Numeric function tinatawag ang naturang sulat sa pagitan ng isang set ng numero X at marami R tunay na mga numero, kung saan ang bawat numero mula sa set X tumutugma sa isang solong numero mula sa isang set R. Maraming X tinawag saklaw ng function
. Ang mga function ay tinutukoy ng mga titik f, g, h atbp. Kung f ay isang function na tinukoy sa set X, pagkatapos ay ang tunay na numero y, naaayon sa bilang X kanilang karamihan X, madalas na tinutukoy f(x) at magsulat
y = f(x). variable X ay tinatawag na argumento. Ang hanay ng mga numero ng form f(x) tinawag saklaw ng pag-andar
Ang isang function ay tinukoy gamit ang isang formula. Halimbawa , y = 2X - 2. Kung, kapag tinutukoy ang isang function gamit ang isang formula, ang domain ng kahulugan nito ay hindi ipinahiwatig, pagkatapos ay ipinapalagay na ang saklaw ng function ay ang domain ng expression. f(x).
1. Tinatawag ang function monotonous sa ilang interval A, kung tumataas o bumababa ito sa interval na ito
2. Tinatawag ang function dumarami sa ilang pagitan A, kung para sa anumang mga numero sa kanilang set A ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan: .
Ang graph ng isang pagtaas ng function ay may isang tampok: kapag gumagalaw kasama ang abscissa axis mula kaliwa hanggang kanan kasama ang pagitan PERO tumaas ang mga ordinate ng mga graph point (Fig. 4).
3. Tinatawag ang function humihina sa ilang pagitan PERO, kung para sa anumang mga numero ang kanilang mga hanay PERO natupad ang kondisyon: .
Ang graph ng isang bumababa na function ay may isang tampok: kapag gumagalaw kasama ang abscissa axis mula kaliwa pakanan kasama ang pagitan PERO bumababa ang mga ordinate ng mga graph point (Larawan 4).
4. Tinatawag ang function kahit
sa ilang set X, kung matugunan ang kondisyon: 
.
Ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa y-axis (Larawan 2).
5. Tinatawag ang function kakaiba
sa ilang set X, kung matugunan ang kondisyon: 
.
Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan (Larawan 2).
6. Kung function y = f(x)
f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamaliit na halaga
sa =f(x) sa X= x(Fig. 2, ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa puntong may mga coordinate (0;0)).
7. Kung function y = f(x) ay tinukoy sa set X at mayroong umiiral na para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamataas na halaga sa =f(x) sa X= x(Fig. 4, ang function ay walang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga) .
Kung para sa function na ito y = f(x) pinag-aaralan lahat ng nakalistang properties, tapos sinasabi nila yan pag-aaral mga function.
Mga limitasyon.
Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng f-ii dahil ang x ay may posibilidad na ∞ kung para sa alinmang E>0, mayroong δ (E)>0 na para sa lahat ng x ang hindi pagkakapantay-pantay |x|>δ ay natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay |F(x )-A| Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function dahil ang X ay may posibilidad na X 0 kung para sa alinmang E>0, mayroong δ (E)>0 na para sa lahat ng X≠X 0 ang hindi pagkakapantay-pantay |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| ONE-SIDED LIMITS. Kapag tinutukoy ang limitasyon, ang X na iyon ay may posibilidad na X0 sa isang arbitrary na paraan, iyon ay, mula sa anumang direksyon. Kapag ang X ay nasa X0, upang ito ay mas mababa sa X0 sa lahat ng oras, kung gayon ang limitasyon ay tinatawag na limitasyon sa puntong X0 sa kaliwa. O limitasyon sa kaliwang kamay. Ang limitasyon sa kanang kamay ay tinukoy nang katulad. Ang materyal na ito ay pinagsama-sama ayon sa Federal State Educational Standard aralin sa matematika sa ika-9 na baitang sa paksa: "Numeric functions, their properties and graphics", textbook ni A.G. Mordkovich. Aralin ng kontrol sa pag-unlad at pagtuklas ng bagong kaalaman Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com Numeric function, ang kanilang mga katangian at Graph. Aralin sa matematika sa grade 9 sa huling sertipikasyon ng IDPO subgroup No. 9 Zavodskoy district ng Saratov 10/25/2013 Epigraph "Ang tanging paraan na humahantong sa kaalaman ay aktibidad." Bernard Show Malikhaing gawa Gumawa ng isang function na "piecewise", bumuo ng isang graph at basahin ito. Solusyon y = Oral na gawain Pangalanan ang function at itakda ito nang analytical Theoretical survey Bumuo ng kahulugan ng isang numerical function. Ano ang tinatawag na saklaw ng isang function. Ano ang tinatawag na graph ng isang function. Maglista ng mga paraan upang tukuyin ang isang function. Aling function ang tinatawag na pagtaas (decreasing). Aling function ang tinatawag na even (odd). Anong numero ang tinatawag na pinakamaliit (pinakamalaking) halaga ng function. Aling function ang tinatawag na limitado. Mga pagsubok sa GIA format (basic level) mga sagot Opsyon Blg. 5 Opsyon Blg. 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3 Pagsasagawa ng gia exercises No. 1. I-graph ang function y \u003d x 2 - 4 +3, gamit ang graph, hanapin ang mga pagitan ng monotonicity. Para sa anong mga halaga ng a ang linyang y=a ay may dalawang puntos na pareho sa graph ng function na ito? Sagot: a>3, a = -1 2. Lutasin nang grapiko ang hindi pagkakapantay-pantay x -2 ≤ -x 3 Sagot: x ≤ -1 Natutunan ko natutunan ko inulit ko Inayos ko Ngayon sa aralin Teknolohikal na mapa ng isang aralin sa matematika sa ika-9 na baitang sa paksa: "Mga pag-andar ng numero, kanilang mga katangian at graphics", aklat-aralin ni A.G. Mordkovich. Isang aral sa pagkontrol sa pag-unlad at ang pagtuklas ng bagong kaalaman. Mga yugto ng aralin Mga gawain sa entablado Aktibidad ng guro Mga aktibidad ng mag-aaral UUD 1. Pagpapasya sa Sarili ng Organisasyon sa Mga Aktibidad sa Pagkatuto (1) Lumikha ng kanais-nais sikolohikal mood para sa trabaho Pagbati, pagpapakilos atensyon ng mga bata. Nag-uulat sila ng mga lumiban, sumali sa ritmo ng negosyo ng aralin. Personal: pagpapasya sa sarili Regulatoryo : pagtatasa ng kahandaan para sa aralin 2. Pagtatakda ng layunin at layunin ng aralin. Pagganyak ng aktibidad na pang-edukasyon ng mga mag-aaral. (3) Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman at pamamaraan ng aktibidad Ipinapaalam ang paksa at layunin ng aralin, isinulat ang petsa sa pisara Ngayon sa aralin ay ibubuod natin ang pag-aaral ng kabanata na "Numeric Functions". Patuloy kaming magsasanay sa mga kasanayan sa pag-plot at pagbabasa ng mga graph ng mga pinag-aralan na function at makikita kung gaano kalalim ang pinag-aralan na paksa ay ipinakita sa mga pagsusulit sa pagsusulit. Paggawa ng mga tala sa isang kuwaderno Regulatoryo: pagtatakda ng layunin Komunikatibo:paghahanda para sa pagmumuni-muni 3. Pag-update ng kaalaman (12) Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman at pamamaraan ng aktibidad upang maghanda para sa control lesson. Para sa aralin, hiniling sa iyo na makabuo ng isang function na "piecewise", bumuo ng isang graph at basahin ito. Tingnan natin ang iyong trabaho. 1. Tumatawag ng 2 mag-aaral sa pisara sa kalooban. 2. Nagsasagawa ng parallel slide show ng mga graph ng lahat ng pinag-aralan na numerical function. (Appendix Blg. 2). 3. Nagsasagawa ng harapang pag-uusap sa mga teoretikal na isyu (Appendix Blg. 3) 4. Nagbibigay ng mga marka para sa d / s, para sa oral na gawain, isinasaalang-alang ang d / s. 1. Dalawang tao ang nagtatrabaho sa board. (Appendix Blg. 1) 2. Ang iba pang mga mag-aaral mula sa lugar ay pinangalanan ang itinatanghal na function, itakda ito nang analytical. 3. Nakikilahok ang mga mag-aaral sa oral survey. Regulatoryo: boluntaryong regulasyon sa sarili sa isang sitwasyon ng kahirapan Komunikatibo: pagpapahayag ng sariling kaisipan pagtatalo ng sariling opinyon Cognitive: kakayahang maglapat ng kaalaman para sa mga praktikal na gawain Personal: pagbuo ng napapanatiling motibasyon upang pag-aralan at pagsamahin ang bago 4. Paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman.(8) intermediate reflection Napag-aralan at inulit namin ang mga katangian ng mga numerical function. Gumawa tayo ng kaunting pagsubok at siguraduhin na ang lakas ng iyong kaalaman. Ang mga iminungkahing pagsusulit ay tumutugma sa pangunahing antas ng kahirapan, mayroon kang 7 minuto. Nais kong tagumpay ka! 1. Namamahagi ng mga pagsusulit (Appendix No. 4) 2. Nangongolekta ng mga papel pagkatapos ng katapusan ng oras, isulat ang mga tamang sagot sa pisara Opsyon numero 5 Opsyon numero 6 3142
