Mga partial derivatives ng mga function ng dalawang variable.
Konsepto at mga halimbawa ng solusyon

Sa araling ito, ipagpapatuloy namin ang aming kakilala sa pag-andar ng dalawang variable at isaalang-alang, marahil, ang pinakakaraniwang pampakay na gawain - paghahanap mga partial derivatives ng una at pangalawang order, pati na rin ang kabuuang differential ng function. Ang mga part-time na estudyante, bilang panuntunan, ay nahaharap sa mga partial derivatives sa 1st year sa 2nd semester. Bukod dito, ayon sa aking mga obserbasyon, ang gawain ng paghahanap ng mga partial derivatives ay halos palaging matatagpuan sa pagsusulit.

Upang mabisang mapag-aralan ang sumusunod na materyal, ikaw kailangan magagawang higit pa o hindi gaanong kumpiyansa na mahanap ang "karaniwang" derivatives ng isang function ng isang variable. Matututuhan mo kung paano hawakan nang tama ang mga derivative sa mga aralin Paano mahahanap ang derivative? at Derivative ng isang compound function. Kailangan din namin ng isang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na mga pag-andar at mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan, ito ay pinaka-maginhawa kung ito ay nasa kamay sa naka-print na anyo. Makakahanap ka ng reference na materyal sa page Mga formula at talahanayan ng matematika.

Mabilis nating ulitin ang konsepto ng isang function ng dalawang variable, susubukan kong limitahan ang aking sarili sa pinakamababa. Ang isang function ng dalawang variable ay karaniwang isinusulat bilang , na ang mga variable ay tinatawag mga independyenteng baryabol o mga argumento.

Halimbawa: - isang function ng dalawang variable.

Minsan ginagamit ang notasyon. Mayroon ding mga gawain kung saan ang liham ang ginagamit sa halip na isang liham.

Mula sa isang geometric na punto ng view, ang isang function ng dalawang variable ay kadalasang isang ibabaw ng tatlong-dimensional na espasyo (eroplano, silindro, bola, paraboloid, hyperboloid, atbp.). Ngunit, sa katunayan, ito ay higit na analytical geometry, at mayroon kaming mathematical analysis sa agenda, na hindi ako pinahintulutan ng aking guro sa unibersidad na isulat ay ang aking "kabayo".

Bumaling tayo sa tanong ng paghahanap ng mga partial derivatives ng una at pangalawang order. Mayroon akong ilang magandang balita para sa inyo na uminom ng ilang tasa ng kape at nasa mood para sa hindi maisip na mahirap na materyal: ang mga partial derivatives ay halos kapareho ng "ordinaryong" derivatives ng isang function ng isang variable.

Para sa mga partial derivatives, ang lahat ng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay may bisa. Mayroon lamang ilang maliliit na pagkakaiba na malalaman natin ngayon:

... oo nga pala, para sa paksang ito ginawa ko maliit na pdf book, na magbibigay-daan sa iyong "punan ang iyong kamay" sa loob lamang ng ilang oras. Ngunit, gamit ang site, siyempre, makukuha mo rin ang resulta - marahil ay medyo mabagal:

Halimbawa 1

Maghanap ng mga partial derivatives ng una at pangalawang order ng isang function

Una, nakita namin ang mga bahagyang derivatives ng unang order. Dalawa sila.

Notasyon:
o - partial derivative na may kinalaman sa "x"
o - partial derivative na may kinalaman sa "y"

Magsimula tayo sa . Kapag nahanap natin ang partial derivative na may paggalang sa "x", kung gayon ang variable ay itinuturing na isang pare-pareho (constant na numero).

Mga komento sa mga ginawang aksyon:

(1) Ang unang bagay na ginagawa natin kapag naghahanap ng bahagyang derivative ay ang magtapos lahat function sa panaklong sa ilalim ng gitling may subscript.

