Vector diagram. Pagdaragdag ng mga vibrations.

Ang solusyon ng isang bilang ng mga problema sa teorya ng mga oscillation ay lubos na pinadali at nagiging mas malinaw kung ang mga oscillation ay inilalarawan nang grapiko gamit ang pamamaraan. mga diagram ng vector. Pumili tayo ng ilang axis X. Mula sa isang punto 0 sa axis ay inilalagay namin ang haba ng vector , na unang bumubuo ng isang anggulo sa axis (Larawan 2.14.1). Kung dadalhin natin ang vector na ito sa pag-ikot na may angular velocity , pagkatapos ay ang projection ng dulo ng vector papunta sa axis X magbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas

.

Samakatuwid, ang projection ng dulo ng vector papunta sa axis ay magsasagawa ng harmonic oscillation na may amplitude na katumbas ng haba ng vector, na may circular frequency na katumbas ng angular velocity ng pag-ikot ng vector, at may paunang phase na katumbas. sa anggulo na nabuo ng vector gamit ang axis sa unang sandali ng oras. Ang anggulo na nabuo ng vector na may axis sa isang naibigay na sandali ng oras ay tumutukoy sa yugto ng oscillation sa sandaling iyon - .

Mula sa sinabi, sumusunod na ang isang harmonic oscillation ay maaaring katawanin gamit ang isang vector, ang haba nito ay katumbas ng amplitude ng oscillation, at ang direksyon nito ay bumubuo ng isang anggulo na may isang tiyak na axis na katumbas ng phase ng oscillation. Ito ang kakanyahan ng pamamaraan ng mga diagram ng vector.

Pagdaragdag ng mga oscillations ng parehong direksyon.

Isaalang-alang ang pagdaragdag ng dalawang harmonic oscillations, ang mga direksyon kung saan ay parallel:

. (2.14.1)

Nagreresultang offset X ay magiging kabuuan ng at . Ito ay magiging isang oscillation na may amplitude .

Gamitin natin ang paraan ng mga vector diagram (Larawan 2.14.2). sa figure, at ay ang mga yugto ng nagreresulta at idinagdag na mga oscillation, ayon sa pagkakabanggit. Madaling makita kung ano ang mahahanap sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga vectors at . Gayunpaman, kung ang mga frequency ng mga idinagdag na oscillations ay iba, kung gayon ang nagresultang amplitude ay nagbabago sa magnitude sa paglipas ng panahon at ang vector ay umiikot sa isang hindi pare-parehong bilis, i.e. ang oscillation ay hindi magiging harmonic, ngunit kumakatawan sa ilang kumplikadong proseso ng oscillatory. Upang ang resultang oscillation ay maging harmonic, ang mga frequency ng mga idinagdag na oscillations ay dapat na pareho.

at ang nagresultang oscillation ay nangyayari sa parehong dalas

.

Malinaw sa construction na

Suriin natin ang expression (2.14.2) para sa amplitude ng nagresultang oscillation. Kung ang ang pagkakaiba sa bahagi ng mga idinagdag na oscillations ay katumbas ng zero(Ang mga oscillations ay nasa yugto), ang amplitude ay katumbas ng kabuuan ng mga amplitude ng mga idinagdag na oscillations, ibig sabihin. ay may pinakamataas na posibleng halaga . Kung ang ang pagkakaiba ng bahagi ay(ang mga oscillations ay nasa antiphase), pagkatapos ang resultang amplitude ay katumbas ng amplitude difference, ibig sabihin. may pinakamaliit na posibleng halaga .

Pagdaragdag ng magkabilang patayo na vibrations.

Hayaang magsagawa ang particle ng dalawang harmonic oscillations na may parehong frequency: isa sa direksyon, na tinutukoy namin X, ang isa ay nasa patayong direksyon y. Sa kasong ito, ang particle ay lilipat kasama ang ilan, sa pangkalahatang kaso, isang curvilinear trajectory, ang hugis nito ay depende sa phase difference ng mga oscillations.

Pinipili namin ang pinagmulan ng sanggunian ng oras upang ang paunang yugto ng isang oscillation ay katumbas ng zero:

. (2.14.3)

Upang makuha ang particle trajectory equation, kinakailangan na ibukod mula sa (2.14.3) t. Mula sa unang equation, a. ibig sabihin, . Isulat muli natin ang pangalawang equation

o

.

Ang paglilipat ng unang termino mula sa kanang bahagi ng equation patungo sa kaliwang bahagi, pag-square ng resultang equation at pagsasagawa ng mga pagbabago, nakukuha namin

. (2.14.4)

Ang equation na ito ay ang equation ng isang ellipse na ang mga axes ay pinaikot kaugnay sa mga axes X at y sa ilang anggulo. Ngunit sa ilang mga espesyal na kaso mas simpleng mga resulta ang nakuha.

1. Ang pagkakaiba ng bahagi ay zero. Pagkatapos mula sa (2.14.4) makuha namin

o . (2.14.5)

Ito ang equation ng isang tuwid na linya (Larawan 2.14.3). Kaya, ang particle ay nag-o-oscillate sa tuwid na linya na ito na may dalas at amplitude na katumbas ng .

Ang vector diagram ay isang paraan upang graphical na tukuyin ang isang oscillatory motion bilang isang vector.

Ang isang oscillating value ξ (ng anumang pisikal na kalikasan) ay naka-plot kasama ang pahalang na axis. Ang vector na naka-plot mula sa punto 0 ay katumbas ng absolute value sa oscillation amplitude A at nakadirekta sa isang anggulo α , katumbas ng unang yugto ng oscillation, sa axis ξ. Kung dadalhin natin ang vector na ito sa pag-ikot na may angular na bilis ω na katumbas ng cyclic frequency ng mga oscillations, kung gayon ang projection ng vector na ito sa ξ axis ay nagbibigay ng halaga ng oscillating quantity sa isang arbitrary na sandali sa oras.

Pagdaragdag ng mga oscillations ng parehong dalas at parehong direksyon

Hayaang magkaroon ng dalawang oscillations: bumuo kami ng mga diagram ng vector at magdagdag ng mga vector:

Ayon sa batas ng cosine

kasi pagkatapos

Malinaw (tingnan ang diagram) na ang unang yugto ng nagresultang oscillation ay tinutukoy ng kaugnayan:

Pagdaragdag ng mga oscillations ng malapit na frequency

P est, dalawang oscillations na may halos magkaparehong frequency ay idinagdag, i.e.

