HEOMETRI
Mga Lesson Plan para sa Grade 10
Aralin 56
Paksa. Lugar ng isang orthogonal projection ng isang polygon
Ang layunin ng aralin: ang pag-aaral ng theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang polygon, ang pagbuo ng mga kasanayan ng mga mag-aaral upang mailapat ang pinag-aralan na theorem sa paglutas ng mga problema.
Kagamitan: stereometric set, cube model.
Sa panahon ng mga klase
I. Pagsusuri ng takdang-aralin
1. Dalawang mag-aaral ang nagpaparami ng mga solusyon sa mga problema Blg. 42, 45 sa pisara.
2. Pangharap na interogasyon.
1) Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano na nagsalubong.
2) Ano ang anggulo sa pagitan ng:
a) parallel na eroplano;
b) patayo na mga eroplano?
3) Hanggang saan maaaring magbago ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano?
4) Totoo ba na ang isang eroplano na nag-intersect sa mga parallel na eroplano ay nag-intersect sa kanila sa parehong mga anggulo?
5) Totoo ba na ang isang eroplano na nag-intersect ng mga patayong eroplano ay nag-intersect sa kanila sa parehong mga anggulo?
3. Sinusuri ang kawastuhan ng solusyon ng mga problema Blg. 42, 45, na muling nilikha ng mga mag-aaral sa pisara.
II. Pagdama at kamalayan ng bagong materyal
Takdang-aralin sa mga mag-aaral
1. Patunayan na ang projection area ng isang tatsulok na may isang gilid sa projection plane ay katumbas ng produkto ng area nito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng plane ng polygon at ng projection plane.
2. Patunayan ang theorem para sa kaso kapag ang sala-sala na tatsulok ay may isang gilid na parallel sa projection plane.
3. Patunayan ang theorem para sa kaso kapag ang sala-sala na tatsulok ay wala sa mga gilid nito na kahanay sa projection plane.
4. Patunayan ang theorem para sa anumang polygon.
Pagtugon sa suliranin
1. Hanapin ang lugar ng orthogonal projection ng isang polygon na ang lugar ay 50 cm2 at ang anggulo sa pagitan ng eroplano ng polygon at ang projection nito ay 60°.
2. Hanapin ang lugar ng polygon kung ang lugar ng orthogonal projection ng polygon na ito ay 50 cm2, at ang anggulo sa pagitan ng plane ng polygon at projection nito ay 45°.
3. Ang lugar ng polygon ay 64 cm2, at ang lugar ng orthogonal projection ay 32 cm2. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng polygon at ang projection nito.
4. O baka ang lugar ng orthogonal projection ng polygon ay katumbas ng lugar ng polygon na ito?
5. Ang gilid ng kubo ay a. Hanapin ang cross-sectional area ng isang cube sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa tuktok ng base sa isang anggulo na 30° sa base na ito at intersecting ang lahat ng gilid na gilid. (Sagot.)
6. Problema Blg. 48 (1, 3) mula sa aklat-aralin (p. 58).
7. Suliranin Blg. 49 (2) mula sa aklat-aralin (p. 58).
8. Ang mga gilid ng parihaba ay 20 at 25 cm Ang projection nito sa isang eroplano ay katulad nito. Hanapin ang projection perimeter. (Sagot. 72 cm o 90 cm.)
III. Takdang aralin
§4, n. 34; tanong sa seguridad Blg. 17; mga gawain Blg. 48 (2), 49 (1) (p. 58).
IV. Pagbubuod ng aralin
Tanong para sa klase
1) Bumuo ng isang teorama sa lugar ng orthogonal projection ng isang polygon.
2) Maaari bang mas malaki ang lugar ng orthogonal projection ng polygon kaysa sa area ng polygon?
3) Ang isang eroplanong α ay iginuhit sa pamamagitan ng hypotenuse AB ng isang kanang tatsulok na ABC sa isang anggulo na 45° sa eroplano ng tatsulok at isang patayo na CO sa eroplanong α. AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm. Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na pahayag ang tama at alin ang mali:
a) ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at α ay katumbas ng anggulo ng CMO, kung saan ang puntong H ay ang base ng altitude CM ng tatsulok na ABC;
b) SD = 2.4 cm;
c) triangle AOC ay isang orthogonal projection ng triangle ABC papunta sa plane α;
d) ang lugar ng tatsulok na AOB ay 3 cm2.
