Isaalang-alang natin ang tatlong sinag a, b, c, na nagmumula sa parehong punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang trihedral angle (abc) ay isang figure na binubuo ng "tatlong flat angle (ab), (bc) at (ac) (Fig. 2). Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga mukha ng trihedral angle, at ang kanilang mga gilid ay mga gilid, ang karaniwang vertex ng flat angles ay tinatawag na Ang dihedral angles na nabuo ng mga mukha ng isang trihedral angle ay tinatawag na dihedral angles ng isang trihedral angle.

Ang konsepto ng isang polyhedral angle ay tinukoy nang katulad (Larawan 3).

Polyhedron

Sa stereometry, ang mga figure sa kalawakan, na tinatawag na mga katawan, ay pinag-aaralan. Biswal, ang isang (geometric) na katawan ay dapat isipin bilang isang bahagi ng espasyo na inookupahan ng isang pisikal na katawan at nakatali ng isang ibabaw.

Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga flat polygons (Larawan 4). Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay nasa isang gilid ng eroplano ng bawat flat polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng convex polyhedron ay tinatawag na mukha. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertices ay tinatawag na mga vertices ng polyhedron.

Ipaliwanag natin kung ano ang sinabi sa halimbawa ng isang pamilyar na kubo (Larawan 5). Ang kubo ay isang convex polyhedron. Ang ibabaw nito ay binubuo ng anim na parisukat: ABCD, BEFC, .... Sila ang mga mukha nito. Ang mga gilid ng kubo ay ang mga gilid ng mga parisukat na ito: AB, BC, BE,.... Ang mga vertices ng cube ay ang vertices ng mga parisukat: A, B, C, D, E, .... Ang cube ay may anim na mukha, labindalawang gilid at walong vertices.

Ang pinakasimpleng polyhedra - prisms at pyramids, na magiging pangunahing bagay ng aming pag-aaral - magbibigay kami ng mga kahulugan na, sa esensya, ay hindi gumagamit ng konsepto ng isang katawan. Ang mga ito ay tutukuyin bilang mga geometric na figure na may indikasyon ng lahat ng mga punto ng espasyo na kabilang sa kanila. Ang konsepto ng isang geometric na katawan at ang ibabaw nito sa pangkalahatang kaso ay ibibigay sa ibang pagkakataon.

POLYHEDRAL ANGLES

Ang polyhedral angle ay ang spatial na analog ng isang polygon. Alalahanin na ang isang polygon sa isang eroplano ay isang pigura na nabuo sa pamamagitan ng isang simpleng saradong putol na linya at ang panloob na rehiyon na napapaligiran nito. Isasaalang-alang namin ang isang sinag sa espasyo bilang isang analog ng isang punto sa isang eroplano at isang patag na anggulo sa espasyo bilang isang analog ng isang segment sa isang eroplano. Pagkatapos ang analogue ng isang simpleng saradong putol na linya sa eroplano ay ang ibabaw na nabuo ng isang may hangganan na hanay ng mga anggulo ng eroplanoA 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, Isang n -1 SA n, A n SA 1 na may karaniwang tuktokS (Larawan 1), kung saan ang mga katabing sulok ay walang mga karaniwang punto, maliban sa mga punto ng isang karaniwang sinag, at ang mga hindi kalapit na sulok ay walang mga karaniwang punto, maliban sa isang karaniwang vertex. Ang pigura na nabuo sa pamamagitan ng tinukoy na ibabaw at isa sa dalawang bahagi ng espasyo na nakatali nito ay tinatawag polyhedral anggulo. karaniwang tuktokStinawag summit multifaceted anggulo. SinagSA 1 , …, SA ntinawag tadyang polyhedral angle, at ang mga flat angle mismoA 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, Isang n -1 SA n, A n SA 1 – mga mukha multifaceted anggulo. Ang polyhedral angle ay tinutukoy ng mga titikSA 1 … Isang n, na nagpapahiwatig ng vertex at mga punto sa mga gilid nito. Depende sa bilang ng mga mukha, ang mga anggulo ng polyhedral ay tinatawag na trihedral, tetrahedral, pentahedral (Larawan 2), atbp.

