Paglipat ng function ng isang dynamic na sistema. Pag-andar ng paghahatid

Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ng DE ay ginagawang posible na ipakilala ang isang maginhawang konsepto ng transfer function na nagpapakilala sa mga dynamic na katangian ng system.

Halimbawa, ang operator equation

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

maaaring i-convert sa pamamagitan ng pagtanggal ng (mga) X at (mga) Y sa mga bracket at paghahati sa isa't isa:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Ang resultang expression ay tinatawag na transfer function.

paglipat ng function ay ang ratio ng imahe ng output action na Y(s) sa imahe ng input X(s) sa ilalim ng zero na mga paunang kondisyon.

(2.4)

Ang transfer function ay isang fractional-rational function ng isang complex variable:

kung saan ang B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - numerator polynomial,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n ay ang denominator polynomial.

Ang transfer function ay may isang order, na tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng denominator polynomial (n).

Mula sa (2.4) sumusunod na ang imahe ng output signal ay matatagpuan bilang

Y(s) = W(s)*X(s).

Dahil ang paglipat ng function ng system ay ganap na tinutukoy ang mga dynamic na katangian nito, ang unang gawain ng pagkalkula ng ASR ay nabawasan sa pagtukoy ng paglipat ng function nito.

2.6.2 Mga halimbawa ng karaniwang mga link

Ang link ng system ay ang elemento nito, na may ilang mga katangian sa isang dynamic na kahulugan. Ang mga link ng mga control system ay maaaring magkaroon ng ibang pisikal na kalikasan (electrical, pneumatic, mechanical, etc. links), ngunit maaari silang ilarawan ng parehong kontrol, at ang ratio ng input at output signal sa mga link ay maaaring ilarawan ng parehong paglipat ng mga function.

Sa TAU, ang isang pangkat ng pinakasimpleng mga link ay nakikilala, na karaniwang tinatawag na tipikal. Ang mga static at dynamic na katangian ng karaniwang mga link ay lubos na pinag-aralan. Ang mga karaniwang link ay malawakang ginagamit sa pagtukoy ng mga dynamic na katangian ng mga control object. Halimbawa, ang pag-alam sa lumilipas na tugon na binuo gamit ang isang aparato sa pag-record, madalas na posible na matukoy kung anong uri ng mga link ang pag-aari ng control object, at, dahil dito, ang paglipat nito, differential equation, atbp., i.e. modelo ng bagay. Mga karaniwang link Ang anumang kumplikadong link ay maaaring katawanin bilang kumbinasyon ng pinakasimpleng mga link.

Ang pinakasimpleng karaniwang mga link ay kinabibilangan ng:

nagpapalakas,

inertial (aperiodic ng 1st order),

pagsasama-sama (totoo at perpekto),

pagkakaiba-iba (totoo at perpekto),

aperiodic 2nd order,

oscillatory,

nahuhuli.

1) Pagpapatibay ng link.

Pinapalaki ng link ang input signal ng K beses. Ang link equation y \u003d K * x, ang transfer function W (s) \u003d K. Ang parameter K ay tinatawag makakuha .

Ang output signal ng naturang link ay eksaktong inuulit ang input signal, pinalaki ng K beses (tingnan ang Figure 1.18).

Sa ilalim ng hakbang na pagkilos h(t) = K.

Ang mga halimbawa ng naturang mga link ay: mechanical transmissions, sensors, inertialess amplifier, atbp.

2) Pagsasama-sama.

2.1) Mainam na integrator.

Ang halaga ng output ng isang perpektong integrator ay proporsyonal sa integral ng halaga ng input:

; W(s) =

Kapag ang isang stepped action link x(t) = 1 ay inilapat sa input, ang output signal ay patuloy na tumataas (tingnan ang Figure 1.19):

Ang link na ito ay astatic, i.e. ay walang steady state.

Ang isang halimbawa ng naturang link ay isang lalagyan na puno ng likido. Ang input parameter ay ang daloy ng rate ng papasok na likido, ang output parameter ay ang antas. Sa una, ang lalagyan ay walang laman at sa kawalan ng daloy, ang antas ay zero, ngunit kung i-on mo ang suplay ng likido, ang antas ay nagsisimulang tumaas nang pantay-pantay.

2.2) Tunay na integrator.

P may form ang transfer function ng link na ito

W(s) =
.

Ang lumilipas na tugon, sa kaibahan sa perpektong link, ay isang curve (tingnan ang Fig. 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

Ang isang halimbawa ng isang integrating link ay isang DC motor na may independiyenteng paggulo, kung ang stator supply voltage ay kinuha bilang input action, at ang rotor rotation angle ay kinuha bilang ang output action. Kung ang boltahe ay hindi inilapat sa motor, kung gayon ang rotor ay hindi gumagalaw at ang anggulo ng pag-ikot nito ay maaaring makuha na katumbas ng zero. Kapag inilapat ang boltahe, ang rotor ay nagsisimulang umikot, at ang anggulo ng pag-ikot nito sa una ay dahan-dahan dahil sa pagkawalang-galaw, at pagkatapos ay mabilis na tumaas hanggang sa maabot ang isang tiyak na bilis ng pag-ikot.

3) Pagkakaiba-iba.

3.1) Ang perpektong pagkakaiba-iba.

Ang halaga ng output ay proporsyonal sa derivative ng oras ng input:

; W(s) = K*s

Sa pamamagitan ng stepped input signal, ang output signal ay isang impulse (-function): h(t) = K . (t).

3.2) Tunay na pagkakaiba-iba.

Ang perpektong pagkakaiba-iba ng mga link ay hindi pisikal na maisasakatuparan. Karamihan sa mga bagay na nag-iiba ng mga link ay tumutukoy sa tunay na pagkakaiba-iba ng mga link, ang mga function ng paglilipat na kung saan ay may anyo

W(s) =
.

Pansamantalang tugon:
.

Halimbawa ng link: electric generator. Ang input parameter ay ang anggulo ng pag-ikot ng rotor, ang output parameter ay boltahe. Kung ang rotor ay pinaikot sa isang tiyak na anggulo, ang boltahe ay lilitaw sa mga terminal, ngunit kung ang rotor ay hindi paikutin pa, ang boltahe ay bababa sa zero. Hindi ito maaaring mahulog nang husto dahil sa pagkakaroon ng inductance sa paikot-ikot.

4) Aperiodic (inertial).

Ang link na ito ay tumutugma sa DE at PF ng form

; W(s) =
.

Tukuyin natin ang likas na katangian ng pagbabago sa halaga ng output ng link na ito kapag ang isang hakbang na pagkilos ng halagang x 0 ay inilapat sa input.

Larawan ng hakbang na aksyon: X(s) = . Pagkatapos ang imahe ng dami ng output:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

I-decompose natin ang fraction sa mga simple:

=
+ =
= -
= -

Ang orihinal ng unang bahagi ayon sa talahanayan: L -1 () = 1, ang pangalawa:

L -1 ( } = .

Pagkatapos ay nakuha namin sa wakas

y(t) = K x 0 (1 - ).

Ang pare-parehong T ay tinatawag pare-pareho ang oras.

Karamihan sa mga thermal object ay aperiodic link. Halimbawa, kapag inilapat ang boltahe sa input ng isang electric furnace, magbabago ang temperatura nito ayon sa katulad na batas (tingnan ang Figure 1.22).

5) Mga link ng pangalawang order

Ang mga link ay may DU at PF ng form

W(s) =
.

Kapag ang isang stepped action na may amplitude x 0 ay inilapat sa input, ang transition curve ay magkakaroon ng isa sa dalawang uri: aperiodic (sa T 1  2T 2) o oscillatory (sa T 1< 2Т 2).

Kaugnay nito, ang mga link ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay nakikilala:

aperiodic 2nd order (T 1  2T 2),

inertial (T 1< 2Т 2),

konserbatibo (T 1 \u003d 0).

6) Naantala.

Kung, kapag ang isang tiyak na signal ay inilapat sa input ng isang bagay, hindi ito tumugon kaagad sa signal na ito, ngunit pagkatapos ng ilang oras, ang bagay ay sinasabing may pagkaantala.

Lag ay ang agwat ng oras mula sa sandaling nagbabago ang signal ng input hanggang sa simula ng pagbabago ng signal ng output.

