Sinus acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio kabaligtaran catheter sa hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: kasalanan α.
Cosine Ang acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: cos α.
Padaplis acute angle α ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: tg α.
Cotangent acute angle α ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: ctg α.
Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.
Mga Panuntunan:
Mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan sa isang tamang tatsulok:
(α - talamak na anggulo sa tapat ng binti b at katabi ng binti a . Gilid Sa - hypotenuse. β - ang pangalawang talamak na anggulo).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Habang tumataas ang talamak na anggulosinα attg α pagtaas, atcos α bumababa.
Para sa anumang matinding anggulo α:
kasalanan (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Halimbawang nagpapaliwanag:
Hayaan sa isang right triangle ABC
AB = 6,
BC = 3,
anggulo A = 30º.
Alamin ang sine ng anggulo A at ang cosine ng anggulo B.
Solusyon .
1) Una, nakita namin ang halaga ng anggulo B. Ang lahat ay simple dito: dahil sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ay 90º, pagkatapos ang anggulo B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Kalkulahin ang kasalanan A. Alam natin na ang sine ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na paa sa hypotenuse. Para sa anggulo A, ang kabaligtaran na binti ay gilid BC. Kaya:
BC 3 1
kasalanan A = -- = - = -
AB 6 2
3) Ngayon ay kinakalkula namin ang cos B. Alam namin na ang cosine ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Para sa anggulo B, ang katabing binti ay ang parehong bahagi BC. Nangangahulugan ito na kailangan nating hatiin muli ang BC sa AB - iyon ay, gawin ang parehong mga aksyon tulad ng kapag kinakalkula ang sine ng anggulo A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Ang resulta ay:
kasalanan A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Mula dito sumusunod na sa isang tamang tatsulok ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng cosine ng isa pang talamak na anggulo - at kabaliktaran. Ito mismo ang ibig sabihin ng aming dalawang formula:
kasalanan (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Suriin natin itong muli:
1) Hayaan ang α = 60º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa sinus formula, nakukuha natin:
kasalanan (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Hayaan ang α = 30º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa formula ng cosine, nakukuha natin:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Para sa higit pa sa trigonometrya, tingnan ang seksyon ng Algebra)
Ang isa sa mga sangay ng matematika kung saan nakayanan ng mga mag-aaral ang pinakamalaking paghihirap ay trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong makapag-apply ng trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang nabuong memorya ng matematika o ang kakayahang maghinuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.
Pinagmulan ng trigonometrya
Ang kakilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng anggulo, ngunit kailangan mo munang malaman kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.
Sa kasaysayan, ang mga tamang tatsulok ang naging pangunahing bagay ng pag-aaral sa seksyong ito ng agham sa matematika. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na isinasaalang-alang gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya, at kahit na sining.
Unang yugto
Sa una, ang mga tao ay nag-uusap tungkol sa relasyon ng mga anggulo at panig ng eksklusibo sa halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng seksyong ito ng matematika.
Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga right-angled triangles, pagkatapos kung saan ang nakuha na kaalaman ay ginagamit ng mga mag-aaral sa physics at paglutas ng mga abstract na trigonometric equation, na gumagana kung saan nagsisimula sa high school.
Spherical trigonometrya
Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan nalalapat ang iba pang mga panuntunan, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.
Kunin ang globo at thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Bigyang-pansin - nakuha nito ang hugis ng isang arko. Ito ay may ganitong mga anyo na ang spherical geometry, na ginagamit sa geodesy, astronomy, at iba pang teoretikal at inilapat na mga larangan, ay nakikipag-ugnayan.
Kanang tatsulok
Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.
Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Siya ang pinakamatagal. Naaalala namin na, ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical na halaga nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.
Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.
Ang dalawang natitirang panig na bumubuo ng isang tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay 180 degrees.
Kahulugan
Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na base, maaari nating buksan ang kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugan na ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1 sa sagot sa problema, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.
Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang parehong resulta ay magbibigay ng dibisyon ng sine sa pamamagitan ng cosine. Tingnan: alinsunod sa pormula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hinahati namin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply ng hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong ratio tulad ng sa kahulugan ng tangent.
Ang cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng yunit ng tangent.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari naming harapin ang mga formula.
Ang pinakasimpleng mga formula
Sa trigonometrya, hindi magagawa ng isang tao nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? At ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.
Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung gusto mong malaman ang halaga ng anggulo, hindi ang gilid.
