Upang matutunan kung paano hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawa o higit pang mga numero, kailangan mong maunawaan kung ano ang natural, prime at kumplikadong mga numero.
Ang natural na numero ay anumang numero na ginagamit sa pagbilang ng mga integer.
Kung ang isang natural na numero ay maaari lamang hatiin ng sarili at isa, kung gayon ito ay tinatawag na prime.
Ang lahat ng natural na numero ay maaaring hatiin ng kanilang mga sarili at isa, ngunit ang tanging kahit na prime number ay 2, lahat ng iba ay maaaring hatiin ng dalawa. Samakatuwid, ang mga kakaibang numero lamang ang maaaring maging prime.
Mayroong maraming mga pangunahing numero, walang kumpletong listahan ng mga ito. Upang mahanap ang GCD, maginhawang gumamit ng mga espesyal na talahanayan na may ganitong mga numero.
Karamihan sa mga natural na numero ay maaaring hatiin hindi lamang ng isa, sa kanilang sarili, kundi pati na rin ng iba pang mga numero. Kaya, halimbawa, ang numero 15 ay maaaring hatiin ng 3 at 5. Lahat sila ay tinatawag na mga divisors ng numero 15.
Kaya, ang divisor ng alinmang A ay ang numero kung saan maaari itong hatiin nang walang nalalabi. Kung ang isang numero ay may higit sa dalawang natural na divisors, ito ay tinatawag na composite.
Ang numero 30 ay may mga divisors tulad ng 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Makikita mo na ang 15 at 30 ay may parehong divisors 1, 3, 5, 15. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numerong ito ay 15.
Kaya, ang karaniwang divisor ng mga numerong A at B ay ang bilang kung saan maaari mong ganap na hatiin ang mga ito. Ang maximum ay maaaring ituring na maximum na kabuuang bilang kung saan maaari silang hatiin.
Upang malutas ang mga problema, ginagamit ang sumusunod na pinaikling inskripsyon:
GCD (A; B).
Halimbawa, GCD (15; 30) = 30.
Upang isulat ang lahat ng mga divisors ng isang natural na numero, ginagamit ang notasyon:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
Sa halimbawang ito, ang mga natural na numero ay mayroon lamang isang karaniwang divisor. Ang mga ito ay tinatawag na coprime, ayon sa pagkakabanggit, ang yunit ay ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.
Paano mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero
Upang mahanap ang GCD ng ilang numero, kailangan mo:
Hanapin ang lahat ng mga divisors ng bawat natural na numero nang hiwalay, iyon ay, i-decompose ang mga ito sa mga kadahilanan (prime number);
Piliin ang lahat ng parehong mga kadahilanan para sa mga ibinigay na numero;
I-multiply ang mga ito nang sama-sama.
Halimbawa, upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 30 at 56, isusulat mo ang sumusunod:
Upang hindi malito sa , maginhawang isulat ang mga multiplier gamit ang mga patayong column. Sa kaliwang bahagi ng linya, kailangan mong ilagay ang dibidendo, at sa kanan - ang divisor. Sa ilalim ng dibidendo, dapat mong ipahiwatig ang resultang quotient.
Kaya, sa kanang hanay ay makikita ang lahat ng mga salik na kailangan para sa solusyon.
Maaaring salungguhitan ang mga magkakaparehong divisors (nahanap na mga salik) para sa kaginhawahan. Dapat silang muling isulat at paramihin at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay dapat isulat.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Ito ay talagang na simple upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero. Sa kaunting pagsasanay, halos awtomatiko mo itong magagawa.
Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor ang mga numerong ito. Tukuyin ang GCD(a, b).
Pag-isipang hanapin ang GCD gamit ang halimbawa ng dalawang natural na numero 18 at 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 at 432
I-decompose natin ang mga numero sa prime factor:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Tanggalin mula sa unang numero, ang mga salik na wala sa pangalawa at pangatlong numero, nakukuha namin:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Bilang resulta ng GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Paghahanap ng GCD gamit ang Euclid's Algorithm
Ang pangalawang paraan upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang ginagamit na divisor Ang algorithm ni Euclid. Ang algorithm ng Euclid ay ang pinaka mahusay na paraan upang mahanap GCD, gamit ito kailangan mong patuloy na mahanap ang natitira sa dibisyon ng mga numero at mag-apply paulit-ulit na formula.
Paulit-ulit na formula para sa GCD, gcd(a, b)=gcd(b, isang mod b), kung saan ang mod b ay ang natitira sa paghahati ng a sa b.
Ang algorithm ni Euclid
Halimbawa Hanapin ang Pinakamahusay na Karaniwang Divisor ng Mga Numero 7920 at 594
Hanapin natin ang GCD( 7920 , 594 ) gamit ang Euclid algorithm, kakalkulahin namin ang natitira sa dibisyon gamit ang isang calculator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng GCD( 7920 , 594 ) = 198
Hindi bababa sa karaniwang maramihang
Upang makahanap ng isang karaniwang denominator kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mong malaman at makalkula hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOC).
Ang multiple ng numerong "a" ay isang numero na mismong nahahati sa numerong "a" na walang natitira.
Mga numero na multiple ng 8 (iyon ay, ang mga numerong ito ay hahatiin ng 8 nang walang natitira): ito ang mga numero 16, 24, 32 ...
Multiple ng 9: 18, 27, 36, 45…
Mayroong walang katapusang maraming multiple ng isang naibigay na numero a, sa kaibahan sa mga divisors ng parehong numero. Divisors - isang may hangganan na numero.
Ang karaniwang multiple ng dalawang natural na numero ay isang numero na pantay na nahahati sa parehong mga numerong ito..
Hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng dalawa o higit pang mga natural na numero ay ang pinakamaliit na natural na numero na mismong nahahati ng bawat isa sa mga numerong ito.
Paano mahahanap ang NOC
Ang LCM ay matatagpuan at nakasulat sa dalawang paraan.
Ang unang paraan upang mahanap ang LCM
Ang pamamaraang ito ay karaniwang ginagamit para sa maliliit na numero.
