Lektura 9

Analytical geometry sa espasyo.

Pangkalahatang equation ng eroplano.

Kahulugan. eroplano ang isang ibabaw ay tinatawag, ang lahat ng mga punto ay nakakatugon sa pangkalahatang equation:

Ax + By + Cz + D = 0,

kung saan ang A, B, C ay ang mga coordinate ng vector -vector mga normal papunta sa eroplano.

Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

A \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa axis ng Ox

B \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa Oy axis

C \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa Oz axis

D = 0 - ang eroplano ay dumaan sa pinanggalingan

A \u003d B \u003d 0 - ang eroplano ay parallel sa xOy plane

A \u003d C \u003d 0 - ang eroplano ay parallel sa xOz na eroplano

B = C = 0 - ang eroplano ay parallel sa eroplanong yOz

A \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Ox axis

B \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oy axis

C \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa axis Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay tumutugma sa xOy na eroplano

A = C = D = 0 - ang eroplano ay tumutugma sa xOz na eroplano

B = C = D = 0 - ang eroplano ay tumutugma sa eroplanong yOz

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos.

Upang ang isang eroplano ay maiguguhit sa anumang tatlong punto sa kalawakan, kinakailangan na ang mga puntong ito ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.

Isaalang-alang ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) sa Cartesian coordinate system.

Upang ang isang di-makatwirang punto M(x, y, z) ay nakahiga sa parehong eroplano na may mga puntos na M 1, M 2, M 3, kinakailangan na ang mga vectors
ay coplanar i.e. ang kanilang pinaghalong produkto:

(
) = 0

Sa ganitong paraan,

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos:

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang puntos na parallel sa isang vector.

Hayaan ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) at ang vector
.

Buuin natin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga ibinigay na puntos na M 1 at M 2 at isang arbitraryong punto M (x, y, z) na kahanay ng vector .

Mga vector
at vector
dapat coplanar, i.e.

(
) = 0

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto na kahanay ng dalawang vectors.

Hayaang magbigay ng dalawang vector
at
, collinear planes at point M 1 (x 1, y 1, z 1). Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, ang mga vectors
dapat coplanar.

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto na patayo sa vector.

Teorama. Kung ang isang punto M 0 ay ibinigay sa espasyo (x 0, y 0, z 0), kung gayon ang equation ng eroplanong dumadaan sa puntong M 0 ay patayo sa normal na vector (A, B, C) ay may anyo:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Patunay. Para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, bumubuo kami ng isang vector . kasi vector - ang normal na vector, pagkatapos ito ay patayo sa eroplano, at, samakatuwid, patayo sa vector
. Tapos yung scalar product

= 0

Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano

Napatunayan na ang theorem.

Equation ng isang eroplano sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation Ax + Wu + Cz + D = 0 hatiin ang parehong bahagi ng -D

,

pinapalitan
, nakukuha namin ang equation ng eroplano sa mga segment:

Ang mga numerong a, b, c ay ang mga segment na pinutol ng eroplano sa intersection ng x, y, z axes, ayon sa pagkakabanggit, ng Cartesian rectangular coordinate system.

Plane equation sa vector form.

saan

- radius-vector ng kasalukuyang punto M(x, y, z),

Isang unit vector na may direksyon ng perpendicular na bumaba sa eroplano mula sa pinanggalingan.

Ang ,  at  ay ang mga anggulo na nabuo ng vector na ito na may x, y, z axes.

p ay ang haba ng patayo na ito.

Sa mga coordinate, ang equation na ito ay may anyo:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Parametric plane equation

Hayaang maibigay sa espasyo ang isang puntong M 0 (x 0, y 0, z 0) at dalawang non-collinear vector.

(p 1, p 2, p 3) at (q 1 , q 2 , q 3). Hayaang ang M(x, y, z) ang kasalukuyang punto ng eroplano. Dahil ang mga vectors at ay noncollinear, pagkatapos ay bumubuo sila ng batayan sa eroplano, kung saan pinalawak namin ang vector
=t+ s, kung saan ang t,s ay mga parameter. Arbitraryong ilagay natin ang isang Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano upang ang Ox at Oy axes ay nakahiga sa eroplano. Mula sa gitna O iginuhit namin ang mga radius vectors sa mga puntos na M 0 at M at . Pagkatapos
=-at

=+t+ s .

Ito ay isang parametric equation ng plane sa vector form, at sa scalar form

x=x 0 + p 1 t + q 1 s

y=y 0 + p 2 t + q 2 s

z=z 0 + p 3 t + q 3 s

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M 0 (x 0, y 0, z 0) sa eroplano Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 ay:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P (4; -3; 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Kaya A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, gamitin ang formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Halimbawa . Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang puntos

Ang P(2; 0; -1) at Q(1; -1; 3) ay patayo sa eroplanong 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normal na vector sa eroplano 3x + 2y - z + 5 = 0
parallel sa nais na eroplano.

