Uri ng trabaho: 7

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-4; 10). Hanapin ang mga pagitan ng nagpapababa ng function f (x). Sa iyong sagot , ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Tulad ng alam mo, ang function na f (x) ay bumababa sa mga pagitan, sa bawat punto kung saan ang derivative f "(x) ay mas mababa sa zero. Isinasaalang-alang na ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa kanila, tatlong ganoong pagitan ay natural na nakikilala mula sa figure: (-4; -2);(0;3);(5;9).

Ang haba ng pinakamalaki sa kanila - (5; 9) ay katumbas ng 4.

Sagot

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-8; 7). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function na f (x) na kabilang sa pagitan [-6; -2].

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Ipinapakita ng graph na ang derivative f "(x) ng function na f (x) ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (magkakaroon ng maximum sa mga ganoong punto) sa eksaktong isang punto (sa pagitan ng -5 at -4) mula sa pagitan [ -6; -2 Samakatuwid, mayroong eksaktong isang pinakamataas na punto sa pagitan [-6;-2].

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng 0 .

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Kung ang derivative sa isang punto ay katumbas ng zero, kung gayon ang tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong ito ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay kahanay sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 5 extremum point.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at minarkahang puntos -6, -1, 1, 4 sa x-axis. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Gumuhit kami ng mga tangent sa graph ng function sa mga punto na may ipinahiwatig na abscissas. Tinutukoy namin kung anong anggulo ang kanilang hilig sa positibong direksyon ng axis ng Ox. Tulad ng alam mo, ang halaga ng tangent ng tinukoy na anggulo ay ang halaga ng derivative sa tinukoy na mga punto.

Sa mga punto -1 at 4, ang mga tangent ay nakakiling sa isang matinding anggulo, kaya ang halaga ng derivative ay negatibo sa mga puntong ito. Isinasaalang-alang na sa puntong x=-6 ang tangent ay nakakiling sa isang mas maliit na obtuse angle (mas malapit sa patayong linya), ang halaga ng derivative sa puntong ito ay ang pinakamaliit.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-9; 4). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function na f (x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Ipakita ang Solusyon

Solusyon

Tulad ng alam mo, ang function na f (x) ay tumataas sa mga pagitan, sa bawat punto kung saan ang derivative f "(x) ay mas malaki kaysa sa zero. Isinasaalang-alang na ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa kanila, tatlong ganoong mga pagitan ay natural na nakikilala mula sa figure: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Ang haba ng pinakamalaki sa kanila (-5; -1) ay 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-8; 7). Hanapin ang bilang ng mga minimum na puntos ng function na f (x) na kabilang sa pagitan [-4; 3].

Kung sa ilang pagitan ang function graph ay isang tuluy-tuloy na linya, sa madaling salita, tulad ng isang linya na maaaring iguguhit nang walang lapis mula sa isang sheet ng papel, kung gayon ang gayong function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa pagitan na ito. May mga function din na hindi tuloy-tuloy. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang graph ng isang function na, sa mga pagitan at [c; b] ay tuloy-tuloy, ngunit sa isang punto
x = c ay hindi tuloy-tuloy at samakatuwid ay hindi tuloy-tuloy sa buong segment. Ang lahat ng mga function na aming pinag-aaralan sa kursong matematika ng paaralan ay tuluy-tuloy na mga function sa bawat pagitan kung saan ang mga ito ay tinukoy.

Tandaan na kung ang isang function ay may derivative sa ilang agwat, ito ay tuloy-tuloy sa agwat na ito.

Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Ang isang function na tuluy-tuloy sa isang interval ay maaaring walang derivative sa ilang mga punto sa interval na iyon. Halimbawa, ang function
y = |log 2 x| ay tuloy-tuloy sa pagitan ng x > 0, ngunit sa puntong x = 1 wala itong derivative, dahil sa katotohanang sa puntong ito ang graph ng function ay walang tangent.

Isaalang-alang ang pag-plot ng mga graph gamit ang derivative.

I-plot ang function f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

Solusyon.

1) Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x ∈ R.

2) Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity ng function na isinasaalang-alang at ang extremum point nito gamit ang derivative. Ang derivative ay f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Hanapin ang mga nakatigil na puntos:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, mula sa kung saan x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

Upang matukoy ang tanda ng derivative, nabubulok namin ang square trinomial 3x 2 - 4x + 1 sa mga salik:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Samakatuwid, sa mga pagitan ng x< 1/3 и х >1 derivative ay positibo; kaya tumataas ang function sa mga agwat na ito.

