Ang rational expression ay isang algebraic expression na hindi naglalaman ng mga radical. Sa madaling salita, ito ay isa o higit pang algebraic na dami (mga numero at titik) na magkakaugnay ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami ... ... Wikipedia

Isang algebraic expression na hindi naglalaman ng mga radical at kasama lamang ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Halimbawa, a2 + b, x/(y z2) … Malaking Encyclopedic Dictionary

Isang algebraic expression na hindi naglalaman ng mga radical at kasama lamang ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Halimbawa, a2 + b, x/(y z2). * * * RATIONAL EXPRESSION RATIONAL EXPRESSION, isang algebraic expression na hindi naglalaman ng ... ... encyclopedic Dictionary

Isang algebraic expression na hindi naglalaman ng mga radical, gaya ng a2 + b, x/(y z3). Kung kasama sa R. siglo. ang mga titik ay itinuturing na mga variable, pagkatapos ay R. in. tumutukoy sa isang rational function (Tingnan ang Rational function) ng mga variable na ito ... Great Soviet Encyclopedia

Isang algebraic expression na hindi naglalaman ng mga radical at kasama lamang ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Halimbawa, a2 + b, x/(y z2) ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

PAGPAPAHAYAG- ang pangunahing konsepto ng matematika, na nangangahulugang isang talaan ng mga titik at numero na konektado sa pamamagitan ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika, habang ang mga bracket, mga pagtatalaga ng function, atbp. ay maaaring gamitin; kadalasan B ang formula million na bahagi nito. Ibahin sa (1) ... ... Mahusay na Polytechnic Encyclopedia

RASYONAL- (Rational; Rational) isang terminong ginamit upang ilarawan ang mga kaisipan, damdamin at kilos na naaayon sa isip; isang saloobin batay sa mga layunin na halaga na nakuha bilang isang resulta ng praktikal na karanasan. "Ang mga layunin na halaga ay itinatag sa karanasan ... ... Analytical Psychology Dictionary

RASYONAL NA KAALAMAN- isang subjective na imahe ng layunin ng mundo, na nakuha sa tulong ng pag-iisip. Ang pag-iisip ay isang aktibong proseso ng pangkalahatan at hindi direktang pagmuni-muni ng katotohanan, na tinitiyak ang pagtuklas ng mga regular na koneksyon nito batay sa pandama na data at kanilang pagpapahayag ... Pilosopiya ng Agham at Teknolohiya: Thematic Dictionary

EQUATION, RATIONAL- Isang lohikal o matematikal na pagpapahayag batay sa (nakapangangatwiran) mga pagpapalagay tungkol sa mga proseso. Ang ganitong mga equation ay naiiba sa empirical equation na ang kanilang mga parameter ay nakuha bilang isang resulta ng deduktibong konklusyon mula sa teoretikal ... ... Explanatory Dictionary of Psychology

RASYONAL, makatuwiran, makatuwiran; makatwiran, makatuwiran, makatuwiran. 1. adj. sa rasyonalismo (aklat). makatwirang pilosopiya. 2. Medyo makatwiran, makatwiran, kapaki-pakinabang. Gumawa siya ng isang makatwirang mungkahi. Makatwiran...... Paliwanag na Diksyunaryo ng Ushakov

1) R. algebraic equation f(x)=0 ng degree p algebraic equation g(y)=0 na may mga coefficient na makatwiran na nakadepende sa mga coefficient f (x), kung kaya't ang kaalaman sa mga ugat ng equation na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang mga ugat ng equation na ito...... Mathematical Encyclopedia

Mula sa kursong algebra ng kurikulum ng paaralan, bumaling tayo sa mga detalye. Sa artikulong ito, pag-aaralan natin nang detalyado ang isang espesyal na uri ng mga makatwirang ekspresyon − rational fractions, at suriin din kung anong katangian ang magkapareho pagbabago ng rational fractions mangyari.

Napansin namin kaagad na ang mga rational fraction sa kahulugan kung saan namin tinukoy ang mga ito sa ibaba ay tinatawag na algebraic fraction sa ilang algebra textbook. Ibig sabihin, sa artikulong ito mauunawaan natin ang parehong bagay sa ilalim ng rational at algebraic fractions.

