Alam mo ba kung ano ang hitsura ng isang regular na hexagon?
Ang tanong na ito ay hindi nagkataon. Karamihan sa mga estudyante sa grade 11 ay hindi alam ang sagot dito.

Ang isang regular na hexagon ay isa kung saan ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay pantay din..

Bakal na mani. Snowflake. Isang cell ng pulot-pukyutan kung saan nakatira ang mga bubuyog. Molekyul ng Benzene. Ano ang pagkakatulad ng mga bagay na ito? - Ang katotohanan na silang lahat ay may regular na heksagonal na hugis.

Maraming mga mag-aaral ang nawawala kapag nakakita sila ng mga gawain para sa isang regular na hexagon, at naniniwala sila na kailangan ang ilang mga espesyal na formula upang malutas ang mga ito. ganun ba?

Iguhit ang mga diagonal ng isang regular na hexagon. Nakakuha kami ng anim na equilateral triangles.

Alam namin na ang lugar ng isang equilateral triangle ay .

Kung gayon ang lugar ng isang regular na hexagon ay anim na beses na mas malaki.

Nasaan ang gilid ng isang regular na hexagon.

Pakitandaan na sa isang regular na hexagon, ang distansya mula sa gitna nito hanggang sa alinman sa mga vertices ay pareho at katumbas ng gilid ng regular na hexagon.

Nangangahulugan ito na ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang regular na hexagon ay katumbas ng gilid nito.
Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang regular na hexagon ay madaling mahanap.
Siya ay pantay-pantay.
Ngayon ay madali mong malulutas ang anumang problema sa PAGGAMIT kung saan lumilitaw ang isang regular na hexagon.

Hanapin ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang regular na hexagon na may gilid .

Ang radius ng naturang bilog ay .

Sagot: .

Ano ang gilid ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog na may radius na 6?

Alam namin na ang gilid ng isang regular na hexagon ay katumbas ng radius ng bilog na nakapaligid sa paligid nito.

Ang pinakatanyag na pigura na may higit sa apat na sulok ay ang regular na hexagon. Sa geometry, madalas itong ginagamit sa mga problema. At sa buhay, ito mismo ang mayroon ang mga pulot-pukyutan sa hiwa.

Paano ito naiiba sa mali?

Una, ang hexagon ay isang figure na may 6 na vertices. Pangalawa, maaari itong matambok o malukong. Ang una ay naiiba sa apat na vertices na nasa isang gilid ng isang tuwid na linya na iginuhit sa iba pang dalawa.

Pangatlo, ang isang regular na heksagono ay nailalarawan sa katotohanan na ang lahat ng panig nito ay pantay. Bukod dito, ang bawat sulok ng figure ay mayroon ding parehong halaga. Upang matukoy ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo nito, kakailanganin mong gamitin ang formula: 180º * (n - 2). Narito ang n ay ang bilang ng mga vertices ng figure, iyon ay, 6. Ang isang simpleng pagkalkula ay nagbibigay ng isang halaga ng 720º. Kaya ang bawat anggulo ay 120 degrees.

Sa pang-araw-araw na aktibidad, ang isang regular na hexagon ay matatagpuan sa isang snowflake at isang nut. Nakikita ito ng mga chemist kahit sa molekula ng benzene.

Anong mga katangian ang kailangan mong malaman kapag nilulutas ang mga problema?

Sa kung ano ang nakasaad sa itaas ay dapat idagdag:

• ang mga diagonal ng figure, na iginuhit sa gitna, hatiin ito sa anim na tatsulok, na equilateral;
• ang gilid ng isang regular na hexagon ay may halaga na tumutugma sa radius ng circumscribed na bilog sa paligid nito;
• gamit ang gayong figure, posible na punan ang eroplano, at sa pagitan ng mga ito ay walang mga gaps at walang mga overlap.

Ipinakilala ang notasyon

Ayon sa kaugalian, ang gilid ng isang regular na geometric na pigura ay tinutukoy ng Latin na titik na "a". Upang malutas ang mga problema, ang lugar at perimeter ay kinakailangan din, ito ay S at P, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang bilog ay naka-inscribe sa isang regular na hexagon o circumscribed tungkol dito. Pagkatapos ay ipinasok ang mga halaga para sa kanilang radii. Ang mga ito ay tinutukoy ayon sa pagkakabanggit ng mga titik r at R.

Sa ilang mga formula, lumilitaw ang isang panloob na anggulo, isang semi-perimeter at isang apothem (na isang patayo sa gitna ng anumang panig mula sa gitna ng polygon). Ang mga titik ay ginagamit para sa kanila: α, p, m.