Ang lagging link ay isang link na ang output value na y ay eksaktong inuulit ang input value x na may ilang pagkaantala :

y(t) = x(t - ).

Pag-andar ng paglilipat ng link:

W(s) \u003d e -  s.

Mga halimbawa ng mga pagkaantala: ang paggalaw ng likido sa pamamagitan ng pipeline (kung gaano karaming likido ang nabomba sa simula ng pipeline, napakaraming ilalabas sa dulo, ngunit pagkaraan ng ilang sandali, habang ang likido ay gumagalaw sa pipe), ang paggalaw ng kargamento sa kahabaan ng conveyor (ang pagkaantala ay tinutukoy ng haba ng conveyor at ang bilis ng sinturon), atbp. .d.

Ang pinakalayunin ng pagsusuri ng ACS ay upang malutas (kung maaari) o pag-aralan ang differential equation ng system sa kabuuan. Karaniwan, ang mga equation ng mga indibidwal na link na bahagi ng ACS ay kilala, at ang isang intermediate na problema ay lumitaw sa pagkuha ng differential equation ng system mula sa kilalang DE ng mga link nito. Sa klasikal na anyo ng representasyon ng DE, ang problemang ito ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap. Ang paggamit ng konsepto ng transfer function ay lubos na pinapasimple ito.

Hayaang ilarawan ang ilang sistema ng isang DE ng form.

Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon = p, kung saan ang p ay tinatawag na operator, o simbolo, ng pagkita ng kaibhan, at ngayon ay tinatrato ang simbolo na ito bilang isang ordinaryong algebraic na numero, pagkatapos ilagay ang x out at x sa labas ng mga bracket, makuha natin ang differential equation ng system na ito. sa operator form:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3.38)

Polynomial sa p, nakatayo sa halaga ng output,

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

ay tinatawag na eigenoperator, at ang polynomial sa input value ay tinatawag na action operator

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Ang transfer function ay ang ratio ng action operator sa sarili nitong operator:

W(p) = K(p)/D(p) = x out / x in. (3.41)

Sa mga sumusunod, halos lahat ng dako ay gagamitin natin ang operator form ng pagsulat ng mga differential equation.

Mga uri ng mga koneksyon sa link at algebra ng mga function ng paglilipat.

Ang pagkuha ng transfer function ng ACS ay nangangailangan ng kaalaman sa mga panuntunan para sa paghahanap ng mga transfer function ng mga grupo ng mga link kung saan ang mga link ay magkakaugnay sa isang tiyak na paraan. May tatlong uri ng koneksyon.

1. Sequential, kung saan ang output ng nakaraang link ay ang input para sa susunod (Fig. 3.12):

x palabas

kanin. 3.14. Counter-parallel na koneksyon.

Depende sa kung ang feedback signal x ay idinagdag sa input signal x sa o ibinawas mula dito, ang mga positibo at negatibong feedback ay nakikilala.

Batay pa rin sa pag-aari ng function ng paglipat, maaari tayong sumulat

W 1 (p) \u003d x out / (x sa ± x); W 2 (p) \u003d x / x out; W c \u003d x out / x in. (3.44)

Inaalis ang panloob na coordinate x mula sa unang dalawang equation, nakukuha namin ang transfer function para sa naturang koneksyon:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Tandaan na sa huling expression, ang plus sign ay tumutugma sa negatibo puna.

Sa kaso kapag ang ilang link ay may ilang mga input (bilang, halimbawa, isang object ng regulasyon), ang ilang mga transfer function ng link na ito na tumutugma sa bawat isa sa mga input ay isinasaalang-alang, halimbawa, kung ang link equation ay may form

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

kung saan ang K x (p) at K z (p) ay ang mga operator ng aksyon para sa mga input na x at z, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ang link na ito ay may mga function ng paglilipat para sa mga input na x at z:

Wx(p) = Kx(p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

Sa hinaharap, upang mabawasan ang mga entry sa mga expression ng mga function ng paglilipat at ang kaukulang mga operator, aalisin namin ang argumentong "p".

Ito ay sumusunod mula sa magkasanib na pagsasaalang-alang ng mga expression (3.46) at (3.47) na

y = W x x + W z z, (3.48)

ibig sabihin, sa pangkalahatang kaso, ang halaga ng output ng anumang link na may ilang mga input ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga halaga ng input at ang mga function ng paglipat para sa kaukulang mga input.

Ilipat ang function ng ACS sa pamamagitan ng perturbation.

Ang karaniwang anyo ng istraktura ng ACS, na nagtatrabaho sa paglihis ng kinokontrol na halaga, ay ang mga sumusunod:

W o z =K z /D bagay W o x =K x /D

W p y

-x

Fig.3.15. Isinara ang SAR.

Bigyang-pansin natin ang pangyayari na ang pagkilos ng pagsasaayos ay dumating sa bagay na may nabagong tanda. Ang koneksyon sa pagitan ng output ng object at input nito sa pamamagitan ng controller ay tinatawag na pangunahing feedback (sa kaibahan sa posibleng karagdagang feedback sa controller mismo). Ayon sa napaka pilosopikal na kahulugan ng regulasyon, ang aksyon ng regulator ay naglalayong pagbawas ng paglihis adjustable na halaga, at samakatuwid ang pangunahing feedback ay palaging negatibo. Sa fig. 3.15:

W o z - paglipat ng function ng bagay sa perturbation;

W o x - paglipat ng function ng bagay sa pagkilos ng regulasyon;

W p y - paglipat ng function ng controller sa pamamagitan ng deviation y.

Ang mga differential equation ng planta at ng controller ay ganito ang hitsura:

y=W o x x + W o z z

x = - W p y y. (3.49)

Ang pagpapalit ng x mula sa pangalawang equation sa una at pagpapangkat, makuha natin ang CAP equation:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

Kaya ang paglipat ng function ng ACS na may paggalang sa perturbation

W c z \u003d y / z \u003d W o z / (1 + W o x W p y) . (3.51)

Sa katulad na paraan, maaari mong makuha ang transfer function ng ACS para sa control action:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

kung saan ang W p u ay ang transfer function ng controller para sa control action.

3.4 Sapilitang vibrations at frequency na katangian ng ACS.

Sa totoong mga kondisyon ng operating, ang awtomatikong sistema ng kontrol ay madalas na napapailalim sa pagkilos ng mga pana-panahong nakakagambalang pwersa, na sinamahan ng pana-panahong mga pagbabago sa mga kinokontrol na halaga at mga pagkilos ng kontrol. Tulad, halimbawa, ay ang mga oscillations ng sisidlan sa panahon ng mga alon, oscillations sa dalas ng pag-ikot ng propeller, at iba pang mga dami. Sa ilang mga kaso, ang mga oscillation amplitudes ng mga halaga ng output ng system ay maaaring umabot sa hindi katanggap-tanggap na malalaking halaga, at ito ay tumutugma sa resonance phenomenon. Ang mga kahihinatnan ng resonance ay kadalasang nakapipinsala sa sistemang nakakaranas nito, halimbawa, pagtaob ng barko, pagsira ng makina. Sa mga sistema ng kontrol, ang mga naturang phenomena ay posible kapag ang mga katangian ng mga elemento ay nagbabago dahil sa pagsusuot, pagpapalit, muling pagsasaayos, at mga pagkabigo. Ang pangangailangan pagkatapos ay lumitaw alinman upang tukuyin ang mga ligtas na saklaw ng pagpapatakbo o upang maayos na ibagay ang ACS. Ang mga tanong na ito ay isasaalang-alang dito bilang inilapat sa mga linear system.

Hayaan ang ilang sistema na magkaroon ng sumusunod na istraktura:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Fig.3.16. ACS sa mode ng sapilitang mga oscillations.

Kung ang system ay apektado ng isang panaka-nakang aksyon x na may amplitude A x at circular frequency w, pagkatapos pagkatapos ng pagtatapos ng transient na proseso, ang mga oscillations ng parehong frequency na may amplitude A y at shifted na may kaugnayan sa input oscillations ng phase angle j ay maitatag sa output. Ang mga parameter ng output oscillations (amplitude at phase shift) ay nakasalalay sa dalas ng puwersang nagtutulak. Ang gawain ay upang matukoy ang mga parameter ng mga oscillations ng output mula sa mga kilalang parameter ng mga oscillations sa input.