Mula sa trigonometrya:

Sa pag-aaplay sa aming kaso, nakukuha namin ang:

Ang graph ng nagresultang oscillation ay isang beat graph, i.e. halos harmonic oscillations ng frequency ω, ang amplitude na dahan-dahang nagbabago sa frequency Δω .

Malawak dahil sa pagkakaroon ng tanda ng modulus (ang amplitude ay palaging> 0), ang dalas kung saan nagbabago ang amplitude ay hindi katumbas ng Δω / 2, ngunit dalawang beses na mas mataas - Δω.

Pagdaragdag ng kapwa patayo na mga oscillations

Hayaang mag-oscillate ang isang maliit na katawan sa magkabilang tirik na bukal na may parehong higpit. Sa anong trajectory lilipat ang katawan na ito?

Ito ang mga trajectory equation sa parametric form. Upang makakuha ng tahasang relasyon sa pagitan ng x at y na mga coordinate, ang parameter na t ay dapat na hindi kasama sa mga equation.

Mula sa unang equation: ,

Mula sa pangalawa

Pagkatapos ng pagpapalit

Tanggalin natin ang ugat:

ay ang equation ng isang ellipse

H
mga espesyal na kaso:

27. Damped vibrations. Sapilitang vibrations. Resonance.

Pamamasa ng mga libreng oscillations

Dahil sa paglaban, ang mga libreng oscillation ay laging namamatay nang maaga o huli. Isaalang-alang natin ang proseso ng oscillation damping. Ipagpalagay natin na ang puwersa ng paglaban ay proporsyonal sa bilis ng katawan. (ang proportionality factor ay ipinahiwatig ng 2mg para sa mga dahilan ng kaginhawahan, na ipapakita sa ibang pagkakataon). Isaisip natin ang kaso kapag ang pamamasa nito ay maliit sa panahon ng oscillation. Pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na ang pamamasa ay magkakaroon ng kaunting epekto sa dalas, ngunit makakaapekto ito sa amplitude ng mga oscillations. Pagkatapos ay ang equation ng damped oscillations ay maaaring katawanin bilang Narito ang A(t) ay kumakatawan sa ilang nagpapababang function na kailangang matukoy. Magpapatuloy tayo mula sa batas ng konserbasyon at pagbabago ng enerhiya. Ang pagbabago sa enerhiya ng mga oscillation ay katumbas ng average na gawain ng puwersa ng paglaban sa panahon, i.e. Hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng dt. Sa kanan ay magkakaroon tayo ng dx/dt, i.e. bilis v, at sa kaliwa ay makukuha mo ang derivative ng enerhiya na may paggalang sa oras. Samakatuwid, isinasaalang-alang Ngunit ang average na kinetic energy katumbas ng kalahati ng kabuuang enerhiya. Samakatuwid, maaari itong isulat na hatiin ang parehong bahagi nito sa E at i-multiply sa dt. Nakukuha namin iyon Isinasama namin ang parehong bahagi ng resultang equation: Pagkatapos ng potentiation, nakukuha namin Ang integration constant C ay matatagpuan mula sa mga paunang kondisyon. Hayaan sa t = 0 E = E0, pagkatapos ay E0 = C. Samakatuwid, Ngunit E~A^2. Samakatuwid, ang amplitude ng damped oscillations ay bumababa din ayon sa exponential law:

At kaya, dahil sa paglaban, ang amplitude ng mga oscillations ay bumababa at sa pangkalahatan ay tumingin sila tulad ng ipinapakita sa Fig. 4.2. Ang coefficient ay tinatawag na attenuation coefficient. Gayunpaman, hindi ito lubos na nagpapakilala sa pagpapalambing. Karaniwan, ang pamamasa ng mga oscillations ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagbabawas ng pamamasa. Ang huli ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang oscillation amplitude ay bumababa sa isang oras na katumbas ng oscillation period. Iyon ay, ang damping factor ay tinukoy bilang mga sumusunod: Ang logarithm ng damping decrement ay tinatawag na logarithmic decrement, ito ay malinaw na katumbas ng

Sapilitang vibrations

Kung ang sistema ng oscillatory ay sumasailalim sa pagkilos ng isang panlabas na pana-panahong puwersa, pagkatapos ay ang tinatawag na sapilitang mga oscillations ay lumitaw, na may isang hindi nababagong karakter. Ang sapilitang mga oscillations ay dapat na makilala mula sa self-oscillations. Sa kaso ng mga self-oscillations sa system, ang isang espesyal na mekanismo ay ipinapalagay, na, sa oras na may sarili nitong mga oscillations, "naghahatid" ng maliliit na bahagi ng enerhiya mula sa ilang reservoir ng enerhiya sa system. Kaya, ang mga natural na oscillations ay pinananatili, na hindi nabubulok. Sa kaso ng mga self-oscillations, ang sistema, tulad nito, ay nagtutulak sa sarili nito. Ang mga orasan ay maaaring magsilbi bilang isang halimbawa ng isang self-oscillatory system. Ang orasan ay nilagyan ng mekanismo ng ratchet, sa tulong kung saan ang pendulum ay tumatanggap ng maliliit na shocks (mula sa isang naka-compress na spring) sa oras na may sarili nitong mga oscillations. Sa kaso ng sapilitang mga oscillations, ang sistema ay itinutulak ng isang panlabas na puwersa. Sa ibaba ay naninirahan tayo sa kasong ito, sa pag-aakalang ang paglaban sa sistema ay maliit at maaaring mapabayaan. Bilang isang modelo ng sapilitang mga oscillations, ibig sabihin namin ang parehong katawan na sinuspinde sa isang spring, na apektado ng isang panlabas na pana-panahong puwersa (halimbawa, isang puwersa na may isang electromagnetic na kalikasan). Nang hindi isinasaalang-alang ang paglaban, ang equation ng paggalaw ng naturang katawan sa projection sa x-axis ay may anyo: kung saan ang w* ay ang cyclic frequency, ang B ay ang amplitude ng panlabas na puwersa. Ito ay kilala na ang mga pagbabago ay umiiral. Samakatuwid, hahanapin namin ang isang partikular na solusyon ng equation sa anyo ng isang sinusoidal function Pinapalitan namin ang function sa equation, kung saan dalawang beses naming pinag-iba-iba ang paggalang sa oras . Ang pagpapalit ay humahantong sa relasyon

