Sa araling ito, aalalahanin natin ang lahat ng naunang pinag-aralan na pamamaraan ng pag-factor ng polynomial at isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, bilang karagdagan, pag-aaralan natin ang isang bagong pamamaraan - ang buong parisukat na pamamaraan at matutunan kung paano ilapat ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema.
Paksa:Factoring polynomials
Aralin:Factorization ng polynomials. Buong parisukat na paraan ng pagpili. Kumbinasyon ng mga pamamaraan
Alalahanin ang mga pangunahing pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial na napag-aralan kanina:
Ang paraan ng pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan mula sa mga bracket, iyon ay, isang kadahilanan na naroroon sa lahat ng mga miyembro ng polynomial. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Alalahanin na ang isang monomial ay isang produkto ng mga kapangyarihan at numero. Sa aming halimbawa, ang parehong miyembro ay may ilang karaniwang, magkaparehong elemento.
Kaya, alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket:
;
Alalahanin na sa pamamagitan ng pagpaparami ng nai-render na multiplier sa bracket, maaari mong suriin ang kawastuhan ng pag-render.
paraan ng pagpapangkat. Hindi laging posible na kumuha ng isang karaniwang kadahilanan sa isang polynomial. Sa kasong ito, kailangan mong hatiin ang mga miyembro nito sa mga grupo sa paraang sa bawat grupo ay maaari kang kumuha ng isang karaniwang kadahilanan at subukang hatiin ito upang pagkatapos na alisin ang mga kadahilanan sa mga grupo, isang karaniwang kadahilanan ang lilitaw para sa buong pagpapahayag, at ang pagpapalawak ay maaaring ipagpatuloy. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Pangkatin ang unang termino na may pang-apat, ang pangalawa ay ang ikalima, at ang pangatlo ay ang pang-anim ayon sa pagkakabanggit:
Kunin natin ang mga karaniwang salik sa mga pangkat:
Ang expression ay may isang karaniwang kadahilanan. Ilabas natin ito:
Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
;
Isulat natin ang expression nang detalyado:
Malinaw, nasa harap natin ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba, dahil mayroong kabuuan ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto ay ibabawas mula dito. Mag-roll tayo sa formula:
Ngayon ay matututunan natin ang isa pang paraan - ang buong parisukat na paraan ng pagpili. Ito ay batay sa mga formula ng parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba. Alalahanin sila:
Ang formula para sa parisukat ng kabuuan (pagkakaiba);
Ang kakaiba ng mga formula na ito ay naglalaman ang mga ito ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Isulat natin ang expression:
Kaya ang unang expression ay , at ang pangalawa .
Upang makagawa ng pormula para sa parisukat ng kabuuan o pagkakaiba, hindi sapat ang dobleng produkto ng mga expression. Kailangan itong idagdag at ibawas:
I-collapse natin ang buong parisukat ng kabuuan:
Ibahin natin ang resultang expression:
Inilapat namin ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, tandaan na ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay ang produkto at ang mga kabuuan sa pamamagitan ng kanilang pagkakaiba:
Kaya, ang pamamaraang ito ay binubuo, una sa lahat, sa katotohanan na kinakailangan upang matukoy ang mga expression na a at b na squared, iyon ay, upang matukoy kung aling mga expression ang naka-squad sa halimbawang ito. Pagkatapos nito, kailangan mong suriin ang pagkakaroon ng isang dobleng produkto, at kung wala ito, pagkatapos ay idagdag at ibawas ito, hindi nito mababago ang kahulugan ng halimbawa, ngunit ang polynomial ay maaaring mai-factor gamit ang mga formula para sa parisukat ng kabuuan o pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat, kung maaari.
Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa.
Halimbawa 1 - factorize:
Maghanap ng mga expression na parisukat:
Isulat natin kung ano dapat ang kanilang dobleng produkto:
Idagdag at ibawas natin ang dobleng produkto:
I-collapse natin ang buong parisukat ng kabuuan at magbigay ng mga katulad:
Isusulat namin ayon sa pormula ng pagkakaiba ng mga parisukat:
Halimbawa 2 - lutasin ang equation:
;
Mayroong trinomial sa kaliwang bahagi ng equation. Kailangan mong i-factor ito. Ginagamit namin ang formula ng parisukat ng pagkakaiba:
Mayroon kaming parisukat ng unang expression at dobleng produkto, ang parisukat ng pangalawang expression ay nawawala, idagdag at ibawas natin ito:
I-collapse natin ang buong parisukat at magbigay ng mga katulad na termino:
Ilapat natin ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:
Kaya mayroon kaming equation 
Alam natin na ang produkto ay katumbas ng zero lamang kung kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Batay dito, magsusulat kami ng mga equation:
Lutasin natin ang unang equation:
Lutasin natin ang pangalawang equation:
Sagot: o
;
Kumilos kami nang katulad sa nakaraang halimbawa - piliin ang parisukat ng pagkakaiba.