3. Marami ang nakagawa ng pagsusulit nang maayos, ang ilan ay natanto na kailangan nilang ulitin. Lutasin ang pagsusulit sa pamamagitan ng paggawa ng mga tala sa isang kuwaderno kung kinakailangan. Pagkatapos ng pagtatapos ng oras, ibigay ang mga sheet. Suriin ang kanilang mga sagot. Regulatoryo: maunawaan ang kalidad at antas ng pagkuha ng kaalaman Cognitive: piliin ang pinaka-epektibong paraan upang malutas ang mga problema Personal: pagbuo ng mga kasanayan ng introspection at pagpipigil sa sarili 5. Paglalapat ng kaalaman at kasanayan sa isang bagong sitwasyon. (labing lima) Pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik, self-diagnosis at self-correct ng mga resulta Pagganap ng ehersisyo (GIA) #1 I-plot ang function Y \u003d x 2 -4 +3 gamit ang graph,
hanapin ang mga pagitan ng monotonicity. Para sa anong mga halaga ng a ang linyang y=a ay may dalawang puntos na pareho sa graph ng function na ito? (Appendix Blg. 5) Maikling isinulat ang gawain sa pisara, tinawag ang mag-aaral para sa isang solusyon, sinusubaybayan ang karampatang solusyon ng gawain. Pinahahalagahan. No. 2. Lutasin nang grapiko ang hindi pagkakapantay-pantay x-2 ≤ -x 3 (Appendix Blg. 6) Tumatawag sa mga mag-aaral na bumuo ng mga graph ng mga function, ipinapaliwanag kung paano matukoy ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga test point sa graph (hatching) Dalawang tao ang nagtatrabaho nang paisa-isa sa mga card sa side board, ang iba ay kumpletuhin ang solusyon sa gawain No. 1 sa notebook. Ang mga function graph ay ipinapakita sa interactive na whiteboard. Iminumungkahi nilang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpili o algebraically. Kumpletuhin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, isulat ang sagot. Personal: pagbuo ng nagbibigay-malay na interes sa paksa ng pananaliksik, napapanatiling pagganyak upang pag-aralan at pagsamahin ang bago Cognitive: pag-aralan ang bagay, na binibigyang-diin ang mahahalagang at hindi mahahalagang katangian. Komunikatibo:ayusin ang pakikipagtulungang pang-edukasyon sa guro at mga kaklase. Regulatoryo: matukoy ang isang bagong antas ng saloobin sa sarili bilang isang paksa ng aktibidad 6. Impormasyon tungkol sa takdang-aralin (2) Pagtitiyak na nauunawaan ng mga bata ang layunin, nilalaman at pamamaraan ng paggawa ng takdang-aralin Level 1: ulitin ang n7, No. 27,29 Level 2: ulitin ang aytem 7, No. 30,33 Isulat ang takdang-aralin 7. Pagninilay.(4) Magbigay ng husay na pagtatasa ng gawain ng klase at indibidwal na mga mag-aaral Simulan ang pagmumuni-muni ng mga bata sa pagganyak ng kanilang sariling mga aktibidad at pakikipag-ugnayan sa guro at iba pang mga bata 1. Nagmumungkahi na ipagpatuloy ang panukala "Ngayon sa lesson inulit ko... Naayos ko... Natuto ako … Nalaman ko …" 2. Nag-aalok na markahan sa card ang pahayag na pinakaangkop para sa gawain sa aralin 3. Mga grado 1. Sagutin ang mga tanong 2. Markahan sa mga kard (Appendix Blg. 7) Cognitive: pagmuni-muni ng mga pamamaraan at kondisyon ng pagkilos, isang sapat na pag-unawa sa mga dahilan ng tagumpay at kabiguan, kontrol at pagsusuri ng proseso at mga resulta ng mga aktibidad Komunikatibo: kakayahang magpahayag ng iniisip, argumentasyon Kalakip 1. (pagsusuri sa takdang-aralin) Solusyon Annex 2 gawaing pasalita Pangalanan ang isang function at tukuyin ito nang analytical Annex 3 Teoretikal na survey PAGLALAHAT NG ARALIN SA PAKSANG "FUNKSYON AT KANILANG MGA ARI-ARIAN". Mga Layunin ng Aralin: Methodical: pagtaas ng aktibong-kognitibong aktibidad ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng indibidwal-independiyenteng gawain at ang paggamit ng mga gawain sa pagsusulit ng isang umuunlad na uri. Pagtuturo: ulitin ang elementarya function, ang kanilang mga pangunahing katangian at mga graph. Ipakilala ang konsepto ng mutually inverse functions. I-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa; mag-ambag sa pagsasama-sama ng mga kasanayan at kakayahan sa pagkalkula ng mga logarithms, sa aplikasyon ng kanilang mga katangian sa paglutas ng mga gawain ng isang hindi karaniwang uri; ulitin ang pagbuo ng mga graph ng mga function gamit ang mga pagbabagong-anyo at pagsubok ng mga kasanayan at kakayahan kapag nilutas ang mga pagsasanay sa kanilang sarili. Pang-edukasyon: edukasyon ng katumpakan, katatagan, responsibilidad, kakayahang gumawa ng mga independiyenteng desisyon. Pagbuo: bumuo ng mga kakayahan sa intelektwal, pagpapatakbo ng isip, pagsasalita, memorya. Bumuo ng pagmamahal at interes sa matematika; sa panahon ng aralin upang matiyak ang pag-unlad ng kalayaan ng pag-iisip ng mga mag-aaral sa mga gawaing pang-edukasyon. Uri ng aralin: paglalahat at sistematisasyon. Kagamitan: board, computer, projector, screen, literaturang pang-edukasyon. Epigraph ng aralin:"Dapat ituro ang matematika sa ibang pagkakataon, upang maiayos nito ang isip." (M.V. Lomonosov). SA PANAHON NG MGA KLASE Sinusuri ang takdang-aralin. Pag-uulit ng exponential at logarithmic function na may base a = 2, paglalagay ng kanilang mga graph sa parehong coordinate plane, pagsusuri ng kanilang relatibong posisyon. Isaalang-alang ang pagtutulungan sa pagitan ng mga pangunahing katangian ng mga function na ito (OOF at FZF). Ibigay ang konsepto ng mutually inverse functions. Isaalang-alang ang exponential at logarithmic function na may base a = ½ s upang matiyak na ang pagtutulungan ng mga nakalistang katangian ay sinusunod at para sa nababawasan ang magkabaligtaran na mga pag-andar. Organisasyon ng independiyenteng gawain ng isang uri ng pagsubok para sa pag-unlad ng kaisipan systematization operations sa paksang "Function and their properties". MGA FUNCTION PROPERTY: isa). y \u003d │x│; 2). Tumataas sa buong domain ng kahulugan; 3). OOF: (- ∞; + ∞) ; apat). y \u003d kasalanan x; 5). Bumababa sa 0< а < 1 ; 6). y \u003d x ³; 7). ORF: (0; + ∞); walo). Pangkalahatang pag-andar; 9). y = √ x; sampu). OOF: (0; + ∞); labing-isa). Bumababa sa buong domain ng kahulugan; 12). y = kx + v; 13). OZF: (- ∞; + ∞) ; labing-apat). Tumataas kapag k > 0; labinlima). OOF: (- ∞; 0); (0; +∞); 16). y \u003d cos x; 17). Walang extremum point; labing-walo). ORF: (- ∞; 0); (0; +∞); 19). Bumababa sa< 0 ; dalawampu). y \u003d x ²; 21). OOF: x ≠ πn; 22). y \u003d k / x; 23). Kahit na; 25). Bumababa kapag k > 0; 26). OOF: [ 0; +∞); 27). y \u003d tg x; 28). Tumataas sa< 0; 29). ORF: [ 0; +∞); tatlumpu). kakaiba; 31). y = logx; 32). OOF: x ≠ πn/2; 33). y \u003d ctg x; 34). Tumataas kapag a > 1. Sa panahon ng gawaing ito, magsagawa ng isang survey ng mga mag-aaral sa mga indibidwal na gawain: No. 1. a) I-graph ang function b) I-graph ang function No. 2. a) Kalkulahin: b) Kalkulahin: Numero 3. a) Pasimplehin ang expression b) Pasimplehin ang pagpapahayag Takdang-Aralin: No. 1. Kalkulahin: a) sa) G) No. 2. Hanapin ang domain ng isang function: a) sa) OGO SPO Ryazan Pedagogical College SANAYSAY Paksa: “Mga numeric na function at ang kanilang mga katangian. Direkta at baligtad na proporsyonal na dependencies» Titova Elena Vladimirovna Espesyalidad: 050709 "Pagtuturo sa elementarya na may karagdagang pagsasanay sa larangan ng pre-school na edukasyon" Kurso: 1 Pangkat: 2 Kagawaran: paaralan Pinuno: Pristuplyuk Olga Nikolaevna Panimula…………………………………………………………………………3 1.2 Mga paraan upang magtakda ng mga function…………………………………………………………….6 2.1 Ang konsepto ng direktang proporsyonalidad………………..9 3.1
