Uri ng equation f(x; a) = 0 ang tinatawag variable na equation X at parameter a.

Lutasin ang isang equation na may isang parameter a Nangangahulugan ito na para sa bawat halaga a maghanap ng mga halaga X nagbibigay-kasiyahan sa equation na ito.

Halimbawa 1 Oh= 0

Halimbawa 2 Oh = a

Halimbawa 3

x + 2 = palakol
x - palakol \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2

Kung 1 - a= 0, ibig sabihin. a= 1, pagkatapos X 0 = -2 walang ugat

Kung 1 - a 0, ibig sabihin. a 1, pagkatapos X =

Halimbawa 4

(a 2 – 1) X = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)X = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)X = (1a – 3)(a – 1)

Kung ang a= 1, pagkatapos ay 0 X = 0
X- anumang tunay na numero

Kung ang a= -1, pagkatapos ay 0 X = -2
walang ugat

Kung ang a 1, a-1 pagkatapos X= (ang tanging solusyon).

Nangangahulugan ito na para sa bawat wastong halaga a tumutugma sa iisang halaga X.

Halimbawa:

kung a= 5, pagkatapos X = = ;

kung a= 0, pagkatapos X= 3 atbp.

Didactic na materyal

1. Oh = X + 3

2. 4 + Oh = 3X – 1

3. a = +

sa a= 1 walang mga ugat.

sa a= 3 walang ugat.

sa a = 1 X anumang tunay na numero maliban sa X = 1

sa a = -1, a= 0 walang mga solusyon.

sa a = 0, a= 2 walang solusyon.

sa a = -3, a = 0, 5, a= -2 walang solusyon

sa a = -Sa, Sa= 0 walang mga solusyon.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1 lutasin ang equation

(a – 1)X 2 = 2(2a + 1)X + 4a + 3 = 0

Sa a = 1 6X + 7 = 0

Kailan a 1 piliin ang mga halaga ng parameter kung saan D napupunta sa zero.

D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16

20a + 16 = 0

20a = -16

Kung ang a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Kung ang a> -4/5 at a 1, pagkatapos D > 0,

X =

Kung ang a= 4/5, pagkatapos D = 0,

Halimbawa 2 Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation

x 2 + 2( a + 1)X + 9a– Ang 5 = 0 ay may 2 magkaibang negatibong ugat?

D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)

4(a – 1)(a – 6) > 0

ayon kay t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(a + 1)
X 1 X 2 = 9a – 5

Sa pamamagitan ng kondisyon X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0

Sa bandang huli

4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0

a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9

(kanin. isa) < a < 1, либо a > 6

Halimbawa 3 Maghanap ng mga halaga a kung saan may solusyon ang equation na ito.

x 2 - 2( a – 1)X + 2a + 1 = 0

D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a

4a 2 – 16 0

4a(a – 4) 0

a( a – 4)) 0

a( a – 4) = 0

a = 0 o a – 4 = 0
a = 4

(kanin. 2)

Sagot: a 0 at a 4

Didactic na materyal

1. Sa anong halaga a ang equation Oh 2 – (a + 1) X + 2a– 1 = 0 ay may isang ugat?

2. Sa anong halaga a ang equation ( a + 2) X 2 + 2(a + 2)X Ang + 2 = 0 ay may isang ugat?

3. Para sa anong mga halaga ng a ang equation ( a 2 – 6a + 8) X 2 + (a 2 – 4) X + (10 – 3a – a 2) = 0 ay may higit sa dalawang ugat?

4. Para sa anong mga halaga ng isang equation 2 X 2 + X – a Ang = 0 ay may hindi bababa sa isang karaniwang ugat na may equation 2 X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Para sa anong mga halaga ng isang ginagawa ang mga equation X 2 +Oh+ 1 = 0 at X 2 + X + a= 0 ay may hindi bababa sa isang karaniwang ugat?

1. Kailan a = - 1/7, a = 0, a = 1

2. Kailan a = 0

3. Kailan a = 2

4. Kailan a = 10

5. Kailan a = - 2

Mga Exponential Equation na may Parameter

Halimbawa 1.Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang equation

9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) ay may eksaktong dalawang ugat.