Nakukuha namin:

Halimbawa . Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos na A(2, -1, 4) at

В(3, 2, -1) patayo sa eroplano X + sa + 2z – 3 = 0.

Ang nais na equation ng eroplano ay may anyo: A x+ B y+ C z+ D = 0, ang normal na vector sa eroplanong ito (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) ay kabilang sa eroplano. Ang eroplanong ibinigay sa amin, patayo sa nais, ay may normal na vector (1, 1, 2). kasi Ang mga puntong A at B ay nabibilang sa parehong mga eroplano, at ang mga eroplano ay magkaparehong patayo, kung gayon

Kaya ang normal na vector (11, -7, -2). kasi Ang punto A ay kabilang sa nais na eroplano, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplanong ito, i.e. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Kaya, nakukuha natin ang equation ng eroplano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Halimbawa . Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(4, -3, 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Paghahanap ng mga coordinate ng normal na vector
= (4, -3, 12). Ang nais na equation ng eroplano ay may anyo: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Upang mahanap ang coefficient D, pinapalitan namin ang mga coordinate ng point Р sa equation:

16 + 9 + 144 + D = 0

Kaya, nakukuha namin ang nais na equation: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Halimbawa . Dahil sa mga coordinate ng vertices ng pyramid

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

Hanapin ang haba ng gilid A 1 A 2 .

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid A 1 A 2 at A 1 A 4.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng gilid A 1 A 4 at ng mukha A 1 A 2 A 3 .

Una, hanapin ang normal na vector sa mukha A 1 A 2 A 3 - bilang isang cross product ng mga vectors
at
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng normal na vector at ng vector
.

-4 – 4 = -8.

Ang gustong anggulo  sa pagitan ng vector at ng eroplano ay magiging katumbas ng  = 90 0 - .

Hanapin ang lugar ng mukha A 1 A 2 A 3 .

Hanapin ang volume ng pyramid.

Hanapin ang equation ng eroplano А 1 А 2 А 3 .

Ginagamit namin ang formula para sa equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

Surface equation sa espasyo

Kahulugan. Ang anumang equation na nauugnay sa x, y, z coordinates ng anumang punto sa ibabaw ay isang equation ng surface na iyon.

Pangkalahatang equation ng eroplano

Kahulugan. Ang isang eroplano ay isang ibabaw, ang lahat ng mga punto ay nakakatugon sa pangkalahatang equation:

Ax + By + Cz + D = 0,

kung saan ang A, B, C ay ang mga coordinate ng vector

ang normal na vector sa eroplano. Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

A \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa axis ng Ox

B \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa Oy axis

C \u003d 0 - ang eroplano ay kahanay sa Oz axis

D = 0 - ang eroplano ay dumaan sa pinanggalingan

A \u003d B \u003d 0 - ang eroplano ay parallel sa xOy plane

A \u003d C \u003d 0 - ang eroplano ay parallel sa xOz na eroplano

B \u003d C \u003d 0 - ang eroplano ay parallel sa eroplano yOz

A \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Ox axis

B \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oy axis

C \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oz axis

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay tumutugma sa xOy na eroplano

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay tumutugma sa xOz na eroplano

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - ang eroplano ay kasabay ng eroplano yOz

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos

Upang ang isang eroplano ay maiguguhit sa anumang tatlong punto sa kalawakan, kinakailangan na ang mga puntong ito ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya. Isaalang-alang ang mga puntos na М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) sa pangkalahatang Cartesian coordinate system. Upang ang isang di-makatwirang punto M(x, y, z) ay nakahiga sa parehong eroplano tulad ng mga puntong M1, M2, M3, ang mga vector ay dapat na coplanar.

Sa ganitong paraan,

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos:

Equation ng isang eroplano na ibinigay ng dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano

Hayaang magbigay ng mga puntos na M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) at isang vector.

Buuin natin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga ibinigay na puntos na M1 at M2 at isang arbitraryong puntong M(x, y, z) na kahanay ng vector.

Ang mga vector at ang vector ay dapat na coplanar, i.e.

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano na may paggalang sa isang punto at dalawang vectors collinear sa eroplano

Hayaang magbigay ng dalawang vectors at, collinear planes. Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, ang mga vector ay dapat na coplanar. Equation ng eroplano:

Plane equation ayon sa punto at normal na vector

Teorama. Kung ang isang punto M0 (x0, y0, z0) ay ibinigay sa espasyo, kung gayon ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M0 patayo sa normal na vector (A, B, C) ay may anyo:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Patunay. Para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, bumubuo kami ng isang vector. kasi Ang vector ay isang normal na vector, pagkatapos ito ay patayo sa eroplano, at samakatuwid ay patayo din sa vector. Tapos yung scalar product

Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano

Napatunayan na ang theorem.