Mga functional na propaedeutics sa paunang kurso ng matematika ... .11 3.2 Paglutas ng mga problema para sa proporsyonal na umaasa na dami……18 Listahan ng mga ginamit na literatura………………………………..22 Panimula Sa matematika, lumitaw ang ideya ng isang function kasama ang konsepto ng magnitude. Ito ay malapit na nauugnay sa geometric at mekanikal na mga representasyon. Ang terminong function (mula sa Latin - performance) ay unang ipinakilala ni Leibniz noong 1694. Sa pamamagitan ng pag-andar, naunawaan niya ang mga abscissas, ordinates at iba pang mga segment na nauugnay sa isang punto na naglalarawan sa isang tiyak na linya. ito analitikong pagpapahayag, binubuo ng isang variable at isang pare-pareho. Sa madaling salita, ang function ay ipinahayag ng iba't ibang uri ng mga formula: y=ax+b, y==axІ+bx+c, atbp. Ang mga pangunahing uso sa pag-unlad ng modernong edukasyon sa paaralan ay makikita sa mga ideya ng humanization, humanitarization, nakabatay sa aktibidad at nakasentro sa mag-aaral na diskarte sa organisasyon ng proseso ng edukasyon. Sa puso ng pagtuturo ng matematika sa isang pangkalahatang paaralan ng edukasyon, ang prinsipyo ng priyoridad ng pag-unlad ng pagpapaandar ng edukasyon ay nauuna. Samakatuwid, ang pag-aaral ng konsepto ng isang numerical function sa elementarya ay isang medyo makabuluhang bahagi sa pagbuo ng mga representasyon sa matematika ng mga mag-aaral. Para sa isang guro sa elementarya, kinakailangan na tumuon sa pag-aaral ng konseptong ito, dahil mayroong direktang kaugnayan sa pagitan ng pag-andar at maraming mga lugar ng aktibidad ng tao, na sa hinaharap ay makakatulong sa mga bata na makapasok sa mundo ng agham. Bukod sa ,
ang mga mag-aaral, bilang panuntunan, ay pormal na natututo ng kahulugan ng konsepto ng pag-andar, walang holistic na pagtingin sa functional dependence, i.e. hindi maaaring magamit ang kanilang kaalaman sa paglutas ng mga problema sa matematika at praktikal; iugnay ang isang function na eksklusibo sa isang analytic na expression kung saan ang variable sa ipinahayag sa mga tuntunin ng isang variable X; hindi maaaring bigyang-kahulugan ang mga representasyon ng isang function sa iba't ibang mga modelo; nahihirapan kapag nag-plot ng mga function graph ayon sa mga katangian nito, atbp. Ang mga dahilan para sa mga paghihirap na ito ay nauugnay hindi lamang at hindi gaanong sa paraan ng pag-aaral ng functional na materyal sa kurso ng algebra, ngunit sa hindi kahandaan ng pag-iisip ng mga mag-aaral para sa pang-unawa at asimilasyon ng konsepto ng "function". 1. Mga function ng numero 1.1 Pagbuo ng konsepto ng functional dependence sa matematika Suriin natin ang kurso ng pag-unlad ng mga ideyang pedagogical sa larangan ng pagtuturo ng pinakamahalagang bahagi ng matematika - functional dependence. Ang functional line ng kursong paaralan sa matematika ay isa sa mga nangungunang kurso sa algebra, algebra at simula ng pagsusuri. Ang pangunahing tampok ng materyal na pang-edukasyon ng linyang ito ay maaari itong magamit upang magtatag ng iba't ibang mga koneksyon sa pagtuturo ng matematika. Sa paglipas ng ilang siglo, ang konsepto ng isang function ay nagbago at bumuti. Ang pangangailangang mag-aral ng functional dependence sa kursong paaralan ng matematika ay nasa pokus ng atensyon ng pedagogical press mula noong ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo. Maraming pansin ang binayaran sa isyung ito sa kanilang mga gawa ng mga kilalang methodologist tulad ng M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky. Unang yugto- ang yugto ng pagpapakilala ng konsepto ng isang function (pangunahin sa pamamagitan ng analytical expression) sa kursong matematika ng paaralan. Pangalawang yugto ang pagpapakilala ng konsepto ng isang function sa kurso ng high school algebra ay pangunahing nailalarawan sa pamamagitan ng paglipat sa isang graphical na representasyon ng functional dependence at ang pagpapalawak ng hanay ng mga pinag-aralan na function. Ikatlong yugto Ang pag-unlad ng paaralang Ruso ay nagsimula noong 20s. ikadalawampung siglo. Ang isang pagsusuri ng metodolohikal na panitikan ng panahon ng Sobyet ay nagpakita na ang pagpapakilala ng konsepto ng isang function sa isang kurso sa matematika ng paaralan ay sinamahan ng mainit na mga talakayan, at pinahintulutan kaming makilala ang apat na pangunahing problema sa paligid kung saan may mga pagkakaiba sa mga opinyon ng mga metodologo, ibig sabihin: 1) ang layunin at kahalagahan ng pag-aaral ng konsepto ng function ng mga mag-aaral; 2) mga diskarte sa pagtukoy ng isang function; 3) ang isyu ng functional propaedeutics; 4) ang lugar at dami ng functional na materyal sa kurso ng matematika ng paaralan. Ikaapat na yugto dahil sa paglipat ng ekonomiya ng RSFSR sa isang nakaplanong batayan Noong 1934, natanggap ng paaralan ang unang matatag na aklat-aralin ni A.P. Kiselev na "Algebra", binago sa ilalim ng pag-edit ng A.P. Barsukov sa dalawang bahagi. Ang mga seksyong "Mga Function at kanilang mga graph", "Quadratic function" ay kasama sa pangalawang bahagi nito. Bilang karagdagan, sa seksyong "Generalization ng konsepto ng degree" ang exponential function at ang graph nito ay isinasaalang-alang, at sa seksyong "Logarithms" - ang logarithmic function at ang graph nito. Dito natukoy ang function sa pamamagitan ng konsepto ng isang variable: "Ang variable na iyon, ang mga numerical value na nagbabago depende sa mga numerical value ng isa pa, ay tinatawag na dependent variable, o isang function ng isa pang variable. ." Gayunpaman, hindi ito sumasalamin sa ideya ng korespondensiya at walang pagbanggit ng isang analytic na expression, na nagpapahintulot sa amin na tapusin na ang kahulugan na ito ay may isang makabuluhang disbentaha. Itinuring ng siyentipiko ang pagbuo ng isang ideya ng isang function bilang isang pagpapakita ng pormalismo sa pagtuturo. Naniniwala siya na sa mataas na paaralan ang konsepto ng pag-andar ay dapat pag-aralan batay sa konsepto ng pagsusulatan. Ang panahong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng kakulangan ng oras upang pag-aralan ang mga pag-andar, hindi inakala na mga sistema ng ehersisyo, hindi pagkakaunawaan ng mga mag-aaral sa tunay na kakanyahan ng konsepto ng pag-andar, mababang antas ng pagganap at graphic na mga kasanayan ng mga nagtapos sa paaralan. Kaya, muling bumangon ang pangangailangan na repormahin ang pagtuturo ng matematika sa mga sekondaryang paaralan. Ang muling pagsasaayos ng lahat ng matematika ng paaralan sa batayan ng set-theoretic na diskarte ay minarkahan ang ikalimang yugto sa pagbuo ng ideya ng functional dependence. Ang ideya ng isang set-theoretic na diskarte ay isinagawa ng isang pangkat ng mga Pranses na siyentipiko na nagtagpo sa ilalim ng pseudonym ni Nicolas Bourbaki. Sa lungsod ng Roymond (France, 1959), isang internasyonal na kumperensya ang ginanap kung saan ang pagbagsak ng lahat ng mga kumbensiyonal na kurso ay ipinahayag. Ang pokus ay sa mga istruktura at pagkakaisa ng lahat ng matematika ng paaralan batay sa set theory. Ang isang mahalagang papel sa pagbuo ng mga ideya ng reporma ay ginampanan ng mga artikulo ng V. L. Goncharov, kung saan itinuro ng may-akda ang kahalagahan ng maaga at pangmatagalang functional propaedeutics, na iminungkahi gamit ang mga pagsasanay na binubuo sa pagsasagawa ng isang bilang ng mga pre- tinukoy na mga pagpapalit ng numero sa parehong ibinigay na literal na expression. Ang pagpapatatag ng mga programa at mga aklat-aralin ay lumikha ng saligan para sa paglitaw ng mga positibong pagbabago sa kalidad ng kaalaman sa pagganap ng mga mag-aaral. Sa huling bahagi ng mga ikaanimnapung taon at unang bahagi ng ikapitong dekada, kasama ang mga negatibong pagsusuri, nagsimulang lumitaw ang pindutin kung saan mayroong isang tiyak na pagpapabuti sa kaalaman ng mga nagtapos sa paaralan tungkol sa mga pag-andar at iskedyul. Gayunpaman, ang pangkalahatang antas ng pag-unlad ng matematika ng mga mag-aaral sa kabuuan ay nanatiling hindi sapat. Ang kurikulum ng paaralan ng matematika ay patuloy na naglalaan ng masyadong maraming oras sa pormal na pagsasanay at hindi nagbigay ng sapat na atensyon sa pagpapaunlad ng kakayahan ng mga mag-aaral na matuto nang nakapag-iisa. Kaya, numeric function ay isang sulat sa pagitan ng numerical set R ng mga totoong numero, kung saan ang bawat numero mula sa set X ay tumutugma sa isang solong numero mula sa set R. Alinsunod dito, kinakatawan ng X ang domain ng function (OOF). Ang mismong function ay tinutukoy ng maliliit na letrang Latin (f, d, e, k). Kung ang function na f ay tinukoy sa set X, kung gayon ang tunay na numero y na tumutugma sa numerong x mula sa set X ay tinutukoy bilang f(x) (y=f(x)). Ang variable na x ay tinatawag argumento. Ang hanay ng mga numero ng anyong f(x) para sa lahat ng x ay tinatawag saklaw ng pag-andarf.
