Lutasin ang fractional. Ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor

Ang numerator, at ang kung saan ito nahahati ay ang denominator.

Upang magsulat ng isang fraction, isulat muna ang numerator nito, pagkatapos ay gumuhit ng pahalang na linya sa ilalim ng numerong ito, at isulat ang denominator sa ilalim ng linya. Ang pahalang na linya na naghihiwalay sa numerator at denominator ay tinatawag na fractional bar. Minsan ito ay inilalarawan bilang isang pahilig na "/" o "∕". Sa kasong ito, ang numerator ay nakasulat sa kaliwa ng linya, at ang denominator sa kanan. Kaya, halimbawa, ang fraction na "two-thirds" ay isusulat bilang 2/3. Para sa kalinawan, ang numerator ay karaniwang nakasulat sa tuktok ng linya, at ang denominator sa ibaba, iyon ay, sa halip na 2/3, maaari mong mahanap ang: ⅔.

Upang kalkulahin ang produkto ng mga fraction, i-multiply muna ang numerator ng isa mga fraction sa ibang numerator. Isulat ang resulta sa numerator ng bago mga fraction. Pagkatapos ay i-multiply din ang mga denominator. Tukuyin ang huling halaga sa bago mga fraction. Halimbawa, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply muna ang numerator ng una sa denominator ng pangalawa. Gawin din ang pangalawang bahagi (divisor). O, bago isagawa ang lahat ng mga hakbang, "i-flip" muna ang divisor, kung ito ay mas maginhawa para sa iyo: ang denominator ay dapat na kapalit ng numerator. Pagkatapos ay i-multiply ang denominator ng dibidendo sa bagong denominator ng divisor at i-multiply ang mga numerator. Halimbawa, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Mga Pinagmulan:

Mga pangunahing gawain para sa mga fraction

Binibigyang-daan ka ng mga fractional na numero na ipahayag ang eksaktong halaga ng isang dami sa iba't ibang paraan. Gamit ang mga fraction, maaari kang magsagawa ng parehong mga operasyong matematika gaya ng sa mga integer: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami, at paghahati. Upang matutunan kung paano magdesisyon mga fraction, kinakailangang tandaan ang ilan sa kanilang mga tampok. Depende sila sa uri mga fraction, ang pagkakaroon ng isang integer na bahagi, isang karaniwang denominator. Ang ilang mga operasyon sa aritmetika pagkatapos ng pagpapatupad ay nangangailangan ng pagbawas ng fractional na bahagi ng resulta.

Kakailanganin mong

- calculator

Pagtuturo

Tingnang mabuti ang mga numero. Kung may mga decimal at iregular sa mga fraction, minsan ay mas maginhawang magsagawa muna ng mga aksyon na may mga decimal, at pagkatapos ay i-convert ang mga ito sa maling anyo. Maaari mong isalin ang mga fraction sa form na ito sa simula, isulat ang halaga pagkatapos ng decimal point sa numerator at paglalagay ng 10 sa denominator. Kung kinakailangan, bawasan ang fraction sa pamamagitan ng paghahati ng mga numero sa itaas at ibaba ng isang divisor. Ang mga praksiyon kung saan ang buong bahagi ay namumukod-tangi, humahantong sa maling anyo sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa denominator at pagdaragdag ng numerator sa resulta. Ang halagang ito ay magiging bagong numerator mga fraction. Upang kunin ang buong bahagi mula sa una ay hindi tama mga fraction, hatiin ang numerator sa denominator. Isulat ang buong resulta mula sa mga fraction. At ang natitirang bahagi ng dibisyon ay nagiging bagong numerator, ang denominator mga fraction habang hindi nagbabago. Para sa mga fraction na may bahaging integer, posibleng magsagawa ng mga aksyon nang hiwalay, una para sa integer at pagkatapos ay para sa mga fractional na bahagi. Halimbawa, ang kabuuan ng 1 2/3 at 2 ¾ ay maaaring kalkulahin:
- Pag-convert ng mga fraction sa maling anyo:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Hiwalay na pagbubuo ng integer at fractional na bahagi ng mga termino:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Isulat muli ang mga ito sa pamamagitan ng separator ":" at ipagpatuloy ang karaniwang dibisyon.

Upang makuha ang pangwakas na resulta, bawasan ang resultang fraction sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator sa isang buong numero, ang pinakamalaking posible sa kasong ito. Sa kasong ito, dapat mayroong mga integer na numero sa itaas at ibaba ng linya.

tala

Huwag gumawa ng aritmetika sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Pumili ng isang numero na kapag ang numerator at denominator ng bawat fraction ay pinarami nito, bilang isang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay pantay.