Alinsunod sa transfer function ng ACS na ipinapakita sa Fig. 3.14, ang differential equation nito ay may anyo

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Ipalit natin sa (3.53) ang mga expression para sa x at y na ipinapakita sa Fig. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Kung isasaalang-alang natin ang pattern ng oscillation na inilipat ng isang-kapat ng panahon, pagkatapos ay sa equation (3.54) ang mga function ng sine ay papalitan ng mga function ng cosine:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

I-multiply ang equation (3.54) sa i = at idagdag ang resulta sa (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Paglalapat ng Euler formula

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

dinadala namin ang equation (3.56) sa form

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Gawin natin ang operasyon ng pagkita ng kaibhan ng oras na ibinigay ng p=d/dt operator:

A y exp=

Axexp(iwt). (3.58)

Pagkatapos ng mga simpleng pagbabagong nauugnay sa pagbabawas ng exp(iwt), nakukuha natin

Ang kanang bahagi ng expression (3.59) ay katulad ng expression ng CAP transfer function at maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng pagpapalit ng p=iw. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ito ay tinatawag na complex transfer function W(iw), o ang amplitude-phase na katangian (AFC). Kadalasan ginagamit din ang terminong frequency response. Malinaw na ang fraction na ito ay isang function ng kumplikadong argumento at maaari ding katawanin sa form na ito:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

kung saan ang M(w) at N(w) ay ang tunay at haka-haka na mga tugon sa dalas, ayon sa pagkakabanggit.

Ang ratio A y / A x ay ang AFC module at isang function ng frequency:

A y / A x \u003d R (w)

at tinatawag na amplitude-frequency na katangian (AFC). yugto

shift j =j (w) ay isa ring function ng frequency at tinatawag na phase frequency response (PFC). Kinakalkula ang R(w) at j(w) para sa frequency range (0…¥), posibleng i-plot ang AFC graph sa complex plane sa mga coordinate M(w) at iN(w) (Fig. 3.17).

R(ω)

ωcp

ω res

Fig.3.18. Mga katangian ng amplitude-frequency.

Ang frequency response ng system 1 ay nagpapakita ng resonant peak na tumutugma sa pinakamalaking amplitude ng forced oscillations. Ang pagtatrabaho sa zone na malapit sa resonant frequency ay maaaring nakapipinsala at kadalasang hindi katanggap-tanggap sa mga tuntunin ng pagpapatakbo ng isang partikular na bagay ng regulasyon. Ang frequency response ng type 2 ay walang resonant peak at mas pinipili para sa mga mechanical system. Makikita rin na sa pagtaas ng dalas, bumababa ang amplitude ng mga oscillations ng output. Sa pisikal, ito ay madaling ipinaliwanag: ang anumang sistema, dahil sa taglay nitong inertial na mga katangian, ay mas madaling sumailalim sa pag-indayog sa pamamagitan ng mababang frequency kaysa sa mataas. Simula sa isang tiyak na dalas, ang mga pagbabago sa output ay nagiging hindi gaanong mahalaga, at ang dalas na ito ay tinatawag na cutoff frequency, at ang frequency range sa ibaba ng cutoff frequency ay tinatawag na bandwidth. Sa teorya ng awtomatikong kontrol, ang cutoff frequency ay itinuturing na isa kung saan ang frequency response value ay 10 beses na mas mababa kaysa sa zero frequency. Ang pag-aari ng system upang mapawi ang mga high-frequency oscillations ay tinatawag na pag-aari ng low-pass na filter.

Isaalang-alang ang pamamaraan para sa pagkalkula ng frequency response gamit ang halimbawa ng pangalawang-order na link, ang differential equation kung saan

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

Sa mga problema ng sapilitang mga oscillations, ang isang mas nakapagpapakita na anyo ng equation ay kadalasang ginagamit

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

kung saan ay tinatawag na natural na dalas ng mga oscillations sa kawalan ng pamamasa, x =T 1 w 0 /2 ay ang pamamasa coefficient.

Ang paglipat ng function ay ganito ang hitsura:

Sa pamamagitan ng pagpapalit ng p = iw makuha natin ang katangian ng amplitude-phase

Gamit ang panuntunan para sa paghahati ng mga kumplikadong numero, nakakakuha kami ng expression para sa frequency response:

Alamin natin ang resonant frequency kung saan may maximum ang frequency response. Ito ay tumutugma sa minimum ng denominator ng pagpapahayag (3.66). Ang equating sa zero ang derivative ng denominator na may paggalang sa frequency w, mayroon tayong:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

kung saan nakuha namin ang halaga ng resonant frequency, na hindi katumbas ng zero:

w cut \u003d w 0 Ö 1 - 2x 2. (3.68)

Suriin natin ang expression na ito, kung saan isinasaalang-alang natin ang mga indibidwal na kaso, na tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng attenuation coefficient.

1. x = 0. Ang resonant frequency ay katumbas ng sarili nito, at ang frequency response modulus ay napupunta sa infinity. Ito ay isang kaso ng tinatawag na mathematical resonance.

2. . Dahil ang dalas ay ipinahayag bilang isang positibong numero, at mula sa (68) para sa kasong ito alinman sa zero o isang haka-haka na numero ay nakuha, ito ay sumusunod na para sa mga naturang halaga ng damping coefficient, ang frequency response ay walang resonant peak ( curve 2 sa Fig. 3.18).

3. . Ang frequency response ay may resonant peak, at sa pagbaba sa attenuation coefficient, ang resonant frequency ay lumalapit sa sarili nito at ang resonant peak ay nagiging mas mataas at matalas.

Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, nakukuha namin

(3.54)

Panuntunan: paglipat ng function ng system na may negatibo ang feedback ay katumbas ng isang fraction, ang numerator kung saan ay ang transfer function ng direktang channel , at ang denominator ay ang kabuuan ng pagkakaisa at ang produkto ng mga transfer function ng forward at reverse channel ng system.

Kailan positibo Ang feedback formula (3.54) ay kumukuha ng form

(3.55)

Sa pagsasagawa, karaniwang may mga system na may negatibong feedback, kung saan ang paglipat ng function ay matatagpuan sa pamamagitan ng kaugnayan (3.54).

3.3.4. Panuntunan sa paglipat

Sa ilang mga kaso, upang makuha ang pangkalahatang paglipat ng function ng system gamit ang mga pagbabagong istruktura, magiging mas maginhawang ilipat ang signal application point sa pamamagitan ng link na mas malapit sa output o input. Sa gayong pagbabago ng iskema ng istruktura, dapat sundin ng isa mga regulasyon: ang paglipat ng function ng system ay dapat manatiling hindi nagbabago.

Isaalang-alang ang sitwasyon kapag ang punto ng aplikasyon ng signal ay inilipat sa pamamagitan ng link na mas malapit sa output. Ang paunang istraktura ng system ay ipinapakita sa fig. 3.31. Tukuyin natin para dito ang resultang transfer function

Ilipat natin ang punto ng aplikasyon ng signal sa pamamagitan ng link na may transfer function sa pamamagitan ng pagdaragdag ng ilang transfer function sa channel na ito.

kanin. 3.32. Block diagram ng na-convert na sistema.

Para dito, may form ang transfer function

Dahil kapag binago ang istraktura ng system, hindi dapat magbago ang transfer function nito, sa pamamagitan ng equating ng mga tamang bahagi ng expression (3.56) at (3.57), tinutukoy namin ang gustong transfer function.

Kaya, kapag inililipat ang punto ng aplikasyon ng signal na mas malapit sa output ng system, ang paglipat ng function ng link kung saan inililipat ang signal ay dapat idagdag sa channel.

Katulad tuntunin ay maaaring mabalangkas upang ilipat ang punto ng aplikasyon ng signal na mas malapit sa input ng system: ang inverse transfer function ng link kung saan ang signal ay inilipat ay dapat idagdag sa kaukulang channel.

Halimbawa 3.1

Tukuyin ang pangkalahatang paglipat ng function ng system, ang block diagram na kung saan ay ipinapakita sa fig. 3.33.