Kadalasan, ang mga function ay tinutukoy ng iba't ibang uri ng mga formula: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, kung saan ang x ay isang tunay na numero, y ay ang solong numero na naaayon dito. Gayunpaman, gamit ang isang formula, maaari mong tukuyin maraming function, ang pagkakaiba nito ay tinutukoy lamang ng domain ng kahulugan: Y= 2x-3, kung saan ang x ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero at y=2x-3, X - kabilang sa hanay ng mga natural na numero. Kadalasan, kapag tinukoy ang isang function gamit ang isang formula, ang OOF ay hindi ipinahiwatig (OOF ay ang domain ng expression na f (x)). Ito rin ay medyo maginhawa upang kumatawan sa mga numerical function na biswal, i.e. gamit ang coordinate plane. Tulad ng marami pang iba, may mga katangian ang mga numeric na function: Pagtaas, pagbaba, monotonicity, domain ng kahulugan at saklaw ng isang function, boundedness at unbounded, evenness at oddness, periodicity. Saklaw at saklaw ng isang function. Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero R. Nangangahulugan ito na ang argumento ng isang function ay maaaring tumagal lamang ng mga tunay na halaga kung saan ang function ay tinukoy, i.e. ito rin ay tumatanggap lamang ng mga tunay na halaga. Ang set X ng lahat ng tinatanggap na tunay na halaga ng argumento x kung saan ang function na y = f(x) ay tinukoy ay tinatawag na domain ng function. Ang hanay ng Y ng lahat ng tunay na halaga ng y na kinukuha ng isang function ay tinatawag na hanay ng function. Ngayon ay maaari tayong magbigay ng mas tumpak na kahulugan ng isang function: ang panuntunan (batas) ng pagsusulatan sa pagitan ng mga set X at Y, ayon sa kung saan para sa bawat elemento mula sa set X, isa at isang elemento lamang mula sa set Y ang matatagpuan, ay tinatawag na a function. Kahit at kakaibang mga function. Kung para sa alinmang x mula sa domain ng function ang mga sumusunod ay mayroong: f (- x) = f (x), kung gayon ang function ay tinatawag na even; kung ito ay maganap: f (- x) = - f (x), kung gayon ang function ay tinatawag na kakaiba. Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa Y axis (Larawan 5), at ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan (Larawan 6). Pana-panahong pag-andar. Ang isang function na f (x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function, f (x + T) = f (x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. Ngunit ang pinakamahalagang pag-aari upang matutunan ang pag-andar sa mga pangunahing klase ay monotone. Monotonic function. Kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 ang kundisyon x2 > x1 ay nagpapahiwatig ng f (x2) > f (x1), kung gayon ang function | f(x) | ay tinatawag na pagtaas; kung para sa alinmang x1 at x2 ang kundisyon x2 > x1 ay nagpapahiwatig ng f (x2) Sa elementarya, ang pag-andar ay nagpapakita ng sarili sa anyo ng direkta at kabaligtaran na proporsyonal na mga dependency. Direktang proporsyonalidad ay, una sa lahat,
function, na maaaring ibigay gamit ang formula y=kx, kung saan ang k ay isang di-zero na tunay na numero. Ang pangalan ng function na y = kx ay nauugnay sa mga variable na x at y na nakapaloob sa formula na ito. Kung ang saloobin dalawang dami ay katumbas ng ilang numero maliban sa sero, pagkatapos ay tinatawag sila direktang proporsyonal. K ay ang koepisyent ng proporsyonalidad. Sa pangkalahatan, ang function na y=kx ay isang mathematical model ng maraming totoong sitwasyon na isinasaalang-alang sa paunang kurso ng matematika. Halimbawa, sabihin natin na mayroong 2 kg ng harina sa isang pakete, at x ang mga naturang pakete ay binili, kung gayon ang buong masa ng biniling harina ay y. Ito ay maaaring isulat bilang isang pormula tulad nito: y=2x kung saan 2=k. Ang direktang proporsyonalidad ay may ilang mga katangian: xilang beses na tumataas (bumababa) ang katumbas na positibong halaga ng y sa parehong halaga. 2.3 Ang konsepto ng inverse proportionality. Inverse Proportional Properties: Kung ang mga halaga ng mga variablexatyay mga positibong tunay na numero, kung gayon na may pagtaas (bumababa) na variablexilang beses na bumababa (tumataas) ang katumbas na halaga ng y sa parehong halaga. Praktikal na bahagi Ang konsepto ng functional dependence ay isa sa nangunguna sa matematikal na agham, kaya ang pagbuo ng konseptong ito sa mga mag-aaral ay isang mahalagang gawain sa may layuning aktibidad ng guro upang bumuo ng matematikal na pag-iisip at malikhaing aktibidad ng mga bata. Ang pag-unlad ng functional na pag-iisip ay nagsasaad, una sa lahat, ang pag-unlad ng kakayahang tumuklas ng mga bagong koneksyon, upang makabisado ang mga pangkalahatang diskarte at kasanayan sa pag-aaral. Sa paunang kurso ng matematika, isang mahalagang papel ang dapat ibigay sa functional propaedeutics, na nagbibigay para sa paghahanda ng mga mag-aaral para sa pag-aaral ng mga sistematikong kurso sa algebra at geometry, at tinuturuan din sila sa dialectical na kalikasan ng pag-iisip, pag-unawa sa mga sanhi ng relasyon sa pagitan ng mga phenomena ng nakapaligid na katotohanan. Kaugnay nito, itatalaga namin ang mga pangunahing direksyon ng propaedeutic work sa paunang yugto ng pagtuturo ng paksa ayon sa programa ng L.G. Peterson: Ang konsepto ng mga hanay, ang pagsusulatan ng mga elemento ng dalawang hanay at pag-andar. Pag-asa ng mga resulta ng mga operasyon ng aritmetika sa pagbabago ng mga bahagi. Tabular, verbal, analytical, graphical na paraan ng pagtatakda ng function. Linear dependency. Coordinate system, una at pangalawang coordinate, ordered pair. Paglutas ng pinakasimpleng pinagsama-samang mga problema: pag-compile at pagbibilang ng bilang ng mga posibleng permutasyon, mga subset ng mga elemento ng isang finite set.. Paggamit ng isang sistematikong enumeration ng mga natural na halaga ng isa at dalawang variable sa paglutas ng mga problema sa plot. Pagpuno ng mga talahanayan na may mga kalkulasyon ng aritmetika, data mula sa mga kondisyon ng mga inilapat na problema. Pagpili ng data mula sa talahanayan ayon sa kundisyon. Pag-asa sa pagitan ng mga proporsyonal na halaga; inilapat na pag-aaral ng kanilang mga graph. Ang nilalaman ng paunang kurso ng matematika ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na makabuo ng ideya tungkol sa isa sa pinakamahalagang ideya ng matematika - ideya ng pagsang-ayon.Kapag nagsasagawa ng mga takdang-aralin para sa paghahanap ng mga halaga ng mga expression, pagpuno ng mga talahanayan, ang mga mag-aaral ay nagtatatag na ang bawat pares ng mga numero ay tumutugma sa hindi hihigit sa isang numero na nakuha bilang isang resulta. Gayunpaman, upang maunawaan ito, dapat suriin ang mga nilalaman ng mga talahanayan. Gumawa ng lahat ng posibleng halimbawa ng pagdaragdag ng dalawang solong-digit na numero na may sagot na 12. Kapag kinukumpleto ang gawaing ito, ang mga mag-aaral ay nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng dalawang hanay ng mga halaga ng termino. Ang itinatag na sulat ay isang function, dahil ang bawat halaga ng unang termino ay tumutugma sa isang solong halaga ng pangalawang termino sa isang pare-parehong kabuuan. Mayroong 10 mansanas sa isang plorera. Ilang mansanas ang matitira kung 2 mansanas ang kukunin? 3 mansanas? 