Ito ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay magkaparehas na magkatulad.

Ari-arian 1. Anumang dayagonal ng isang paralelogram ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.

Patunay . Ayon sa II sign (cross-lying corners and a common side).

Napatunayan ang teorama.

Ari-arian 2. Sa isang paralelogram, ang magkabilang panig ay pantay at ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay.

Patunay .
Gayundin,

Napatunayan ang teorama.

Property 3. Sa isang diagonal parallelogram, ang intersection point ay nahahati sa kalahati.

Patunay .

Napatunayan ang teorama.

Ari-arian 4 . Ang bisector ng anggulo ng isang paralelogram, na tumatawid sa kabaligtaran, ay hinahati ito sa isang isosceles triangle at isang trapezoid. (Ch. salita - tuktok - dalawang isosceles? -ka).

Patunay .

Napatunayan ang teorama.

Ari-arian 5 . Sa isang paralelogram, ang isang segment na may mga dulo sa magkabilang panig, na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, ay nahahati sa puntong ito.

Patunay .

Napatunayan ang teorama.

Ari-arian 6 . Ang anggulo sa pagitan ng mga taas na bumaba mula sa vertex ng obtuse angle ng parallelogram ay katumbas ng acute angle ng parallelogram.

Patunay .

Napatunayan ang teorama.

Ari-arian 7 . Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang paralelogram na katabi ng isang panig ay 180°.

Patunay .

Napatunayan ang teorama.

Konstruksyon ng bisector ng isang anggulo. Mga katangian ng angle bisector ng isang tatsulok.

1) Bumuo ng arbitrary ray DE.

2) Sa isang naibigay na sinag, bumuo ng isang arbitrary na bilog na may sentro sa tuktok at pareho
nakasentro sa simula ng itinayong sinag.

3) F at G - mga punto ng intersection ng bilog na may mga gilid ng ibinigay na anggulo, H - punto ng intersection ng bilog na may constructed ray

Bumuo ng isang bilog na may sentro sa punto H at radius na katumbas ng FG.

5) I - ang punto ng intersection ng mga bilog ng constructed beam.

6) Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng vertex at I.

IDH - kinakailangang anggulo.
)

Ari-arian 1. Ang angle bisector ng isang tatsulok ay naghahati sa kabaligtaran na bahagi sa proporsyon sa mga katabing panig.

Patunay . Hayaang ang x, y ay mga segment ng gilid c. Ipinagpapatuloy namin ang ray BC. Sa ray BC, nag-plot kami ng isang segment na CK mula sa C na katumbas ng AC.

Patunay

Iguhit muna natin ang dayagonal na AC. Dalawang tatsulok ang nakuha: ABC at ADC.

Dahil ang ABCD ay isang paralelogram, ang sumusunod ay totoo:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 parang nakahiga.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 parang nakahiga.

Samakatuwid, \triangle ABC = \triangle ADC (sa pamamagitan ng pangalawang tampok: at AC ay karaniwan).

At, samakatuwid, \triangle ABC = \triangle ADC , pagkatapos AB = CD at AD = BC .

Napatunayan!

2. Magkapareho ang magkasalungat na anggulo.

Patunay

Ayon sa patunay katangian 1 Alam natin yan \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Kaya ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Isinasaalang-alang na ang \triangle ABC = \triangle ADC ay nakukuha namin \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Napatunayan!

3. Ang mga diagonal ay hinahati ng intersection point.

Patunay

Gumuhit tayo ng isa pang dayagonal.

Sa pamamagitan ng ari-arian 1 alam natin na magkapareho ang magkabilang panig: AB = CD . Muli nating napapansin ang pantay na mga anggulo na nakahiga sa crosswise.

Kaya, makikita na ang \triangle AOB = \triangle COD sa pamamagitan ng pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga triangles (dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan ng mga ito). Ibig sabihin, BO = OD (kabaligtaran \angle 2 at \angle 1 ) at AO = OC (kabaligtaran \angle 3 at \angle 4 ayon sa pagkakabanggit).

Napatunayan!

Mga tampok ng paralelogram

Kung isang tanda lamang ang naroroon sa iyong problema, kung gayon ang figure ay isang paralelogram at maaari mong gamitin ang lahat ng mga katangian ng figure na ito.

Para sa mas mahusay na pagsasaulo, tandaan na ang parallelogram sign ay sasagot sa sumusunod na tanong − "paano malalaman?". Iyon ay, kung paano malalaman na ang isang ibinigay na pigura ay isang paralelogram.

