Temporal at nakatigil na Schrödinger equation
Ang istatistikal na interpretasyon ng mga wave ng de Broglie at ang kaugnayan ng kawalan ng katiyakan ng Heisenberg ay humantong sa konklusyon na ang equation ng paggalaw sa quantum mechanics, na naglalarawan sa paggalaw ng microparticles sa iba't ibang force field, ay dapat na isang equation kung saan ang mga naobserbahang eksperimento ng mga katangian ng wave ng mga particle ay magiging. sumunod. Ang pangunahing equation ay dapat na isang equation para sa wave function (x, y, z, t), dahil ito ang function na ito, o mas tiyak, ang quantity 2 , na tumutukoy sa posibilidad ng particle na nasa volume dV sa oras t , ibig sabihin. sa lugar na may mga coordinate x at x+dx, y at y+dy, z at z+dz. Dahil ang nais na equation ay dapat isaalang-alang ang mga katangian ng alon ng mga particle, dapat itong isang wave equation, katulad ng equation na naglalarawan ng mga electromagnetic wave.
Ang equation na ito ay postulated, at ang kawastuhan nito ay nakumpirma sa pamamagitan ng kasunduan sa karanasan ng mga resulta na nakuha sa tulong nito.
Basic equation ng non-relativistic quantum mechanics (1926)
4.1 Schrödinger time equation:
Ang equation ay wasto para sa mga non-relativistic na particle<< ,
kung saan ang (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) ay ang masa ng particle; - haka-haka na yunit; 
ay ang potensyal na function ng particle sa force field kung saan ito gumagalaw; 
ay ang nais na function ng wave; ∆ ay ang Laplace operator 
Mga kundisyon na ipinataw sa wave function:
Ang function ng wave ay dapat na may hangganan, isang halaga, at tuloy-tuloy.
Ang mga derivatives ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t ay dapat na tuluy-tuloy.
Ang function 2 ay dapat na integrable (ang kundisyong ito ay bumababa sa kondisyon ng normalisasyon para sa mga probabilidad).
4.2 Nakatigil na Schrödinger equation
Sa kaso ng isang nakatigil na patlang ng puwersa (function U=U(x, y, z) ay hindi tahasang umaasa sa oras at may kahulugan ng potensyal na enerhiya. Sa kasong ito, ang solusyon ng Schrödinger equation ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng dalawang function, ang isa ay function ng mga coordinate lamang, ang isa ay function lamang ng oras, at ang dependence sa oras ay ipinahayag ng factor. 
).
Pagkatapos ay ang wave function para sa mga nakatigil na estado (mga estado na may mga nakapirming halaga ng enerhiya) ay maaaring katawanin bilang:
Nakatigil na Schrödinger equation:
nakuha pagkatapos palitan ang function ng wave sa Schrödinger time equation at transformations (∆ ay ang Laplace operator, m- masa ng butil; - pinababang Planck constant ( = h/2π); E ay ang kabuuang enerhiya ng particle, U ay ang potensyal na enerhiya ng particle. Sa classical physics, ang dami (E–U) ay magiging katumbas ng kinetic energy ng particle. Sa quantum mechanics, dahil sa uncertainty relation, ang konsepto ng kinetic energy ay walang kahulugan. Narito ang potensyal na enerhiya U ay isang tampok panlabas na patlang ng puwersa kung saan gumagalaw ang butil. Ang halagang ito ay medyo tiyak. Ito rin ay isang function ng mga coordinate, sa kasong ito U =U(x,y,z)).
Ang pangunahing ideya ni Schrödinger ay ilipat ang mathematical analogy sa pagitan ng geometric optics at classical mechanics sa mga katangian ng alon ng liwanag at mga particle.
Nakukuha namin ang Schrödinger equation mula sa expression para sa wave function ng isang libreng electron. Isulat muli natin ito sa kumplikadong anyo.
Gamit ang kaugnayan ng dalas sa enerhiya, at ang numero ng alon na may momentum, nakukuha namin ang: 
.
Sa pangkalahatang kaso, ay ang kabuuang enerhiya ng particle, , ay ang kinetic energy, at ang enerhiya ng pakikipag-ugnayan.
Hanapin natin ang unang derivative patungkol sa at ang pangalawa patungkol sa coordinate ng function Y: (1), (2).