Maraming mga mag-aaral ang hindi matandaan ang pangalawang pormula, na napakapopular din sa paglutas ng mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: pagkatapos ng lahat, ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay nahahati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: sa pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, ang mga panuntunan sa conversion at ilang pangunahing formula, maaari mong independiyenteng makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.
Mga formula ng dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento
Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine ng kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawang kaso, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.
Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ang mga ito ay ganap na nagmula sa mga nauna - bilang isang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili, kunin ang anggulo ng alpha na katumbas ng anggulo ng beta.
Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring ma-convert upang mapababa ang antas ng sine, cosine, tangent alpha.
Theorems
Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano mahanap ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.
Ang sine theorem ay nagsasaad na bilang resulta ng paghahati ng haba ng bawat panig ng tatsulok sa halaga ng kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin ang parehong numero. Bukod dito, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng ibinigay na tatsulok.
Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto, na pinarami ng dobleng cosine ng anggulo na katabi ng mga ito - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.
Mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin
Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, kilalanin natin ang pinakasikat sa kanila.
Una, hindi mo dapat i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal hanggang sa makuha ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang ordinaryong fraction, maliban kung iba ang sinasabi ng kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na pagkakamali, ngunit dapat tandaan na sa bawat yugto ng gawain, maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng oras sa mga hindi kinakailangang operasyon sa matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o dalawa, dahil nangyayari ang mga ito sa mga gawain sa bawat hakbang. Ang parehong naaangkop sa pag-round ng "pangit" na mga numero.
Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nakalimutan mong ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit nagpapakita rin ng isang kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.
Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo na 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling ihalo ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.
Aplikasyon
Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya, dahil hindi nila naiintindihan ang inilapat na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, magpadala ng isang pagsisiyasat sa pananaliksik sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.
Sa wakas
Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.
Ang buong kakanyahan ng trigonometrya ay bumababa sa katotohanan na ang hindi kilalang mga parameter ay dapat kalkulahin mula sa mga kilalang parameter ng tatsulok. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang magnitude ng tatlong anggulo. Ang buong pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.
Paano mahahanap ang sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse, alam mo na ngayon. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugan ng hindi hihigit sa isang ratio, at isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng trigonometriko problema ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito ay tutulungan ka ng ordinaryong matematika ng paaralan.
Pagtuturo
Mga kaugnay na video
tala
Kapag kinakalkula ang mga gilid ng isang tamang tatsulok, ang kaalaman sa mga tampok nito ay maaaring maglaro:
1) Kung ang binti ng isang tamang anggulo ay namamalagi sa tapat ng isang anggulo ng 30 degrees, kung gayon ito ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse;
2) Ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa alinman sa mga binti;
3) Kung ang isang bilog ay nakapaligid sa isang kanang tatsulok, ang gitna nito ay dapat na nasa gitna ng hypotenuse.
Ang hypotenuse ay ang gilid sa isang kanang tatsulok na nasa tapat ng 90 degree na anggulo. Upang makalkula ang haba nito, sapat na malaman ang haba ng isa sa mga binti at ang halaga ng isa sa mga talamak na anggulo ng tatsulok.
Pagtuturo
Ipaalam sa amin ang isa sa mga binti at ang anggulong katabi nito. Para sa katiyakan, hayaan itong maging binti |AB| at anggulo α. Pagkatapos ay maaari nating gamitin ang formula para sa trigonometric cosine - cosine ratio ng katabing binti sa. Yung. sa aming notasyon cos α = |AB| / |AC|. Mula dito nakukuha natin ang haba ng hypotenuse |AC| = |AB| / cosα.
Kung alam natin ang binti |BC| at anggulo α, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa pagkalkula ng sine ng anggulo - ang sine ng anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Nakuha namin na ang haba ng hypotenuse ay matatagpuan bilang |AC| = |BC| / cosα.
Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa. Hayaan ang haba ng binti |AB| = 15. At ang anggulo α = 60°. Nakukuha namin ang |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
Isaalang-alang kung paano mo masusuri ang iyong resulta gamit ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, kailangan nating kalkulahin ang haba ng ikalawang binti |BC|. Gamit ang formula para sa padaplis ng anggulo tg α = |BC| / |AC|, nakukuha namin ang |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Susunod, inilapat namin ang Pythagorean theorem, makakakuha tayo ng 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Tapos na ang verification.