Ang derivative ay negatibo sa 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Ang punto x 1 \u003d 1/3 ay ang pinakamataas na punto, dahil ang function ay bumababa sa kanan ng puntong ito, at tumataas sa kaliwa. Sa puntong ito, ang halaga ng function ay f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Ang pinakamababang punto ay ang punto x 2 \u003d 1, dahil ang function ay bumababa sa kaliwa ng puntong ito, at tumataas sa kanan; ang halaga nito sa pinakamababang puntong ito ay f(1) = 0.

3) Kapag gumagawa ng isang graph, ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes ay karaniwang matatagpuan. Dahil f(0) = 0, ang graph ay dumadaan sa pinanggalingan. Ang paglutas ng equation f(0) = 0, makikita natin ang mga punto ng intersection ng graph na may x-axis:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, mula sa kung saan x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Para sa mas tumpak na pag-plot, hanapin natin ang mga halaga ng function sa dalawa pang punto: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Gamit ang mga resulta ng pag-aaral (mga puntos 1 - 4), bumuo kami ng isang graph ng function y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

Upang magplano ng isang function, karaniwang sinisiyasat muna ng isa ang mga katangian ng function na ito gamit ang derivative nito ayon sa isang scheme na katulad ng scheme sa paglutas ng Problema 1.

Kaya, kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng isang function, kinakailangan upang mahanap:

1) ang lugar ng kahulugan nito;

2) hinalaw;

3) nakatigil na mga puntos;

4) mga pagitan ng pagtaas at pagbaba;

5) extremum point at function values ​​sa mga puntong ito.

Ang mga resulta ng pag-aaral ay maginhawang naitala sa anyo ng isang talahanayan. Pagkatapos, gamit ang talahanayan, bumuo ng isang graph ng function. Para sa mas tumpak na pag-plot, karaniwang hanapin ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes at - kung kinakailangan - ng ilan pang punto ng graph.

Kung tayo ay nahaharap sa isang pantay o kakaibang pag-andar, kung gayon para sa sa pagbuo ng graph nito, sapat na upang siyasatin ang mga katangian at buuin ang graph nito para sa x\u003e 0, at pagkatapos ay ipakita ito nang simetriko tungkol sa y-axis (pinagmulan). Halimbawa, ang pag-aaral ng function na f(x) = x + 4/x, kami ay dumating sa konklusyon na ang function na ito ay kakaiba: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x ) = -f(x). Matapos makumpleto ang lahat ng mga punto ng plano, bumuo kami ng isang graph ng function para sa x\u003e 0, at ang graph ng function na ito para sa x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 na may kaugnayan sa pinanggalingan.

Para sa kaiklian sa paglutas ng mga problema para sa pag-plot ng mga function, karamihan sa pangangatwiran ay isinasagawa nang pasalita.

Tandaan din namin na kapag nilulutas ang ilang mga problema, maaaring makatagpo kami ng pangangailangan na pag-aralan ang function hindi sa buong domain ng kahulugan, ngunit sa isang tiyak na agwat lamang, halimbawa, kung kailangan mong mag-plot, sabihin, ang function na f (x) = 1 + 2x 2 - x 4 sa segment [-1; 2].

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang variable ay tinatawag function variable , kung ang bawat wastong halaga tumutugma sa iisang halaga . variable ito ay tinatawag na malayang baryabol o argumento mga function.

Ang hanay ng lahat ng mga halaga ng argumento kung saan ang function ay tumatagal ng ilang mga tunay na halaga ay tinatawag domain ng kahulugan function na ito. Ang hanay ng lahat ng mga halaga ng isang function ay tinatawag saklaw nito.

Saklaw at saklaw ng isang function f sinasagisag
at
ayon sa pagkakabanggit. Domain
tinawag simetriko set kung kasama ang bawat elemento naglalaman din ito ng kabaligtaran na elemento (
).

Siyasatin kung ang isang function ay even o odd.

Function
tinawag kahit

para sa lahat
.

Function f tinawag kakaiba, kung ang domain nito ay
ay isang simetriko set at ang pagkakapantay-pantay
para sa lahat
.

Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis OY, at ang graph ng isang kakaibang function ay nauugnay sa pinagmulan. Samakatuwid, kung ang pag-andar sa ilalim ng pag-aaral ay pantay o kakaiba, kung gayon ito ay sapat na upang pag-aralan ito para sa mga positibong halaga ng argumento mula sa domain ng kahulugan nito.

Siyasatin kung ang function ay panaka-nakang.

Maraming
tinawag periodic na may period T (
), kung para sa alinman
gumanap
at
.

Function f tinawag periodical may period T, kung
- periodic set na may period T at para sa alinman
pagkakapantay-pantay
.