Mga formula na naglalarawan ng isang hugis

Upang kalkulahin ang radius ng isang nakasulat na bilog, kailangan mo ito: r= (a * √3) / 2, at r = m. Iyon ay, ang parehong formula ay para sa apothem.

Dahil ang perimeter ng isang hexagon ay ang kabuuan ng lahat ng panig, ito ay matutukoy bilang mga sumusunod: P = 6 * a. Ibinigay na ang gilid ay katumbas ng radius ng circumscribed na bilog, para sa perimeter mayroong isang formula para sa isang regular na hexagon: P \u003d 6 * R. Mula sa ibinigay para sa radius ng inscribed na bilog, ang relasyon sa pagitan ng isang at ang r ay hinango. Pagkatapos ang formula ay kukuha ng sumusunod na anyo: Р = 4 r * √3.

Para sa lugar ng isang regular na hexagon, ito ay maaaring magamit: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Mga gawain

No. 1. Kondisyon. Mayroong isang regular na hexagonal prism, ang bawat gilid nito ay katumbas ng 4 cm. Ang isang silindro ay nakasulat dito, ang dami nito ay dapat matukoy.

Solusyon. Ang dami ng isang silindro ay tinukoy bilang ang produkto ng lugar ng base at ang taas. Ang huli ay nag-tutugma sa gilid ng prisma. At ito ay katumbas ng gilid ng isang regular na heksagono. Iyon ay, ang taas ng silindro ay 4 cm din.

Upang malaman ang lugar ng base nito, kailangan mong kalkulahin ang radius ng bilog na nakasulat sa hexagon. Ang formula para dito ay ipinapakita sa itaas. Kaya, r = 2√3 (cm). Pagkatapos ang lugar ng bilog: S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (cm 2).

Sagot. V \u003d 150.72 cm 3.

No. 2. Kondisyon. Kalkulahin ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang regular na hexagon. Alam na ang gilid nito ay √3 cm Ano ang magiging perimeter nito?

Solusyon. Ang gawaing ito ay nangangailangan ng paggamit ng dalawa sa mga formula sa itaas. Bukod dito, dapat silang mailapat nang hindi man lang binabago, palitan lamang ang halaga ng gilid at kalkulahin.

Kaya, ang radius ng inscribed na bilog ay nagiging 1.5 cm. Para sa perimeter, ang sumusunod na halaga ay lumalabas na tama: 6√3 cm.

Sagot. r = 1.5 cm, Р = 6√3 cm.

No. 3. Kondisyon. Ang radius ng circumscribed circle ay 6 cm. Ano ang halaga ng gilid ng isang regular na hexagon sa kasong ito?

Solusyon. Mula sa formula para sa radius ng isang bilog na nakasulat sa isang heksagono, madaling makuha ng isa ang isa kung saan dapat kalkulahin ang panig. Malinaw na ang radius ay pinarami ng dalawa at hinati sa ugat ng tatlo. Ito ay kinakailangan upang mapupuksa ang irrationality sa denominator. Samakatuwid, ang resulta ng mga aksyon ay nasa sumusunod na anyo: (12 √3) / (√3 * √3), iyon ay, 4√3.

Sagot. a = 4√3 cm.

Alam mo ba kung ano ang hitsura ng isang regular na hexagon?
Ang tanong na ito ay hindi nagkataon. Karamihan sa mga estudyante sa grade 11 ay hindi alam ang sagot dito.

Ang isang regular na hexagon ay isa kung saan ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay pantay din..

Bakal na mani. Snowflake. Isang cell ng pulot-pukyutan kung saan nakatira ang mga bubuyog. Molekyul ng Benzene. Ano ang pagkakatulad ng mga bagay na ito? - Ang katotohanan na silang lahat ay may regular na heksagonal na hugis.

Maraming mga mag-aaral ang nawawala kapag nakakita sila ng mga gawain para sa isang regular na hexagon, at naniniwala sila na kailangan ang ilang mga espesyal na formula upang malutas ang mga ito. ganun ba?

Iguhit ang mga diagonal ng isang regular na hexagon. Nakakuha kami ng anim na equilateral triangles.

Alam namin na ang lugar ng isang equilateral triangle ay .

Kung gayon ang lugar ng isang regular na hexagon ay anim na beses na mas malaki.

Nasaan ang gilid ng isang regular na hexagon.

Pakitandaan na sa isang regular na hexagon, ang distansya mula sa gitna nito hanggang sa alinman sa mga vertices ay pareho at katumbas ng gilid ng regular na hexagon.