Ang equation ay nagiging isang pagkakakilanlan kung ang tatlong kundisyon ay natutugunan: . Pagkatapos at ang equation ng sapilitang mga oscillations ay maaaring katawanin bilang Nangyayari ang mga ito sa isang dalas na tumutugma sa dalas ng panlabas na puwersa, at ang kanilang amplitude ay hindi nakatakda nang basta-basta, tulad ng sa kaso ng mga libreng oscillations, ngunit itinakda mismo. Ang itinatag na halaga na ito ay nakasalalay sa ratio ng natural na dalas ng oscillation ng system at ang dalas ng panlabas na puwersa ayon sa formula

H at fig. Ang 4.3 ay nagpapakita ng isang balangkas ng pag-asa ng amplitude ng sapilitang mga oscillations sa dalas ng panlabas na puwersa. Makikita na ang amplitude ng mga oscillations ay tumataas nang malaki habang ang dalas ng panlabas na puwersa ay lumalapit sa dalas ng natural na mga oscillations. Ang kababalaghan ng isang matalim na pagtaas sa amplitude ng sapilitang mga oscillations kapag ang natural na dalas at ang dalas ng panlabas na puwersa ay nag-tutugma ay tinatawag na resonance.

Sa resonance, ang oscillation amplitude ay dapat na walang hanggan malaki. Sa katotohanan, sa resonance, ang amplitude ng sapilitang mga oscillations ay palaging may hangganan. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na sa resonance at malapit dito, ang aming pag-aakala ng isang hindi gaanong maliit na pagtutol ay nagiging hindi tama. Kahit na ang paglaban sa system ay maliit, kung gayon ito ay makabuluhan sa resonance. Ang presensya nito ay gumagawa ng oscillation amplitude sa resonance na isang may hangganang halaga. Kaya, ang aktwal na graph ng dependence ng oscillation amplitude sa frequency ay may form na ipinapakita sa Fig. 4.4. Kung mas malaki ang paglaban sa system, mas mababa ang maximum na amplitude sa resonance point.

Bilang isang patakaran, ang resonance sa mga mekanikal na sistema ay isang hindi kanais-nais na kababalaghan, at nito sinusubukan nilang iwasan: sinusubukan nilang magdisenyo ng mga mekanikal na istruktura na napapailalim sa mga oscillations at vibrations sa paraang ang natural na dalas ng mga oscillations ay malayo sa posibleng mga halaga ng mga frequency ng mga panlabas na impluwensya. Ngunit sa isang bilang ng mga aparato, ang resonance ay ginagamit bilang isang positibong kababalaghan. Halimbawa, ang resonance ng electromagnetic oscillations ay malawakang ginagamit sa mga komunikasyon sa radyo, ang resonance ng g-ray - sa mga precision device.

Ang estado ng thermodynamic system. Mga proseso

Thermodynamic states at thermodynamic na proseso

Kapag, bilang karagdagan sa mga batas ng mekanika, ang aplikasyon ng mga batas ng thermodynamics ay kinakailangan, ang sistema ay tinatawag na isang thermodynamic system. Ang pangangailangan na gamitin ang konseptong ito ay lumitaw kung ang bilang ng mga elemento ng system (halimbawa, ang bilang ng mga molekula ng gas) ay napakalaki, at ang paggalaw ng mga indibidwal na elemento nito ay mikroskopiko kumpara sa paggalaw ng system mismo o ng macroscopic nito. mga bahagi. Sa kasong ito, inilalarawan ng thermodynamics ang mga macroscopic na paggalaw (mga pagbabago sa macroscopic na estado) ng isang thermodynamic system.

Ang mga parameter na naglalarawan sa naturang paggalaw (mga pagbabago) ng isang thermodynamic system ay karaniwang nahahati sa panlabas at panloob. Ang dibisyong ito ay napakakondisyon at nakadepende sa partikular na gawain. Kaya, halimbawa, ang isang gas sa isang lobo na may isang nababanat na shell ay may presyon ng nakapalibot na hangin bilang isang panlabas na parameter, at para sa isang gas sa isang sisidlan na may isang matibay na shell, ang panlabas na parameter ay ang dami na nakatali sa shell na ito. Sa isang thermodynamic system, ang volume at pressure ay maaaring mag-iba nang hiwalay sa isa't isa. Para sa isang teoretikal na paglalarawan ng kanilang pagbabago, kinakailangan upang ipakilala ang hindi bababa sa isa pang parameter - temperatura.

Sa karamihan ng mga problemang thermodynamic, tatlong parameter ang sapat upang ilarawan ang estado ng isang thermodynamic system. Sa kasong ito, ang mga pagbabago sa system ay inilalarawan gamit ang tatlong thermodynamic coordinate na nauugnay sa mga kaukulang thermodynamic parameter.

estado ng ekwilibriyo- isang estado ng thermodynamic equilibrium - ang ganitong estado ng isang thermodynamic system ay tinatawag, kung saan walang mga daloy (enerhiya, bagay, momentum, atbp.), At ang mga macroscopic na parameter ng system ay steady at hindi nagbabago sa oras.

Ang klasikal na thermodynamics ay nagsasaad na ang isang nakahiwalay na thermodynamic system (naiwan sa sarili nito) ay may posibilidad na maging isang estado ng thermodynamic equilibrium at, pagkatapos maabot ito, ay hindi maaaring kusang umalis dito. Ang pahayag na ito ay madalas na tinatawag zero na batas ng thermodynamics.

Ang mga system sa isang estado ng thermodynamic equilibrium ay may mga sumusunod ari-arian mi:

Kung ang dalawang thermodynamic system na may thermal contact ay nasa estado ng thermodynamic equilibrium, kung gayon ang kabuuang thermodynamic system ay nasa estado din ng thermodynamic equilibrium.

Kung ang anumang thermodynamic system ay nasa thermodynamic equilibrium kasama ang dalawang iba pang mga system, ang dalawang sistemang ito ay nasa thermodynamic equilibrium sa isa't isa.

