Pinagmulan ng Quest: Desisyon 5346.-13. OGE 2016 Mathematics, I.V. Yashchenko. 36 na pagpipilian.
Gawain 11. Sa trapezoid ABCD, alam natin na AB = CD, anggulo BDA = 54°, at anggulo BDC = 33°. Maghanap ng anggulo ABD. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Solusyon.
Given isang isosceles trapezoid na may mga gilid AB=CD. Dahil ang mga anggulo sa mga base ng naturang trapezoid ay pantay, mayroon tayo na at . Hanapin natin ang halaga ng mga anggulo A at D. Makikita mula sa figure na ang anggulo D (at kaya anggulo A) ay katumbas ng:
Ngayon isaalang-alang ang tatsulok na ABD, kung saan ang mga anggulo A at BDA ay kilala, at dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo sa tatsulok ay 180 degrees, nakita namin ang ikatlong anggulo ABD:
Sagot: 39.
Gawain 12. Tatlong puntos ang minarkahan sa 1x1 checkered na papel: A, B at C. Hanapin ang distansya mula sa punto A hanggang sa linya ng BC.
Solusyon.
Ang distansya mula sa punto A hanggang sa linya ng BC ay ang normal na ibinaba mula sa punto A hanggang sa gilid ng BC (pulang linya sa figure). Ang haba ng normal na ito ay 3 mga cell, iyon ay, 3 mga yunit.
Sagot: 3.
Gawain 13. Alin sa mga sumusunod na pahayag ang tama?
1) Ang lugar ng isang tatsulok ay mas mababa kaysa sa produkto ng dalawang panig nito.
2) Ang anggulo na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng katumbas na gitnang anggulo batay sa parehong arko.
3) Sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang linya na patayo sa linyang ito.
Solusyon.
1) Totoo. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng taas at kalahati ng base ng tatsulok, at ang lahat ng mga dami na ito ay mas mababa kaysa sa haba ng alinman sa dalawang panig nito.
Teorama 1 (Teorama ni Thales). Ang mga parallel na linya ay pumutol ng mga proporsyonal na segment sa mga linyang nagsasalubong sa kanila (Larawan 1).
Kahulugan 1 . Dalawang tatsulok (Larawan 2) ay tinatawag na magkatulad kung ang kanilang mga kaukulang panig ay proporsyonal.
Teorama 2 (unang tanda ng pagkakatulad). Kung ang anggulo ng unang tatsulok ay katumbas ng anggulo ng pangalawang tatsulok, at ang mga gilid ng mga tatsulok na katabi ng mga anggulo na ito ay proporsyonal, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad (tingnan ang Fig. 2).
Teorama 3 (pangalawang tanda ng pagkakatulad). Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay, ayon sa pagkakabanggit, sa dalawang anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad (Larawan 3).
Teorama 4 (Teorama ni Menelaus). Kung ang ilang linya ay nagsalubong sa mga gilid ng AB at BC ng tatsulok na ABC sa mga puntong X at Y, ayon sa pagkakabanggit, at ang pagpapatuloy ng panig AC ay nasa puntong Z (Larawan 4), kung gayon
Teorama 5. Hayaang iguhit ang mga taas AA1 at CC1 sa isang acute-angled triangle ABC (Larawan 5). Pagkatapos ang mga tatsulok na A1 BC1 at ABC ay magkatulad, at ang koepisyent ng pagkakapareho ay katumbas ng cos ∠B.
Lemma 1. Kung ang panig AC at DF ng mga tatsulok na ABC at DEF ay nasa parehong linya o sa magkatulad na linya (Larawan 6), kung gayon
Lemma 2. Kung ang dalawang tatsulok ay may isang karaniwang panig na AC (Larawan 7), kung gayon
Lemma 3. Kung ang mga tatsulok na ABC at AB1 C1 ay may isang karaniwang anggulo A, kung gayon
Lemma 4. Ang mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.