Kapaki-pakinabang na payo
Pagkatapos kalkulahin ang hypotenuse, suriin kung ang resultang halaga ay nakakatugon sa Pythagorean theorem.
Mga pinagmumulan:
- Talaan ng mga pangunahing numero mula 1 hanggang 10000
Mga binti pangalanan ang dalawang maikling gilid ng isang right triangle na bumubuo sa vertex nito, na ang halaga ay 90 °. Ang ikatlong panig sa naturang tatsulok ay tinatawag na hypotenuse. Ang lahat ng mga panig at anggulo ng tatsulok na ito ay magkakaugnay ng ilang mga relasyon na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang haba ng binti kung alam ang maraming iba pang mga parameter.
Pagtuturo
Gamitin ang Pythagorean theorem para sa leg (A) kung alam mo ang haba ng iba pang dalawang panig (B at C) ng right triangle. Ang teorem na ito ay nagsasaad na ang kabuuan ng mga haba ng mga paa na naka-squad ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse. Ito ay sumusunod mula dito na ang haba ng bawat isa sa mga binti ay katumbas ng square root ng mga haba ng hypotenuse at ang pangalawang binti: A=√(C²-B²).
Gamitin ang kahulugan ng direktang trigonometric function na "sine" para sa isang matinding anggulo, kung alam mo ang halaga ng anggulo (α) sa tapat ng kinakalkula na binti, at ang haba ng hypotenuse (C). Ito ay nagsasaad na ang sine ng kilala na ito ay ang ratio ng haba ng nais na binti sa haba ng hypotenuse. Ito ay ang haba ng nais na binti ay katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at ang sine ng kilalang anggulo: A=C∗sin(α). Para sa parehong kilalang mga halaga, maaari mong gamitin ang cosecant at kalkulahin ang nais na haba sa pamamagitan ng paghahati sa haba ng hypotenuse sa cosecant ng kilalang anggulo A=C/cosec(α).
Gamitin ang kahulugan ng direktang trigonometric cosine function kung, bilang karagdagan sa haba ng hypotenuse (C), ang halaga ng acute angle (β) na katabi ng kinakailangan ay kilala rin. Ang cosine ng anggulong ito ay ang ratio ng mga haba ng nais na binti at hypotenuse, at mula dito maaari nating tapusin na ang haba ng binti ay katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at ang cosine ng kilalang anggulo: A=C∗cos(β). Maaari mong gamitin ang kahulugan ng secant function at kalkulahin ang nais na halaga sa pamamagitan ng paghahati sa haba ng hypotenuse sa secant ng kilalang anggulo A=C/sec(β).
Kunin ang kinakailangang formula mula sa isang katulad na kahulugan para sa derivative ng trigonometric function tangent, kung, bilang karagdagan sa halaga ng acute angle (α) na nasa tapat ng ninanais na binti (A), ang haba ng pangalawang binti (B) ay kilala. Ang tangent ng anggulo sa tapat ng nais na binti ay ang ratio ng haba ng binti na ito sa haba ng pangalawang binti. Nangangahulugan ito na ang nais na halaga ay magiging katumbas ng produkto ng haba ng kilalang binti at sa tangent ng kilalang anggulo: A=B∗tg(α). Mula sa parehong mga kilalang dami, isa pang formula ay maaaring makuha gamit ang kahulugan ng cotangent function. Sa kasong ito, upang kalkulahin ang haba ng binti, kakailanganing hanapin ang ratio ng haba ng kilalang binti sa cotangent ng kilalang anggulo: A=B/ctg(α).
Mga kaugnay na video
Ang salitang "katet" ay nagmula sa Russian mula sa Greek. Sa eksaktong pagsasalin, nangangahulugan ito ng isang plumb line, iyon ay, patayo sa ibabaw ng lupa. Sa matematika, ang mga binti ay tinatawag na mga gilid na bumubuo ng isang tamang anggulo ng isang tamang tatsulok. Ang gilid sa tapat ng anggulong ito ay tinatawag na hypotenuse. Ang terminong "binti" ay ginagamit din sa arkitektura at teknolohiya ng hinang.
Ang secant ng anggulong ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng hypotenuse sa katabing binti, iyon ay, secCAB=c/b. Lumalabas ang kapalit ng cosine, iyon ay, maaari itong ipahayag sa pamamagitan ng formula na secCAB=1/cosSAB.