Ang polyhedral angle ay tinatawag matambok, kung ito ay isang convex figure, i.e. naglalaman, kasama ng alinman sa dalawa sa mga punto nito, ang pagkonekta segment ng linya. Sa Figure 2, ang trihedral at tetrahedral na mga anggulo ay matambok, ngunit ang pentahedral na anggulo ay hindi.
Isaalang-alang ang ilang mga katangian ng mga tatsulok at mga katulad na katangian ng mga anggulo ng trihedral.
Ari-arian 1(Hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok). Ang bawat panig ng isang tatsulok ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig.
Ang isang katulad na katangian para sa mga anggulo ng trihedral ay ang sumusunod na katangian.
Ari-arian 1". Ang bawat patag na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng dalawa pang flat na anggulo nito.
Patunay. Isaalang-alang ang isang trihedral na anggulo SABC . Hayaang ang pinakamalaki sa mga patag na anggulo nito ay ang anggulo ASC. Tapos yung inequalities

ASB ASC< ASC + BSC ;BSC ASC< ASC + ASB .

Kaya, nananatili itong patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay ASC< ASB+ BSC.
Ilagay natin sa gilid ASC sulok ASD, katumbas ng ASB , at punto B pumili kaya SB=SD(Larawan 3). Tapos triangles ASB at ASD ay pantay (sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila) at, samakatuwid, AB=AD. Gamitin natin ang triangle inequality AC< AB + BC . Pagbabawas sa magkabilang bahagi AD=AB, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay DC< BC. Sa mga tatsulok DSC at BSC isang panig na karaniwan SC), SD=SB at DC< BC. Sa kasong ito, ang isang mas malaking anggulo ay nasa tapat ng mas malaking bahagi at, samakatuwid, DSC< BSC . Pagdaragdag sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ng anggulo ASD , pantay ASB, nakukuha namin ang kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay ASC< ASB+ BSC.

Bunga 1.Ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang trihedral na anggulo ay mas mababa sa 360° .
Patunay. Hayaan SABC ay isang ibinigay na trihedral na anggulo. Isaalang-alang ang isang trihedral angle na may vertex A, nabuo ng mga mukha ABS, ACS at anggulo BAC. Sa bisa ng napatunayang ari-arian, mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay BAC< BAS+ CAS. Katulad nito, para sa mga anggulo ng trihedral na may mga vertices B at MULA SA may mga hindi pagkakapantay-pantay: ABS< ABS+ CBS, ACB< ACS+ BCS. Pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito at isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ABC katumbas ng 180° , nakakakuha tayo ng 180 ° < BAS+CAS+ ABS+CBS+BCS+ ACS= 180 ° - ASB+ 180°- BSC+180° - ASC. Dahil dito, ASB + BSC + ASC< 360 ° .
Bunga 2.Ang kabuuan ng mga anggulo ng plane ng isang convex polyhedral angle ay mas mababa sa 360.
Ang patunay ay katulad ng nauna.
Bunga 3.Ang kabuuan ng mga dihedral na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay higit sa 180° .
Patunay. Hayaan SABC- trihedral anggulo. Pumili tayo ng punto P sa loob nito at ihulog ang mga patayo mula dito PA 1 , PB 1 , PC 1 sa gilid (Larawan 4).