5 mansanas? Itala ang iyong solusyon sa talahanayan. Ano ang nakasalalay sa resulta? Ilang unit ang nababago nito? Bakit? Ang problemang ito ay aktwal na nagpapakita ng pag-andar sa = 10 - X, kung saan ang variable X tumatagal ng mga halaga 2, 3, 5. Bilang resulta ng pagkumpleto ng gawaing ito, dapat tapusin ng mga mag-aaral: mas malaki ang subtrahend, mas maliit ang halaga ng pagkakaiba. Ang ideya ng functional na sulat ay naroroon din sa mga pagsasanay ng form: Ikonekta ang mga mathematical expression at ang kaukulang mga numerical value gamit ang isang arrow: 15 + 6 27 35 Panimula mga simbolo ng titik ay nagbibigay-daan sa iyo upang ipakilala sa mga mag-aaral ang pinakamahalagang konsepto ng modernong matematika - isang variable, isang equation, isang hindi pagkakapantay-pantay, na nag-aambag sa pag-unlad ng functional na pag-iisip, dahil ang ideya ng functional dependence ay malapit na nauugnay sa kanila. Kapag nagtatrabaho sa isang variable, napagtanto ng mga mag-aaral na ang mga titik na kasama sa expression ay maaaring kumuha ng iba't ibang mga numerical na halaga, at ang literal na expression mismo ay isang pangkalahatang notasyon ng mga numerical na expression. Ang malaking kahalagahan ng propaedeutic ay ang karanasan ng mga mag-aaral na nakikipag-usap sa mga pagsasanay sa pagtatatag ng mga pattern sa mga numerical sequence at ang kanilang pagpapatuloy: 1, 2, 3, 4… (sa = X + 1) 1, 3, 5, 7… (sa= 2 X + 1) konsepto dami, kasama ang konsepto ng numero, ay ang pangunahing konsepto ng paunang kurso ng matematika. Ang materyal ng seksyong ito ay ang pinakamayamang mapagkukunan para sa pagpapatupad ng hindi direktang functional propaedeutics. Una, ito ay ang pag-asa (inversely proportional) sa pagitan ng napiling yunit ng dami (sukat) at ang numerical na halaga nito (sukat) - mas malaki ang sukat, mas maliit ang bilang na nakuha bilang resulta ng pagsukat ng halaga sa panukalang ito. Samakatuwid, mahalaga na kapag nagtatrabaho sa bawat dami, ang mga mag-aaral ay nakakakuha ng karanasan sa pagsukat ng mga dami na may iba't ibang mga sukat upang sinasadyang pumili muna ng isang maginhawa, at pagkatapos ay isang solong sukat. Pangalawa, kapag pinag-aaralan ang mga dami na nagpapakilala sa mga proseso ng paggalaw, trabaho, pagbili at pagbebenta, nabuo ang mga ideya tungkol sa ugnayan sa pagitan ng bilis, oras at distansya, presyo, dami at gastos sa proseso ng paglutas ng mga problema sa teksto ng mga sumusunod na uri - upang dalhin sa pagkakaisa (paghahanap ng ikaapat na proporsyonal), paghahanap ng hindi alam sa pamamagitan ng dalawang pagkakaiba, proporsyonal na dibisyon. Ang partikular na kahirapan para sa mga mag-aaral ay ang pag-unawa sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na ito, dahil ang konsepto ng "proporsyonal na pag-asa" ay hindi paksa ng espesyal na pag-aaral at asimilasyon. Sa programa ng L.G. Ang pamamaraang ito ay nilulutas ni Peterson sa pamamagitan ng paggamit ng mga sumusunod na pamamaraan: - Paglutas ng mga problema sa nawawalang data ("bukas" na kondisyon): Ang Vasya ay 540 m mula sa bahay hanggang sa paaralan, at ang Pasha ay 480 m. Sino ang mas malapit na nakatira? Sino ang mas mabilis makarating doon? Bumili si Sasha ng mga notebook para sa 30 rubles at mga lapis para sa 45 rubles. Anong mga bagay ang pinakaginastos niya? Anong mga item ang mas nabili niya? Kapag sinusuri ang mga teksto ng mga gawaing ito, nalaman ng mga mag-aaral na kulang sila ng data at ang mga sagot sa mga tanong ay nakasalalay sa presyo at bilis. - Ang pag-aayos ng mga kondisyon ng mga gawain hindi lamang sa isang talahanayan (tulad ng iminungkahi sa klasikal na pamamaraan), kundi pati na rin sa anyo ng isang diagram. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na "i-visualize" ang mga dependency na isinasaalang-alang sa problema. Kaya, kung ang mga gumagalaw na bagay ay sumasakop sa parehong distansya na 12 km sa iba't ibang oras (2 oras, 3 oras, 4 na oras, 6 na oras), pagkatapos gamit ang scheme, ang kabaligtaran na relasyon ay malinaw na binibigyang kahulugan - mas maraming bahagi (oras), mas maliit. bawat bahagi (bilis). - Pagbabago ng isa sa data ng gawain at paghahambing ng mga resulta ng paglutas ng mga problema. 48 kg ng mansanas ang dinala sa kantina ng paaralan. Ilang mga kahon ang maaaring dalhin kung mayroong pantay na bilang ng mga mansanas sa lahat ng mga kahon? Kumpletuhin ng mga mag-aaral ang kondisyon ng problema at ayusin ang ugnayan sa pagitan ng mga dami gamit ang iba't ibang paraan ng pagbubuo ng teoretikal na kaalaman - sa isang talahanayan, diagram at pasalita. Narito ito ay kapaki-pakinabang na bigyang-pansin ang maramihang ratio ng mga dami na isinasaalang-alang - kung gaano karaming beses ang isa sa mga dami ay mas malaki, ang isa ay ang parehong bilang ng mga beses na mas malaki (mas mababa) na may pare-parehong pangatlo. Sa elementarya, ang mga mag-aaral ay tahasang ipinakilala tabular, analytical, verbal, graphical na paraan ng pagtatakda ng mga function. Kaya, halimbawa, ang ugnayan sa pagitan ng bilis, oras at distansya ay maaaring ipahayag bilang: A) pasalita: "upang mahanap ang distansya, kailangan mong i-multiply ang bilis sa oras"; B) analitikal: s= v t; C) talahanayan: v = 5 km / h Isang graphical na paraan ng pagtukoy ng dependency sa pagitan ng v , t, s ay nagbibigay-daan sa iyo upang bumuo ng isang ideya ng bilis bilang isang pagbabago sa lokasyon ng isang gumagalaw na bagay sa bawat yunit ng oras (kasama ang karaniwang tinatanggap - bilang isang distansya na nilakbay bawat yunit ng oras) At isang paghahambing ng mga graph ng paggalaw ng dalawang katawan (independiyenteng gumagalaw sa bawat isa) ay nililinaw ang ideya ng bilis bilang isang dami na nagpapakilala sa bilis ng paggalaw. Compound numeric expression(mayroon at walang panaklong), ang pagkalkula ng kanilang mga halaga ayon sa mga patakaran ng pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na mapagtanto na ang resulta ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Ayusin ang mga bracket upang makuha mo ang tamang pagkakapantay-pantay. 20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26 Sa kurso ng L.G. Peterson, ang mga mag-aaral ay tahasang ipinakilala linear dependence, bilang isang espesyal na kaso ng isang function. Ang function na ito ay maaaring tukuyin ng isang formula ng form sa= kh + b, saan X- malayang variable, k at b- numero. Ang domain ng kahulugan nito ay ang set ng lahat ng tunay na numero. Pagkatapos maglakbay ng 350 kilometro, ang tren ay nagsimulang gumalaw ng t oras sa bilis na 60 km/h. Ilang kilometro ang kabuuang nilakbay ng tren?(350 + 60 t) Ang pagsasagawa ng mga gawain na may pinangalanang mga numero, alam ng mga mag-aaral ang pagtitiwala ang numerical na halaga ng mga dami mula sa paggamit ng iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Ang parehong segment ay sinukat muna sa sentimetro, pagkatapos ay sa mga decimeter. Sa unang kaso, nakakuha kami ng numerong 135 higit pa kaysa sa pangalawa. Ano ang haba ng segment sa sentimetro? (Pag-asa sa= 10 X) Sa proseso ng pag-aaral ng paunang kurso ng matematika, ang mga mag-aaral ay bumubuo ng konsepto ng isang natural na serye ng mga numero, isang segment ng isang natural na serye, tinatanggap ang mga katangian ng isang natural na serye ng mga numero - infinity, orderliness, etc., form. ang ideya ng posibilidad ng isang walang limitasyong pagtaas sa isang natural na numero o isang pagbawas sa bahagi nito. Sa kurso ng matematika sa mga baitang 3-4, binibigyang pansin ang pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano gamitin mga formula, ang kanilang independiyenteng konklusyon. Dito mahalaga na turuan ang mga mag-aaral na ipakita ang parehong impormasyon sa iba't ibang anyo - graphical at analytically, na nagbibigay sa mga mag-aaral ng karapatang pumili ng form alinsunod sa kanilang mga cognitive style. Ang malaking interes sa mga mag-aaral ay ang mga gawain na nauugnay sa pagsusuri ng mga talahanayan ng mga variable na halaga, ang "pagtuklas" ng mga dependency sa pagitan nila at pagsulat sa anyo ng isang formula. Upang