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay tinatawag kumpleto, kung ang lahat ng mga coefficient nito ay hindi katumbas ng 0. Kung hindi, ang equation ay tinatawag hindi kumpleto.

D=0 Ax+Vu+Сz=0- eroplano, dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate.

Ang natitirang mga kaso ay tinutukoy ng posisyon ng normal na vector n=( A; B; C).

A=0 Ву+Сz+D=0 ay ang equation ng eroplano, parallel axis Ox.(Dahil ang normal na vector n=( 0;B;C) ay patayo sa axis ng Ox).

B=0 Ah+Сz+D=0 - Equation ng eroplano, parallel sa y axis.(Dahil ang normal na vector n=( A; 0; C) ay patayo sa Oy axis).

C=0 Ah+Wu+D=0 - Equation ng eroplano, parallel axis Oz. (Dahil ang normal na vector n=( A; B; 0) ay patayo sa Oz axis).

A=B=0 Сz+D=0 – z=-D/C – ang equation ng isang eroplanong parallel sa Oxy plane (dahil ang eroplanong ito ay parallel sa Ox at Oy axes).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- ang equation ng isang eroplanong parallel sa Oxz plane (dahil ang eroplanong ito ay parallel sa Ox at Oz axes).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- ang equation ng isang eroplanong parallel sa Oyz plane (dahil ang eroplanong ito ay parallel sa Oy at Oz axes).

A=D=0 Ni+Cz=0 - equation ng eroplanong dumadaan sa x-axis.

B=D=0 Ax+Cz=0 - equation ng eroplanong dumadaan sa Oy axis.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Oxy coordinate plane.(dahil ang eroplanong ito ay parallel sa Oxy at dumadaan sa pinanggalingan).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – coordinate plane Охz.(dahil ang eroplanong ito ay parallel sa Oxz at dumadaan sa pinanggalingan).

B=C=D=0 ax=0 (x=0) – coordinate plane Оуz.(dahil ang eroplanong ito ay parallel sa Oyz at dumadaan sa pinanggalingan).

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos.

Nakukuha namin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa 3 magkakaibang puntos M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) , hindi nakahiga sa isang tuwid na linya. Pagkatapos ay ang mga vectors M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​​​-y 1; z 2 -z 1) at M 1 M 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) ay hindi collinear. Samakatuwid, ang puntong M(x, y, z) ay nasa parehong eroplano na may mga puntos na M 1 , M 2 at M 3 kung at kung ang mga vectors lamang M 1 M 2 , M 1 M 3 at M 1 M\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - coplanar, i.e.  kapag ang kanilang pinaghalong produkto ay 0

(M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0) , ibig sabihin.

(4) Equation ng isang eroplanong dumadaan sa 3 ibinigay na puntos.

(Ang pagpapalawak ng determinant kasama ang 1st line at pagpapasimple, nakuha namin ang pangkalahatang equation ng eroplano: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

yun. tatlong puntos ang natatanging tumutukoy sa isang eroplano.

Ang equation ng eroplano sa mga segment sa mga palakol.

Ang eroplano Π ay nag-intersect sa mga coordinate axes sa mga puntong M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c).

Ang M (x; y; z) ay isang variable na punto ng eroplano.

M 1 M=(x-a; y; z)

M 1 M 2 =(0-а;b;0) tukuyin ang ibinigay na eroplano

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Yung. M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0

Palawakin natin ang 1st line: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Hatiin ang pagkakapantay-pantay sa abc≠0. Nakukuha namin:

(5) ang equation ng eroplano sa mga segment sa mga axes.

Ang equation (5) ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang equation ng eroplano, sa pag-aakalang D≠0, divide sa D

Ang pagtukoy –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – makuha natin ang Equation 4.

Anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano. Mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng mga eroplano.

Ang anggulo φ sa pagitan ng dalawang eroplano α 1 at α 2 ay sinusukat sa pamamagitan ng isang patag na anggulo sa pagitan ng 2 sinag na patayo sa linya kung saan nagsasalubong ang mga eroplanong ito. Anumang dalawang magkasalubong na eroplano ay bumubuo ng dalawang anggulo na nagsusuma sa . Ito ay sapat na upang tukuyin ang isa sa mga anggulong ito.

Hayaang ibigay ang mga eroplano sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation:

 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 =0

Isaalang-alang ang PDSC (O, i,j,k) sa espasyo R 3 . Hayaan ang  ay ilang eroplano at vector  N patayo sa a. Inaayos namin ang isang di-makatwirang punto M 0 sa eroplano  at kunin ang kasalukuyang punto M ng espasyo.. Ipahiwatig ` r =
at` r 0 =
. Pagkatapos
=`r – `r 0 , at ang puntong М kung at kung ang mga vectors lamang ` N at
orthogonal. Ang huli ay posible kapag

N .
= 0, ibig sabihin. N . (`r-`r 0) = 0, (9)

ang equation na ito ay tinatawag equation ng vector mga eroplano. Vector ` N tinawag normal vector ng eroplano.