Kapaki-pakinabang na payo

Kapag nagsusulat ng mga fractional na numero, ang dibidendo ay nakasulat sa itaas ng linya. Ang dami na ito ay tinutukoy bilang numerator ng isang fraction. Sa ilalim ng linya, nakasulat ang divisor, o denominator, ng fraction. Halimbawa, isa at kalahating kilo ng bigas sa anyo ng isang fraction ay isusulat ng mga sumusunod: 1 ½ kg ng bigas. Kung ang denominator ng isang fraction ay 10, ito ay tinatawag na decimal fraction. Sa kasong ito, ang numerator (dividend) ay nakasulat sa kanan ng buong bahagi na pinaghihiwalay ng kuwit: 1.5 kg ng bigas. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang gayong bahagi ay maaaring palaging isulat sa maling anyo: 1 2/10 kg ng patatas. Upang gawing simple, maaari mong bawasan ang mga halaga ng numerator at denominator sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa isang solong buong numero. Sa halimbawang ito, posible ang paghahati sa 2. Ang resulta ay 1 1/5 kg ng patatas. Siguraduhin na ang mga numerong gagawin mo sa aritmetika ay nasa parehong anyo.

Mga aksyon na may mga fraction. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga halimbawa, ang lahat ay detalyado sa mga paliwanag. Isasaalang-alang namin ang mga ordinaryong fraction. Sa hinaharap, susuriin namin ang mga decimal. Inirerekomenda kong panoorin ang kabuuan at pag-aralan nang sunud-sunod.

1. Kabuuan ng mga praksiyon, pagkakaiba ng mga praksiyon.

Panuntunan: kapag nagdaragdag ng mga fraction na may pantay na denominador, ang resulta ay isang fraction - ang denominator nito ay nananatiling pareho, at ang numerator nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga numerator ng mga fraction.
Panuntunan: kapag kinakalkula ang pagkakaiba ng mga fraction na may parehong denominator, nakakakuha tayo ng isang fraction - ang denominator ay nananatiling pareho, at ang numerator ng pangalawa ay ibawas mula sa numerator ng unang fraction.

Pormal na notasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga fraction na may pantay na denominator:

Mga halimbawa (1):

Ito ay malinaw na kapag ang mga ordinaryong fraction ay ibinigay, kung gayon ang lahat ay simple, ngunit kung sila ay halo-halong? Walang kumplikado...

Pagpipilian 1- maaari mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong at pagkatapos ay kalkulahin ang mga ito.

Opsyon 2- maaari mong hiwalay na "gumana" sa integer at fractional na mga bahagi.

Mga Halimbawa (2):

Pa:

At kung ang pagkakaiba ng dalawang pinaghalong fraction ay ibinigay at ang numerator ng unang fraction ay mas mababa kaysa sa numerator ng pangalawa? Maaari rin itong gawin sa dalawang paraan.

Mga Halimbawa (3):

* Na-convert sa mga ordinaryong fraction, kinakalkula ang pagkakaiba, na-convert ang nagresultang hindi tamang fraction sa isang halo-halong isa.

* Hinati sa integer at fractional na mga bahagi, nakakuha ng tatlo, pagkatapos ay ipinakita ang 3 bilang kabuuan ng 2 at 1, kasama ang unit na ipinakita bilang 11/11, pagkatapos ay natagpuan ang pagkakaiba sa pagitan ng 11/11 at 7/11 at kinakalkula ang resulta. Ang kahulugan ng mga pagbabagong-anyo sa itaas ay kunin (piliin) ang yunit at ipakita ito bilang isang fraction na may denominator na kailangan natin, pagkatapos mula sa fraction na ito ay maaari na nating ibawas ang isa pa.

Isa pang halimbawa:

Konklusyon: mayroong isang unibersal na diskarte - upang makalkula ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga halo-halong fraction na may pantay na denominador, maaari silang palaging ma-convert sa hindi wasto, pagkatapos ay isagawa ang kinakailangang aksyon. Pagkatapos nito, kung bilang isang resulta ay nakakuha tayo ng hindi wastong bahagi, isinasalin natin ito sa isang halo-halong bahagi.

Sa itaas, tiningnan namin ang mga halimbawa na may mga fraction na may pantay na denominator. Paano kung magkaiba ang mga denominador? Sa kasong ito, ang mga fraction ay binabawasan sa parehong denominator at ang tinukoy na aksyon ay ginanap. Upang baguhin (ibahin ang anyo) ng isang fraction, ang pangunahing katangian ng fraction ay ginagamit.

Isaalang-alang ang mga simpleng halimbawa:

Sa mga halimbawang ito, makikita natin kaagad kung paano mako-convert ang isa sa mga fraction upang makakuha ng pantay na denominator.

Kung magtatalaga tayo ng mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang denominator, kung gayon ito ang tatawagin UNANG PARAAN.