1. Ang paralelogram ay isang may apat na gilid na ang dalawang panig ay magkapantay at magkatulad.

AB=CD; AB || Ang CD \Rightarrow ABCD ay isang paralelogram.

Patunay

Isaalang-alang natin nang mas detalyado. Bakit AD || BC?

\tatsulok ABC = \tatsulok ADC ni ari-arian 1: AB = CD , AC ay karaniwan at \angle 1 = \angle 2 bilang crosswise na may AB at CD parallel at secant AC.

Ngunit kung \triangle ABC = \triangle ADC , kung gayon \angle 3 = \angle 4 (nakahiga sila sa tapat ng AB at CD ayon sa pagkakabanggit). At samakatuwid AD || BC (\angle 3 at \angle 4 - lying across are also equal).

Tama ang unang tanda.

2. Ang paralelogram ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay pantay.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD ay isang paralelogram.

Patunay

Isaalang-alang natin ang tampok na ito. Iguhit natin muli ang dayagonal na AC.

Sa pamamagitan ng ari-arian 1\tatsulok ABC = \tatsulok ACD .

Ito ay sumusunod na: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC at \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, ibig sabihin, ang ABCD ay isang paralelogram.

Ang pangalawang tanda ay tama.

3. Ang paralelogram ay isang quadrilateral na ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- paralelogram.

Patunay

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(dahil ang ABCD ay isang quadrilateral, at \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ayon sa convention).

Kaya \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ngunit ang \alpha at \beta ay panloob na isang panig sa secant AB .

At ang katotohanan na \alpha + \beta = 180^(\circ) ay nangangahulugan din na AD || BC.

Kasabay nito, ang \alpha at \beta ay panloob na isang panig na may secant AD . At ibig sabihin ay AB || CD.

Ang ikatlong tanda ay tama.

4. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang mga dayagonal ay hinahati ng intersection point.

AO=OC; BO = OD \Rightarrow paralelogram.

Patunay

BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 bilang patayo \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, at \Rightarrow AB || CD.

Katulad din BO = OD ; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, at \Rightarrow AD || BC.

Tama ang ikaapat na tanda.

Paksa ng aralin

• Mga katangian ng mga diagonal ng isang paralelogram.

Mga Layunin ng Aralin

• Kilalanin ang mga bagong kahulugan at alalahanin ang ilang napag-aralan na.
• Bumuo at patunayan ang pag-aari ng mga diagonal ng isang paralelogram.
• Matutong ilapat ang mga katangian ng mga hugis sa paglutas ng mga problema.
• Pagbuo - upang paunlarin ang atensyon, tiyaga, tiyaga, lohikal na pag-iisip, pagsasalita sa matematika ng mga mag-aaral.
• Pang-edukasyon - sa pamamagitan ng aralin upang linangin ang isang matulungin na saloobin sa bawat isa, upang makintal ang kakayahang makinig sa mga kasama, tulong sa isa't isa, kalayaan.

Mga layunin ng aralin

• Suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema.

Lesson Plan

1. Pambungad na pananalita.
2. Pag-uulit ng dati nang natutunang materyal.
3. Parallelogram, mga katangian at palatandaan nito.
4. Mga halimbawa ng gawain.
5. Self check.

Panimula

"Ang isang pangunahing siyentipikong pagtuklas ay nagbibigay ng isang solusyon sa isang malaking problema, ngunit sa solusyon ng anumang problema mayroong isang butil ng pagtuklas."

Mga katangian ng magkasalungat na panig ng isang paralelogram

Ang isang paralelogram ay may magkabilang panig na pantay.

Patunay.

Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na paralelogram. At hayaang magsalubong ang mga dayagonal nito sa punto O.
Dahil Δ AOB = Δ COD sa pamamagitan ng unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (∠ AOB = ∠ COD, bilang mga patayo, AO=OC, DO=OB, sa pamamagitan ng pag-aari ng parallelogram diagonals), pagkatapos AB=CD. Katulad nito, mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na BOC at DOA, sumusunod na ang BC=DA. Ang teorama ay napatunayan.

Katangian ng magkasalungat na mga anggulo ng isang paralelogram

Ang paralelogram ay may magkasalungat na mga anggulo.

Patunay.

Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na paralelogram. At hayaang magsalubong ang mga dayagonal nito sa punto O.
Mula sa mga katangian ng magkasalungat na panig ng isang parallelogram na napatunayan sa theorem sa Δ ABC = Δ CDA sa tatlong panig (AB=CD, BC=DA mula sa napatunayan, ang AC ay pangkalahatan). Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ∠ABC = ∠CDA.
Napatunayan din na ∠ DAB = ∠ BCD, na sumusunod mula sa ∠ ABD = ∠ CDB. Ang teorama ay napatunayan.