patag na sulok B 1 PC 1 , A 1 PC 1 , A 1 PB 1 umakma sa kaukulang mga anggulo ng dihedral na may mga tadyang SA, SB, SC hanggang 180° . Samakatuwid, ang kabuuan ng mga dihedral na anggulo na ito ay 540° - ( B 1 PC 1 +A 1 PC 1 + A 1 PB 1 ). Isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng isang trihedral na may isang vertex P anggulong mas mababa sa 360° , nakuha namin na ang kabuuan ng mga dihedral na anggulo ng orihinal na trihedral na anggulo ay higit sa 180° .
Ari-arian 2.Ang mga bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Ari-arian 2". Ang mga bisectoral na eroplano ng mga dihedral na anggulo ng isang trihedral na anggulo ay nagsalubong sa isang tuwid na linya.
Ang patunay ay katulad ng kaso ng eroplano. Ibig sabihin, hayaan SABC- trihedral anggulo. Bisectoral plane ng isang dihedral angle SA ay ang GMT ng anggulo na katumbas ng layo mula sa mga mukha nito ASC at ASB. Katulad nito, ang bisector plane ng dihedral angle SB ay ang GMT ng anggulo na katumbas ng layo mula sa mga mukha nito BSA at BSC . Ang linya ng intersection nila KAYA ay magiging katumbas ng layo mula sa lahat ng mga mukha ng trihedral na anggulo at, samakatuwid, ang bisectoral plane ng dihedral na anggulo ay dadaan dito SC .
Ari-arian 3.Ang mga perpendicular bisector ng mga gilid ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Ari-arian 3".Ang mga eroplanong dumadaan sa mga bisector ng mga mukha ng isang trihedral na anggulo at patayo sa mga mukha na ito ay bumalandra sa isang tuwid na linya.
Ang patunay ay katulad ng patunay ng dating ari-arian.
Ari-arian 4.Ang mga median ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Ari-arian 4".Ang mga eroplano na dumadaan sa mga gilid ng trihedral na anggulo at ang mga bisector ng magkasalungat na mukha ay nagsalubong sa isang tuwid na linya.
Patunay. Isaalang-alang ang isang trihedral na anggulo SABC, SA = SB = SC(Larawan 5). Tapos yung mga bisector SA 1 , SB 1 , SC 1 mga sulok BSC, ASC, ASB ay ang mga median ng kaukulang mga tatsulok. kaya lang AA 1 , BB 1 , CC 1 - tatsulok na median ABC. Hayaan O ang punto ng kanilang intersection. Diretso KAYA ay nakapaloob sa lahat ng tatlong itinuturing na eroplano at, samakatuwid, ay ang linya ng kanilang intersection.

Ari-arian 5.Ang mga altitude ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Ari-arian 5". Ang mga eroplanong dumadaan sa mga gilid ng trihedral na anggulo at patayo sa magkasalungat na mukha ay nagsalubong sa isang tuwid na linya.
Patunay. Isaalang-alang ang isang trihedral angle na may vertex S at tadyang a, b, c. Magpakilala a 1 , b 1 , c 1 – mga linya ng intersection ng mga mukha na may mga eroplano na dumadaan sa kaukulang mga gilid at patayo sa mga mukha na ito (Larawan 6). Ayusin ang isang punto C nasa gilid c at ihulog ang mga perpendicular mula dito CA 1 at CB 1 sa tuwid a 1 at b 1 . Magpakilala A at B mga interseksyon ng linya CA 1 at CB 1 na may tuwid a at b. Pagkatapos SA 1 ay isang projection AA 1 sa bingit BSC. kasi BC patayo SA 1 , pagkatapos ito ay patayo at AA 1 . Gayundin, AC patayo BB 1 . Sa ganitong paraan, AA 1 at BB 1 ay ang mga altitude ng tatsulok ABC. Hayaan O ang punto ng kanilang intersection. Mga eroplanong dumadaan sa mga tuwid na linya a at a 1 , b at b 1 patayo sa eroplano ABC at samakatuwid ay ang linya ng kanilang intersection KAYA patayo ABC. Ibig sabihin, KAYA patayo AB. Sa kabilang kamay, CO patayo AB. Samakatuwid, ang eroplano na dumadaan sa gilid c at KAYA ay patayo sa kabaligtaran.
Property 6 (sine theorem). Sa isang tatsulok ABC kasama ang mga partido a, b, c ayon sa pagkakabanggit, mayroon tayong pagkakapantay-pantay a : kasalanan A=b: kasalanan B=c: kasalanan C.
Ari-arian 6". Hayaan ang a , b , g - mga patag na sulok ng isang trihedral na anggulo, a, b, c ay ang kanilang mga kabaligtaran na dihedral na anggulo. Pagkatapos kasalanan a : kasalanan a= kasalanan b : kasalanan b= kasalanan g : kasalanan c.
Patunay. Hayaan SABC- trihedral anggulo. Bumaba mula sa punto C patayo CC 1 papunta sa eroplano ASB at patayo CA 1 nasa gilid SA(Larawan 7). Pagkatapos ang anggulo CA 1 C 1 ang magiging linear na anggulo ng dihedral angle a. kaya lang CC 1 = CA 1 kasalanan a = SC kasalanan b kasalanan a. Katulad nito, ito ay ipinapakita na CC 1 = CB 1 kasalanan b=SC kasalanan tulad ng sa b. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay kasalanan b kasalanan a = kasalanan a kasalanan b at, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay na kasalanan tulad ng sa a= sinb : kasalanan b. Sa katulad na paraan, pinatutunayan natin na kasalanan ang pagkakapantay-pantay b: kasalanan b= kasalanan g : kasalanan c.