Periodic chart na may period T function napupunta sa sarili nito kapag inilipat sa pamamagitan ng T kasama ang x-axis.

Diretso
sa ibabaw
tinawag patayong asymptote mga function
, kung isa sa mga one-sided na limitasyon
o
katumbas
.

Kaya, ang direktang
ay ang patayong asymptote ng function
kung punto - breaking point ng pangalawang uri para sa function
.

Siyasatin ang gawi ng isang function sa infinity at hanapin ang mga pahalang at pahilig na asymptotes nito.

Diretso
tinawag pahilig na asymptote function graph
sa
(
), kung
sa
(
).

Teorama 1. Para sa pagkakaroon ng isang pahilig na asymptote
sa
mga function
kailangan at sapat para sa
natugunan ang mga kondisyon:

1.
,
,

2.
,
.

Maghanap ng mga extremum point at pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.

Function
tinawag dumarami(humihina) sa
, kung para sa alinman
mula sa hindi pagkakapantay-pantay
sumusunod sa hindi pagkakapantay-pantay
(
).

Ang pagtaas at pagbaba ng mga function ay tinatawag monotonous.

Teorama 2(sapat na kondisyon para sa monotonicity). Hayaan ang function
tinukoy at tuloy-tuloy sa
at naiba sa pamamagitan ng
. Kung ang
(
), pagkatapos
tumataas (bumababa)
.

Dot
tinawag pinakamataas na punto (pinakamababang punto) mga function
kung sa lahat ng punto , sapat na malapit sa punto
(
).

Ang halaga ng function sa punto ng maximum (minimum) ay tinatawag maximum (pinakamababa) mga function.

Dot
tinawag mahigpit na pinakamataas na punto (mahigpit na minimum) mga function
kung sa lahat ng punto , sapat na malapit sa punto at iba rito, ang hindi pagkakapantay-pantay
(
).

Halaga ng function sa punto tinawag mahigpit na maximum (mahigpit na minimum) mga function.

Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos, at ang mga halaga ng function sa mga ito ay sukdulan mga function.

Teorama 3(kinakailangang matinding kondisyon). Kung ang function
ay nasa punto extremum, kung gayon ang derivative ng function sa puntong ito ay katumbas ng zero o wala.

Dot tinawag nakatigil na punto mga function
, kung
. Dot tinawag kritikal na punto mga function
, kung
o wala.

Ito ay sumusunod mula sa Theorem 3 na ang mga kritikal na puntos lamang ang maaaring maging matinding puntos. Ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo.

Teorama 4(Sapat na kondisyon para sa isang extremum. Unang tuntunin). Hayaan sa punto
derivative ng function
naglalaho at nagbabago ng tanda kapag dumadaan sa puntong ito, pagkatapos ay ang punto ay ang extremum point ng function, at kung:

1)
sa
at
sa
, pagkatapos
- punto ng mahigpit na maximum;

2)
sa
at
sa
, pagkatapos
ay isang mahigpit na minimum na punto.

Teorama 5(Sufficient condition for an extremum. Second rule). Kung sa punto
unang derivative ng function
ay katumbas ng zero, at ang pangalawang derivative ay nonzero, kung gayon - matinding punto, at:

1) ay ang pinakamataas na punto, kung
;

2) ay ang pinakamababang punto, kung
.

Isang algorithm para sa paghahanap ng mga extremum point para sa isang function na tuloy-tuloy sa
:

Maghanap tayo ng mga kritikal na punto
mga function
sa
. Ayusin natin ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod: Naghahati sila
sa mga pagitan
,
,…,
. Sa bawat isa sa kanila
, ito ay palaging tanda (positibo o negatibo). Upang matukoy ang tanda ng isang derivative sa isang pagitan, kinakailangan upang matukoy ang tanda nito sa anumang punto sa pagitan. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng derivative sa panahon ng paglipat mula sa isang agwat patungo sa isa pa, tinutukoy namin ang mga extremum point ayon sa Theorem 4.

Pagtukoy sa mga direksyon ng convexity ng function graph at inflection point.

Hayaan ang function
naiba sa pamamagitan ng
. Pagkatapos ay mayroong isang padaplis sa graph ng function
sa anumang punto
,
, at ang mga tangent na ito ay hindi parallel sa axis
.

Function
tinawag matambok (paraan pababa) sa
kung ang graph ng function ay nasa loob
hindi namamalagi sa itaas (hindi sa ibaba) alinman sa mga padaplis nito.

Teorama 6(sapat na kondisyon para sa convexity). Hayaan ang function
double differentiable on
. Tapos kung
(
) sa
, pagkatapos ay ang function ay convex pababa (pataas) sa
.