Pag-aari ng mga diagonal ng isang paralelogram

Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nagsalubong at ang intersection point ay nahahati.

Patunay.

Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na paralelogram. Iguhit natin ang dayagonal na AC. Minarkahan namin ang gitnang O dito. Sa pagpapatuloy ng segment na DO, isinantabi namin ang segment na OB 1 na katumbas ng DO.
Sa pamamagitan ng nakaraang teorama, ang AB 1 CD ay isang paralelogram. Samakatuwid, ang linya AB 1 ay parallel sa DC. Ngunit sa pamamagitan ng punto A, isang linya lamang ang maaaring iguhit parallel sa DC. Kaya, ang linyang AB 1 ay tumutugma sa linyang AB.
Napatunayan din na ang BC 1 ay kasabay ng BC. Kaya ang punto C ay tumutugma sa C 1 . parallelogram ABCD coincides sa parallelogram AB 1 CD. Samakatuwid, ang mga diagonal ng parallelogram ay bumalandra at ang intersection point ay nahahati. Ang teorama ay napatunayan.

Sa mga aklat-aralin para sa mga ordinaryong paaralan (halimbawa, sa Pogorelov), ito ay pinatunayan tulad ng sumusunod: hinahati ng mga diagonal ang parallelogram sa 4 na tatsulok. Isaalang-alang ang isang pares at alamin - sila ay pantay-pantay: ang kanilang mga base ay magkasalungat na panig, ang kaukulang mga anggulo na katabi nito ay katumbas ng patayo na may magkatulad na mga linya. Iyon ay, ang mga segment ng mga diagonal ay magkapares na pantay. Lahat.

Iyan lang ba?
Napatunayan sa itaas na ang intersection point ay naghahati sa mga diagonal - kung ito ay umiiral. Ang pangangatwiran sa itaas ay hindi nagpapatunay sa pagkakaroon nito sa anumang paraan. Iyon ay, ang bahagi ng theorem na "parallelogram diagonals intersect" ay nananatiling hindi napatunayan.

Nakakatuwa kung paano mas mahirap patunayan ang bahaging ito. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay sumusunod mula sa isang mas pangkalahatang resulta: para sa anumang matambok na may apat na gilid, ang mga diagonal ay magsalubong, para sa anumang hindi matambok, sila ay hindi.

Sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa gilid at dalawang anggulo na katabi nito (ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok) at iba pa.

Ang teorama sa pagkakapantay-pantay ng dalawang tatsulok sa isang gilid at dalawang anggulo na katabi nito, natagpuan ni Thales ang isang mahalagang praktikal na aplikasyon. Ang isang rangefinder ay itinayo sa daungan ng Miletus, na tumutukoy sa distansya sa barko sa dagat. Binubuo ito ng tatlong driven pegs A, B at C (AB = BC) at isang markang tuwid na linya SK, patayo sa CA. Nang lumitaw ang barko sa tuwid na linya ng SC, natagpuan ang isang puntong D na ang mga puntong D, .B at E ay nasa parehong tuwid na linya. Tulad ng malinaw mula sa pagguhit, ang distansya ng CD sa lupa ay ang nais na distansya sa barko.

Mga tanong

1. Ang mga dayagonal ba ng isang parisukat ay hinahati ng intersection point?
   
2. Ang mga diagonal ba ng isang paralelogram ay pantay?
3. Magkatapat ba ang magkasalungat na mga anggulo ng paralelogram?
4. Ano ang kahulugan ng paralelogram?
5. Ilang katangian ng paralelogram?
   
6. Maaari bang maging paralelogram ang isang rhombus?
   

Listahan ng mga mapagkukunang ginamit

1. Kuznetsov A. V., guro ng matematika (grado 5-9), Kyiv
2. “Pinag-isang pagsusulit ng estado 2006. Mathematics. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda ng mga mag-aaral / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Paglutas ng mga pangunahing problema sa kompetisyon sa matematika ng koleksyon na na-edit ni M. I. Scanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometry, 7 - 9: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon"

Paggawa sa aralin

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeny Petrov

Maaari kang magtanong tungkol sa modernong edukasyon, magpahayag ng ideya o malutas ang isang agarang problema sa Forum ng Edukasyon kung saan ang isang konsehong pang-edukasyon ng sariwang pag-iisip at pagkilos ay nagpupulong sa buong mundo. Ang pagkakaroon ng nilikha Blog, Hindi mo lamang mapapabuti ang iyong katayuan bilang isang karampatang guro, ngunit gumawa din ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng paaralan sa hinaharap. Education Leaders Guild nagbubukas ng pinto sa nangungunang mga espesyalista at iniimbitahan kang makipagtulungan sa direksyon ng paglikha ng pinakamahusay na mga paaralan sa mundo.