Mga patunay ng ilang theorems
Katibayan ng Theorem 4
. Gumuhit ng linya sa punto C na kahanay ng linya AB hanggang sa mag-intersect ito sa linya XZ sa punto K (Larawan 9). Kailangan nating patunayan iyon
Isaalang-alang ang dalawang pares ng magkatulad na tatsulok:
Ang pagpaparami ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng termino, makukuha natin ang: 
Q.E.D.
Katibayan ng Theorem 5. Patunayan natin ang pagkakatulad ng mga tatsulok na A1 BC1 at ABC gamit ang unang pagsubok ng pagkakatulad. Dahil ang dalawang tatsulok na ito ay may isang karaniwang anggulo B, sapat na upang patunayan iyon
Ngunit ito ay sumusunod mula sa katotohanan na mula sa kanang tatsulok ABA1, ngunit mula sa kanang tatsulok CBC1. Sa kahabaan ng paraan, ang pangalawang bahagi ng teorama ay napatunayan din.
Pagtugon sa suliranin
Gawain 1. Ibinigay ang isang trapezoid ABCD, at ito ay kilala na BC = a at AD = b. Parallel sa mga base nito na BC at AD, ang isang tuwid na linya ay iginuhit na nag-intersect sa gilid AB sa punto P, dayagonal AC sa punto L, dayagonal BD sa punto R, at gilid CD sa punto Q (Fig. 10). Ito ay kilala na PL = LR. Hanapin ang P.Q.
Solusyon. Patunayan muna natin na PL = RQ. Isaalang-alang ang dalawang pares ng magkatulad na tatsulok: 
Ayon sa Thales theorem, mayroon tayong:
Ipahiwatig natin ngayon ang PL = LR = RQ = x at isaalang-alang muli ang dalawang pares ng magkatulad na tatsulok: 
Mayroon kaming susunod:
Ibig sabihin,
Sagot:
Gawain 2. Sa tatsulok na ABC, ang anggulo A ay 45° at ang anggulo C ay talamak. Mula sa midpoint N ng side BC ang perpendicular NM ay ibinaba sa gilid AC (Fig. 11). Ang mga lugar ng triangles NMC at ABC ay magkakaugnay ayon sa pagkakabanggit bilang 1: 8. Hanapin ang mga anggulo ng triangle ABC.
Solusyon. Hayaang ang BH ay ang taas na bumaba mula sa vertex B hanggang sa gilid AC.
Dahil ang NM ay ang midline ng tatsulok na BHC, kung gayon ang S∆BHC = 4S∆NMC .
Ngunit, ayon sa kondisyon ng problema, S∆ABC = 8S∆NMC .
Samakatuwid, S∆ABC = 2S∆BHC , kaya S∆ABH = S∆BHC . Kaya AH = HC,
kung saan ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Sagot: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Gawain 3. Ibinigay ang isang tatsulok na ABC kung saan ang anggulo B ay katumbas ng 30°, AB = 4 at BC = 6. Ang bisector ng anggulo B ay nagsasalubong sa gilid ng AC sa puntong D (Fig. 12). Hanapin ang lugar ng tatsulok na ABD.
Solusyon. Ilapat natin ang interior angle bisector theorem sa triangle ABC:
Ibig sabihin,
Sagot:
Ang artikulo ay nai-publish sa suporta ng kumpanya ng World of Flowers. Pakyawan at tingi na bodega ng kasal at ritwal na mga kalakal, mga artipisyal na bulaklak sa Krasnodar. Mga accessories sa kasal - mga kandila, poster, baso, ribbons, imbitasyon at marami pa. Mga gamit sa ritwal - tela, damit, accessories. Maaari kang matuto nang higit pa tungkol sa kumpanya, tingnan ang katalogo ng produkto, mga presyo at mga contact sa website, na matatagpuan sa: flowersworld.su.