- Sinusulat namin ang mga multiple para sa bawat isa sa mga numero sa isang linya hanggang sa magkaroon ng maramihang pareho para sa parehong mga numero.
- Ang isang multiple ng numerong "a" ay tinutukoy ng malaking titik na "K".
Halimbawa. Hanapin ang LCM 6 at 8.
Ang pangalawang paraan upang mahanap ang LCM
Maginhawang gamitin ang paraang ito upang mahanap ang LCM para sa tatlo o higit pang mga numero.
Ang bilang ng magkaparehong salik sa pagpapalawak ng mga numero ay maaaring magkakaiba.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Sagot: LCM (24, 60) = 120
Maaari mo ring gawing pormal ang paghahanap ng least common multiple (LCM) gaya ng mga sumusunod. Hanapin natin ang LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Tulad ng nakikita natin mula sa pagpapalawak ng mga numero, ang lahat ng mga kadahilanan ng 12 ay kasama sa pagpapalawak ng 24 (ang pinakamalaki sa mga numero), kaya nagdaragdag lamang kami ng isang 2 mula sa pagpapalawak ng bilang 16 hanggang sa LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Sagot: LCM (12, 16, 24) = 48
Mga espesyal na kaso ng paghahanap ng mga NOC
Halimbawa, LCM(60, 15) = 60
Dahil ang mga coprime na numero ay walang karaniwang prime divisors, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.
Sa aming site, maaari ka ring gumamit ng isang espesyal na calculator upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang online upang suriin ang iyong mga kalkulasyon.
Kung ang isang natural na numero ay nahahati lamang sa 1 at sa sarili nito, kung gayon ito ay tinatawag na prime.
Ang anumang natural na numero ay palaging nahahati sa 1 at sa sarili nito.
Ang numero 2 ay ang pinakamaliit na prime number. Ito ang nag-iisang even na prime number, ang iba pang prime number ay kakaiba.
Maraming prime number, at ang una sa kanila ay ang number 2. Gayunpaman, walang huling prime number. Sa seksyong "Para sa Pag-aaral," maaari kang mag-download ng talahanayan ng mga prime number hanggang 997.
Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.
- ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
- Ang 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.
- mabulok ang mga divisors ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
Ang mga numero kung saan ang numero ay pantay na nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag na mga divisors ng numero.
Ang divisor ng isang natural na numero a ay isang natural na numero na naghahati sa ibinigay na bilang na "a" nang walang natitira.
Ang natural na numero na mayroong higit sa dalawang salik ay tinatawag na composite number.
Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12.
Ang karaniwang divisor ng dalawang binigay na numero na "a" at "b" ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero na "a" at "b" ay nahahati nang walang natitira.
Pinakamahusay na Common Divisor(GCD) ng dalawang ibinigay na numerong "a" at "b" ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang parehong mga numerong "a" at "b" ay nahahati nang walang natitira.
Sa madaling sabi, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong "a" at "b" ay nakasulat bilang mga sumusunod:
Halimbawa: gcd (12; 36) = 12 .
Ang mga divisors ng mga numero sa talaan ng solusyon ay tinutukoy ng isang malaking titik na "D".
Ang mga numero 7 at 9 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag mga numero ng coprime.
Mga numero ng koprime ay mga natural na numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang kanilang GCD ay 1.
Paano mahahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor
Para mahanap ang gcd ng dalawa o higit pang natural na numero kailangan mo:
Maginhawang isinusulat ang mga kalkulasyon gamit ang isang vertical bar. Sa kaliwa ng linya, isulat muna ang dibidendo, sa kanan - ang divisor. Karagdagan sa kaliwang hanay isinulat namin ang mga halaga ng pribado.
Ipaliwanag natin kaagad sa isang halimbawa. I-factorize natin ang mga numerong 28 at 64 sa prime factor.
- Salungguhitan ang parehong prime factor sa parehong numero.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Nahanap namin ang produkto ng magkatulad na pangunahing mga kadahilanan at isulat ang sagot;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Sagot: GCD (28; 64) = 4
Maaari mong ayusin ang lokasyon ng GCD sa dalawang paraan: sa isang column (tulad ng ginawa sa itaas) o "sa isang linya."
Ang unang paraan ng pagsulat ng GCD
Hanapin ang GCD 48 at 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Ang pangalawang paraan ng pagsulat ng GCD
Ngayon, isulat natin ang solusyon sa paghahanap ng GCD sa isang linya. Hanapin ang GCD 10 at 15.
Sa aming site ng impormasyon, mahahanap mo rin ang pinakamalaking karaniwang divisor online gamit ang helper program upang suriin ang iyong mga kalkulasyon.
Paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, mga pamamaraan, mga halimbawa ng paghahanap ng LCM.
Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng heading na LCM - Least Common Multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bigyang-pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.
Pag-navigate sa pahina.
Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd
Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na ugnayan sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.
Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .
Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang link ng LCM na may GCD, na ipinapahayag ng formula na LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Iyon ay, kailangan muna nating hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.
Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .
Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang multiple: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Ano ang LCM(68, 34) ?
Dahil ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , kung gayon gcd(68, 34)=34 . Ngayon, kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang multiple: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer a at b: kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .
Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors
Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.
Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, ang gcd(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng gcd gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor. ).
Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ay ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga naturang kadahilanan ay 3 at 5), pagkatapos ay ang produkto ay kukuha ng anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng 75 at 210 , ibig sabihin, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.
I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors: 
Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .
Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Kaya LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong a at b.
Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa pagpapalawak ng bilang 75, idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa pagpapalawak ng bilang 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75 , 210).
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.
Una naming makuha ang agnas ng mga numero 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Kamukha nila ang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa agnas ng numerong 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa agnas ng numerong 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.
Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.
Hayaang ibigay ang positive integers a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.
Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .
Una nating mahanap ang m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .
Ngayon nakita natin ang m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.
Ito ay nananatili upang mahanap ang m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Para magawa ito, hanapin natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kaya LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.
Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na panuntunan. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Una, nakukuha natin ang mga decomposition ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ay isang prime number, ito ay kasabay ng kanyang decomposition sa prime factor) at 143=11 13 .
Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa agnas ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .
Samakatuwid, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
Paghahanap ng Pinakamaliit na Karaniwang Multiple ng mga Negatibong Numero
Minsan may mga gawain kung saan kailangan mong hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero, kung saan negatibo ang isa, marami o lahat ng numero. Sa mga kasong ito, ang lahat ng negatibong numero ay dapat mapalitan ng kanilang kabaligtaran na mga numero, pagkatapos ay ang LCM ng mga positibong numero ay dapat mahanap. Ito ang paraan upang mahanap ang LCM ng mga negatibong numero. Halimbawa, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) at LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Magagawa natin ito dahil ang set ng multiple ng a ay kapareho ng set ng multiple ng −a (a at −a ay magkasalungat na numero). Sa katunayan, hayaan ang b na ilang multiple ng a , at ang b ay nahahati sa a , at ang konsepto ng divisibility ay nagsasaad ng pagkakaroon ng naturang integer q na b=a q . Ngunit ang pagkakapantay-pantay na b=(−a)·(−q) ay magiging totoo din, na, sa bisa ng parehong konsepto ng divisibility, ay nangangahulugan na ang b ay nahahati ng −a , ibig sabihin, ang b ay isang multiple ng −a . Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung ang b ay ilang maramihang ng −a , kung gayon ang b ay isang maramihan din ng a .
Hanapin ang least common multiple ng mga negatibong numero −145 at −45.
Palitan natin ang mga negatibong numero −145 at −45 sa kanilang mga kabaligtaran na numero 145 at 45 . Mayroon kaming LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nang matukoy ang gcd(145, 45)=5 (halimbawa, gamit ang Euclid algorithm), kinakalkula namin ang LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Kaya, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga negatibong integer −145 at −45 ay 1,305 .
www.cleversstudents.ru
Patuloy kaming nag-aaral ng division. Sa araling ito, titingnan natin ang mga konsepto tulad ng GCD at NOC.
GCD ay ang pinakamalaking karaniwang divisor.
NOC ay ang least common multiple.
Ang paksa ay medyo boring, ngunit ito ay kinakailangan upang maunawaan ito. Kung walang pag-unawa sa paksang ito, hindi mo magagawang epektibong magtrabaho sa mga fraction, na isang tunay na balakid sa matematika.
Pinakamahusay na Common Divisor
Kahulugan. Pinakamahusay na Common Divisor of Numbers a at b a at b hinati nang walang natitira.
Upang maunawaan nang mabuti ang kahulugang ito, pinapalitan namin sa halip na mga variable a at b anumang dalawang numero, halimbawa, sa halip na isang variable a palitan ang numerong 12, at sa halip na ang variable b numero 9. Ngayon ay subukan nating basahin ang kahulugang ito:
Pinakamahusay na Common Divisor of Numbers 12 at 9 ay ang pinakamalaking bilang kung saan 12 at 9 hinati nang walang natitira.
Malinaw mula sa kahulugan na pinag-uusapan natin ang isang karaniwang divisor ng mga numero 12 at 9, at ang divisor na ito ang pinakamalaki sa lahat ng umiiral na divisor. Dapat matagpuan ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero, tatlong pamamaraan ang ginagamit. Ang unang paraan ay medyo matagal, ngunit pinapayagan ka nitong maunawaan nang mabuti ang kakanyahan ng paksa at madama ang buong kahulugan nito.
Ang pangalawa at pangatlong pamamaraan ay medyo simple at ginagawang posible upang mabilis na mahanap ang GCD. Isasaalang-alang namin ang lahat ng tatlong pamamaraan. At kung ano ang ilalapat sa pagsasanay - pipiliin mo.
Ang unang paraan ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng dalawang numero at piliin ang pinakamalaki sa kanila. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito sa sumusunod na halimbawa: hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 12 at 9.
Una, nakita namin ang lahat ng posibleng divisors ng numero 12. Upang gawin ito, hinahati namin ang 12 sa lahat ng divisors sa hanay mula 1 hanggang 12. Kung pinapayagan kami ng divisor na hatiin ang 12 nang walang natitira, pagkatapos ay i-highlight namin ito sa asul at gumawa ng angkop na paliwanag sa mga bracket.