Dot tinawag inflection point mga function
kung ang direksyon ng convexity ng function ay nagbabago kapag dumadaan sa puntong ito
.

Teorama 7(kinakailangang kondisyon ng inflection). Kung sa inflection point mga function
ang pangalawang derivative ay umiiral at tuloy-tuloy, pagkatapos ito ay katumbas ng zero sa puntong ito.

Teorama 8(sapat na kondisyon para sa inflection). Kung ang
at

1)
nagbabago ng sign kapag dumadaan , pagkatapos - function inflection point
;

2)
hindi nagbabago ng senyales kapag dumadaan , pagkatapos ay hindi isang function inflection point
.

Pag-plot ng isang function.

iskedyul mga function
ay ang hanay ng mga punto sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ibinigay na functional dependence.

Halimbawa 7.1. I-explore ang Function

Solusyon.

, dahil ang function na ito ay isang polynomial.

Sinusuri namin ang function para sa monotonicity, hanapin ang mga extremum point.

Hanapin muna natin ang mga kritikal na punto ng function.

, dahil ang derivative ay isa ring polynomial.


o
, o
. Dahil dito,
,
,
ay ang mga kritikal na punto ng function.

H ilagay natin ang mga kritikal na punto ng function sa totoong linya at tukuyin ang mga palatandaan derivative

Sa gitna
,
ang pag-andar ay bumababa, sa mga pagitan
,
tumataas ang function.

puntos
at
ay ang pinakamababang punto ng function, .

Dot
ay ang pinakamataas na punto ng function,
.

Sinusuri namin ang function para sa direksyon ng convexity, hanapin ang mga inflection point.



.

Maglagay tayo ng mga tuldok X 1 at X 2 sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan pangalawang derivative sa bawat isa sa mga nagresultang pagitan.

H at sa pagitan
at
ang function ay matambok pababa, sa pagitan
ang function ay matambok paitaas. puntos
at
ay mga inflection point.

Halimbawa 7.2. I-explore ang Function
sa monotonicity at direksyon ng convexity, hanapin ang extrema at inflection point.

Solusyon.

Hanapin ang domain ng function.

:

 .

2. Sinisiyasat namin ang function para sa monotonicity, hanapin ang extremum point.

, .



. Dahil dito,
– kritikal na punto ng pag-andar.

I-plot namin ang domain ng function at ang kritikal na punto sa totoong linya. Tukuyin natin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat isa sa mga nagresultang pagitan.

H at sa pagitan
,
ang function ay bumababa, sa pagitan
tumataas ang function. Dot
- pinakamataas na punto,
.

3. Tukuyin ang direksyon ng convexity ng graph ng function at hanapin ang mga inflection point.



.

T puntos
- punto ng posibleng pagbabago. Alamin natin ang mga palatandaan ng pangalawang derivative sa mga pagitan
,
,
.

Sa gitna
,
ang function ay matambok paitaas, sa pagitan
ang function ay matambok pababa. Dot
- inflection point.

Halimbawa 7.3. Magsagawa ng isang buong pag-aaral ng function
at i-plot ito.

Solusyon. 1.
.

2. Ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

3. Ang function ay hindi pana-panahon.

4. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes at mga pagitan ng constancy. O axis X ang graph ay hindi nagsalubong, dahil
para sa lahat
. O axis sa:
,
.

sa
,
sa
.

5. Ang function ay tuloy-tuloy sa domain ng kahulugan, dahil ito ay elementarya,
- sukdulan. Tuklasin natin ang likas na katangian ng puwang:

,
.

Dahil dito,
– discontinuity point ng pangalawang uri, tuwid na linya
ay ang patayong asymptote ng graph ng function.

6. Pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng function para sa
at sa
:

,
. Samakatuwid, isang tuwid na linya
ay ang pahalang na asymptote ng graph ng function sa
.

kasi
, pagkatapos ay iba pang mga pahilig na asymptotes sa
hindi.

Alamin kung mayroong oblique asymptotes para sa
:

. Samakatuwid, sa
walang mga oblique asymptotes.

7. Sinisiyasat namin ang function para sa monotonicity at extremum.

,

- pinakamababang punto
- pinakamababa.

8. Sinusuri namin ang function para sa direksyon ng convexity at inflection.

=

.

sa
,ay hindi umiiral sa punto
.Walang mga inflection point.

9. Bumuo tayo ng graph ng function (Larawan 4).

Larawan 4 - Ilustrasyon halimbawa 7.3.

Halimbawa 7.4. I-explore ang Function
at i-plot ito.

Solusyon. Tuklasin natin ang feature na ito.

,
.

