Ang patunay ng formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay ibinigay. Ang mga kaso kung saan ang isang kumplikadong function ay nakasalalay sa isa o dalawang variable ay isinasaalang-alang nang detalyado. Ang isang paglalahat ay ginawa sa kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga variable.

Dito ipinakita namin ang derivation ng mga sumusunod na formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Derivative ng isang kumplikadong function ng isang variable

Hayaang ang isang function ng isang variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function sa sumusunod na anyo:
,
kung saan at mayroong ilang mga pag-andar. Naiiba ang function para sa ilang halaga ng variable x . Naiiba ang function para sa halaga ng variable .
Pagkatapos ang complex (composite) function ay naiba-iba sa puntong x at ang derivative nito ay tinutukoy ng formula:
(1) .

Ang formula (1) ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:
;
.

Patunay

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon.
;
.
Dito mayroong isang function ng mga variable at , mayroong isang function ng mga variable at . Ngunit aalisin namin ang mga argumento ng mga pag-andar na ito upang hindi makalat ang mga kalkulasyon.

Dahil ang mga function at naiba sa mga puntos na x at , ayon sa pagkakabanggit, sa mga puntong ito ay mayroong mga derivatives ng mga function na ito, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
;
.

Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.
Para sa isang nakapirming halaga ng variable na u , ay isang function ng . Obvious naman yun
.
Pagkatapos
.

Dahil ang function ay isang differentiable function sa point , kung gayon ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon. kaya lang
.
Pagkatapos
.

Ngayon nakita namin ang derivative.

.

Napatunayan na ang formula.

Bunga

Kung ang isang function ng variable x ay maaaring katawanin bilang isang complex function ng isang complex function
,
pagkatapos ang derivative nito ay tinutukoy ng formula
.
Dito , at mayroong ilang mga function na naiba-iba.

Upang patunayan ang formula na ito, sunud-sunod naming kinakalkula ang derivative ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function.
Isaalang-alang ang isang kumplikadong function
.
Ang hinango nito
.
Isaalang-alang ang orihinal na function
.
Ang hinango nito
.

Derivative ng isang kumplikadong function sa dalawang variable

Ngayon hayaan ang isang kumplikadong function ay depende sa ilang mga variable. Isaalang-alang muna kaso ng isang kumplikadong function ng dalawang variable.

Hayaang ang function na depende sa variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng dalawang variable sa sumusunod na anyo:
,
saan
at may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable x ;
ay isang function ng dalawang variable, differentiable sa point , . Pagkatapos ang kumplikadong pag-andar ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto at mayroong isang hinalaw, na tinutukoy ng formula:
(2) .

Patunay

Dahil ang mga function at naiba sa punto , ang mga ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa punto, at ang kanilang mga derivatives sa punto ay umiiral, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
;
.
Dito
;
.
Dahil sa pagpapatuloy ng mga function na ito sa isang punto, mayroon kaming:
;
.

Dahil ang function ay naiba-iba sa punto , ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa puntong ito, at ang pagtaas nito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
(3) .
Dito

- pagdaragdag ng function kapag ang mga argumento nito ay dinagdagan ng mga halaga at ;
;

- mga partial derivatives ng function na may paggalang sa mga variable at .
Para sa mga nakapirming halaga ng at , at mayroong mga function ng mga variable at . May posibilidad silang maging zero bilang at:
;
.
Simula at , noon
;
.

Pagdaragdag ng function:

. :
.
Kapalit (3):



.

Napatunayan na ang formula.

Derivative ng isang kumplikadong function ng ilang mga variable

Ang derivation sa itaas ay madaling pangkalahatan sa kaso kapag ang bilang ng mga variable ng isang kumplikadong function ay mas malaki kaysa sa dalawa.

Halimbawa, kung ang f ay function ng tatlong variable, pagkatapos
,
saan
, at may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable x ;
ay isang differentiable function, sa tatlong variable, sa puntong , , .
Pagkatapos, mula sa kahulugan ng differentiability ng function , mayroon kaming:
(4)
.
Dahil, dahil sa pagpapatuloy,
; ; ,
pagkatapos
;
;
.