Kahulugan
Ang mga ekspresyong tulad ng 2 x 2 + 3 x + 5 ay tinatawag na square trinomial. Sa pangkalahatang kaso, ang square trinomial ay isang expression ng form na a x 2 + b x + c, kung saan ang a, b, c a, b, c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.
Isaalang-alang ang square trinomial x 2-4 x + 5 . Isulat natin ito sa form na ito: x 2 - 2 2 x + 5. Idagdag natin ang 2 2 sa expression na ito at ibawas ang 2 2 , makuha natin ang: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Tandaan na x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, kaya x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Ang pagbabagong ginawa natin ay tinatawag "pagpili ng isang buong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial".
Piliin ang perpektong parisukat mula sa parisukat na trinomial 9 x 2 + 3 x + 1 .
Tandaan na 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Pagkatapos ay `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Magdagdag at ibawas sa resultang expression `(1/2)^2`, nakukuha namin
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Ipakita natin kung paano ang paraan ng pagkuha ng isang buong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial ay ginagamit upang i-factorize ang isang parisukat na trinomial.
I-factor ang square trinomial 4 x 2-12 x + 5 .
Pinipili namin ang buong parisukat mula sa square trinomial: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Ngayon ilapat ang formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , nakukuha natin ang: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).
I-factor ang square trinomial - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Ngayon pansinin na 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .
Idinaragdag namin ang terminong 2 2 sa expression na 9 x 2 - 12 x, nakukuha namin ang:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, mayroon kaming:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
I-factor ang square trinomial 3 x 2 - 14 x - 5 .
Hindi namin maaaring i-represent ang 3 x 2 bilang parisukat ng ilang expression dahil hindi pa namin natutunan iyon sa paaralan. Dadaanan mo ito mamaya, at nasa Gawain Blg. 4 na natin pag-aaralan ang square roots. Ipakita natin kung paano natin mapapangkat ang isang ibinigay na square trinomial:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Ipapakita namin kung paano ginagamit ang buong parisukat na paraan upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang parisukat na trinomial.
Isaalang-alang ang square trinomial x 2 - x + 3 . Pagpili ng isang buong parisukat:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Tandaan na kapag `x=1/2` ang value ng square trinomial ay `11/4`, at kapag `x!=1/2` ang isang positibong numero ay idinagdag sa value ng `11/4`, kaya namin makakuha ng numerong mas malaki sa `11/ 4`. Kaya, ang pinakamaliit na value ng square trinomial ay `11/4` at ito ay nakuha gamit ang `x=1/2`.
Hanapin ang pinakamalaking halaga ng square trinomial - 16 2 + 8 x + 6 .
Pinipili namin ang buong parisukat mula sa square trinomial: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Sa `x=1/4` ang halaga ng square trinomial ay 7 , at sa `x!=1/4` ang isang positibong numero ay ibinabawas mula sa numero 7, iyon ay, nakakakuha tayo ng numerong mas mababa sa 7 . Kaya, ang numero 7 ay ang pinakamalaking halaga ng square trinomial, at ito ay nakuha gamit ang `x=1/4`.
I-factor ang numerator at denominator ng `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` at kanselahin ang fraction.
Tandaan na ang denominator ng fraction x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Binubulok namin ang numerator ng fraction sa mga salik gamit ang paraan ng pagkuha ng buong parisukat mula sa square trinomial. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .
Ang fraction na ito ay binawasan sa anyong `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` pagkatapos ng pagbabawas ng (x - 3) makuha natin ang `(x+5)/(x-3 )`.
I-factor ang polynomial x 4 - 13 x 2 + 36.