Paunang tukuyin natin ang mga function ng paglilipat ng mga tipikal na koneksyon ng link: paglipat ng function ng isang parallel na koneksyon ng mga link

at ang function ng paglilipat ng mga link na konektado sa serye

kanin. 3.33. Structural diagram ng system

Isinasaalang-alang ang ipinakilala na notasyon, ang istraktura ng system ay maaaring mabawasan sa form na ipinapakita sa Fig. 3.34.

Gamit ang mga pagbabagong istruktura, isinusulat namin ang pangkalahatang pagpapaandar ng paglipat ng system

Ang pagpapalit para sa at ang kanilang mga halaga, sa wakas ay nakuha natin

Halimbawa 3.2

Tukuyin ang transfer function ng awtomatikong target tracking system ng radar station , ang block diagram na kung saan ay ipinapakita sa fig. 3.35.

kanin. 3.35. Structural diagram ng awtomatikong target tracking system

Narito ang transfer function ng system receiver; - paglipat ng function ng phase detector; - paglipat ng function ng power amplifier; - paglipat ng function ng engine; - paglipat ng function ng reducer; - paglipat ng function ng antenna speed sensor; - paglipat ng function ng corrective device.

Gamit ang mga patakaran ng mga pagbabago sa istruktura, sumulat kami

paglipat ng function

Tukuyin ang paglipat ng function ng panloob na loop

at direktang channel system

Tukuyin natin ang kabuuang transfer function ng system

Ang pagpapalit sa halip na mga intermediate transfer function , ang mga paunang halaga, sa wakas ay nakuha namin

3.4. Block diagram na tumutugma sa mga differential equation

Ang pangalawang paraan upang gumuhit ng isang block diagram ay batay sa paggamit ng mga differential equation. Isaalang-alang muna ito para sa isang bagay na ang pag-uugali ay inilalarawan ng mga equation ng vector-matrix (2.1), (2.2):

(3.59)

Isama natin ang equation ng estado sa (3.59) na may paggalang sa oras at tukuyin ang mga variable ng estado at output bilang

(3.60)

Ang mga equation (3.60) ay pangunahing para sa pag-chart.

kanin. 3.36. Structural diagram na naaayon sa mga equation
estado ng bagay

Ang block diagram na naaayon sa mga equation (3.60) ay mas maginhawang ilarawan, simula sa mga variable ng output y, at ito ay kanais-nais na ilagay ang input at output variable ng bagay sa parehong pahalang na linya (Larawan 3.36).

Para sa isang single-channel na bagay, ang isang block diagram ay maaaring iguhit ayon sa equation (2.3), na nireresolba ito nang may kinalaman sa pinakamataas na derivative.

Ang pagkakaroon ng pinagsamang (3.61) n beses, nakukuha namin

(3.62)

Ang sistema ng mga equation (3.62) ay tumutugma sa block diagram na ipinapakita sa fig. 3.37.

kanin. 3.37. Block diagram na tumutugma sa equation (3.61)

Gaya ng nakikita mo, ang isang single-channel control object, na ang pag-uugali ay inilalarawan sa pamamagitan ng equation (3.61), ay maaaring palaging structural na kinakatawan bilang isang chain ng n mga integrator ng feedback na konektado sa serye.

Halimbawa 3.3

Gumuhit ng block diagram ng isang bagay na ang modelo ay ibinigay ng sumusunod na sistema ng mga differential equation:

Paunang isama natin ang mga equation ng estado

kanin. 3.38. Ilustrasyon ng Structural charting
ayon sa mga equation ng estado

Alinsunod sa mga integral equation sa Fig. 3.38 ilarawan natin ang block diagram ng system.

3.5. Transition mula sa transfer function sa canonical na paglalarawan

Talakayin natin ang mga pinakakilalang paraan ng pagbabago ng modelo ng matematika ng isang bagay sa anyo ng isang arbitrary na paglipat ng function sa isang paglalarawan sa mga variable ng estado. Para sa layuning ito, ginagamit namin ang naaangkop na mga block diagram. Tandaan na ang problemang ito ay malabo, dahil ang mga variable ng estado para sa isang bagay ay maaaring piliin sa iba't ibang paraan (tingnan ang Sec. 2.2).

Isaalang-alang ang dalawang opsyon para sa paglipat sa paglalarawan sa mga variable ng estado mula sa paglipat ng function ng bagay

(3.63)

kung saan Irepresenta muna natin ang (3.63) bilang isang produkto ng dalawang transfer function:

Ang bawat isa sa mga representasyong ito (3.63) ay may sariling simpleng modelo sa mga variable ng estado, na tinatawag na kanonikal na anyo.

3.5.1. Unang kanonikal na anyo

Isaalang-alang ang pagbabagong-anyo ng mathematical model ng system na may transfer function (3.64). Ang block diagram nito ay maaaring ilarawan bilang dalawang link na konektado sa serye
(Larawan 3.39).

kanin. 3.39. Estruktural na representasyon ng system (3.64)

Para sa bawat link ng system, isinusulat namin ang kaukulang operator equation

(3.66)

Alamin natin mula sa unang equation (3.66) ang pinakamataas na derivative ng variable z, na tumutugma sa halaga sa form ng operator

Ang resultang expression ay nagpapahintulot sa amin na kumatawan sa unang equation (3.66) bilang isang chain ng n feedback integrators (tingnan ang Sec. 3.5), at ang output variable y ay nabuo alinsunod sa pangalawang equation (3.66) bilang kabuuan ng variable z at siya m derivatives (Larawan 3.40).

kanin. 3.40. Scheme na tumutugma sa mga equation (3.66)

Gamit ang mga pagbabagong istruktura, nakukuha namin ang block diagram ng system na ipinapakita sa fig. 3.41.

kanin. 3.41. Block diagram na naaayon sa canonical form

Tandaan na ang block diagram na naaayon sa transfer function (3.64) ay binubuo ng chain n mga integrator, kung saan n- ang pagkakasunud-sunod ng sistema. Bukod dito, ang mga coefficient ng denominator ng orihinal na function ng paglipat (mga coefficient ng katangian na polynomial) ay nasa feedback, at ang mga coefficient ng polynomial ng numerator nito ay direktang konektado.

Hindi mahirap ipasa mula sa nakuha na block diagram sa modelo ng system sa mga variable ng estado. Para sa layuning ito, kinukuha namin ang output ng bawat integrator bilang isang variable ng estado

na nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga differential equation ng estado at ang system output equation (3.63) sa anyo

(3.67)

Ang sistema ng mga equation (3.67) ay maaaring katawanin sa vector-matrix form (2.1) na may mga sumusunod na matrice:

Ang modelo ng system sa mga variable ng estado (3.67) ay tatawagin unang kanonikal na anyo.

3.5.2. Pangalawang canonical form

Isaalang-alang natin ang pangalawang paraan ng paglipat mula sa paglipat ng function (3.63) patungo sa paglalarawan sa mga variable ng estado, kung saan eskematiko nating kinakatawan ang istraktura ng system (3.65) sa fig. 3.42.

kanin. 3.42. Structural representation ng transfer function (3.65)

Ang mga equation ng operator nito ay may anyo

(3.68)

Katulad ng nakaraang kaso, kinakatawan namin ang unang equation sa (3.68) bilang isang chain ng n mga integrator na may feedback, at ang input action z form alinsunod sa pangalawang equation (3.68) sa anyo ng kabuuan ng kontrol u at m mga derivatives nito (Larawan 3.43).

Bilang resulta ng mga pagbabagong istruktura, nakakakuha kami ng isang block diagram ng system na ipinapakita sa fig. 3.44. Tulad ng nakikita natin, sa kasong ito, masyadong, ang block diagram na naaayon sa transfer function (3.65) ay binubuo ng chain n mga integrator. Ang mga coefficient ng katangiang polynomial ay nasa feedback din, at ang mga coefficient ng polynomial ng numerator nito ay nasa direktang koneksyon.

kanin. 3.43. Scheme na naaayon sa mga equation (3.68)

kanin. 3.44. Block diagram na naaayon sa transfer function (3.65)

Muli, pinipili namin ang mga halaga ng output ng mga integrator bilang mga variable ng estado at isulat ang mga differential equation ng estado at ang output equation na may paggalang sa kanila.