Gawain 4. Sa pamamagitan ng midpoint M ng gilid BC ng parallelogram ABCD, na ang lugar ay 1, at ang vertex A, isang linya ang iguguhit na nagsa-intersect sa dayagonal na BD sa punto O (Larawan 13). Hanapin ang lugar ng quadrilateral OMCD.
Solusyon. Hahanapin namin ang lugar ng quadrilateral OMCD bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng triangles BCD at BOM. Ang lugar ng triangle BCD ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parallelogram ABCD at katumbas ng Hanapin ang lugar ng triangle BOM. Meron kami:
∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒ 
Dagdag pa:
Ibig sabihin, 
Sagot:
Gawain 5. Ang isang right triangle MNC ay nakasulat sa isang right isosceles triangle ABC na may tamang anggulo sa vertex B upang ang anggulo ng MNC ay tama, ang point N ay nasa AC, at ang point M ay nasa gilid ng AB (Fig. 14). Sa anong ratio dapat ituro N hatiin ang hypotenuse AC upang ang lugar ng tatsulok na MNC ay katumbas ng lugar ng tatsulok na ABC?
Solusyon. Maaari nating ipagpalagay na AB = 1. Ipahiwatig ang AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,
Meron kami: 
Sagot:
Gawain 6. Sa trapezoid ABCD, ang dayagonal AC ay patayo sa gilid ng CD, at ang dayagonal na DB ay patayo sa gilid ng AB. Ang mga extension ng mga gilid AB at DC ay bumalandra sa punto K, na bumubuo ng isang tatsulok na AKD na may isang anggulo ng 45 ° sa tuktok K (Larawan 15). Ang lugar ng trapezoid ABCD ay katumbas ng S. Hanapin ang lugar ng tatsulok na AKD.
Solusyon. Ayon sa Theorem 5, ang tatsulok na BKC ay katulad ng tatsulok na AKD na may koepisyent ng pagkakatulad 
Samakatuwid, ang mga lugar ng mga tatsulok na ito ay nasa ratio bilang 1: 2, na nangangahulugang ang lugar ng trapezoid ABCD ay katumbas ng lugar ng tatsulok na BKC. Samakatuwid, ang lugar ng tatsulok na AKD ay 2S.
Sagot: 2S.
Gawain 7. Sa tatsulok na ABC, ang punto K ay kinuha sa gilid ng AB upang ang AK: KB = 1: 2, at ang punto L ay kinuha sa gilid ng BC upang ang CL: LB = 2: 1. Hayaang ang Q ang intersection point ng mga linyang AL at CK (Larawan 16). Hanapin ang lugar ng tatsulok na ABC alam na ang lugar ng tatsulok na BQC ay 1.
Solusyon. Hayaan ang AK = x, BL = y. Pagkatapos KB = 2x,
LC = 2y, kaya AB = 3x at BC = 3y. Ilapat natin ang Menelaus theorem sa tatsulok na ABL at ang secant na KQ:
Gawain 8. Mula sa puntong M, na matatagpuan sa loob ng acute-angled triangle ABC, ang mga perpendicular ay ibinaba sa mga gilid (Larawan 17). Ang mga haba ng mga gilid at ang mga perpendicular ay bumaba sa kanila, ayon sa pagkakabanggit, ay pantay a at k, b at m, c at n. Kalkulahin ang ratio ng lugar ng tatsulok na ABC sa lugar ng isang tatsulok na ang mga vertices ay ang mga base ng mga patayo.
Solusyon. Ipinakilala namin ang karaniwang notasyon, iyon ay, tinutukoy namin ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok na ABC: BC = a, CA = b, AB = c; anggulo: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Ang mga base ng perpendicular na bumaba mula sa puntong M hanggang sa mga gilid ng BC, CA, at AB ay ilalarawan ng D, E, at F, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, ayon sa kondisyon ng problema, MD = k, ME = m, MF = n. Malinaw na ang anggulo ng EMF ay katumbas ng π - α, ang anggulo ng DMF ay katumbas ng π - β, ang anggulo ng DME ay katumbas ng π - γ at ang punto M ay matatagpuan sa loob ng tatsulok na DEF. Ang lugar ng tatsulok na DEF ay:
Ang lugar ng tatsulok na ABC ay:
Hanapin ang ratio ng mga lugar ng triangles DEF at ABC:
Dahil dito, 
Sagot: 
Gawain 9. Ang mga puntos na P at Q ay matatagpuan sa gilid ng BC ng tatsulok na ABC upang ang BP: PQ: QC = 1:2:3.