Gaya ng dati, nagsisimula tayo sa isang kahulugan at mga halimbawa. Susunod, pag-usapan natin ang pagdadala ng rational fraction sa isang bagong denominator at tungkol sa pagbabago ng mga palatandaan ng mga miyembro ng fraction. Pagkatapos nito, susuriin natin kung paano ginagawa ang pagbabawas ng mga fraction. Sa wakas, pag-isipan natin ang representasyon ng rational fraction bilang kabuuan ng ilang fraction. Ang lahat ng impormasyon ay bibigyan ng mga halimbawa na may mga detalyadong paglalarawan ng mga solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng mga rational fraction

Ang mga rational fraction ay pinag-aaralan sa mga aralin sa algebra sa ika-8 baitang. Gagamitin natin ang kahulugan ng rational fraction, na ibinigay sa algebra textbook para sa grade 8 ni Yu. N. Makarychev at iba pa.

Ang kahulugan na ito ay hindi tumutukoy kung ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang rational fraction ay dapat na polynomial ng karaniwang anyo o hindi. Samakatuwid, ipagpalagay natin na ang mga rational fraction ay maaaring maglaman ng parehong standard at non-standard polynomial.

Narito ang ilan mga halimbawa ng rational fraction. Kaya , x/8 at - rational fractions. At mga fraction at hindi magkasya sa tunog na kahulugan ng isang rational fraction, dahil sa una sa kanila ang numerator ay hindi isang polynomial, at sa pangalawa ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng mga expression na hindi polynomial.

Pag-convert ng numerator at denominator ng isang rational fraction

Ang numerator at denominator ng anumang fraction ay self-sufficient mathematical expressions, sa kaso ng rational fractions sila ay polynomials, sa isang partikular na kaso sila ay monomials at numero. Samakatuwid, sa numerator at denominator ng isang rational fraction, tulad ng anumang expression, ang magkaparehong pagbabago ay maaaring isagawa. Sa madaling salita, ang expression sa numerator ng isang rational fraction ay maaaring mapalitan ng isang expression na kapareho nito, tulad ng denominator.

Sa numerator at denominator ng isang rational fraction, maaaring gawin ang magkatulad na pagbabago. Halimbawa, sa numerator, maaari mong pangkatin at bawasan ang mga katulad na termino, at sa denominator, ang produkto ng ilang numero ay maaaring mapalitan ng halaga nito. At dahil ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay polynomials, posible na magsagawa ng mga pagbabagong katangian ng polynomials sa kanila, halimbawa, pagbawas sa isang karaniwang anyo o representasyon bilang isang produkto.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang Rational Fraction upang ang numerator ay isang polynomial ng karaniwang anyo, at ang denominator ay ang produkto ng polynomials.

Solusyon.

Ang pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator ay pangunahing ginagamit kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga rational fraction.

Pagbabago ng mga palatandaan sa harap ng isang fraction, gayundin sa numerator at denominator nito

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay maaaring gamitin upang baguhin ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng fraction. Sa katunayan, ang pagpaparami ng numerator at denominator ng isang rational fraction sa -1 ay katumbas ng pagbabago ng kanilang mga palatandaan, at ang resulta ay isang fraction na kaparehong katumbas ng ibinigay. Ang ganitong pagbabago ay kailangang gamitin nang madalas kapag nagtatrabaho sa mga rational fraction.

Kaya, kung sabay-sabay mong babaguhin ang mga palatandaan ng numerator at denominator ng isang fraction, makakakuha ka ng fraction na katumbas ng orihinal. Ang pagkakapantay-pantay ay tumutugma sa pahayag na ito.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang rational fraction ay maaring palitan ng magkaparehong pantay na fraction na may mga reverse sign ng numerator at denominator ng form.