Sinisiyasat namin ang pag-uugali ng function sa infinity at hinahanap ang pahalang at pahilig na mga asymptote:

kasi
, pagkatapos ay walang mga pahalang na asymptotes.

,

Kaya, mayroong isang natatanging pahilig na asymptote

Sinusuri namin ang function para sa monotonicity at hanapin ang extrema:

.

Mula sa
dapat
, saan
,
.

Sa pagitan

, samakatuwid, ang function ay tumataas sa pagitan na ito; sa

, ibig sabihin, bumababa ang function. Samakatuwid, ang punto
ay ang pinakamataas na punto:
. Sa pagitan

, samakatuwid, ang function ay bumababa sa pagitan na ito; sa

, ibig sabihin, tumataas ang function. Sa punto
mayroon kaming minimum:
.

Sinusuri namin ang graph ng function para sa direksyon ng convexity at tinutukoy ang mga inflection point. Para dito nahanap namin

Malinaw, sa pagitan

, samakatuwid, sa pagitan na ito ang kurba ay matambok pataas; sa pagitan

, ibig sabihin, sa pagitan na ito, ang curve ay matambok pababa. Mula noong
function ay hindi tinukoy, pagkatapos ay walang inflection point.

Ang graph ng function ay ipinapakita sa Fig. 5.

Larawan 5 - Ilustrasyon halimbawa 7.3.

Algorithm para sa paglutas ng problema ng pag-plot ng isang function graph.

1. Hanapin ang domain ng function.

2. Hanapin ang derivative ng function.

3. Maghanap ng mga nakatigil na puntos.

4. Tukuyin ang tanda ng derivative sa mga nakuhang pagitan.

5. Tukuyin ang mga pagitan ng monotonicity.

6. tukuyin ang mga punto ng extrema at hanapin ang halaga ng function sa mga puntong ito.

7. Gumawa ng mesa.

8. Maghanap ng mga karagdagang puntos.

9. I-graph ang function.

Halimbawa. Galugarin ang isang function gamit ang isang derivative at i-plot ang graph nito.

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , pagkatapos ay tumataas ang function;

Pagkatapos ang function ay bumababa;

Tumataas ang function na iyon;

6. - pinakamataas na punto, dahil derivative binago ang sign mula + hanggang - ;

Ang pinakamababang punto, dahil Binago ng derivative ang sign mula - hanggang +.

X
	+		-		+

8. Mga karagdagang puntos:

9. Pagbuo ng isang graph.

2.3 . Mga variant ng control works.

Pagsusuri Blg. 1 sa paksang "Derivative" B-1

a ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

b) ;

sa) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x cosx,

a) f(x)= 5 3x-4 ;

b) f(x) = sin(4x-7);

d) f (x) \u003d ln (x 3 + 5x).

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d 4 - x 2 sa punto x 0 \u003d -3.

Sa puntong may abscissa x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x sa puntong may abscissa x 0 \u003d -2.

6. Ang equation ng body motion ay may anyo na s(t) = 2.5t 2 + 1.5t. Hanapin ang bilis ng katawan 4 na segundo pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw.

7.

Examination No. 1 sa paksang "Derivative" B-2

a ) f(x)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

b) ;

sa) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f (x) \u003d 4 2 x -1;

b) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d - x 4 + x 3 sa punto x 0 \u003d - 1.

4. Sa anong punto ang tangent sa graph ng function

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 parallel sa x-axis?

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 sa puntong may abscissa x 0 \u003d 2.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 2.5t 2 -10t + 11. Sa anong punto ng oras magiging 20 ang bilis ng katawan? (ang coordinate ay sinusukat sa metro, oras - sa mga segundo).

7. I-explore ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph:

Pagsusuri Blg. 1 sa paksang "Derivative" B-3

1. Hanapin ang halaga ng derivative sa puntong x 0

a ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

b) ;

sa) f(x)

G ) f(x)=3x sinx,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f (x) \u003d 2 5 x +3;

b) f(x) = сos(0.5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d 2x 2 + x sa punto x 0 \u003d -2.

4. Sa anong punto ang tangent sa graph ng function f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 parallel sa x-axis?

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 sa puntong may abscissa x 0 \u003d -1.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 3t 2 + t + 4. Sa anong punto ng oras magiging 7 ang bilis ng katawan? (ang coordinate ay nasa metro, ang oras ay nasa segundo)

Examination No. 1 sa paksang "Derivative" B-4

1. Hanapin ang halaga ng derivative sa puntong x 0

a ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

b) ;

sa) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f(x)= 3 4 x- 1 ;

b) f(x) = 2sin (2.5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d 0.5x 2 + 1 sa punto x 0 \u003d 3.

4. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function sa puntong may abscissa x 0 = 1.

