Maraming tao ang nag-iisip na ang mga exponential inequalities ay isang bagay na napakakomplikado at hindi maintindihan. At ang pag-aaral na lutasin ang mga ito ay halos isang mahusay na sining, na tanging ang Pinili lamang ang nakakaunawa...
Kumpletong kalokohan! Ang mga exponential inequalities ay madali. At palagi silang madaling lutasin. Well, halos palaging. :)
Ngayon ay susuriin natin ang paksang ito sa malayo at malawak. Ang araling ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula pa lamang na maunawaan ang seksyong ito ng matematika ng paaralan. Magsimula tayo sa mga simpleng gawain at magpatuloy sa mas kumplikadong mga isyu. Walang magiging kalupitan ngayon, ngunit ang iyong babasahin ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa lahat ng uri ng kontrol at independiyenteng gawain. At sa pagsusulit mo rin dito.
Gaya ng dati, magsimula tayo sa isang kahulugan. Ang exponential inequality ay anumang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng exponential function. Sa madaling salita, maaari itong palaging bawasan sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\[((a)^(x)) \gt b\]
Kung saan ang papel ng $b$ ay maaaring isang ordinaryong numero, o maaaring mas mahirap. Mga halimbawa? Oo pakiusap:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]
Sa tingin ko ay malinaw ang kahulugan: mayroong exponential function na $((a)^(x))$, ito ay inihahambing sa isang bagay, at pagkatapos ay hiniling na hanapin ang $x$. Sa partikular na mga klinikal na kaso, sa halip na ang variable na $x$, maaari silang maglagay ng ilang function na $f\left(x \right)$ at sa gayon ay medyo kumplikado ang hindi pagkakapantay-pantay. :)
Siyempre, sa ilang mga kaso, ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring magmukhang mas malala. Halimbawa:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
O kahit na ito:
Sa pangkalahatan, ang pagiging kumplikado ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ibang-iba, ngunit sa huli ay bumaba pa rin sila sa isang simpleng konstruksyon $((a)^(x)) \gt b$. At kahit papaano ay haharapin natin ang gayong disenyo (lalo na sa mga klinikal na kaso, kapag walang naiisip, makakatulong sa atin ang mga logarithms). Samakatuwid, ngayon ay matututunan natin kung paano lutasin ang gayong mga simpleng konstruksyon.
Solusyon sa pinakasimpleng exponential inequalities
Tingnan natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa, narito ito:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Malinaw, ang numero sa kanan ay maaaring muling isulat bilang kapangyarihan ng dalawa: $4=((2)^(2))$. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isinulat sa isang napaka-maginhawang anyo:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
At ngayon ang mga kamay ay nangangati na "i-cross out" ang mga deuces, na nakatayo sa mga base ng mga degree, upang makuha ang sagot $x \gt 2$. Ngunit bago natin i-cross out ang anumang bagay, tandaan natin ang kapangyarihan ng dalawa:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Tulad ng nakikita mo, mas malaki ang numero sa exponent, mas malaki ang output number. "Salamat, Cap!" bulalas ng isa sa mga estudyante. Iba ba ang nangyayari? Sa kasamaang palad, nangyayari ito. Halimbawa:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Dito rin, ang lahat ay lohikal: mas malaki ang antas, mas maraming beses na ang bilang na 0.5 ay pinarami ng sarili nito (iyon ay, nahahati ito sa kalahati). Kaya, ang resultang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay bumababa, at ang pagkakaiba sa pagitan ng una at pangalawang pagkakasunud-sunod ay nasa base lamang:
- Kung ang base ng degree na $a \gt 1$, kung gayon habang lumalaki ang exponent na $n$, lalago din ang bilang na $((a)^(n))$;
- Sa kabaligtaran, kung $0 \lt a \lt 1$, pagkatapos ay habang lumalaki ang exponent na $n$, bababa ang bilang na $((a)^(n))$.
Sa pagbubuod ng mga katotohanang ito, nakukuha natin ang pinakamahalagang pahayag, kung saan nakabatay ang buong solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential:
Kung $a \gt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \gt n$. Kung $0 \lt a \lt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \lt n$.
Sa madaling salita, kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin - hindi magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. At kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay kailangan ding baguhin.
Tandaan na hindi namin isinasaalang-alang ang $a=1$ at $a\le 0$ na mga opsyon. Dahil sa mga kasong ito ay walang katiyakan. Ipagpalagay kung paano lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form na $((1)^(x)) \gt 3$? Ang isa sa anumang kapangyarihan ay muling magbibigay ng isa - hinding-hindi tayo makakakuha ng tatlo o higit pa. Yung. walang solusyon.
Sa mga negatibong batayan, ito ay mas kawili-wili. Isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
\[((\kaliwa(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sa unang sulyap, ang lahat ay simple:
tama? Pero hindi! Ito ay sapat na upang palitan ang isang pares ng kahit at isang pares ng mga kakaibang numero sa halip na $x$ upang matiyak na ang solusyon ay mali. Tingnan mo:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang mga palatandaan ay kahalili. Ngunit mayroon pa ring mga fractional degrees at iba pang lata. Paano, halimbawa, mag-uutos na magbilang ng $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus two na itinaas sa ugat ng pito)? Hindi pwede!
Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa lahat ng exponential inequalities (at equation, by the way, too) $1\ne a \gt 0$. At pagkatapos ang lahat ay malulutas nang napakasimple:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Sa pangkalahatan, muling tandaan ang pangunahing panuntunan: kung ang base sa exponential equation ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin; at kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari din itong alisin, ngunit babaguhin nito ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Mga halimbawa ng solusyon
Kaya, isaalang-alang ang ilang simpleng exponential inequalities:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Ang pangunahing gawain ay pareho sa lahat ng kaso: upang bawasan ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pinakasimpleng anyo na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ito ang gagawin natin ngayon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, at sa parehong oras ay uulitin natin ang mga katangian ng mga kapangyarihan at ang exponential function. Kaya tara na!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Ano ang maaaring gawin dito? Well, sa kaliwa mayroon na tayong demonstrative expression - walang kailangang baguhin. Ngunit sa kanan ay may ilang uri ng kalokohan: isang fraction, at kahit isang ugat sa denominator!