Kung ang ` N =(PERO, AT, MULA SA), M 0 ( X 0 , sa 0 , z 0) , M( X, sa, z), pagkatapos ay ang equation (9) ay kumukuha ng anyo

PERO( X – X 0) + B( sa – sa 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Ang equation na ito ay tinatawag na equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang binigay na vector.

Upang Ito ay kilala na sa pamamagitan ng tatlong puntos ay maaaring iguguhit ang isang eroplano. Hayaan ang M 1 ( X 1 , sa 1 , z 1), M 3 ( X 2 , sa 2 , z 2), M 3 ( X 3 , sa 3 , z 3). Hanapin natin ang equation ng eroplanong ito. Ayon sa vector equation (9), upang maisulat ang equation na ito, kailangang malaman ang punto ng eroplano at ang normal na vector. Mayroon kaming punto (halimbawa, M 1). At bilang isang normal na vector, magagawa ng anumang vector na patayo sa eroplanong ito. Ito ay kilala na ang cross product ng dalawang vectors ay patayo sa eroplano kung saan ang mga vectors na ito ay namamalagi. Samakatuwid, ang cross product ng mga vectors
at
maaaring kunin bilang isang normal na vector ng eroplano :

` N =


Pagkatapos ang equation ng plane  sa vector form ay may anyo

. (

) =
.
.
= 0.

(tandaan na nakuha namin ang kundisyon para sa complanarity ng mga vectors
,
,
).

Sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga puntos na M 1, M 2, M 3 at M, ang equation na ito ay maaaring isulat bilang

, (11)

at tinatawag na equation ng eroplano, pagpasa sa tatlong ibinigay na puntos M 1 ( X 1 , sa 1 , z 1), M 2 ( X 2 , sa 2 , z 2), M 3 ( X 3 , sa 3 , z 3).

Isaalang-alang muli ang equation (9), ibahin ito:

Oh + Wu + cz +(–Oh 0 – Wu 0 – cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + cz+D = 0, kung saan D = (– Oh 0 – Wu 0 – cz 0) .

Ang equation

Oh + Wu + cz+D = 0, (12)

tinawag pangkalahatang equation mga eroplano. Narito ang vectorN = ( A, B, C) ay ang normal na vector ng eroplano (i.e., ang vector na patayo sa eroplano). Ang teorama ay totoo:

Teorama 4.2.

Sa espasyo R 3 anumang eroplano ay maaaring ilarawan linear na may paggalang sa mga variable x y, z equation at vice versa. anumang equation ng unang antas ay tumutukoy sa ilang eroplano.

Pag-aralan natin ang lokasyon ng eroplano na may kaugnayan sa sistema ng coordinate ayon sa pangkalahatang equation nito Oh + Wu + cz+D = 0 .

Kung ang coefficient D = 0, kung gayon ang mga coordinate ng point O(0, 0, 0) ay nakakatugon sa equation Oh + Wu + cz= 0, kaya ang puntong ito ay nasa eroplano, i.e. eroplanong may equation Oh + Wu + cz= 0 ang dumadaan sa pinanggalingan.

Kung sa pangkalahatang equation ng eroplano kulang ng isa mula sa mga variable (ang kaukulang coefficient ay katumbas ng zero), pagkatapos ay ang eroplano ay kahanay sa coordinate axis ng parehong pangalan. Halimbawa, ang equation Oh + cz + D Ang = 0 ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa y-axis. Sa katunayan, ang normal na vector ay may mga coordinate ` N= (A, 0, C) at madaling suriin iyon ` Nj. Ngunit kung ang isang eroplano at isang vector ay patayo sa parehong vector, kung gayon sila ay parallel. Plane na may equation Wu + cz= 0, sa kasong ito, dumadaan sa OX axis (iyon ay, ang axis na ito ay nasa eroplano)

Ang kawalan ng dalawa ang mga variable sa plane equation ay nangangahulugan na ang eroplano ay parallel sa kaukulang coordinate plane, halimbawa, isang equation ng form Oh + D Ang = 0 ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa YOZ plane. Ang normal na vector ay may mga coordinate ` N= (A, 0, 0), ito ay collinear sa vector  i, at, samakatuwid, ang eroplano ay patayo sa vector  i, o parallel sa UOZ plane.

Mga equation ng coordinate planes kamukha: PAANO: z= 0, pl. XOZ: y= 0, pl. YOZ: x = 0.