Isaalang-alang natin ang mga thermodynamic system na nasa estado ng thermodynamic equilibrium. Ang paglalarawan ng mga system na nasa isang hindi balanseng estado, iyon ay, sa isang estado kung saan nagaganap ang mga macroscopic na daloy, ay tinatalakay ng non-equilibrium thermodynamics. Ang paglipat mula sa isang termodinamikong estado patungo sa isa pa ay tinatawag prosesong thermodynamic. Sa ibaba ay isasaalang-alang lamang natin ang mga prosesong quasi-static o, kung ano ang pareho, mga prosesong quasi-equilibrium. Ang limitadong kaso ng isang prosesong quasi-equilibrium ay isang walang katapusang mabagal na proseso ng ekwilibriyo na binubuo ng tuluy-tuloy na sunud-sunod na estado ng thermodynamic equilibrium. Sa katotohanan, ang ganitong proseso ay hindi maaaring mangyari, gayunpaman, kung ang mga macroscopic na pagbabago sa sistema ay nangyayari sa medyo mabagal (sa paglipas ng mga agwat ng oras na makabuluhang lumalampas sa oras para sa pagtatatag ng thermodynamic equilibrium), magiging posible na tantiyahin ang tunay na proseso bilang quasi-static (quasi- punto ng balanse). Ang ganitong pagtatantya ay ginagawang posible na magsagawa ng mga kalkulasyon na may sapat na mataas na katumpakan para sa isang malaking klase ng mga praktikal na problema. Ang proseso ng balanse ay nababaligtad, iyon ay, kung saan ang pagbabalik sa mga halaga ng mga parameter ng estado na naganap sa nakaraang sandali ng oras ay dapat magdala ng thermodynamic system sa nakaraang estado nang walang anumang mga pagbabago sa mga katawan na nakapalibot sa system .

Ang praktikal na aplikasyon ng mga prosesong quasi-equilibrium sa anumang mga teknikal na kagamitan ay hindi epektibo. Kaya, ang paggamit ng isang quasi-equilibrium na proseso sa isang heat engine, halimbawa, isa na nangyayari sa halos pare-parehong temperatura (tingnan ang paglalarawan ng Carnot cycle sa ikatlong kabanata), hindi maiiwasang humahantong sa katotohanan na ang naturang makina ay gumana nang napakabagal (sa limitasyon - walang katapusan na mabagal) at may napakaliit na kapangyarihan. Samakatuwid, sa pagsasagawa, ang mga proseso ng quasi-equilibrium sa mga teknikal na aparato ay hindi ginagamit. Gayunpaman, dahil ang mga hula ng equilibrium thermodynamics para sa mga tunay na sistema ay nag-tutugma sa isang sapat na mataas na katumpakan sa pang-eksperimentong data para sa mga naturang sistema, malawak itong ginagamit upang kalkulahin ang mga thermodynamic na proseso sa iba't ibang mga teknikal na aparato.

Kung, sa panahon ng proseso ng thermodynamic, ang sistema ay bumalik sa orihinal nitong estado, kung gayon ang ganitong proseso ay tinatawag na pabilog o paikot. Ang mga pabilog na proseso, gayundin ang anumang iba pang mga prosesong thermodynamic, ay maaaring parehong ekwilibriyo (at samakatuwid ay mababaligtad) at hindi ekwilibriyo (hindi maibabalik). Sa isang reversible circular process, pagkatapos ng pagbabalik ng thermodynamic system sa orihinal nitong estado, walang thermodynamic perturbations na lumitaw sa mga katawan na nakapalibot dito, at ang kanilang mga estado ay nananatili sa equilibrium. Sa kasong ito, ang mga panlabas na parameter ng system, pagkatapos ng pagpapatupad ng cyclic na proseso, ay bumalik sa kanilang orihinal na mga halaga. Sa isang hindi maibabalik na proseso ng pabilog, pagkatapos nitong makumpleto, ang mga nakapalibot na katawan ay pumasa sa mga hindi balanseng estado at ang mga panlabas na parameter ng thermodynamic system ay nagbabago.

Kumplikadong paraan ng amplitude

Ang posisyon ng isang punto sa isang eroplano ay maaaring natatanging tinukoy ng isang kumplikadong numero:

Kung ang punto ($A$) ay umiikot, ang mga coordinate ng puntong ito ay nagbabago alinsunod sa batas:

isulat ang $z$ sa form:

kung saan ang $Re(z)=x$, ibig sabihin, ang pisikal na dami x ay katumbas ng tunay na bahagi ng kumplikadong expression (4). Sa kasong ito, ang modulus ng complex expression ay katumbas ng oscillation amplitude -- $a$, ang argumento nito ay katumbas ng phase ($(\omega )_0t+\delta $). Minsan, kapag kinuha ang tunay na bahagi ng $z$, ang tanda ng operasyong Re ay tinanggal at ang isang simbolikong ekspresyon ay nakuha:

Ang pagpapahayag (5) ay hindi dapat gawing literal. Kadalasang pormal na pinapasimple (5):

kung saan ang $A=ae^(i \delta)$ ay ang complex oscillation amplitude. Ang kumplikadong katangian ng $A$ amplitude ay nangangahulugan na ang oscillation ay may paunang yugto na hindi katumbas ng zero.

Upang maihayag ang pisikal na kahulugan ng isang expression tulad ng (6), ipinapalagay namin na ang dalas ng oscillation ($(\omega )_0$) ay may tunay at haka-haka na mga bahagi, at maaari itong katawanin bilang:

Pagkatapos ang expression (6) ay maaaring isulat bilang:

Kung ang $(\omega )2>0,$ ay inilalarawan ng expression (8) ang damped harmonic oscillations na may circular frequency $\omega1$ at damping index $(\omega )_2$. Kung ang $(\omega )_2

Magkomento

Maraming mathematical operations ang maaaring gawin sa mga kumplikadong dami na parang totoo ang mga dami. Posible ang mga operasyon kung ang mga ito mismo ay linear at tunay (tulad ng karagdagan, multiplikasyon, pagkita ng kaibhan na may paggalang sa isang tunay na variable, at iba pa, ngunit hindi lahat). Dapat alalahanin na ang mga kumplikadong dami sa kanilang sarili ay hindi tumutugma sa anumang pisikal na dami.

Paraan ng vector diagram

Hayaang ang puntong $A$ ay pantay na umiikot sa bilog ng radius $r$ (Fig.1), ang bilis ng pag-ikot nito ay $(\omega )_0$.

Larawan 1.

Ang posisyon ng puntong $A$ sa bilog ay maaaring tukuyin gamit ang anggulo na $\varphi $. Ang anggulong ito ay:

kung saan ang $\delta =\varphi (t=0)$ ay ang anggulo ng pag-ikot ng radius vector na $\overrightarrow(r)$ sa unang sandali ng oras. Kung umiikot ang puntong $M$, ang projection nito sa $X$ axis ay gumagalaw sa diameter ng bilog, na gumagawa ng mga harmonic oscillations sa pagitan ng mga puntos na $M$ $N$. Ang abscissa ng $A$ ay maaaring isulat bilang:

Sa katulad na paraan, ang pagbabagu-bago ng anumang magnitude ay maaaring katawanin.