I-multiply namin ang equation (1) sa , at equation (2) sa (kaya, ang mga salik sa kanang bahagi ay magkakaroon ng dimensyon ng enerhiya):
, 
.
Idinagdag namin ang mga resultang equation:
.
Dahil , ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat sa anyo 
.
Ito ang Schrödinger equation. Nakuha ito para sa isang coordinate. Kung ito ay muling isinulat para sa 3 coordinate , pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpapakilala ng Laplace operator, sa wakas ay magkakaroon tayo ng
.
Ang Schrödinger equation ay hindi maaaring direktang hinango mula sa mga pangunahing batas ng klasikal na pisika. Ang Schrodinger equation ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang wave function sa isang arbitrary na sandali sa oras. Upang gawin ito, kailangan mong malaman ang pag-andar ng alon sa isang nakapirming punto sa oras, ang masa ng particle at ang enerhiya ng pakikipag-ugnayan ng particle sa field ng puwersa. Ginagawang posible ng found wave function na kalkulahin ang posibilidad na makahanap ng particle sa isang arbitrary point sa espasyo para sa anumang sandali ng oras.
Ang mga pangunahing katangian na dapat matugunan ng mga function ng wave ay ang mga solusyon ng Schrödinger equation:
1. Ang wave function ay linear, i.e. kung … ay mga solusyon ng equation, kung gayon ang kanilang linear na kumbinasyon ay isang solusyon.
2. Ang mga unang partial derivatives na may kinalaman sa mga coordinate ay linear
3. Ang wave function at ang spatial derivatives nito ay dapat na single-valued, may hangganan at tuluy-tuloy.
4. Tulad ng madalas nating ∞, ang halaga ng function ng wave ay dapat maging zero.
Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado.
Kung ang patlang ng puwersa kung saan gumagalaw ang inilarawan na particle ay nakatigil, kung gayon ang potensyal nito ay hindi tahasang nakasalalay sa oras, at ang function ay may kahulugan ng potensyal na enerhiya at nakasalalay lamang sa mga coordinate. Sa kasong ito, ang wave function ay maaaring katawanin bilang produkto ng dalawa. Ang isang function ay nakasalalay lamang sa , ang isa ay nakasalalay lamang sa oras :
Pinapalitan namin ang huling expression sa Schrödinger equation
Pagkatapos ng pagbabawas ng time factor at ilang elementarya na pagbabago, makukuha natin ang: 
(*).
Ito ang Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado. Kasama lang dito ang coordinate na bahagi ng wave function - . Kung ang huli ay natagpuan, pagkatapos ay ang kabuuang function ng wave ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-multiply ng coordinate na bahagi sa pamamagitan ng time factor .
Dahil ang probabilidad ay tinutukoy ng square ng wave function, at ang square ng complex value ay matatagpuan sa pamamagitan ng multiply sa complex conjugate, kung gayon ang sumusunod na ugnayan ay humahawak para sa stationary wave function:
Kaya, upang mahanap ang function ng wave para sa mga nakatigil na estado, kinakailangan upang malutas ang equation (*) at malaman ang kabuuang enerhiya .
Libreng paggalaw ng mga particle.
Sa panahon ng libreng paggalaw ng isang quantum particle, walang pwersang kumikilos dito, at ang potensyal na enerhiya nito ay maaaring katumbas ng zero. Hayaang lumipat ang butil sa direksyon , pagkatapos ay (*) ang anyo: 
.
Ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay isang function ng form 
, kung saan at ay mga pare-pareho. Kung papalitan natin ang nais na solusyon sa equation mismo, makukuha natin ang koneksyon sa pagitan ng enerhiya ng particle at ng dami:
Ang buong function ng wave, na isinasaalang-alang ang pagdepende sa oras para sa isang libreng particle, ay may anyo . Ito ay isang eroplanong monochromatic wave na may dalas at wavenumber. Mula noon , at , noon .