Sa katunayan, ang HOW plane ay dumadaan sa pinanggalingan (D = 0) at sa vector  k=(0, 0, 1) ang normal nitong vector. Katulad nito, ang mga eroplanong XOZ at YOZ ay dumadaan sa pinanggalingan (D = 0) at sa mga vectors  j=(0, 1, 0) at  i = (1,0,0) ang kanilang mga normal, ayon sa pagkakabanggit.

Kung D0, binago natin ang pangkalahatang equation bilang mga sumusunod

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

O nagsasaad dito
,
,
, nakukuha namin ang equation
, (13)

na tinatawag na plane equation sa mga segment sa mga palakol. Dito a, b, c ay ang mga halaga ng mga segment na pinutol ng eroplano sa mga coordinate axes (Fig.). Ang equation na ito ay maginhawang gamitin upang bumuo ng isang eroplano sa isang coordinate system. Madaling i-verify na ang mga puntos ( a, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Sa) nakahiga sa isang eroplano. Ang mga linyang dumadaan sa mga puntong ito ay tinatawag bakas mga eroplano sa mga coordinate na eroplano.

Halimbawa, gumawa tayo ng eroplano

2X – 3sa + 4z –12 = 0.

Dalhin natin ang equation na ito sa anyo (13), makuha natin

D Upang bumuo ng isang eroplano sa coordinate system, markahan ang punto (6, 0, 0) sa OX axis, ang punto (0, -4, 0) sa OY axis, (0, 0, 3) sa OZ axis , ikonekta ang mga ito sa mga segment ng tuwid na linya ( mga bakas ng eroplano). Ang resultang tatsulok ay isang bahagi ng nais na eroplano, na nakapaloob sa pagitan ng mga coordinate axes.

Kaya yun hanapin ang equation ng eroplano sapat na upang malaman

Alinman sa normal na vector ng eroplanong ito at alinman sa mga punto nito (equation (10));

O tatlong puntos na nakahiga sa isang eroplano (equation (11)).

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano sa espasyo ay maginhawang mag-aral gamit ang mga vector na naaayon sa kanila. Kung ang  ay isang eroplanong may normal na vector N, kung gayon

.

Ang derivation ng formula ay katulad ng kung paano ito ginawa para sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Isagawa ito sa iyong sarili.

Maaari itong tukuyin sa iba't ibang paraan (isang punto at isang vector, dalawang puntos at isang vector, tatlong puntos, atbp.). Ito ay nasa isip na ang equation ng eroplano ay maaaring magkaroon ng iba't ibang anyo. Gayundin, sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang mga eroplano ay maaaring magkatulad, patayo, intersecting, atbp. Pag-uusapan natin ito sa artikulong ito. Matututunan natin kung paano isulat ang pangkalahatang equation ng eroplano at hindi lamang.

Normal na anyo ng equation

Sabihin nating mayroong puwang R 3 na mayroong isang parihabang coordinate system na XYZ. Itinakda namin ang vector α, na ilalabas mula sa paunang punto O. Sa pamamagitan ng dulo ng vector α iginuhit namin ang eroplano P, na magiging patayo dito.

Tukuyin ng P ang isang arbitraryong punto Q=(x, y, z). Pipirmahan natin ang radius vector ng puntong Q na may letrang p. Ang haba ng vector α ay p=IαI at Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ito ay isang unit vector na nakaturo patagilid, tulad ng vector α. Ang α, β at γ ay ang mga anggulo na nabubuo sa pagitan ng vector Ʋ at ang mga positibong direksyon ng space axes x, y, z, ayon sa pagkakabanggit. Ang projection ng ilang point QϵП papunta sa vector Ʋ ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Makatuwiran ang equation na ito kapag p=0. Ang tanging bagay ay ang eroplano P sa kasong ito ay magsa-intersect sa puntong O (α=0), na siyang pinagmulan, at ang unit vector Ʋ, na inilabas mula sa puntong O, ay magiging patayo sa P, anuman ang direksyon nito, na nangangahulugan na ang vector Ʋ ay tinutukoy mula sa sign-accurate. Ang nakaraang equation ay ang equation ng aming P plane, na ipinahayag sa vector form. Ngunit sa mga coordinate ito ay magiging ganito:

Ang P dito ay mas malaki sa o katumbas ng 0. Nahanap namin ang equation ng isang eroplano sa espasyo sa normal nitong anyo.

Pangkalahatang Equation

Kung i-multiply natin ang equation sa mga coordinate sa anumang numero na hindi katumbas ng zero, makakakuha tayo ng equation na katumbas ng ibinigay na isa, na tumutukoy sa parehong eroplano. Magiging ganito ang hitsura:

Narito ang A, B, C ay mga numero na magkasabay na naiiba sa zero. Ang equation na ito ay tinutukoy bilang ang general plane equation.