Hinahati ng Point R ang gilid AC ng tatsulok na ito sa paraang AR: RC = 1: 2 (Larawan 18). Ano ang ratio ng lugar ng quadrilateral PQST sa lugar ng tatsulok na ABC, kung saan ang S at T ay ang mga punto ng intersection ng linya BR na may mga linyang AQ at AP, ayon sa pagkakabanggit?
Solusyon. Ipahiwatig ang BP = x, AR = y; pagkatapos
PQ=2x, QC=3x, RC=2y. Kalkulahin natin kung anong bahagi ng lugar ng quadrilateral PQST ang lugar ng tatsulok na APQ, at samakatuwid ay ang lugar ng tatsulok na ABC. Upang gawin ito, kailangan namin ng mga relasyon kung saan ang mga puntos na S at T ay naghahati sa mga linyang AQ at AP, ayon sa pagkakabanggit. Ilapat natin ang Menelaus theorem sa tatsulok na ACQ at ang secant SR:
Katulad nito, ang paglalapat ng Menelaus theorem sa tatsulok na ACP at ang secant TR, nakukuha natin:
Dagdag pa: 
Sa kabilang banda, ang paglalapat ng lugar na lemma sa mga tatsulok na APQ at ABC, nakukuha natin
Sagot:
Gawain 10. Sa tatsulok na ABC, ang haba ng taas na BD ay katumbas ng 6, ang haba ng median CE ay katumbas ng 5, ang distansya mula sa punto ng intersection ng BD na may CE sa gilid AC ay katumbas ng 1 (Fig. 19). Hanapin ang haba ng gilid AB.
Solusyon. Hayaan ang puntong O ang punto ng intersection ng mga linyang BD at CE. Ang distansya mula sa puntong O hanggang sa gilid ng AC (na katumbas ng isa) ay ang haba ng segment na OD. Kaya, OD = 1 at OB = 5. Ilapat ang teorama ni Menelaus sa tatsulok na ABD at ang secant na OE:
Ang paglalapat ngayon ng theorem ng Menelaus sa tatsulok na ACE at ang secant OD, nakuha natin iyon
kung saan ang OE = 2CO, at isinasaalang-alang ang OE + CO = CE = 5
nakuha namin na Inilapat namin ang Pythagorean theorem sa kanang tatsulok na CDO:
Ibig sabihin, 
Sa wakas, isaalang-alang ang isang tamang tatsulok na ABD, kung saan ginagamit din namin ang Pythagorean theorem:
Sagot:
Gawain 11. Ang mga puntong C at D ay nasa segment AB, at ang punto C ay nasa pagitan ng mga punto A at D. Ang puntong M ay kinuha upang ang mga linyang AM at MD ay patayo, at ang mga linya ng CM at MB ay patayo din (Fig. 20). Hanapin ang lugar ng tatsulok na AMB kung ang anggulong CMD ay kilala na α at ang mga lugar ng mga tatsulok na AMD at CMB ay S1 at S2, ayon sa pagkakabanggit.
Solusyon. Tukuyin ang mga lugar ng mga tatsulok na AMB at CMD, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng
x at y (x > y). Tandaan na x + y = S1 + S2 . Ipakita natin ngayon na xy = S 1 S 2 sin 2 α. Talaga, 
Gayundin, 
Dahil ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, at sin ∠AMB =
= sinα. Ibig sabihin:
Kaya ang mga numerong x at y ay ang mga ugat ng quadratic equation
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
Ang mas malaking ugat ng equation na ito ay:
Sagot: 
Mga gawain para sa malayang solusyon
C-1. Sa isang tatsulok na ABC na ang lugar ay S, ang bisector CE at ang median na BD ay iginuhit, na nagsasalubong sa punto O. Hanapin ang lugar ng quadrilateral ADOE, alam na BC = a, AC = b.