SCHROEDINGER EQUATION
AT ANG MGA ESPESYAL NA KASO NITO (ipinagpatuloy): ang pagdaan ng isang particle sa isang POTENSYAL NA HADLANG, Harmonic oscillator
Pagpasa ng isang particle sa pamamagitan ng isang potensyal na hadlang para sa klasikal na kaso, napag-isipan na natin sa LECTURE 7 BAHAGI 1 (tingnan ang Fig. 7.2). Isaalang-alang natin ngayon ang isang microparticle na ang kabuuang enerhiya ay mas mababa kaysa sa antas U potensyal na hadlang (Larawan 19.1). Sa klasikal na bersyon, sa kasong ito, imposible ang pagpasa ng isang butil sa hadlang. Gayunpaman, sa quantum physics, may posibilidad na ang particle ay makapasa. Bukod dito, hindi ito "tumalon" sa ibabaw nito, ngunit, bilang ito ay, "tumagas", gamit ang mga katangian ng alon nito. Samakatuwid, ang epekto ay tinatawag ding "tunneling". Para sa bawat lugar I, II, III isinusulat namin ang nakatigil na Schrödinger equation (18.3).
Para sa ako at III: 
, (19.1, a)
para sa II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, kung saan ang isang = const. Pagkatapos 
at y" = . Ang pagpapalit ng y" sa (19.1a) ay nagbibigay ng: Ang kinakailangang pangkalahatang solusyon para sa domain ako nakasulat bilang isang superposisyon
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
Sa kasong ito, ang paunang punto ng pagpapalaganap ng alon ay inililipat ng L, a AT 3 = 0 , dahil sa rehiyon III may dumadaan na alon.
Sa lugar ng II(barrier) pagpapalit y" sa (19.1b) ay nagbibigay
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
Ang posibilidad ng pagpasa ay nailalarawan koepisyent ng paghahatid- ang ratio ng intensity ng transmitted wave sa intensity ng insidente:
(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)
kung saan ang unang dalawa ay nangangahulugang "pananahi" ng mga pag-andar sa kaliwa at kanang mga hangganan ng hadlang, at ang pangatlo at ikaapat - ang kinis ng naturang paglipat. Ang pagpapalit ng mga function na y1, y2 at y3 sa (19.5), nakuha namin ang mga equation
Hatiin natin sila sa PERO 1 at tukuyin a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.
. (19.6)
I-multiply natin ang unang equation (19.6) sa ik at idagdag ito sa pangalawa. Kunin natin ang 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)
Ang pangalawang pares ng mga equation (19.6) ay ituturing bilang isang sistema ng dalawang equation na may mga hindi alam. a 2 at b 2.
Ang mga determinant ng sistemang ito ay:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,
saan e- qL(q+ik) 2 »0, dahil qL >> 1.
Samakatuwid https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, at upang mahanap ang module ng kumplikadong halaga a 3, i-multiply ang numerator at denominator ng resultang fraction sa ( q +ik)2. Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, nakukuha namin
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Karaniwan E/U~ 90% at ang buong koepisyent bago ang "e" ay nasa pagkakasunud-sunod ng isa. Samakatuwid, ang posibilidad ng isang particle na dumaan sa hadlang ay tinutukoy ng sumusunod na relasyon:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.
Nangangahulugan ito na sa E< U hindi malalampasan ng butil ang hadlang, ibig sabihin, walang epekto sa lagusan sa klasikal na pisika.
Ang epektong ito ay ginagamit sa pagsasanay sa engineering upang lumikha ng mga tunnel diode na malawakang ginagamit sa mga radio engineering device (tingnan ang BAHAGI 3, LECTURE 3).
Bilang karagdagan, naging posible na simulan ang isang thermonuclear fusion reaksyon sa ilalim ng mga kondisyon ng terrestrial, na nagaganap sa Araw sa ilalim ng karaniwang mga kondisyon para sa Araw - sa isang temperatura T ~ 109 K. Walang ganoong temperatura sa Earth, gayunpaman, dahil sa epekto ng tunnel, posible na simulan ang reaksyon sa isang temperatura T ~ 107 K, na nagaganap sa panahon ng pagsabog ng atomic bomb, na siyang ignition device para sa hydrogen bomb. Higit pa tungkol dito sa susunod na bahagi ng kurso.
Harmonic oscillator.Klasiko ang harmonic oscillator ay isinasaalang-alang na rin namin (LECTURES 1,2 PART 3). Ito, halimbawa, ay isang spring pendulum, ang kabuuang enerhiya nito E = mV 2/2 + kx 2/2. Sa teorya, ang enerhiya na ito ay maaaring tumagal sa isang tuluy-tuloy na serye ng mga halaga, simula sa zero.