(3.69)

Gamit ang mga equation (3.69), tinukoy namin ang mga matrice

Ang modelo ng system sa mga variable ng estado ng uri (3.69) ay tatawagin pangalawang kanonikal na anyo.

Tandaan na ang matrix A ay hindi nagbabago para sa una o pangalawang canonical form at naglalaman ng mga coefficient ng denominator ng orihinal na function ng paglipat (3.63). Ang transfer function numerator coefficients (3.63) ay naglalaman ng matrix C(sa kaso ng unang canonical form) o matrix B(sa kaso ng pangalawang canonical form). Samakatuwid, ang mga equation ng estado na naaayon sa dalawang canonical na representasyon ng system ay maaaring direktang isulat sa mga tuntunin ng transfer function (3.63) nang hindi pumunta sa mga block diagram na ipinapakita sa Fig. 3.40 at 3.43.

Tulad ng nakikita mo, ang paglipat mula sa paglipat ng function sa paglalarawan sa mga variable ng estado ay isang hindi tiyak na gawain. Isinaalang-alang namin ang mga pagpipilian para sa paglipat sa canonical na paglalarawan, na kadalasang ginagamit sa teorya ng awtomatikong kontrol.

Halimbawa 3.4

Kumuha ng dalawang bersyon ng canonical na paglalarawan at ang kaukulang block diagram para sa system, ang modelo kung saan may anyo

Ginagamit namin ang representasyon ng transfer function sa form (3.64) at isulat ang mga equation ng operator para dito

mula sa kung saan nagpapatuloy kami sa block diagram na ipinapakita sa Fig. 3.45.

kanin. 3.45. Block diagram na naaayon sa unang canonical form

Batay sa structural scheme na ito, isinulat namin ang mga equation ng unang canonical form sa form

Upang makapasa sa pangalawang canonical form, kinakatawan namin ang transfer function ng system sa form (3.65) at isulat ang mga sumusunod na operator equation para dito:

na tumutugma sa block diagram na ipinapakita sa fig. 3.46.

kanin. 3.46. Block diagram na naaayon sa pangalawang canonical form

Isinulat namin ngayon ang modelo ng system sa anyo ng pangalawang canonical form

3.6. Saklaw ng paraan ng istruktura

Ang paraan ng istruktura ay maginhawa sa pagkalkula ng mga linear na awtomatikong sistema, ngunit may mga limitasyon nito. Ang pamamaraan ay nagsasangkot ng paggamit ng mga function ng paglilipat, kaya maaari itong mailapat, bilang panuntunan, sa ilalim ng zero na mga paunang kondisyon.

Kapag ginagamit ang paraan ng istruktura, dapat mong sundin ang mga sumusunod mga regulasyon: para sa anumang pagbabago ng system, ang pagkakasunud-sunod nito ay hindi dapat bumaba, ibig sabihin, hindi katanggap-tanggap na bawasan ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ng transfer function. Sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong mga multiplier, sa gayon ay itinatapon namin ang talagang umiiral na mga link mula sa system. Ilarawan natin ang pahayag na ito sa isang halimbawa.

Halimbawa 3.5

Isaalang-alang ang isang sistema na binubuo ng pagsasama-sama at pagkakaiba-iba ng mga link, na konektado sa serye.

Ang unang bersyon ng koneksyon ng mga link ay ipinapakita sa Fig. 3.47.

Gamit ang mga pagbabagong istruktura, nakita namin ang pangkalahatang pagpapaandar ng paglipat

Ito ay nagpapahiwatig ng konklusyon na ang naturang koneksyon ng mga link ay katumbas ng isang inertialess na link, ibig sabihin, ang signal sa output ng system ay inuulit ang signal sa input nito. Ipakita natin ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga equation ng mga indibidwal na link. Ang output signal ng integrator ay tinutukoy ng kaugnayan

nasaan ang paunang kondisyon sa integrator. Ang signal sa output ng differentiating link, at samakatuwid ang buong sistema, ay may anyo

na tumutugma sa konklusyon na ginawa batay sa pagsusuri ng pangkalahatang paglipat ng function ng mga link.

Ang pangalawang variant ng pagkonekta sa mga link ay ipinapakita sa Fig. 3.48, ibig sabihin, ang mga link ay napalitan na. Ang paglipat ng function ng system ay kapareho ng sa unang kaso,

Gayunpaman, ngayon ang output ng system ay hindi inuulit ang input signal. Ito ay makikita sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga equation ng mga link. Ang signal sa output ng differentiating link ay tumutugma sa equation

at sa output ng sistema ay tinutukoy ng kaugnayan

Tulad ng nakikita mo, sa pangalawang kaso, ang output signal ay naiiba mula sa signal sa output ng unang system sa pamamagitan ng halaga ng paunang halaga, sa kabila ng katotohanan na ang parehong mga system ay may parehong function ng paglipat.

Konklusyon

Isinasaalang-alang ng seksyong ito ang mga dynamic na katangian ng mga tipikal na link na bumubuo sa mga control system ng arbitrary na pagsasaayos. Ang mga tampok ng mga block diagram na binuo batay sa mga function ng paglipat at mga equation ng kaugalian ay tinalakay. Dalawang paraan ng paglipat mula sa paglipat ng function ng system sa pamamagitan ng mga block diagram sa mga modelo nito sa anyo ng mga variable ng estado na naaayon sa iba't ibang mga canonical form ay ibinigay.

Dapat pansinin na ang representasyon ng isang sistema sa anyo ng isang block diagram ay ginagawang posible sa ilang mga kaso upang suriin ang mga static at dinamika nito at, sa esensya, ay nagbibigay ng isang istrukturang larawan ng system.

3.1. Gumuhit ng block diagram ng system, ang differential equation na may anyo:

sa)

3.2. Gumuhit ng isang block diagram ng system, ang modelo kung saan ipinakita sa mga variable ng estado:

a) b)

sa) G)

3.3. Tukuyin ang paglipat ng mga function ng mga system kung ang kanilang mga block diagram ay may anyo na ipinapakita sa fig. 3.49.

kanin. 3.49. Block diagram para sa gawain 3.3

3.4. Ang mga block diagram ng system ay kilala (Larawan 3.50). Itala ang kanilang mga modelo sa mga variable ng estado.

kanin. 3.50. Block diagram para sa gawain 3.4

3.5. Ang block diagram ng system ay kilala (Larawan 3.51).

kanin. 3.51.

1. Tukuyin ang transfer function sa ilalim ng pagpapalagay na

2. Tukuyin ang transfer function na ipinapalagay

3. Isulat ang modelo ng system sa mga variable ng estado.

4. Ulitin ang mga talata. 1 at 2 para sa system na ang block diagram ay ipinapakita sa fig. 3.52.

kanin. 3.52. Block diagram para sa gawain 3.5

3.6 .

3.7. Gumuhit ng block diagram na naaayon sa unang kanonikal na anyo ng paglalarawan ng isang sistema na may transfer function

1. Isulat ang unang kanonikal na anyo.

2. Gumuhit ng block diagram na tumutugma sa pangalawang kanonikal na anyo ng paglalarawan ng system.

3. Isulat ang pangalawang kanonikal na anyo.

3.8. Gumuhit ng block diagram na naaayon sa unang kanonikal na anyo ng paglalarawan ng isang sistema na may transfer function

1. Isulat ang unang kanonikal na anyo.

2. Gumuhit ng block diagram na tumutugma sa pangalawang kanonikal na anyo ng paglalarawan ng system.

3. Isulat ang pangalawang kanonikal na anyo.

Panitikan

1. Andreev Yu.N. Kontrol ng may hangganan-dimensional na mga linear na bagay. - M.: Nauka, 1978.

2. Besekersky V.A..,Popov E.P.. Teorya ng awtomatikong kontrol. - M.: Nauka, 1974.

3. Erofeev A. A. Teorya ng awtomatikong kontrol. - St. Petersburg: Poli-technics, 1998.

4. Ivashchenko N.N. Awtomatikong regulasyon. - M.: Mashinostroenie, 1978.

5. Pervozvansky A.A. Kurso ng teorya ng awtomatikong kontrol. - M.: Mas mataas. paaralan, 1986.

6. Popov E.P. Teorya ng mga linear na sistema ng awtomatikong regulasyon at kontrol. - M.: Mas mataas. paaralan, 1989.

7. Konovalov G.F. Radioautomatics. - M.: Mas mataas. paaralan, 1990.

8. Philips Ch.,Harbor R. Mga sistema ng kontrol ng feedback. - M.: Basic Knowledge Laboratory, 2001.

LINEAR SYSTEMS

AUTOMATIC CONTROL

Publishing house OmSTU

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation

Institusyong pang-edukasyon ng estado

mas mataas na propesyonal na edukasyon

"Omsk State Technical University"

LINEAR SYSTEMS

AUTOMATIC CONTROL

Mga tagubilin sa pamamaraan para sa praktikal na gawain

Publishing house OmSTU

Compiler E. V. Shendaleva, cand. tech. Mga agham

Ang publikasyon ay naglalaman ng mga patnubay para sa praktikal na gawain sa teorya ng awtomatikong kontrol.