Sa mga praksyon, ang isa pang magkatulad na pagbabagong-anyo ay maaaring isagawa, kung saan ang tanda ay binago alinman sa numerator o sa denominator. Pag-usapan natin ang naaangkop na tuntunin. Kung papalitan mo ang sign ng isang fraction kasama ang sign ng numerator o denominator, makakakuha ka ng fraction na kapareho ng orihinal. Ang nakasulat na pahayag ay tumutugma sa mga pagkakapantay-pantay at .

Hindi mahirap patunayan ang mga pagkakapantay-pantay na ito. Ang patunay ay batay sa mga katangian ng pagpaparami ng mga numero. Patunayan natin ang una sa kanila: . Sa tulong ng mga katulad na pagbabago, napatunayan din ang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring palitan ng isang expression o .

Upang tapusin ang subsection na ito, nagpapakita kami ng dalawa pang kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay at . Iyon ay, kung babaguhin mo ang tanda ng numerator lamang o ang denominator lamang, ang fraction ay babaguhin ang tanda nito. Halimbawa, at .

Ang itinuturing na mga pagbabagong-anyo, na nagpapahintulot sa pagbabago ng tanda ng mga termino ng isang fraction, ay kadalasang ginagamit kapag binabago ang mga fractionally rational na expression.

Pagbawas ng mga rational fraction

Ang sumusunod na pagbabagong-anyo ng mga rational fraction, na tinatawag na pagbabawas ng mga rational fraction, ay batay sa parehong pangunahing katangian ng isang fraction. Ang pagbabagong ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay , kung saan ang a , b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero.

Mula sa pagkakapantay-pantay sa itaas, nagiging malinaw na ang pagbawas ng isang rational fraction ay nagpapahiwatig ng pag-alis ng karaniwang salik sa numerator at denominator nito.

Halimbawa.

Bawasan ang rational fraction.

Solusyon.

Ang karaniwang kadahilanan 2 ay makikita kaagad, bawasan natin ito (kapag nagsusulat, ito ay maginhawa upang i-cross out ang mga karaniwang kadahilanan kung saan ang pagbabawas ay ginawa). Meron kami . Dahil x 2 \u003d x x at y 7 \u003d y 3 y 4 (tingnan kung kinakailangan), malinaw na ang x ay isang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng nagresultang bahagi, tulad ng y 3 . Bawasan natin sa pamamagitan ng mga salik na ito: . Kinukumpleto nito ang pagbabawas.

Sa itaas, isinagawa namin ang pagbabawas ng isang rational fraction nang sunud-sunod. At posible na isagawa ang pagbawas sa isang hakbang, agad na bawasan ang fraction ng 2·x·y 3 . Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: .

Sagot:

.

Kapag binabawasan ang mga rational fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o matiyak na hindi ito umiiral, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang rational fraction. Kung walang karaniwang kadahilanan, kung gayon ang orihinal na rational fraction ay hindi kailangang bawasan, kung hindi, ang pagbawas ay isinasagawa.

Sa proseso ng pagbabawas ng mga rational fraction, maaaring lumitaw ang iba't ibang mga nuances. Ang mga pangunahing subtlety na may mga halimbawa at mga detalye ay tinalakay sa artikulong pagbabawas ng mga algebraic fraction.

Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa pagbawas ng mga rational fraction, napapansin namin na ang pagbabagong ito ay magkapareho, at ang pangunahing kahirapan sa pagpapatupad nito ay nakasalalay sa factorization ng polynomials sa numerator at denominator.

Representasyon ng isang rational fraction bilang kabuuan ng mga fraction

Medyo tiyak, ngunit sa ilang mga kaso lubhang kapaki-pakinabang, ay ang pagbabago ng isang rational fraction, na binubuo sa representasyon nito bilang ang kabuuan ng ilang mga fraction, o ang kabuuan ng isang integer expression at isang fraction.

Ang rational fraction, sa numerator kung saan mayroong polynomial, na siyang kabuuan ng ilang monomial, ay maaaring palaging isulat bilang kabuuan ng mga fraction na may parehong denominator, sa mga numerator na kung saan ay ang kaukulang monomials. Halimbawa, . Ang representasyong ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng tuntunin ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator.