Ari-arian 7.Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang matambok na may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng magkabilang panig ay pantay.
Ari-arian 7". Kung ang isang globo ay maaaring isulat sa isang matambok na anggulo ng tetrahedral, kung gayon ang mga kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng eroplano ay pantay.

Panitikan
1. Hadamard J. Elementarya geometry. Bahagi II. Stereometry. – M.: Uchpedgiz, 1938.
2. Perepelkin D.I. Kurso ng elementarya na geometry. Bahagi II. Geometry sa kalawakan. - M.-L.: Gostekhizdat, 1949.
3. Encyclopedia ng elementarya na matematika. Aklat IV. Geometry. - M.; 1963.
4. Smirnova I.M. Sa mundo ng mga polyhedron. – M.: Enlightenment, 1995.

Ang dihedral angle ay isang figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang tuwid na linya na nagbubuklod sa kanila. Ang mga kalahating eroplano ay tinatawag na mga mukha, at ang tuwid na linya na nagbubuklod sa kanila ay tinatawag na gilid ng anggulo ng dihedral.

Ang Figure 142 ay nagpapakita ng isang dihedral na anggulo na may gilid a at nakaharap sa a at (3.

Ang isang eroplanong patayo sa isang gilid ng isang dihedral na anggulo ay nag-intersect sa mga mukha nito kasama ang dalawang kalahating linya. Ang anggulo na nabuo ng mga kalahating linyang ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle. Ang sukat ng isang dihedral na anggulo ay kinuha bilang sukatan ng katumbas na linear na anggulo. Kung sa pamamagitan ng punto A ng gilid a ng anggulo ng dihedral ay gumuhit tayo ng isang eroplanong y patayo sa gilid na ito, pagkatapos ay mag-intersect ito sa mga eroplano a at (3 kasama ang kalahating linya (Larawan 142); ang linear na anggulo ng ibinigay na dihedral Ang dihedral na anggulo ay ang sukat ng dihedral na anggulo.

Ang trihedral angle ay isang figure na binubuo ng tatlong flat angle (Fig. 143). Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga mukha ng isang trihedral na anggulo, at ang kanilang mga gilid ay tinatawag na mga gilid. Ang karaniwang vertex ng mga flat angle ay tinatawag na vertex ng isang trihedral angle. Ang mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga mukha at ang kanilang mga extension ay tinatawag na mga dihedral na anggulo ng trihedral na anggulo.

Katulad nito, ang konsepto ng isang polyhedral angle ay tinukoy bilang isang figure na binubuo ng mga flat angle (Larawan 144). Para sa isang polyhedral angle, ang mga konsepto ng mga mukha, gilid, at dihedral angle ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng para sa isang trihedral angle.

Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygons (Larawan 145).

Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat polygon sa ibabaw nito (Larawan 145, a, b). Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng convex polyhedron ay tinatawag na mukha. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertices ay tinatawag na mga vertices ng polyhedron.