Gayunpaman, tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction at kapangyarihan:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Ano ang ibig sabihin nito? Una, madali nating maaalis ang fraction sa pamamagitan ng paggawa nito sa isang negatibong exponent. At pangalawa, dahil ang denominator ay ang ugat, ito ay magiging maganda upang gawing isang degree - oras na ito na may isang fractional exponent.
Ilapat natin ang mga pagkilos na ito nang sunud-sunod sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at tingnan kung ano ang mangyayari:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kaliwa(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Huwag kalimutan na kapag nagtataas ng isang degree sa isang kapangyarihan, ang mga exponents ng mga degree na ito ay idinagdag. At sa pangkalahatan, kapag nagtatrabaho sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, ganap na kinakailangan na malaman ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
Sa totoo lang, inilapat lang namin ang huling panuntunan. Samakatuwid, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat gaya ng sumusunod:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Ngayon ay inaalis namin ang deuce sa base. Mula sa 2 > 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Iyan ang buong solusyon! Ang pangunahing kahirapan ay wala sa exponential function, ngunit sa karampatang pagbabago ng orihinal na expression: kailangan mong maingat at sa lalong madaling panahon dalhin ito sa pinakasimpleng anyo nito.
Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Well well. Narito kami ay naghihintay para sa mga decimal fraction. Tulad ng sinabi ko nang maraming beses, sa anumang mga expression na may kapangyarihan, dapat mong alisin ang mga decimal fraction - kadalasan ito ang tanging paraan upang makakita ng mabilis at madaling solusyon. Narito ang aming aalisin:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\kaliwa(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]
Bago sa amin ay muli ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay, at kahit na may base na 1/10, i.e. mas mababa sa isa. Buweno, tinanggal namin ang mga base, sabay-sabay na binabago ang pag-sign mula sa "mas mababa" sa "mas malaki", at nakukuha namin:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Nakuha namin ang huling sagot: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pakitandaan na ang sagot ay eksaktong set, at sa anumang kaso ay ang pagbuo ng form na $x \lt -1$. Dahil pormal na ang ganitong konstruksiyon ay hindi isang set sa lahat, ngunit isang hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na $x$. Oo, ito ay napaka-simple, ngunit hindi ito ang sagot!
Mahalagang paalaala. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong bahagi sa isang kapangyarihan na may base na mas malaki kaysa sa isa. Tingnan mo:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Pagkatapos ng gayong pagbabago, muli tayong nakakakuha ng exponential inequality, ngunit may base na 10 > 1. At nangangahulugan ito na maaari mo lamang i-cross out ang sampu - hindi magbabago ang inequality sign. Nakukuha namin:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay eksaktong pareho. Kasabay nito, iniligtas namin ang aming sarili mula sa pangangailangang baguhin ang sign at sa pangkalahatan ay naaalala ang ilang mga patakaran doon. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Gayunpaman, huwag hayaan na matakot ka. Anuman ang nasa mga tagapagpahiwatig, ang teknolohiya para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay mismo ay nananatiling pareho. Samakatuwid, una nating tandaan na 16 = 2 4 . Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hooray! Nakuha namin ang karaniwang square inequality! Ang tanda ay hindi nagbago kahit saan, dahil ang base ay isang deuce - isang numero na mas malaki kaysa sa isa.
Mga function na zero sa linya ng numero
Inayos namin ang mga palatandaan ng function na $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - malinaw naman, ang graph nito ay magiging parabola na may mga sanga sa itaas, kaya magkakaroon ng "pluses ” sa mga gilid. Interesado kami sa rehiyon kung saan ang function ay mas mababa sa zero, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ ang sagot sa orihinal na problema.
Sa wakas, isaalang-alang ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Muli naming nakikita ang isang exponential function na may isang decimal fraction sa base. I-convert natin ang fraction na ito sa common fraction:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\kaliwa(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
Sa kasong ito, sinamantala namin ang sinabi nang mas maaga - binawasan namin ang base sa numero 5\u003e 1 upang gawing simple ang aming karagdagang desisyon. Gawin natin ang parehong sa kanang bahagi:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, isinasaalang-alang ang parehong mga pagbabago:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Ang mga base sa magkabilang panig ay pareho at mas malaki kaysa sa isa. Walang ibang mga termino sa kanan at kaliwa, kaya "pinutol" lang namin ang mga lima at nakakakuha kami ng napakasimpleng expression:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Dito kailangan mong mag-ingat. Maraming mga estudyante ang gustong kunin ang square root ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay at magsulat ng isang bagay tulad ng $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Hindi mo dapat gawin ito, dahil ang ugat ng eksaktong parisukat ay ang modulus, at hindi nangangahulugang orihinal na variable:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]
Gayunpaman, ang pagtatrabaho sa mga module ay hindi ang pinaka-kaaya-ayang karanasan, tama? Kaya hindi tayo magtatrabaho. Sa halip, ililipat lang namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Muli, minarkahan namin ang nakuha na mga puntos sa linya ng numero at tingnan ang mga palatandaan:
Pakitandaan: ang mga tuldok ay may kulay. Dahil nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga punto sa graph ay may kulay. Samakatuwid, ang magiging sagot ay: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ay hindi isang interval, ngunit isang segment.