Ang isang quantum harmonic oscillator ay isang microparticle oscillating ayon sa harmonic law, na nasa isang bound state sa loob ng isang atom o nucleus. Sa kasong ito, ang potensyal na enerhiya ay nananatiling klasiko, na nagpapakilala sa isang katulad na nababanat na puwersa sa pagpapanumbalik kx. Isinasaalang-alang na ang cyclic frequency 
nakakakuha kami ng potensyal na enerhiya https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)
Sa matematika, ang problemang ito ay mas mahirap kaysa sa mga nauna. Samakatuwid, kinukulong namin ang aming sarili sa pagsasabi kung ano ang magiging resulta. Tulad ng sa kaso ng one-dimensional na balon, nakukuha natin discrete spectrum ng eigenfunctions at eigenenergies, at ang isang energy eigenvalue ay tumutugma sa isang wave function: Sinabi ni EnÛ y n(walang pagkabulok ng mga estado, tulad ng sa kaso ng isang three-dimensional na balon). Ang probability density |yn|2 ay isa ring oscillating function, ngunit ang taas ng "humps" ay iba. Hindi na ito banal kasalanan2
, habang ang mas kakaibang Hermite polynomial hn(x). Ang wave function ay may anyo
, saan MULA SAn- depende sa n pare-pareho. Enerhiya eigenvalue spectrum:
, (19.10)
nasaan ang quantum number n = 0, 1, 2, 3 ... . Kaya, mayroon ding "zero energy" , sa itaas kung saan ang spectrum ng enerhiya ay bumubuo ng isang "stack", kung saan ang mga istante ay matatagpuan sa parehong distansya mula sa bawat isa (Larawan 19.2). Ang parehong figure ay nagpapakita ng katumbas na probability density |yn|2 para sa bawat antas ng enerhiya, pati na rin ang potensyal na enerhiya ng panlabas na field (may tuldok na parabola).
Ang pagkakaroon ng isang non-zero minimum na posibleng enerhiya ng isang oscillator ay may malalim na kahulugan. Nangangahulugan ito na ang mga oscillations ng microparticle ay hindi hihinto hindi kailanman, na nangangahulugan naman na ang absolute zero na temperatura ay hindi matamo.
1., Bursian physics: Isang kurso ng mga lektura na may suporta sa computer: Proc. allowance para sa mga mag-aaral. mas mataas aklat-aralin mga institusyon: Sa 2 volume - M .: VLADOS-PRESS Publishing House, 2001.
Sa prinsipyo, walang espesyal, maaari silang matagpuan sa mga talahanayan at kahit na mga graph.
Para sa mga particle ng quantum world, iba pang mga batas ang nalalapat kaysa sa mga bagay ng classical mechanics. Ayon sa palagay ni de Broglie, ang mga micro-object ay may mga katangian ng parehong mga particle at wave - at, sa katunayan, kapag ang isang electron beam ay nakakalat sa isang butas, ang diffraction ay sinusunod, na katangian ng mga wave.
Samakatuwid, hindi natin maaaring pag-usapan ang tungkol sa paggalaw ng mga quantum particle, ngunit tungkol sa posibilidad na ang particle ay nasa isang partikular na punto sa isang tiyak na punto ng oras.
Ano ang naglalarawan sa Schrödinger equation
Ang equation ng Schrödinger ay inilaan upang ilarawan ang mga tampok ng paggalaw ng mga bagay na quantum sa mga larangan ng panlabas na puwersa. Kadalasan ang isang particle ay gumagalaw sa isang force field na hindi nakadepende sa oras. Para sa kasong ito, ang nakatigil na Schrödinger equation ay nakasulat:
Sa ipinakita na equation, ang m at E ay, ayon sa pagkakabanggit, ang enerhiya ng particle sa force field, at ang U ay ang enerhiya ng field na ito. 
ay ang Laplace operator. - Ang pare-pareho ng Planck, katumbas ng 6.626 10 -34 J s.