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f(x) = x 2 +2x+1 sa c

abscissa x 0 = - 2.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 4t + t 2 - . Hanapin ang bilis nito sa oras t=2 (ang coordinate ay sinusukat sa metro, ang oras ay nasa segundo.)

7. I-explore ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph:

Pagsusuri Blg. 1 sa paksang "Derivative" B-5

1. Hanapin ang halaga ng derivative sa puntong x 0

a ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

b) ;

sa) f(x)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f(x)= 2 3x-4 ;

b) f (x) \u003d kasalanan (3x 2 - 2);

d) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 sa punto x 0 \u003d -1.

4. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d sa puntong may abscissa x 0 \u003d - 1.

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 sa puntong may abscissa x 0 \u003d - 2.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 3t 3 +2t+1. Hanapin ang bilis nito sa oras t = 2 (ang coordinate ay nasa metro, ang oras ay nasa segundo.)

7. I-explore ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph:

Examination No. 1 sa paksang "Derivative" B-6

1. Hanapin ang halaga ng derivative sa puntong x 0

a ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

b) ;

sa) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sin5x,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

b) f(x) = сos(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 sa puntong x 0 \u003d 2.

4. Sa anong punto ang tangent sa graph ng function f (x) \u003d x 3 -3x + 1 parallel sa x-axis?

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 sa puntong may abscissa x 0 \u003d -1.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 3t 2 -2t+4. Sa anong punto ng oras magiging 4 ang tulin ng katawan? (ang coordinate ay nasa metro, ang oras ay nasa segundo)

7. I-explore ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph:

Pagsusulit B-7 sa paksang "Derivative" B-7

1. Hanapin ang halaga ng derivative sa puntong x 0

a ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

b) ;

sa) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f(x)= 3 4 x + 2 ;

b) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d 0.5x 2 -1 sa punto x 0 \u003d - 3.

4. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function sa puntong may abscissa x 0 = -1.

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 sa puntong may abscissa x 0 \u003d - 2.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 4t - t 2 + . Hanapin ang bilis nito sa oras t = 2 (ang coordinate ay nasa metro, ang oras ay nasa segundo.)

7. I-explore ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph:

Examination No. 1 sa paksang "Derivative" B-8

1. Hanapin ang halaga ng derivative sa puntong x 0

a ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

b) ;

sa) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Hanapin ang derivative ng function:

a) f (x) \u003d 5 2 x +3,

b) f(x) = cos(5x 2 +1);

d) f(x) = +5x.

3. Hanapin ang slope ng tangent sa graph ng function f (x) \u003d x 4 -x 2 sa punto x 0 \u003d 1.

4. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d sa puntong may abscissa x 0 \u003d 2.

5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x sa puntong may abscissa x 0 \u003d 2.

6. Ang punto ay gumagalaw ayon sa rectilinear law x(t) = 2.5t 2 - 10t +6. Hanapin ang bilis ng katawan sa oras t = 4 (ang coordinate ay sinusukat sa metro, ang oras ay nasa segundo).

7. I-explore ang function gamit ang derivative at bumuo ng graph:

Impormasyon ng may-akda

Osiptsova Galina Petrovna

Lugar ng trabaho, posisyon:

MBOU "Secondary school No. 12" ng lungsod ng Vyborg, guro sa matematika.

Rehiyon ng Leningrad

Mga katangian ng aralin (mga klase)

Antas ng edukasyon:

Secondary (kumpleto) pangkalahatang edukasyon

Ang target na madla:

Guro (guro)

(mga) klase:

(mga) item:

Algebra

(mga) item:

Math

Layunin ng aralin:

Upang mabuo ang kakayahang mag-aplay ng derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting.

Bumuo ng lohikal na pag-iisip, ang kakayahang mag-analisa, ang kakayahang magdulot ng problema, lutasin ito.

Linangin ang pagnanais na ipahayag ang iyong opinyon.

Uri ng aralin:

Aralin ng pag-aaral at pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman

Mga mag-aaral sa klase:

Mga ginamit na aklat-aralin at mga tutorial:

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin

Ginamit na metodolohikal na panitikan:

M.K. Potapov, A.V. Shevkin "Algebra at ang simula ng pagsusuri sa matematika, 10". Ang libro para sa guro. M: "Enlightenment" 2010.

Mga gamit na gamit:

Computer, document camera, table na may function research algorithm, task card.