Mga Kahulugan. Kumuha tayo ng ilang mga anggulo (Larawan 37): ASB, BSC, CSD, na, magkadugtong sa isa't isa sa serye, ay matatagpuan sa parehong eroplano sa paligid ng karaniwang vertex S.

Iikot natin ang anggulong eroplanong ASB sa paligid ng karaniwang bahagi ng SB upang ang eroplanong ito ay makagawa ng ilang dihedral na anggulo sa eroplanong BSC. Pagkatapos, nang hindi binabago ang nagreresultang anggulo ng dihedral, iniikot namin ito sa tuwid na linya ng SC upang ang BSC plane ay gumawa ng ilang dihedral na anggulo sa CSD plane. Ipagpatuloy natin ang sunud-sunod na pag-ikot na ito sa bawat karaniwang panig. Kung sa kasong ito ang huling bahagi ng SF ay pinagsama sa unang bahagi ng SA, kung gayon ang isang pigura ay nabuo (Larawan 38), na tinatawag na polyhedral anggulo. Ang mga anggulo ASB, BSC,... ay tinatawag patag na sulok o mga mukha, ang kanilang mga panig SA, SB, ... ay tinatawag tadyang, at ang karaniwang vertex S- summit multifaceted anggulo.

Ang bawat gilid ay isang gilid din ng ilang dihedral na anggulo; samakatuwid, sa isang polyhedral na anggulo, mayroong kasing dami ng dihedral na anggulo at kasing dami ng mga flat na anggulo na mayroong lahat ng mga gilid sa loob nito. Ang pinakamaliit na bilang ng mga mukha sa isang polyhedral angle ay tatlo; ang anggulong ito ay tinatawag trihedral. Maaaring may apat na panig, limang panig, atbp. ang mga anggulo.

Ang isang polyhedral na anggulo ay tinutukoy alinman sa pamamagitan ng isang solong titik S na inilagay sa vertex, o sa pamamagitan ng isang serye ng mga titik na SABCDE, kung saan ang una ay tumutukoy sa vertex, at ang iba ay ang mga gilid sa pagkakasunud-sunod ng kanilang lokasyon.

Ang isang polyhedral angle ay tinatawag na convex kung lahat ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat isa sa mga mukha nito, na kung saan ay hindi tiyak na pinalawak. Ganito, halimbawa, ang anggulo na ipinapakita sa pagguhit 38. Sa kabaligtaran, ang anggulo sa pagguhit 39 ay hindi matatawag na matambok, dahil ito ay matatagpuan sa magkabilang panig ng mukha ng ASB o ng mukha ng BSC.

Kung ang lahat ng mga mukha ng isang polyhedral angle ay intersected ng isang eroplano, pagkatapos ay isang polygon ay nabuo sa seksyon ( abcde ). Sa isang convex polyhedral angle, ang polygon na ito ay convex din.

Isasaalang-alang lamang namin ang mga convex polyhedral na anggulo.

Teorama. Sa isang trihedral na anggulo, ang bawat flat angle ay mas mababa sa kabuuan ng iba pang dalawang flat angle.

Hayaan sa trihedral angle SABC (Fig. 40) ang pinakamalaki sa mga flat na anggulo ay ang anggulong ASC.

I-plot natin ang anggulong ASD sa anggulong ito, na katumbas ng anggulong ASB, at gumuhit ng ilang tuwid na linya na AC intersecting SD sa isang punto D. Ilagay ang SB = SD. Pagkonekta ng B sa A at C, nakukuha namin ang \(\Delta\)ABC, kung saan

AD+DC< АВ + ВС.

Ang mga tatsulok na ASD at ASB ay magkatugma dahil ang bawat isa ay naglalaman ng pantay na anggulo sa pagitan ng magkaparehong panig: kaya AD = AB. Samakatuwid, kung itatapon natin ang pantay na termino AD at AB sa nagmula na hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang DC na iyon< ВС.

Ngayon napansin namin na ang mga tatsulok na SCD at SCB ay may dalawang panig ng isang katumbas ng dalawang panig ng isa, at ang ikatlong panig ay hindi pantay; sa kasong ito, ang isang mas malaking anggulo ay nasa tapat ng mas malaki sa mga panig na ito; ibig sabihin,

∠CSD< ∠ CSВ.