Solusyon. Pag-multiply ng magkabilang panig ng equation (1) sa 3 2/x, nakakakuha tayo ng katumbas na equation

3 2(x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)

Hayaan ang 3 x+1/x = sa, pagkatapos ay ang equation (2) ay kumukuha ng anyo sa 2 – (a + 2)sa + 2a= 0, o

(sa – 2)(sa – a) = 0, saan sa 1 =2, sa 2 = a.

Kung ang sa= 2, ibig sabihin. 3 x + 1/x = 2 pagkatapos X + 1/X= log 3 2 , o X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.

Ang equation na ito ay walang tunay na ugat dahil ito D= log 2 3 2 – 4< 0.

Kung ang sa = a, ibig sabihin. 3 x+1/x = a pagkatapos X + 1/X= log 3 a, o X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Ang equation (3) ay may eksaktong dalawang ugat kung at kung lamang

D = log 2 3 2 – 4 > 0, o |log 3 a| > 2.

Kung ang log 3 a > 2, kung gayon a> 9, at kung log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.

Sagot: 0< a < 1/9, a > 9.

Halimbawa 2. Sa anong mga halaga ng isang equation 2 2x - ( a- 3) 2 x - 3 a= 0 ay may mga solusyon?

Para sa isang ibinigay na equation na magkaroon ng mga solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na ang equation t 2 – (a- 3) t – 3a= 0 ay may hindi bababa sa isang positibong ugat. Hanapin natin ang mga ugat gamit ang theorem ni Vieta: X 1 = -3, X 2 = a = >

a ay isang positibong numero.

Sagot: kailan a > 0

Didactic na materyal

1. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang equation

25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 ay may eksaktong 2 solusyon.

2. Para sa anong mga halaga ng isang ginagawa ang equation

2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 ay may iisang ugat?

3. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation

4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a Ang = 0 ay may natatanging solusyon?

Logarithmic Equation na may Parameter

Halimbawa 1 Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang equation

log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

ay may natatanging solusyon.

Solusyon. Ang equation (1) ay katumbas ng equation

1 + Oh = 2X sa X > 0, X 1/4 (3)

X = sa

au 2 - sa + 1 = 0 (4)

Ang (2) kundisyon mula sa (3) ay hindi nasiyahan.

Hayaan a 0, pagkatapos au 2 – 2sa Ang + 1 = 0 ay may tunay na mga ugat kung at kung lamang D = 4 – 4a 0, ibig sabihin. sa a 1. Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay (3), bumuo kami ng mga graph ng mga function Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng kurso ng algebra at mathematical analysis. - M.: Enlightenment, 1990

Kramor V.S.. Inuulit at isinasaayos namin ang kurso ng paaralan ng algebra at ang simula ng pagsusuri. – M.: Enlightenment, 1990.

Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I.. Koleksyon ng mga problema sa algebra. – M.: Enlightenment, 1994.

Zvavich L.I., Hatter L.Ya. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Solusyon sa mga problema sa pagsusulit. – M.: Bustard, 1998.

Makarychev Yu.N. at iba pa. Mga materyal na didactic sa algebra 7, 8, 9 na mga cell. - M .: Edukasyon, 2001.

Saakyan S.I., Goldman A.M., Denisov D.V. Mga problema sa algebra at ang simula ng pagsusuri para sa mga baitang 10–11. – M.: Enlightenment, 1990.

Journal "Matematika sa paaralan".

L.S. Lappo at iba pa.GAMIT. Pagtuturo. - M .: Pagsusulit, 2001-2008.

Upang mga gawain na may parameter isama, halimbawa, ang paghahanap ng solusyon sa mga linear at quadratic na equation sa pangkalahatang anyo, ang pag-aaral ng equation para sa bilang ng mga ugat na magagamit, depende sa halaga ng parameter.