Sa pangkalahatan, nais kong tandaan na walang kumplikado sa exponential inequalities. Ang kahulugan ng lahat ng mga pagbabagong ginawa namin ngayon ay bumaba sa isang simpleng algorithm:
- Hanapin ang base kung saan bawasan namin ang lahat ng antas;
- Maingat na magsagawa ng mga pagbabagong-anyo upang makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Siyempre, sa halip na ang mga variable na $x$ at $n$, maaaring magkaroon ng mas kumplikadong mga function, ngunit hindi nito binabago ang kahulugan;
- I-cross out ang mga base ng mga degree. Sa kasong ito, maaaring magbago ang inequality sign kung ang base $a \lt 1$.
Sa katunayan, ito ay isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng lahat ng gayong hindi pagkakapantay-pantay. At lahat ng iba pang sasabihin sa iyo sa paksang ito ay tiyak na mga trick at trick lamang upang pasimplehin at pabilisin ang pagbabago. Narito ang isa sa mga trick na pag-uusapan natin ngayon. :)
paraan ng rasyonalisasyon
Isaalang-alang ang isa pang batch ng hindi pagkakapantay-pantay:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Well, ano ang espesyal sa kanila? Magaan din ang mga ito. Bagaman, huminto! Nakataas ba ang pi sa isang kapangyarihan? Anong klaseng kalokohan?
At paano itaas ang numerong $2\sqrt(3)-3$ sa isang kapangyarihan? O $3-2\sqrt(2)$? Ang mga compiler ng mga problema ay halatang uminom ng masyadong maraming "Hawthorn" bago umupo sa trabaho. :)
Sa katunayan, walang mali sa mga gawaing ito. Paalalahanan kita: ang exponential function ay isang expression ng form na $((a)^(x))$, kung saan ang base na $a$ ay anumang positibong numero, maliban sa isa. Ang bilang na π ay positibo - alam na natin ito. Ang mga numerong $2\sqrt(3)-3$ at $3-2\sqrt(2)$ ay positibo rin - madali itong makita kung ihahambing natin ang mga ito sa zero.
Lumalabas na ang lahat ng "nakakatakot" na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay hindi naiiba sa mga simpleng tinalakay sa itaas? At ginagawa nila ito sa parehong paraan? Oo, ganap na tama. Gayunpaman, gamit ang kanilang halimbawa, nais kong isaalang-alang ang isang trick na nakakatipid ng maraming oras sa independiyenteng trabaho at pagsusulit. Pag-uusapan natin ang paraan ng rasyonalisasyon. Kaya pansin:
Anumang exponential inequality ng form na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng inequality $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Iyon ang buong pamamaraan. :) Naisip mo ba na magkakaroon ng ilang uri ng susunod na laro? Walang ganito! Ngunit ang simpleng katotohanang ito, na literal na nakasulat sa isang linya, ay lubos na magpapasimple sa ating gawain. Tingnan mo:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Wala nang mga exponential function! At hindi mo na kailangang tandaan kung ang tanda ay nagbabago o hindi. Ngunit lumitaw ang isang bagong problema: ano ang gagawin sa nakakatuwang multiplier na \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Hindi namin alam kung ano ang eksaktong halaga ng pi. Gayunpaman, ang kapitan ay tila nagpapahiwatig ng halata:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Sa pangkalahatan, ang eksaktong halaga ng π ay hindi gaanong nakakaabala sa amin - mahalaga lamang para sa amin na maunawaan na sa anumang kaso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ay isang positibong pare-pareho, at maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay nito:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, sa isang tiyak na punto, kailangan nating hatiin sa minus one, at nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa dulo, pinalawak ko ang square trinomial ayon sa Vieta theorem - halata na ang mga ugat ay katumbas ng $((x)_(1))=5$ at $((x)_(2))=- 1$. Pagkatapos ang lahat ay malulutas sa pamamagitan ng klasikal na pamamaraan ng mga agwat:
Malutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Interesado kami sa lugar na may mga negatibong halaga, kaya ang sagot ay $x\in \left(-1;5 \right)$. Yan ang solusyon. :)
Lumipat tayo sa susunod na gawain:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Simple lang ang lahat dito, dahil may unit sa kanan. At natatandaan namin na ang isang yunit ay anumang numero na nakataas sa kapangyarihan ng zero. Kahit na ang numerong ito ay isang hindi makatwirang expression, nakatayo sa base sa kaliwa:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\kanan))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(align)\]
Kaya't bigyang-katwiran natin:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Ito ay nananatiling lamang upang harapin ang mga palatandaan. Ang multiplier na $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ay hindi naglalaman ng variable na $x$ - ito ay pare-pareho lang, at kailangan nating malaman ang sign nito. Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Ito ay lumiliko na ang pangalawang kadahilanan ay hindi lamang isang pare-pareho, ngunit isang negatibong pare-pareho! At kapag hinati nito, ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Ngayon ang lahat ay nagiging medyo halata. Ang mga ugat ng square trinomial sa kanan ay $((x)_(1))=0$ at $((x)_(2))=2$. Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero at tinitingnan ang mga palatandaan ng function $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Ang kaso kapag kami ay interesado sa mga lateral interval Interesado kami sa mga pagitan na minarkahan ng plus sign. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot:
Lumipat tayo sa susunod na halimbawa:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Well, ang lahat ay medyo halata dito: ang mga base ay mga kapangyarihan ng parehong bilang. Samakatuwid, isusulat ko ang lahat nang maikli:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pababa \\ ((\kaliwa(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kaliwa(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kaliwa(16-x\kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, sa proseso ng mga pagbabagong-anyo, kailangan naming i-multiply sa isang negatibong numero, kaya nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pinakadulo, muli kong inilapat ang teorama ni Vieta upang i-factorize ang isang square trinomial. Bilang resulta, ang sagot ay ang mga sumusunod: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ang mga nagnanais ay mapapatunayan ito sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng numero, pagmamarka ng mga puntos at pagbibilang ng mga palatandaan. Pansamantala, magpapatuloy tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa ating "set":
\[((\kaliwa(3-2\sqrt(2) \kanan)))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Tulad ng nakikita mo, ang base ay muling isang hindi makatwirang numero, at ang yunit ay nasa kanan muli. Samakatuwid, muling isinulat namin ang aming exponential inequality gaya ng sumusunod:
\[((\left(3-2\sqrt(2)) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
I-rationalize natin:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Gayunpaman, medyo halata na ang $1-\sqrt(2) \lt 0$, dahil $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Samakatuwid, ang pangalawang kadahilanan ay muling negatibong pare-pareho, kung saan ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Lumipat sa ibang base
Ang isang hiwalay na problema sa paglutas ng mga exponential inequalities ay ang paghahanap para sa "tama" na batayan. Sa kasamaang palad, sa unang sulyap sa gawain, malayo sa palaging halata kung ano ang dapat gawin bilang batayan, at kung ano ang gagawin bilang antas ng batayan na ito.