Kinakailangan lamang na kunin ang imahe ng dami na umuusad sa abscissa ng puntong $A$, na pantay na umiikot sa paligid ng bilog. Maaari mong, siyempre, gamitin ang ordinate:

Puna 1

Upang kumatawan sa mga damped oscillations, kinakailangan na kumuha ng hindi isang bilog, ngunit isang logarithmic spiral, na lumalapit sa pokus. Kung ang bilis ng paglapit ng isang punto na gumagalaw sa isang spiral ay pare-pareho at ang punto ay gumagalaw patungo sa focus, kung gayon ang projection ng puntong ito sa $X-axis ay magbibigay ng mga formula para sa damped oscillations.

Puna 2

Sa halip na isang punto, maaari kang gumamit ng radius vector na pantay na iikot sa paligid ng pinanggalingan. Pagkatapos, ang value na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations ay ipapakita bilang projection ng vector na ito sa $X$ axis. Sa kasong ito, ang mga mathematical na operasyon sa dami na $x$ ay pinapalitan ng mga operasyon sa isang vector.

Kaya ang pagpapatakbo ng pagsasama ng dalawang dami:

ito ay mas maginhawa upang palitan sa pamamagitan ng pagsusuma ng dalawang vectors (gamit ang parallelogram rule). Ang mga vector ay pinili upang ang kanilang mga projection sa napiling $axis X$ ay ang mga expression na $x_1\ at\ x_2$. Kung gayon ang resulta ng pagsusuma ng mga vector sa projection papunta sa x-axis ay magiging katumbas ng $x_1+\ x_2$.

Halimbawa 1

Ipakita natin ang aplikasyon ng pamamaraan ng mga diagram ng vector.

Kaya, katawanin natin ang mga kumplikadong numero bilang mga vector sa kumplikadong eroplano. Ang isang dami na nagbabago ayon sa harmonic law ay kinakatawan ng isang vector na umiikot nang pakaliwa sa pinanggalingan nito na may dalas na $(\omega )0$. Ang haba ng vector ay katumbas ng amplitude ng mga oscillations.

Graphical na paraan para sa paglutas, halimbawa, ang equation:

kung saan ang $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ ay ang impedance, maaari nating katawanin ito sa tulong ng Fig.2. Ang figure na ito ay nagpapakita ng vector diagram ng mga boltahe sa isang AC circuit.

Figure 2.

Isaalang-alang natin na ang pagpaparami ng isang kumplikadong dami sa isang kumplikadong yunit ay nangangahulugan ng pag-ikot nito sa isang anggulo $90^0$ pakaliwa, at pagpaparami ng ($-i$) sa parehong anggulo sa pakanan. Mula sa Fig. 2 sumusunod na:

kung saan $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Ang pagbabago sa anggulo $\varphi $ ay depende sa relasyon sa pagitan ng mga impedance ng mga elemento ng circuit at ang mga frequency. Ang panlabas na boltahe ay maaaring magbago sa yugto, mula sa coinciding sa boltahe sa buong inductance, hanggang sa coinciding sa boltahe sa buong kapasidad. Ito ay karaniwang ipinahayag bilang isang ratio sa pagitan ng mga phase ng boltahe sa mga elemento ng circuit at ang yugto ng panlabas na boltahe:

Ang phase ng boltahe sa inductor $((U)L=i\omega LI)$ ay palaging humahantong sa phase ng panlabas na boltahe sa pamamagitan ng isang anggulo mula $0$ hanggang $\pi .$

Ang bahagi ng boltahe sa kapasidad $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) ay palaging nahuhuli sa yugto ng panlabas na boltahe sa pamamagitan ng isang anggulo sa pagitan ng $0$ at --$\ \pi .$

Sa kasong ito, ang bahagi sa paglaban ay maaaring humantong o mahuli sa likod ng yugto ng panlabas na boltahe sa pamamagitan ng isang anggulo sa pagitan ng $\frac(\pi )(2)$ at $\frac(\pi )(2)$.

Ang vector diagram (Larawan 2) ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng mga sumusunod:

Ang yugto ng boltahe sa buong inductor ay humahantong sa yugto ng kasalukuyang sa pamamagitan ng $\frac(\pi )(2)$.

Ang capacitance voltage phase ay $\frac(\eth )(2)\ $ sa likod ng kasalukuyang phase.

Ang yugto ng boltahe sa paglaban ay tumutugma sa yugto ng kasalukuyang.

Halimbawa 2

Pagsasanay: Ipakita na ang squaring operation ay hindi mailalapat sa mga kumplikadong dami sa totoong mga numero.

Solusyon:

Sabihin nating kailangan nating i-square ang isang tunay na numero na $x$. Tamang sagot: $x^2$. Pormal, inilalapat namin ang kumplikadong pamamaraan. Palitan natin:

$x\to x+iy$. I-square namin ang nagresultang expression, nakukuha namin:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Ang tunay na bahagi ng pagpapahayag (2.1) ay:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Ang dahilan ng error ay hindi linear ang squaring operation.

Harmonic vibrations

Yung. sa katunayan, ang sine graph ay nakuha mula sa pag-ikot ng vector, na inilarawan ng formula:

F(x) = Isang kasalanan (ωt + φ),

Kung saan ang A ay ang haba ng vector (oscillation amplitude), φ ay ang inisyal na anggulo (phase) ng vector sa zero time, ω ay ang angular velocity ng pag-ikot, na katumbas ng:

ω=2 πf, kung saan ang f ay ang dalas sa Hertz.

Tulad ng nakikita natin, alam ang dalas ng signal, amplitude at anggulo, maaari tayong bumuo ng isang harmonic signal.

Ang magic ay nagsisimula kapag ito ay lumabas na ang representasyon ng ganap na anumang signal ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan (madalas na walang hanggan) ng iba't ibang mga sinusoid. Sa madaling salita, sa anyo ng isang seryeng Fourier.
Magbibigay ako ng isang halimbawa mula sa English Wikipedia. Kunin natin ang signal ng sawtooth bilang isang halimbawa.

signal ng ngipin ng lagari

Ang halaga nito ay kakatawanin ng sumusunod na formula:

Kung susumahin natin isa-isa, kunin muna ang n=1, pagkatapos n=2, atbp., makikita natin kung paano unti-unting nagiging saw ang ating harmonic sinusoidal signal:

Marahil ang pinakamagandang paraan upang mailarawan ito ay isang programa na nakita ko sa Internet. Nasabi na sa itaas na ang sine graph ay isang projection ng umiikot na vector, ngunit paano naman ang mas kumplikadong mga signal? Ito, kakaiba, ay isang projection ng isang set ng umiikot na mga vector, o sa halip ang kanilang kabuuan, at ang lahat ay ganito:

Vector drawing saw.