Nang hindi nagbibigay ng mga detalyadong kahulugan, isaalang-alang ang mga sumusunod na equation bilang mga halimbawa:

y = kx, kung saan ang x, y ay mga variable, ang k ay isang parameter;

y = kx + b, kung saan ang x, y ay mga variable, ang k at b ay mga parameter;

ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang x ay mga variable, ang a, b at c ay mga parameter.

Upang malutas ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay, sistema) na may isang parameter ay nangangahulugan, bilang panuntunan, upang malutas ang isang walang katapusang hanay ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema).

Ang mga gawaing may parameter ay maaaring nahahati sa dalawang uri:

a) sinasabi ng kondisyon: lutasin ang equation (hindi pagkakapantay-pantay, sistema) - nangangahulugan ito, para sa lahat ng mga halaga ng parameter, hanapin ang lahat ng mga solusyon. Kung ang hindi bababa sa isang kaso ay nananatiling hindi ginalugad, ang gayong solusyon ay hindi maituturing na kasiya-siya.

b) kinakailangang ipahiwatig ang mga posibleng halaga ng parameter kung saan ang equation (hindi pagkakapantay-pantay, system) ay may ilang mga katangian. Halimbawa, mayroon itong isang solusyon, walang mga solusyon, may mga solusyon na kabilang sa pagitan, atbp. Sa ganitong mga gawain, kinakailangang malinaw na ipahiwatig kung anong halaga ng parameter ang nasiyahan sa kinakailangang kondisyon.

Ang parameter, bilang isang hindi kilalang nakapirming numero, ay may, kumbaga, isang espesyal na duality. Una sa lahat, dapat itong isaalang-alang na ang sinasabing katanyagan ay nagmumungkahi na ang parameter ay dapat makita bilang isang numero. Pangalawa, ang kalayaan sa paghawak ng isang parameter ay limitado sa hindi alam nito. Kaya, halimbawa, ang mga operasyon ng paghahati sa pamamagitan ng isang expression kung saan mayroong isang parameter o pagkuha ng isang ugat ng isang kahit na antas mula sa isang katulad na expression ay nangangailangan ng paunang pananaliksik. Samakatuwid, ang pag-aalaga ay dapat gawin sa paghawak ng parameter.

Halimbawa, upang ihambing ang dalawang numero -6a at 3a, tatlong kaso ang kailangang isaalang-alang:

1) -6a ay magiging mas malaki kaysa sa 3a kung ang a ay isang negatibong numero;

2) -6a = 3a sa kaso kapag a = 0;

3) -6a ay magiging mas mababa sa 3a kung ang a ay isang positibong numero 0.

Ang desisyon ang magiging sagot.

Hayaang ibigay ang equation na kx = b. Ang equation na ito ay shorthand para sa isang walang katapusang hanay ng mga equation sa isang variable.

Kapag nilulutas ang mga naturang equation, maaaring may mga kaso:

1. Hayaang k ang anumang di-zero na tunay na numero at b ang anumang numero mula sa R, pagkatapos x = b/k.

2. Hayaan ang k = 0 at b ≠ 0, ang orihinal na equation ay magkakaroon ng anyong 0 · x = b. Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon.

3. Hayaang ang k at b ay mga numerong katumbas ng zero, pagkatapos ay mayroon tayong pagkakapantay-pantay na 0 · x = 0. Ang solusyon nito ay anumang tunay na numero.

Ang algorithm para sa paglutas ng ganitong uri ng mga equation:

1. Tukuyin ang mga halaga ng "kontrol" ng parameter.

2. Lutasin ang orihinal na equation para sa x gamit ang mga halaga ng parameter na natukoy sa unang talata.

3. Lutasin ang orihinal na equation para sa x na may mga halaga ng parameter na naiiba sa mga napili sa unang talata.

4. Maaari mong isulat ang sagot sa sumusunod na anyo:

1) kapag ... (parameter value), ang equation ay may mga ugat ...;

2) kapag ... (parameter value), walang mga ugat sa equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation na may parameter |6 – x| = a.

Solusyon.

Madaling makita na dito ang isang ≥ 0.