Ngunit huwag mag-alala: walang magic at "lihim" na teknolohiya dito. Sa matematika, anumang kasanayan na hindi ma-algoritmo ay madaling mabuo sa pamamagitan ng pagsasanay. Ngunit para dito kailangan mong lutasin ang mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, ito ay:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]
Mahirap? Nakakatakot? Oo, ito ay mas madali kaysa sa isang manok sa aspalto! Subukan Natin. Unang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Well, sa tingin ko ang lahat ay malinaw dito:
Isinulat namin muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, binabawasan ang lahat sa base na "dalawa":
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Oo, oo, naunawaan mo nang tama: Inilapat ko lang ang paraan ng rasyonalisasyon na inilarawan sa itaas. Ngayon kailangan nating magtrabaho nang mabuti: nakakuha tayo ng fractional-rational inequality (ito ang may variable sa denominator), kaya bago i-equate ang isang bagay sa zero, kailangan mong bawasan ang lahat sa isang common denominator at alisin ang pare-parehong salik. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Ngayon ginagamit namin ang karaniwang paraan ng pagitan. Mga numerator zero: $x=\pm 4$. Ang denominator ay napupunta sa zero lamang kapag $x=0$. Sa kabuuan, mayroong tatlong puntos na dapat markahan sa linya ng numero (lahat ng mga puntos ay pinutol, dahil ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit). Nakukuha namin:
Mas kumplikadong kaso: tatlong ugat Tulad ng maaari mong hulaan, ang pagpisa ay nagmamarka ng mga pagitan kung saan ang expression sa kaliwa ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid, dalawang agwat ang mapupunta sa huling sagot nang sabay-sabay:
Ang mga dulo ng mga pagitan ay hindi kasama sa sagot dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Walang karagdagang pagpapatunay ng sagot na ito ay kinakailangan. Kaugnay nito, ang mga exponential inequalities ay mas simple kaysa sa logarithmic: walang DPV, walang mga paghihigpit, atbp.
Lumipat tayo sa susunod na gawain:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Wala ring mga problema dito, dahil alam na natin na $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, kaya ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli ng ganito:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kaliwa(-2\kanan)\kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Pakitandaan: sa ikatlong linya, nagpasya akong huwag mag-aksaya ng oras sa mga bagay at agad na hatiin ang lahat sa pamamagitan ng (−2). Pumasok si Minul sa unang bracket (ngayon ay may mga plus sa lahat ng dako), at ang deuce ay nabawasan na may palaging multiplier. Ito ay eksakto kung ano ang dapat mong gawin kapag gumagawa ng mga tunay na kalkulasyon para sa independyente at kontrol na trabaho - hindi mo kailangang direktang ipinta ang bawat aksyon at pagbabago.
Susunod, ang pamilyar na paraan ng mga pagitan ay papasok. Mga zero ng numerator: ngunit wala. Dahil magiging negatibo ang discriminant. Sa turn, ang denominator ay nakatakda sa zero lamang kapag $x=0$ — tulad ng huling pagkakataon. Well, malinaw na ang fraction ay kukuha ng mga positibong halaga sa kanan ng $x=0$, at mga negatibo sa kaliwa. Dahil interesado lang kami sa mga negatibong halaga, ang huling sagot ay $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
At ano ang dapat gawin sa mga decimal fraction sa exponential inequalities? Iyan ay tama: alisin ang mga ito sa pamamagitan ng pag-convert sa kanila sa mga ordinaryong. Narito kami ay nagsasalin:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end(align)\]
Well, ano ang nakuha natin sa mga base ng exponential function? At nakakuha kami ng dalawang magkaparehong katumbas na numero:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kaliwa(((\kaliwa(\frac(4)(25) \kanan)))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kaliwa(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Siyempre, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag, na nangyari sa pangalawang linya. Bilang karagdagan, kinakatawan namin ang yunit sa kanan, bilang isang kapangyarihan din sa base 4/25. Ito ay nananatili lamang sa pangangatwiran:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Tandaan na $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. ang pangalawang kadahilanan ay negatibong pare-pareho, at kapag hinati nito, magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Sa wakas, ang huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa kasalukuyang "set":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Sa prinsipyo, ang ideya ng isang solusyon dito ay malinaw din: ang lahat ng mga exponential function na bumubuo sa hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na bawasan sa base na "3". Ngunit para dito kailangan mong mag-tinker ng kaunti sa mga ugat at degree:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Dahil sa mga katotohanang ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat gaya ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ at ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Bigyang-pansin ang ika-2 at ika-3 linya ng mga kalkulasyon: bago gumawa ng isang bagay na may hindi pagkakapantay-pantay, siguraduhing dalhin ito sa form na pinag-usapan natin mula sa simula ng aralin: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Hangga't mayroon kang kaliwa o kanang kaliwang multiplier, dagdag na constant, atbp., walang rasyonalisasyon at "pagtawid" sa mga lugar na maaaring isagawa! Hindi mabilang na mga gawain ang nagawang mali dahil sa hindi pagkakaunawaan sa simpleng katotohanang ito. Ako mismo ay patuloy na nagmamasid sa problemang ito sa aking mga mag-aaral noong nagsisimula pa lamang kaming mag-analisa ng exponential at logarithmic inequalities.