12: 1 = 12
(12 hinati sa 1 na walang natitira, kaya ang 1 ay isang divisor ng 12)
12: 2 = 6
(12 hinati sa 2 nang walang natitira, kaya ang 2 ay isang divisor ng 12)
12: 3 = 4
(12 na hinati ng 3 nang walang natitira, kaya ang 3 ay isang divisor ng 12)
12: 4 = 3
(12 na hinati sa 4 na walang natitira, kaya ang 4 ay isang divisor ng 12)
12:5 = 2 (2 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 5 nang walang natitira, kaya ang 5 ay hindi isang divisor ng 12)
12: 6 = 2
(12 hinati sa 6 na walang natitira, kaya ang 6 ay isang divisor ng 12)
12: 7 = 1 (5 ang natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 7 nang walang nalalabi, kaya ang 7 ay hindi isang divisor ng 12)
12: 8 = 1 (4 ang natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 8 nang walang natitira, kaya ang 8 ay hindi isang divisor ng 12)
12:9 = 1 (3 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 9 nang walang nalalabi, kaya ang 9 ay hindi isang divisor ng 12)
12:10 = 1 (2 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 10 nang walang natitira, kaya ang 10 ay hindi isang divisor ng 12)
12:11 = 1 (1 ang natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 11 nang walang natitira, kaya ang 11 ay hindi isang divisor ng 12)
12: 12 = 1
(12 hinati sa 12 na walang natitira, kaya ang 12 ay isang divisor ng 12)
Ngayon hanapin natin ang mga divisors ng numero 9. Upang gawin ito, suriin ang lahat ng divisors mula 1 hanggang 9
9: 1 = 9
(9 na hinati sa 1 na walang natitira, kaya ang 1 ay isang divisor ng 9)
9: 2 = 4 (1 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 2 nang walang natitira, kaya ang 2 ay hindi isang divisor ng 9)
9: 3 = 3
(9 na hinati ng 3 na walang natitira, kaya ang 3 ay isang divisor ng 9)
9:4 = 2 (1 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 4 nang walang natitira, kaya ang 4 ay hindi isang divisor ng 9)
9:5 = 1 (4 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 5 nang walang natitira, kaya ang 5 ay hindi isang divisor ng 9)
9:6 = 1 (3 natitira)
(Ang 9 ay hindi hinati sa 6 nang walang natitira, kaya ang 6 ay hindi isang divisor ng 9)
9:7 = 1 (2 natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 7 nang walang natitira, kaya ang 7 ay hindi isang divisor ng 9)
9:8 = 1 (1 natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 8 nang walang nalalabi, kaya ang 8 ay hindi isang divisor ng 9)
9: 9 = 1
(9 na hinati ng 9 na walang natitira, kaya ang 9 ay isang divisor ng 9)
Ngayon isulat ang mga divisors ng parehong numero. Ang mga numerong naka-highlight sa asul ay ang mga divisors. Isulat natin ang mga ito:
Ang pagkakaroon ng nakasulat na mga divisors, maaari mong agad na matukoy kung alin ang pinakamalaki at pinakakaraniwan.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 12 at 9 ay ang bilang kung saan ang 12 at 9 ay pantay na nahahati. Ang pinakamalaki at karaniwang divisor ng mga numero 12 at 9 ay ang numero 3
Parehong ang numero 12 at ang numero 9 ay nahahati sa 3 nang walang natitira:
Kaya gcd (12 at 9) = 3
Ang pangalawang paraan upang mahanap ang GCD
Ngayon isaalang-alang ang pangalawang paraan upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang mabulok ang parehong mga numero sa pangunahing mga kadahilanan at i-multiply ang mga karaniwan.
Halimbawa 1. Hanapin ang GCD ng mga numero 24 at 18
Una, i-factor natin ang parehong numero sa prime factor:
Ngayon pinarami natin ang kanilang karaniwang mga kadahilanan. Upang hindi malito, maaaring salungguhitan ang mga karaniwang salik.
Tinitingnan natin ang agnas ng numerong 24. Ang unang salik nito ay 2. Hinahanap natin ang parehong salik sa pagkabulok ng numero 18 at makita na naroon din ito. Sinalungguhitan namin ang dalawa:
Muli nating tinitingnan ang agnas ng numerong 24. Ang pangalawang salik nito ay 2 din. Hinahanap natin ang parehong salik sa pagkabulok ng numero 18 at nakita na wala ito sa pangalawang pagkakataon. Tapos wala kaming highlight.
Ang susunod na dalawa sa pagpapalawak ng numero 24 ay nawawala din sa pagpapalawak ng numero 18.
Dumaan tayo sa huling salik sa pagkabulok ng numero 24. Ito ang salik 3. Hinahanap natin ang parehong salik sa pagkabulok ng numero 18 at nakita natin na naroon din ito. Binibigyang-diin namin ang parehong tatlo:
Kaya, ang mga karaniwang salik ng mga numero 24 at 18 ay ang mga salik 2 at 3. Upang makuha ang GCD, dapat na i-multiply ang mga salik na ito:
Kaya gcd (24 at 18) = 6
Ang ikatlong paraan upang mahanap ang GCD
Ngayon isaalang-alang ang ikatlong paraan upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga numero na hahanapin para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa pangunahing mga kadahilanan. Pagkatapos, mula sa agnas ng unang numero, ang mga salik na hindi kasama sa agnas ng pangalawang numero ay tatanggalin. Ang natitirang mga numero sa unang pagpapalawak ay pinarami at nakakakuha ng GCD.
Halimbawa, hanapin natin ang GCD para sa mga numerong 28 at 16 sa ganitong paraan. Una sa lahat, nabubulok namin ang mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:
Nakakuha kami ng dalawang pagpapalawak: at
Ngayon, mula sa pagpapalawak ng unang numero, tinatanggal namin ang mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Ang pagpapalawak ng pangalawang numero ay hindi kasama ang pito. Tatanggalin namin ito mula sa unang pagpapalawak:
Ngayon pinarami namin ang natitirang mga kadahilanan at makuha ang GCD:
Ang numero 4 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 28 at 16. Pareho sa mga numerong ito ay nahahati ng 4 nang walang natitira:
Halimbawa 2 Hanapin ang GCD ng mga numero 100 at 40
Pag-factoring out sa bilang na 100
Pag-factor out ng numero 40
Nakakuha kami ng dalawang pagpapalawak:
Ngayon, mula sa pagpapalawak ng unang numero, tinatanggal namin ang mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Ang pagpapalawak ng pangalawang numero ay hindi kasama ang isa lima (mayroong isa lamang lima). Tinatanggal namin ito mula sa unang pagkabulok
I-multiply ang natitirang mga numero:
Nakuha namin ang sagot na 20. Kaya ang numero 20 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 100 at 40. Ang dalawang numerong ito ay nahahati sa 20 nang walang natitira:
GCD (100 at 40) = 20.
Halimbawa 3 Hanapin ang gcd ng mga numerong 72 at 128
Pag-factor out ng numero 72
Pag-factoring out sa bilang na 128
2×2×2×2×2×2×2
Ngayon, mula sa pagpapalawak ng unang numero, tinatanggal namin ang mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Ang pagpapalawak ng pangalawang numero ay hindi kasama ang dalawang triplets (wala talaga). Tinatanggal namin ang mga ito mula sa unang pagpapalawak:
Nakuha namin ang sagot na 8. Kaya ang numero 8 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 72 at 128. Ang dalawang numerong ito ay nahahati sa 8 nang walang natitira:
GCD (72 at 128) = 8
Paghahanap ng GCD para sa Maramihang Numero
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang mga numero, at hindi lamang para sa dalawa. Para dito, ang mga numerong mahahanap para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay ang produkto ng karaniwang prime factor ng mga numerong ito ay makikita.