Iyon ay, kaagad kapag "pagsusuri" ng bahagi, kailangan mong malaman kung gagana ang gayong diskarte - sinusuri namin kung ang mas malaking denominator ay nahahati sa mas maliit. At kung ito ay nahahati, pagkatapos ay ginagawa namin ang pagbabagong-anyo - pinarami namin ang numerator at denominator upang ang mga denominador ng parehong mga fraction ay maging pantay.

Ngayon tingnan ang mga halimbawang ito:

Ang pamamaraang ito ay hindi naaangkop sa kanila. Mayroong iba pang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, isaalang-alang ang mga ito.

Pamamaraan PANGALAWA.

I-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa denominator ng una:

*Sa katunayan, nagdadala tayo ng mga fraction sa anyo kapag naging pantay ang mga denominador. Susunod, ginagamit namin ang panuntunan ng pagdaragdag ng mahiyain na may pantay na denominator.

Halimbawa:

*Maaaring tawaging unibersal ang paraang ito, at palagi itong gumagana. Ang negatibo lang ay pagkatapos ng mga kalkulasyon, maaaring lumabas ang isang fraction na kailangan pang bawasan.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Makikita na ang numerator at denominator ay nahahati sa 5:

Pamamaraan PANGATLO.

Hanapin ang least common multiple (LCM) ng mga denominator. Ito ang magiging common denominator. Ano ang numerong ito? Ito ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero.

Tingnan, narito ang dalawang numero: 3 at 4, maraming mga numero na nahahati sa kanila - ito ay 12, 24, 36, ... Ang pinakamaliit sa kanila ay 12. O 6 at 15, 30, 60, 90 ay mahahati sa kanila.... Hindi bababa sa 30. Tanong - paano matukoy ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ito?

Mayroong isang malinaw na algorithm, ngunit kadalasan ito ay maaaring gawin kaagad nang walang mga kalkulasyon. Halimbawa, ayon sa mga halimbawa sa itaas (3 at 4, 6 at 15), walang algorithm na kailangan, kumuha kami ng malalaking numero (4 at 15), dinoble ang mga ito at nakita na sila ay nahahati sa pangalawang numero, ngunit mga pares ng mga numero. maaaring iba, gaya ng 51 at 119.

Algorithm. Upang matukoy ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero, kailangan mong:

- I-decompose ang bawat isa sa mga numero sa SIMPLE na mga kadahilanan

- isulat ang pagkabulok ng MAS MALAKI sa kanila

- i-multiply ito sa MISSING factor ng iba pang numero

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

50 at 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, nawawala ang isa lima

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 at 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, dalawa at tatlo ang nawawala

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang prime number ay katumbas ng kanilang produkto

Tanong! At bakit kapaki-pakinabang upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, dahil maaari mong gamitin ang pangalawang paraan at bawasan lamang ang resultang fraction? Oo, maaari mo, ngunit hindi ito palaging maginhawa. Tingnan ang denominator para sa mga numerong 48 at 72, kung i-multiply mo lang ang mga ito 48∙72 = 3456. Sumang-ayon na mas kaaya-aya na magtrabaho sa mas maliliit na numero.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

sa pagpapalawak ng isang mas malaking bilang, isang triple ang nawawala

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

At ngayon inilalapat namin ang unang paraan:

* Tingnan ang pagkakaiba sa mga kalkulasyon, sa unang kaso mayroong isang minimum ng mga ito, at sa pangalawa kailangan mong magtrabaho nang hiwalay sa isang piraso ng papel, at kahit na ang bahagi na nakuha mo ay kailangang bawasan. Ang paghahanap ng LCM ay lubos na nagpapasimple sa gawain.

Higit pang mga halimbawa:

* Sa pangalawang halimbawa, malinaw na ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 40 at 60 ay 120.

KABUUAN! PANGKALAHATANG PAGKUKULANG ALGORITHM!
- nagdadala kami ng mga fraction sa mga ordinaryong, kung mayroong isang integer na bahagi.
- dinadala natin ang mga fraction sa isang common denominator (tinitingnan muna natin kung ang isang denominator ay nahahati sa isa pa, kung ito ay nahahati, pagkatapos ay i-multiply natin ang numerator at denominator ng ibang fraction na ito; kung ito ay hindi mahahati, kumikilos tayo gamit ang iba pang mga pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas).
- pagkakaroon ng natanggap na mga fraction na may pantay na denominador, nagsasagawa kami ng mga aksyon (pagdaragdag, pagbabawas).
- kung kinakailangan, binabawasan namin ang resulta.
- kung kinakailangan, piliin ang buong bahagi.

2. Produkto ng mga fraction.

Simple lang ang panuntunan. Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang kanilang mga numerator at denominator ay pinaparami:

Mga halimbawa:

Isang gawain. 13 toneladang gulay ang dinala sa base. Ang patatas ay bumubuo ng ¾ ng lahat ng imported na gulay. Ilang kilo ng patatas ang dinala sa base?