(tinatawag din itong probability amplitude, o psi-function) - ito ang function na nagbibigay-daan sa iyong malaman kung saan sa espasyo ang aming micro-object ay pinaka-malamang na naroroon. Ang pisikal na kahulugan ay hindi ang function mismo, ngunit ang parisukat nito. Ang posibilidad na ang particle ay nasa isang elementary volume ay:
Samakatuwid, posible na makahanap ng isang function sa isang may hangganan na dami na may posibilidad:
Dahil ang psi-function ay isang posibilidad, hindi ito maaaring mas mababa sa zero o lumampas sa isa. Ang kabuuang posibilidad na makahanap ng isang particle sa isang walang katapusang dami ay ang kondisyon ng normalisasyon:
Para sa psi-function, gumagana ang prinsipyo ng superposition: kung ang isang particle o system ay maaaring nasa isang bilang ng mga quantum state, kung gayon ang isang estado na tinutukoy ng kanilang kabuuan ay posible rin para dito:
Ang nakatigil na equation ng Schrödinger ay may maraming mga solusyon, ngunit sa paglutas, dapat isaalang-alang ng isa ang mga kondisyon ng hangganan at pumili lamang ng mga wastong solusyon - ang mga may pisikal na kahulugan. Ang ganitong mga solusyon ay umiiral lamang para sa mga indibidwal na halaga ng enerhiya ng particle E, na bumubuo ng discrete energy spectrum ng particle.
Mga halimbawa ng paglutas ng problema
HALIMBAWA 1
| Mag-ehersisyo | Inilalarawan ng wave function ang distansya sa pagitan ng electron at ng hydrogen nucleus: r ay ang distansya sa pagitan ng electron at nucleus, a ay ang unang Bohr radius. Gaano kalayo ang malamang na ang electron mula sa nucleus? |
| Solusyon | 1) Ang pagpapahayag ng lakas ng tunog sa mga tuntunin ng radius ng nucleus, nakita namin ang posibilidad na ang elektron ay nasa loob ng isang tiyak na distansya mula sa nucleus: 2) Ang posibilidad na ang elektron ay nasa loob ng elementarya na "singsing" dr:
3) Upang mahanap ang pinaka-malamang na distansya, makikita natin mula sa huling expression: Ang paglutas ng equation na ito, makakakuha tayo ng r = a - ang pinaka-malamang na distansya sa pagitan ng electron at ng nucleus. |
| Sagot | r = a - na may pinakamataas na posibilidad na ang nucleus ay matatagpuan sa layo ng unang Bohr radius mula sa nucleus. |
HALIMBAWA 2
| Mag-ehersisyo | Hanapin ang mga antas ng enerhiya ng isang particle sa isang napakalalim na potensyal na balon. |
| Solusyon | Hayaang gumalaw ang particle sa x-axis. Lapad ng hukay - l. Binibilang namin ang enerhiya mula sa ilalim ng balon at inilalarawan ito gamit ang function: Sinusulat namin ang one-dimensional na nakatigil na Schrödinger equation:
Isaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan. Dahil naniniwala kami na ang butil ay hindi maaaring tumagos sa mga dingding, kung gayon sa labas ng balon = 0. Sa hangganan ng balon, ang psi-function ay katumbas din ng zero: Sa balon, ang potensyal na enerhiya ay U=0. Pagkatapos ang Schrödinger equation na isinulat para sa balon ay pasimplehin:
Sa anyo, ito ang DE ng isang harmonic oscillator: |
Ang paggalaw ng mga microparticle sa iba't ibang mga patlang ng puwersa ay inilalarawan sa loob ng balangkas ng nonrelativistic quantum mechanics gamit ang Schrödinger equation, kung saan sinusunod ang eksperimentong naobserbahang mga katangian ng alon ng mga particle. Ang equation na ito, tulad ng lahat ng pangunahing equation ng physics, ay hindi hinango, ngunit postulated. Ang kawastuhan nito ay nakumpirma sa pamamagitan ng kasunduan sa pagitan ng mga resulta ng pagkalkula at eksperimento. Ang Schrödinger wave equation ay may sumusunod na pangkalahatang anyo:
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
kung saan ħ = h / 2π, h = 6.623∙10 -34 J ∙ s - pare-pareho ng Planck;
m ay ang masa ng butil;
∆ - Laplace operator (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - nais na function ng wave;
Ang U (x, y, z, t) ay ang potensyal na function ng particle sa force field kung saan ito gumagalaw;
ako ang imaginary unit.