Ang paghahati ng (4) sa pamamagitan at pagpasa sa limitasyon , makuha namin ang:
.

At sa wakas, isaalang-alang ang pinaka-pangkalahatang kaso.
Hayaang ang isang function ng isang variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng n variable sa sumusunod na anyo:
,
saan
may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable x ;
- differentiable function ng n variable sa isang punto
, , ... , .
Pagkatapos
.

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x) \) sa ilang pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0 \) sa loob. Dagdagan natin ang \(\Delta x \) sa argumento upang hindi umalis sa agwat na ito. Hanapin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag dumadaan mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Kung may limitasyon ang kaugnayang ito sa \(\Delta x \rightarrow 0 \), kung gayon ang ipinahiwatig na limitasyon ay tinatawag derivative function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative. Tandaan na ang y" = f(x) ay isang bagong function, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x), na tinukoy sa lahat ng mga puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas . Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y \u003d f (x).

Ang geometric na kahulugan ng derivative binubuo ng mga sumusunod. Kung ang isang tangent na hindi parallel sa y axis ay maaaring iguhit sa graph ng function na y \u003d f (x) sa isang punto na may abscissa x \u003d a, kung gayon ang f (a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent:
\(k = f"(a)\)

Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tg(a) \) ay totoo.

At ngayon binibigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative sa mga tuntunin ng tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x) \) sa isang partikular na punto \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ibig sabihin, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Ang makabuluhang kahulugan ng nakuhang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto x. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2 \) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay totoo. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.

Buuin natin ito.

Paano mahahanap ang derivative ng function y \u003d f (x) ?

1. Ayusin ang halaga \(x \), hanapin \(f(x) \)
2. Palakihin ang \(x \) argument \(\Delta x \), lumipat sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin ang \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang pagtaas ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa x.

Kung ang function na y = f(x) ay may derivative sa puntong x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa puntong x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function na y \u003d f (x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).

Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang continuity at differentiability ng isang function sa isang punto?

Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa puntong M (x; f (x)) at, alalahanin, ang slope ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang ganitong graph ay hindi maaaring "masira" sa ang punto M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuloy-tuloy sa x.

Ito ay pangangatwiran "sa mga daliri". Magharap tayo ng mas mahigpit na argumento. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay magkakaroon. zero, pagkatapos ay \(\Delta y \ ) ay magkakaroon din ng zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.

Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, kung gayon ito ay tuloy-tuloy din sa puntong iyon.

Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, lalo na sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “joint point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto imposibleng gumuhit ng tangent sa function graph, kung gayon walang derivative sa puntong ito.

Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x) \) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo x \u003d 0. Walang slope para sa gayong tuwid na linya, na nangangahulugang \ ( f "(0) \) ay wala rin

Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mo malalaman kung ang isang function ay naiba sa graph ng isang function?

Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa isang punto ang isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng isang function na hindi patayo sa x-axis, kung gayon sa puntong ito ang function ay differentiable. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa x-axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi naiiba.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho sa mga quotient, sums, mga produkto ng mga function, pati na rin sa "mga function ng mga function", iyon ay, kumplikadong mga function. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong makakuha ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga naiba-iba na function, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Compound function derivative:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Talaan ng mga derivatives ng ilang function

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kaliwa(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

kumplikadong derivatives. Logarithmic derivative.
Derivative ng exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na sakop, isaalang-alang ang mas kumplikadong mga derivatives, at makikilala din ang mga bagong trick at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng paghahanda ay dapat sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang kumplikadong function, unawain at lutasin lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito, ikaw ay may kumpiyansa na iibahin ang medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na manatili sa posisyon na "Saan pa? Oo, at sapat na iyon! ”, Dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa mga tunay na pagsubok at madalas na matatagpuan sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Derivative ng isang kumplikadong function isinaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa kurso ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang mga seksyon ng mathematical analysis, kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang magpinta ng mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay tayo sa oral na paghahanap ng mga derivatives. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksa ng matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong tala ay kadalasang hindi kinakailangan, ipinapalagay na ang mag-aaral ay makakahanap ng mga katulad na derivatives sa autopilot. Isipin natin na sa alas-3 ng umaga ay tumunog ang telepono, at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang x?". Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa isang independiyenteng solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivative nang pasalita, sa isang hakbang, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain, kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi pa niya naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang kumplikadong function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivative

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na attachment ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang mga sumusunod na dalawang halimbawa ay mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung sila ay naiintindihan (may naghihirap), kung gayon halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magiging parang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan tama UNAWAIN ANG MGA INVESTMENT. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na trick: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga na "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, kaya ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pugad.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Complex Function Differentiation Formula ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kinukuha namin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng triple ay katumbas ng zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (cube).

(4) Kinukuha namin ang derivative ng cosine.

(5) Kinukuha namin ang derivative ng logarithm.

(6) Sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pugad .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng estudyante kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function, o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Una naming inilalapat ang mga patakaran ng linearity at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Oras na para lumipat sa isang bagay na mas compact at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang sitwasyon kung saan ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function ay ibinigay sa isang halimbawa. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una, tinitingnan natin, ngunit posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga function ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso, ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay para sa "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at para sa "ve" - ​​​​ang logarithm:. Bakit ito magagawa? ito ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatili itong ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka pa ring maglihis at kumuha ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang halimbawa sa itaas ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, sa sample na ito ay nalutas sa unang paraan.

Isaalang-alang ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O tulad nito:

Ngunit ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas compact kung, una sa lahat, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan sa form na ito, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot? Dinadala namin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin ang tatlong palapag na bahagi:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay na may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng isang hinalaw, ngunit kapag ang mga pagbabago sa paaralan ay karaniwan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang gawain at hinihiling na "isaalang-alang" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga diskarte para sa paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang isang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa isang mahabang paraan, gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na nagdudulot sa iyo ng kawalan ng pag-asa - kailangan mong kumuha ng hindi kasiya-siyang derivative ng isang fractional degree, at pagkatapos ay mula din sa isang fraction.

kaya lang dati kung paano kunin ang derivative ng "fancy" logarithm, dati itong pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang praktikal na notebook, kopyahin ang mga formula na ito doon mismo. Kung wala kang notebook, iguhit ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang natitirang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring mabalangkas tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Nahanap namin ang derivative:

Ang paunang pagbabago ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon isang pares ng mga simpleng halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Lahat ng pagbabago at sagot sa pagtatapos ng aralin.

logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw, posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Katulad na mga halimbawa na aming isinaalang-alang kamakailan. Anong gagawin? Ang isa ay maaaring sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay nakakakuha ka ng malaking tatlong-kuwento na bahagi, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Ngayon ay kailangan mong "masira" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi na may isang stroke:

Ang derivative ng kanang bahagi ay medyo simple, hindi ako magkomento tungkol dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong hawakan ito nang may kumpiyansa.

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong na: "Bakit, may isang letra bang "y" sa ilalim ng logarithm?".

Ang katotohanan ay ang "isang titik y" na ito - AY ISANG FUNCTION SA SARILI(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na tahasang tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang compound function differentiation rule :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Dagdag pa, ayon sa panuntunan ng proporsyon, itinapon namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon naaalala natin kung anong uri ng "laro"-function ang napag-usapan natin kapag nag-iiba? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri sa katapusan ng aralin.

Sa tulong ng logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang function na ito. Ang exponential function ay isang function na mayroon at ang antas at base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o sa anumang panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na isinasaalang-alang lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, ang antas ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm sa kanang bahagi:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming isang produkto ng dalawang mga pag-andar, na magkakaiba ayon sa karaniwang formula .

Natagpuan namin ang derivative, para dito isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Ang mga susunod na hakbang ay madali:

Sa wakas:

Kung ang ilang pagbabago ay hindi lubos na malinaw, mangyaring maingat na basahin muli ang mga paliwanag ng Halimbawa #11.