mabuo ang kakayahan ng mga mag-aaral na kumuha ng mga pormula, kailangan mo silang turuan na isulat ang iba't ibang mga pahayag sa wikang matematika (sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay): Ang isang panulat ay tatlong beses ang presyo ng isang lapis R = sa + 3); Numero a kapag hinati sa 5 ay nagbibigay ng natitirang 2 ( a= 5 b + 2); Ang haba ng parihaba ay 12 cm higit pa sa lapad ( a = b + 12). Ang isang kinakailangan ay ang talakayan ng mga posibleng pagpipilian para sa mga halaga ng mga dami na ito na may pagpuno sa naaangkop na mga talahanayan. Isang espesyal na lugar sa kurso ng L.G. Si Peterson ay kumuha ng mga takdang-aralin na may kaugnayan sa pananaliksik sa matematika: Isipin ang numero 16 bilang produkto ng dalawang salik sa magkaibang paraan. Para sa bawat pamamaraan, hanapin ang kabuuan ng mga salik. Sa anong kaso ka nakakuha ng pinakamaliit na halaga? Gawin din ang mga bilang 36 at 48. Ano ang hula? Kapag nagsasagawa ng mga ganoong gawain (upang pag-aralan ang kaugnayan sa pagitan ng bilang ng mga sulok ng isang polygon at ang kabuuang halaga ng mga sukat ng antas ng mga anggulo, sa pagitan ng halaga ng perimeter ng mga figure ng iba't ibang mga hugis na may parehong lugar, atbp.), ang mga mag-aaral ay nagpapabuti ang kanilang mga kasanayan sa pagtatrabaho sa isang talahanayan, dahil ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa talahanayan. Bilang karagdagan, ang tabular na paraan ng pag-aayos ng solusyon ay ginagamit sa paglutas ng mga hindi pamantayang problema sa matematika sa pamamagitan ng paraan ng ordered enumeration o rational selection. May 13 bata sa klase. Ang mga lalaki ay may kasing dami ng ngipin gaya ng mga babae sa daliri at paa. Ilang lalaki at ilang babae ang nasa klase? (Ang bawat batang lalaki ay may eksaktong 32 ngipin.) Mga Pagsasanay sa Komposisyon ng Numero; Mga paraan ng pribadong pagkalkula (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 5 = 12 10: 2); Pagsusuri ng kabuuan, pagkakaiba, produkto, kusyente. Kapag nagsasagawa ng mga ganoong gawain, mahalagang ipakita ang impormasyong multisensory. Paano magbabago ang kabuuan kung ang isang termino ay nadagdagan ng 10, at ang pangalawa ay nababawasan ng 5? Paano magbabago ang lugar ng isang rektanggulo (o produkto ng dalawang numero) kung ang isa sa mga gilid (isa sa mga numero) ay nadagdagan ng 3? Ang isang makabuluhang bahagi ng mga mag-aaral ay nagsasagawa ng mga katulad na gawain sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga partikular na halaga ng numero. Ang methodically literate sa sitwasyong ito ay graphically at analytically na magpapakahulugan sa kondisyon. (a+ 3) · b = a· b+ 3 ·b
Ang konsepto ng function sa mataas na paaralan ay nauugnay sa sistema ng coordinate. Sa kurso ng L.G. Peterson ay naglalaman ng materyal para sa propaedeutic na gawain sa direksyong ito: Numerical segment, numerical ray, coordinate ray; Pythagorean table, mga coordinate sa eroplano (coordinate angle); Mga tsart ng paggalaw; Mga pie, column at line chart na biswal na kumakatawan sa ugnayan sa pagitan ng mga discrete value. Kaya, ang pag-aaral ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, pagtaas at pagbaba ng bilang ng ilang mga yunit o ilang beses, ang ugnayan sa pagitan ng mga bahagi at ang mga resulta ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, paglutas ng mga problema para sa paghahanap ng ikaapat na proporsyonal, para sa koneksyon sa pagitan ng bilis, oras at distansya; presyo, dami at halaga; ang masa ng isang indibidwal na item, ang kanilang bilang at kabuuang masa; produktibidad ng paggawa, oras at trabaho; at iba pa, sa isang banda, pinagbabatayan ang pagbuo ng konsepto ng function, at sa kabilang banda, pinag-aaralan ang mga ito batay sa mga functional na konsepto. Dapat pansinin na ang graphic modeling ay may medyo malaking propaedeutic na halaga: graphic na interpretasyon ng pahayag ng problema, pagguhit, pagguhit, at higit pa. Ang impormasyong ipinakita sa graphic na anyo ay mas madaling maunawaan, malawak at sa halip ay may kondisyon, na idinisenyo upang magdala ng impormasyon lamang tungkol sa mga mahahalagang katangian ng bagay, upang mabuo ang mga graphic na kasanayan ng mga mag-aaral. Bilang karagdagan, ang resulta ng propaedeutics ng functional dependence ay dapat na isang mataas na aktibidad ng pag-iisip ng mga mas batang mag-aaral, ang pag-unlad ng intelektwal, pangkalahatang paksa at tiyak na mga kasanayan at kakayahan sa matematika. Ang lahat ng ito ay lumilikha ng isang matatag na pundasyon hindi lamang para sa paglutas ng mga metodolohikal na problema ng elementarya na matematika - ang pagbuo ng mga kasanayan sa computational, ang kakayahang malutas ang mga problema sa teksto, atbp., kundi pati na rin para sa pagpapatupad ng pagbuo ng mga pagkakataon para sa nilalaman ng matematika at, hindi gaanong mahalaga, para sa matagumpay na pag-aaral ng mga tungkulin sa mataas na paaralan. 3.2 Paglutas ng mga problema para sa proporsyonal na umaasa na dami Upang malutas ang isang problema ay nangangahulugan sa pamamagitan ng isang lohikal na tamang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon. at mga operasyon na may tahasan o hindi direktang magagamit sa mga numero ng problema, dami, relasyon upang matupad ang pangangailangan ng gawain (upang sagutin ang tanong nito). Ang mga pangunahing sa matematika ay aritmetika at algebraic mga paraan ng paglutas ng mga problema. Sa aritmetika paraan ang sagot sa tanong ng problema ay matatagpuan bilang isang resulta ng pagsasagawa ng arithmetic mga aksyon sa mga numero. Ang iba't ibang mga pamamaraan ng aritmetika para sa paglutas ng parehong problema ay iba mga relasyon sa pagitan ng data, data at hindi alam, data at kung ano ang hinahanap, pinagbabatayan ng pagpili ng mga operasyong arithmetic, o isang pagkakasunud-sunod paggamit ng mga ugnayang ito kapag pumipili ng mga aksyon. Ang paglutas ng problema sa teksto sa paraang aritmetika ay isang kumplikadong aktibidad, mapagpasyahan. Gayunpaman, maaari itong nahahati sa maraming yugto: 1. Pagdama at pagsusuri sa nilalaman ng gawain. 2. Maghanap at gumuhit ng isang plano para sa paglutas ng problema. 3. Pagpapatupad ng plano ng solusyon. Pagbubuo ng konklusyon sa katuparan ng pangangailangan gawain (sagot sa tanong ng gawain). 4. Pagpapatunay ng solusyon at pag-aalis ng mga pagkakamali, kung mayroon man. Mga problema para sa proporsyonal na dibisyon ay ipinakilala sa iba't ibang paraan: maaari kang mag-alok upang malutas ang isang nakahandang problema, o maaari mo munang isulat ito sa pamamagitan ng pagbabago ng problema upang mahanap ang ikaapat na proporsyonal. Sa parehong mga kaso, ang tagumpay ng solusyon ang mga problema para sa proporsyonal na paghahati ay matutukoy ng isang matatag na kakayahang malutas problema ng paghahanap ng ikaapat na proporsyonal, samakatuwid, bilang pagsasanay, ito ay kinakailangan upang magbigay para sa solusyon ng mga problema ng naaangkop na uri para sa paghahanap ikaapat na proporsyonal. Iyon ang dahilan kung bakit mas gusto ang pangalawa. pinangalanang mga opsyon para sa pagpapakilala ng mga problema para sa proporsyonal na dibisyon. Ang paglipat sa paglutas ng mga nakahandang problema mula sa aklat-aralin, pati na rin ang mga problemang pinagsama-sama guro, kabilang ang iba't ibang grupo ng mga dami, kailangan mo munang itatag kung ano dami na tinutukoy sa gawain, pagkatapos ay isulat ang gawain nang maikli sa talahanayan, na dati nang hinati ang tanong ng problema sa dalawang tanong, kung naglalaman ito ng salita bawat isa. Ang desisyon, bilang panuntunan, ang mga mag-aaral ay gumaganap sa kanilang sarili, pagsusuri