Sa pangkalahatan, inirerekumenda ko na sundin mo ang link sa iyong sarili at subukang makipaglaro sa iyong sarili sa mga parameter, at tingnan kung paano nagbabago ang signal. IMHO Wala pa akong nakikitang mas visual na laruan para maintindihan.

Dapat ding tandaan na mayroong isang kabaligtaran na pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang dalas, amplitude at paunang yugto (anggulo) mula sa isang naibigay na signal, na tinatawag na Fourier Transform.

Fourier series na pagpapalawak ng ilang kilalang periodic function (mula dito)

Hindi ko ito tatalakayin nang detalyado, ngunit ipapakita ko kung paano ito mailalapat sa buhay. Sa listahan ng mga sanggunian, inirerekumenda ko kung saan maaari kang magbasa nang higit pa tungkol sa materyal.

Lumipat tayo sa mga praktikal na pagsasanay!

Para sa akin, ang bawat mag-aaral ay nagtatanong, nakaupo sa isang lektura, halimbawa, sa matan: bakit kailangan ko ang lahat ng bagay na ito? At bilang isang patakaran, na hindi nakahanap ng sagot sa nakikinita na hinaharap, sa kasamaang-palad, nawalan siya ng interes sa paksa. Samakatuwid, agad kong ipapakita ang praktikal na aplikasyon ng kaalamang ito, at ikaw mismo ang makakabisado ng kaalamang ito :).

Ipapatupad ko pa ang lahat sa site na ito. Ginawa ko ang lahat, siyempre, sa ilalim ng Linux, ngunit hindi ako gumamit ng anumang mga detalye, sa teorya ang programa ay mag-compile at gagana sa ilalim ng iba pang mga platform.

Una, magsulat tayo ng isang programa upang makabuo ng isang audio file. Ang isang wav file ay kinuha bilang ang pinakasimpleng isa. Maaari mong basahin ang tungkol sa istraktura nito.
Sa madaling salita, ang istraktura ng wav-file ay inilalarawan tulad ng sumusunod: isang header na naglalarawan sa format ng file, at pagkatapos ay darating (sa aming kaso) isang hanay ng 16-bit na data (pointed) na may haba na: sample_rate * t segundo o 44100 * t piraso.

Ang isang halimbawa ay kinuha upang bumuo ng isang sound file. Binago ko ito ng kaunti, inayos ang mga error, at ang huling bersyon kasama ang aking mga pag-edit ay nasa github na ngayon dito

Bumuo tayo ng dalawang segundong sound file na may purong sine frequency na 100 Hz. Upang gawin ito, binabago namin ang programa sa sumusunod na paraan:

#define S_RATE (44100) //sampling rate #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 segundong buffer */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float amplitude = 32000; //kunin ang maximum na posibleng amplitude float freq_Hz = 100; // frequency signal /* punan ang buffer ng sine wave */ para sa (i=0 i

Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ang purong formula ng sine ay tumutugma sa napag-usapan natin sa itaas. Ang amplitude 32000 (posibleng kumuha ng 32767) ay tumutugma sa halaga na maaaring kunin ng isang 16-bit na numero (mula sa minus 32767 hanggang plus 32767).

Bilang resulta, nakukuha namin ang sumusunod na file (maaari mo ring pakinggan ito sa anumang programang gumagawa ng tunog). Buksan natin ang audacity file na ito at tingnan na ang signal graph ay aktwal na tumutugma sa isang purong sine:

Purong tube sine

Tingnan natin ang spectrum ng sine na ito (Analysis-> Plot Spectrum)

Plot ng Spectrum

Ang isang malinis na peak ay makikita sa 100 Hz (logarithmic scale). Ano ang spectrum? Ito ang frequency response. Mayroon ding phase response. Kung natatandaan mo, sinabi ko sa itaas na para makabuo ng signal, kailangan mong malaman ang frequency, amplitude at phase nito? Kaya, maaari mong makuha ang mga parameter na ito mula sa signal. Sa kasong ito, mayroon kaming isang graph ng pagsusulatan sa pagitan ng mga frequency at amplitude, at ang amplitude ay wala sa mga tunay na yunit, ngunit sa mga decibel.

Naiintindihan ko na upang maipaliwanag kung paano gumagana ang programa, kinakailangang ipaliwanag kung ano ang mabilis na pagbabagong Fourier, at ito ay hindi bababa sa isa pang maasim na artikulo.

Una, maglaan tayo ng mga array:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // array of rotation factors in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //input array out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //output array

Sabihin ko lang na sa programa ay nagbabasa tayo ng data sa isang array ng length size_array (na kinukuha natin mula sa header ng wav file).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; kung (j > 2*size_array) break; )

Ang array para sa mabilis na pagbabagong Fourier ay dapat na isang sequence (re, im, re, im, ... re, im), kung saan fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
ito ay isang hanay ng mga kumplikadong numero. Natatakot akong isipin kung saan ginagamit ang kumplikadong Fourier transform, ngunit sa aming kaso, ang haka-haka na bahagi ay zero, at ang tunay na bahagi ay katumbas ng halaga ng bawat punto sa array.
Ang isa pang tampok ng Fast Fourier Transform ay ang pagkalkula nito ng mga arrays na multiple lang ng powers ng dalawa. Bilang resulta, dapat nating kalkulahin ang pinakamababang kapangyarihan ng dalawa:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Ang logarithm ng bilang ng mga byte sa data na hinati sa bilang ng mga byte sa isang punto.

Pagkatapos nito, kinakalkula namin ang mga kadahilanan ng pag-ikot:

Fft_make(p2,c);// function para sa pagkalkula ng mga salik ng pag-ikot para sa FFT (ang unang parameter ay isang kapangyarihan ng dalawa, ang pangalawa ay isang inilalaang hanay ng mga salik ng pag-ikot).

At pinapakain namin ang aming read array sa Fourier transform:

Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(Ang ibig sabihin ng isa ay nakakakuha tayo ng normalized array).