(Sagot. a) Tama; b) mali; c) mali; d) tama.)
Sa mga problema sa geometry, ang tagumpay ay nakasalalay hindi lamang sa kaalaman sa teorya, ngunit sa isang kalidad na pagguhit.
Sa mga patag na guhit, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw. Ngunit sa stereometry, ang sitwasyon ay mas kumplikado. Pagkatapos ng lahat, ito ay kinakailangan upang ilarawan tatlong-dimensional katawan sa patag pagguhit, at sa paraang ikaw mismo at ang tumitingin sa iyong guhit ay makikita ang parehong tatlong-dimensional na katawan.
Paano ito gagawin?
Siyempre, ang anumang imahe ng isang three-dimensional na katawan sa isang eroplano ay magiging kondisyonal. Gayunpaman, mayroong isang tiyak na hanay ng mga patakaran. Mayroong pangkalahatang tinatanggap na paraan ng pagbuo ng mga blueprint − parallel projection.
Kumuha tayo ng matibay na katawan.
Pumili tayo projection plane.
Sa bawat punto ng volumetric body gumuhit kami ng mga tuwid na linya, parallel sa bawat isa at intersecting ang projection plane sa ilang anggulo. Ang bawat isa sa mga linyang ito ay nagsa-intersect sa projection plane sa isang punto. Magkasama, nabuo ang mga puntong ito projection volumetric na katawan sa isang eroplano, iyon ay, ang flat na imahe nito.
Paano bumuo ng mga projection ng volumetric na katawan?
Isipin na mayroon kang isang frame ng isang three-dimensional na katawan - isang prisma, isang pyramid o isang silindro. Ang pag-iilaw nito sa isang parallel beam ng liwanag, nakakakuha kami ng isang imahe - isang anino sa dingding o sa screen. Tandaan na ang iba't ibang mga imahe ay nakuha mula sa iba't ibang mga anggulo, ngunit ang ilang mga pattern ay naroroon pa rin:
Ang projection ng segment ay magiging segment.
Siyempre, kung ang segment ay patayo sa projection plane, ito ay ipapakita sa isang punto.
Sa pangkalahatang kaso, ang projection ng isang bilog ay magiging isang ellipse.
Ang projection ng isang rectangle ay isang paralelogram.
Ganito ang hitsura ng projection ng isang cube papunta sa isang eroplano:
Dito ang harap at likod na mga mukha ay parallel sa projection plane
Magagawa mo ito sa ibang paraan:
Kahit anong anggulo ang piliin natin, Ang mga projection ng parallel segment sa drawing ay magiging parallel segment din. Ito ay isa sa mga prinsipyo ng parallel projection.
Gumuhit kami ng mga projection ng pyramid,
silindro:
Muli, inuulit namin ang pangunahing prinsipyo ng parallel projection. Pinipili namin ang projection plane at gumuhit ng mga tuwid na linya parallel sa bawat isa sa bawat punto ng volumetric body. Ang mga linyang ito ay bumalandra sa projection plane sa ilang anggulo. Kung ang anggulong ito ay 90°, ito ay hugis-parihaba na projection. Sa tulong ng rectangular projection, ang mga guhit ng tatlong-dimensional na bahagi sa engineering ay itinayo. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa top view, front view, at side view.
Detalyadong patunay ng polygon orthogonal projection theorem
Kung - projection ng isang patag n -gon sa isang eroplano, kung gayon, nasaan ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng mga polygon at. Sa madaling salita, ang projection area ng isang flat polygon ay katumbas ng produkto ng area ng projected polygon at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng projection plane at ng plane ng projected polygon.
Patunay. ako yugto. Gawin muna natin ang patunay para sa tatsulok. Isaalang-alang natin ang 5 kaso.
1 kaso. humiga sa projection plane .