Sa pangkalahatan, ang anumang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction sa maraming iba't ibang paraan. Halimbawa, ang fraction a/b ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang fraction - isang arbitrary fraction c/d at isang fraction na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction a/b at c/d. Ang pahayag na ito ay totoo, dahil ang pagkakapantay-pantay . Halimbawa, ang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction sa iba't ibang paraan: Kinakatawan namin ang orihinal na fraction bilang kabuuan ng isang integer expression at isang fraction. Pagkatapos hatiin ang numerator sa denominator sa pamamagitan ng isang hanay, makukuha natin ang pagkakapantay-pantay . Ang halaga ng expression n 3 +4 para sa anumang integer n ay isang integer. At ang halaga ng isang fraction ay isang integer kung at kung ang denominator nito ay 1, −1, 3, o −3. Ang mga halagang ito ay tumutugma sa mga halaga n=3 , n=1 , n=5 at n=−1 ayon sa pagkakabanggit.

Sagot:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - ika-13 ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Ang integer expression ay isang mathematical expression na binubuo ng mga numero at literal na variable gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, at pagpaparami. Kasama rin sa mga integer ang mga expression na kinabibilangan ng paghahati sa ilang numero maliban sa zero.

Mga Halimbawa ng Integer Expression

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga integer na expression:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Fractional Expressions

Kung ang expression ay naglalaman ng isang dibisyon sa pamamagitan ng isang variable o ng isa pang expression na naglalaman ng isang variable, kung gayon ang naturang expression ay hindi isang integer. Ang ganitong expression ay tinatawag na fractional expression. Magbigay tayo ng kumpletong kahulugan ng fractional expression.

Ang fractional expression ay isang mathematical expression na, bilang karagdagan sa mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at multiplikasyon na isinagawa gamit ang mga numero at literal na mga variable, pati na rin ang paghahati sa isang numero na hindi katumbas ng zero, ay naglalaman din ng paghahati sa mga expression na may literal na mga variable.

Mga halimbawa ng fractional expression:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Ang mga fractional at integer na expression ay bumubuo ng dalawang malalaking set ng mathematical expression. Kung pinagsama ang mga set na ito, makakakuha tayo ng bagong set, na tinatawag na rational expressions. Ibig sabihin, ang mga rational expression ay lahat ng integer at fractional na expression.

Alam namin na ang mga integer na expression ay may katuturan para sa anumang mga halaga ng mga variable na kasama dito. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na upang mahanap ang halaga ng isang integer na expression, kinakailangan na magsagawa ng mga aksyon na laging posible: karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, paghahati sa isang numero maliban sa zero.

Ang mga fractional na expression, hindi tulad ng mga integer, ay maaaring hindi magkaroon ng kahulugan. Dahil mayroong operasyon ng paghahati sa pamamagitan ng isang variable o isang expression na naglalaman ng mga variable, at ang expression na ito ay maaaring maging zero, ngunit hindi mo maaaring hatiin sa zero. Ang mga variable na halaga kung saan magkakaroon ng kahulugan ang fractional expression ay tinatawag na valid variable values.

rational fraction

Ang isa sa mga espesyal na kaso ng rational expression ay isang fraction, ang numerator at denominator nito ay mga polynomial. Para sa naturang fraction sa matematika, mayroon ding pangalan - isang rational fraction.

Ang rational fraction ay magkakaroon ng kahulugan kung ang denominator nito ay hindi katumbas ng zero. Iyon ay, ang lahat ng mga halaga ng mga variable kung saan ang denominator ng fraction ay naiiba mula sa zero ay magiging wasto.

Mahalagang tala!
1. Kung sa halip na mga formula ang makikita mo abracadabra, i-clear ang cache. Kung paano ito gawin sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago mo simulan ang pagbabasa ng artikulo, bigyang pansin ang aming navigator para sa pinakakapaki-pakinabang na mapagkukunan para sa

Madalas nating marinig ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Kadalasan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain.

Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong magawa harapin ang mga fraction at i-factorize ang mga polynomial.

Samakatuwid, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Tara na! (Let's go!)

