ng punto x 0, ibig sabihin. kung mayroong ganoong kapitbahayan ng isang punto x 0, na para sa lahat x≠x 0 , na kabilang sa kapitbahayan na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili f(x)<f(x 0 ) .

Function y=f(x) Mayroon itong pinakamababa sa punto x 0 , kung mayroong ganoong kapitbahayan ng isang punto x 0 , para yan sa lahat x≠x 0 na kabilang sa kapitbahayan na ito, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)>f(x 0.

Ang mga punto kung saan naabot ng function ang maximum at minimum nito ay tinatawag na extremum point, at ang mga value ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema ng function.

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang isang function na tinukoy sa isang segment ay maaaring maabot ang maximum at minimum nito lamang sa mga puntong nasa loob ng segment na isinasaalang-alang.

Tandaan na kung ang isang function ay may maximum sa isang punto, hindi ito nangangahulugan na sa puntong iyon ang function ay may pinakamalaking halaga sa buong domain ng kahulugan. Sa figure na tinalakay sa itaas, ang function sa punto x 1 ay may maximum, kahit na may mga punto kung saan ang mga halaga ng function ay mas malaki kaysa sa punto x 1 . Sa partikular, f(x 1) < f(x 4) ibig sabihin. ang minimum ng isang function ay mas malaki kaysa sa maximum. Mula sa kahulugan ng maximum sumusunod lamang na ito ang pinakamalaking halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit sa pinakamataas na punto.

Theorem 1. (Isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum.) Kung ang differentiable function y=f(x) ay nasa punto x= x 0 extremum, pagkatapos ang derivative nito sa puntong ito ay magiging zero.

Patunay. Hayaan, para sa katiyakan, sa punto x 0 function ay may maximum. Pagkatapos, para sa sapat na maliliit na pagdaragdag Δ x meron kami f(x 0 + Δ x) 0 ) , ibig sabihin.

Ngunit pagkatapos

Pagpasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa limitasyon sa Δ x→ 0 at isinasaalang-alang na ang derivative f "(x 0) ay umiiral, at samakatuwid ang limitasyon sa kaliwa ay hindi nakasalalay sa kung paano Δ x→ 0, makuha natin ang: sa Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a sa Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Dahil f"(x 0) ay tumutukoy sa isang numero, kung gayon ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magkatugma lamang kung f"(x 0) = 0.

Ang napatunayang theorem ay nagsasaad na ang maximum at minimum na mga puntos ay maaari lamang kabilang sa mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ay nagiging zero.

Isinaalang-alang namin ang kaso kapag ang isang function ay may derivative sa lahat ng punto ng isang partikular na segment. Ano ang sitwasyon sa mga kaso kung saan wala ang derivative? Tingnan natin ang mga halimbawa.

y=|x|.

Ang function ay walang derivative sa punto x=0 (sa puntong ito ang graph ng function ay walang tinukoy na tangent), ngunit sa puntong ito ang function ay may pinakamababa, dahil y(0)=0, at para sa lahat x≠ 0y > 0.

ay walang derivative sa x=0, dahil napupunta ito sa infinity sa x=0. Ngunit sa puntong ito ang function ay may maximum. ay walang derivative sa x=0, mula noong x→0. Sa puntong ito ang function ay walang maximum o minimum. Talaga, f(x)=0 at sa x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

Kaya, mula sa mga ibinigay na halimbawa at ang formulated theorem ay malinaw na ang isang function ay maaaring magkaroon ng extremum lamang sa dalawang kaso: 1) sa mga punto kung saan ang derivative ay umiiral at katumbas ng zero; 2) sa punto kung saan wala ang derivative.

Gayunpaman, kung sa isang punto x 0 alam namin yan f "(x 0 ) =0, kung gayon ang isa ay hindi maaaring maghinuha mula dito na sa punto x 0 ang function ay may extremum.

Halimbawa.

.

Pero period x=0 ay hindi isang extremum point, dahil sa kaliwa ng puntong ito ang mga halaga ng function ay matatagpuan sa ibaba ng axis baka, at sa kanan sa itaas.