Tapusin na natin ang gawain.

*Kanina, nangako ako sa iyo na magbigay ng pormal na paliwanag sa pangunahing katangian ng fraction sa pamamagitan ng produkto, mangyaring:

3. Dibisyon ng mga fraction.

Ang paghahati ng mga fraction ay nabawasan sa kanilang pagpaparami. Mahalagang tandaan dito na ang fraction na isang divisor (ang nahahati sa) ay binaligtad at ang aksyon ay nagbabago sa multiplikasyon:

Ang aksyon na ito ay maaaring isulat bilang isang tinatawag na apat na palapag na fraction, dahil ang dibisyon mismo na ":" ay maaari ding isulat bilang isang fraction:

Mga halimbawa:

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

Ang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang titik na ang halaga ay makikita.

Sa mga equation, ang hindi alam ay karaniwang tinutukoy ng isang maliit na titik na Latin. Ang pinakakaraniwang ginagamit na mga titik ay "x" [x] at "y" [y].

Root ng equation- ito ang halaga ng titik, kung saan nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero mula sa equation.

lutasin ang equation- nangangahulugang hanapin ang lahat ng ugat nito o tiyaking walang ugat.

Nang malutas ang equation, palagi naming isusulat ang tseke pagkatapos ng sagot.

Impormasyon para sa mga magulang

Minamahal naming mga magulang, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na sa elementarya at sa grade 5, HINDI alam ng mga bata ang paksang "Mga negatibong numero".

Samakatuwid, dapat nilang lutasin ang mga equation gamit lamang ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation para sa grade 5 ay ibinigay sa ibaba.

Huwag subukang ipaliwanag ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paglilipat ng mga numero at titik mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may pagbabago ng tanda.

Maaari mong i-refresh ang iyong kaalaman sa mga konsepto na may kaugnayan sa karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati sa aralin na "Mga Batas ng arithmetic".

Paglutas ng mga equation para sa pagdaragdag at pagbabawas

Paano mahahanap ang hindi alam
termino

Paano mahahanap ang hindi alam
minuend

Paano mahahanap ang hindi alam
subtrahend

Upang mahanap ang hindi kilalang termino, ibawas ang kilalang termino mula sa kabuuan.

Upang mahanap ang hindi kilalang minuend, kailangan mong idagdag ang subtrahend sa pagkakaiba.

Upang mahanap ang hindi kilalang subtrahend, kailangang ibawas ang pagkakaiba sa minuend.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Pagsusulit

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Pagsusulit

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Pagsusulit

Paglutas ng mga equation para sa multiplikasyon at paghahati

Paano mahahanap ang hindi alam
salik

Paano mahahanap ang hindi alam
dibidendo

Paano mahahanap ang hindi alam
divider

Upang mahanap ang hindi kilalang kadahilanan, ang produkto ay dapat na hatiin sa kilalang kadahilanan.

Upang mahanap ang hindi kilalang dibidendo, kailangan mong i-multiply ang quotient sa divisor.

Upang mahanap ang hindi kilalang divisor, hatiin ang dibidendo sa quotient.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Pagsusulit

y:7=2
y = 2 7
y=14
Pagsusulit

8:y=4
y=8:4
y=2
Pagsusulit

Ang equation ay isang equation na naglalaman ng letra na ang tanda ay makikita. Ang solusyon sa isang equation ay ang hanay ng mga halaga ng titik na nagpapalit ng equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay:

Tandaan na upang malutas equation kinakailangang ilipat ang mga terminong may hindi alam sa isang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang mga numerical na termino sa isa pa, magdala ng mga katulad at makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Mula sa huling pagkakapantay-pantay, tinutukoy namin ang hindi alam sa pamamagitan ng panuntunan: "isa sa mga salik ay katumbas ng quotient na hinati sa pangalawang salik."

Dahil ang mga rational na numero a at b ay maaaring magkaroon ng pareho at magkaibang mga palatandaan, ang tanda ng hindi alam ay tinutukoy ng mga patakaran para sa paghahati ng mga rational na numero.

Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na equation

Ang linear equation ay dapat gawing simple sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket at pagsasagawa ng mga aksyon ng ikalawang yugto (multiplikasyon at paghahati).

Ilipat ang mga hindi alam sa isang gilid ng equals sign, at ang mga numero sa kabilang panig ng equals sign, nagiging magkapareho sa ibinigay na pagkakapantay-pantay,

Dalhin ang like sa kaliwa at sa kanan ng pantay na tanda, pagkuha ng pagkakapantay-pantay ng form palakol = b.

Kalkulahin ang ugat ng equation (hanapin ang hindi alam X mula sa pagkakapantay-pantay x = b : a),

Subukan sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam sa ibinigay na equation.