C-2. Ang isang parisukat ay nakasulat sa isang isosceles triangle na ABC upang ang dalawa sa mga vertices nito ay nasa base ng BC, at ang dalawa pa ay nasa gilid ng triangle. Ang gilid ng isang parisukat ay nauugnay sa radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok, bilang
8: 5. Hanapin ang mga sulok ng tatsulok.
C-3. Sa parallelogram ABCD na may mga gilid AD = 5 at AB = 4, ang isang line segment na EF ay iginuhit na nagkokonekta sa punto E ng gilid BC na may punto F ng gilid CD. Pinili ang mga puntos E at F upang
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. Alam na ang intersection point M ng diagonal AC na may segment na FE ay nakakatugon sa kondisyon na MF: ME = 1: 4. Hanapin ang mga diagonal ng parallelogram.
C-4. Ang lugar ng trapezoid ABCD ay katumbas ng 6. Hayaan ang E ang punto ng intersection ng mga extension ng mga gilid ng trapezoid na ito. Sa pamamagitan ng punto E at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, isang tuwid na linya ang iginuhit na nagsa-intersect sa mas maliit na base BC sa punto P, ang mas malaking base AD - sa puntong Q. Ang punto F ay namamalagi sa segment na EC , at EF: FC = EP: EQ = 1: 3.
Hanapin ang lugar ng tatsulok na EPF.
C-5. Sa isang acute-angled triangle ABC (kung saan ang AB > BC) ay iginuhit ang taas ng AM at CN, ang point O ay ang sentro ng bilog na nakapaligid sa triangle ABC. Ito ay kilala na ang magnitude ng anggulo ABC ay β, at ang lugar ng quadrilateral NOMB ay S. Hanapin ang haba ng gilid AC.
C-6. Sa tatsulok na ABC, ang point K sa gilid AB at point M sa gilid AC ay matatagpuan sa paraang ang mga relasyong AK: KB = 3: 2 at AM: MC = 4: 5. Sa anong ratio ang intersection point ng mga linya KC at BM divide segment BM?
C-7. Ang punto D ay kinuha sa loob ng kanang tatsulok ABC (anggulo B ay tama) upang ang mga lugar ng mga tatsulok na ABD at BDC ay tatlo at apat na beses na mas mababa kaysa sa lugar ng tatsulok na ABC. Ang mga haba ng mga segment AD at DC ay katumbas ng a at c, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng segment na BD.
S-8. Sa isang matambok na may apat na gilid ABCD sa gilid ng CD, ang isang punto E ay kinuha upang ang segment na AE ay hatiin ang may apat na gilid ABCD sa isang rhombus at isang isosceles triangle, ang ratio ng mga lugar na kung saan ay katumbas ng Hanapin ang halaga ng anggulo BAD.
C-9. Ang taas ng trapezoid ABCD ay 7, at ang mga haba ng mga base AD at BC ay 8 at 6, ayon sa pagkakabanggit. Sa pamamagitan ng punto E, na nakahiga sa gilid ng CD, isang linya BE ang iguguhit, na naghahati sa dayagonal AC sa punto O in relation to AO: OC = 3: 2. Hanapin ang area triangle OEC.