Ang pagdaragdag ng anggulong ASD sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, at ang anggulong ASB na katumbas nito sa kanang bahagi, nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay na kinakailangang patunayan:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Napatunayan namin na kahit na ang pinakamalaking flat angle ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang anggulo. Kaya ang teorama ay napatunayan.

Bunga. Ibawas mula sa parehong bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay sa anggulong ASB o sa anggulong CSB; makuha namin:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

Isinasaalang-alang ang mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa kanan papuntang kaliwa, at isinasaalang-alang na ang anggulong ASC bilang pinakamalaki sa tatlong anggulo ay mas malaki kaysa sa pagkakaiba ng iba pang dalawang anggulo, napagpasyahan namin na sa isang trihedral na anggulo, ang bawat anggulo ng eroplano ay mas malaki kaysa sa pagkakaiba ng iba pang dalawang anggulo.

Teorama. Sa isang convex polyhedral angle, ang kabuuan ng lahat ng planar na angle ay mas mababa sa 4d (360°) .

I-intersect natin ang mga mukha (Fig. 41) ng convex angle SABCDE na may ilang eroplano; mula dito sa seksyon ay nakakakuha tayo ng isang matambok n-gon ABCDE.

Ang paglalapat ng theorem na napatunayang mas maaga sa bawat isa sa mga trihedral na anggulo na ang mga vertices ay nasa mga puntong A, B, C, D at E, paholim:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Idagdag natin ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay na ito sa bawat termino. Pagkatapos sa kaliwang bahagi ay nakukuha natin ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng polygon ABCDE, na katumbas ng 2 dn - 4d , at sa kanan - ang kabuuan ng mga anggulo ng mga tatsulok na ABS, SBC, atbp., maliban sa mga anggulo na nasa vertex S. Tinutukoy ang kabuuan ng mga huling anggulong ito sa pamamagitan ng titik X , nakukuha namin pagkatapos ng karagdagan:

2dn - 4d < 2dn - x .

Dahil sa mga pagkakaiba 2 dn - 4d at 2 dn - x ang mga minuends ay pareho, kung gayon para ang unang pagkakaiba ay mas mababa kaysa sa pangalawa, kinakailangan na ang subtrahend 4 d ay higit pa sa bawas X ; ibig sabihin 4 d > X , ibig sabihin. X < 4d .

Ang pinakasimpleng mga kaso ng pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng trihedral

Theorems. Ang mga anggulo ng trihedral ay pantay-pantay kung mayroon silang:

1) sa pamamagitan ng isang pantay na dihedral na anggulo na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkasunod na pantay at pantay na pagitan ng mga anggulo ng eroplano, o

2) kasama ang isang pantay na anggulo ng eroplano na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkasunod na pantay at pantay na distansyang dihedral na anggulo.

1) Hayaang ang S at S 1 ay dalawang trihedral na anggulo (Larawan 42), kung saan ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (at ang mga magkaparehong anggulo na ito ay pantay na matatagpuan) at dihedral ang anggulo AS ay katumbas ng dihedral na anggulo A 1 S 1 .

Ilagay natin ang anggulo S 1 sa anggulo S upang ang mga puntong S 1 at S, ang mga linyang S 1 A 1 at SA, at ang mga eroplanong A 1 S 1 B 1 at ASB ay magkasabay. Pagkatapos ang gilid S 1 B 1 ay pupunta sa SB (dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo A 1 S 1 B 1 at ASB), ang eroplano A 1 S 1 C 1 ay sasama sa ASC (dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng dihedral), at ang gilid S 1 C 1 ay pupunta sa gilid ng SC (dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo A 1 S 1 C 1 at ASC). Kaya, ang mga anggulo ng trihedral ay pagsasamahin ng lahat ng kanilang mga gilid, i.e. magiging pantay sila.

2) Ang pangalawang pamantayan, tulad ng una, ay pinatutunayan ng isang pag-embed.