Mga equation ng eroplano. Mga espesyal na kaso

Ang equation sa pangkalahatang anyo ay maaaring mabago sa pagkakaroon ng mga karagdagang kundisyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito.

Ipagpalagay na ang coefficient A ay 0. Nangangahulugan ito na ang ibinigay na eroplano ay parallel sa ibinigay na axis Ox. Sa kasong ito, magbabago ang anyo ng equation: Ву+Cz+D=0.

Katulad nito, magbabago ang anyo ng equation sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

• Una, kung B = 0, ang equation ay magbabago sa Ax + Cz + D = 0, na magsasaad ng parallelism sa Oy axis.
• Pangalawa, kung С=0, ang equation ay binago sa Ах+Ву+D=0, na magsasaad ng parallelism sa ibinigay na axis Oz.
• Pangatlo, kung D=0, ang equation ay magmumukhang Ax+By+Cz=0, na nangangahulugan na ang eroplano ay nag-intersect sa O (ang pinanggalingan).
• Pang-apat, kung A=B=0, ang equation ay magbabago sa Cz+D=0, na magpapatunay na parallel sa Oxy.
• Ikalima, kung B=C=0, ang equation ay magiging Ax+D=0, na nangangahulugan na ang eroplano sa Oyz ay parallel.
• Pang-anim, kung A=C=0, ang equation ay kukuha ng form na Ву+D=0, iyon ay, mag-uulat ito ng parallelism sa Oxz.

Uri ng equation sa mga segment

Kung ang mga numerong A, B, C, D ay hindi zero, ang anyo ng equation (0) ay maaaring ang mga sumusunod:

x/a + y/b + z/c = 1,

kung saan ang isang \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Nakukuha namin bilang isang resulta Dapat tandaan na ang eroplanong ito ay magsa-intersect sa Ox axis sa isang punto na may mga coordinate (a,0,0), Oy - (0,b,0), at Oz - (0,0,c) .

Isinasaalang-alang ang equation na x/a + y/b + z/c = 1, madaling makitang kinakatawan ang pagkakalagay ng eroplano na nauugnay sa isang ibinigay na coordinate system.

Normal na mga coordinate ng vector

Ang normal na vector n sa eroplano P ay may mga coefficient na mga coefficient ng pangkalahatang equation ng ibinigay na eroplano, iyon ay, n (A, B, C).

Upang matukoy ang mga coordinate ng normal na n, sapat na malaman ang pangkalahatang equation ng isang naibigay na eroplano.

Kapag ginagamit ang equation sa mga segment, na may anyong x/a + y/b + z/c = 1, gayundin kapag ginagamit ang pangkalahatang equation, maaaring isulat ng isa ang mga coordinate ng anumang normal na vector ng isang naibigay na eroplano: (1 /a + 1/b + 1/ Kasama).

Kapansin-pansin na ang normal na vector ay nakakatulong upang malutas ang iba't ibang mga problema. Ang pinakakaraniwan ay mga gawain na binubuo sa pagpapatunay ng perpendicularity o parallelism ng mga eroplano, mga problema sa paghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano o mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano at mga linya.

Tingnan ang equation ng eroplano ayon sa mga coordinate ng punto at ang normal na vector

Ang isang non-zero vector n patayo sa isang partikular na eroplano ay tinatawag na normal (normal) para sa isang partikular na eroplano.

Ipagpalagay na sa coordinate space (rectangular coordinate system) ang Oxyz ay ibinibigay:

• punto Mₒ na may mga coordinate (xₒ,yₒ,zₒ);
• zero vector n=A*i+B*j+C*k.

Kinakailangang bumuo ng isang equation para sa isang eroplano na dadaan sa puntong Mₒ patayo sa normal na n.

Sa espasyo, pipili tayo ng anumang di-makatwirang punto at tinutukoy ito ng M (x y, z). Hayaang ang radius vector ng anumang punto M (x, y, z) ay r=x*i+y*j+z*k, at ang radius vector ng point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Ang puntong M ay mapapabilang sa ibinigay na eroplano kung ang vector MₒM ay patayo sa vector n. Sinusulat namin ang kondisyon ng orthogonality gamit ang scalar product:

[MₒM, n] = 0.

Dahil MₒM \u003d r-rₒ, ang vector equation ng eroplano ay magiging ganito:

Ang equation na ito ay maaaring kumuha ng ibang anyo. Upang gawin ito, ang mga katangian ng scalar na produkto ay ginagamit, at ang kaliwang bahagi ng equation ay binago. = - . Kung tinukoy bilang c, kung gayon ang sumusunod na equation ay makukuha: - c \u003d 0 o \u003d c, na nagpapahayag ng pare-pareho ng mga projection sa normal na vector ng radius vectors ng mga ibinigay na punto na kabilang sa eroplano.