Halimbawa, hanapin natin ang GCD para sa mga numero 18, 24 at 36
Pag-factor ng numero 18
Pag-factor ng numero 24
Pag-factoring ng numero 36
Nakakuha kami ng tatlong pagpapalawak:
Ngayon pipiliin at salungguhitan namin ang mga karaniwang salik sa mga numerong ito. Ang mga karaniwang salik ay dapat isama sa lahat ng tatlong numero:
Nakikita namin na ang mga karaniwang salik para sa mga numero 18, 24 at 36 ay salik 2 at 3. Sa pamamagitan ng pagpaparami sa mga salik na ito, nakukuha namin ang GCD na aming hinahanap:
Nakuha namin ang sagot na 6. Kaya't ang numero 6 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 18, 24 at 36. Ang tatlong numerong ito ay nahahati sa 6 na walang natitira:
GCD (18, 24 at 36) = 6
Halimbawa 2 Maghanap ng gcd para sa mga numero 12, 24, 36 at 42
I-factorize natin ang bawat numero. Pagkatapos ay makikita natin ang produkto ng mga karaniwang salik ng mga numerong ito.
Pag-factor ng numero 12
Pag-factor ng numero 42
Nakakuha kami ng apat na pagpapalawak:
Ngayon pipiliin at salungguhitan namin ang mga karaniwang salik sa mga numerong ito. Ang mga karaniwang salik ay dapat isama sa lahat ng apat na numero:
Nakikita namin na ang mga karaniwang salik para sa mga numerong 12, 24, 36, at 42 ay ang mga salik 2 at 3. Sa pamamagitan ng pag-multiply sa mga salik na ito, nakukuha namin ang GCD na aming hinahanap:
Nakuha namin ang sagot na 6. Kaya ang numero 6 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 12, 24, 36 at 42. Ang mga numerong ito ay nahahati ng 6 nang walang natitira:
gcd(12, 24, 36 at 42) = 6
Mula sa nakaraang aralin, alam natin na kung ang ilang numero ay hinati sa isa pang walang natitira, ito ay tinatawag na multiple ng numerong ito.
Lumalabas na ang isang maramihan ay maaaring maging karaniwan sa ilang mga numero. At ngayon kami ay magiging interesado sa isang maramihang ng dalawang numero, habang ito ay dapat na kasing liit hangga't maaari.
Kahulugan. Least common multiple (LCM) ng mga numero a at b- a at b a at numero b.
Ang kahulugan ay naglalaman ng dalawang variable a at b. Palitan natin ang alinmang dalawang numero para sa mga variable na ito. Halimbawa, sa halip na isang variable a palitan ang numero 9, at sa halip na ang variable b palitan natin ang bilang na 12. Ngayon ay subukan nating basahin ang kahulugan:
Least common multiple (LCM) ng mga numero 9 at 12 - ay ang pinakamaliit na bilang na isang multiple ng 9 at 12 . Sa madaling salita, ito ay isang maliit na bilang na nahahati nang walang nalalabi sa bilang 9 at sa numero 12 .
Malinaw sa depinisyon na ang LCM ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati nang walang nalalabi sa 9 at 12. Ang LCM na ito ay kinakailangang matagpuan.
Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang least common multiple (LCM). Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa mga multiple na ito ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at maliit. Ilapat natin ang pamamaraang ito.
Una sa lahat, hanapin natin ang unang multiple para sa numero 9. Upang mahanap ang multiple para sa 9, kailangan mong i-multiply ang siyam na ito sa mga numero mula 1 hanggang 9. Ang mga sagot na makukuha mo ay multiple ng numero 9. Kaya , simulan na natin. Ang mga maramihan ay iha-highlight sa pula:
Ngayon ay nakahanap kami ng mga multiple para sa numero 12. Upang gawin ito, i-multiply namin ang 12 sa lahat ng mga numero 1 hanggang 12 nang magkakasunod.
Isaalang-alang ang dalawang paraan upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor.
Paghahanap sa pamamagitan ng Factoring
Ang unang paraan ay upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor sa pamamagitan ng pagsasakatuparan ng mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Upang mahanap ang GCD ng ilang mga numero, sapat na upang mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan at i-multiply sa kanilang mga sarili ang mga ito na karaniwan sa lahat ng ibinigay na mga numero.
Halimbawa 1 Hanapin natin ang GCD (84, 90).
Binubulok namin ang mga numero 84 at 90 sa pangunahing mga kadahilanan:
Kaya, sinalungguhitan namin ang lahat ng mga karaniwang pangunahing kadahilanan, nananatili itong paramihin ang mga ito sa kanilang sarili: 1 2 3 = 6.
Kaya gcd(84, 90) = 6.
Halimbawa 2 Hanapin natin ang GCD (15, 28).
Binubulok namin ang 15 at 28 sa pangunahing mga kadahilanan:
Ang mga numero 15 at 28 ay coprime dahil ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor ay isa.
gcd (15, 28) = 1.
Ang algorithm ni Euclid
Ang pangalawang paraan (kung hindi man ay tinatawag na Euclid method) ay ang paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng sunud-sunod na dibisyon.
Una, titingnan natin ang pamamaraang ito bilang inilapat sa dalawang ibinigay na numero, at pagkatapos ay aalamin natin kung paano ito ilalapat sa tatlo o higit pang mga numero.
Kung ang mas malaki sa dalawang ibinigay na numero ay nahahati sa mas maliit, kung gayon ang bilang na mas maliit ay ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.
Halimbawa 1 Kunin ang dalawang numero 27 at 9. Dahil ang 27 ay nahahati ng 9 at ang 9 ay nahahati ng 9, kung gayon ang 9 ay isang karaniwang divisor ng mga numerong 27 at 9. Ang divisor na ito ay din ang pinakamalaking, dahil ang 9 ay hindi maaaring mahahati ng anumang numero, mas malaki. kaysa sa 9. Samakatuwid, gcd (27, 9) = 9.
Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:
- Sa dalawang ibinigay na numero, ang mas malaking bilang ay hinati sa mas maliit.