Ang equation na ito ay may solusyon lamang sa ilalim ng mga kondisyong ipinataw sa wave function:
- ψ (x, y, z, t) ay dapat na may hangganan, single-valued, at tuluy-tuloy;
- ang mga unang derivatives nito ay dapat na tuloy-tuloy;
- function | ψ | 2 ay dapat na integrable, na sa pinakasimpleng mga kaso ay bumababa sa normalisasyon na kondisyon para sa mga probabilidad.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
kung saan ang ψ = ψ (x, y, z) ay ang wave function ng mga coordinate lamang;
Ang E ay ang parameter ng equation - ang kabuuang enerhiya ng particle.
Para sa equation na ito, ang mga solusyon lamang na ipinahayag ng mga regular na function ψ (tinatawag na eigenfunctions) na nagaganap lamang para sa ilang mga halaga ng parameter E, na tinatawag na energy eigenvalue, ay may tunay na pisikal na kahulugan. Ang mga halagang ito ng E ay maaaring bumuo ng alinman sa isang tuluy-tuloy o isang discrete na serye, i.e. parehong tuloy-tuloy at discrete na spectrum ng enerhiya.
Para sa anumang microparticle sa pagkakaroon ng Schrödinger equation ng uri (8.2), ang problema ng quantum mechanics ay nabawasan sa paglutas ng equation na ito, i.e. paghahanap ng mga halaga ng mga function ng wave ψ = ψ (x, y, z) na tumutugma sa eigenenergy spectrum E. Susunod, ang probability density | ψ | 2 , na tumutukoy sa quantum mechanics ang posibilidad na makahanap ng particle sa isang unit volume sa kapitbahayan ng isang punto na may mga coordinate (x, y, z).
Ang isa sa mga pinakasimpleng kaso ng paglutas ng Schrödinger equation ay ang problema ng pag-uugali ng isang particle sa isang one-dimensional na hugis-parihaba na "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader". Ang nasabing "hukay" para sa isang particle na gumagalaw lamang sa kahabaan ng X axis ay inilalarawan ng isang potensyal na enerhiya ng anyo
kung saan ang l ay ang lapad ng "hukay", at ang enerhiya ay sinusukat mula sa ibaba nito (Larawan 8.1).
Ang Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado sa kaso ng isang one-dimensional na problema ay maaaring isulat bilang:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Dahil sa ang katunayan na ang "mga pader ng hukay" ay walang katapusang mataas, ang butil ay hindi tumagos sa kabila ng "hukay". Ito ay humahantong sa mga kundisyon sa hangganan:
ψ (0) = ψ (l) = 0
Sa loob ng "pit" (0 ≤ x ≤ l), ang equation (8.4) ay bumababa sa:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
kung saan ang k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Ang solusyon ng equation (8.7), na isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan (8.5), sa pinakasimpleng kaso ay may anyo:
ψ (x) = A ∙ kasalanan (kx)
kung saan k = (n ∙ π)/ l
para sa mga integer na halaga ng n.
Mula sa mga expression (8.8) at (8.10) ito ay sumusunod na
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
mga. ang enerhiya ng mga nakatigil na estado ay nakasalalay sa isang integer n (tinatawag na quantum number) at may ilang mga discrete na halaga, na tinatawag na mga antas ng enerhiya.
Dahil dito, ang isang microparticle sa isang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader" ay maaari lamang sa isang tiyak na antas ng enerhiya E n , i.e. sa discrete quantum states n.
Ang pagpapalit ng expression (8.10) sa (8.9) ay makikita natin ang eigenfunctions
ψ n (x) = A ∙ kasalanan (nπ / l) ∙ x
Ang integration constant A ay matatagpuan mula sa quantum mechanical (probabilistic) normalization condition
na para sa kasong ito ay maaaring isulat bilang:
Saan, bilang isang resulta ng pagsasama, nakukuha namin ang А = √ (2 / l) at pagkatapos ay mayroon kaming
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ kasalanan (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Ang mga graph ng function na ψ n (x) ay walang pisikal na kahulugan, habang ang mga graph ng function | ψ n | 2 ay nagpapakita ng distribusyon ng probability density ng pag-detect ng particle sa iba't ibang distansya mula sa "walls of the pit" (Fig. 8.1). Ang mga graph lamang na ito (pati na rin ang ψ n (x) - para sa paghahambing) ay pinag-aaralan sa gawaing ito at malinaw na ipinapakita na ang mga ideya tungkol sa mga tilapon ng butil sa quantum mechanics ay hindi mapagkakatiwalaan.