Sa output, nakakakuha tayo ng mga kumplikadong numero ng form (re, im, re, im, ... re, im). Para sa mga hindi alam kung ano ang isang kumplikadong numero, ipapaliwanag ko. Sinimulan ko ang artikulong ito para sa isang kadahilanan na may isang grupo ng mga umiikot na vector at isang grupo ng mga GIF. Kaya, ang vector sa kumplikadong eroplano ay tinutukoy ng tunay na coordinate a1 at ang haka-haka na coordinate a2. O haba (ito ang ating amplitude Am) at anggulo Psi (phase).

Vector sa kumplikadong eroplano

Tandaan na size_array=2^p2. Ang unang punto ng array ay tumutugma sa dalas ng 0 Hz (constant), ang huling punto ay tumutugma sa dalas ng sampling, lalo na 44100 Hz. Bilang resulta, dapat nating kalkulahin ang dalas na naaayon sa bawat punto, na mag-iiba ayon sa dalas ng delta:

Dobleng delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //sampling rate bawat laki ng array.

Naglalaan kami ng isang hanay ng mga amplitude:

Doble* ampl; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

At tingnan ang larawan: ang amplitude ay ang haba ng vector. At mayroon kaming mga projection nito sa tunay at haka-haka na axis. Bilang resulta, magkakaroon tayo ng isang right-angled triangle, at naaalala natin ang Pythagorean theorem, at kalkulahin ang haba ng bawat vector, at agad itong isulat sa isang text file:

Para sa(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Ang resulta ay isang file na ganito ang hitsura:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Subukan Natin!

Ngayon pinapakain namin ang nagresultang programa na sine sound file

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 bytes in data chunk= 441000 log2=18 size array=262144 wav format Max Freq = 99.928 , amp =7216.136

At nakakakuha kami ng text file ng frequency response. Binubuo namin ang graph nito gamit ang gnuplot

Gumawa ng script:

#! /usr/bin/gnuplot -persistent set terminal postscript eps pinahusay na kulay solid set na output "result.ps" #set terminal png size 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set ylabel "Amp, dB" set xrange #set yrange plot "test.txt" gamit ang 1:2 title "(!LANG:AFC" with lines linestyle 1 !}

Bigyang-pansin ang limitasyon sa script sa bilang ng mga puntos sa X: set xrange . Mayroon kaming dalas ng sampling na 44100, at kung naaalala namin ang Kotelnikov theorem, kung gayon ang dalas ng signal ay hindi maaaring mas mataas sa kalahati ng dalas ng sampling, samakatuwid, hindi kami interesado sa isang senyas sa itaas ng 22050 Hz. Bakit gayon, ipinapayo ko sa iyo na magbasa sa espesyal na panitikan.
Kaya (drum roll), patakbuhin ang script at tingnan:

Ang spectrum ng ating signal

Pansinin ang matalim na peak sa 100 Hz. Huwag kalimutan na ang mga axes ay logarithmic! Ang lana sa kanan ay, sa tingin ko, Fourier transform errors (mga bintana ang naiisip dito).

Magpakasaya tayo, di ba?

At tayo! Tingnan natin ang spectra ng iba pang mga signal!

Ang ingay sa paligid...

Una, i-plot natin ang spectrum ng ingay. Paksa tungkol sa ingay, mga random na signal, atbp. nararapat sa isang hiwalay na kurso. Ngunit tatalakayin natin ito nang kaunti. Baguhin natin ang aming programa sa pagbuo ng wav-file, magdagdag ng isang pamamaraan:

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Bubuo ito ng random na numero sa loob ng ibinigay na hanay. Bilang resulta, magiging ganito ang pangunahing:

int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //initialize ang random number generator para sa (i=0; i

Bumuo tayo ng isang file , (Inirerekumenda ko ang pakikinig). Tingnan natin ito sa katapangan.

Signal sa katapangan

Tingnan natin ang spectrum sa katapangan.

Spectrum

At tingnan natin ang spectrum gamit ang aming programa:

Ang aming spectrum

Gusto kong gumuhit ng pansin sa isang napaka-kagiliw-giliw na katotohanan at tampok ng ingay - naglalaman ito ng spectra ng lahat ng harmonika. Tulad ng makikita mula sa graph, ang spectrum ay medyo pantay. Kadalasan, ginagamit ang puting ingay para sa pagsusuri ng dalas ng bandwidth ng, halimbawa, mga kagamitan sa audio. Mayroong iba pang mga uri ng ingay: pink, blue at iba pa. Ang takdang-aralin ay upang malaman kung paano sila naiiba.

Paano ang tungkol sa compote?

At ngayon tingnan natin ang isa pang kawili-wiling signal - isang meander. Nagbigay ako sa itaas ng isang talahanayan ng mga pagpapalawak ng iba't ibang mga signal sa serye ng Fourier, tingnan mo kung paano nabubulok ang meander, isulat ito sa isang piraso ng papel, at magpapatuloy kami.

Upang makabuo ng meander na may dalas na 25 Hz, muli naming binago ang aming wav-file generator:

int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* punan ang buffer ng sine wave */ para sa (i=0; i

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang audio file (muli, ipinapayo ko sa iyo na makinig), na dapat mong agad na panoorin sa katapangan.

Ang kanyang kamahalan ay isang paliko-liko o paliko-liko ng isang malusog na tao

Huwag tayong manghina at tingnan ang spectrum nito:

meander spectrum

Sa ngayon, hindi masyadong malinaw kung ano ito ... At tingnan natin ang unang ilang harmonika:

Unang harmonika

Ibang usapan! Well, tingnan natin ang board. Tingnan mo, mayroon lang tayong 1, 3, 5, atbp., i.e. kakaibang harmonika. Makikita natin na mayroon tayong unang harmonic na 25 Hz, ang susunod (ikatlong) 75 Hz, pagkatapos ay 125 Hz, atbp., habang unti-unting bumababa ang ating amplitude. Ang teorya ay nakakatugon sa kasanayan!
At ngayon pansin! Sa totoong buhay, ang aming meander signal ay may walang katapusang halaga ng mga harmonika ng mas mataas at mas mataas na dalas, ngunit bilang isang panuntunan, ang mga tunay na de-koryenteng circuit ay hindi maaaring pumasa sa mga frequency sa itaas ng isang tiyak na dalas (dahil sa inductance at kapasidad ng mga track). Bilang resulta, madalas mong makikita ang sumusunod na signal sa screen ng oscilloscope:

Malikot na naninigarilyo

Ang larawang ito ay katulad lamang ng isang larawan mula sa wikipedia, kung saan hindi lahat ng mga frequency ay kinuha bilang isang halimbawa ng isang meander, ngunit ang unang ilang lamang.