Ito ay inilaan para sa mga mag-aaral ng specialty 200503, "Standardization and Certification", pag-aaral ng disiplina na "Fundamentals of Automatic Control".

Nai-publish sa pamamagitan ng desisyon ng editoryal at publishing council

Omsk State Technical University

Teknikal na Unibersidad", 2011

Ang pangangailangan na gamitin ang pamamaraan ng teorya ng pamamahala para sa mga espesyalista sa standardisasyon at sertipikasyon ay lumitaw kapag tinutukoy:

1) dami at (o) husay na mga katangian ng mga katangian ng pagsubok na bagay bilang isang resulta ng impluwensya dito sa panahon ng operasyon nito, kapag nagmomodelo ng bagay at (o) mga impluwensya, ang batas ng pagbabago na dapat ibigay sa tulong ng isang awtomatikong sistema ng kontrol;

2) mga dynamic na katangian ng bagay ng mga sukat at pagsubok;

3) ang impluwensya ng mga dynamic na katangian ng mga instrumento sa pagsukat sa mga resulta ng mga sukat at pagsubok ng bagay.

Ang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga bagay ay isinasaalang-alang sa mga praktikal na gawain.

Praktikal na gawain 1

Mga dinamikong tampok

Mag-ehersisyo 1.1

Maghanap ng function ng timbang w(t) sa pamamagitan ng kilalang transition function

h(t) = 2(1–e –0.2 t).

Solusyon

w(t)=h¢( t), kaya kapag iniiba ang orihinal na expression

w(t)=0.4e –0.2 t .

Mag-ehersisyo 1.2

Hanapin ang transfer function ng system mula sa differential equation 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Ang mga paunang kondisyon ay zero.

Solusyon

Ang differential equation ay na-convert sa standard form sa pamamagitan ng paghahati sa coefficient sa term y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Ang resultang equation ay binago ayon sa Laplace

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

at pagkatapos ay isinulat bilang isang function ng paglipat:

saan s= a + i w ang operator ng Laplace.

Mag-ehersisyo 1.3

Hanapin ang Transfer Function W(s) ng system na may paggalang sa kilalang function ng timbang w(t)=5–t.

Solusyon

Pagbabago ng Laplace

. (1.1)

Gamit ang kaugnayan sa pagitan ng transfer function at weight function W(s) = w(s), nakukuha namin

Maaaring makuha ang pagbabagong Laplace sa pamamagitan ng pagkalkula (1.1), gamit ang mga talahanayan ng pagbabago ng Laplace o gamit ang pakete ng software ng Matlab. Ang programa sa Matlab ay ibinigay sa ibaba.

syms s t

x=5-t% function ng oras

y=laplace(x)% ay isang Laplace-transformed function.

Mag-ehersisyo 1.4

Gamit ang transfer function ng system, hanapin ang tugon nito sa isang hakbang na aksyon (transition function)

Solusyon

Inverse Laplace Transform

, (1.2)

kung saan ang c ay ang abscissa ng convergence x(s).

Ayon sa prinsipyo ng superposition, wasto para sa mga linear system

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

saan h(t) ay ang transition function ng buong system;

h 1 (t) ay ang transition function ng integrating link

;

h 2 (t) ay ang lumilipas na function ng amplifying link

Ito ay kilala na h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2×δ( t), pagkatapos h(t)=k 1× t+k 2×δ( t).

Ang inverse Laplace transform ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkalkula (1.2), gamit ang Laplace transform table o gamit ang Matlab software package. Ang programa sa Matlab ay ipinapakita sa ibaba.

syms s k1 k2% notation para sa mga simbolikong variable

y=k1/s+k2% Laplace-transformed function

x=ilaplace(y)% ay isang pansamantalang function.

Mag-ehersisyo 1.5

Hanapin ang mga katangian ng amplitude-frequency at phase-frequency mula sa kilalang transfer function ng system

Solusyon

Upang matukoy ang amplitude-frequency (AFC) at phase-frequency na katangian (PFC), kinakailangan na lumipat mula sa transfer function patungo sa amplitude-phase na katangian W(i w) bakit baguhin ang argumento s → i w

Pagkatapos ay katawanin ang AFC sa form W(i w)= P(w)+ iQ(w), saan P(w) ay ang tunay na bahagi, Q(w) ay ang haka-haka na bahagi ng AFC. Upang makuha ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng AFC, kinakailangan na i-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng isang kumplikadong numero na conjugate sa expression sa denominator:

Ang AFC at PFC ay tinutukoy, ayon sa pagkakabanggit, ng mga formula

, ;

Katangian ng amplitude-phase W(j w) ay maaaring katawanin bilang

Mag-ehersisyo 1.6

Tukuyin ang Signal y(t) sa output ng system ayon sa kilalang input signal at ang transfer function ng system

x(t)=2sin10 t; .

Ito ay kilala na kapag nakalantad sa input signal x(t)=B sinw t bawat signal ng output ng system y(t) ay magiging harmonic din, ngunit mag-iiba mula sa input amplitude at phase

y(t) = B× A(w) kasalanan,

saan A(w) – dalas ng pagtugon ng system; j(w) - PFC ng system.

Sa pamamagitan ng transfer function, tinutukoy namin ang frequency response at phase response

j(w)=- arctg0,1w.

Sa dalas ng w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 at j(10) = –arctg1=–0.25p.

Pagkatapos y(t) = 2×2 kasalanan(10 t-0.25p) = 4 na kasalanan(10 t-0.25p).

mga tanong sa pagsusulit:

1. Tukuyin ang konsepto ng isang function ng timbang.

2. Tukuyin ang konsepto ng isang transition function.

3. Ano ang layunin ng paggamit ng Laplace transform kapag naglalarawan ng mga dynamic na link?

4. Anong mga equation ang tinatawag na linear differential?

5. Para sa anong layunin, kapag pumasa sa isang equation sa operator form, ang orihinal na differential equation ay na-convert sa isang standard form?

6. Paano inaalis ang expression na may isang haka-haka na numero mula sa denominator ng katangian ng amplitude-phase?

7. Tukuyin ang direktang Laplace transform command sa Matlab software package.

8. Tukuyin ang inverse Laplace transform command sa Matlab software package.

Praktikal na gawain 2

Paglipat ng mga function

Mag-ehersisyo 2.1

Hanapin ang transfer function ng system ayon sa block diagram nito.

Solusyon

Ang mga pangunahing paraan ng pagkonekta ng mga link sa mga block diagram ay: parallel, serial at koneksyon ng mga link na may feedback (karaniwang mga seksyon ng mga link).