Nangangahulugan ito na ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang regular na hexagon ay katumbas ng gilid nito.
Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang regular na hexagon ay madaling mahanap.
Siya ay pantay-pantay.
Ngayon ay madali mong malulutas ang anumang problema sa PAGGAMIT kung saan lumilitaw ang isang regular na hexagon.

Hanapin ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang regular na hexagon na may gilid .

Ang radius ng naturang bilog ay .

Sagot: .

Ano ang gilid ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog na may radius na 6?

Alam namin na ang gilid ng isang regular na hexagon ay katumbas ng radius ng bilog na nakapaligid sa paligid nito.

May lapis ba malapit sa iyo? Tingnan ang seksyon nito - ito ay isang regular na heksagono o, bilang ito ay tinatawag ding, isang heksagono. Ang cross section ng isang nut, isang larangan ng hexagonal chess, ilang kumplikadong mga molekula ng carbon (halimbawa, grapayt), isang snowflake, isang pulot-pukyutan at iba pang mga bagay ay mayroon ding ganitong hugis. Isang napakalaking regular na hexagon ang natuklasan kamakailan sa. Hindi ba tila kakaiba na ang kalikasan ay madalas na gumagamit ng mga istruktura ng ganitong partikular na hugis para sa mga nilikha nito? Tingnan natin nang maigi.

Ang regular na hexagon ay isang polygon na may anim na pantay na gilid at pantay na anggulo. Mula sa kurso ng paaralan, alam natin na mayroon itong mga sumusunod na katangian:

• Ang haba ng mga gilid nito ay tumutugma sa radius ng circumscribed na bilog. Sa lahat, isang regular na hexagon lamang ang may ganitong katangian.
• Ang mga anggulo ay katumbas ng bawat isa, at ang magnitude ng bawat isa ay 120 °.
• Ang perimeter ng isang hexagon ay matatagpuan gamit ang formula na Р=6*R kung ang radius ng circumscribed circle sa paligid nito ay kilala, o Р=4*√(3)*r kung ang bilog ay nakasulat dito. Ang R at r ay ang radii ng circumscribed at inscribed na bilog.
• Ang lugar na inookupahan ng isang regular na hexagon ay tinutukoy bilang mga sumusunod: S=(3*√(3)*R 2)/2. Kung ang radius ay hindi alam, sa halip na ito ay pinapalitan namin ang haba ng isa sa mga gilid - tulad ng alam mo, ito ay tumutugma sa haba ng radius ng circumscribed na bilog.

Ang regular na hexagon ay may isang kawili-wiling tampok dahil sa kung saan ito ay naging napakalawak sa kalikasan - nagagawa nitong punan ang anumang ibabaw ng eroplano nang walang mga overlap at gaps. Mayroong kahit na tinatawag na Pal lemma, ayon sa kung saan ang isang regular na heksagono na ang panig ay katumbas ng 1/√(3) ay isang unibersal na gulong, iyon ay, maaari itong masakop ang anumang hanay na may diameter na isang yunit.

Ngayon isaalang-alang ang pagtatayo ng isang regular na heksagono. Mayroong ilang mga paraan, ang pinakamadali ay kinabibilangan ng paggamit ng isang compass, lapis at ruler. Una, gumuhit kami ng isang arbitrary na bilog na may compass, pagkatapos ay gumawa kami ng isang punto sa isang arbitrary na lugar sa bilog na ito. Nang hindi binabago ang solusyon ng compass, inilalagay namin ang tip sa puntong ito, markahan ang susunod na bingaw sa bilog, at magpatuloy hanggang makuha namin ang lahat ng 6 na puntos. Ngayon ay nananatili lamang upang ikonekta ang mga ito sa bawat isa na may mga tuwid na segment, at ang nais na pigura ay lalabas.

Sa pagsasagawa, may mga oras na kailangan mong gumuhit ng isang malaking heksagono. Halimbawa, sa isang dalawang antas na kisame ng plasterboard, sa paligid ng attachment point ng gitnang chandelier, kailangan mong mag-install ng anim na maliliit na lampara sa mas mababang antas. Ito ay magiging napaka, napakahirap na makahanap ng isang compass na ganito ang laki. Paano magpatuloy sa kasong ito? Paano ka gumuhit ng malaking bilog? Napakasimple. Kailangan mong kumuha ng isang malakas na thread ng nais na haba at itali ang isa sa mga dulo nito sa tapat ng lapis. Ngayon ay nananatili lamang upang makahanap ng isang katulong na pinindot ang pangalawang dulo ng thread sa kisame sa tamang punto. Siyempre, sa kasong ito, posible ang mga maliliit na pagkakamali, ngunit malamang na hindi sila mapapansin ng isang tagalabas.