Sa tuntunin ng modulo 6 – x = ±a, ipinapahayag namin ang x:

Sagot: x = 6 ± a, kung saan a ≥ 0.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation na a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 na may kinalaman sa variable na x.

Solusyon.

Buksan natin ang mga bracket: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Isulat natin ang equation sa karaniwang anyo: x(a + 2) = a + 2.

Kung ang expression na a + 2 ay hindi zero, i.e. kung a ≠ -2, mayroon tayong solusyon na x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), i.e. x = 1.

Kung ang isang + 2 ay katumbas ng zero, i.e. a \u003d -2, pagkatapos ay mayroon kaming tamang pagkakapantay-pantay 0 x \u003d 0, samakatuwid ang x ay anumang tunay na numero.

Sagot: x \u003d 1 para sa isang ≠ -2 at x € R para sa isang \u003d -2.

Halimbawa 3

Lutasin ang equation na x/a + 1 = a + x na may kinalaman sa variable na x.

Solusyon.

Kung ang isang \u003d 0, pagkatapos ay binabago namin ang equation sa anyo ng a + x \u003d isang 2 + ax o (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Ang huling equation para sa a = 1 ay may anyo na 0 · x = 0, samakatuwid, ang x ay anumang numero.

Kung a ≠ 1, ang huling equation ay kukuha ng anyo na x = -a.

Ang solusyon na ito ay maaaring ilarawan sa linya ng coordinate (Larawan 1)

Sagot: walang mga solusyon para sa a = 0; x - anumang numero sa a = 1; x \u003d -a na may ≠ 0 at isang ≠ 1.

Paraan ng graphic

Isaalang-alang ang isa pang paraan upang malutas ang mga equation na may isang parameter - graphical. Ang pamamaraang ito ay madalas na ginagamit.

Halimbawa 4

Ilang ugat, depende sa parameter a, ang ginagawa ng equation ||x| – 2| = a?

Solusyon.

Upang malutas sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan, bumuo kami ng mga graph ng mga function y = ||x| – 2| at y = a (Larawan 2).

Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita ng mga posibleng kaso ng lokasyon ng linya y = a at ang bilang ng mga ugat sa bawat isa sa kanila.

Sagot: ang equation ay walang mga ugat kung a< 0; два корня будет в случае, если a >2 at a = 0; ang equation ay magkakaroon ng tatlong ugat sa kaso a = 2; apat na ugat - sa 0< a < 2.

Halimbawa 5

Para sa alin ang equation 2|x| + |x – 1| = may iisang ugat ang a?

Solusyon.

Gumuhit tayo ng mga graph ng mga function y = 2|x| + |x – 1| at y = a. Para sa y = 2|x| + |x - 1|, pagpapalawak ng mga module sa pamamagitan ng paraan ng gap, nakukuha namin ang:

(-3x + 1, sa x< 0,

y = (x + 1, para sa 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, para sa x > 1.

Sa Larawan 3 malinaw na makikita na ang equation ay magkakaroon lamang ng kakaibang ugat kapag a = 1.

Sagot: a = 1.

Halimbawa 6

Tukuyin ang bilang ng mga solusyon ng equation |x + 1| + |x + 2| = a depende sa parameter a?

Solusyon.

Graph ng function na y = |x + 1| + |x + 2| magiging putol na linya. Ang mga vertex nito ay matatagpuan sa mga punto (-2; 1) at (-1; 1) (larawan 4).

Sagot: kung ang parameter a ay mas mababa sa isa, ang equation ay walang mga ugat; kung a = 1, kung gayon ang solusyon ng equation ay isang walang katapusang hanay ng mga numero mula sa segment [-2; -isa]; kung ang mga halaga ng parameter a ay mas malaki kaysa sa isa, ang equation ay magkakaroon ng dalawang ugat.

May tanong ka ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation na may isang parameter?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Para sa anong mga halaga ng parameter na $a$ ang hindi pagkakapantay-pantay na $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ ay may kahit isang solusyon?