Hayaan ang mga projection ng mga punto papunta sa eroplano, ayon sa pagkakabanggit. Sa kaso natin. Ipagpalagay natin na. Hayaan - taas, pagkatapos ay sa pamamagitan ng teorama ng tatlong patayo, maaari nating tapusin na - taas (- ang projection ng hilig, - ang base nito at ang tuwid na linya ay dumadaan sa base ng hilig, bukod dito).
Isipin mo. Ito ay hugis-parihaba. Sa pamamagitan ng kahulugan ng cosine:
Sa kabilang banda, dahil at, pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng kalahating eroplano ng mga eroplano at may linya ng hangganan, at, samakatuwid, ang sukat nito ay ang sukat din ng anggulo sa pagitan ang projection planes ng triangle at ang triangle mismo, iyon ay.
Hanapin ang ratio ng lugar sa:
Tandaan na ang formula ay nananatiling totoo kahit na kapag . Sa kasong ito
ika-2 kaso. Nakahiga lamang sa projection plane at parallel sa projection plane .
Hayaan ang mga projection ng mga punto papunta sa eroplano, ayon sa pagkakabanggit. Sa kaso natin.
Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto. Sa aming kaso, ang tuwid na linya ay nag-intersect sa projection plane, na nangangahulugang, sa pamamagitan ng lemma, ang tuwid na linya ay intersect din sa projection plane. Hayaan ito sa isang punto Dahil, pagkatapos ang mga punto ay nasa parehong eroplano, at dahil ito ay parallel sa projection plane, ito ay sumusunod mula sa sign ng parallelism ng tuwid na linya at ang eroplano na. Samakatuwid, ay isang paralelogram. Isaalang-alang at. Ang mga ito ay pantay sa tatlong panig (- karaniwan, tulad ng magkasalungat na panig ng isang paralelogram). Tandaan na ang quadrilateral ay isang parihaba at pantay (kasama ang binti at hypotenuse), samakatuwid, ito ay pantay sa tatlong panig. kaya lang.
Para sa 1 kaso ay naaangkop:, ibig sabihin.
ika-3 kaso. Nakahiga lamang sa projection plane at hindi parallel sa projection plane .
Hayaang ang punto ay ang punto ng intersection ng linya sa projection plane. Tandaan natin na i. Sa 1 pagkakataon: i. Kaya nakuha namin iyon
4 kaso. Ang mga vertices ay hindi nakahiga sa projection plane . Isaalang-alang ang mga perpendicular. Kunin ang pinakamaliit sa mga perpendicular na ito. Hayaan itong patayo. Ito ay maaaring lumabas na alinman lamang, o lamang. Tapos kinukuha pa namin.
Magtabi tayo ng isang punto mula sa isang punto sa isang segment, upang iyon at mula sa isang punto sa isang segment, isang punto, upang iyon. Ang ganitong konstruksiyon ay posible, dahil - ang pinakamaliit sa mga patayo. Tandaan na ito ay isang projection at, sa pamamagitan ng pagbuo. Patunayan natin iyan at pantay-pantay.
Isaalang-alang natin ang isang quadrilateral. Sa pamamagitan ng kondisyon - patayo sa isang eroplano, samakatuwid, ayon sa teorama, samakatuwid. Dahil sa pamamagitan ng pagtatayo, kung gayon, sa batayan ng isang parallelogram (sa parallel at pantay na magkabilang panig), maaari nating tapusin na - isang parallelogram. Ibig sabihin, . Ito ay pinatunayan katulad na,. Samakatuwid, at pantay-pantay sa tatlong panig. kaya lang. Tandaan na at, bilang magkasalungat na panig ng parallelograms, samakatuwid, sa batayan ng paralelismo ng mga eroplano, . Dahil ang mga eroplanong ito ay parallel, bumubuo sila ng parehong anggulo sa projection plane.