Ang cosecant ay katumbas ng quotient ng paghahati ng hypotenuse sa kabaligtaran na binti at ang kapalit ng sine. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula na cosecCAB=1/sinCAB
Ang parehong mga binti ay magkakaugnay at cotangent. Sa kasong ito, ang tangent ay magiging ratio ng gilid a sa gilid b, iyon ay, ang kabaligtaran na binti sa katabi. Ang ratio na ito ay maaaring ipahayag ng formula tgCAB=a/b. Alinsunod dito, ang kabaligtaran na ratio ay ang cotangent: ctgCAB=b/a.
Ang ratio sa pagitan ng mga laki ng hypotenuse at magkabilang binti ay tinutukoy ng sinaunang Greek Pythagoras. Ang theorem, ang kanyang pangalan, ginagamit pa rin ng mga tao. Sinasabi nito na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, iyon ay, c2 \u003d a2 + b2. Alinsunod dito, ang bawat binti ay magiging katumbas ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng hypotenuse at ng kabilang binti. Ang formula na ito ay maaaring isulat bilang b=√(c2-a2).
Ang haba ng binti ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng mga relasyong alam mo. Ayon sa theorems ng sines at cosines, ang binti ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at isa sa mga function na ito. Maaari mong ipahayag ito at o cotangent. Ang binti a ay matatagpuan, halimbawa, sa pamamagitan ng formula a \u003d b * tan CAB. Sa eksaktong parehong paraan, depende sa ibinigay na tangent o , ang pangalawang binti ay tinutukoy.
Sa arkitektura, ginagamit din ang terminong "binti". Ito ay inilapat sa isang Ionic na kapital at plumb sa gitna ng likod nito. Iyon ay, sa kasong ito, sa pamamagitan ng terminong ito, ang patayo sa ibinigay na linya.
Sa teknolohiya ng hinang, mayroong isang "binti ng isang fillet weld". Tulad ng sa ibang mga kaso, ito ang pinakamaikling distansya. Narito ang pinag-uusapan natin ang agwat sa pagitan ng isa sa mga bahagi na i-welded sa hangganan ng tahi na matatagpuan sa ibabaw ng kabilang bahagi.
Mga kaugnay na video
Mga pinagmumulan:
- ano ang binti at hypotenuse sa 2019
Ano ang sine, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang isang tamang tatsulok.
Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, ang hypotenuse at mga binti: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa, ito ang gilid \ (AC \) ); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig \ (AB \) at \ (BC \) (yaong mga katabi ng tamang anggulo), bukod dito, kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may paggalang sa anggulo \ (BC \) , kung gayon ang binti Ang \ (AB \) ay katabing binti, at ang binti \ (BC \) ay nasa tapat. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?
Sine ng isang anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Sa aming tatsulok:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosine ng isang anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Sa aming tatsulok:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Anggulo padaplis- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa katabing (malapit).
Sa aming tatsulok:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangent ng isang anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).
Sa aming tatsulok:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis at cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus at cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:
cosine → touch → touch → katabi;
Cotangent → touch → touch → katabi.
Una sa lahat, kinakailangang tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa isang anggulo). Huwag magtiwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:
Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng anggulo \(\beta \) . Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok \(ABC \): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng anggulo \(\beta \) mula sa tatsulok \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay iba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.
Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay magpatuloy at ayusin ang mga ito!
Para sa tatsulok \(ABC \) , na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \ alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo \(\beta \) .
Mga sagot: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Unit (trigonometric) bilog
Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degree at radian, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng \ (1 \) . Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa pag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, pinag-uusapan natin ito nang mas detalyado.
Gaya ng nakikita mo, ang bilog na ito ay binuo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinanggalingan, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng \(x \) axis (sa aming halimbawa, ito ang radius \(AB \) ).
Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang coordinate sa kahabaan ng axis \(x \) at ang coordinate sa kahabaan ng axis \(y \) . Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, tandaan ang tungkol sa itinuturing na right-angled na tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang tatsulok \(ACG \) . Ito ay hugis-parihaba dahil ang \(CG \) ay patayo sa \(x \) axis.