Solusyon

Binabawasan namin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa isang positibong koepisyent para sa $x^2$:

$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$

Kalkulahin ang discriminant: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Para magkaroon ng solusyon ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, kinakailangan na kahit isang punto ng parabola ay nasa ibaba ng $x$ axis. Dahil ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas, ito ay nangangailangan na ang parisukat na trinomial sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay may dalawang ugat, iyon ay, ang discriminant nito ay positibo. Dumating tayo sa pangangailangang lutasin ang quadratic inequality $a^2 - 28a > 0$. Ang parisukat na trinomial na $a^2 - 28a$ ay may dalawang ugat: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay na $a^2 - 28a > 0$ ay natutugunan ng mga pagitan na $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

Sagot.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

Para sa anong mga halaga ng parameter na $a$ ang equation na $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ ay may kahit isang ugat, at lahat ng mga ugat ay positibo?

Solusyon

Hayaan ang $a=2$. Pagkatapos ang equation ay nasa anyo na $() - 4x +5 = 0$ , kung saan nakuha namin na ang $x=\dfrac(5)(4)$ ay isang positibong ugat.

Ngayon hayaan ang $a\ne 2$. Ito ay lumiliko ang isang quadratic equation. Alamin muna natin kung anong mga halaga ng parameter na $a$ ang ibinigay na equation ay may mga ugat. Kinakailangan na hindi negatibo ang diskriminasyon nito. Yan ay:

$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$

Ang mga ugat ay dapat na positibo ayon sa kondisyon, samakatuwid, mula sa Vieta theorem nakuha natin ang sistema:

$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (mga kaso) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $

Pinagsasama namin ang mga sagot, nakukuha namin ang nais na hanay: $a\in(-\infty;-3)\cup$.

Sagot.$a\in(-\infty;-3)\cup$.

Para sa anong mga halaga ng parameter na $a$ walang mga solusyon ang hindi pagkakapantay-pantay na $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$?

Solusyon

1. Kung $a = 0$, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumababa sa hindi pagkakapantay-pantay $5 \leqslant 0$ , na walang mga solusyon. Samakatuwid, ang halagang $a = 0$ ay nakakatugon sa kondisyon ng problema.
2. Kung $a > 0$, ang graph ng square trinomial sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang parabola na may mga pataas na sanga. Kinakalkula namin ang $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon kung ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng x-axis, iyon ay, kapag ang square trinomial ay walang mga ugat ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
3. Kung $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Sagot.$a \in \left$ ay nasa pagitan ng mga ugat, kaya dapat mayroong dalawang ugat (kaya $a\ne 0$). Kung ang mga sanga ng parabola $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ ay tumuturo paitaas, kung gayon ang $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ at $y(1) > 0$.

Kaso I. Hayaan ang $a > 0$. Pagkatapos

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $

Ibig sabihin, sa kasong ito, lumalabas na lahat ng $a > 3$ ay magkasya.

Kaso II. Hayaan si $a< 0$. Тогда

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

Ibig sabihin, sa kasong ito, lumalabas na ang lahat ng $a< -1$.

Sagot.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter na $a$, para sa bawat isa kung saan ang sistema ng mga equation

$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $

may eksaktong dalawang solusyon.

Solusyon

Ibawas ang pangalawa sa una: $(x-y)^2 = 1$. Pagkatapos

$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(array)\kanan. $

Ang pagpapalit ng mga nakuhang expression sa pangalawang equation ng system, nakakuha tayo ng dalawang quadratic equation: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ at $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Ang discriminant ng bawat isa sa kanila ay katumbas ng $D = 16a-4$.

Tandaan na hindi maaaring mangyari na ang pares ng mga ugat ng una sa mga parisukat na equation ay nag-tutugma sa pares ng mga ugat ng ikalawang quadratic equation, dahil ang kabuuan ng mga ugat ng una ay katumbas ng $-1$, at ang pangalawa ay 1.

Nangangahulugan ito na ang bawat isa sa mga equation na ito ay dapat magkaroon ng isang ugat, pagkatapos ang orihinal na sistema ay magkakaroon ng dalawang solusyon. Iyon ay $D = 16a - 4 = 0$.