Ilapat natin ang buong square method sa polynomial na ito. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Tulad ng nabanggit ko na, sa integral calculus ay walang maginhawang formula para sa pagsasama ng isang fraction. At samakatuwid, mayroong isang malungkot na kalakaran: mas "magarbong" ang fraction, mas mahirap hanapin ang integral mula dito. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang isa ay kailangang gumamit ng iba't ibang mga trick, na tatalakayin ko ngayon. Maaaring gamitin kaagad ng mga handa na mambabasa talaan ng nilalaman:
- Ang paraan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential para sa mga simpleng fraction
Paraan ng Artipisyal na Pagbabagong Numerator
Halimbawa 1
Sa pamamagitan ng paraan, ang itinuturing na integral ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na pamamaraan, na nagsasaad , ngunit ang solusyon ay mas mahaba.
Halimbawa 2
Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Dapat tandaan na dito hindi na gagana ang variable replacement method.
Mahalaga ang atensyon! Ang mga halimbawa No. 1, 2 ay karaniwan at karaniwan. Sa partikular, ang mga naturang integral ay madalas na lumitaw sa kurso ng paglutas ng iba pang mga integral, lalo na, kapag pinagsama ang mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat).
Ang pamamaraan sa itaas ay gumagana din sa kaso kung ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay mas malaki kaysa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator.
Halimbawa 3
Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.
Magsimula tayo sa numerator.
Ang algorithm ng pagpili ng numerator ay katulad nito:
1) Sa numerator kailangan kong ayusin , ngunit doon . Anong gagawin? Isinama ko sa mga bracket at i-multiply sa: .
2) Ngayon sinusubukan kong buksan ang mga bracket na ito, ano ang mangyayari? . Hmm ... mas mabuti na, ngunit walang deuce sa simula sa numerator. Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply sa:
3) Pagbukas muli ng mga bracket: . At narito ang unang tagumpay! Kailangan pala! Ngunit ang problema ay lumitaw ang isang karagdagang termino. Anong gagawin? Upang hindi magbago ang expression, dapat kong idagdag ang pareho sa aking pagbuo: 
. Naging mas madali ang buhay. Posible bang mag-organisa muli sa numerator?
4) Kaya mo. Subukan namin: 
. Palawakin ang mga bracket ng pangalawang termino: 
. Paumanhin, ngunit mayroon talaga ako sa nakaraang hakbang, at hindi . Anong gagawin? Kailangan nating i-multiply ang pangalawang termino sa pamamagitan ng: 
5) Muli, para sa pagpapatunay, binubuksan ko ang mga bracket sa ikalawang termino: 
. Ngayon ay normal na: nakuha mula sa huling pagbuo ng talata 3! Ngunit muli mayroong isang maliit na "ngunit", isang dagdag na termino ay lumitaw, na nangangahulugan na dapat kong idagdag sa aking expression: 
Kung ang lahat ay tapos na nang tama, pagkatapos ay kapag binubuksan ang lahat ng mga bracket, dapat nating makuha ang orihinal na numerator ng integrand. Sinusuri namin:
Mabuti.
Sa ganitong paraan: 
handa na. Sa huling termino, inilapat ko ang paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng kaugalian.
Kung mahahanap natin ang derivative ng sagot at dalhin ang expression sa isang common denominator, kung gayon ay eksaktong makukuha natin ang orihinal na integrand. Ang itinuturing na paraan ng pagpapalawak sa isang kabuuan ay walang iba kundi ang reverse action upang dalhin ang expression sa isang common denominator.
Ang algorithm ng pagpili ng numerator sa mga naturang halimbawa ay pinakamahusay na ginanap sa isang draft. Sa ilang mga kasanayan, gagana rin ito sa pag-iisip. Naaalala ko ang isang record time nang gumawa ako ng isang seleksyon para sa ika-11 na kapangyarihan, at ang pagpapalawak ng numerator ay tumagal ng halos dalawang linya ng Werd.
Halimbawa 4
Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.
Ang paraan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential para sa mga simpleng fraction
Lumipat tayo sa susunod na uri ng mga fraction.
, , , (ang mga coefficient at hindi katumbas ng zero).
Sa katunayan, ang ilang mga kaso na may arcsine at arctangent ay nadulas na sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral. Ang ganitong mga halimbawa ay malulutas sa pamamagitan ng pagdadala ng function sa ilalim ng tanda ng kaugalian at pagkatapos ay pagsasama-sama gamit ang talahanayan. Narito ang ilang mas karaniwang mga halimbawa na may mahaba at mataas na logarithm:
Halimbawa 5
Halimbawa 6
Dito ipinapayong kunin ang isang talahanayan ng mga integral at sundin kung anong mga formula at paano nagaganap ang pagbabago. Tandaan, Paano at bakit ang mga parisukat ay naka-highlight sa mga halimbawang ito. Sa partikular, sa Halimbawa 6, kailangan muna nating katawanin ang denominator bilang 
, pagkatapos ay dalhin sa ilalim ng tanda ng kaugalian. At kailangan mong gawin ang lahat ng ito upang magamit ang karaniwang formula ng tabular 
.