Ngayon ay maaari mong makuha ang coordinate form ng pagsulat ng vector equation ng aming eroplano = 0. Dahil r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, at n = A*i+B *j+C*k, mayroon kaming:

Lumalabas na mayroon tayong equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa normal na n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tingnan ang equation ng eroplano ayon sa mga coordinate ng dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano

Tinutukoy namin ang dalawang arbitraryong puntos na M′ (x′,y′,z′) at M″ (x″,y″,z″), pati na rin ang vector a (a′,a″,a‴).

Ngayon ay maaari na tayong bumuo ng isang equation para sa isang naibigay na eroplano, na dadaan sa magagamit na mga puntos na M′ at M″, pati na rin ang anumang punto M na may mga coordinate (x, y, z) na kahanay sa ibinigay na vector a.

Sa kasong ito, ang mga vectors na M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) at M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ay dapat magkatugma sa vector a=(a′,a″,a‴), na nangangahulugang (M′M, M″M, a)=0.

Kaya, ang aming equation ng isang eroplano sa kalawakan ay magiging ganito:

Uri ng equation ng isang eroplano na nagsasalubong sa tatlong puntos

Ipagpalagay na mayroon tayong tatlong puntos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), na hindi kabilang sa parehong tuwid na linya. Kinakailangang isulat ang equation ng eroplano na dumadaan sa ibinigay na tatlong puntos. Sinasabi ng teorya ng geometry na ang ganitong uri ng eroplano ay talagang umiiral, tanging ito lamang ang isa at walang katulad. Dahil ang eroplanong ito ay nagsalubong sa punto (x′, y′, z′), ang anyo ng equation nito ay magiging ganito:

Dito ang A, B, C ay iba sa zero sa parehong oras. Gayundin, ang ibinigay na eroplano ay nag-intersect sa dalawa pang punto: (x″,y″,z″) at (x‴,y‴,z‴). Kaugnay nito, ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat matugunan:

Ngayon ay maaari na tayong bumuo ng isang homogenous na sistema na may mga hindi kilalang u, v, w:

Sa aming kaso, ang x, y o z ay isang arbitrary na punto na nakakatugon sa equation (1). Dahil sa equation (1) at sa sistema ng mga equation (2) at (3), ang sistema ng mga equation na ipinahiwatig sa figure sa itaas ay nakakatugon sa vector N (A, B, C), na hindi mahalaga. Iyon ang dahilan kung bakit ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero.

Ang equation (1), na aming nakuha, ay ang equation ng eroplano. Ito ay eksaktong pumasa sa 3 puntos, at ito ay madaling suriin. Para magawa ito, kailangan nating palawakin ang ating determinant sa mga elemento sa unang hilera. Ito ay sumusunod mula sa mga umiiral na katangian ng determinant na ang ating eroplano ay sabay-sabay na nag-intersect sa tatlong unang ibinigay na puntos (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ibig sabihin, nalutas na natin ang gawaing itinakda sa harap natin.

Dihedral anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Ang dihedral angle ay isang spatial geometric figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na nagmumula sa isang tuwid na linya. Sa madaling salita, ito ang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng mga kalahating eroplanong ito.

Sabihin nating mayroon tayong dalawang eroplano na may mga sumusunod na equation:

Alam namin na ang mga vectors N=(A,B,C) at N¹=(A¹,B¹,C¹) ay patayo ayon sa ibinigay na mga eroplano. Kaugnay nito, ang anggulo φ sa pagitan ng mga vectors N at N¹ ay katumbas ng anggulo (dihedral), na nasa pagitan ng mga eroplanong ito. Ang scalar product ay may anyo:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tiyak dahil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Ito ay sapat na upang isaalang-alang na 0≤φ≤π.

Sa katunayan, ang dalawang eroplano na nagsalubong ay bumubuo ng dalawang (dihedral) na anggulo: φ 1 at φ 2 . Ang kanilang kabuuan ay katumbas ng π (φ 1 + φ 2 = π). Tulad ng para sa kanilang mga cosine, ang kanilang mga ganap na halaga ay pantay, ngunit naiiba sila sa mga palatandaan, iyon ay, cos φ 1 =-cos φ 2. Kung sa equation (0) palitan natin ang A, B at C ng mga numero -A, -B at -C, ayon sa pagkakabanggit, ang equation na makukuha natin ay tutukoy sa parehong eroplano, ang tanging anggulo φ sa equation cos φ= NN 1 // N||N 1 | ay papalitan ng π-φ.

Perpendicular plane equation

Ang mga eroplano ay tinatawag na patayo kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 degrees. Gamit ang materyal na nakabalangkas sa itaas, mahahanap natin ang equation ng isang eroplanong patayo sa isa pa. Sabihin nating mayroon tayong dalawang eroplano: Ax+By+Cz+D=0 at A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Maaari nating sabihin na sila ay magiging patayo kung cosφ=0. Nangangahulugan ito na NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallel plane equation

Ang parallel ay dalawang eroplano na hindi naglalaman ng mga karaniwang punto.