Subjects > Mathematics > Mathematics Grade 8

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay parallel, i.e. humiga sa magkatulad na linya

Mga katangian ng paralelogram:
Teorama 22. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay pantay.
Patunay. Gumuhit ng dayagonal na AC sa isang paralelogram na ABCD. Ang mga tatsulok na ACD at ACB ay magkapareho bilang pagkakaroon ng isang karaniwang panig na AC at dalawang pares ng magkaparehong anggulo. katabi nito: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (bilang mga cross-lying na anggulo na may parallel na linya AD at BC). Kaya, AB=CD at BC=AD bilang kaukulang panig ng pantay na tatsulok, atbp. Ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay nagpapahiwatig din ng pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang anggulo ng mga tatsulok:
Teorama 23. Ang magkasalungat na mga anggulo ng paralelogram ay: ∠ A=∠ C at ∠ B=∠ D.
Ang pagkakapantay-pantay ng unang pares ay nagmumula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ABD at CBD, at ang pangalawa - ABC at ACD.
Teorama 24. Mga kalapit na sulok ng paralelogram, i.e. Ang mga anggulo na katabi ng isang gilid ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees.
Ito ay dahil ang mga ito ay panloob na isang panig na sulok.
Teorama 25. Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay naghahati-hati sa bawat isa sa punto ng kanilang intersection.
Patunay. Isaalang-alang ang mga tatsulok na BOC at AOD. Ayon sa unang pag-aari, AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV at ∠ ОDA=∠ ОВС bilang nakahiga sa magkatulad na linya AD at BC. Samakatuwid, ang mga tatsulok na BOC at AOD ay pantay sa gilid at mga anggulo na katabi nito. Kaya, BO=OD at AO=OC, bilang mga kaukulang panig ng pantay na tatsulok, atbp.

Mga tampok ng paralelogram
Teorama 26. Kung ang magkasalungat na panig ng isang may apat na gilid ay pantay sa mga pares, kung gayon ito ay isang paralelogram.
Patunay. Hayaang ang may apat na gilid ABCD ay may mga panig na AD at BC, AB at CD, ayon sa pagkakabanggit, pantay (Fig. 2). Iguhit natin ang dayagonal na AC. Ang Triangle ABC at ACD ay may tatlong pantay na panig. Pagkatapos ay ang mga anggulo BAC at DCA ay pantay-pantay at samakatuwid AB ay parallel sa CD. Ang paralelismo ng mga panig BC at AD ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulong CAD at DIA.
Teorama 27. Kung ang magkasalungat na mga anggulo ng isang quadrilateral ay pantay sa mga pares, kung gayon ito ay isang paralelogram.
Hayaan ang ∠ A=∠ C at ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, pagkatapos ay ∠ A+∠ B=180 o at ang mga gilid AD at BC ay parallel (sa batayan ng parallel na linya). Pinapatunayan din namin ang parallelism ng mga gilid AB at CD at tapusin na ang ABCD ay isang paralelogram sa pamamagitan ng kahulugan.
Teorama 28. Kung ang mga katabing sulok ng quadrilateral, i.e. Ang mga anggulo na katabi ng isang gilid ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees, pagkatapos ito ay isang paralelogram.
Kung ang panloob na isang panig na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees, kung gayon ang mga linya ay magkatulad. Nangangahulugan ito na ang AB ay isang pares ng CD at ang BC ay isang pares ng AD. Ang isang quadrilateral ay lumalabas na isang paralelogram ayon sa kahulugan.
Teorama 29. Kung ang mga dayagonal ng isang quadrilateral ay kapwa nahahati sa punto ng intersection sa kalahati, kung gayon ang quadrilateral ay isang paralelogram.
Patunay. Kung AO=OC, BO=OD, kung gayon ang mga tatsulok na AOD at BOC ay pantay, bilang pagkakaroon ng pantay na mga anggulo (vertical) sa vertex O, na nakapaloob sa pagitan ng mga pares ng pantay na panig. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok napagpasyahan namin na ang AD at BC ay pantay. Ang mga gilid AB at CD ay pantay din, at ang quadrangle ay lumabas na isang paralelogram ayon sa tampok 1.
Teorama 30. Kung ang isang may apat na gilid ay may isang pares ng pantay, parallel na panig, kung gayon ito ay isang paralelogram.
Hayaang magkapantay at magkapantay ang mga gilid AB at CD sa may apat na gilid ABCD. Iguhit ang mga dayagonal na AC at BD. Mula sa parallelism ng mga linyang ito ay sumusunod ang pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ABO=CDO at BAO=OCD. Ang mga tatsulok na ABO at CDO ay pantay sa gilid at katabing mga anggulo. Samakatuwid, AO=OC, BO=OD, i.e. ang mga diagonal ng intersection point ay nahahati sa kalahati at ang quadrilateral ay lumalabas na isang paralelogram ayon sa tampok 4.