Mahalaga ang atensyon! HINDI TALO ang mga subscript sa kurso ng solusyon. Sa kasong ito, kung gumuhit ka ng isang "stroke" sa isang lugar na wala, kung gayon ang guro, hindi bababa sa, ay maaaring ilagay ito sa tabi ng gawain (kaagad na kumagat sa bahagi ng marka para sa kawalan ng pansin).

(2) Gamitin ang mga tuntunin ng pagkakaiba-iba , . Para sa isang simpleng halimbawa tulad ng isang ito, ang parehong mga panuntunan ay maaaring ilapat sa parehong hakbang. Bigyang-pansin ang unang termino: mula noon ay itinuturing na isang pare-pareho, at anumang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative, pagkatapos ay aalisin namin ito sa mga bracket. Iyon ay, sa sitwasyong ito, ito ay hindi mas mahusay kaysa sa isang regular na numero. Ngayon tingnan natin ang ikatlong termino: dito, sa kabaligtaran, walang dapat ilabas. Dahil ito ay isang pare-pareho, ito rin ay isang pare-pareho, at sa kahulugan na ito ay hindi mas mahusay kaysa sa huling termino - ang "pito".

(3) Gumagamit kami ng tabular derivatives at .

(4) Pinasimple namin, o, gaya ng gusto kong sabihin, "pagsamahin" ang sagot.

Ngayon . Kapag nahanap natin ang partial derivative na may paggalang sa "y", pagkatapos ay ang variableitinuturing na isang pare-pareho (pare-parehong numero).

(1) Gumagamit kami ng parehong mga panuntunan sa pagkakaiba-iba , . Sa unang termino ay inaalis natin ang pare-pareho na lampas sa tanda ng derivative, sa pangalawang termino ay walang maaaring alisin dahil ito ay isang pare-pareho na.

(2) Ginagamit namin ang talahanayan ng mga derivatives ng elementary functions. Palitan ng isip sa talahanayan ang lahat ng "X" sa "Y". Iyon ay, ang talahanayang ito ay pantay na wasto para sa (at sa katunayan para sa halos anumang titik). Sa partikular, ganito ang hitsura ng mga formula na ginagamit namin: at .

Ano ang kahulugan ng partial derivatives?

Sa kanilang kaibuturan, kahawig ang mga partial derivative ng 1st order "ordinaryong" derivative:

- ito ay mga function, na nagpapakilala rate ng pagbabago gumagana sa direksyon ng mga axes at ayon sa pagkakabanggit. Kaya, halimbawa, ang pag-andar nagpapakilala sa katarik ng "mga akyat" at "mga dalisdis" ibabaw sa direksyon ng abscissa axis, at ang function ay nagsasabi sa amin tungkol sa "relief" ng parehong ibabaw sa direksyon ng ordinate axis.

! Tandaan : dito ay tumutukoy sa mga direksyon na ay parallel coordinate axes.

Para sa mas mahusay na pag-unawa, isaalang-alang natin ang isang tiyak na punto ng eroplano at kalkulahin ang halaga ng function ("taas") sa loob nito:
- at ngayon isipin na narito ka (SA VERY surface).

Kinakalkula namin ang partial derivative na may paggalang sa "x" sa isang naibigay na punto:

Ang negatibong senyales ng "X" derivative ay nagsasabi sa atin tungkol sa bumababa gumagana sa isang punto sa direksyon ng x-axis. Sa madaling salita, kung gagawa tayo ng small-small (infinitesimal) hakbang patungo sa dulo ng axis (parallel sa axis na ito), pagkatapos ay bumaba sa dalisdis ng ibabaw.

Ngayon nalaman natin ang likas na katangian ng "lupain" sa direksyon ng y-axis:

Ang derivative na may paggalang sa "y" ay positibo, samakatuwid, sa isang punto sa kahabaan ng axis, ang function nadadagdagan. Kung ito ay medyo simple, pagkatapos ay narito kami ay naghihintay para sa isang paakyat na pag-akyat.