isinasagawa lamang sa mga indibidwal na mag-aaral. Sa halip na isang maikling tala, maaari mong gawin larawan. Halimbawa, kung ang problema ay nagsasalita tungkol sa mga piraso ng bagay, coils ng wire at atbp., kung gayon maaari silang ilarawan bilang mga segment sa pamamagitan ng pagsulat ng kaukulang numerical ang mga halaga ng mga dami na ito. Tandaan na hindi kinakailangang magsagawa ng maikling buod sa bawat pagkakataon. record o pagguhit, kung ang mag-aaral, pagkatapos basahin ang problema, alam kung paano lutasin ito, kung gayon hayaan siyang magpasya, at ang mga nahihirapan ay gagamit ng maikling tala o pagguhit Upang malutas ang gawain. Unti-unti, dapat na maging mas mahirap ang mga gawain sa pamamagitan ng pagpapakilala karagdagang data (halimbawa: "Sa unang piraso mayroong 16 m ng bagay, at sa pangalawa 2 beses na mas kaunti.”) o sa pamamagitan ng pagtatanong (halimbawa: “Ilang metro mayroon bang mas maraming bagay sa unang piraso kaysa sa pangalawa?). Kapag pamilyar ka sa solusyon ng problema ng hindi katimbang na dibisyon, maaari kang pumunta sa ibang paraan: lutasin muna ang mga nakahandang problema, at pagkatapos ay gumanap pagbabago ng problema ng paghahanap ng ikaapat na proporsyonal sa problema ng proporsyonal na paghahati at, pagkatapos malutas ang mga ito, ihambing ang parehong mga gawain sa kanilang sarili at kanilang mga desisyon. Ang paglalahat ng kakayahang malutas ang mga problema ng itinuturing na uri ay tinutulungan ng mga pagsasanay kalikasang malikhain. Pangalanan natin ang ilan sa kanila. Bago ito lutasin, kapaki-pakinabang na itanong kung alin sa mga tanong ng problema ang sasagutin sa sagot. mas maraming bilang at bakit, at pagkatapos ng desisyon na suriin kung tumutugma ako sa species na ito ang mga resultang numero, na magiging isa sa mga paraan upang suriin ang solusyon. Maaaring higit pa alamin kung ang parehong mga numero ay maaaring makuha sa sagot at sa ilalim ng kung anong mga kondisyon. Mga kapaki-pakinabang na pagsasanay para sa paghahanda ng mga problema ng mga mag-aaral sa kanilang kasunod na solusyon, gayundin ang mga pagsasanay sa pagbabago ng gawain. Ito ay, una sa lahat, ang compilation mga gawaing katulad ng mga nalutas. Kaya, pagkatapos malutas ang problema sa mga dami: presyo, dami at gastos - iminumungkahi ang pag-iipon at paglutas ng isang katulad na problema sa ang parehong dami o sa iba, tulad ng bilis, oras at distansya. Ito ang pagsasama-sama ng mga gawain ayon sa kanilang solusyon, na nakasulat bilang hiwalay mga aksyon, at sa anyo ng isang pagpapahayag, ito ay ang pagsasama-sama at solusyon ng mga problema ayon sa kanilang maikling schematic notation 1 paraan: X \u003d 15 * 30 / 8 \u003d 56 rubles 25 kopecks 2 paraan: ang halaga ng tela ay tumaas ng 15/8 beses, na nangangahulugan na ang pera ay babayaran ng 15/8 beses na higit pa X \u003d 30 * 15/8 \u003d 56 rubles 25 kopecks 2.
Isang maginoo ang tumawag ng karpintero at nag-utos na itayo ang bakuran. Binigyan niya siya ng 20 manggagawa at tinanong kung ilang araw sila magtatayo ng bakuran para sa kanya. Sumagot ang karpintero: sa loob ng 30 araw. At ang panginoon ay kailangang magtayo sa loob ng 5 araw, at para dito ay tinanong niya ang karpintero: gaano karaming mga tao ang kailangan mong magkaroon, upang maaari kang bumuo ng isang bakuran sa kanila sa loob ng 5 araw; at ang karpintero, na nalilito, ay nagtanong sa iyo, aritmetika: ilang tao ang kailangan niyang upahan upang magtayo ng isang bakuran sa loob ng 5 araw? Isang hindi natapos na maikling kondisyon ang nakasulat sa pisara: Opsyon ko: proporsyon II pagpipilian: walang sukat ako. II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 manggagawa 3.
Kumuha sila ng 560 sundalo ng pagkain sa loob ng 7 buwan, at inutusan silang maglingkod sa loob ng 10 buwan, at nais nilang alisin ang mga tao sa kanilang sarili upang magkaroon ng sapat na pagkain sa loob ng 10 buwan. Ang tanong, ilang tao ang dapat bawasan? lumang gawain. Lutasin ang problemang ito nang walang proporsyon: (Ang bilang ng mga buwan ay tumataas ng isang kadahilanan, na nangangahulugang ang bilang ng mga sundalo ay nababawasan ng isang kadahilanan. 560 - 392 = 168 (dapat bawasan ang mga sundalo) Noong sinaunang panahon, para sa paglutas ng maraming uri ng mga problema, mayroong mga espesyal na patakaran para sa paglutas ng mga ito. Ang mga problema na pamilyar sa amin para sa direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad, kung saan kinakailangan upang mahanap ang ikaapat sa pamamagitan ng tatlong halaga ng dalawang dami, ay tinawag na mga problema para sa "triple rule". Kung para sa tatlong mga halaga, limang mga halaga ang ibinigay, at kinakailangan upang mahanap ang ikaanim, kung gayon ang panuntunan ay tinawag na "lima". Katulad nito, para sa apat na dami ay nagkaroon ng "rule of septenary". Ang mga gawain para sa paglalapat ng mga panuntunang ito ay tinatawag ding mga gawain para sa "komplikadong triple na panuntunan". 4.
Tatlong inahin ang nangitlog ng 3 sa loob ng 3 araw. Ilang itlog ang ilalagay ng 12 inahin sa loob ng 12 araw? Ilang beses tumaas ang mga manok? (4 na beses) Paano nagbago ang bilang ng mga itlog kung ang bilang ng mga araw ay hindi nagbago? (nadagdagan ng 4 na beses) Ilang beses tumaas ang bilang ng mga araw? (4 na beses) Paano nagbago ang bilang ng mga itlog? (nadagdagan ng 4 na beses) X \u003d 3 * 4 * 4 \u003d 48 (itlog) 5
. Kung ang isang eskriba ay makakasulat ng 15 na mga sheet sa loob ng 8 araw, ilang mga eskriba ang kakailanganin upang magsulat ng 405 na mga sheet sa loob ng 9 na araw? Mula sa pagdami ng araw ng trabaho Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong problema na may apat na dami. 6.
Para sa pag-iilaw ng 18 silid, 120 tonelada ng kerosene ang ginugol sa loob ng 48 araw, at 4 na lampara ang nasusunog sa bawat silid. Ilang araw ang tatagal ng 125 pounds ng kerosene kung 20 kwarto ang iluminado at 3 lamp ang ilawan sa bawat silid? Bumababa ang bilang ng mga araw ng paggamit ng kerosene sa pagdami ng mga kwarto sa 20
beses. X = 48 * * : = 60 (araw) Sa wakas ay may X = 60. Nangangahulugan ito na ang 125 pounds ng kerosene ay sapat na para sa 60 araw. Konklusyon Ang sistemang metodolohikal para sa pag-aaral ng functional dependence sa elementarya, na binuo sa konteksto ng modular na edukasyon, ay isang integridad na binubuo ng ugnayan ng mga pangunahing bahagi (target, nilalaman, organisasyon, teknolohikal, diagnostic) at mga prinsipyo (modularity, mulat na pananaw, pagiging bukas, pokus ng edukasyon sa pag-unlad ng personalidad ng mag-aaral). , versatility ng methodological consulting). Ang modular na diskarte ay isang paraan ng pagpapabuti ng proseso ng pag-aaral ng functional dependence sa mga mag-aaral sa elementarya, na nagpapahintulot sa: mga mag-aaral - upang makabisado ang sistema ng functional na kaalaman at mga pamamaraan ng pagkilos, praktikal (operational) na mga kasanayan; ang guro - upang bumuo ng kanilang pag-iisip sa matematika batay sa functional na materyal, upang linangin ang kalayaan sa pag-aaral. Ang metodolohikal na suporta ng proseso ng pag-aaral ng mga pag-andar sa elementarya ay binuo batay sa mga modular na programa, na siyang batayan para sa pag-highlight ng mga pangunahing pattern na kinakailangan para sa pag-unawa sa paksa, matagumpay at kumpletong asimilasyon ng nilalaman ng materyal na pang-edukasyon, at ang pagtatamo ng mga mag-aaral ng matatag na kaalaman, kasanayan at kakayahan. Bibliograpiya.
aplikasyon sa aralin at presentasyon.I-download:
Preview:
Mga slide caption:
Preview:
Preview:
Preview:
Preview:
Preview:
at hanapin ang halaga nito sa
at hanapin ang halaga nito sa 
.
;
;
.