- Pagkatapos, ang mas maliit na bilang ay hinati sa natitira na nagreresulta mula sa paghahati ng mas malaking bilang sa mas maliit.
- Dagdag pa, ang unang natitira ay nahahati sa pangalawang natitira, na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng mas maliit na bilang sa unang natitira.
- Ang pangalawang natitira ay nahahati sa pangatlo, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng unang natitira sa pangalawa, at iba pa.
- Kaya, ang paghahati ay nagpapatuloy hanggang ang natitira ay zero. Ang huling divisor ang magiging pinakamalaking common divisor.
Halimbawa 2 Hanapin natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 140 at 96:
1) 140: 96 = 1 (natitira 44)
2) 96: 44 = 2 (natitira 8)
3) 44: 8 = 5 (natitira 4)
Ang huling divisor ay 4, na nangangahulugang gcd(140, 96) = 4.
Ang sequential division ay maaari ding isulat sa isang column:
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang ibinigay na mga numero, gamitin ang sumusunod na pamamaraan:
- Una, hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng alinmang dalawang numero mula sa maraming dataset.
- Pagkatapos ay makikita natin ang GCD ng nahanap na divisor at ilang ikatlong ibinigay na numero.
- Pagkatapos ay makikita natin ang GCD ng huling nahanap na divisor at ang ikaapat na ibinigay na numero, at iba pa.
Halimbawa 3 Hanapin natin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 140, 96 at 48. Nahanap na natin ang GCD ng mga numero 140 at 96 sa nakaraang halimbawa (ito ang numero 4). Ito ay nananatili upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor ng numero 4 at ang ikatlong ibinigay na numero - 48:
Ang 48 ay nahahati sa 4 na walang nalalabi. Kaya gcd(140, 96, 48) = 4.
Tandaan!
Kung ang isang natural na numero ay nahahati lamang sa 1 at sa sarili nito, kung gayon ito ay tinatawag na prime.
Ang anumang natural na numero ay palaging nahahati sa 1 at sa sarili nito.
Ang numero 2 ay ang pinakamaliit na prime number. Ito ang nag-iisang even na prime number, ang iba pang prime number ay kakaiba.
Maraming prime number, at ang una sa kanila ay ang number 2. Gayunpaman, walang huling prime number. Sa seksyong "Para sa Pag-aaral," maaari kang mag-download ng talahanayan ng mga prime number hanggang 997.
Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.
Halimbawa:
- ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
- Ang 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.
Ang mga numero kung saan ang numero ay pantay na nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag na mga divisors ng numero.
Tandaan!
Ang divisor ng isang natural na numero a ay isang natural na numero na naghahati sa ibinigay na bilang na "a" nang walang natitira.
Ang natural na numero na mayroong higit sa dalawang salik ay tinatawag na composite number.
Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12.
Ang karaniwang divisor ng dalawang binigay na numero na "a" at "b" ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numerong "a" at "b" ay hinahati nang walang natitira.
Tandaan!
Pinakamahusay na Common Divisor(GCD) ng dalawang binigay na numero na "a" at "b" - ito ang pinakamalaking bilang kung saan ang parehong mga numerong "a" at "b" ay nahahati nang walang natitira.
Sa madaling sabi, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong "a" at "b" ay nakasulat bilang mga sumusunod:
gcd (a; b) .
Halimbawa: gcd (12; 36) = 12 .
Ang mga divisors ng mga numero sa talaan ng solusyon ay tinutukoy ng isang malaking titik na "D".
D(7) = (1, 7)
D(9) = (1, 9)
gcd (7; 9) = 1
Ang mga numero 7 at 9 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag mga numero ng coprime.
Tandaan!
Mga numero ng koprime ay mga natural na numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang kanilang GCD ay 1.
Paano mahahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor
Para mahanap ang gcd ng dalawa o higit pang natural na numero kailangan mo:
- mabulok ang mga divisors ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
Maginhawang isinusulat ang mga kalkulasyon gamit ang isang vertical bar. Sa kaliwa ng linya, isulat muna ang dibidendo, sa kanan - ang divisor. Karagdagan sa kaliwang hanay isinulat namin ang mga halaga ng pribado.
Ipaliwanag natin kaagad sa isang halimbawa. I-factorize natin ang mga numerong 28 at 64 sa prime factor.
- Salungguhitan ang parehong prime factor sa parehong numero.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Nahanap namin ang produkto ng magkatulad na pangunahing mga kadahilanan at isulat ang sagot;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4Sagot: GCD (28; 64) = 4
Maaari mong ayusin ang lokasyon ng GCD sa dalawang paraan: sa isang column (tulad ng ginawa sa itaas) o "sa isang linya."
Ngayon at sa mga sumusunod, ipagpalagay namin na kahit isa sa mga numerong ito ay iba sa zero. Kung ang lahat ng ibinigay na mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang kanilang karaniwang divisor ay anumang integer, at dahil maraming integer na walang hanggan, hindi natin mapag-uusapan ang pinakamalaki sa kanila. Samakatuwid, ang isa ay hindi maaaring magsalita tungkol sa pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero, ang bawat isa ay katumbas ng zero.
Ngayon ay maaari na tayong magbigay paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor dalawang numero.
Kahulugan.
Pinakamahusay na Common Divisor ng dalawang integer ay ang pinakamalaking integer na naghahati sa dalawang ibinigay na integer.
Ang pagdadaglat na GCD ay kadalasang ginagamit upang paikliin ang pinakamalaking karaniwang divisor - Pinakamahusay na Karaniwang Divisor. Gayundin, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero a at b ay madalas na tinutukoy bilang gcd(a, b) .
Dalhin natin Greatest Common Divisor (gcd) halimbawa dalawang integer. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 6 at −15 ay 3 . Patunayan natin ito. Isulat natin ang lahat ng divisors ng number six: ±6, ±3, ±1, at ang divisors ng number −15 ay ang mga numerong ±15, ±5, ±3 at ±1. Ngayon ay mahahanap mo na ang lahat ng karaniwang divisors ng mga numero 6 at −15, ito ang mga numero −3, −1, 1 at 3. Mula noong −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Ang kahulugan ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga integer ay katulad ng kahulugan ng gcd ng dalawang numero.