Bilang karagdagan, ang bahagyang derivative sa isang punto ay nagpapakilala rate ng pagbabago gumagana sa nauugnay na direksyon. Mas malaki ang resultang halaga modulo- ang mas matarik na ibabaw, at kabaliktaran, mas malapit ito sa zero, mas patag ang ibabaw. Kaya, sa aming halimbawa, ang "slope" sa direksyon ng abscissa axis ay mas matarik kaysa sa "bundok" sa direksyon ng ordinate axis.

Ngunit iyon ay dalawang pribadong landas. Ito ay lubos na malinaw na mula sa punto kung saan tayo ay, (at sa pangkalahatan mula sa anumang punto ng ibinigay na ibabaw) maaari tayong lumipat sa ibang direksyon. Kaya, mayroong interes sa pag-compile ng isang pangkalahatang "navigation chart" na magsasabi sa amin tungkol sa "landscape" ng ibabaw. kung maaari sa bawat punto saklaw ng pagpapaandar na ito sa lahat ng magagamit na paraan. Pag-uusapan ko ito at ang iba pang mga kawili-wiling bagay sa isa sa mga susunod na aralin, ngunit sa ngayon, bumalik tayo sa teknikal na bahagi ng isyu.

Isinasaayos namin ang mga panuntunang inilapat sa elementarya:

1) Kapag nag-iba tayo ng , kung gayon ang variable ay itinuturing na pare-pareho.

2) Kapag ang pagkakaiba ay isinasagawa ayon sa, pagkatapos ay itinuturing na isang pare-pareho.

3) Ang mga patakaran at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na mga function ay wasto at naaangkop para sa anumang variable (o anumang iba pa) na may kinalaman sa kung saan ang pagkita ng kaibhan ay isinasagawa.

Ikalawang hakbang. Nakahanap kami ng mga partial derivatives ng pangalawang order. Apat sila.

Notasyon:
o - ang pangalawang derivative na may kinalaman sa "x"
o - ang pangalawang derivative na may kinalaman sa "y"
o kaya - magkakahalo derivative "x by y"
o kaya - magkakahalo derivative "Y na may X"

Walang mga problema sa pangalawang derivative. Sa simpleng salita, ang pangalawang derivative ay ang derivative ng unang derivative.

Para sa kaginhawahan, muling isusulat ko ang unang-order na mga partial derivative na natagpuan na:

Una naming mahanap ang halo-halong mga derivatives:

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay simple: kinukuha namin ang bahagyang derivative at iniiba ito muli, ngunit sa kasong ito, na sa pamamagitan ng "y".

Katulad nito:

Sa mga praktikal na halimbawa, maaari kang tumuon sa sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Kaya, sa pamamagitan ng pinaghalong mga derivatives ng pangalawang order, napaka-maginhawang suriin kung nahanap namin nang tama ang mga partial derivatives ng unang order.

Natagpuan namin ang pangalawang derivative na may paggalang sa "x".
Walang mga imbensyon, kinukuha namin at ibahin ito sa pamamagitan ng "X" muli:

Katulad nito:

Dapat tandaan na kapag naghahanap ng , kailangan mong ipakita nadagdagan ang atensyon, dahil walang mga mahimalang pagkakapantay-pantay upang subukan ang mga ito.

Ang pangalawang derivatives ay nakakahanap din ng malawak na praktikal na aplikasyon, lalo na, ginagamit ang mga ito sa problema sa paghahanap extrema ng isang function ng dalawang variable. Ngunit ang lahat ay may oras:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang unang pagkakasunud-sunod na mga partial derivatives ng function sa punto . Maghanap ng mga derivatives ng pangalawang order.

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (mga sagot sa katapusan ng aralin). Kung nahihirapan kang makilala ang mga ugat, bumalik sa aralin Paano mahahanap ang derivative? Sa pangkalahatan, sa lalong madaling panahon matututunan mo kung paano makahanap ng mga katulad na derivatives sa mabilisang.