Ang transfer function ng isang sistema ng parallel connected links ay katumbas ng kabuuan ng transfer functions ng mga indibidwal na link (Fig. 2.1)

. (2.1)

kanin. 2.1. Parallel na koneksyon ng mga link

Ang function ng paglipat ng isang sistema ng mga link na konektado sa serye ay katumbas ng produkto ng mga function ng paglilipat ng mga indibidwal na link (Larawan 2.2)

(2.2)

kanin. 2.2. Serial na koneksyon ng mga link

Ang feedback ay ang paglipat ng isang signal mula sa output ng isang link patungo sa input nito, kung saan ang feedback signal ay algebraically summed sa isang panlabas na signal (Fig. 2.3).

kanin. 2.3 Koneksyon sa feedback: a) positibo, b) negatibo

Paglipat ng function ng positibong feedback na koneksyon

, (2.3)

negatibong feedback connection transfer function

. (2.4)

Ang paglipat ng function ng isang kumplikadong sistema ng kontrol ay tinutukoy ng hakbang-hakbang. Upang gawin ito, piliin ang mga seksyon na naglalaman ng mga serial, parallel na koneksyon at mga koneksyon na may feedback (karaniwang mga seksyon ng mga link) (Fig. 2.4)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

kanin. 2.4. Structural diagram ng control system

Pagkatapos ang napiling tipikal na seksyon ng mga link ay pinalitan ng isang link na may kinakalkula na function ng paglipat at ang pamamaraan ng pagkalkula ay paulit-ulit (Larawan 2.5 - 2.7).

kanin. 2.5. Pinapalitan ang Parallel Connection at ang Feedback Connection ng Isang Link

kanin. 2.6. Pinapalitan ang isang koneksyon sa feedback ng isang link

kanin. 2.7. Pagpapalit ng serial connection ng isang link

(2.5)

Mag-ehersisyo 2.2

Tukuyin ang transfer function kung ang transfer function ng mga link na kasama dito:

Solusyon

Kapag pinapalitan sa (2.5) ang mga function ng paglilipat ng mga link

Ang pagbabagong-anyo ng block diagram na may paggalang sa input control action (Fig. 2.7, 2.11) ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkalkula (2.5) o gamit ang Matlab software package. Ang programa sa Matlab ay ibinigay sa ibaba.

W1=tf(,)% Transmission function W 1

W2=tf(,)% Transmission function W 2

W3=tf(,)% Transmission function W 3

W4=tf(,)% Transmission function W 4

W5=tf(,)% Transmission function W 5

W34=parallel(W3,W4)% parallel na koneksyon ( W 3 + W 4)

W25=feedback(W2,W5)

W134=feedback(W1,W34)% negatibong feedback

W12345=serye(W134,W25)% serial connection ( W 134× W 25)

W=feedback(W12345,1)

Mag-ehersisyo 2.3.

Hanapin ang paglipat ng function ng isang saradong sistema sa pamamagitan ng nakakagambalang pagkilos

Solusyon

Upang matukoy ang paglipat ng function ng isang kumplikadong sistema sa pamamagitan ng isang nakakagambalang aksyon, kinakailangan na gawing simple ito at isaalang-alang ito na may kaugnayan sa nakakagambalang pagkilos ng input (Larawan 2.8 - 2.12).

Fig.2.8. Ang paunang block diagram ng awtomatikong sistema

kanin. 2.9. Pagpapasimple ng block diagram

kanin. 2.10. Pinasimple na block diagram

kanin. 2.11. Structural diagram na may kaugnayan sa input control action

kanin. 2.12. Structural diagram ng system na may paggalang sa nakakagambalang aksyon

Pagkatapos dalhin ang block diagram sa isang single-loop transfer function para sa nakakabagabag na aksyon f(t)

(2.6)

Ang pagbabagong-anyo ng block diagram na may paggalang sa nakagagambalang aksyon (Fig. 2.12) ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkalkula (2.6) o gamit ang Matlab software package.

W1=tf(,)% Transmission function W 1

W2=tf(,)% Transmission function W 2

W3=tf(,)% Transmission function W 3

W4=tf(,)% Transmission function W 4

W5=tf(,)% Transmission function W 5

W34=parallel(W3,W4)% parallel na koneksyon

W25=feedback(W2,W5)% negatibong feedback

W134=feedback(W1,W34)% negatibong feedback

Wf=feedback(W25,W134)% negatibong feedback.

Mag-ehersisyo 2. 4

Tukuyin ang closed-loop transfer function para sa error.

Solusyon

Ang isang block diagram para sa pagtukoy ng transfer function ng isang closed system para sa isang control error ay ipinapakita sa fig. 2.13.

kanin. 2.13. Structural diagram ng system na may kaugnayan sa control error

Closed-loop transfer function para sa error

(2.7)

Kapag pinapalitan ang mga numerical na halaga

Ang pagbabago ng block diagram na may paggalang sa control error signal (Larawan 2.13) ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkalkula (2.7) o gamit ang Matlab software package.

W1=tf(,)% Transmission function W 1

W2=tf(,)% Transmission function W 2

W3=tf(,)% Transmission function W 3

W4=tf(,)% Transmission function W 4

W5=tf(,)% Transmission function W 5

W34=parallel(W3,W4)% parallel na koneksyon)

W25=feedback(W2,W5)% negatibong feedback

W134=feedback(W1,W34)% negatibong feedback

Kami=feedback(1,W134*W25)% negatibong feedback

mga tanong sa pagsusulit:

1. Ilista ang mga pangunahing paraan ng pagkonekta ng mga link sa mga block diagram.

2. Tukuyin ang transfer function ng system ng parallel connected links.

3. Tukuyin ang transfer function ng system ng mga series-connected links.

4. Tukuyin ang transfer function na may positibong feedback.

5. Tukuyin ang negatibong feedback transfer function.

6. Tukuyin ang transfer function ng linya ng komunikasyon.

7. Aling utos ng Matlab ang ginagamit upang matukoy ang function ng paglipat ng dalawang magkatulad na konektadong mga link?

8. Aling utos ng Matlab ang ginagamit upang matukoy ang function ng paglilipat ng dalawang magkakaugnay na link?

9. Aling utos ng Matlab ang ginagamit upang matukoy ang function ng paglilipat ng isang link na sakop ng feedback?

10. Gumuhit ng block diagram ng system para matukoy ang transfer function para sa control action.

11. Isulat ang transfer function para sa control action.

12. Gumuhit ng block diagram ng system para sa pagtukoy ng transfer function mula sa perturbing parameter.

13. Isulat ang transfer function para sa perturbing parameter.

14. Gumuhit ng block diagram ng system para sa pagtukoy ng transfer function para sa control error.

15. Isulat ang transfer function para sa control error.

Praktikal na gawain 3

Complex Transfer Function Decomposition

Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ng DE ay ginagawang posible na ipakilala ang isang maginhawang konsepto ng transfer function na nagpapakilala sa mga dynamic na katangian ng system.

Halimbawa, ang operator equation

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

maaaring i-convert sa pamamagitan ng pagtanggal ng (mga) X at (mga) Y sa mga bracket at paghahati sa isa't isa:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Ang resultang expression ay tinatawag na transfer function.

paglipat ng function ay ang ratio ng imahe ng output action na Y(s) sa imahe ng input X(s) sa ilalim ng zero na mga paunang kondisyon.

(2.4)

Ang transfer function ay isang fractional-rational function ng isang complex variable:

kung saan ang B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - numerator polynomial,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n ay ang denominator polynomial.

Ang transfer function ay may isang order, na tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng denominator polynomial (n).

Mula sa (2.4) sumusunod na ang imahe ng output signal ay matatagpuan bilang

Y(s) = W(s)*X(s).

Dahil ang paglipat ng function ng system ay ganap na tinutukoy ang mga dynamic na katangian nito, ang unang gawain ng pagkalkula ng ASR ay nabawasan sa pagtukoy ng paglipat ng function nito.

Mga halimbawa ng karaniwang mga link

Ang pinakasimpleng karaniwang mga link ay kinabibilangan ng:

nagpapalakas,

inertial (aperiodic ng 1st order),

pagsasama-sama (totoo at perpekto),

pagkakaiba-iba (totoo at perpekto),

aperiodic 2nd order,

oscillatory,

antala.

1) Pagpapatibay ng link.

Pinapalaki ng link ang input signal ng K beses. Ang link equation y \u003d K * x, ang transfer function W (s) \u003d K. Ang parameter K ay tinatawag makakuha .

Ang output signal ng naturang link ay eksaktong inuulit ang input signal, pinalaki ng K beses (tingnan ang Figure 1.18).

Sa ilalim ng hakbang na pagkilos h(t) = K.

Ang mga halimbawa ng naturang mga link ay: mechanical transmissions, sensors, inertialess amplifier, atbp.

2) Pagsasama-sama.

2.1) Mainam na integrator.