Ang mga halaga ng isang argumento mula sa domain ng isang function kung saan nawawala o wala ang derivative ng function ay tinatawag kritikal na puntos.

Mula sa lahat ng nasa itaas, sumusunod na ang mga extremum point ng function ay kabilang sa mga kritikal na punto, at, gayunpaman, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point. Samakatuwid, upang mahanap ang extremum ng isang function, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto ng function, at pagkatapos ay suriin ang bawat isa sa mga puntong ito nang hiwalay para sa maximum at minimum. Ang sumusunod na teorama ay nagsisilbi sa layuning ito.

Theorem 2. (Isang sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum.) Hayaang ang function ay tuluy-tuloy sa ilang pagitan na naglalaman ng kritikal na punto x 0, at naiba sa lahat ng punto ng agwat na ito (maliban, marahil, ang punto mismo x 0). Kung, kapag lumilipat mula kaliwa pakanan sa puntong ito, nagbabago ang derivative sign mula plus hanggang minus, pagkatapos ay sa punto x = x 0 function ay may maximum. Kung, kapag dumadaan x 0 mula kaliwa hanggang kanan, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, pagkatapos ang function ay may pinakamababa sa puntong ito.

Kaya, kung

f "(x)>0 sa x<x 0 at f "(x)< 0 sa x> x 0, pagkatapos x 0 - pinakamataas na punto;

sa x<x 0 at f "(x)> 0 sa x> x 0, pagkatapos x 0 - pinakamababang punto.

Patunay. Ipagpalagay muna natin na kapag dumaan x 0 ang derivative na pagbabago sign mula plus hanggang minus, i.e. sa harap ng lahat x, malapit sa punto x 0 f "(x)> 0 para sa x< x 0 , f "(x)< 0 para sa x> x 0 . Ilapat natin ang theorem ni Lagrange sa pagkakaiba f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), saan c nasa pagitan ng x At x 0 .

Hayaan x< x 0 . Pagkatapos c< x 0 at f "(c)> 0. kaya lang f "(c)(x- x 0)< 0 at samakatuwid

f(x) - f(x 0 )< 0, ibig sabihin. f(x)< f(x 0 ).

Hayaan x > x 0 . Pagkatapos c>x 0 at f "(c)< 0. ibig sabihin f "(c)(x- x 0)< 0. kaya lang f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Kaya, para sa lahat ng mga halaga x sapat na malapit sa x 0 f(x)< f(x 0 ) . At ito ay nangangahulugan na sa punto x 0 function ay may maximum.

Ang pangalawang bahagi ng pinakamababang teorama ay napatunayan sa katulad na paraan.

Ilarawan natin ang kahulugan ng theorem na ito sa figure. Hayaan f "(x 1 ) =0 at para sa alinman x, sapat na malapit sa x 1, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

f "(x)< 0 sa x< x 1 , f "(x)> 0 sa x> x 1 .

Pagkatapos ay sa kaliwa ng punto x 1 ang function ay tumataas at bumababa sa kanan, samakatuwid, kapag x = x Ang 1 function ay napupunta mula sa pagtaas hanggang sa pagbaba, iyon ay, mayroon itong maximum.

Sa katulad na paraan, maaari nating isaalang-alang ang mga punto x 2 at x 3 .

Ang lahat ng nasa itaas ay maaaring ilarawan sa eskematiko sa larawan:

Panuntunan para sa pag-aaral ng function na y=f(x) para sa extremum

Hanapin ang domain ng isang function f(x).

Hanapin ang unang derivative ng isang function f "(x).

Tukuyin ang mga kritikal na punto para dito:

hanapin ang tunay na mga ugat ng equation f "(x)=0;

hanapin ang lahat ng mga halaga x kung saan ang derivative f "(x) ay wala.

Tukuyin ang tanda ng derivative sa kaliwa at kanan ng kritikal na punto. Dahil ang sign ng derivative ay nananatiling pare-pareho sa pagitan ng dalawang kritikal na punto, sapat na upang matukoy ang sign ng derivative sa isang punto sa kaliwa at isang punto sa kanan ng kritikal na punto.

Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.