Pinupuno namin ang aming mga kamay ng mas kumplikadong mga halimbawa:

Halimbawa 3

Suriin iyon. Isulat ang kabuuang pagkakaiba ng unang pagkakasunud-sunod.

Solusyon: Nakahanap kami ng mga partial derivatives ng unang order:

Bigyang-pansin ang subscript: sa tabi ng "x" hindi ipinagbabawal na isulat sa mga bracket na ito ay isang pare-pareho. Ang markang ito ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula upang gawing mas madali ang pag-navigate sa solusyon.

Mga karagdagang komento:

(1) Inalis namin ang lahat ng mga constant sa labas ng sign ng derivative. Sa kasong ito, at , at, samakatuwid, ang kanilang produkto ay itinuturing na isang pare-parehong numero.

(2) Huwag kalimutan kung paano maayos na maiiba ang mga ugat.

(1) Inalis namin ang lahat ng constants sa sign ng derivative, sa kasong ito ang constant ay .

(2) Sa ilalim ng prime, mayroon tayong produkto ng dalawang function, samakatuwid, kailangan nating gamitin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto .

(3) Huwag kalimutan na iyon ay isang kumplikadong pag-andar (bagaman ang pinakasimple sa mga kumplikado). Ginagamit namin ang kaukulang panuntunan: .

Ngayon nahanap namin ang mga halo-halong derivatives ng pangalawang order:

Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga kalkulasyon ay tama.

Isulat natin ang kabuuang pagkakaiba. Sa konteksto ng gawaing isinasaalang-alang, walang saysay na sabihin kung ano ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable. Mahalaga na ang napakadalas na pagkakaibang ito ay kailangang isulat sa mga praktikal na problema.

Kabuuang First Order Differential Ang mga function ng dalawang variable ay may anyo:

Sa kasong ito:

Iyon ay, sa pormula kailangan mo lamang na tanga na palitan lamang ang nahanap na mga partial derivatives ng unang order. Differential icon at sa ito at katulad na mga sitwasyon, kung maaari, mas mahusay na magsulat sa mga numerator:

At sa paulit-ulit na kahilingan ng mga mambabasa, buong pagkakaiba ng pangalawang order.

Mukhang ganito:

MABUTI na hanapin ang mga "single-letter" na derivatives ng 2nd order:

at isulat ang "halimaw", maingat na "ilakip" ang mga parisukat, ang produkto at huwag kalimutang i-double ang pinaghalong derivative:

Okay lang kung mukhang mahirap ang isang bagay, palagi kang makakabalik sa mga derivatives sa ibang pagkakataon, pagkatapos mong kunin ang diskarte sa pagkita ng kaibhan:

Halimbawa 4

Maghanap ng mga partial derivative sa unang pagkakasunud-sunod ng isang function . Suriin iyon. Isulat ang kabuuang pagkakaiba ng unang pagkakasunud-sunod.

Isaalang-alang ang isang serye ng mga halimbawa na may mga kumplikadong function:

Halimbawa 5

Maghanap ng mga partial derivatives ng unang order ng function.

Solusyon:

Halimbawa 6

Maghanap ng mga partial derivative sa unang pagkakasunud-sunod ng isang function .
Isulat ang kabuuang pagkakaiba.

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin). Hindi ko ipo-post ang kumpletong solusyon dahil ito ay medyo simple.

Kadalasan, ang lahat ng mga panuntunan sa itaas ay inilalapat sa kumbinasyon.

Halimbawa 7

Maghanap ng mga partial derivative sa unang pagkakasunud-sunod ng isang function .

(1) Ginagamit namin ang panuntunan ng pagkakaiba-iba ng kabuuan

(2) Ang unang termino sa kasong ito ay itinuturing na isang pare-pareho, dahil walang anuman sa expression na nakasalalay sa "x" - tanging "y". Alam mo, laging maganda kapag ang isang fraction ay maaaring gawing zero). Para sa pangalawang termino, inilalapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto. Sa pamamagitan ng paraan, sa ganitong kahulugan, walang magbabago kung ang isang function ay ibinigay sa halip - ito ay mahalaga na dito ang produkto ng dalawang function, BAWAT isa ay depende sa "X", at samakatuwid, kailangan mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Para sa ikatlong termino, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function.