Kung makakakuha tayo ng pagkakakilanlan sa pagkakapantay-pantay ng numero, ang equation ay malulutas nang tama.

Mga espesyal na kaso ng paglutas ng mga equation

Kung ang ang equation ay ibinibigay ng isang produkto na katumbas ng 0, pagkatapos ay upang malutas ito ginagamit namin ang pag-aari ng multiplikasyon: "ang produkto ay katumbas ng zero kung ang isa sa mga kadahilanan o parehong mga kadahilanan ay katumbas ng zero."

27 (x - 3) = 0
Ang 27 ay hindi katumbas ng 0, kaya x - 3 = 0

Ang pangalawang halimbawa ay may dalawang solusyon sa equation, dahil
Ito ay isang equation ng pangalawang antas:

Kung ang mga coefficient ng equation ay mga ordinaryong fraction, pagkatapos ay una sa lahat kailangan mong mapupuksa ang mga denominator. Para dito:

Maghanap ng isang karaniwang denominator;

Tukuyin ang mga karagdagang salik para sa bawat termino ng equation;

I-multiply ang mga numerator ng mga fraction at integer sa pamamagitan ng karagdagang mga salik at isulat ang lahat ng mga termino ng equation na walang denominator (maaaring itapon ang karaniwang denominator);

Ilipat ang mga terminong may hindi alam sa isang bahagi ng equation, at ang mga numerical na termino sa isa pa mula sa equal sign, na nakakakuha ng katumbas na pagkakapantay-pantay;

Magdala tulad ng mga miyembro;

Mga pangunahing katangian ng mga equation

Sa anumang bahagi ng equation, maaari kang magdala ng mga katulad na termino o buksan ang bracket.

Ang anumang termino ng equation ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagbabago ng sign nito sa kabaligtaran.

Ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply (hatiin) sa parehong numero maliban sa 0.

Sa halimbawa sa itaas, ang lahat ng mga katangian nito ay ginamit upang malutas ang equation.

Paano lutasin ang isang equation na may hindi alam sa isang fraction

Minsan ang mga linear equation ay nasa anyo kung kailan hindi kilala lumilitaw sa numerator ng isa o higit pang mga fraction. Tulad ng sa equation sa ibaba.

Sa ganitong mga kaso, ang mga naturang equation ay maaaring malutas sa dalawang paraan.

paraan ko ng solusyon
Pagbawas ng isang Equation sa isang Proporsyon

Kapag nilulutas ang mga equation gamit ang paraan ng proporsyon, dapat mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:

dalhin ang lahat ng fraction sa isang common denominator at idagdag ang mga ito bilang algebraic fraction (isang fraction lang ang dapat manatili sa kaliwa at kanang bahagi);

Lutasin ang resultang equation gamit ang rule of proportion.

Kaya, bumalik sa aming equation. Sa kaliwang bahagi, mayroon na tayong isang fraction, kaya walang mga pagbabagong kailangan dito.

Makikipagtulungan kami sa kanang bahagi ng equation. Pasimplehin ang kanang bahagi ng equation upang isang fraction na lang ang natitira. Upang gawin ito, alalahanin ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng isang numero na may algebraic fraction.

Ngayon ginagamit namin ang panuntunan ng proporsyon at lutasin ang equation hanggang sa wakas.

II paraan ng solusyon
Pagbawas sa isang linear equation na walang mga fraction

Isaalang-alang muli ang equation sa itaas at lutasin ito sa ibang paraan.

Nakita namin na mayroong dalawang fraction sa equation "

Paano lutasin ang mga equation na may mga fraction. Exponential solution ng mga equation na may mga fraction.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction tingnan natin ang mga halimbawa. Ang mga halimbawa ay simple at naglalarawan. Sa kanilang tulong, maaari mong maunawaan sa pinaka-naiintindihan na paraan,.
Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang simpleng equation x/b + c = d.

Ang isang equation ng ganitong uri ay tinatawag na linear, dahil ang denominator ay naglalaman lamang ng mga numero.

Ang solusyon ay ginagawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa b, pagkatapos ay ang equation ay kumukuha ng anyo na x = b*(d – c), i.e. ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ay nabawasan.

Halimbawa, kung paano lutasin ang isang fractional equation:
x/5+4=9
I-multiply namin ang parehong bahagi sa 5. Nakukuha namin ang:
x+20=45

Isa pang halimbawa kung saan ang hindi alam ay nasa denominator:

Ang mga equation ng ganitong uri ay tinatawag na fractional rational o simpleng fractional.

Lutasin natin ang isang fractional equation sa pamamagitan ng pag-alis ng mga fraction, kung saan ang equation na ito, kadalasan, ay nagiging linear o quadratic, na nalulutas sa karaniwang paraan. Dapat mo lamang isaalang-alang ang mga sumusunod na puntos:

ang halaga ng isang variable na nagpapalit ng denominator sa 0 ay hindi maaaring maging isang ugat;
hindi mo maaaring hatiin o i-multiply ang equation sa expression na =0.