Symmetric polyhedral na mga anggulo

Tulad ng alam mo, ang mga patayong anggulo ay pantay pagdating sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya o eroplano. Tingnan natin kung totoo ang pahayag na ito para sa mga polyhedral na anggulo.

Nagpapatuloy kami (Larawan 43) ang lahat ng mga gilid ng anggulo SABCDE na lampas sa vertex S, pagkatapos ay nabuo ang isa pang polyhedral angle SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, na maaaring tawaging patayo may kinalaman sa unang sulok. Madaling makita na ang parehong mga anggulo ay may pantay na eroplano at dihedral na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit, ngunit pareho ay nasa reverse order. Sa katunayan, kung maiisip natin ang isang tagamasid na tumitingin mula sa labas ng isang polyhedral na anggulo sa tuktok nito, kung gayon ang mga gilid SA, SB, SC, SD, SE ay tila sa kanya ay matatagpuan sa isang counterclockwise na direksyon, habang tinitingnan ang anggulo SA. 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , nakikita niya ang mga gilid SA 1 , SВ 1 , ... na matatagpuan sa clockwise.

Ang mga polyhedral na anggulo na may magkaparehong mga anggulo ng eroplano at dihedral, ngunit matatagpuan sa reverse order, ay hindi maaaring pagsamahin sa lahat kapag nag-embed; ibig sabihin hindi sila pantay. Ang mga ganitong anggulo ay tinatawag simetriko(kamag-anak sa tuktok na S). Higit pa tungkol sa simetrya ng mga figure sa espasyo ay tatalakayin sa ibaba.

Iba pang mga materyales

№1 Petsa05.09.14

Paksang Geometry

Klase 11

Paksa ng aralin: Ang konsepto ng isang polyhedral angle. tatsulok na anggulo.

Layunin ng Aralin:

ipakilala ang mga konsepto: "trihedral angles", "polyhedral angles", "polyhedron";

upang ipaalam sa mga mag-aaral ang mga elemento ng trihedral at polyhedral na mga anggulo, isang polyhedron, pati na rin ang mga kahulugan ng isang convex polyhedral angle at ang mga katangian ng mga flat angle ng isang polyhedral angle;

upang ipagpatuloy ang gawain sa pagbuo ng mga spatial na representasyon at spatial na imahinasyon, pati na rin ang lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal

SA PANAHON NG MGA KLASE

1. Organisasyon sandali.

Pagbati sa mga mag-aaral, pagsuri sa kahandaan ng klase para sa aralin, pag-aayos ng atensyon ng mga mag-aaral, paglalahad ng mga pangkalahatang layunin ng aralin at plano nito.

2. Pagbuo ng mga bagong konsepto at pamamaraan ng pagkilos.

Mga Gawain: Upang matiyak ang persepsyon, pag-unawa at pagsasaulo ng pinag-aralan na materyal ng mga mag-aaral. Upang matiyak na makabisado ng mga mag-aaral ang pamamaraan para sa muling paggawa ng pinag-aralan na materyal, upang itaguyod ang pilosopikal na pag-unawa sa mga konsepto, batas, tuntunin, pormula na sinisimilasyon. Upang maitaguyod ang kawastuhan at kamalayan ng pinag-aralan na materyal ng mga mag-aaral, upang matukoy ang mga puwang sa pangunahing pag-unawa, upang magsagawa ng pagwawasto. Upang matiyak na maiugnay ng mga mag-aaral ang kanilang pansariling karanasan sa mga palatandaan ng kaalamang siyentipiko.

Hayaang magbigay ng tatlong sinaga, b ats s karaniwang panimulang puntoO (Larawan 1.1). Ang tatlong sinag na ito ay hindi kinakailangang nasa parehong eroplano. Sa figure 1.2, ang mga sinagb atSa humiga sa isang eroplanoR, isang sinaga ay hindi nakahiga sa eroplanong ito.

Sinaga, b atSa Tinutukoy ng mga pares ang tatlong flat angle na nakikilala sa pamamagitan ng mga arko (Larawan 1.3).