Ang kundisyon (ang kanilang mga equation ay kapareho ng sa nakaraang talata) ay ang mga vectors N at N¹, na patayo sa kanila, ay collinear. Nangangahulugan ito na ang mga sumusunod na kondisyon ng proporsyonalidad ay natutugunan:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Kung ang mga kondisyon ng proporsyonalidad ay pinalawig - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ito ay nagpapahiwatig na ang mga eroplanong ito ay magkasabay. Nangangahulugan ito na ang mga equation na Ax+By+Cz+D=0 at A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ay naglalarawan ng isang eroplano.

Distansya sa eroplano mula sa punto

Sabihin nating mayroon tayong eroplanong P, na ibinibigay ng equation (0). Kinakailangang hanapin ang distansya dito mula sa puntong may mga coordinate (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Upang gawin ito, kailangan mong dalhin ang equation ng eroplano P sa normal na anyo:

(ρ,v)=p (p≥0).

Sa kasong ito, ang ρ(x,y,z) ay ang radius vector ng ating point Q, na matatagpuan sa P, p ay ang haba ng perpendicular P, na pinakawalan mula sa zero point, v ay ang unit vector, na kung saan ay matatagpuan sa isang direksyon.

Ang pagkakaiba ρ-ρº ng radius vector ng ilang punto Q \u003d (x, y, z) na kabilang sa P, pati na rin ang radius vector ng isang naibigay na punto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ay tulad ng isang vector, ang ganap na halaga ng projection kung saan sa v ay katumbas ng distansya d, na dapat matagpuan mula Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) hanggang P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ngunit

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Kaya pala

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Kaya, makikita natin ang ganap na halaga ng nagresultang expression, iyon ay, ang nais na d.

Gamit ang wika ng mga parameter, nakukuha namin ang halata:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Kung ang ibinigay na punto Q 0 ay nasa kabilang panig ng eroplano P, pati na rin ang pinagmulan, kung gayon sa pagitan ng vector ρ-ρ 0 at v ay:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Sa kaso kapag ang punto Q 0, kasama ang pinagmulan, ay matatagpuan sa parehong bahagi ng P, kung gayon ang anggulo na nilikha ay talamak, iyon ay:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Bilang resulta, lumalabas na sa unang kaso (ρ 0 ,v)> р, sa pangalawa (ρ 0 ,v)<р.

Tangent plane at ang equation nito

Ang tangent plane sa ibabaw sa tangent point Mº ay ang eroplanong naglalaman ng lahat ng posibleng tangents sa mga curve na iginuhit sa puntong ito sa surface.

Sa form na ito ng surface equation F (x, y, z) \u003d 0, ang equation ng tangent plane sa tangent point Mº (xº, yº, zº) ay magiging ganito:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Kung tinukoy mo ang ibabaw sa tahasang anyo z=f (x, y), ang tangent plane ay ilalarawan ng equation:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersection ng dalawang eroplano

Sa coordinate system (parihaba) Oxyz ay matatagpuan, dalawang eroplano П′ at П″ ay ibinigay, na bumalandra at hindi nag-tutugma. Dahil ang anumang eroplano na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng isang pangkalahatang equation, ipagpalagay natin na ang P′ at P″ ay ibinibigay ng mga equation na A′x+B′y+C′z+D′=0 at A″x +B″y+ С″z+D″=0. Sa kasong ito, mayroon tayong normal na n′ (A′, B′, C′) ng P′ plane at ang normal na n″ (A″, B″, C″) ng P″ plane. Dahil ang aming mga eroplano ay hindi parallel at hindi nagtutugma, ang mga vector na ito ay hindi collinear. Gamit ang wika ng matematika, maaari nating isulat ang kundisyong ito tulad ng sumusunod: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Hayaang ang linya na nasa intersection ng P′ at P″ ay ipahiwatig ng titik a, sa kasong ito a = P′ ∩ P″.

a ay isang tuwid na linya na binubuo ng hanay ng lahat ng mga punto ng (karaniwang) eroplano П′ at П″. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa linya a ay dapat magkasabay na matugunan ang mga equation na A′x+B′y+C′z+D′=0 at A″x+B″y+C″z+D″= 0. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng punto ay magiging isang partikular na solusyon ng sumusunod na sistema ng mga equation:

Bilang resulta, lumalabas na ang (pangkalahatang) solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay tutukoy sa mga coordinate ng bawat isa sa mga punto ng tuwid na linya, na magsisilbing intersection point ng П′ at П″, at matukoy ang tuwid linya a sa coordinate system na Oxyz (parihaba) sa espasyo.