Ngunit kung ano ang titingnan, subukang lutasin ang mga halimbawa No. 7,8 sa iyong sarili, lalo na dahil ang mga ito ay medyo maikli:
Halimbawa 7
Halimbawa 8
Hanapin ang hindi tiyak na integral:
Kung maaari mo ring suriin ang mga halimbawang ito, kung gayon ang malaking paggalang ay ang iyong mga kasanayan sa pagkakaiba-iba sa kanilang pinakamahusay.
Buong parisukat na paraan ng pagpili
Mga integral ng anyo, 
(mga coefficient at hindi katumbas ng zero) ay nalutas buong parisukat na paraan ng pagpili, na lumabas na sa aralin Mga Pagbabagong Geometric Plot.
Sa katunayan, ang gayong mga integral ay bumababa sa isa sa apat na mga integral ng talahanayan na kakakonsidera lang namin. At ito ay nakakamit gamit ang pamilyar na pinaikling mga formula ng pagpaparami:
Inilapat ang mga formula sa direksyong ito, iyon ay, ang ideya ng pamamaraan ay ang artipisyal na pag-aayos ng mga expression sa denominator o , at pagkatapos ay i-convert ang mga ito, ayon sa pagkakabanggit, sa o .
Halimbawa 9
Hanapin ang hindi tiyak na integral
Ito ang pinakasimpleng halimbawa kung saan na may term - unit coefficient(at hindi ilang numero o minus).
Tinitingnan namin ang denominator, dito ang buong bagay ay malinaw na nabawasan sa kaso. Simulan nating i-convert ang denominator:
Malinaw, kailangan mong magdagdag ng 4. At upang ang expression ay hindi magbago - ang parehong apat at ibawas:
Ngayon ay maaari mong ilapat ang formula:
Pagkatapos ng conversion ay tapos na LAGI ito ay kanais-nais na magsagawa ng isang reverse move: lahat ay maayos, walang mga error.
Ang malinis na disenyo ng halimbawang pinag-uusapan ay dapat magmukhang ganito: 
handa na. Ang pagdadala ng "libre" na kumplikadong function sa ilalim ng differential sign: , sa prinsipyo, ay maaaring mapabayaan
Halimbawa 10
Hanapin ang hindi tiyak na integral:
Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.
Halimbawa 11
Hanapin ang hindi tiyak na integral:
Ano ang gagawin kapag may minus sa harap? Sa kasong ito, kailangan mong alisin ang minus sa mga bracket at ayusin ang mga tuntunin sa pagkakasunud-sunod na kailangan namin:. pare-pareho("doble" sa kasong ito) Bawal hawakan!
Ngayon ay nagdaragdag kami ng isa sa mga panaklong. Pag-aralan ang expression, dumating kami sa konklusyon na kailangan namin ng isa sa likod ng bracket - idagdag:
Narito ang formula, ilapat:
LAGI nagsasagawa kami ng pagsusuri sa draft:
, na dapat i-verify.
Ang malinis na disenyo ng halimbawa ay mukhang ganito: 
Ginagawa naming kumplikado ang gawain
Halimbawa 12
Hanapin ang hindi tiyak na integral: 
Dito, kasama ang termino, ito ay hindi na isang solong koepisyent, ngunit isang "lima".
(1) Kung ang isang pare-pareho ay matatagpuan sa, pagkatapos ay agad naming alisin ito sa mga bracket.
(2) Sa pangkalahatan, palaging mas mainam na alisin ang pare-parehong ito sa integral, upang hindi ito makahadlang.
(3) Malinaw na ang lahat ay mababawasan sa formula . Kinakailangang maunawaan ang termino, ibig sabihin, upang makakuha ng "dalawa"
(4) Oo, . Kaya, idinaragdag namin ang expression, at ibawas ang parehong fraction.
(5) Ngayon pumili ng isang buong parisukat. Sa pangkalahatang kaso, kinakailangan ding kalkulahin , ngunit narito mayroon tayong mahabang logarithm formula 
, at ang aksyon ay hindi makatuwirang gawin, bakit - magiging malinaw ito nang kaunti.