Kahulugan.
Pinakamahusay na Common Divisor tatlo o higit pang integer ang pinakamalaking integer na sabay-sabay na naghahati sa lahat ng ibinigay na numero.
Ang pinakadakilang karaniwang divisor ng n integers a 1 , a 2 , …, a n ay tutukuyin natin bilang gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Kung ang halaga b ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay matatagpuan, maaari tayong sumulat GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Bilang halimbawa, ibinigay ang gcd ng apat na integer −8 , 52 , 16 at −12 , ito ay katumbas ng 4 , iyon ay, gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . Masusuri ito sa pamamagitan ng pagsusulat ng lahat ng mga divisor ng mga ibinigay na numero, pagpili ng mga karaniwang divisor mula sa kanila, at pagtukoy sa pinakamalaking common divisor.
Tandaan na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga integer ay maaaring katumbas ng isa sa mga numerong ito. Ang pahayag na ito ay totoo kung ang lahat ng ibinigay na mga numero ay mahahati ng isa sa kanila (ang patunay ay ibinigay sa susunod na talata ng artikulong ito). Halimbawa, gcd(15, 60, −45)=15 . Totoo ito dahil hinahati ng 15 ang 15 , 60 , at −45 , at walang karaniwang divisor ng 15 , 60 , at −45 na mas malaki sa 15 .
Ang partikular na interes ay ang tinatawag na relatibong prime na mga numero, - tulad ng mga integer, ang pinakamalaking karaniwang divisor kung saan ay katumbas ng isa.
Pinakamahusay na Karaniwang Mga Katangian ng Divisor, Euclid's Algorithm
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay may bilang ng mga katangiang resulta, sa madaling salita, isang bilang ng mga katangian. Ililista na namin ngayon ang pangunahing mga katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd), bubuuin natin ang mga ito sa anyo ng mga theorems at agad na magbibigay ng mga patunay.
Bubuo kami ng lahat ng mga katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga positibong integer, habang isasaalang-alang lamang namin ang mga positibong divisor ng mga numerong ito.
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b ay katumbas ng pinakamalaking karaniwang divisor ng b at a , iyon ay, gcd(a, b)=gcd(a, b) .
Direktang sumusunod ang GCD property na ito mula sa kahulugan ng pinakamalaking karaniwang divisor.
Kung ang a ay nahahati ng b , kung gayon ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay kapareho ng set ng mga divisors ng b , sa partikular na gcd(a, b)=b .
Patunay.
Anumang karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay isang divisor ng bawat isa sa mga numerong ito, kasama ang numero b. Sa kabilang banda, dahil ang a ay isang multiple ng b, kung gayon ang anumang divisor ng number b ay isa ring divisor ng number a dahil sa katotohanan na ang divisibility ay may katangian ng transitivity, samakatuwid, ang anumang divisor ng number b ay a karaniwang divisor ng mga numerong a at b. Ito ay nagpapatunay na kung ang a ay nahahati ng b, kung gayon ang hanay ng mga divisors ng mga numerong a at b ay tumutugma sa hanay ng mga divisors ng isang numero b. At dahil ang pinakamalaking divisor ng numero b ay ang numero b mismo, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a at b ay katumbas din ng b , iyon ay, gcd(a, b)=b .
Sa partikular, kung ang mga numero a at b ay pantay, kung gayon gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Halimbawa, gcd(132, 132)=132 .
Ang napatunayang pinakamalaking divisor property ay nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang gcd ng dalawang numero kapag ang isa sa mga ito ay nahahati ng isa. Sa kasong ito, ang GCD ay katumbas ng isa sa mga numerong ito, kung saan ang isa pang numero ay nahahati. Halimbawa, ang gcd(8, 24)=8 dahil ang 24 ay multiple ng walo.
Kung ang a=b q+c , kung saan ang a , b , c at q ay mga integer, kung gayon ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong a at b ay tumutugma sa hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numero b at c , sa partikular, gcd( a, b)=gcd (b, c) .
Bigyan natin ng katwiran ang pag-aari na ito ng GCD.
Dahil ang pagkakapantay-pantay na a=b·q+c ay humahawak, kung gayon ang anumang karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay naghahati din sa c (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng divisibility). Para sa parehong dahilan, ang bawat karaniwang divisor ng b at c divides a . Samakatuwid, ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong a at b ay kapareho ng set ng mga karaniwang divisors ng mga numero b at c. Sa partikular, ang pinakamalaki sa mga karaniwang divisor na ito ay dapat ding tumugma, ibig sabihin, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay dapat na wastong gcd(a, b)=gcd(b, c) .
Ngayon ay bumalangkas at nagpapatunay kami ng isang teorama, na Ang algorithm ni Euclid. Binibigyang-daan ka ng algorithm ng Euclid na mahanap ang GCD ng dalawang numero (tingnan ang paghahanap ng GCD gamit ang Euclid algorithm). Bukod dito, ang algorithm ng Euclid ay magbibigay-daan sa amin na patunayan ang mga sumusunod na katangian ng pinakadakilang karaniwang divisor.
Bago ibigay ang pahayag ng theorem, inirerekumenda namin na i-refresh ang memorya ng theorem mula sa seksyon ng teorya, na nagsasaad na ang dibidendo a ay maaaring katawanin bilang b q + r, kung saan ang b ay isang divisor, q ay ilang integer na tinatawag na partial quotient, at ang r ay isang integer na nakakatugon sa kundisyon, na tinatawag na natitira.
Kaya, hayaan para sa dalawang di-zero na positibong integer a at b, isang serye ng mga pagkakapantay-pantay ay totoo 
nagtatapos kapag r k+1 =0 (na hindi maiiwasan, dahil b>r 1 >r 2 >r 3 , … ay isang serye ng mga bumababa na integer, at ang seryeng ito ay hindi maaaring maglaman ng higit sa isang may hangganang bilang ng mga positibong numero), pagkatapos ay r k – ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b , iyon ay, r k =gcd(a, b) .