(1) Ang unang termino sa parehong numerator at denominator ay naglalaman ng "y", samakatuwid, kailangan mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng quotient: . Ang pangalawang termino ay nakasalalay LAMANG sa "x", na nangangahulugang ito ay itinuturing na isang pare-pareho at nagiging zero. Para sa ikatlong termino, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function.

Para sa mga mambabasa na buong tapang na nakarating sa pagtatapos ng aralin, sasabihin ko sa iyo ang isang lumang anekdota ng Mekhmatov para sa detente:

Sa sandaling lumitaw ang isang masamang derivative sa espasyo ng mga function at kung paano ito napunta sa pagkakaiba ng lahat. Ang lahat ng mga function ay nakakalat sa lahat ng direksyon, walang gustong lumiko! At isang function lamang ang hindi nakakatakas kahit saan. Nilapitan ito ng derivative at nagtanong:

"Bakit hindi ka tumatakas sa akin?"

- Ha. Pero wala akong pakialam, dahil "e to the power of x" ako, at wala kang magagawa sa akin!

Kung saan ang masamang hinango na may mapanlinlang na ngiti ay tumugon:

- Dito ka nagkakamali, iibahin kita sa pamamagitan ng "y", kaya maging zero para sa iyo.

Sino ang nakaunawa sa biro, pinagkadalubhasaan niya ang mga derivatives, kahit na para sa "troika").

Halimbawa 8

Maghanap ng mga partial derivative sa unang pagkakasunud-sunod ng isang function .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang kumpletong solusyon at isang sample na disenyo ng problema ay nasa dulo ng aralin.

Well, halos lahat iyon. Sa wakas, hindi ko maiwasang mangyaring mathematician na may isa pang halimbawa. Hindi ito tungkol sa mga baguhan, lahat ay may iba't ibang antas ng pagsasanay sa matematika - may mga tao (at hindi gaanong bihira) na gustong makipagkumpitensya sa mas mahirap na mga gawain. Bagaman, ang huling halimbawa sa araling ito ay hindi gaanong kumplikado kundi mahirap sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon.

Kahulugan: Ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ilang mga variable ay tinatawag na kabuuan ng lahat ng mga bahagyang pagkakaiba nito:

Halimbawa 1: .

Solusyon:

Dahil ang mga partial derivatives ng function na ito ay pantay-pantay:

Pagkatapos ay maaari naming agad na isulat ang mga bahagyang pagkakaiba ng mga function na ito:

, ,

Pagkatapos ang kabuuang pagkakaiba ng function ay magiging ganito:

.

Halimbawa 2 Hanapin ang buong pagkakaiba ng isang function

Solusyon:

Ang function na ito ay kumplikado, i.e. maaaring isipin bilang

Nakahanap kami ng mga partial derivatives:

Buong Pagkakaiba:

Ang analytical na kahulugan ng kabuuang differential ay ang kabuuang differential ng isang function ng ilang variable ay ang pangunahing bahagi ng kabuuang increment ng function na ito, ibig sabihin, mayroong tinatayang pagkakapantay-pantay: ∆z≈dz.

Gayunpaman, dapat tandaan na ang mga tinatayang equal na ito ay wasto lamang para sa maliliit na pagkakaiba dx at dy ng mga argumento ng function na z=f(x,y).

Ang paggamit ng kabuuang pagkakaiba sa tinatayang mga kalkulasyon ay batay sa paggamit ng formula na ∆z≈dz.