Ngunit bumalik sa aming gawain. Subukan natin sa oras na ito na gawin nang walang rasyonalisasyon. Naaalala namin: ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, kaya ang mga triple ay maaaring i-cross out - ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay hindi magbabago. Nakukuha namin:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Iyon lang. Panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Ang pag-highlight ng isang matatag na expression at pagpapalit ng isang variable
Bilang konklusyon, iminumungkahi kong lutasin ang apat pang exponential inequalities, na medyo mahirap para sa mga hindi handa na mga mag-aaral. Upang makayanan ang mga ito, kailangan mong tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree. Sa partikular, ang paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket.
Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ang matutong umunawa: kung ano talaga ang maaaring i-bracket. Ang ganitong expression ay tinatawag na stable - maaari itong ipahiwatig ng isang bagong variable at sa gayon ay mapupuksa ang exponential function. Kaya, tingnan natin ang mga gawain:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Magsimula tayo sa pinakaunang linya. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito nang hiwalay:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Tandaan na $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, kaya ang kanang bahagi ay maaaring isulat muli:
Tandaan na walang ibang exponential function maliban sa $((5)^(x+1))$ sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa pangkalahatan, ang variable na $x$ ay hindi nangyayari kahit saan pa, kaya magpakilala tayo ng bagong variable: $((5)^(x+1))=t$. Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Bumalik tayo sa orihinal na variable ($t=((5)^(x+1))$), at sa parehong oras tandaan na 1=5 0 . Meron kami:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Iyan ang buong solusyon! Sagot: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Lahat ay pareho dito. Tandaan na $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang kaliwang bahagi:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \tama. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
Ito ay humigit-kumulang kung paano mo kailangang gumawa ng desisyon sa tunay na kontrol at independiyenteng trabaho.
Well, subukan natin ang isang bagay na mas mahirap. Halimbawa, narito ang isang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Ano ang problema dito? Una sa lahat, ang mga base ng exponential function sa kaliwa ay magkakaiba: 5 at 25. Gayunpaman, 25 \u003d 5 2, kaya ang unang termino ay maaaring mabago:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Tulad ng nakikita mo, sa una ay dinala namin ang lahat sa parehong base, at pagkatapos ay napansin namin na ang unang termino ay madaling nabawasan sa pangalawa - sapat na upang palawakin ang exponent. Ngayon ay maaari na nating ligtas na ipakilala ang isang bagong variable: $((5)^(2x+2))=t$, at ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad nito:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Muli, walang problema! Panghuling sagot: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Paglipat sa panghuling hindi pagkakapantay-pantay sa aralin ngayon:
\[((\kaliwa(0,5 \kanan)))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Ang unang bagay na dapat mong bigyang pansin ay, siyempre, ang decimal fraction sa base ng unang degree. Ito ay kinakailangan upang mapupuksa ito, at sa parehong oras dalhin ang lahat ng exponential function sa parehong base - ang numerong "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\kaliwa(((2)^(4)) \kanan))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ at ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Mahusay, ginawa namin ang unang hakbang - ang lahat ay humantong sa parehong pundasyon. Ngayon kailangan nating i-highlight ang matatag na expression. Tandaan na $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kung magpapakilala kami ng bagong variable na $((2)^(4x+6))=t$, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(align)\]
Natural, ang tanong ay maaaring lumitaw: paano natin nalaman na 256 = 2 8 ? Sa kasamaang palad, dito kailangan mo lamang malaman ang mga kapangyarihan ng dalawa (at sa parehong oras ang mga kapangyarihan ng tatlo at lima). Well, o hatiin ang 256 sa 2 (maaari mong hatiin, dahil ang 256 ay isang even na numero) hanggang makuha natin ang resulta. Magiging ganito ang hitsura nito:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Ganoon din sa tatlo (mga numero 9, 27, 81 at 243 ang mga kapangyarihan nito), at sa pito (mga numero 49 at 343 ay maganda ring tandaan). Well, ang lima ay mayroon ding "magandang" degree na kailangan mong malaman:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ at ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Siyempre, ang lahat ng mga numerong ito, kung ninanais, ay maaaring maibalik sa isip, sa pamamagitan lamang ng sunud-sunod na pagpaparami ng mga ito sa bawat isa. Gayunpaman, kapag kailangan mong lutasin ang ilang exponential inequalities, at ang bawat susunod ay mas mahirap kaysa sa nauna, ang huling bagay na gusto mong isipin ay ang kapangyarihan ng ilang numero doon. At sa ganitong diwa, ang mga problemang ito ay mas kumplikado kaysa sa "klasikal" na hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.
Sana ay nakatulong sa iyo ang araling ito sa pag-master ng paksang ito. Kung may hindi malinaw, magtanong sa mga komento. At magkita-kita tayo sa mga susunod na tutorial. :)
Paksa 6. Exponential at logarithmic equation at inequalities (11 oras)
Paksa ng aralin. Mga hindi pagkakapantay-pantay na nababawasan sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam.
Ang layunin ng aralin: Upang mabuo ang mga kasanayan sa paglutas ng exponential at logarithmic inequalities, sa pamamagitan ng pagbabawas sa pinakasimpleng mga, sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam.
Mga gawain:
Pang-edukasyon: ulitin at pagsama-samahin ang kaalaman sa paksang "paglutas ng pinakasimpleng exponential at logarithmic inequalities", alamin kung paano lutasin ang logarithmic at exponential inequalities sa pamamagitan ng paraan ng kapalit.
Pagbuo: upang mabuo ang kakayahan ng mag-aaral na makilala ang dalawang uri ng hindi pagkakapantay-pantay at matukoy ang mga paraan upang malutas ang mga ito (lohikal at intuitive na pag-iisip, pagpapatunay ng mga paghatol, pag-uuri, paghahambing), upang bumuo ng mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili at pagsusuri sa sarili, ang kakayahang lumipat ayon sa isang ibinigay na algorithm, suriin at itama ang resulta.