Dito nagiging puwersa ang gayong konsepto bilang lugar ng mga pinahihintulutang halaga (ODZ) - ito ang mga halaga ng mga ugat ng equation kung saan may katuturan ang equation.

Kaya, ang paglutas ng equation, kinakailangan upang mahanap ang mga ugat, at pagkatapos ay suriin ang mga ito para sa pagsunod sa ODZ. Ang mga ugat na iyon na hindi tumutugma sa aming DHS ay hindi kasama sa sagot.

Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang fractional equation:

Batay sa tuntunin sa itaas, ang x ay hindi maaaring = 0, i.e. ODZ sa kasong ito: x - anumang halaga maliban sa zero.

Inaalis namin ang denominator sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga termino ng equation sa x

At lutasin ang karaniwang equation

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Lutasin natin ang equation na mas kumplikado:

Ang ODZ ay naroroon din dito: x -2.

Ang paglutas ng equation na ito, hindi namin ililipat ang lahat sa isang direksyon at magdadala ng mga fraction sa isang common denominator. Agad naming i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang expression na magbabawas sa lahat ng mga denominator nang sabay-sabay.

Upang bawasan ang mga denominator, kailangan mong i-multiply ang kaliwang bahagi ng x + 2, at ang kanang bahagi ng 2. Kaya, ang magkabilang panig ng equation ay dapat na i-multiply sa 2 (x + 2):

Ito ang pinakakaraniwang multiplikasyon ng mga fraction, na napag-usapan na natin sa itaas.

Isinulat namin ang parehong equation, ngunit sa isang bahagyang naiibang paraan.

Ang kaliwang bahagi ay binabawasan ng (x + 2), at ang kanang bahagi ng 2. Pagkatapos ng pagbawas, nakukuha natin ang karaniwang linear na equation:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, na tumutugma sa aming ODZ

Paglutas ng mga equation na may mga fraction hindi kasing hirap ng tila. Sa artikulong ito, ipinakita namin ito sa mga halimbawa. Kung nahihirapan ka sa kung paano lutasin ang mga equation na may mga fraction, pagkatapos ay mag-unsubscribe sa mga komento.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction Grade 5

Solusyon ng mga equation na may mga fraction. Paglutas ng mga problema sa mga fraction.

Tingnan ang nilalaman ng dokumento
"Paglutas ng mga Equation na may mga Fraction Grade 5"

- Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

- Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho.

Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend, at iwanan ang denominator na pareho.

Kapag nilulutas ang mga equation, kinakailangang gamitin ang mga patakaran para sa paglutas ng mga equation, ang mga katangian ng karagdagan at pagbabawas.

Paglutas ng mga equation gamit ang mga katangian.

Paglutas ng mga equation gamit ang mga panuntunan.

Ang expression sa kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuan.

termino + termino = kabuuan.

Upang mahanap ang hindi kilalang termino, ibawas ang kilalang termino mula sa kabuuan.

minuend – subtrahend = pagkakaiba

Upang mahanap ang hindi kilalang subtrahend, ibawas ang pagkakaiba sa minuend.

Ang expression sa kaliwang bahagi ng equation ay ang pagkakaiba.

Upang mahanap ang hindi kilalang minuend, kailangan mong idagdag ang subtrahend sa pagkakaiba.

PAGGAMIT NG MGA PANUNTUNAN PARA SA PAGSOLBA NG MGA EQUATION.

Sa kaliwang bahagi ng equation, ang expression ay ang kabuuan.

Ang mga equation na naglalaman ng variable sa denominator ay maaaring malutas sa dalawang paraan:

Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon

Anuman ang napiling pamamaraan, kinakailangan, pagkatapos mahanap ang mga ugat ng equation, upang piliin mula sa mga nahanap na halaga ang mga katanggap-tanggap na halaga, ibig sabihin, ang mga hindi nagiging denominator sa $0$.

1 paraan. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.

Halimbawa 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Solusyon:

1. Ilipat ang fraction mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwa

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Upang magawa ito nang tama, naaalala namin na kapag inililipat ang mga elemento sa ibang bahagi ng equation, ang tanda sa harap ng mga expression ay nagbabago sa kabaligtaran. Kaya, kung sa kanang bahagi ay may "+" na palatandaan bago ang fraction, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ay mayroong "-" na palatandaan sa harap nito. Pagkatapos sa kaliwang bahagi ay nakuha natin ang pagkakaiba ng mga fraction.