Mga Pangunahing Operasyon sa Pagpapasimple ng Expression

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero.

Katulad ay mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik.

Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Magdala ng katulad- nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay.

Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Kung gayon ano ang ekspresyon?

Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay.

Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa.

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients.

Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Ito ay kadalasan ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression.

Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ay kailangan ang resultang expression factorize, ibig sabihin, kumakatawan bilang isang produkto.

Lalo na ito mahalaga sa mga fraction: dahil para mabawasan ang fraction, ang numerator at denominator ay dapat ipahayag bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo lang dapat tandaan kung ano ang iyong natutunan.

Upang gawin ito, lutasin ang ilang mga halimbawa (kailangan mong i-factorize)

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano pa ba ang mas maganda kaysa i-cross out ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Iyan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang mabawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Mga halimbawa:

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang karaniwang pagkakamali sa pagdadaglat. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon gupitin- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang mga pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

Gagawin ito ng "pinakamatalino":

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang kadahilanan ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay salik:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing".

Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan).

Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi naka-factor (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito sa iyong sarili, ilang mga halimbawa:

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator.

Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominador at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominador ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

Mga sagot:

b) Ang mga denominador ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng isang karaniwang denominador na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idagdag sa mga ito ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) multiplier;

isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementary factor".

Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

Magaling! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang katotohanan ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, tapos na ang pinakamahirap na bahagi. At nasa unahan natin ang pinakasimple, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang bagay na dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang expression na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Tanging sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idinagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

OK tapos na ang lahat Ngayon. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Solusyon:

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan.

Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas.

Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction.

Bibilangin ko sa eskematiko ang mga hakbang:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominador, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga sagot:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Nalaman mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

PUNUAN ANG IYONG KAMAY, SOLUSYON NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.

At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - Bumili ng isang aklat-aralin - 499 rubles

Oo, mayroon kaming 99 na mga naturang artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!

Sasaklawin ng araling ito ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, gayundin ang mga halimbawa ng pagbabago ng mga makatuwirang ekspresyon. Binubuod ng paksang ito ang mga paksang pinag-aralan natin sa ngayon. Kasama sa mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang ekspresyon ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagtaas sa kapangyarihan ng mga algebraic fraction, pagbabawas, factorization, atbp. Bilang bahagi ng aralin, titingnan natin kung ano ang isang makatuwirang pagpapahayag, at susuriin din ang mga halimbawa para sa kanilang pagbabago .

Paksa:Mga algebraic fraction. Mga operasyon ng aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at kanilang mga pagbabago

Kahulugan

makatwirang pagpapahayag ay isang expression na binubuo ng mga numero, variable, arithmetic operations at exponentiation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang nakapangangatwiran na pagpapahayag:

Mga espesyal na kaso ng mga makatwirang ekspresyon:

1st degree: ;

2. monomial: ;

3. fraction: .

Rational Expression Transformation ay isang pagpapasimple ng isang makatwirang pagpapahayag. Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag nagko-convert ng mga makatwirang expression: una, may mga aksyon sa mga bracket, pagkatapos ay multiplikasyon (dibisyon), at pagkatapos ay pagdaragdag (pagbabawas) na mga operasyon.

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa 1

Solusyon:

Lutasin natin ang halimbawang ito nang hakbang-hakbang. Ang aksyon sa panaklong ay unang ginanap.

Sagot:

Halimbawa 2

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 3

Solusyon:

Sagot: .

Tandaan: marahil, sa paningin ng halimbawang ito, isang ideya ang naisip mo: bawasan ang fraction bago bawasan sa isang karaniwang denominator. Sa katunayan, ito ay ganap na tama: una, ito ay kanais-nais na pasimplehin ang expression hangga't maaari, at pagkatapos ay baguhin ito. Subukan nating lutasin ang parehong halimbawa sa pangalawang paraan.

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging ganap na magkatulad, ngunit ang solusyon ay naging medyo mas simple.

Sa araling ito, tiningnan natin mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, pati na rin ang ilang partikular na halimbawa ng mga pagbabagong ito.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.