Sa mga praktikal na gawain, ang exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa itinuturing na halimbawa ng lecture.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm ng x" (isa pang logarithm ay nested sa ilalim ng logarithm). Kapag ang pagkakaiba ng isang pare-pareho, tulad ng naaalala natin, ito ay mas mahusay na agad na alisin ito sa tanda ng derivative upang hindi ito makasagabal; at, siyempre, ilapat ang pamilyar na panuntunan :

Tulad ng makikita mo, ang algorithm para sa paglalapat ng logarithmic derivative ay hindi naglalaman ng anumang mga espesyal na trick o trick, at ang paghahanap ng derivative ng exponential function ay karaniwang hindi nauugnay sa "torment".

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin, ang hinango ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madali ding kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi wastong nalutas ang mga problema.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa naturang function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga panuntunang tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay tumutulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang elementarya function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Pagsasagawa ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang pangwakas na halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Isang gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Sa mga "lumang" aklat-aralin, tinatawag din itong "chain" rule. Kaya kung y \u003d f (u), at u \u003d φ (x), yan ay

y \u003d f (φ (x))

complex - compound function (komposisyon ng mga function) pagkatapos

saan , pagkatapos isaalang-alang ang pagkalkula sa u = φ(x).

Tandaan na dito kinuha namin ang "iba't ibang" komposisyon mula sa parehong mga pag-andar, at ang resulta ng pagkita ng kaibhan ay natural na nakadepende sa pagkakasunud-sunod ng "paghahalo".

Ang panuntunan ng chain ay natural na umaabot sa komposisyon ng tatlo o higit pang mga function. Sa kasong ito, magkakaroon ng tatlo o higit pang "link" sa "chain" na bumubuo sa derivative, ayon sa pagkakabanggit. Narito ang isang pagkakatulad sa multiplikasyon: "mayroon kami" - isang talahanayan ng mga derivatives; "doon" - talahanayan ng pagpaparami; Ang “with us” ay isang chain rule at ang “there” ay isang multiplication rule na may “column”. Kapag kinakalkula ang mga naturang "kumplikadong" derivatives, siyempre, walang mga auxiliary na argumento (u¸v, atbp.) ang ipinakilala, ngunit, nang mapansin para sa kanilang sarili ang bilang at pagkakasunud-sunod ng mga pag-andar na nakikilahok sa komposisyon, "i-string" nila ang kaukulang mga link sa ang ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod.

. Dito, limang operasyon ang ginagawa gamit ang "x" upang makuha ang halaga ng "y", iyon ay, isang komposisyon ng limang function ang nagaganap: "panlabas" (ang huli sa kanila) - exponential - e ; pagkatapos ay sa reverse order ay isang batas ng kapangyarihan. (♦) 2 ; trigonometrikong kasalanan (); kapangyarihan. () 3 at panghuli ang logarithmic ln.(). kaya lang

Ang mga sumusunod na halimbawa ay "papatayin ang mga pares ng mga ibon gamit ang isang bato": magsasanay kami ng pagkakaiba-iba ng mga kumplikadong function at dagdagan ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na pag-andar. Kaya:

4. Para sa isang function ng kapangyarihan - y \u003d x α - muling pagsusulat nito gamit ang kilalang "basic logarithmic identity" - b \u003d e ln b - sa anyo x α \u003d x α ln x makuha natin

5. Para sa isang arbitrary exponential function, gamit ang parehong pamamaraan, magkakaroon tayo

6. Para sa isang di-makatwirang logarithmic function, gamit ang kilalang formula para sa paglipat sa isang bagong base, kami ay magkakasunod na nakakakuha

.

7. Upang pag-iba-ibahin ang tangent (cotangent), ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng quotient:

Upang makakuha ng mga derivatives ng kabaligtaran na mga function ng trigonometriko, ginagamit namin ang relasyon na nasiyahan sa pamamagitan ng mga derivatives ng dalawang magkabaligtaran na function, iyon ay, ang mga function na φ (x) at f (x) na konektado ng mga relasyon:

Narito ang ratio

Ito ay mula sa formula na ito para sa magkabilang kabaligtaran na mga pag-andar

at
,

Sa huli, ibubuod namin ang mga ito at ilang iba pa, tulad ng madaling makuhang mga derivatives, sa sumusunod na talahanayan.