Sagot.$a=\dfrac(1)(4)$

Hanapin ang lahat ng value ng parameter na $a$ para sa bawat isa kung saan ang equation na $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ ay may dalawang ugat.

Solusyon

Isulat muli natin ang equation sa anyo:

$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$

Isaalang-alang ang function na $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.

Para sa $x\geqslant 3$ ang unang modulus ay pinalawak na may plus sign, at ang function ay nagiging: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Malinaw na sa anumang pagpapalawak ng mga module, bilang isang resulta, isang linear function na may coefficient $k\geqslant 5-3-1=1>0$ ay makukuha, iyon ay, ang function na ito ay lumalaki nang walang nakatali sa pagitan na ito.

Isaalang-alang ngayon ang pagitan ng $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

Kaya, nakuha namin na ang $x=3$ ay ang pinakamababang punto ng function na ito. At nangangahulugan ito na upang ang orihinal na equation ay magkaroon ng dalawang solusyon, ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay dapat na mas mababa sa zero. Ibig sabihin, nagaganap ang hindi pagkakapantay-pantay: $f(3)<0$.

$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Sagot.$a \in (-24; 18)$

Para sa anong mga halaga ng parameter na $a$ ang equation na $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ ay may iisang ugat?

Solusyon

Gumawa tayo ng pagbabago: $t = 5^x > 0$. Pagkatapos ang orihinal na equation ay nasa anyo ng isang quadratic equation: $t^2-3t+a-1 =0$. Ang orihinal na equation ay magkakaroon ng isang ugat kung ang equation na ito ay may isang positibong ugat o dalawang ugat, ang isa ay positibo, ang isa ay negatibo.

Ang discriminant ng equation ay: $D = 13-4a$. Ang equation na ito ay magkakaroon ng isang ugat kung ang resultang discriminant ay katumbas ng zero, ibig sabihin, para sa $a = \dfrac(13)(4)$. Sa kasong ito, ang ugat na $t=\dfrac(3)(2) > 0$, kaya ang ibinigay na halaga ng $a$ ay angkop.

Kung mayroong dalawang ugat, isang positibo at isang hindi positibo, kung gayon ang $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ at $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$.

Ibig sabihin, $a\in(-\infty;1]$

Sagot.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter na $a$ kung saan ang system

$ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(cases) $

may eksaktong dalawang solusyon.

Solusyon

Ibahin natin ang system sa sumusunod na anyo:

$ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(cases) $

Dahil ang parameter na $a$ ay nasa base ng logarithm, ang mga sumusunod na paghihigpit ay ipinapataw dito: $a>0$, $a \ne 1$. Dahil ang variable na $y$ ay ang argumento ng logarithm, pagkatapos ay $y > 0$.

Pinagsasama ang parehong mga equation ng system, ipinapasa namin ang equation: $\log_a y = y^2$. Depende sa kung anong mga halaga ang kinukuha ng parameter na $a$, posible ang dalawang kaso:

1. Hayaan ang $0< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y >0$. Mula sa pag-uugali ng mga graph, malinaw na ang ugat ng equation ay isa, habang ito ay mas mababa sa 1. Ang pangalawang equation ng system at ang buong sistema sa kabuuan, samakatuwid, ay may dalawang solusyon, dahil sa katotohanan. na ang discriminant ng equation $ x^2-2x+y = 0$ sa $0
2. Hayaan ngayon $a > 1$. Sa kasong ito, ang function na $f(y)=\log_a y \leqslant 0$ para sa $y< 1$, а функция $g(y) = y^2 >0$ para sa parehong $y$. Nangangahulugan ito na kung may mga solusyon, para lamang sa $y > 1$, ngunit ang pangalawang equation ng sistema ng mga solusyon ay hindi magkakaroon, dahil ang discriminant ng equation na $x^2 - 2x + y = 0$ para sa $y > 1$ ay negatibo.

Sagot.$a\in(0;1)$

Isaalang-alang ang kaso kapag $a > 1$. Dahil para sa malalaking halaga ng $t$ ang graph ng function na $f(t) = a^t$ ay nasa itaas ng tuwid na linya $g(t) = t$, ang tanging karaniwang punto ay maaari lamang maging isang punto ng contact .