Sa katunayan, kung sa formula na ito ang pagtaas ng ∆z ng function ay kinakatawan bilang , at ang kabuuang pagkakaiba bilang , pagkatapos ay makukuha natin:

≈ ,

Ang resultang formula ay maaaring gamitin upang humigit-kumulang na mahanap ang "bagong" halaga ng isang function ng dalawang variable, na kinakailangan na may sapat na maliit na pagdaragdag ng parehong mga argumento nito.

Halimbawa. Hanapin ang tinatayang halaga ng isang function , na may mga sumusunod na halaga ng mga argumento nito: 1.01, .

Solusyon.

Ang pagpapalit sa mga bahagyang derivatives ng mga function na natagpuan sa mas maaga sa formula, nakukuha natin ang:

Kapag pinapalitan ang mga halagang x=1, ∆x=0.01, y=2, ∆y=0.02, nakukuha natin ang:

scalar field.

Kung sa bawat punto ng ilang rehiyon ng espasyo D ang function na U(p)=U(x,y,z) ay ibinibigay, kung gayon sinasabing ang isang scalar field ay ibinibigay sa rehiyon D.

Kung, halimbawa, ang U(x, y, z) ay nagsasaad ng temperatura sa puntong M(x, y, z), pagkatapos ay sinasabi namin na ang isang scalar na patlang ng temperatura ay ibinigay. Kung ang rehiyon D ay puno ng likido o gas at ang U(x,y,z) ay nagpapahiwatig ng presyon, pagkatapos ay mayroong isang scalar pressure field. Kung ang pag-aayos ng mga singil o napakalaking katawan ay ibinigay sa kalawakan, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang potensyal na larangan.

Ang scalar field ay tinatawag nakatigil, kung ang function na U(x,y,z) ay hindi nagbabago sa oras: U(x,y,z) ≠ f(t).

Ang anumang nakatigil na patlang ay nailalarawan sa pamamagitan ng:

1) ang antas ng ibabaw ng scalar field

2) ang rate ng pagbabago ng field sa isang naibigay na direksyon.

Antas ng ibabaw Ang scalar field ay ang locus ng mga punto kung saan ang function na U(x,y,z) ay tumatagal ng pare-parehong halaga, iyon ay, U(x,y,z) = const. Ang koleksyon ng mga puntong ito ay bumubuo ng isang tiyak na ibabaw. Kung kukuha tayo ng isa pang pare-pareho, makakakuha tayo ng isa pang ibabaw.

Halimbawa: Hayaang magbigay ng scalar field. Ang isang halimbawa ng naturang field ay ang electric potential field ng isang point electric charge (+q). Dito, ang mga antas na ibabaw ay ang mga equipotential na ibabaw , iyon ay, mga sphere sa gitna kung saan mayroong charge na lumilikha ng isang field.

Ang direksyon ng pinakamalaking pagtaas ng isang scalar function ay ibinibigay ng isang vector na tinatawag gradient at ipinapahiwatig ng simbolo (o ).

Ang gradient ng function ay matatagpuan sa mga tuntunin ng mga partial derivatives ng function na ito at palaging patayo sa antas ng ibabaw ng scalar field sa isang partikular na punto:

, saan

Unit vectors ayon sa pagkakabanggit kasama ang mga axes OX, OY, OZ

Ang derivative ng function na U(x,y,z) sa anumang iba pang direksyon (λ) ay tinutukoy ng formula:

, saan

Ang α, β, γ ay ang mga anggulo sa pagitan ng mga coordinate axes na OX, OY, OZ at direksyon ayon sa pagkakabanggit.

Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang pagkakaiba, kailangan mong i-multiply ang derivative sa dx. Pinapayagan ka nitong agad na isulat ang kaukulang talahanayan para sa mga pagkakaiba mula sa talahanayan ng mga formula para sa mga derivatives.