;
; G) 
.n1.doc
Ryazan
Teoretikal na bahagi
1.1 Pagbuo ng konsepto ng functional dependence sa matematika……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… .
Mga function ng numero
1.3 Mga katangian ng function ………………………………………………………………………………………7
2. Direkta at kabaligtaran na mga sukat
2.2 Mga katangian ng isang direktang proporsyonal na relasyon……………………………………………………….10
2.3 Ang konsepto ng inverse proportionality at mga katangian nito…………………………………………………………………………-
Praktikal na bahagi
Konklusyon…………………………………………………………………….21
Sa unang kalahati ng siglo XVIII. nagkaroon ng paglipat mula sa isang visual na representasyon ng konsepto ng isang function patungo sa isang analytical na kahulugan. Ang Swiss mathematician na si Johann Bernoulli, at pagkatapos ay ang akademikong si Leonhard Euler, ay naniniwala na ang function
Ngayon alam natin na ang isang function ay maaaring ipahayag hindi lamang sa matematikal na wika, kundi pati na rin sa graphical. Ang pioneer ng pamamaraang ito ay si Descartes. Malaki ang papel ng pagtuklas na ito sa karagdagang pag-unlad ng matematika: nagkaroon ng transisyon mula sa mga puntos patungo sa mga numero, mula sa mga linya patungo sa mga equation, mula sa geometry hanggang sa algebra. Kaya, naging posible na makahanap ng mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema.
Sa kabilang banda, salamat sa paraan ng coordinate, naging posible na ilarawan ang magkakaibang mga dependency na geometriko.
Kaya, ang mga graph ay nagbibigay ng isang visual na representasyon ng likas na katangian ng ugnayan sa pagitan ng mga dami; kadalasang ginagamit ang mga ito sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya.
Nangangahulugan ito na bago ang pagpapakilala ng konsepto ng "function", kinakailangan na magtrabaho sa pagbuo ng mga functional na kasanayan sa pag-iisip, upang "sa sandaling ang pangkalahatang ideya ng functional dependence ay dapat pumasok sa kamalayan ng mga mag-aaral, ito ang kamalayan ay sapat na inihanda para sa layunin at epektibo, at hindi lamang para sa pormal na pagdama ng isang bagong konsepto at mga kaugnay na ideya at kasanayan” (A.Ya. Khinchin)
Ang pagbuo ng ideya ng functional dependence ay nagpatuloy sa maraming yugto:
I. Ya. Si Khinchin ay nagbigay ng malaking pansin sa problemang ito sa kanyang mga gawa.
Ang modernong konsepto ng isang function ay malaki ang pagkakaiba sa mga nauna. Ito ay mas ganap na sumasalamin sa lahat ng mga katangian at dependency na mayroon ito.
1.2 Mga paraan upang magtakda ng mga function
1.3 Mga katangian ng function.
Ang isang function ay itinuturing na ibinigay kung: ang saklaw ng function X ay ibinigay; ang saklaw ng mga halaga ng function na Y ay ibinigay; ang panuntunan (batas) ng pagsusulatan ay kilala, at para sa bawat halaga ng argument ay isang halaga lamang ng function ang makikita. Ang pangangailangang ito ng pagiging natatangi ng function ay sapilitan.
Limitado at walang limitasyong mga pag-andar. Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na | f(x) | M para sa lahat ng x value. Kung walang ganoong numero, ang function ay walang hangganan.
2. Direkta at baligtad na proporsyonal na mga dependency.
2.1 Ang konsepto ng direktang proporsyonalidad.
2.2 Mga katangian ng isang direktang proporsyonal na relasyon.
Kung ang mga halaga ng mga variablexaty
Ang domain ng function na y=kx ay ang hanay ng mga tunay na numero R;
Ang isang graph ng direktang proporsyonalidad ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan;
Para sa k>0, ang function na y=kx ay tumataas sa buong domain ng kahulugan (para sa k
Kung ang function na f ay isang direktang proporsyonalidad, kung gayon ang (x1,y1),(x2,y2) ay mga pares ng katumbas na variable na x at y, kung saan ang x ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang x1/x2=y1/y2.
Inverse proportionality- ito ay function, na maaaring ibigay gamit ang formula y=k/x, kung saan ang k ay isang di-zero na tunay na numero. Ang pangalan ng function na y = k/x ay nauugnay sa mga variable na x at y, ang produkto nito ay katumbas ng ilang tunay na numero na hindi katumbas ng zero.
Ang domain ng kahulugan at ang saklaw ng function na y=k/x ay ang hanay ng mga tunay na numero R;
Ang graph ng direktang proporsyonalidad ay isang hyperbole;
Para sa k 0, ayon sa pagkakabanggit, ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, mga sanga - pababa)
Kung ang function na f ay inversely proportional, kung gayon ang (x1,y1),(x2,y2) ay mga pares ng katumbas na variable na x at y, kung saan ang x ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang x1/x2=y2/y1.
3.1 Mga functional na propaedeutics sa paunang kurso ng matematika
d) graphically (gamit ang isang coordinate beam o anggulo).
Kapag sinusuri ang mga numerong ipinakita sa talahanayan, madaling mapansin ng mga mag-aaral na ang mga numero sa unang hanay ay tumaas ng isa, ang mga numero sa pangalawang hanay ay tumaas ng apat. Ang gawain ng guro ay bigyang-pansin ang kaugnayan ng mga halaga ng mga variable a at b. Upang palakasin ang inilapat na oryentasyon ng edukasyon sa matematika, kinakailangan na "buhayin" ang sitwasyong ito, ilipat ito sa katayuan ng balangkas.
Ang pagtuturo ng matematika ayon sa programa ng L.G. Binibigyan ni Peterson ang mga mag-aaral ng asimilasyon ng ugnayan sa pagitan ng mga resulta at mga bahagi ng mga operasyong aritmetika, nabuo ang isang ideya tungkol sa Ang "bilis" ng pagbabago ng resulta ng mga operasyon ng aritmetika depende sa pagbabago sa mga bahagi:
Mga inahin
araw
itlog
3
3
3
12
12
X
Kailangang malaman:
(Ang bilang ng mga eskriba ay tumataas mula sa pagdami ng mga sheet sa mga oras at bumababa
(mga eskriba)).
Ang bilang ng mga araw ng paggamit ng kerosene ay tumataas mula sa pagtaas ng dami ng kerosene sa
beses at mula sa pagbabawas ng mga lamp sa kalahati.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Teorya at kasanayan sa paglutas ng mga problema sa teksto: Proc. allowance para sa mga mag-aaral. mas mataas ped. aklat-aralin mga establisyimento. - M .: Publishing Center "Academy", 2002. -288 p.
Fridman L. M. Mathematics: Textbook para sa mga guro at mag-aaral ng mga unibersidad at kolehiyo ng pedagogical. - M .: School press, 2002. - 208s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Mga Batayan ng paunang kurso ng matematika: Proc. allowance para sa mga estudyante ped. uch - u ayon sa espesyal. “Ang pagtuturo sa mga unang baitang ay pangkalahatang edukasyon. paaralan" - M.: Enlightenment, 1998. - 320s.
Stoilova L.P. Mathematics: Textbook para sa mga mag-aaral. mas mataas Ped. aklat-aralin mga establisyimento. - M .: Publishing Center "Akakdemiya", 1999. - 424 p.
Pekhletsky I. D. Mathematics: Textbook. - 2nd stereotypical edition - M .: Publishing Center "Academy"; Mastery, 2002. – 304 p.
Kryuchkova V.V. Magtrabaho sa mga problema sa mga proporsyonal na halaga sa pagbuo ng mode: Gabay sa pamamaraan para sa mga guro sa simula. mga klase: Part 2 / Ryazan Regional Institute for the Development of Education. Ryazan, 1996. - 75s.
Padun T. A. Non-standard tasks in the course of elementary mathematics: Methodical. Inirerekomenda Upang matulungan ang mga guro sa elementarya / Ryaz. Rehiyon sa - t pag-unlad ng edukasyon. - Ryazan, 2003 - 85s.
Glazer G. I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan: IX - X na mga cell. Isang gabay para sa mga guro. - M.: Enlightenment, 1983. - 351 p., may sakit.
Dorofeev G.V. Humanitarian-oriented na kurso - ang batayan ng paksang "Mathematics" sa isang pangkalahatang paaralan ng edukasyon // Mathematics at School. - 1997. - No. 4. - P.59-66, p. 59.
Mga aktwal na problema ng mga pamamaraan ng pagtuturo ng matematika sa elementarya. / Ed. M.I. Moro, A.M. Pyshkalo. - M.: Pedagogy, 1977. - 262 p.
Bantova M.A., Beltyukova G.V. Mga paraan ng pagtuturo ng matematika sa elementarya. - M.: Pedagogy, 1984. - 301 p.
Davydov V.V. Mathematics, grade 3: Isang aklat-aralin para sa isang 4 na taong elementarya. - M.: Publishing Center "Academy", 1998. - 212 p.
Moro M.I. at iba pa.Mathematics: Isang aklat-aralin para sa ika-3 baitang ng tatlong taong elementarya at ika-4 na baitang ng apat na taong elementarya. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Enlightenment, 1997. - 240 p.
Peterson L.G. Matematika, ika-3 baitang. Ch. 1, 2. Teksbuk para sa 4 na taong gulang na elementarya. - M.: Balass, 2001.