Pang-edukasyon: upang ipagpatuloy ang pagbuo ng mga katangian ng mga mag-aaral bilang: ang kakayahang makinig sa bawat isa; ang kakayahang magsagawa ng mutual control at self-assessment.
Uri ng aralin: pinagsama-sama.
Teksbuk Algebra Baitang 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
Sa panahon ng mga klase
Oras ng pag-aayos.
Sinusuri ang takdang-aralin.
Pag-update ng pangunahing kaalaman.
Pangharap:
1. Anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na pinakasimpleng exponential inequalities?
2. Ipaliwanag kung ano ang kahulugan ng paglutas ng pinakasimpleng exponential inequalities.
3. Anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na pinakasimpleng logarithmic inequalities?
4. Ipaliwanag kung ano ang kahulugan ng paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequalities.
May tala sa pisara (1 mag-aaral bawat isa):
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Paliwanag ng bagong materyal at ang unti-unting pagsasama nito.
1.1. Paliwanag ng bagong materyal.
1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, pagkatapos
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Interesado kami sa sign na "−−". Pagkatapos ay nakuha namin
Sagot:x∈(1;2)
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
1.2. Hakbang-hakbang na pagpapalakas.
No. 6.49(a, c).
No. 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Sagot: -∞; 1∪54; + ∞v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Sagot: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Sagot: -2;-1∪3;42.1. Paliwanag ng bagong materyal.
3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Pagkatapos 1 hindi pagkakapantay-pantay ay may katuturan para sa lahat ng x, at ang pangalawa
2.2. Hakbang-hakbang na pagpapalakas.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay #6.56(c)
3.1. Paliwanag ng bagong materyal.
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
3.2. Hakbang-hakbang na pagpapalakas.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay #6.60(a)
Pagbubuod ng aralin.
Pagninilay.
Takdang aralin.
P. 6.6
No. 6.49 (b, d)
No. 6.52 (a, b)
No. 6.56 (d)
No. 6.60 (b)
Naka-attach na mga file
Guro sa matematika MOU - sekondaryang paaralan No. 2 r.p. Website ng Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna
slide 2
Buod ng aralin
Ang paksang "Exponatory inequalities" ay ang pinakamahalagang paksa sa matematika. Ayon sa aklat-aralin ni S. M. Nikolsky, ito ay pinag-aralan sa ika-10 baitang at 2 oras ang inilaan para sa pag-aaral nito sa pagpaplano: 1 oras - Ang pinakasimpleng exponential inequalities; 1 oras - Mga hindi pagkakapantay-pantay na nabawasan sa pinakasimpleng kapalit ng hindi alam. Sa panahong ito, kinakailangang ipakilala sa mga mag-aaral ang bago at napakaraming materyal, turuan silang lutasin ang lahat ng uri ng exponential inequalities at isagawa nang maayos ang mga kasanayan at kakayahan na ito. Samakatuwid, ang mga aralin sa pagbuo ng bagong kaalaman sa anyo ng mga lecture Ang teknolohiya ng impormasyon at komunikasyon ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mga problemang ito nang mabilis at may malaking tagumpay.
slide 3
slide 4
Albert Einstein
"Kailangan kong hatiin ang aking oras sa pagitan ng pulitika at paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, ang solusyon ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, sa aking opinyon, ay mas mahalaga, dahil ang pulitika ay umiiral lamang sa sandaling ito, at ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay mananatili magpakailanman.
slide 5
Istraktura ng aralin
Sandali ng organisasyon Pagtatakda ng mga layunin at layunin Plano ng lektura Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral sa anyo ng pag-uulit ng dati nang pinag-aralan na materyal Pagpapakilala ng bagong kaalaman Pagsasama-sama ng kaalaman sa anyo ng isang pakikipanayam Pagbubuod ng aralin Takdang-Aralin
slide 6
Oras ng pag-aayos
Batiin ang mga mag-aaral Itala ang mga pangalan ng mga mag-aaral na lumiban sa klase sa class journal
Slide 7
Pagtatakda ng mga layunin at layunin
Ipahayag sa mga mag-aaral sa simula ng aralin ang mga layunin at layunin nito Ipakilala sa mga mag-aaral ang plano ng panayam at isulat ito sa isang kuwaderno
Slide 8
Mga Layunin ng Aralin
Educational Formation ng konsepto ng exponential inequality Pag-familiarize ng mga mag-aaral sa mga uri ng exponential inequalities Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan upang malutas ang exponential inequalities
Slide 9
Edukasyong Edukasyon ng kasipagan Edukasyon ng kalayaan sa pagkamit ng layunin Pagbuo ng mga kasanayan sa pagtutuos Pagbuo ng mga kasanayan sa aesthetic kapag gumagawa ng mga tala
Slide 10
Pagbuo ng Pag-unlad ng aktibidad ng kaisipan Pag-unlad ng malikhaing inisyatiba Pag-unlad ng aktibidad na nagbibigay-malay Pag-unlad ng pagsasalita at memorya
slide 11
Mga layunin ng aralin
Ulitin ang mga katangian ng isang exponential function Ulitin ang mga panuntunan para sa paglutas ng mga square at fractionally rational inequalities Gumawa ng isang algorithm para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential inequalities Turuan ang mga mag-aaral na makilala ang mga uri ng exponential inequalities Turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang exponential inequalities
slide 12
Uri ng aralin
Aral sa pagbuo ng bagong kaalaman
slide 13
Uri ng aralin
Aralin - panayam
Slide 14
Mga pamamaraan ng pagtuturo
Explanatory-illustrative Heuristic Search Problematic
slide 15
Pag-aaral ng teknolohiya
Information and Communication Technology Batay sa Problem-Based Learning
slide 16
Plano ng lecture
Pag-uulit ng mga katangian ng isang exponential function Ang pinakasimpleng exponential inequalities Ang exponential inequalities na bumababa hanggang sa pinakasimpleng Exponential inequalities na bumababa sa quadratic inequalities Homogeneous exponential inequalities ng unang degree Homogeneous exponential inequalities ng second degree Exponential inequalities na nagpapababa sa rational inequalities Exponential non-standard na hindi pagkakapantay-pantay
Slide 17
Pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal
Lutasin sa pisara at sa mga notebook: a) square inequalities: x² - 2x - 1≥0 x² - 2x - 3 ≤0 b) fractional-rational inequality: (x - 5) \ (x - 2) ≤ 0
Slide 18
Pag-uulit ng mga katangian ng exponential function
Slide 19
monotonically decreasing sa R Ang x-axis ay isang pahalang na asymptote na monotonically tumataas sa R 8. Para sa anumang tunay na mga halaga ng x at y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asymptote 6. Extrema 5. Monotonicity 4. Evenness, oddness 3. Intervals of comparison of values of a function with unity 2. Range of values of a function has no extremums The function is not even or odd (general function).