Maikling Paglalarawan:

1. System-activity approach sa pagbuo ng isang algebra lesson at nagsimulang mag-analisa sa ika-11 baitang.

Algebra lesson at sinimulan ang pagsusuri sa ika-11 baitang

(UMC: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

Paksa ng aralin: "Paglalapat ng derivative sa pagbuo ng mga graph ng mga function"

Ang mga pangunahing layunin ng aralin:

upang mabuo ang kakayahang ilapat ang derivative sa pag-aaral ng mga function at plotting;

bumuo ng kakayahang magpose ng isang problema, malutas ito, lohikal na pag-iisip, ang kakayahang mag-analisa;

pagyamanin ang pagnanais na ipahayag ang kanilang opinyon.

Kagamitan at handout: computer, document camera, table na may function research algorithm, task card.

Sa panahon ng mga klase

Pagganyak ng aktibidad na pang-edukasyon.

Hello guys.

Ano ang natutunan mo sa mga nakaraang aralin? (paano gamitin ang derivative upang mahanap ang mga kritikal na punto, mga pagitan ng pagtaas, pagbaba ng isang function, ang extrema nito, ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga).

Sa araling ito, patuloy nating tutuklasin ang mga function gamit ang derivative.

Pag-update ng kaalaman.

Sa screen makikita mo ang isang graph ng function y=f(x):

Anong mga katangian ng isang function ang maaaring matukoy mula sa isang graph? Pangalanan sila.

Sagot: 1) D(f) = R;

2) ang pag-andar ay tuloy-tuloy

3) Tumataas ang function sa segment [-2; 0.5] at sa pagitan at sa , at, samakatuwid, f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

maximum na mga punto ng function: x pinakamababang puntos : x=-2 x=3;

4) ang pinakamalaking halaga ng function ay hindi umiiral, ang pinakamaliit ay -2 sa = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Paano makahanap ng mga extremum point ng isang function? (Kung ang derivative, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto, ay nagbabago ng sign mula sa "+" hanggang sa "-", kung gayon ang puntong ito ay isang maximum na punto, kung ang derivative, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto, ay nagbabago ng sign mula sa

Ang "-" hanggang "+", kung gayon ang puntong ito ay isang minimum na punto, kung ang derivative ay hindi nagbabago ng tanda kapag dumadaan sa isang kritikal na punto, kung gayon ang kritikal na puntong ito ay hindi isang extremum point.

− Bumuo ng isang algorithm para sa paghahanap ng mga agwat ng pagtaas, pagbaba at sukdulan ng function sa = f(x) na ibinigay nang analitikal.

Ang mga mag-aaral ay bumalangkas, ang mga hakbang ng algorithm ay sunud-sunod na binuksan sa screen.

Algorithm.

1. Hanapin ang domain ng function.

2. Hanapin ang derivative ng function.

3. Maghanap ng mga kritikal na punto.

4. Markahan ang domain ng kahulugan at kritikal na mga punto sa totoong linya. Gamit ang pangkalahatang paraan ng mga agwat, tukuyin ang mga palatandaan ng hinalaw sa mga nakuhang pagitan.

5. Gamit ang sapat na mga senyales, hanapin ang mga pagitan ng pagtaas, pagbaba at labis na paggana.

Ngayon suriin ang function na f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Nagsusulat ang guro sa pisara habang nagdidikta ang mga mag-aaral. Ang mga mag-aaral ay gumagawa sa mga kuwaderno.

1. D(f) = R, f(x) ay tuloy-tuloy sa D(f).

   Ang function ay hindi kahit na o kakaiba, hindi pana-panahon.

Mga intersection point

na may x-axis: (0; 0) at (-3; 0), dahil

f(x) = 0, ibig sabihin, ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x(x² + 6x + 9) = 0

⅓x (x + 3)² = 0

na may y-axis: (0; 0).

Derivative ng function: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

kritikal na puntos: f "(x) \u003d 0 sa x \u003d -3, x \u003d -1.

Minarkahan namin ang mga kritikal na punto sa linya ng numero at tinutukoy ang mga palatandaan ng derivative sa mga nagresultang agwat:

f "(x) > 0 sa (-∞; -3) at sa (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

f max= 0 sa x = -3, f min= -4 sa x = -1

4) Ang function ay walang maximum at minimum na halaga.

Ano ang inulit mo?

Ano sa palagay mo ang susunod na gawain na iaalok ko sa iyo?

Kaya nagawa mo na ang iyong feature research. At ngayon kailangan mo, gamit ang mga resulta ng pag-aaral, upang i-plot ang function f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x.

Mahihirapan ka ba?

3. Pagkilala sa mga kahirapan, problema

Inaanyayahan ng guro ang ilang mag-aaral na ipahayag ang mga paghihirap.

Anong gawain ang kailangan mong tapusin? (Gamit ang data ng pananaliksik, bumuo ng isang graph ng function).