Para sa mga nakaraang kaso, nalalapat:
5 kaso. Ang projection plane ay nag-intersect sa mga gilid . Tingnan natin ang mga tuwid na linya. Ang mga ito ay patayo sa projection plane, kaya sa pamamagitan ng theorem sila ay parallel. Sa mga co-directed ray na may mga pinagmulan sa mga punto, itinatabi namin ang pantay na mga segment, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga vertices ay nasa labas ng projection plane. Tandaan na ito ay isang projection at, sa pamamagitan ng pagbuo. Ipakita natin na ito ay pantay.
Mula noon at, sa pamamagitan ng pagtatayo, noon. Samakatuwid, sa batayan ng isang paralelogram (sa dalawang pantay at magkatulad na panig), - isang paralelogram. Maaari itong mapatunayang katulad na at mga paralelogram. Ngunit pagkatapos, at (bilang magkasalungat na panig), samakatuwid, ay pantay sa tatlong panig. Ibig sabihin, .
Bilang karagdagan, at, samakatuwid, sa batayan ng paralelismo ng mga eroplano. Dahil ang mga eroplanong ito ay parallel, bumubuo sila ng parehong anggulo sa projection plane.
Para sa naaangkop na kaso 4:.
II yugto. Hatiin natin ang isang patag na polygon sa mga tatsulok gamit ang mga diagonal na iginuhit mula sa vertex: Pagkatapos, ayon sa mga nakaraang kaso para sa mga tatsulok: .
Q.E.D.
Kabanata IV. Mga linya at eroplano sa kalawakan. Polyhedra
§ 55. Projection area ng isang polygon.
Alalahanin na ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng isang ibinigay na linya at ang projection nito papunta sa eroplano (Larawan 164).
Teorama. Ang lugar ng orthogonal projection ng polygon papunta sa eroplano ay katumbas ng lugar ng projected polygon na pinarami ng cosine ng anggulo na nabuo ng plane ng polygon at ng projection plane.
Ang bawat polygon ay maaaring nahahati sa mga tatsulok, ang kabuuan ng mga lugar kung saan ay katumbas ng lugar ng polygon. Samakatuwid, ito ay sapat na upang patunayan ang teorama para sa isang tatsulok.
Hayaan /\
Ang ABC ay naka-project sa isang eroplano R. Isaalang-alang ang dalawang kaso:
a) isa sa mga partido /\
Ang ABC ay parallel sa eroplano R;
b) wala sa mga partido /\
Ang ABC ay hindi parallel R.
Pag-isipan unang kaso: hayaan [AB] || R.
Gumuhit sa pamamagitan ng (AB) na eroplano R 1 || R at proyektong orthogonally /\
Naka-on ang ABC R 1 at sa R(Larawan 165); nakukuha namin /\
ABC 1 at /\
A"B"S".
Sa pamamagitan ng projection property, mayroon kami /\
ABC 1 /\
A"B"C", at samakatuwid
S /\ ABC1=S /\ A"B"C"
Gumuhit tayo ng _|_ at ang bahaging D 1 C 1 . Pagkatapos _|_ , a = φ ay ang anggulo sa pagitan ng eroplano /\ ABC at eroplano R isa. kaya lang
S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
at samakatuwid S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang pangalawang kaso. Gumuhit ng eroplano R 1 || R sa tuktok na iyon /\
ABC, ang distansya mula sa kung saan sa eroplano R ang pinakamaliit (hayaan itong maging vertex A).
Kami ang magde-design /\
ABC sa isang eroplano R 1 at R(Larawan 166); hayaan ang mga projection nito ayon sa pagkakabanggit /\
AB 1 C 1 at /\
A"B"S".
Hayaan (sun) p 1 = D. Pagkatapos
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Isang gawain. Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng base ng isang regular na triangular na prisma sa isang anggulo φ = 30° sa eroplano ng base nito. Hanapin ang lugar ng resultang seksyon kung ang gilid ng base ng prisma a= 6 cm.