Slide 20
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon Gawain bilang 1 Hanapin ang domain ng function
slide 21
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Gawain bilang 2 Tukuyin ang mga halaga
slide 22
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon Gawain № 3 Tukuyin ang uri ng function na tumataas bumababa tumataas bumababa
slide 23
Pagpapakilala ng bagong kaalaman
slide 24
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon KAHULUGAN ng pinakasimpleng exponential inequalities: Hayaang ang a ay isang binigay na positibong numero na hindi katumbas ng isa at ang b ay isang naibigay na tunay na numero. Pagkatapos ay ang mga hindi pagkakapantay-pantay ax>b (ax≥b) at ax
Slide 25
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon Ang solusyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay na may hindi kilalang x ay ang bilang na x0, kapag pinapalitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay, isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay nakuha.
slide 26
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon ANO ANG IBIG SABIHIN ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay? Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o ipakita na wala.
Slide 27
Isaalang-alang ang relatibong posisyon ng graph ng function na y=ax, a>0, a≠1 at ang tuwid na linya na y=b. Exponential inequalities, kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas ng y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0
Slide 28
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon ay matatagpuan sa ibaba ng curve y=ax, kaya ang mga inequalities ax>b(ax≥b) ay humahawak para sa xR, at ang inequalities ax
Slide 29
KONKLUSYON №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Kung a>1 at b > 0, pagkatapos ay para sa bawat x1 x0- sa ibaba ng linyang y=b. 1 Para sa b> 0, ang linyang y = b ay nag-intersect sa graph ng function na y= ax sa isang punto, ang abscissa kung saan ay x0 = logab
slide 30
KONKLUSYON №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon ng bawat x2 0, ang linyang y = b ay nag-intersect sa graph ng function na y= ax sa isang punto , ang abscissa kung saan ay x0 = logab x2
Slide 31
Ang pinakasimpleng exponential inequalities Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon
slide 32
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.1 Sagot: tumataas sa buong domain ng kahulugan, Solusyon:
Slide 33
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.2 Solusyon: Sagot: bumababa sa buong domain ng kahulugan,
slide 34
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.3 Solusyon: Sagot: tumataas sa buong domain ng kahulugan,
Slide 35
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito
slide 36
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.4 Solusyon: tumataas sa buong domain ng kahulugan, Sagot:
Slide 37
Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon
Slide 38
Exponential inequalities, kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 2) Exponential inequalities na bumababa sa quadratic inequalities
Slide 39
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 3) Homogeneous exponential inequalities ng una at pangalawang degree. Ang mga homogenous exponential inequalities ng unang degree Halimbawa No. 1 ay tumataas sa buong domain ng kahulugan Sagot: Solusyon:
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 4) Exponential inequalities na nagiging rational inequalities
slide 43
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 5) Exponential non-standard inequalities Halimbawa Solusyon: Ating lutasin ang bawat pahayag ng set nang hiwalay. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng pinagsama-samang
Slide 44
Ang mga exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay hindi solusyon sa equation. Kaya,
Slide 45
Pagsasama-sama ng kaalaman
Anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na exponential? Kailan ang isang exponential inequality ay may solusyon para sa anumang mga halaga ng x? Kailan walang solusyon ang exponential inequality? Anong mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ang natutunan mo sa araling ito? Paano nalulutas ang mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay? Paano nalutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga parisukat? Paano nalulutas ang homogenous inequalities? Paano nalutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga makatwiran?
Slide 46
Buod ng aralin
Alamin kung ano ang natutunan ng mga mag-aaral sa araling ito Magtalaga ng mga marka sa mga mag-aaral para sa gawain sa aralin na may detalyadong komentaryo
Slide 47
Takdang aralin
Textbook para sa grade 10 "Algebra at ang simula ng pagsusuri" may-akda S.M. Nikolsky Upang pag-aralan ang mga talata 6.4 at 6.6, No. 6.31-6.35 at No. 6.45-6.50 na malutas
Slide 48
Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon
Lugar ng trabaho, posisyon: — MOU-SOSH r.p. Pushkino, guro
Rehiyon: — Rehiyon ng Saratov
Mga katangian ng aralin (klase) Antas ng edukasyon: - pangalawang (kumpleto) pangkalahatang edukasyon
Target na madla: – Mag-aaral (mag-aaral)
Target na madla: – Guro (guro)
(mga) Klase: – Baitang 10
(Mga) Paksa: – Algebra
Ang layunin ng aralin: - didactic: upang mapabuti ang mga pangunahing pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng logarithmic at exponential inequalities at upang matiyak na ang lahat ng mga mag-aaral ay makabisado ang mga pangunahing algorithmic na pamamaraan para sa paglutas ng exponential at logarithmic inequalities; pagbuo: bumuo ng lohikal na pag-iisip, memorya, nagbibigay-malay na interes, ipagpatuloy ang pagbuo ng pagsasalita sa matematika, bumuo ng kakayahang pag-aralan at ihambing; pang-edukasyon: upang masanay sa aesthetic na disenyo ng mga tala sa isang kuwaderno, ang kakayahang makinig sa iba at ang kakayahang makipag-usap, magtanim ng katumpakan at kasipagan.