Bakit ka nahihirapan? (Hindi namin alam kung paano mag-plot ng mga graph ayon sa pag-aaral ng function).

Ano ang ginagamit mo para sa pagsasaliksik ng tampok? (hinalaw).

4. Pagbuo ng proyekto para makaahon sa kahirapan.

Sabihin ang layunin ng iyong aktibidad. (Alamin kung paano gumuhit ng isang graph gamit ang pag-aaral ng mga function sa tulong ng isang derivative).

Bumuo ng paksa ng aralin. (Ginagamit ang derivative upang mag-plot ng mga function graph).

Ang paksa ng aralin ay ipinapakita sa pisara.

Kaya nagkakaproblema ka sa pag-plot ng function graph. Ano ang ginamit mo sa pag-plot ng mga function graph dati? (mga talahanayan na may ilang puntos na kabilang sa graph).

Ngunit kadalasan ang mga punto ay hindi nagbibigay ng layuning larawan ng graph. At ngayon, alam ang function research algorithm, anong data ang ilalagay mo sa talahanayan? (kailangan mong ipasok ang mga resulta ng pag-aaral ng function sa talahanayan, pagkatapos ay gumuhit ng isang graph mula sa talahanayan).

5. Pagpapatupad ng itinayong proyekto

Isang bakanteng mesa ang bubukas sa pisara:

Sinuri mo ang function na f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Ilista ang mga hakbang na ginawa mo upang galugarin ang function. (Pumupuno ang talahanayan habang ikaw ay pumunta)

Ang mga resulta na nakuha sa talahanayan ay inililipat sa coordinate plane.

Ano pa ang maaaring gawin upang maging mas tumpak ang graph? (Maaari kang makahanap ng ilang karagdagang mga punto na kabilang sa graph ng function).

Lumilitaw sa pisara ang isang graph ng function na f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Nagplano ka ng isang function.

Paano mo nagawa iyon? (Nakagawa kami ng graphing algorithm). (Muli, pag-usapan natin ang mga yugto ng pag-aaral ng function at pagbuo ng graph nito).

Algorithm para sa pag-plot ng isang graph gamit ang isang derivative..

1. D (f), pagpapatuloy ng f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) ay hindi umiiral;

karagdagang mga puntos;

6. Pangunahing pagsasama-sama ng nakuhang kaalaman.

Ano ang kailangang gawin ngayon? (kailangan mong matutunan kung paano gamitin ang algorithm upang bumuo ng mga graph).

I-plot ngayon ang graph ng function. f(x) = X + .

Ang isang estudyante ay nagtatrabaho sa pisara, nagkomento sa kanyang mga aksyon, ang iba ay nagtatrabaho sa mga notebook.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) ay tuloy-tuloy sa D (f).
2. Derivative ng function: f "(x) \u003d 1 - 4 / x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Mga kritikal na puntos: \u003d 0 para sa x \u003d 2 at x \u003d -2, walang mga punto kung saan wala ang f "().

5. Mga karagdagang puntos:

6. Pag-andar ng graph:

Subukang iguhit ang graph sa iyong sarili.

May lalabas na graph sa screen para sa pag-verify.

7. Malayang gawain na may pagsusuri sa sarili ayon sa sample

At ngayon tingnan natin kung paano naunawaan ng bawat isa sa inyo kung paano ilapat ang binuong algorithm.

	Pagpipilian 1. I-explore ang isang function at i-plot ang graph nito Opsyon 2. Ayon sa isang bahagyang isinasagawang pag-aaral, bumuo ng isang graph ng function

Kumpletuhin ng mga mag-aaral ang gawain nang mag-isa, pagkatapos makumpleto ang gawain, inihambing ng mga mag-aaral ang kanilang gawain sa isang detalyadong sample:

Pagpipilian 1 .

1) D(f)=R, tuloy-tuloy ang function.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D(f | ) = R

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

Opsyon 2.

1) D(f)=R, tuloy-tuloy ang function.

2) y¢ = 6 x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D(f | ) = R

X 1 = − 1; X 2 = 1

Kaninong gawain ang nagdulot ng kahirapan?

− Sa anong hakbang ng algorithm?

- Ano ang sanhi ng problema?

- Sino ang gumawa ng gawain nang tama?

8. Pagsasama sa sistema ng kaalaman at pag-uulit.

Tingnan natin ngayon kung aling mga gawain ng pagsusulit ang maaari mong ilapat ang kaalaman na nakuha.

Lutasin ang mga problema:

1. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng function.

2. Sa anong mga halaga ng parameter R equation = p may 2 ugat, 1 ugat, walang ugat?

1) Sagot: (− ¥; − 4] U )