Ilarawan natin ang seksyon ng prisma na ito (Larawan 167). Dahil ang prisma ay regular, ang mga gilid na gilid nito ay patayo sa eroplano ng base. Ibig sabihin, /\ Ang ABC ay isang projection /\ ADC, kaya
Isaalang-alang ang eroplano p at ang linyang bumabagtas dito . Hayaan PERO ay isang arbitrary na punto sa kalawakan. Gumuhit ng linya sa puntong ito , parallel sa linya . Hayaan . Dot ay tinatawag na point projection PERO papunta sa eroplano p sa parallel na disenyo kasama ang isang ibinigay na linya . Eroplano p , kung saan ang mga punto ng espasyo ay inaasahang tinatawag na projection plane.
p - projection plane;
- direktang disenyo; ;
; ; ;
Disenyong Orthogonal ay isang espesyal na kaso ng parallel na disenyo. Ang orthogonal projection ay isang parallel projection kung saan ang projection line ay patayo sa projection plane. Ang orthogonal projection ay malawakang ginagamit sa teknikal na pagguhit, kung saan ang isang pigura ay naka-project sa tatlong eroplano - pahalang at dalawang patayo.
Kahulugan:
Orthographic projection ng isang punto M papunta sa eroplano p tinatawag na base M 1 patayo MM 1, ibinaba mula sa punto M papunta sa eroplano p.
Pagtatalaga: , 
, .
Kahulugan: Orthographic projection ng figure F papunta sa eroplano p ay ang set ng lahat ng mga punto ng eroplano na orthogonal projection ng set ng mga punto ng figure F papunta sa eroplano p.
Ang disenyo ng orthogonal, bilang isang espesyal na kaso ng parallel na disenyo, ay may parehong mga katangian:
p - projection plane;
- direktang disenyo; ;
1) ;
2) , .
- Ang mga projection ng parallel lines ay parallel.
PROJECTION AREA NG FLAT FIGURE
Teorama: Ang lugar ng projection ng flat polygon papunta sa isang tiyak na eroplano ay katumbas ng area ng projected polygon na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan ng plane ng polygon at ng projection plane.
Stage 1: Ang inaasahang figure ay isang tatsulok na ABC, ang gilid kung saan ang AC ay namamalagi sa projection plane a (parallel sa projection plane a).
Ibinigay:
Patunayan:
Patunay:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Ayon sa tatlong perpendiculars theorem;
ВD - taas; Sa 1 D - taas;
5. - linear na anggulo ng anggulo ng dihedral;
6. ; ; ; 
;
Stage 2: Ang inaasahang figure ay isang tatsulok na ABC, wala sa mga gilid nito ang nasa projection plane a at hindi parallel dito.
Ibinigay:
Patunayan:
Patunay:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Yugto 1);
5. ; ; ;
(Yugto 1);
Yugto: Ang dinisenyo na pigura ay isang arbitrary na polygon.
Patunay:
Ang polygon ay nahahati sa pamamagitan ng mga diagonal na iginuhit mula sa isang vertex sa isang may hangganang bilang ng mga tatsulok, para sa bawat isa kung saan ang teorama ay totoo. Samakatuwid, ang theorem ay magiging totoo din para sa kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok na ang mga eroplano ay bumubuo ng parehong anggulo sa projection plane.
Magkomento: Ang napatunayang teorama ay wasto para sa anumang flat figure na nalilimitahan ng isang closed curve.
Mga ehersisyo:
1. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang eroplano ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang regular na tatsulok na may gilid a.
2. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang eroplano ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang isosceles triangle na may gilid na 10 cm at isang base na 12 cm.
3. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang eroplano ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang tatsulok na may mga gilid na 9, 10 at 17 cm.
4. Kalkulahin ang lugar ng trapezoid, ang eroplano na kung saan ay hilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang isosceles trapezoid, ang mas malaking base nito ay 44 cm, ang gilid ay 17 cm at ang dayagonal ay 39 cm.
5. Kalkulahin ang projection area ng isang regular na hexagon na may gilid na 8 cm, ang eroplano na kung saan ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo.
6. Ang isang rhombus na may gilid na 12 cm at isang matinding anggulo ay bumubuo ng isang anggulo na may isang naibigay na eroplano. Kalkulahin ang lugar ng projection ng rhombus sa eroplanong ito.
7. Ang isang rhombus na may gilid na 20 cm at isang dayagonal na 32 cm ay bumubuo ng isang anggulo na may ibinigay na eroplano. Kalkulahin ang lugar ng projection ng rhombus sa eroplanong ito.