Konstruksyon ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog. Ang pagtatayo ng isang heksagono ay batay sa katotohanan na ang gilid nito ay katumbas ng radius ng circumscribed na bilog. Samakatuwid, upang bumuo, sapat na upang hatiin ang bilog sa anim na pantay na bahagi at ikonekta ang mga nahanap na punto sa bawat isa (Larawan 60, a).

Ang isang regular na hexagon ay maaaring gawin gamit ang isang T-square at isang 30X60° square. Upang maisagawa ang konstruksiyon na ito, kinukuha namin ang pahalang na diameter ng bilog bilang bisector ng mga anggulo 1 at 4 (Larawan 60, b), bumuo ng mga panig 1-6, 4-3, 4-5 at 7-2, pagkatapos nito ay gumuhit ng mga gilid 5-6 at 3-2.

Paggawa ng isang equilateral triangle na nakasulat sa isang bilog. Ang mga vertices ng naturang tatsulok ay maaaring itayo gamit ang isang compass at isang parisukat na may mga anggulo ng 30 at 60 °, o isang compass lamang.

Isaalang-alang ang dalawang paraan upang makabuo ng isang equilateral triangle na nakasulat sa isang bilog.

Unang paraan(Larawan 61, a) ay batay sa katotohanan na ang lahat ng tatlong anggulo ng tatsulok 7, 2, 3 bawat isa ay naglalaman ng 60 °, at ang patayong linya na iginuhit sa punto 7 ay parehong taas at bisector ng anggulo 1. Dahil ang ang anggulo 0-1- 2 ay katumbas ng 30°, pagkatapos ay hanapin ang gilid

1-2, ito ay sapat na upang bumuo ng isang anggulo ng 30 ° sa punto 1 at gilid 0-1. Upang gawin ito, itakda ang T-square at square tulad ng ipinapakita sa figure, gumuhit ng isang linya 1-2, na magiging isa sa mga gilid ng nais na tatsulok. Upang bumuo ng bahagi 2-3, itakda ang T-square sa posisyon na ipinapakita ng mga putol-putol na linya, at gumuhit ng isang tuwid na linya hanggang sa punto 2, na tutukuyin ang ikatlong vertex ng tatsulok.

Pangalawang paraan ay batay sa katotohanan na kung bumuo ka ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog, at pagkatapos ay ikonekta ang mga vertices nito sa pamamagitan ng isa, makakakuha ka ng isang equilateral triangle.

Upang bumuo ng isang tatsulok (Larawan 61, b), minarkahan namin ang isang vertex-point 1 sa diameter at gumuhit ng isang diametrical na linya 1-4. Dagdag pa, mula sa punto 4 na may radius na katumbas ng D / 2, inilalarawan namin ang arko hanggang sa mag-intersect ito sa bilog sa mga punto 3 at 2. Ang mga magreresultang puntos ay dalawang iba pang mga vertices ng nais na tatsulok.

Konstruksyon ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog. Ang pagtatayo na ito ay maaaring gawin gamit ang isang parisukat at isang compass.

Ang unang paraan ay batay sa katotohanan na ang mga diagonal ng parisukat ay bumalandra sa gitna ng circumscribed na bilog at nakakiling sa mga palakol nito sa isang anggulo na 45°. Batay dito, nag-install kami ng isang T-square at isang parisukat na may mga anggulo na 45 ° tulad ng ipinapakita sa Fig. 62, a, at markahan ang mga puntos 1 at 3. Dagdag pa, sa pamamagitan ng mga puntong ito, iginuhit natin ang mga pahalang na gilid ng parisukat na 4-1 at 3-2 sa tulong ng isang T-square. Pagkatapos, gamit ang isang T-square sa kahabaan ng binti ng parisukat, iginuhit namin ang mga patayong gilid ng parisukat 1-2 at 4-3.

Ang pangalawang paraan ay batay sa katotohanan na ang mga vertices ng parisukat ay naghahati sa mga arko ng bilog na nakapaloob sa pagitan ng mga dulo ng diameter (Larawan 62, b). Minarkahan namin ang mga puntong A, B at C sa mga dulo ng dalawang magkaparehong patayong diameter, at mula sa kanila na may radius y inilalarawan namin ang mga arko hanggang sa magsalubong sila.