Ano ang \(\cos \ \alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \) ? Tama iyan \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bukod pa rito, alam natin na ang \(AC \) ay ang radius ng unit circle, kaya \(AC=1 \) . I-substitute ang value na ito sa aming cosine formula. Narito kung ano ang mangyayari:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
At ano ang \(\sin \ \alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \) ? Well, siyempre, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Palitan ang halaga ng radius \ (AC \) sa formula na ito at makuha ang:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Kaya, maaari mo bang sabihin sa akin kung ano ang mga coordinate ng punto \(C \) , na kabilang sa bilog? Well, hindi pwede? Ngunit paano kung napagtanto mo na ang \(\cos \ \alpha \) at \(\sin \alpha \) ay mga numero lamang? Anong coordinate ang katumbas ng \(\cos \alpha \)? Well, siyempre, ang coordinate \(x \) ! At anong coordinate ang katumbas ng \(\sin \alpha \)? Tama, ang \(y \) coordinate! Kaya ang punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Ano ang \(tg \alpha \) at \(ctg \alpha \) ? Tama, gamitin natin ang naaangkop na mga kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Paano kung mas malaki ang anggulo? Narito, halimbawa, tulad ng sa larawang ito:
Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, muli tayong lumiko sa isang right-angled na tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : isang anggulo (bilang katabi ng anggulo \(\beta \) ). Ano ang halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tama iyon, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng mga function ng trigonometriko:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\anggulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate \ (y \) ; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate \ (x \) ; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay naaangkop sa anumang mga pag-ikot ng radius vector.
Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay nasa positibong direksyon ng \(x \) axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na laki, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot pakanan - negatibo.
Kaya, alam natin na ang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng bilog ay \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . Posible bang paikutin ang radius vector sa pamamagitan ng \(390()^\circ \) o ng \(-1140()^\circ \) ? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kaya ang radius vector ay gagawa ng isang buong pag-ikot at hihinto sa \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Sa pangalawang kaso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ibig sabihin, ang radius vector ay gagawa ng tatlong kumpletong rebolusyon at hihinto sa posisyon na \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas, maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba ng \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer ) tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng anggulo \(\beta =-60()^\circ \) . Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atbp. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat gamit ang pangkalahatang formula \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang katumbas ng mga halaga:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Narito ang isang unit circle na tutulong sa iyo:
Anumang kahirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(array) \)
Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang sulok sa loob \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tumutugma sa isang punto na may mga coordinate \(\left(0;1 \right) \) , samakatuwid:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ay hindi umiiral;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay nasa \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, pagkatapos ay suriin ang mga sagot.
Mga sagot:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ay hindi umiiral
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ay hindi umiiral
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ay hindi umiiral
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ay hindi umiiral
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:
Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga punto sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:
\(\kaliwa. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Kailangan tandaan o makapag-output!! \) !}
At narito ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat mong tandaan:
Hindi na kailangang matakot, ngayon ay ipapakita namin ang isa sa mga halimbawa ng isang medyo simpleng pagsasaulo ng kaukulang mga halaga:
Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong mga sukat ng anggulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo sa \(30()^\circ \) . Alam ang mga halagang ito ng \(4\), medyo madaling ibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), alam ito, posible na ibalik ang mga halaga para sa \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ang numerator na “\(1 \) ” ay tutugma sa \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , at ang denominator na “\(\sqrt(\text(3)) \) ” ay tutugma sa \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinapakita sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang scheme na may mga arrow, sapat na upang matandaan lamang ang \ (4 \) mga halaga mula sa talahanayan.
Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog
Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng gitna ng bilog, ang radius at anggulo ng pag-ikot nito? Well, siyempre kaya mo! Kumuha tayo ng pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto. Dito, halimbawa, mayroon kaming ganoong bilog:
Binibigyan tayo ng puntong iyon \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay \(1,5 \) . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto \(P \) na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto \(O \) sa pamamagitan ng \(\delta \) degrees.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate \ (x \) ng punto \ (P \) ay tumutugma sa haba ng segment \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Ang haba ng segment \(UK \) ay tumutugma sa coordinate \(x \) ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay katumbas ng \(3 \) . Ang haba ng segment \(KQ \) ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Pagkatapos mayroon kaming na para sa punto \(P \) ang coordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Sa parehong lohika, nakita namin ang halaga ng y coordinate para sa punto \(P\) . Sa ganitong paraan,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Kaya, sa mga pangkalahatang termino, ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), saan
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - mga coordinate ng gitna ng bilog,
\(r\) - radius ng bilog,
\(\delta \) - anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.
Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay zero, at ang radius ay katumbas ng isa:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Ang Javascript ay hindi pinagana sa iyong browser.Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!