8. Ang projection ng canopy sa isang pahalang na eroplano ay isang parihaba na may mga gilid at . Hanapin ang lugar ng canopy kung ang mga gilid na mukha ay pantay na mga parihaba na nakahilig sa pahalang na eroplano sa isang anggulo, at ang gitnang bahagi ng canopy ay isang parisukat na parallel sa projection plane.
11. Mga pagsasanay sa paksang "Mga linya at eroplano sa kalawakan":
Ang mga gilid ng tatsulok ay 20 cm, 65 cm, 75 cm. Ang isang patayo na katumbas ng 60 cm ay iginuhit mula sa vertex ng mas malaking anggulo ng tatsulok hanggang sa eroplano nito. Hanapin ang distansya mula sa mga dulo ng patayo sa mas malaking bahagi ng tatsulok.
2. Mula sa isang punto na nakahiwalay mula sa eroplano sa layo na cm, dalawang hilig ay iguguhit, na bumubuo ng mga anggulo na may eroplano na katumbas ng , at sa pagitan ng kanilang mga sarili - isang tamang anggulo. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga intersection point ng inclined plane.
3. Ang gilid ng isang regular na tatsulok ay 12 cm. Ang puntong M ay pinili upang ang mga segment na nagkokonekta sa puntong M sa lahat ng mga vertices ng tatsulok ay bumubuo ng mga anggulo sa eroplano nito. Hanapin ang distansya mula sa punto M hanggang sa mga vertice at gilid ng tatsulok.
4. Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng parisukat sa isang anggulo sa dayagonal ng parisukat. Hanapin ang mga anggulo kung saan ang dalawang gilid ng parisukat ay nakahilig sa eroplano.
5. Ang binti ng isosceles right triangle ay nakahilig sa eroplanong dumadaan sa hypotenuse sa isang anggulo. Patunayan na ang anggulo sa pagitan ng eroplano a at ng eroplano ng tatsulok ay .
6. Ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng mga tatsulok na ABC at DBC ay . Hanapin ang AD kung AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Kontrolin ang mga tanong sa paksang "Mga linya at eroplano sa kalawakan"
1. Ilista ang mga pangunahing konsepto ng stereometry. Bumuo ng mga axiom ng stereometry.
2. Patunayan ang mga kahihinatnan ng mga axiom.
3. Ano ang relatibong posisyon ng dalawang linya sa espasyo? Tukuyin ang intersecting, parallel, intersecting lines.
4. Patunayan ang criterion para sa intersecting lines.
5. Ano ang relatibong posisyon ng linya at eroplano? Magbigay ng mga kahulugan ng intersecting, parallel na linya at eroplano.
6. Patunayan ang tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
7. Ano ang relatibong posisyon ng dalawang eroplano?
8. Tukuyin ang mga parallel na eroplano. Patunayan ang isang criterion para sa parallelism ng dalawang eroplano. Bumuo ng mga theorems tungkol sa mga parallel na eroplano.
9. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya.
10. Patunayan ang tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.
11. Magbigay ng mga kahulugan ng base ng patayo, ang base ng pahilig, ang projection ng pahilig sa isang eroplano. Bumuo ng mga katangian ng patayo at pahilig, ibinaba sa eroplano mula sa isang punto.
12. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
13. Patunayan ang teorama sa tatlong patayo.
14. Magbigay ng mga kahulugan ng isang dihedral angle, isang linear na anggulo ng isang dihedral angle.
15. Patunayan ang tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano.
16. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng dalawang magkaibang punto.
17. Tukuyin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya.
18. Tukuyin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.
19. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplanong parallel dito.
20. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano.
21. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga skew na linya.
22. Tukuyin ang orthogonal projection ng isang punto papunta sa isang eroplano.
23. Tukuyin ang orthogonal projection ng isang figure papunta sa isang eroplano.
24. Bumuo ng mga katangian ng mga projection sa isang eroplano.
25. Bumuo at patunayan ang isang theorem sa projection area ng isang flat polygon.