Ang kabuuan ng unang harmonika, at kung paano nagbabago ang signal

Ang meander ay aktibong ginagamit din sa engineering ng radyo (dapat sabihin na ito ang batayan ng lahat ng digital na teknolohiya), at sulit na maunawaan na sa mahabang kadena maaari itong mai-filter upang hindi ito makilala ng iyong sariling ina. Ginagamit din ito upang suriin ang frequency response ng iba't ibang device. Ang isa pang kawili-wiling katotohanan ay ang mga jammer ng TV ay nagtrabaho nang tumpak sa prinsipyo ng mas mataas na mga harmonika, kapag ang microcircuit mismo ay nakabuo ng isang liku-likong sampu-sampung MHz, at ang mas mataas na mga harmonika nito ay maaaring magkaroon ng mga frequency na daan-daang MHz, sa dalas lamang ng TV, at mas mataas. Matagumpay na nai-jam ng harmonics ang signal ng TV broadcast.

Sa pangkalahatan, ang paksa ng naturang mga eksperimento ay walang katapusan, at maaari mo na ngayong ipagpatuloy ang iyong sarili.

Aklat

Para sa mga hindi nakakaintindi kung ano ang ginagawa natin dito, o vice versa, para sa mga nakakaunawa, ngunit nais na mas maunawaan pa, pati na rin sa mga mag-aaral na nag-aaral ng DSP, lubos kong inirerekumenda ang aklat na ito. Ito ay isang DSP para sa mga dummies, na siyang may-akda ng post na ito. Doon, ang mga pinaka-kumplikadong konsepto ay sinasabi sa isang naa-access na wika kahit para sa isang bata.

Konklusyon

Sa konklusyon, nais kong sabihin na ang matematika ay ang reyna ng mga agham, ngunit kung walang tunay na aplikasyon, maraming tao ang nawalan ng interes dito. Umaasa ako na ang post na ito ay magbigay ng inspirasyon sa iyo na pag-aralan ang napakagandang paksa tulad ng pagpoproseso ng signal, at sa pangkalahatang analog circuitry (isaksak ang iyong mga tainga upang ang iyong mga utak ay hindi tumagas!). :)
Good luck!

Mga Tag:

Magdagdag ng mga tag

Ang solusyon ng ilang mga isyu, lalo na ang pagdaragdag ng ilang mga oscillations ng parehong direksyon (o, kung ano ang pareho, ang pagdaragdag ng ilang mga harmonic function), ay lubos na pinadali at nagiging malinaw kung ang mga oscillations ay graphic na inilalarawan bilang mga vector sa isang eroplano. Ang scheme na nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag na vector diagram.

Kunin ang axis, na tinutukoy namin ng titik x (Larawan 55.1). Mula sa puntong O, na kinuha sa axis, nag-plot kami ng isang vector ng haba a, na bumubuo ng isang anggulo a sa axis.

Kung dadalhin natin ang vector na ito sa pag-ikot na may angular velocity , kung gayon ang projection ng dulo ng vector ay lilipat kasama ang x-axis sa hanay mula -a hanggang +a, at ang coordinate ng projection na ito ay magbabago sa paglipas ng panahon ayon sa ang batas

Dahil dito, ang projection ng dulo ng vector papunta sa axis ay magsasagawa ng harmonic oscillation na may amplitude na katumbas ng haba ng vector, na may circular frequency na katumbas ng angular velocity ng pag-ikot ng vector, at may paunang phase na katumbas. sa anggulo na nabuo ng vector na may axis sa unang sandali ng oras.

Mula sa sinabi, sumusunod na ang isang harmonic oscillation ay maaaring tukuyin gamit ang isang vector na ang haba ay katumbas ng amplitude ng oscillation, at ang direksyon ng vector ay bumubuo ng isang anggulo na may x-axis na katumbas ng paunang yugto ng osilasyon.

Isaalang-alang ang pagdaragdag ng dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon at parehong frequency. Ang displacement x ng oscillating body ay ang kabuuan ng mga displacement, na isusulat tulad ng sumusunod:

Katawanin natin ang parehong pagbabagu-bago sa tulong ng mga vectors (fig. 55.2). Buuin natin ang nagresultang vector a ayon sa mga patakaran ng pagdaragdag ng vector.

Madaling makita na ang projection ng vector na ito sa x-axis ay katumbas ng kabuuan ng mga projection ng mga termino ng mga vectors:

Samakatuwid, ang vector a ay kumakatawan sa nagresultang oscillation. Ang vector na ito ay umiikot na may parehong angular velocity gaya ng mga vectors upang ang resultang paggalaw ay magiging isang harmonic oscillation na may frequency amplitude a at initial phase a. Malinaw sa construction na

Kaya, ang representasyon ng mga harmonic oscillations sa pamamagitan ng mga vector ay ginagawang posible upang mabawasan ang pagdaragdag ng ilang mga oscillations sa pagpapatakbo ng pagdaragdag ng mga vectors. Ang pamamaraan na ito ay lalong kapaki-pakinabang, halimbawa, sa optika, kung saan ang mga light vibrations sa isang tiyak na punto ay tinukoy bilang resulta ng isang superposisyon ng maraming vibrations na dumarating sa isang partikular na punto mula sa iba't ibang bahagi ng harap ng alon.

Siyempre, ang mga formula (55.2) at (55.3) ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga expression (55.1) at pagsasagawa ng kaukulang mga pagbabagong trigonometriko. Ngunit ang paraan na ginamit namin upang makuha ang mga formula na ito ay mas simple at malinaw.

Suriin natin ang expression (55.2) para sa amplitude. Kung ang pagkakaiba ng bahagi ng parehong mga oscillation ay katumbas ng zero, ang amplitude ng nagresultang oscillation ay katumbas ng kabuuan ng a at . Kung ang pagkakaiba ng bahagi ay katumbas ng o , ibig sabihin, ang parehong mga oscillation ay nasa antiphase, kung gayon ang amplitude ng nagresultang oscillation ay katumbas ng

Kung ang mga oscillation frequency ay hindi pareho, ang mga vectors a at ay iikot sa iba't ibang bilis. Sa kasong ito, ang nagreresultang vector a ay pulsates sa magnitude at umiikot sa isang hindi pare-parehong bilis. Dahil dito, ang resultang paggalaw sa kasong ito ay hindi magiging isang harmonic oscillation, ngunit ilang kumplikadong proseso ng oscillatory.