Ang trigonometrya ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga function ng trigonometriko at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula sa mga araw ng sinaunang Greece. Noong Middle Ages, ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay gumawa ng mahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng agham na ito.
Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pangunahing konsepto at kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometric function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan sa konteksto ng geometry ay ipinaliwanag at inilarawan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function, na ang argumento ay isang anggulo, ay ipinahayag sa pamamagitan ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.
Mga kahulugan ng trigonometriko function
Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.
Ang cosine ng anggulo (cos α) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse.
Ang tangent ng anggulo (t g α) ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi.
Ang cotangent ng anggulo (c t g α) ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.
Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!
Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.
Sa tatsulok na ABC na may tamang anggulo C, ang sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio ng leg BC sa hypotenuse AB.
Ginagawang posible ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent na kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng isang tatsulok.
Mahalagang tandaan!
Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine: mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga tangent at cotangent na halaga ay ang buong linya ng numero, iyon ay, ang mga ito ang mga function ay maaaring tumagal ng anumang halaga.
Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay tumutukoy sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot ay ipinakilala, ang halaga nito, hindi katulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado ng mga frame mula 0 hanggang 90 degrees. Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula sa - ∞ hanggang + ∞.
Sa kontekstong ito, maaaring tukuyin ng isa ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin ang isang bilog na yunit na nakasentro sa pinagmulan ng Cartesian coordinate system.
Ang panimulang punto A na may mga coordinate (1 , 0) ay umiikot sa gitna ng bilog ng yunit sa pamamagitan ng ilang anggulo α at papunta sa punto A 1 . Ang kahulugan ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong A 1 (x, y).
Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot
Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). sinα = y
Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot
Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x
Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot
Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x
Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot
Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y
Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi tinukoy kapag ang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa puntong may zero abscissa (0 , 1) at (0 , - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng punto ay naglalaho.
Mahalagang tandaan!
Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.
Ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Ang cotangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na mula sa konteksto ay malinaw na kung ano ang nakataya.
Numero
Paano naman ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?
Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero
Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ang isang numero ay tinatawag, na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.
Halimbawa, ang sine ng 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.
May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado.
Kahit anong totoong numero t Ang isang punto sa bilog ng yunit ay inilalagay sa pagsusulatan sa gitna sa pinagmulan ng hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng Cartesian. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinukoy sa mga tuntunin ng mga coordinate ng puntong ito.
Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1 , 0).
positibong numero t
Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan lilipat ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw nang pakaliwa sa paligid ng bilog at dadaan sa landas t .
Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng numero at ang punto sa bilog ay naitatag, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.
Sine (kasalanan) ng numerong t
Sine ng isang numero t- ordinate ng punto ng unit circle na tumutugma sa numero t. kasalanan t = y
Cosine (cos) ng t
Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog ng yunit na naaayon sa numero t. cos t = x
Padaplis (tg) ng t
Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t
Ang mga huling kahulugan ay naaayon sa at hindi sumasalungat sa kahulugan na ibinigay sa simula ng seksyong ito. Ituro ang isang bilog na katumbas ng isang numero t, ay tumutugma sa punto kung saan ang panimulang punto ay dumadaan pagkatapos na lumiko sa anggulo t radian.
Trigonometric function ng angular at numerical argument
Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng padaplis. Ang cotangent, tulad ng nabanggit sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α, maliban sa α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Masasabi nating ang sin α , cos α , t g α , c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.
Katulad nito, masasabi ng isa ang sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function ng isang numerical argument. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Ang lahat ng mga numero maliban sa π 2 + π · k , k ∈ Z, ay tumutugma sa halaga ng padaplis. Ang cotangent ay katulad na tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k , k ∈ Z.
Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya
Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.
Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.
Bumalik tayo sa data sa pinakasimula ng mga kahulugan at ang anggulong alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Ang mga trigonometric na kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ay ganap na sumasang-ayon sa mga geometric na kahulugan na ibinigay ng mga ratio ng mga gilid ng isang right triangle. Ipakita natin.
Kumuha ng unit circle na nakasentro sa isang rectangular Cartesian coordinate system. Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit mula sa resultang puntong A 1 (x, y) patayo sa x-axis. Sa nagresultang tamang tatsulok, ang anggulo A 1 O H ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng punto A 1 (x, y) . Ang haba ng binti sa tapat ng sulok ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.
Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse.
kasalanan α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Nangangahulugan ito na ang kahulugan ng sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.
Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