(6) Sa totoo lang, maaari nating ilapat ang formula 
, sa halip na "x" lamang ang mayroon tayo, na hindi nagpapawalang-bisa sa bisa ng integral na tabular. Sa mahigpit na pagsasalita, isang hakbang ang nawawala - bago ang pagsasama, ang function ay dapat na dinala sa ilalim ng differential sign: 
, ngunit, tulad ng paulit-ulit kong nabanggit, ito ay madalas na napapabayaan.
(7) Sa sagot sa ilalim ng ugat, kanais-nais na buksan ang lahat ng mga bracket pabalik:
Mahirap? Hindi ito ang pinakamahirap sa integral calculus. Bagaman, ang mga halimbawang isinasaalang-alang ay hindi gaanong kumplikado dahil nangangailangan sila ng mahusay na pamamaraan ng pagkalkula.
Halimbawa 13
Hanapin ang hindi tiyak na integral:
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Sagutin sa pagtatapos ng aralin.
Mayroong mga integral na may mga ugat sa denominator, na, sa tulong ng isang kapalit, ay nabawasan sa mga integral ng itinuturing na uri, maaari mong basahin ang tungkol sa mga ito sa artikulo Mga kumplikadong integral, ngunit ito ay idinisenyo para sa mga mag-aaral na lubos na handa.
Dinadala ang numerator sa ilalim ng tanda ng kaugalian
Ito ang huling bahagi ng aralin, gayunpaman, ang mga integral ng ganitong uri ay karaniwan! Kung naipon ang pagod, mas mabuting magbasa bukas? ;)
Ang mga integral na isasaalang-alang natin ay katulad ng mga integral ng nakaraang talata, mayroon silang anyo: o 
(ang mga coefficient , at hindi katumbas ng zero).
Ibig sabihin, mayroon tayong linear function sa numerator. Paano malutas ang mga naturang integral?
Online na calculator.
Pagpili ng square ng binomial at factorization ng square trinomial.
Ang math program na ito kinukuha ang parisukat ng binomial mula sa parisukat na trinomyal, ibig sabihin. gumagawa ng pagbabago ng anyo: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) at pinapangkat ang square trinomial: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Yung. ang mga problema ay nabawasan sa paghahanap ng mga numero \(p, q \) at \(n, m \)
Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon.
Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square trinomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.
Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi ay maaaring ihiwalay mula sa integer sa pamamagitan ng alinman sa isang tuldok o isang kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nag-solve, ang ipinakilala na expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Halimbawa ng Detalyadong Solusyon
Pagpili ng parisukat ng binomial.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kaliwa(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \kanan) = $$ $$ 2 \kaliwa(x -1 \kanan) \kaliwa(x +2 \kanan) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Pagkuha ng square binomial mula sa square trinomial
Kung ang parisukat na trinomial ax 2 + bx + c ay kinakatawan bilang isang (x + p) 2 + q, kung saan ang p at q ay mga tunay na numero, kung gayon sinasabi nila na mula sa square trinomial, ang parisukat ng binomial ay naka-highlight.
Kunin natin ang parisukat ng binomial mula sa trinomial 2x 2 +12x+14.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Upang gawin ito, kinakatawan namin ang 6x bilang isang produkto ng 2 * 3 * x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2 . Nakukuha namin:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
yun. tayo pinili ang parisukat ng binomial mula sa parisukat na trinomyal, at ipinakita na:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorization ng isang square trinomial
Kung ang square trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan bilang a(x+n)(x+m), kung saan ang n at m ay tunay na mga numero, kung gayon ang operasyon ay sinasabing isasagawa mga factorization ng isang square trinomial.
Gumamit tayo ng isang halimbawa upang ipakita kung paano ginagawa ang pagbabagong ito.
I-factorize natin ang square trinomial 2x 2 +4x-6.
Alisin natin ang coefficient a sa mga bracket, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Ibahin natin ang expression sa mga bracket.