Hayaan ang $t_0$ ang touch point. Sa puntong ito, ang derivative sa $f(t) = a^t$ ay katumbas ng isa (ang tangent ng slope ng tangent), bilang karagdagan, ang mga halaga ng parehong mga function ay pareho, iyon ay, ang nagaganap ang sumusunod na sistema:

$ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $

Saan ang $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$.

$ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $

Kasabay nito, ang mga direktang at exponential function ay malinaw na walang iba pang mga karaniwang punto.

Sagot.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$

1. Gawain.
Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ay may eksaktong isang ugat?

1. Desisyon.
Sa a= 1 equation ang may form 2 x= 0 at halatang may iisang ugat x= 0. Kung a No. 1, kung gayon ang equation na ito ay parisukat at may isang solong ugat para sa mga halaga ng parameter kung saan ang discriminant ng square trinomial ay katumbas ng zero. Ang equating ang discriminant sa zero, nakakakuha kami ng equation para sa parameter a 4a 2 - 8a= 0, saan a= 0 o a = 2.

1. Sagot: ang equation ay may iisang ugat sa a O(0; 1; 2).

2. Gawain.
Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang equation ay may dalawang magkaibang ugat x 2 +4palakol+8a+3 = 0.
2. Desisyon.
Ang equation x 2 +4palakol+8a Ang +3 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat kung at kung lamang D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Nakukuha namin (pagkatapos ng pagbabawas ng karaniwang salik na 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, kung saan

2. Sagot:

a O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) AT (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Gawain.
Ito ay kilala na
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) I-graph ang function f 1 (x) sa a = 1.
b) Sa anong halaga a mga function graph f 1 (x) at f 2 (x) may iisang karaniwang punto?

3. Solusyon.
3.a. Magtransform tayo f 1 (x) sa sumusunod na paraan
Ang graph ng function na ito a= 1 ay ipinapakita sa figure sa kanan.
3.b. Agad naming tandaan na ang function graphs y = kx+b at y = palakol 2 +bx+c (a Hindi. 0) mag-intersect sa isang punto kung at kung ang quadratic equation kx+b = palakol 2 +bx+c may iisang ugat. Gamit ang View f 1 ng 3.a, tinutumbasan namin ang discriminant ng equation a = 6x-x 2 -6 hanggang zero. Mula sa Equation 36-24-4 a= 0 ang nakukuha natin a= 3. Gayon din ang paggawa sa equation 2 x-a = 6x-x 2 -6 mahanap a= 2. Madaling i-verify na ang mga halaga ng parameter na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Sagot: a= 2 o a = 3.

4. Gawain.
Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang hanay ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay x 2 -2palakol-3a i 0 ay naglalaman ng segment .

4. Solusyon.
Ang unang coordinate ng vertex ng parabola f(x) = x 2 -2palakol-3a ay katumbas ng x 0 = a. Mula sa mga katangian ng isang quadratic function, ang kundisyon f(x) i 0 sa pagitan ay katumbas ng kabuuan ng tatlong sistema
may eksaktong dalawang solusyon?

5. Desisyon.
Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Ito ay isang quadratic equation, mayroon itong eksaktong dalawang solusyon kung ang discriminant nito ay mahigpit na mas malaki sa zero. Ang pagkalkula ng discriminant, nakuha namin na ang kondisyon para sa pagkakaroon ng eksaktong dalawang ugat ay ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay. a 2 +a-6 > 0. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin a < -3 или a> 2. Malinaw, ang una sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon sa natural na mga numero, at ang pinakamaliit na natural na solusyon ng pangalawa ay ang numero 3.

5. Sagot: 3.

6. Gawain (10 cell)
Hanapin ang lahat ng mga halaga a, kung saan ang graph ng function o, pagkatapos ng mga halatang pagbabago, a-2 = | 2-a| . Ang huling equation ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay a ako 2.

6. Sagot: a O )