S-10. Ang mga puntos na K, L, M ay naghahati sa mga gilid ng matambok na may apat na gilid ABCD na may paggalang sa AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. Alam na ang radius ng bilog na nakapaligid sa tatsulok na KLM ay katumbas ng KL = 4, LM = 3 at KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. Ang mga extension ng mga gilid AD at BC ng isang matambok quadrilateral ABCD ay nagsalubong sa punto M, at ang mga extension ng mga gilid AB at CD ay nagsalubong sa punto O. Ang Segment MO ay patayo sa bisector ng anggulong AOD. Hanapin ang area ratio ng triangles AOD at BOC kung OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. Sa tatsulok na ABC, ang anggulo sa vertex A ay 30°, at ang mga taas na BD at CE ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang ratio ng radii ng mga bilog na nakapaligid sa mga tatsulok na DEO at ABC.
S-13. Ang mga segment na nag-uugnay sa mga base ng mga altitude ng isang acute-angled triangle ay 5, 12 at 13. Hanapin ang radius ng bilog na nakapaligid sa tatsulok.
S-14. Sa isang acute-angled triangle ABC, ang point M ay kinukuha sa taas AD, at ang point N ay kinuha sa taas na BP, upang ang mga anggulo ng BMC at ANC ay tama. Ang distansya sa pagitan ng mga puntong M at N ay isang ∠MCN = 30°.
Hanapin ang bisector CL ng tatsulok na CMN.
S-15. Ang mga puntos na D, E at F ay kinuha sa mga gilid ng AB, BC at AC ng tatsulok na ABC, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga segment na AE at DF ay dumadaan sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa tatsulok na ABC, at ang mga linya ng DF at BC ay magkatulad. Hanapin ang haba ng segment BE at ang perimeter ng triangle ABC kung BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. Sa tatsulok na ABC, ang panggitnang guhit na BB" ay nag-intersect sa median na AA" sa puntong O.
Hanapin ang ratio ng area ng triangle BOA" sa area ng triangle AOB" kung AB:AC = 1:4.
S-17. Sa tatsulok na ABC, ang punto D ay nasa AC, at AD = 2DC. Ang Point E ay nasa BC. Ang lugar ng tatsulok na ABD ay 3, ang lugar ng tatsulok na AED ay 1. Ang mga segment na AE at BD ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang ratio ng mga lugar ng triangles ABO at OED.
S-18. Sa parallelogram ABCD, ang mga puntong E at F ay namamalagi ayon sa pagkakabanggit sa mga gilid ng AB at BC, ang M ay ang punto ng intersection ng mga linyang AF at DE, na may AE = 2BE at BF = 3CF. Hanapin ang ratio AM:MF.
S-19. Sa parihaba ABCD sa mga gilid
AB at AD, ang mga puntos na E at F ay pinili, ayon sa pagkakabanggit, upang ang AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. Hanapin ang EO: OD, kung saan ang O ay ang intersection point ng mga segment na DE at CF.
S-20. Ang punto N ay kinuha sa gilid ng PQ ng tatsulok na PQR, at ang punto L ay kinuha sa gilid ng PR, at
NQ=LR. Ang intersection point ng mga segment na QL at NR ay naghahati sa segment na QL sa ratio na m: n, na binibilang mula sa puntong Q. Hanapin ang ratio PN: PR.
S-21. Ang mga punto A at B ay kinukuha sa mga gilid ng isang matinding anggulo na may vertex O. Ang punto M ay kinukuha sa ray OB sa layong 3OA mula sa linyang OA, at ang punto N ay kinuha sa ray OA sa layo na 3OB mula sa linyang OB. Ang radius ng circumcircle ng triangle AOB ay 3. Hanapin ang MN.
S-22. Sa isang matambok na pentagon ABCDE, ang mga diagonal na BE at CE ay ang mga bisector ng vertex angle B at C, ayon sa pagkakabanggit, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Hanapin ang lugar ng pentagon ABCDE.
S-23. Sa mga base AD at BC ng trapezoid ABCD, ang mga parisukat na ADEF at BCGH ay itinayo, na matatagpuan sa labas ng trapezoid. Ang mga dayagonal ng trapezoid ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng segment AD kung BC = 2, GO = 7, at GF = 18.