Upang gawin ito, kinakatawan namin ang 2x bilang pagkakaiba na 3x-1x, at -3 bilang -1*3. Nakukuha namin:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
yun. tayo factorize ang square trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Tandaan na ang factorization ng isang square trinomial ay posible lamang kapag ang quadratic equation na tumutugma sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, ang pag-factor ng trinomial 2x 2 +4x-6 ay posible kung ang quadratic equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may mga ugat. Sa proseso ng factoring, nalaman namin na ang equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may dalawang ugat 1 at -3, dahil sa mga halagang ito, ang equation na 2(x-1)(x+3)=0 ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.
x pangalan-
1.2.3. Paggamit ng mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon
Halimbawa. Factor x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Pag-factor ng polynomial gamit ang mga ugat nito
Teorama. Hayaang ang polynomial P x ay may ugat x 1 . Kung gayon ang polynomial na ito ay maaaring i-factor tulad ng sumusunod: P x x x 1 S x , kung saan ang S x ay ilang polynomial na ang degree ay mas mababa ng isang
mga halaga nang halili sa expression para sa P x. Nakukuha namin iyon para sa x 2 mo-
ang expression ay magiging 0, ibig sabihin, P 2 0, na nangangahulugang x 2 ang ugat ng multi-
miyembro. Hatiin ang polynomial P x sa x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x3 x4
1.3. Buong parisukat na seleksyon
Ang buong parisukat na paraan ng pagpili ay batay sa mga formula: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Ang pagpili ng buong parisukat ay isang katulad na pagbabago kung saan ang ibinigay na trinomial ay kinakatawan bilang a b 2 ang kabuuan o pagkakaiba ng parisukat ng binomial at ilang numeric o literal na expression.
Ang isang parisukat na trinomial na may paggalang sa isang variable ay isang pagpapahayag ng anyo
ax 2 bx c , kung saan ang a ,b at c ay binibigyan ng mga numero, at a 0 . | |||||||||||||
Binabago namin ang square trinomial ax 2 bx c bilang mga sumusunod. | x2: |
||||||||||||
koepisyent | |||||||||||||
Pagkatapos ay kinakatawan namin ang expression b x bilang 2b x (dobleng produkto
x ): isang x | ||||||||||||||||
Sa expression sa mga bracket, idagdag at ibawas mula dito ang numero
na siyang parisukat ng isang numero | Bilang resulta, nakukuha namin ang: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ngayon napapansin na | Kunin | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Halimbawa. Pumili ng isang buong parisukat. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 a 2,
1.4. Mga polynomial sa ilang mga variable
Ang mga polynomial sa ilang mga variable, tulad ng mga polynomial sa isang variable, ay maaaring idagdag, i-multiply at itaas sa isang natural na kapangyarihan.
Ang isang mahalagang pagbabago ng pagkakakilanlan ng isang polynomial sa ilang mga variable ay ang factorization. Dito, ang mga pamamaraan ng factorization ay ginagamit bilang pag-alis ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pagpapangkat, gamit ang mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon, pag-highlight sa buong parisukat, pagpapakilala ng mga auxiliary na variable.
1. I-factor ang polynomial P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. I-factor ang P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Ilapat ang paraan ng pagpapangkat
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3 y5xz.
3. I-factor ang P x ,y x 4 4y 4 . Pumili tayo ng isang buong parisukat:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Degree properties na may anumang rational exponent
Ang isang degree na may anumang rational exponent ay may mga sumusunod na katangian:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
isang r1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
kung saan ang a 0;b 0;r 1 ;r 2 ay mga arbitraryong rational na numero.
1. Multiply 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. I-factorize | a2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Mga pagsasanay para sa pagtupad sa sarili
1. Magsagawa ng mga aksyon gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon. isa) isang 52;
2) 3 a 72;
3) isang nb n2 .
4) 1 x 3;
3 y 3 ; | |||||
7) 8a 2 8a 2 ;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) a 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Kalkulahin gamit ang mga pinaikling pagkakakilanlan ng pagpaparami:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Patunayan ang mga pagkakakilanlan:
isa). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) isang 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. I-factor ang mga sumusunod na polynomial:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24ax38bx12a19b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6x3 36x 2 72x 48;
14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;
15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Kalkulahin sa pinakasimpleng paraan:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Hanapin ang quotient at natitira sa paghahati ng polynomial P x ayon sa polynomial Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .
7. Patunayan na ang polynomial x 2 2x 2 ay walang tunay na ugat.
8. Hanapin ang mga ugat ng isang polynomial:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. I-factorize:
1) 6 a 2 a 5 5a 3;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng pagpili ng isang buong parisukat:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Maghanap ng mga value ng expression:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Kalkulahin:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
 
| ||||||||||||||||||||||||