2. Ngayon ay napapansin natin na ang mga praksiyon ay may iba't ibang denominador, na nangangahulugan na upang mabuo ang pagkakaiba, kinakailangan na dalhin ang mga praksiyon sa isang karaniwang denominador. Ang karaniwang denominator ay magiging produkto ng mga polynomial sa mga denominador ng orihinal na mga fraction: $(2x-1)(x+3)$

Upang makakuha ng magkaparehong expression, ang numerator at denominator ng unang fraction ay dapat na i-multiply sa polynomial na $(x+3)$, at ang pangalawa sa polynomial na $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Gawin natin ang pagbabago sa numerator ng unang bahagi - pararamihin natin ang mga polynomial. Alalahanin na para dito kinakailangan na i-multiply ang unang termino ng unang polynomial, i-multiply sa bawat termino ng pangalawang polynomial, pagkatapos ay i-multiply ang pangalawang termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idagdag ang mga resulta

\[\kaliwa(2x+3\kanan)\kaliwa(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa nagresultang expression

\[\kaliwa(2x+3\kanan)\kaliwa(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Magsagawa ng katulad na pagbabago sa numerator ng pangalawang bahagi - pararamihin natin ang mga polynomial

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Ngayon ay mga fraction na may parehong denominator, kaya maaari mong ibawas. Alalahanin na kapag binabawasan ang mga fraction na may parehong denominator mula sa numerator ng unang fraction, kinakailangang ibawas ang numerator ng pangalawang fraction, na iniiwan ang denominator na pareho.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Ibahin natin ang expression sa numerator. Upang mabuksan ang mga bracket na sinusundan ng "-" sign, ang lahat ng mga palatandaan sa harap ng mga termino sa mga bracket ay dapat na baligtarin

\[(2x)^2+9x+9-\kaliwa((2x)^2-11x+5\kanan)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino

$(2x)^2+9x+9-\kaliwa((2x)^2-11x+5\kanan)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Pagkatapos ang fraction ay kukuha ng anyo

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Ang isang fraction ay katumbas ng $0$ kung ang numerator nito ay 0. Samakatuwid, itinutumbas natin ang numerator ng fraction sa $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Lutasin natin ang linear equation:

4. Sampolan natin ang mga ugat. Nangangahulugan ito na kinakailangang suriin kung ang mga denominator ng orihinal na mga fraction ay nagiging $0$ kapag natagpuan ang mga ugat.

Itinakda namin ang kundisyon na ang mga denominador ay hindi katumbas ng $0$

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga halaga ng mga variable ay pinapayagan, maliban sa $-3$ at $0.5$.

Ang ugat na nakita namin ay isang wastong halaga, kaya ligtas itong maituturing na ugat ng equation. Kung ang natagpuang ugat ay hindi isang wastong halaga, kung gayon ang gayong ugat ay magiging extraneous at, siyempre, ay hindi isasama sa sagot.

Sagot:$-0,2.$

Ngayon ay maaari na tayong sumulat ng isang algorithm para sa paglutas ng isang equation na naglalaman ng variable sa denominator

Isang algorithm para sa paglutas ng isang equation na naglalaman ng isang variable sa denominator

Ilipat ang lahat ng elemento mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi. Upang makakuha ng magkaparehong equation, kinakailangan na baguhin ang lahat ng mga palatandaan sa harap ng mga expression sa kanang bahagi sa kabaligtaran

Kung sa kaliwang bahagi ay nakakakuha tayo ng isang expression na may iba't ibang denominator, pagkatapos ay dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang gamit ang pangunahing katangian ng fraction. Magsagawa ng mga pagbabagong-anyo gamit ang magkatulad na mga pagbabagong-anyo at makuha ang huling bahagi na katumbas ng $0$.

I-equate ang numerator sa $0$ at hanapin ang mga ugat ng resultang equation.

Sample natin ang mga ugat, i.e. maghanap ng mga wastong variable value na hindi nagiging $0$ ang denominator.

2 paraan. Gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon

Ang pangunahing katangian ng isang proporsyon ay ang produkto ng mga matinding termino ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.

Halimbawa 2

Ginagamit namin ang property na ito para malutas ang gawaing ito

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Hanapin at itumbas natin ang produkto ng sukdulan at gitnang mga miyembro ng proporsyon.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Ang paglutas ng nagresultang equation, nakita natin ang mga ugat ng orihinal

2. Maghanap tayo ng mga tinatanggap na halaga ng isang variable.

Mula sa nakaraang solusyon (1st way) nalaman na namin na ang anumang halaga ay pinapayagan maliban sa $-3$ at $0.5$.

Pagkatapos, nang matukoy na ang natagpuang ugat ay isang wastong halaga, nalaman namin na $-0.2$ ang magiging ugat.

Sa artikulo, ipapakita namin paano lutasin ang mga fraction na may mga simpleng malinaw na halimbawa. Unawain natin kung ano ang isang fraction at isaalang-alang paglutas ng mga fraction!

konsepto mga fraction ay ipinakilala sa kurso ng matematika simula sa ika-6 na baitang ng sekondaryang paaralan.