Mula sa expression (8.11) sumusunod na ang pagitan ng enerhiya sa pagitan ng dalawang magkatabing antas ay katumbas ng
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Mula dito makikita na para sa mga microparticle (tulad ng isang electron) na may malalaking sukat ng "well" (l≈ 10 -1 m), ang mga antas ng enerhiya ay napakalapit na ang pagitan na bumubuo sila ng halos tuluy-tuloy na spectrum. Ang ganitong estado ay nangyayari, halimbawa, para sa mga libreng electron sa isang metal. Kung ang mga sukat ng "hukay" ay naaayon sa mga atomic (l ≈ 10 -10 m), kung gayon ang isang discrete spectrum ng enerhiya (line spectrum) ay nakuha. Ang mga uri ng spectra ay maaari ding pag-aralan sa gawaing ito para sa iba't ibang microparticle.
Ang isa pang kaso ng pag-uugali ng microparticles (pati na rin ang microsystems - pendulums), na madalas na nakatagpo sa pagsasanay (at isinasaalang-alang sa gawaing ito), ay ang problema ng isang linear harmonic oscillator sa quantum mechanics.
Tulad ng nalalaman, ang potensyal na enerhiya ng isang one-dimensional na harmonic oscillator na may mass m ay katumbas ng
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
kung saan ang ω 0 ay ang natural na dalas ng oscillation ng oscillator ω 0 = √ (k / m);
k - koepisyent ng pagkalastiko ng oscillator.
Ang dependence (8.17) ay may anyo ng isang parabola, i.e. Ang "potensyal na balon" sa kasong ito ay parabolic (Larawan 8.2).
Ang quantum harmonic oscillator ay inilalarawan ng Schrödinger equation (8.2), na isinasaalang-alang ang expression (8.17) para sa potensyal na enerhiya. Ang solusyon sa equation na ito ay nakasulat bilang:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
kung saan ang N n ay isang pare-parehong normalizing factor depende sa integer n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
Ang H n (x) ay isang polynomial ng degree n, ang mga coefficient nito ay kinakalkula gamit ang isang recursive formula para sa iba't ibang integer n.
Sa teorya ng mga differential equation, mapapatunayan ng isa na ang Schrödinger equation ay may solusyon (8.18) para lamang sa mga energy eigenvalues:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
kung saan ang n = 0, 1, 2, 3... ay ang quantum number.
Nangangahulugan ito na ang enerhiya ng isang quantum oscillator ay maaaring tumagal lamang ng mga discrete value, i.e. ay quantized. Para sa n = 0, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 ay nagaganap, i.e. enerhiya ng zero oscillations, na tipikal para sa mga quantum system at direktang bunga ng uncertainty relation.
Gaya ng ipinapakita ng detalyadong solusyon ng Schrödinger equation para sa isang quantum oscillator, ang bawat energy eigenvalue sa iba't ibang n ay may sariling wave function, dahil ang patuloy na normalizing factor ay nakasalalay sa n
at gayundin ang H n (x) ay isang Chebyshev-Hermite polynomial ng degree n.
Bukod dito, ang unang dalawang polynomial ay pantay:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Ang anumang kasunod na polynomial ay nauugnay sa kanila sa pamamagitan ng sumusunod na recursive formula:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Ginagawang posible ng Eigenfunctions ng uri (8.18) na mahanap para sa isang quantum oscillator ang probability density ng paghahanap ng microparticle bilang | ψ n (x) | 2 at tuklasin ang pag-uugali nito sa iba't ibang antas ng enerhiya. Ang solusyon sa problemang ito ay mahirap dahil sa pangangailangang gumamit ng recursive formula. Ang problemang ito ay matagumpay na malulutas lamang sa paggamit ng isang computer, na ginagawa sa kasalukuyang gawain.