Uri ng aralin: - Aralin ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman
Mga mag-aaral sa klase (audience): - 25
Maikling paglalarawan: - Ang solusyon ng exponential at logarithmic inequalities ay itinuturing na isa sa pinakamahirap na paksa sa matematika at nangangailangan ng mga mag-aaral na magkaroon ng mahusay na teoretikal na kaalaman, ang kakayahang ilapat ang mga ito sa pagsasanay, nangangailangan ng pansin, sipag at mabilis na pagpapatawa. Ang paksang tinalakay sa aralin ay isinumite din para sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad at panghuling pagsusulit. Ang ganitong uri ng aralin ay bubuo ng lohikal na pag-iisip, memorya, nagbibigay-malay na interes, nag-aambag sa pag-unlad ng kakayahang pag-aralan, ihambing at makinig sa iba.
Mga yugto ng aralin at ang nilalaman nito
Oras
(min)
aktibidad
mga guro
mag-aaral
1. Yugto ng organisasyon
pang-organisasyon
Iulat ang mga lumiban.
2. Pagtatakda ng layunin
Ngayon sa aralin ay patuloy nating bubuuin ang pinag-aralan na mga pangunahing pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng exponential at logarithmic inequalities, at isaalang-alang din ang iba pang mga paraan upang malutas ang logarithmic at exponential inequalities: ito ang paglipat sa rational inequalities sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam at isa ring paraan. ng paghahati sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero.
Ipinapaalam ang paksa ng aralin, ang petsa ng aralin, ang layunin ng aralin
Isulat sa isang kuwaderno
3. Pagsusuri ng takdang-aralin
Sa kahilingan ng mga mag-aaral, tumawag ng 3 tao sa board, magkatulad na nagsasagawa ng isang harapang pag-uusap sa mga teoretikal na isyu
Apat na tao ang nagtatrabaho sa pisara, ang iba ay nakikibahagi sa isang teoretikal na survey
Sa bahay, hiniling sa iyo na lutasin ang logarithmic at exponential inequalities sa dalawang antas ng pagiging kumplikado. Tingnan natin ang solusyon ng ilan sa kanila
6.49(a); 6.52(d) 6.56(b), 6.54(b).
4.Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral
Tandaan natin kung anong mga pamamaraan ang tinalakay natin sa nakaraang aralin.
Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na, pagkatapos ng pagpapakilala ng isang bagong hindi alam, ay nagiging mga makatuwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Upang gawin ito, tandaan kung ano ang solusyon ng isang rational inequality ng form A(x) / B(x)>0? Anong paraan ang ginagamit upang malutas ang mga rational inequalities?
5. Pagpapabuti ng kaalaman at kakayahan ng mga mag-aaral
xx
Halimbawa1)2 - 9 / (2 -1)0
3 min
x +0.5xx +0.5
3). 25- 710+4>0
3 min
5). Pag-aayos ng bago.
Paggawa ng mga pagsasanay sa pisara
6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -sa board 6.62(c)
Nagdidirekta sa pagpili ng isang makatwirang paraan ng solusyon. sinusubaybayan ang literacy ng pangangatwiran at ang tamang pagtatala ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay. Nagbibigay ng pagtatantya para sa trabaho
Isang estudyante ang nagpasya sa pisara. Ang iba ay isulat ang solusyon sa isang kuwaderno.
6) Iba't ibang independiyenteng gawain (Gawain sa screen)
1st level:
1 opsyon 2 opsyon
6.48(b) No. 6.48(e);
6.58 (a), No. 6.58 (c)
ika-2 antas:
1 opsyon 2 opsyon
6.61(b);No.6.61(d);
6.62 (c) No. 6.62 (d).
5 minuto
2 tao ang nagtatrabaho nang paisa-isa sa side board. Ang natitira ay nagsasagawa ng multi-level na independiyenteng gawain sa larangan.
7) Pagsusuri sa sariling gawain
3 min
8) Takdang-Aralin (sa screen)
Antas 1 p.6.6; Blg. 6.48 (a.); Blg. 6.57 (1 artikulo); Blg. 6.50 (a).
Level 2: p.6.6;No.6.59(c); 6.62 (a); No. 158 (p. 382); No. 168 (a, b) (p. 383)
2 minuto
Nagpapaliwanag ng takdang-aralin, na nakakaakit ng atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanan na ang mga katulad na takdang-aralin ay inayos sa klase.
Ang huling dalawang takdang-aralin ay inalok sa pagpasok sa Moscow State University at MTITF.
Pagkatapos makinig ng mabuti sa guro, isulat ang takdang-aralin. Ang antas ng kahirapan ay pinili ng iyong sarili.
8) Pagbubuod ng aralin: Ang paglutas ng mga exponential at logarithmic na hindi pagkakapantay-pantay ay itinuturing na isa sa mga mahihirap na paksa ng kurso sa matematika ng paaralan at nangangailangan ng mga mag-aaral na magkaroon ng mahusay na teoretikal na kaalaman, ang kakayahang ilapat ang mga ito sa pagsasanay, nangangailangan ng pansin, kasipagan, mabilis na pagpapatawa, ito ay para sa kadahilanang ito na ang mga hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang sa aralin ay isinumite sa mga panimulang pagsusulit para sa mga unibersidad at panghuling pagsusulit. Ngayon sa aralin ang lahat ay nagtrabaho nang mahusay at nakatanggap ng mga sumusunod na marka
Salamat sa lahat.
2 minuto
Mga file:
Laki ng file: 6789120 byte.