Dagdag pa, sa pamamagitan ng mga punto ng intersection ng mga arko, gumuhit kami ng mga pantulong na linya, na minarkahan sa figure na may mga solidong linya. Ang kanilang mga punto ng intersection sa bilog ay tutukuyin ang mga vertice 1 at 3; 4 at 2. Ang mga vertices ng nais na parisukat na nakuha sa ganitong paraan ay konektado sa serye sa bawat isa.

Konstruksyon ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog.

Upang isulat ang isang regular na pentagon sa isang bilog (Larawan 63), ginagawa namin ang mga sumusunod na konstruksyon.

Minarkahan namin ang punto 1 sa bilog at kunin ito bilang isa sa mga vertice ng pentagon. Hatiin ang segment na AO sa kalahati. Upang gawin ito, gamit ang radius AO mula sa punto A, inilalarawan namin ang arko hanggang sa mag-intersect ito sa bilog sa mga puntong M at B. Ang pagkonekta sa mga puntong ito sa isang tuwid na linya, makakakuha tayo ng puntong K, na pagkatapos ay kumonekta tayo sa punto 1. Gamit ang isang radius na katumbas ng segment A7, inilalarawan namin ang arko mula sa punto K hanggang sa intersection na may diametrical na linya AO ​​sa punto H. Pagkonekta sa punto 1 sa punto H, nakuha namin ang gilid ng pentagon. Pagkatapos, na may pagbubukas ng compass na katumbas ng segment 1H, na inilarawan ang arko mula sa vertex 1 hanggang sa intersection sa bilog, nakita namin ang mga vertices 2 at 5. Ang paggawa ng mga serif mula sa vertex 2 at 5 na may parehong pagbubukas ng compass, nakuha namin ang natitirang mga vertex 3 at 4. Ikinonekta namin ang mga nahanap na puntos nang sunud-sunod sa bawat isa.

Konstruksyon ng isang regular na pentagon na ibinigay sa gilid nito.

Upang bumuo ng isang regular na pentagon kasama ang ibinigay na bahagi nito (Larawan 64), hinahati namin ang segment AB sa anim na pantay na bahagi. Mula sa mga puntong A at B na may radius AB ay inilalarawan namin ang mga arko, ang intersection na kung saan ay magbibigay ng punto K. Sa pamamagitan ng puntong ito at dibisyon 3 sa linya AB gumuhit kami ng isang patayong linya.

Nakukuha namin ang punto 1-vertex ng pentagon. Pagkatapos, na may radius na katumbas ng AB, mula sa punto 1 inilalarawan namin ang arko hanggang sa intersection kasama ang mga arko na dati nang iginuhit mula sa mga puntong A at B. Tinutukoy ng mga intersection point ng mga arko ang mga vertices ng pentagon 2 at 5. Ikinonekta namin ang natagpuan mga vertex sa serye sa bawat isa.

Konstruksyon ng isang regular na heptagon na nakasulat sa isang bilog.

Hayaang magbigay ng bilog na may diameter na D; kailangan mong maglagay ng regular na heptagon dito (Larawan 65). Hatiin ang patayong diameter ng bilog sa pitong pantay na bahagi. Mula sa punto 7 na may radius na katumbas ng diameter ng bilog D, inilalarawan namin ang arko hanggang sa ito ay intersect sa pagpapatuloy ng pahalang na diameter sa punto F. Ang punto F ay tinatawag na poste ng polygon. Ang pagkuha ng punto VII bilang isa sa mga vertices ng heptagon, gumuhit kami ng mga ray mula sa poste F sa pamamagitan ng pantay na mga dibisyon ng vertical diameter, ang intersection kung saan sa bilog ay matukoy ang mga vertices VI, V at IV ng heptagon. Upang makakuha ng mga vertices / - // - /// mula sa mga puntos IV, V at VI, gumuhit kami ng mga pahalang na linya hanggang sa mag-intersect sila sa bilog. Ikinonekta namin ang mga nahanap na vertex sa serye sa bawat isa. Ang heptagon ay maaaring itayo sa pamamagitan ng pagguhit ng mga sinag mula sa F pole at sa pamamagitan ng mga kakaibang dibisyon ng vertical diameter.

Ang pamamaraan sa itaas ay angkop para sa pagbuo ng mga regular na polygon na may anumang bilang ng mga panig.

Ang paghahati ng isang bilog sa anumang bilang ng mga pantay na bahagi ay maaari ding gawin gamit ang data sa Talahanayan. 2, na nagpapakita ng mga coefficient na ginagawang posible upang matukoy ang mga sukat ng mga gilid ng regular na inscribed polygons.