S-24. Sa tatsulok na ABC alam natin na AB = BC at anggulo BAC ay 45°. Ang linyang MN ay nag-intersect sa gilid AC sa punto M at gilid BC sa punto N, na may AM = 2MC at ∠NMC = 60°. Hanapin ang ratio ng area ng triangle MNC sa area ng quadrilateral ABNM.
S-25. Sa tatsulok na ABC, ang punto N ay kinuha sa gilid AB, at ang punto M ay kinuha sa gilid AC. Ang mga segment na CN at BM ay nagsalubong sa punto O, AN: NB = 2: 3,
BO: OM = 5: 2. Hanapin ang CO: ON.
Trapeze sa pagsusulit. Isang pangunahing antas ng.
Mga gawain mula sa bukas na bangko ng mga gawain sa FIPI.
Gawain 1.Sa trapezoid ABCD, alam natin na AB=CD,∠ BDA=54° at ∠ BDC=23°. Maghanap ng anggulo ABD. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Solusyon.Sa trapezoid na ito, ang anggulo A DC sa ibabang base ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulo A D V at V DC , ay katumbas ng 54 + 23 = 77 degrees. Dahil ang trapezoid ay isosceles, ang mga anggulo sa ibabang base ay pantay at ang anggulo BA D ay 77 degrees din. Kabuuan ng mga anggulo VA D at AB D katumbas ng 180 degrees (isang panig na may parallel na linya A D at BC at secant AB). Kaya ang anggulo ng ABC ay katumbas ng 180 - 77 \u003d 103 degrees.
Susunod, ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo A D B at D BC (cross-lying na may parallel lines A D at BC at secant B D). Kaya ang anggulo AB D katumbas ng 103 - 54 \u003d 49 degrees.
Sagot 49.
Gawain 2.Ang mga base ng isang isosceles trapezoid ay 10 at 24, ang gilid ay 25. Hanapin ang taas ng trapezoid.
Solusyon.Sa trapezoid na ito, ang itaas na base BC ay 10, ang mas mababang A D =24. Mula sa mga vertice B at C binababa namin ang mga taas hanggang sa mas mababang base. Sa resultang parihaba NVSK NK=BC=10. Triangles ABH at K DC DC ), kaya AH \u003d K D =(24-10):2=7. Ayon sa Pythagorean theorem, sa isang tatsulok na ABN, ang parisukat ng binti BH ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng parisukat ng hypotenuse AB at ang parisukat ng binti AN. Iyon ay, VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d 24.
Sagot 24.
Gawain 3.Sa isang isosceles trapezoid, isa sa mga base
ay 3 at ang isa ay 7. Ang taas ng trapezoid ay 4. Hanapin ang padaplis ng matinding anggulo ng trapezoid.
Solusyon.Sa trapezoid na ito, ang itaas na base BC ay 3, ang mas mababang A D =7. Mula sa mga vertice B at C binababa namin ang mga taas hanggang sa mas mababang base. Sa resultang parihaba NVSK NK=BC=3. Triangles ABH at K DC ay pantay (sila ay hugis-parihaba, BH = SK, AB = DC ), kaya AH \u003d K D =(7-3):2=2. Ang tangent ng isang acute angle BAN sa isang right triangle ABN ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na leg BH sa katabing leg AH, ibig sabihin, 4:2=2.
Sagot 2.
Gawain 4.Ang mga base ng trapezoid ay 8 at 16, ang lateral side, katumbas ng 6, ay bumubuo ng isang anggulo ng 150 ° sa isa sa mga base ng trapezoid. Hanapin ang lugar ng trapezoid.
Solusyon.Hayaan ang trapezoid sa figure ng base BC \u003d 8, AD =16, gilid AB=6, at anggulong ABC ay 150 degrees. Alam namin na ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas. Ang mga base ay kilala. Hanapin natin ang taas ng BH. Sa isang kanang tatsulok na ABH, ang anggulo ng ABH ay 150 - 90 = 60 degrees. Kaya ang anggulo ng VAN ay katumbas ng 90 - 60 \u003d 30 degrees. At sa isang kanang tatsulok, ang binti sa tapat ng anggulo ng 30 degrees ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse. Kaya VN=3.