Sa geometry, ang mga espesyal na kaso ng isang paralelogram ay isinasaalang-alang.

Ang konsepto ng paralelogram

Kahulugan 1

Paralelogram ay isang may apat na gilid kung saan ang magkabilang panig ay parallel sa isa't isa (Larawan 1).

Larawan 1.

Ang paralelogram ay may dalawang pangunahing katangian. Isaalang-alang natin sila nang walang patunay.

Ari-arian 1: Ang magkasalungat na panig at anggulo ng isang paralelogram ay pantay, ayon sa pagkakabanggit, sa bawat isa.

Ari-arian 2: Ang mga diagonal na iginuhit sa isang paralelogram ay hinahati ng kanilang intersection point.

Mga tampok ng paralelogram

Isaalang-alang ang tatlong katangian ng isang paralelogram at ipakita ang mga ito sa anyo ng mga theorems.

Teorama 1

Kung ang dalawang gilid ng isang quadrilateral ay pantay-pantay sa isa't isa at parallel din, kung gayon ang quadrilateral na ito ay magiging parallelogram.

Patunay.

Bigyan tayo ng quadrilateral $ ABCD$. Kung saan $AB||CD$ at $AB=CD$ Gumuhit tayo ng diagonal na $AC$ dito (Larawan 2).

Figure 2.

Isaalang-alang ang magkatulad na linya na $AB$ at $CD$ at ang kanilang secant na $AC$. Pagkatapos

\[\angle CAB=\angle DCA\]

parang mga crosswise na sulok.

Ayon sa $I$ na pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok,

dahil ang $AC$ ang kanilang karaniwang panig, at $AB=CD$ ayon sa pagpapalagay. ibig sabihin

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Isaalang-alang ang mga linyang $AD$ at $CB$ at ang kanilang secant na $AC$, sa pamamagitan ng huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin na $AD||CB$.) Samakatuwid, sa kahulugan ng $1$, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 2

Kung ang magkasalungat na panig ng isang quadrilateral ay pantay, kung gayon ito ay isang paralelogram.

Patunay.

Bigyan tayo ng quadrilateral $ ABCD$. Kung saan ang $AD=BC$ at $AB=CD$. Gumuhit tayo ng diagonal na $AC$ dito (Larawan 3).

Larawan 3

Dahil ang $AD=BC$, $AB=CD$, at $AC$ ay isang karaniwang panig, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagsubok sa pagkakapantay-pantay ng $III$ tatsulok,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Isaalang-alang ang mga linyang $AD$ at $CB$ at ang kanilang secant na $AC$, sa pamamagitan ng huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin ang $AD||CB$. Samakatuwid, ayon sa kahulugan ng $1$, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Isaalang-alang ang mga linyang $AB$ at $CD$ at ang kanilang secant na $AC$, sa pamamagitan ng huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin ang $AB||CD$. Samakatuwid, ayon sa Depinisyon 1, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 3

Kung ang mga diagonal na iginuhit sa isang quadrilateral ay nahahati sa dalawang pantay na bahagi sa pamamagitan ng kanilang intersection point, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Patunay.

Bigyan tayo ng quadrilateral $ ABCD$. Iguhit natin ang mga dayagonal na $AC$ at $BD$ dito. Hayaang magsalubong ang mga ito sa puntong $O$ (Larawan 4).

Larawan 4

Dahil, sa pamamagitan ng kondisyon na $BO=OD,\ AO=OC$, at ang mga anggulo na $\angle COB=\angle DOA$ ay patayo, kung gayon, sa pamamagitan ng $I$ triangle equality test,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Isaalang-alang ang mga linyang $BC$ at $AD$ at ang kanilang secant na $BD$, ayon sa huling pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo ay makukuha natin ang $BC||AD$. Gayundin ang $BC=AD$. Samakatuwid, ayon sa Theorem $1$, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.