Ang mga fraction ay ganito ang hitsura: ±X / Y, kung saan ang Y ang denominator, ito ay nagsasabi kung gaano karaming mga bahagi ang kabuuan ay hinati, at X ang numerator, ito ay nagsasabi kung gaano karaming mga bahagi ang kinuha. Para sa kalinawan, kumuha tayo ng isang halimbawa sa isang cake:

Sa unang kaso, ang cake ay pinutol nang pantay at isang kalahati ang kinuha, i.e. 1/2. Sa pangalawang kaso, ang cake ay pinutol sa 7 bahagi, kung saan kinuha ang 4 na bahagi, i.e. 4/7.

Kung ang bahagi ng paghahati ng isang numero sa isa pa ay hindi isang buong numero, ito ay nakasulat bilang isang fraction.

Halimbawa, ang expression na 4:2 \u003d 2 ay nagbibigay ng isang integer, ngunit ang 4:7 ay hindi ganap na mahahati, kaya ang expression na ito ay nakasulat bilang isang fraction 4/7.

Sa ibang salita maliit na bahagi ay isang expression na nagsasaad ng dibisyon ng dalawang numero o expression, at kung saan ay nakasulat sa isang slash.

Kung ang numerator ay mas mababa sa denominator, ang fraction ay tama, kung vice versa, ito ay mali. Ang isang fraction ay maaaring maglaman ng isang integer.

Halimbawa, 5 buong 3/4.

Ang entry na ito ay nangangahulugan na upang makuha ang buong 6, isang bahagi ng apat ay hindi sapat.

Kung gusto mong maalala kung paano lutasin ang mga fraction para sa ika-6 na baitang kailangan mong maunawaan iyon paglutas ng mga fraction karaniwang bumababa sa pag-unawa sa ilang simpleng bagay.

Ang isang fraction ay mahalagang isang expression para sa isang fraction. Iyon ay, isang numerical expression ng kung anong bahagi ang isang ibinigay na halaga mula sa isang kabuuan. Halimbawa, ang fraction na 3/5 ay nagpapahayag na kung hahatiin natin ang isang buo sa 5 bahagi at ang bilang ng mga bahagi o bahagi ng kabuuan na ito ay tatlo.
Ang isang fraction ay maaaring mas mababa sa 1, halimbawa 1/2 (o mahalagang kalahati), kung gayon ito ay tama. Kung ang fraction ay mas malaki kaysa sa 1, halimbawa 3/2 (tatlong kalahati o isa at kalahati), kung gayon ito ay hindi tama at upang pasimplehin ang solusyon, mas mahusay na piliin natin ang buong bahagi 3/2= 1 buong 1 /2.
Ang mga fraction ay kapareho ng mga numero sa 1, 3, 10, at kahit 100, ang mga numero lamang ay hindi buo, ngunit fractional. Sa kanila, maaari mong gawin ang lahat ng parehong mga operasyon tulad ng sa mga numero. Ang pagbibilang ng mga fraction ay hindi mas mahirap, at higit pa ay ipapakita namin ito sa mga partikular na halimbawa.

Paano lutasin ang mga fraction. Mga halimbawa.

Ang iba't ibang mga pagpapatakbo ng aritmetika ay naaangkop sa mga fraction.

Ang pagdadala ng fraction sa isang common denominator

Halimbawa, kailangan mong ihambing ang mga praksiyon na 3/4 at 4/5.

Upang malutas ang problema, una naming mahanap ang pinakamababang karaniwang denominator, i.e. ang pinakamaliit na bilang na nahahati nang walang natitira sa bawat isa sa mga denominador ng mga fraction

Least common denominator(4.5) = 20

Pagkatapos ang denominator ng parehong mga fraction ay nabawasan sa pinakamababang karaniwang denominator

Sagot: 15/20

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction

Kung kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuan ng dalawang fraction, ang mga ito ay unang dinadala sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay idinagdag ang mga numerator, habang ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago. Ang pagkakaiba ng mga fraction ay isinasaalang-alang sa isang katulad na paraan, ang pagkakaiba lamang ay ang mga numerator ay ibinabawas.

Halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga fraction na 1/2 at 1/3

Ngayon hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga praksyon 1/2 at 1/4

Pagpaparami at paghahati ng mga fraction

Narito ang solusyon ng mga fraction ay simple, ang lahat ay medyo simple dito:

Multiplikasyon - ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami sa kanilang mga sarili;
Dibisyon - una ay nakakakuha tayo ng isang fraction, ang kapalit ng pangalawang fraction, i.e. palitan ang numerator at denominator nito, pagkatapos nito ay pinarami natin ang mga resultang fraction.