Patunay.
Patunayan muna natin na ang r k ay isang karaniwang divisor ng mga numero a at b , pagkatapos nito ay ipapakita natin na ang r k ay hindi lamang isang divisor, ngunit ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a at b .
Susunod tayo sa nakasulat na pagkakapantay-pantay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Mula sa huling pagkakapantay-pantay, masasabi natin na ang r k−1 ay nahahati ng r k . Dahil sa katotohanang ito, pati na rin ang nakaraang pag-aari ng GCD, ang penultimate equality r k−2 =r k−1 q k +r k ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang r k−2 ay nahahati ng r k , dahil ang r k−1 ay nahahati sa r k at r k ay nahahati. ni r k . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula sa ikatlong pagkakapantay-pantay mula sa ibaba ay napagpasyahan namin na ang r k−3 ay nahahati sa r k . At iba pa. Mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay makuha natin na ang b ay nahahati ng r k , at mula sa unang pagkakapantay-pantay ay nakuha natin na ang a ay nahahati ng r k . Samakatuwid, ang r k ay isang karaniwang divisor ng a at b.
Ito ay nananatiling patunayan na r k =gcd(a, b) . Sapagkat, sapat na upang ipakita na ang anumang karaniwang divisor ng mga numero a at b (tinutukoy namin ito sa pamamagitan ng r 0 ) ay naghahati sa r k .
Susundan natin ang mga paunang pagkakapantay-pantay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Sa bisa ng nakaraang pag-aari, ito ay sumusunod mula sa unang pagkakapantay-pantay na ang r 1 ay nahahati sa r 0 . Pagkatapos mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay makuha natin na ang r 2 ay nahahati sa r 0 . At iba pa. Mula sa huling pagkakapantay-pantay nakuha natin na ang r k ay nahahati sa r 0 . Kaya, r k =gcd(a, b) .
Ito ay sumusunod mula sa itinuturing na pag-aari ng pinakadakilang karaniwang divisor na ang hanay ng mga karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay tumutugma sa hanay ng mga divisor ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito. Ang corollary na ito mula sa algorithm ng Euclid ay nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang lahat ng karaniwang divisors ng dalawang numero bilang divisors ng gcd ng mga numerong ito.
Hayaang ang a at b ay mga integer na hindi katumbas ng zero sa parehong oras, pagkatapos ay mayroong mga ganoong integer u 0 at v 0 , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay na gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 ay totoo. Ang huling pagkakapantay-pantay ay isang linear na representasyon ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b, ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na Bezout ratio, at ang mga numerong u 0 at v 0 ay ang Bezout coefficients.
Patunay.
Ayon sa algorithm ni Euclid, maaari nating isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay
Mula sa unang pagkakapantay-pantay mayroon tayong r 1 =a−b q 1 , at, na nagsasaad ng 1=s 1 at −q 1 =t 1 , ang pagkakapantay-pantay na ito ay nasa anyong r 1 =s 1 a+t 1 b , at ang mga numerong s 1 at ang t 1 ay mga integer. Pagkatapos mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin ang r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Ang pagtukoy sa −s 1 q 2 =s 2 at 1−t 1 q 2 =t 2 , ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang r 2 =s 2 a+t 2 b , at ang s 2 at t 2 ay mga integer (dahil ang kabuuan , pagkakaiba at produkto ng mga integer ay isang integer). Katulad nito, mula sa ikatlong pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin ang r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, mula sa ikaapat na r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, at iba pa. Panghuli, r k =s k ·a+t k ·b , kung saan ang s k at t k ay mga integer. Dahil r k =gcd(a, b) , at nagsasaad ng s k =u 0 at t k =v 0 , nakakakuha kami ng linear na representasyon ng gcd ng kinakailangang anyo: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .
Kung ang m ay anumang natural na numero, kung gayon gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).
Ang katwiran para sa pag-aari na ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ay ang mga sumusunod. Kung magpaparami tayo sa m magkabilang panig ng bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay ng Euclid algorithm, makukuha natin na gcd(m a, m b)=m r k , at r k ay gcd(a, b) . Dahil dito, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).
Ang pag-aari na ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ay ang batayan para sa paraan ng paghahanap ng GCD gamit ang prime factorization.
Hayaang p ang anumang karaniwang divisor ng mga numero a at b , kung gayon gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, sa partikular, kung p=gcd(a, b) mayroon tayo gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, ibig sabihin, ang mga numerong a:gcd(a, b) at b:gcd(a, b) ay coprime.
Dahil a=p (a:p) at b=p (b:p) , at dahil sa nakaraang pag-aari, maaari tayong magsulat ng isang chain ng equalities ng form gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , kung saan ang pagkakapantay-pantay na patunayan ay sumusunod.
Ang pinakadakilang karaniwang divisor property ay napatunayang pinagbabatayan.
Ngayon, ipahayag natin ang GCD property, na nagpapababa sa problema sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero sa sunud-sunod na paghahanap ng GCD ng dalawang numero.
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 , a 2 , ..., a k ay katumbas ng numero d k , na matatagpuan sa sunud-sunod na pagkalkula ng GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .
Ang patunay ay batay sa isang corollary mula sa algorithm ni Euclid. Ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 at a 2 ay kapareho ng mga divisors ng d 2 . Pagkatapos ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 , a 2 at a 3 ay nag-tutugma sa mga karaniwang divisors ng mga numero d 2 at a 3 , samakatuwid, sila ay nag-tutugma sa mga divisors ng d 3 . Ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 , a 2 , a 3 at a 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisors ng d 3 at a 4 , kaya pareho sa mga divisors ng d 4 . At iba pa. Sa wakas, ang mga karaniwang divisors ng mga numero a 1 , a 2 , …, a k ay nag-tutugma sa mga divisors ng d k . At dahil ang pinakamalaking divisor ng numero d k ay ang numero d k mismo, kung gayon GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Ito ay nagtatapos sa pagsusuri ng mga pangunahing katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor.
Bibliograpiya.
- Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
- Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
- Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.