Kabuuang pagkakaiba para sa isang function ng dalawang variable:

Ang kabuuang differential para sa isang function ng tatlong variable ay katumbas ng kabuuan ng partial differentials: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x) ,y,z)dz

Kahulugan . Ang isang function na y=f(x) ay tinatawag na differentiable sa isang punto x 0 kung ang pagtaas nito sa puntong ito ay maaaring katawanin bilang ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, kung saan ang A ay isang pare-pareho at α(∆ x) ay walang katapusang maliit bilang ∆x → 0.
Ang pangangailangan na ang isang function ay naiba-iba sa isang punto ay katumbas ng pagkakaroon ng isang derivative sa puntong ito, na may A=f'(x 0).

Hayaang maging differentiable ang f(x) sa isang puntong x 0 at f "(x 0)≠0 , pagkatapos ay ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, kung saan α= α(∆x) →0 bilang ∆x → 0. Ang quantity ∆y at bawat termino sa kanang bahagi ay mga infinitesimal values ​​bilang ∆x→0. Ihambing natin ang mga ito: , ibig sabihin, ang α(∆x)∆x ay isang infinitesimal na mas mataas na order kaysa sa f’(x 0)∆x.
, ibig sabihin, ∆y~f’(x 0)∆x. Samakatuwid, ang f’(x 0)∆x ay ang pangunahing at kasabay na linear na may kinalaman sa ∆x na bahagi ng pagtaas ng ∆y (linear na nangangahulugang naglalaman ng ∆x sa unang antas). Ang terminong ito ay tinatawag na kaugalian ng function na y \u003d f (x) sa puntong x 0 at denoted na dy (x 0) o df (x 0). Kaya, para sa arbitrary x
dy=f′(x)∆x. (isa)
Hayaan ang dx=∆x, kung gayon
dy=f′(x)dx. (2)

Halimbawa. Maghanap ng mga derivatives at differentials ng mga function na ito.
a) y=4tg2x
Solusyon:

kaugalian:
b)
Solusyon:

kaugalian:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Solusyon:

kaugalian:
G)
Solusyon:
=
kaugalian:

Halimbawa. Para sa function na y=x 3 maghanap ng expression para sa ∆y at dy para sa ilang mga halaga ng x at ∆x.
Solusyon. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (kinuha namin ang pangunahing linear na bahagi ng ∆y na may paggalang sa ∆x). Sa kasong ito, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Output ng koleksyon:

SA IKALAWANG ORDER DIFFERENTIAL

Lovkov Ivan Yurievich

mag-aaral ng Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, RF, Serpukhov

E- mail: alkasardancer@ rambler. en

Taperechkina Vera Alekseevna

cand. Phys.-Math. Sciences, Associate Professor, Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russian Federation, Serpukhov

TUNGKOL SA SECOND-ORDER DIFFERENTIAL

Lovkov Ivan

estudyante ng Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov

Vera Taperechkina

kandidato ng Physical and Mathematical Sciences, associate professor ng Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov

ANNOTASYON

Isinasaalang-alang ng papel ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives at differentials ng una at pangalawang order para sa mga kumplikadong function ng dalawang variable.

ABSTRAK

Mga paraan ng pagkalkula ng derivative at una at pangalawang differentials para sa composite function ng dalawang variable.

Mga keyword: bahagyang derivatives; kaugalian.

mga keyword: bahagyang derivatives; kaugalian.

1. Panimula.

Bumuo tayo ng ilang mga katotohanan mula sa teorya ng mga pag-andar ng ilang mga variable, na kakailanganin natin sa ibaba.

Kahulugan: Ang isang function na z=f(u, v) ay tinatawag na differentiable sa isang punto (u, v) kung ang pagtaas ng Δz nito ay maaaring katawanin bilang:

Ang linear na bahagi ng increment ay tinatawag na kabuuang differential at tinutukoy na dz.

Theorem (sapat na kondisyon para sa pagkakaiba-iba) cf.

Kung sa ilang kapitbahayan ng m.(u, v) mayroong patuloy na partial derivatives at , kung gayon ang function na f(u, v) ay naiba-iba sa puntong ito at

(du=Δu, dv=Δv). (isa)

Depinisyon: Ang pangalawang differential ng function na z=f(u, v) sa isang partikular na punto (u, v) ay ang unang differential ng unang differential ng function na f(u, v), i.e.