Isaalang-alang ang isang figure na binubuo ng tatlong anggulo na ipinahiwatig sa itaas at ang bahagi ng espasyo na nakatali sa mga flat angle na ito. Ang spatial figure na ito ay tinatawag natrihedral na anggulo (Larawan 2).

Sinaga, b at kasama ang tinawagmga gilid ng isang trihedral na anggulo, at ang mga sulok: = AOC, = AOB,

= BOC , nililimitahan ang trihedral na anggulo, - nitomga mukha. Nabubuo ang mga sulok na itotrihedral na ibabaw. DotO tinawagvertex ng isang trihedral na anggulo. Ang isang trihedral na anggulo ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: OABC

Ang pagkakaroon ng maingat na pagsusuri sa lahat ng mga polyhedral na anggulo na ipinapakita sa Figure 3, maaari nating tapusin na ang bawat isa sa mga polyhedral na anggulo ay may parehong bilang ng mga gilid at mukha:

4 na mukha at isang vertex;

ang limang panig na sulok ay may 5 gilid, 5 mukha at isang tuktok;

• 
  ang isang hexagonal na sulok ay may 6 na gilid, 6 na mukha at isang vertex, atbp.

Ang mga anggulo ng polyhedral ay matambok at hindi matambok.

Isipin na kumuha kami ng apat na sinag na may karaniwang pinagmulan, tulad ng sa Figure 4. Sa kasong ito, nakuha naminnon-convex polyhedral angle.

Kahulugan 1. Ang polyhedral angle ay tinatawag na convex angle,Kung siyanakahiga sa isang gilid ng eroplano ng bawat mukha nito.

Sa madaling salita, ang isang matambok na polyhedral na anggulo ay maaaring palaging ilagay ng alinman sa mga mukha nito sa ilang eroplano. Makikita mo na sa kaso na ipinapakita sa Figure 4, hindi ito laging posible. Ang anggulo ng tetrahedral na ipinapakita sa Figure 4 ay non-convex.

Tandaan na sa aming tutorial, kung sasabihin namin ang "polyhedral angle", ibig sabihin namin na ito ay matambok. Kung ang itinuturing na polyhedral angle ay hindi matambok, ito ay tatalakayin nang hiwalay.

Mga Property ng Plane Corners ng Polyhedral Corner

Teorama 1.Ang bawat flat angle ng trihedral angle ay mas mababa sa kabuuan ng iba pang dalawang flat angle.

Teorama 2.Ang kabuuan ng mga halaga ng lahat ng mga anggulo ng eroplano ng isang matambok na polyhedral na anggulo ay mas mababa sa 360°.

3. Paglalapat. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

Mga Layunin: Upang matiyak na ang mga mag-aaral ay ginagamit ang kaalaman at mga pamamaraan ng pagkilos na kailangan nila para sa SW, upang lumikha ng mga kondisyon para sa mga mag-aaral na matukoy ang mga indibidwal na paraan ng pagsasabuhay ng kanilang natutunan.

6. Yugto ng impormasyon tungkol sa takdang-aralin.

Layunin: Upang matiyak na nauunawaan ng mga mag-aaral ang layunin, nilalaman at pamamaraan ng paggawa ng takdang-aralin.

§1(1.1, 1.2) p. 4, blg. 9.

7. Pagbubuod ng aralin.

Layunin: Magbigay ng isang husay na pagtatasa ng gawain ng klase at indibidwal na mga mag-aaral.

8. Yugto ng pagninilay.

Mga Gawain: Upang simulan ang pagmumuni-muni ng mga mag-aaral sa sariling pagtatasa ng kanilang mga gawain. Upang matiyak na matututunan ng mga mag-aaral ang mga prinsipyo ng regulasyon sa sarili at pakikipagtulungan.

Pag-uusap sa:

Ano ang nakita mong kawili-wili sa aralin?

Ano ang hindi malinaw?

Ano ang dapat bigyang pansin ng guro sa susunod na aralin?

Paano mo ire-rate ang iyong trabaho sa klase?