Ito ay nananatiling kalkulahin ang lugar ng trapezoid. Ang kalahating kabuuan ng mga base ay katumbas ng (8+16):2=12. Ang lugar ay 12*3=36.
Sagot 36.
Gawain 5.Sa isang hugis-parihaba na trapezoidABCD may mga batayan araw at PEROD sulok ATAD tuwid, AB=3, araw=CD=5. Hanapin ang midline ng trapezoid.
Solusyon.Ang median line ng trapezoid ay kalahati ng kabuuan ng mga base. Sa trapezoid na ito, ang upper base BC ay 5, ang lower A D hindi kilala. Mula sa vertex C ibinababa namin ang taas hanggang sa ibabang base. Sa resultang parihaba NVSK AH=BC=5, CH=AB=3. Triangle H DC hugis-parihaba. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, ang parisukat ng leg H D katumbas ng pagkakaiba ng parisukat ng hypotenuse DC at ang parisukat ng binti CH. Iyon ay, N D 2 \u003d 65 -9 \u003d 16. H D \u003d 4. Kaya ang mas mababang base A D =AH+H D =5+4=9. Ang median line ng trapezoid ay (5+9):2=7.
Sagot 7.
Gawain 6.Sa isang hugis-parihaba na trapezoid, ang mga base ay 4 at 7, at ang isa sa mga anggulo ay 135°. Hanapin ang mas maliit na bahagi.
Solusyon.Gamitin natin ang drawing para sa nakaraang problema. Sa trapezoid na ito, ang upper base BC ay 4, ang lower A D=7. Anggulo BC D ay katumbas ng 135 degrees. Mula sa vertex C ibinababa namin ang taas hanggang sa ibabang base. Tapos si H D =7-4=3. Sa resultang kanang tatsulok H Anggulo ng DC HC D katumbas ng 135-90=45 degrees. Kaya ang anggulo H DC 45 degrees din. Mga binti CH= H D=3.
Sagot 3.
Mga gawain para sa malayang solusyon.
- ∠ BDA=40° at ∠ BDC=30°. Maghanap ng anggulo ABD. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
- sa isang trapeze A B C D ito ay kilala na AB=CD, ∠ BDA=45° at ∠ bdc=23°. Humanap ng anggulo ABD. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
- Sa trapezoid ABCD, alam natin na AB=CD,∠ BDA=49° at ∠ BDC=31°. Maghanap ng anggulo ABD. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
- Ang mga base ng isang isosceles trapezoid ay 7 at 13, ang gilid ay 5. Hanapin ang taas ng trapezoid.
- Ang mga base ng isang isosceles trapezoid ay 11 at 21, ang gilid ay 13. Hanapin ang taas ng trapezoid.
- Ang mga base ng trapezoid ay 10 at 20, ang lateral side, katumbas ng 8, ay bumubuo ng isang anggulo ng 150 ° sa isa sa mga base ng trapezoid. Hanapin ang lugar ng trapezoid.
- Sa isang isosceles trapezoid, ang isa sa mga base ay 5 at ang isa ay 9. Ang taas ng trapezoid ay 6. Hanapin ang tangent ng acute angle ng trapezoid.
- Sa isang hugis-parihaba na trapezoidABCD may mga batayan araw at PEROD sulok ATAD tuwid, AB=8, araw=CD=10. Hanapin ang midline ng trapezoid.
- Sa isang hugis-parihaba na trapezoidABC D may mga batayan araw at PERO D sulok AT AD tuwid, AB = 15 , araw = CD = 17 . Hanapin ang midline ng trapezoid.
- Sa isang hugis-parihaba na trapezoid, ang mga base ay 3 at 5, at ang isa sa mga anggulo ay 135°. Hanapin ang mas maliit na bahagi.