Mula sa kahulugan ng pangalawang kaugalian z=f(u, v), kung saan ang u at v ay mga independiyenteng variable, ito ay sumusunod

Kaya, ang formula ay wasto:

Kapag hinango ang formula, ginamit ang Schwartz theorem sa pagkakapantay-pantay ng mga halo-halong derivatives. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa kung ganoon ay tinukoy sa isang kapitbahayan ng m.(u, v) at tuloy-tuloy sa m.(u, v). tingnan mo

Ang formula para sa paghahanap ng 2nd differential ay maaaring isulat sa simbolikong paraan sa sumusunod na anyo: – ang pormal na pag-squaring ng bracket na may kasunod na pormal na multiplikasyon sa kanan sa pamamagitan ng f(x y) ay nagbibigay ng dating nakuhang formula . Katulad nito, ang formula para sa ika-3 pagkakaiba ay wasto:

At sa pangkalahatan:

Kung saan ang pormal na pagtaas sa ika-n na kapangyarihan ay ginagawa ayon sa binomial na formula ng Newton:

;

Tandaan na ang unang differential ng isang function ng dalawang variable ay may form na invariance property. Iyon ay, kung ang u at v ay mga independiyenteng variable, kung gayon para sa function na z=f(u, v), ayon sa (1)

Hayaan ngayon na u=u(x y), v=v(x y), pagkatapos ay z=f(u(x y), v(x y)), x at y ay mga independiyenteng variable, pagkatapos

Paggamit ng mga kilalang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function:

Pagkatapos mula sa (3) at (4) nakukuha natin:

Sa ganitong paraan,

(5)

saan - ang unang pagkakaiba ng function na u, - ang unang pagkakaiba ng function v.

Kung ihahambing ang (1) at (5), makikita natin na ang formula para sa dz ay nananatiling pormal na nakasulat, ngunit kung sa (1) du=Δu, dv=Δv ay mga pagdaragdag ng mga independiyenteng variable, kung gayon sa (5) du at dv ay mga pagkakaiba ng mga function u at v.

2. Ang pangalawang kaugalian ng isang tambalang function ng dalawang variable.

Una sa lahat, ipinapakita namin na ang pangalawang differential ay walang form invariance property.

Hayaan ang z=z(u, v) sa kaso ng mga independiyenteng variable na u at v, ang pangalawang pagkakaiba ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (2)

Hayaan ngayon ang u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), kung saan ang x at y ay mga independent variable. Pagkatapos

.

Kaya, nakuha namin sa wakas:

Ang mga formula (2) at (6) ay hindi nagtutugma sa anyo, samakatuwid, ang pangalawang kaugalian ay walang katangian ng invariance.

Dati, ang mga partial derivative formula ng 1st order ay hinango para sa isang kumplikadong function z=f(u, v), kung saan u=u(x y), v=v(x y), kung saan ang x at y ay mga independent variable, tingnan ang .

Nakukuha namin ang mga formula para sa pagkalkula ng mga partial derivatives at isang second-order na differential para sa function na z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), kung saan ang x at y ay mga independent variable.

Para sa mga function na u(x y), v(x y) ng mga independiyenteng variable x, y, mayroon kaming mga formula:

Palitan natin ang mga formula (8) sa (6).

Kaya, nakakuha kami ng formula para sa second-order differential ng isang kumplikadong function ng dalawang variable.

Ang paghahambing ng mga coefficient para sa mga partial derivatives ng pangalawang order ng isang kumplikadong function ng dalawang variable sa (2) at (9), nakuha namin ang mga formula:

Halimbawa 1 cm

Hayaan ang z=f(u, v), u=xy, v=. Hanapin ang pangalawang kaugalian.

Solusyon: kalkulahin ang mga partial derivatives:

, , , ,

, ,