Ang halaga ng output ng isang perpektong integrator ay proporsyonal sa integral ng halaga ng input:

; W(s) =

Kapag ang isang stepped action link x(t) = 1 ay inilapat sa input, ang output signal ay patuloy na tumataas (tingnan ang Figure 1.19):

Ang link na ito ay astatic, i.e. ay walang steady state.

2.2) Tunay na integrator.

Ang transfer function ng link na ito ay may form

Ang lumilipas na tugon, sa kaibahan sa perpektong link, ay isang curve (tingnan ang Fig. 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

3) Pagkakaiba-iba.

3.1) Ang perpektong pagkakaiba-iba.

Ang halaga ng output ay proporsyonal sa derivative ng oras ng input:

Sa pamamagitan ng stepped input, ang output ay isang pulse (d-function): h(t) = K . d(t).

3.2) Tunay na pagkakaiba-iba.

Pansamantalang tugon: .

4) Aperiodic (inertial).

Ang link na ito ay tumutugma sa DE at PF ng form

; W(s) = .

Tukuyin natin ang likas na katangian ng pagbabago sa halaga ng output ng link na ito kapag ang isang hakbang na pagkilos ng halagang x 0 ay inilapat sa input.

Larawan ng hakbang na aksyon: X(s) = . Pagkatapos ang imahe ng dami ng output:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

I-decompose natin ang fraction sa mga simple:

= + = = - = -

Ang orihinal ng unang bahagi ayon sa talahanayan: L -1 ( ) = 1, ang pangalawa:

Pagkatapos ay nakuha namin sa wakas

y(t) = K x 0 (1 - ).

Ang pare-parehong T ay tinatawag pare-pareho ang oras.

5) Mga link ng pangalawang order

Ang mga link ay may DU at PF ng form

W(s) = .

Kapag ang isang stepped action na may amplitude x 0 ay inilapat sa input, ang transition curve ay magkakaroon ng isa sa dalawang uri: aperiodic (sa T 1 ³ 2T 2) o oscillatory (sa T 1< 2Т 2).

Kaugnay nito, ang mga link ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay nakikilala:

aperiodic 2nd order (T 1 ³ 2T 2),

inertial (T 1< 2Т 2),

konserbatibo (T 1 \u003d 0).

6) Naantala.

Kung, kapag ang isang tiyak na signal ay inilapat sa input ng isang bagay, hindi ito tumugon kaagad sa signal na ito, ngunit pagkatapos ng ilang oras, ang bagay ay sinasabing may pagkaantala.

Lag ay ang agwat ng oras mula sa sandaling nagbabago ang signal ng input hanggang sa simula ng pagbabago ng signal ng output.

Ang lagging link ay isang link na ang output value na y ay eksaktong inuulit ang input value x na may ilang pagkaantala t:

y(t) = x(t - t).

Pag-andar ng paglilipat ng link:

W(s) = e - t s .

Mga koneksyon sa link

Dahil ang bagay na pinag-aaralan ay nahahati sa mga link upang gawing simple ang pagsusuri ng paggana, pagkatapos matukoy ang mga function ng paglipat para sa bawat link, ang gawain ay arises ng pagsasama-sama ng mga ito sa isang paglipat ng function ng bagay. Ang uri ng paglipat ng function ng bagay ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkonekta sa mga link:

1) Serial na koneksyon.

W tungkol sa \u003d W 1. W2. W 3 ...

Kapag ang mga link ay konektado sa serye, ang kanilang paglipat ay gumagana magparami.

2) Parallel na koneksyon.

W tungkol sa \u003d W 1 + W 2 + W 3 + ...

Kapag ang mga link ay konektado sa parallel, ang kanilang paglilipat function magdagdag ng up.

3) Feedback

Ilipat ang function ayon sa gawain (x):

Ang "+" ay tumutugma sa negatibong OS,

"-" - positibo.

Upang matukoy ang paglipat ng mga function ng mga bagay na may mas kumplikadong mga koneksyon ng mga link, alinman sa sunud-sunod na pagpapalaki ng circuit ay ginagamit, o sila ay na-convert ayon sa Meson formula.

Paglipat ng mga function ng ASR

Para sa pananaliksik at pagkalkula, ang structural diagram ng ASR ay dinadala sa pinakasimpleng standard form na "object - controller" sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong-anyo (tingnan ang Figure 1.27). Halos lahat ng mga pamamaraan ng engineering para sa pagkalkula at pagtukoy ng mga parameter ng mga setting ng regulator ay inilalapat para sa tulad ng isang karaniwang istraktura.

Sa pangkalahatang kaso, ang anumang one-dimensional na ACP na may pangunahing feedback ay maaaring bawasan sa form na ito sa pamamagitan ng unti-unting pagtaas ng mga link.

Kung ang output ng system y ay hindi inilapat sa input nito, pagkatapos ay isang open-loop control system ang makukuha, ang paglipat ng function na kung saan ay tinukoy bilang ang produkto:

W ¥ = W p . W y

(W p - PF ng controller, W y - PF ng control object).

Larawan 1.28

Iyon ay, ang pagkakasunod-sunod ng mga link na W p at W y ay maaaring mapalitan ng isang link na may W ¥ . Ang transfer function ng isang closed system ay karaniwang tinutukoy bilang Ф(s). Ito ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng W ¥ :

Tinutukoy ng transfer function na Ф з (s) ang pagtitiwala ng y sa x at tinatawag na transfer function ng isang closed system kasama ang channel ng master influence (sa pamamagitan ng pagtatalaga).

Para sa ASR, mayroon ding mga function ng paglilipat para sa iba pang mga channel:

Ф e (s) = = - nang hindi sinasadya,

Ф in (s) = = - sa pamamagitan ng kaguluhan,

kung saan ang W s.v. (s) ay ang paglipat ng function ng control object sa ibabaw ng perturbation transmission channel.

Mayroong dalawang mga pagpipilian para sa pagsasaalang-alang sa mga kaguluhan:

Ang perturbation ay may additive effect sa control action (tingnan ang Figure 1.29, a);

Ang kaguluhan ay nakakaapekto sa mga sukat ng kinokontrol na parameter (tingnan ang Larawan 1.29,b).

Ang isang halimbawa ng unang pagpipilian ay maaaring ang impluwensya ng mga pagbabago sa boltahe sa network sa boltahe na ibinibigay ng regulator sa elemento ng pag-init ng bagay. Halimbawa ng pangalawang opsyon: mga error sa mga sukat ng regulated parameter dahil sa mga pagbabago sa temperatura ng kapaligiran. W – modelo ng impluwensya ng kapaligiran sa mga sukat.

Larawan 1.30

Mga Parameter K 0 = 1, K 1 = 3, K 2 = 1.5, K 4 = 2, K 5 = 0.5.

Sa block diagram ng ACP, ang mga link na nauugnay sa control device ay nakatayo sa harap ng mga link ng control object at bumubuo ng control action sa object u. Ang diagram ay nagpapakita na ang mga link 1, 2 at 3 ay nabibilang sa regulator circuit, at ang mga link 4 at 5 ay nabibilang sa object circuit.

Dahil ang mga link 1, 2 at 3 ay konektado nang magkatulad, nakuha namin ang transfer function ng controller bilang kabuuan ng mga transfer function ng mga link:

Ang mga link 4 at 5 ay konektado sa serye, kaya ang paglipat ng function ng control object ay tinukoy bilang produkto ng mga transfer function ng mga link:

Paglipat ng function ng isang bukas na sistema:

kung saan makikita na ang numerator B(s) = 1.5. s 2 + 3 . s + 1, ang denominator (aka ang katangiang polynomial ng isang bukas na sistema) A(s) = 2 . s 3 + 3 . s2 + s. Kung gayon ang katangiang polynomial ng saradong sistema ay katumbas ng:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s2 + s + 1.5. s 2 + 3 . s + 1 = 2 . s 3 + 4.5. s 2 + 4 . s + 1.

Paglipat ng mga function ng isang closed system:

sa assignment ,

sa pagkakamali .

Kapag tinutukoy ang transfer function mula sa perturbation, W r.v. = W oy. Pagkatapos

. ¨

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

2.6.2 Mga halimbawa ng karaniwang mga link

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO