Mula sa artikulo sa itaas, maaari mong malaman kung ano ang limitasyon at kung ano ang kinakain nito - ito ay napakahalaga. Bakit? Maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang mga determinant at matagumpay na nalutas ang mga ito, maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang derivative at hanapin ang mga ito sa "lima". Ngunit kung hindi mo nauunawaan kung ano ang isang limitasyon, kung gayon magiging mahirap na lutasin ang mga praktikal na gawain. Gayundin, hindi magiging labis na pamilyar sa mga halimbawa ng disenyo ng mga desisyon at ang aking mga rekomendasyon para sa disenyo. Ang lahat ng impormasyon ay ipinakita sa isang simple at naa-access na paraan.
At para sa mga layunin ng araling ito, kailangan natin ang mga sumusunod na materyales sa pamamaraan: Kapansin-pansin na mga Limitasyon at Mga formula ng trigonometriko. Matatagpuan ang mga ito sa pahina. Pinakamainam na i-print ang mga manual - ito ay mas maginhawa, bukod pa, madalas silang kailangang ma-access offline.
Ano ang kapansin-pansin sa mga kahanga-hangang limitasyon? Ang kapansin-pansin ng mga limitasyong ito ay namamalagi sa katotohanan na sila ay pinatunayan ng mga pinakadakilang kaisipan ng mga sikat na matematiko, at ang nagpapasalamat na mga inapo ay hindi kailangang magdusa mula sa kahila-hilakbot na mga limitasyon na may isang tumpok ng trigonometric function, logarithms, at degree. Iyon ay, kapag hinahanap ang mga limitasyon, gagamitin namin ang mga handa na resulta na napatunayan nang theoretically.
Mayroong ilang kahanga-hangang limitasyon, ngunit sa pagsasagawa, ang mga part-time na estudyante sa 95% ng mga kaso ay may dalawang kapansin-pansing limitasyon: Unang kahanga-hangang limitasyon, Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Dapat pansinin na ang mga ito ay makasaysayang itinatag na mga pangalan, at kapag, halimbawa, pinag-uusapan nila ang tungkol sa "unang kapansin-pansing limitasyon", ang ibig nilang sabihin ay isang napaka-tiyak na bagay, at hindi ilang random na limitasyon na kinuha mula sa kisame.
Unang kahanga-hangang limitasyon
Isaalang-alang ang sumusunod na limitasyon: (sa halip na ang katutubong titik na "siya" ay gagamitin ko ang Griyegong titik na "alpha", ito ay mas maginhawa sa mga tuntunin ng presentasyon ng materyal).
Ayon sa aming panuntunan para sa paghahanap ng mga limitasyon (tingnan ang artikulo Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon) sinusubukan naming palitan ang zero sa function: sa numerator nakakakuha kami ng zero (ang sine ng zero ay zero), sa denominator, malinaw naman, zero din. Kaya, tayo ay nahaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng anyo, na, sa kabutihang palad, ay hindi kailangang ibunyag. Sa kurso ng pagsusuri sa matematika, pinatunayan na:
Ang mathematical fact na ito ay tinatawag Unang kahanga-hangang limitasyon. Hindi ako magbibigay ng analytical proof ng limitasyon, ngunit isasaalang-alang natin ang geometric na kahulugan nito sa aralin sa infinitesimal function.
Kadalasan sa mga praktikal na gawain, ang mga pag-andar ay maaaring ayusin nang iba, hindi ito nagbabago ng anuman:
– ang parehong unang kahanga-hangang limitasyon.
Ngunit hindi mo maaaring ayusin ang numerator at denominator sa iyong sarili! Kung ang isang limitasyon ay ibinigay sa form , pagkatapos ay dapat itong malutas sa parehong anyo, nang walang muling pagsasaayos ng anuman.
Sa pagsasagawa, hindi lamang isang variable ang maaaring kumilos bilang isang parameter, kundi pati na rin isang elementarya function, isang kumplikadong function. Mahalaga lamang na ito ay nagiging zero.
Mga halimbawa:
, , 
, 
Dito,,, 
, at lahat ay umuugong - ang unang kahanga-hangang limitasyon ay naaangkop.
At narito ang susunod na entry - maling pananampalataya:
Bakit? Dahil ang polynomial ay hindi may posibilidad na zero, ito ay may posibilidad na lima.
Sa pamamagitan ng paraan, ang tanong ay para sa backfilling, ngunit kung ano ang limitasyon 
? Ang sagot ay makikita sa katapusan ng aralin.
Sa pagsasagawa, hindi lahat ng bagay ay napakakinis, halos hindi isang mag-aaral ang inaalok upang malutas ang isang libreng limitasyon at makakuha ng madaling kredito. Hmmm... Sinusulat ko ang mga linyang ito, at isang napakahalagang pag-iisip ang pumasok sa isip ko - kung tutuusin, tila mas mabuting tandaan ang "libre" na mga kahulugan at formula sa matematika sa pamamagitan ng puso, maaari itong maging napakahalagang tulong sa pagsusulit, kapag ang isyu ay mapagpasyahan sa pagitan ng "dalawa" at "tatlo", at ang guro ay nagpasiya na magtanong sa mag-aaral ng ilang simpleng tanong o mag-alok upang malutas ang pinakasimpleng halimbawa ("marahil siya (a) alam pa rin kung ano ?!").
Lumipat tayo sa mga praktikal na halimbawa:
Halimbawa 1
Hanapin ang limitasyon
Kung mapapansin natin ang isang sine sa limitasyon, ito ay dapat na agad na humantong sa atin na isipin ang posibilidad ng paglalapat ng unang kapansin-pansin na limitasyon.
Una, sinusubukan naming palitan ang 0 sa expression sa ilalim ng limit sign (ginagawa namin ito sa isip o sa isang draft):
Kaya, mayroon tayong kawalan ng katiyakan ng anyo, nito siguraduhing ipahiwatig sa paggawa ng desisyon. Ang expression sa ilalim ng sign ng limitasyon ay mukhang ang unang kahanga-hangang limitasyon, ngunit hindi ito ganap, ito ay nasa ilalim ng sine, ngunit sa denominator.
Sa ganitong mga kaso, kailangan nating ayusin ang unang kahanga-hangang limitasyon sa ating sarili, gamit ang isang artipisyal na aparato. Ang linya ng pangangatwiran ay maaaring ganito: "sa ilalim ng sine na mayroon tayo, na nangangahulugang kailangan din nating makapasok sa denominator".
At ito ay ginagawa nang napakasimple:
Iyon ay, ang denominator ay artipisyal na pinarami sa kasong ito ng 7 at hinati sa parehong pito. Ngayon ang rekord ay nakuha sa isang pamilyar na hugis.
Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, ipinapayong markahan ang unang kahanga-hangang limitasyon gamit ang isang simpleng lapis:
Anong nangyari? Sa katunayan, ang nakabilog na expression ay naging isang unit at nawala sa produkto: 
Ngayon ay nananatili na lamang na alisin ang tatlong-kuwento na bahagi: 
Sino ang nakalimutan ang pagpapasimple ng mga multi-storey fraction, paki-refresh ang materyal sa reference book Mga Formula sa Hot School Mathematics .
handa na. Panghuling sagot:
Kung hindi mo nais na gumamit ng mga marka ng lapis, ang solusyon ay maaaring mai-format tulad nito:
“
Ginagamit namin ang unang kapansin-pansing limitasyon 
“
Halimbawa 2
Hanapin ang limitasyon
Muli nating nakikita ang isang fraction at isang sine sa limitasyon. Sinusubukan naming palitan ang zero sa numerator at denominator:
Sa katunayan, mayroon tayong kawalan ng katiyakan at, samakatuwid, kailangan nating subukang ayusin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon isinaalang-alang namin ang panuntunan na kapag mayroon kaming kawalan ng katiyakan , kailangan naming i-factor ang numerator at denominator sa mga kadahilanan. Dito - ang parehong bagay, ipapakita namin ang mga degree bilang isang produkto (mga multiplier):
Katulad ng nakaraang halimbawa, binabalangkas namin sa isang lapis ang mga kahanga-hangang limitasyon (narito mayroong dalawa sa kanila), at ipinapahiwatig na sila ay may posibilidad na isa:
Sa totoo lang, handa na ang sagot:
Sa mga sumusunod na halimbawa, hindi ako gagawa ng sining sa Paint, sa palagay ko kung paano gumawa ng tamang solusyon sa isang kuwaderno - naiintindihan mo na.
Halimbawa 3
Hanapin ang limitasyon
Pinapalitan namin ang zero sa expression sa ilalim ng limit sign:
Isang kawalan ng katiyakan ang nakuha na kailangang ibunyag. Kung mayroong isang tangent sa limitasyon, kung gayon ito ay halos palaging na-convert sa sine at cosine ayon sa kilalang trigonometric formula (sa pamamagitan ng paraan, ginagawa nila ang halos pareho sa cotangent, tingnan ang metodolohikal na materyal Mainit na mga formula ng trigonometriko Sa pahina Mga pormula sa matematika, talahanayan at sangguniang materyales).
Sa kasong ito:
Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, at madaling mapupuksa ito (huwag kalimutang markahan na ito ay may posibilidad na isa):
Kaya, kung sa limitasyon ang cosine ay isang MULTIPLIER, kung gayon, sa halos pagsasalita, dapat itong gawing isang yunit, na nawawala sa produkto.
Narito ang lahat ay naging mas simple, nang walang anumang pagpaparami at paghahati. Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagiging pagkakaisa at nawawala sa produkto:
Bilang isang resulta, ang kawalang-hanggan ay nakuha, ito ay nangyayari.
Halimbawa 4
Hanapin ang limitasyon
Sinusubukan naming palitan ang zero sa numerator at denominator:
Nakuha ang kawalan ng katiyakan (cosine ng zero, tulad ng naaalala natin, ay katumbas ng isa)
Ginagamit namin ang trigonometric formula. Tandaan! Para sa ilang kadahilanan, ang mga limitasyon sa paggamit ng formula na ito ay napakakaraniwan.
Inalis namin ang patuloy na multiplier na lampas sa icon ng limitasyon:
Ayusin natin ang unang kapansin-pansing limitasyon:
Narito mayroon lamang kaming isang kamangha-manghang limitasyon, na nagiging isa at nawawala sa produkto:
Alisin natin ang tatlong-kuwento:
Ang limitasyon ay aktwal na nalutas, ipinapahiwatig namin na ang natitirang sine ay may posibilidad na zero:
Halimbawa 5
Hanapin ang limitasyon 
Ang halimbawang ito ay mas kumplikado, subukang malaman ito sa iyong sarili:
Ang ilang mga limitasyon ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansing limitasyon sa pamamagitan ng pagbabago ng variable, maaari mong basahin ang tungkol dito sa ibang pagkakataon sa artikulo Limitahan ang Mga Paraan ng Paglutas.
Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon
Sa teorya ng mathematical analysis ay pinatunayan na:
Ang katotohanang ito ay tinatawag na pangalawang kapansin-pansing limitasyon.
Sanggunian: 
ay isang hindi makatwirang numero.
Hindi lamang isang variable ang maaaring kumilos bilang isang parameter, kundi pati na rin isang kumplikadong function. Mahalaga lamang na ito ay nagsusumikap para sa kawalang-hanggan.
Halimbawa 6
Hanapin ang limitasyon
Kapag ang expression sa ilalim ng limit sign ay nasa kapangyarihan - ito ang unang senyales na kailangan mong subukang ilapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Ngunit una, gaya ng dati, sinusubukan naming palitan ang isang walang katapusang malaking bilang sa expression, ayon sa kung anong prinsipyo ito ay ginagawa, nasuri ito sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon.
Madaling makita iyon kapag ang base ng degree, at ang exponent - , ibig sabihin, mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo:
Ang kawalan ng katiyakan na ito ay ipinahayag lamang sa tulong ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ngunit, tulad ng madalas na nangyayari, ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay hindi namamalagi sa isang pilak na pinggan, at dapat itong artipisyal na organisado. Maaari kang mangatuwiran tulad ng sumusunod: sa halimbawang ito, ang parameter ay nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa indicator. Upang gawin ito, itinataas namin ang base sa isang kapangyarihan, at upang ang expression ay hindi magbago, itinaas namin ito sa isang kapangyarihan:
Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, minarkahan namin ng lapis:
Halos lahat ay handa na, ang kakila-kilabot na antas ay naging isang magandang sulat:
Kasabay nito, ang icon ng limitasyon mismo ay inilipat sa tagapagpahiwatig:
Halimbawa 7
Hanapin ang limitasyon
Pansin! Ang ganitong uri ng limitasyon ay napakakaraniwan, mangyaring pag-aralan nang mabuti ang halimbawang ito.
Sinusubukan naming palitan ang isang walang katapusang malaking numero sa expression sa ilalim ng sign ng limitasyon:
Ang resulta ay isang kawalan ng katiyakan. Ngunit ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nalalapat sa kawalan ng katiyakan ng form. Anong gagawin? Kailangan mong i-convert ang base ng degree. Nagtatalo tayo nang ganito: sa denominator na mayroon tayo , na nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa numerator.
Patunay:
Patunayan muna natin ang theorem para sa kaso ng sequence 
Ayon sa binomial formula ni Newton:
Ipagpalagay na makuha namin
Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ito (1) na habang tumataas ang n, tumataas ang bilang ng mga positibong termino sa kanang bahagi. Bilang karagdagan, habang tumataas ang n, bumababa ang bilang, kaya ang mga dami 
pagtaas. Samakatuwid ang pagkakasunod-sunod 
dumarami, habang (2)* Ipakita natin na ito ay may hangganan. Pinapalitan namin ng isa ang bawat panaklong sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, tumataas ang kanang bahagi, nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay
Pinalalakas namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, pinapalitan ang 3,4,5, ..., nakatayo sa mga denominator ng mga praksyon, na may bilang na 2: Nakikita namin ang kabuuan sa mga bracket gamit ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad: Samakatuwid 
(3)*
Kaya, ang pagkakasunud-sunod ay nakatali mula sa itaas, habang ang mga hindi pagkakapantay-pantay (2) at (3) ay mayroong: 
Samakatuwid, batay sa Weierstrass theorem (isang criterion para sa convergence ng isang sequence), ang sequence 
tumataas ang monotonically at may hangganan, na nangangahulugang ito ay may limitasyon, na tinutukoy ng titik e. Yung. 
Alam na ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay totoo para sa mga natural na halaga ng x, pinatutunayan namin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon para sa tunay na x, iyon ay, pinatutunayan namin na 
. Isaalang-alang ang dalawang kaso:
1. Hayaang ang bawat x value ay nasa pagitan ng dalawang positive integer: , kung saan ang integer na bahagi ng x. => =>
Kung , pagkatapos Samakatuwid, ayon sa limitasyon 
Meron kami
Sa batayan (sa limitasyon ng isang intermediate function) ng pagkakaroon ng mga limitasyon 
2. Hayaan . Gumawa tayo ng pagpapalit − x = t, pagkatapos
Mula sa dalawang kasong ito ay sinusundan iyon 
para sa totoong x.
Mga kahihinatnan:
9 .) Paghahambing ng mga infinitesimal. Ang teorama sa pagpapalit ng mga infinitesimal ng katumbas ng mga nasa limitasyon at ang theorem sa pangunahing bahagi ng infinitesimals.
Hayaan ang mga function a( x) at b( x) – b.m. sa x ® x 0 .
MGA KAHULUGAN.
1) a( x) tinawag isang infinitesimal na mas mataas na order kaysa b (x) kung
Isulat: a( x) = o(b( x)) .
2) a( x) at b( x)tinawag infinitesimal ng parehong pagkakasunud-sunod, kung
kung saan Cнℝ at C¹ 0 .
Isulat: a( x) = O(b( x)) .
3) a( x) at b( x) tinawag katumbas , kung
Isulat: a( x) ~ b( x).
4) a( x) ay tinatawag na infinitesimal order k na may paggalang sa
napaka infinitesimal b( x),
kung infinitesimal a( x)at(b( x)) k magkaroon ng parehong pagkakasunud-sunod, i.e. kung
kung saan Cнℝ at C¹ 0 .
TEOREM 6 (sa pagpapalit ng mga infinitesimal ng mga katumbas).
Hayaan a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. sa x ® x 0 . Kung a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),
pagkatapos 
Patunay: Hayaan mo ( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), pagkatapos
TEOREM 7 (tungkol sa pangunahing bahagi ng walang katapusang maliit).
Hayaan a( x)at b( x)– b.m. sa x ® x 0 , at b( x)– b.m. mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa a( x).
= , a simula b( x) – mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa a( x), pagkatapos , ibig sabihin. 
mula sa malinaw na a( x) + b( x) ~ a( x)
10) Continuity ng function sa isang punto (sa wika ng mga limitasyon ng epsilon-delta, geometric) One-sided continuity. Continuity sa isang interval, sa isang segment. Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.
1. Mga pangunahing kahulugan
Hayaan f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 .
KAHULUGAN 1. tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo
Remarks.
1) Sa pamamagitan ng Theorem 5 ng §3, ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat bilang
Kundisyon (2) - kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto sa wika ng mga one-sided na limitasyon.
2) Ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaari ding isulat bilang:
Sabi nila: "kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto x 0 , pagkatapos ay ang sign ng limitasyon at ang function ay maaaring palitan.
KAHULUGAN 2 (sa wikang e-d).
tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung"e>0 $d>0 ganyan, Ano
kung xОU( x 0 , d) (iyon ay, | x – x 0 | < d),
pagkatapos f(x)ОU( f(x 0), e) (ibig sabihin | f(x) – f(x 0) | < e).
Hayaan x, x 0 Î D(f) (x 0 - naayos, x- arbitrary)
Ipahiwatig: D x= x-x 0 – pagtaas ng argumento
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – pagtaas ng function sa punto x 0
KAHULUGAN 3 (geometric).
tungkulin f(x) sa tinawag tuloy-tuloy sa isang punto
x 0
kung sa puntong ito ang isang infinitesimal increment ng argument ay tumutugma sa infinitesimal na increment ng function, ibig sabihin.
Hayaan ang function f(x) ay tinukoy sa pagitan [ x 0 ; x 0 + d) (sa pagitan ( x 0 - d; x 0 ]).
DEPINISYON. tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto
x 0 sa kanan
(umalis
), kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo
Obvious naman yun f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 Û f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 kanan at kaliwa.
DEPINISYON. tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa bawat pagitan e ( a; b) kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.
tungkulin f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa segment [a; b] kung ito ay tuloy-tuloy sa pagitan (a; b) at may isang panig na pagpapatuloy sa mga boundary point(ibig sabihin, tuloy-tuloy sa punto a tama, punto b- sa kaliwa).
11) Mga break point, ang kanilang klasipikasyon
DEPINISYON. Kung ang function f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong x 0 , ngunit hindi tuloy-tuloy sa puntong iyon, kung gayon f(x) ay tinatawag na discontinuous sa puntong x 0 , ngunit ang punto x 0 tinatawag na breaking point mga tungkulin f(x) .
Remarks.
1) f(x) ay maaaring tukuyin sa isang hindi kumpletong kapitbahayan ng punto x 0 .
Pagkatapos ay isaalang-alang ang kaukulang one-sided na pagpapatuloy ng function.
2) Mula sa kahulugan ng z, ang punto x 0 ang break point ng function f(x) sa dalawang kaso:
a) U( x 0 , d)н D(f), ngunit para sa f(x) ang pagkakapantay-pantay ay hindi nasisiyahan
b) U * ( x 0 , d)н D(f) .
Para sa mga elementary function, tanging case b) ang posible.
Hayaan x 0 - break point ng function f(x) .
DEPINISYON. punto x 0 tinawag sukdulan ako mabait kung ang function f(x)may hangganang limitasyon sa puntong ito sa kaliwa at sa kanan.
Kung, bilang karagdagan, ang mga limitasyong ito ay pantay, kung gayon ang puntong x 0 tinawag break point , kung hindi - jump point .
DEPINISYON. punto x 0 tinawag sukdulan II mabait kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function f(x)sa puntong ito ay katumbas ng¥ o wala.
12) Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang segment (Weierstrass's (walang patunay) at Cauchy's theorems
Teorama ng Weierstrass
Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa segment , pagkatapos
1)f(x) ay limitado sa
2) f (x) ay tumatagal sa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga nito
Kahulugan: Ang halaga ng function na m=f ay tinatawag na pinakamaliit kung m≤f(x) para sa alinmang x ∈ D(f).
Ang halaga ng function na m=f ay tinatawag na pinakamalaking kung m≥f(x) para sa alinmang x ∈ D(f).
Ang function ay maaaring tumagal ng pinakamaliit \ pinakamalaking halaga sa ilang mga punto ng segment.
f(x 3)=f(x 4)=max
Ang teorama ni Cauchy.
Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa segment at ang x ay ang bilang na nakapaloob sa pagitan ng f(a) at f(b), pagkatapos ay mayroong kahit isang punto x 0 € na ang f(x 0)= g
Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay tinatawag na sumusunod na pagkakapantay-pantay:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Dahil para sa $\alpha\to(0)$ mayroon kaming $\sin\alpha\to(0)$, sinasabi namin na ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagpapakita ng kawalan ng katiyakan ng anyong $\frac(0)(0)$. Sa pangkalahatan, sa formula (1), sa halip na variable na $\alpha$, sa ilalim ng sine sign at sa denominator, anumang expression ay maaaring matagpuan, hangga't dalawang kundisyon ay natutugunan:
- Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, i.e. mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$.
- Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho.
Ang mga resulta mula sa unang kapansin-pansing limitasyon ay madalas ding ginagamit:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Labing-isang halimbawa ang nalutas sa pahinang ito. Ang Halimbawa No. 1 ay nakatuon sa patunay ng mga formula (2)-(4). Ang mga halimbawa #2, #3, #4 at #5 ay naglalaman ng mga solusyon na may mga detalyadong komento. Ang mga halimbawa 6-10 ay naglalaman ng mga solusyon na may kaunti o walang komento, dahil ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay sa mga nakaraang halimbawa. Kapag nag-solve, ginagamit ang ilang mga trigonometric formula, na maaaring matagpuan.
Pansinin ko na ang pagkakaroon ng trigonometriko function, kasama ang kawalan ng katiyakan ng $\frac (0) (0)$, ay hindi nangangahulugan na ang unang kapansin-pansing limitasyon ay dapat ilapat. Minsan ang mga simpleng pagbabagong trigonometriko ay sapat na - halimbawa, tingnan.
Halimbawa #1
Patunayan na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Dahil $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, kung gayon:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Dahil $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , pagkatapos:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Gawin natin ang kapalit na $\alpha=\sin(y)$. Dahil $\sin(0)=0$, pagkatapos ay mula sa kundisyong $\alpha\to(0)$ mayroon kaming $y\to(0)$. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan ng zero kung saan $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, kaya:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Ang pagkakapantay-pantay na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ay napatunayan.
c) Gawin natin ang kapalit na $\alpha=\tg(y)$. Dahil $\tg(0)=0$, ang mga kundisyon na $\alpha\to(0)$ at $y\to(0)$ ay katumbas. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan ng zero kung saan $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, samakatuwid, umaasa sa mga resulta ng point a), magkakaroon tayo ng:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Ang pagkakapantay-pantay na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ay napatunayan.
Ang mga pagkakapantay-pantay a), b), c) ay kadalasang ginagamit kasama ng unang kapansin-pansing limitasyon.
Halimbawa #2
Compute limit $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Dahil $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ at $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. at ang numerator at denominator ng fraction ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, pagkatapos dito tayo ay nakikitungo sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$, i.e. tapos na. Bilang karagdagan, makikita na ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho (i.e., at nasiyahan):
Kaya, ang parehong mga kundisyon na nakalista sa simula ng pahina ay natutugunan. Ito ay sumusunod mula dito na ang formula ay naaangkop, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Sagot: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Halimbawa #3
Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Dahil ang $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ at $\lim_(x\to(0))x=0$, kami ay humaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac( 0 )(0)$, ibig sabihin, tapos na. Gayunpaman, ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay hindi tugma. Dito kinakailangan na ayusin ang expression sa denominator sa nais na anyo. Kailangan natin ang expression na $9x$ para nasa denominator - pagkatapos ito ay magiging totoo. Sa pangkalahatan, nawawala ang $9$ factor sa denominator, na hindi ganoon kahirap ipasok, i-multiply lang ang expression sa denominator sa $9$. Naturally, para mabayaran ang multiplikasyon ng $9$, kailangan mong agad na hatiin sa $9$ at hatiin:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Ngayon ang mga expression sa denominator at sa ilalim ng sine sign ay pareho. Ang parehong kundisyon para sa limitasyong $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ay nasiyahan. Kaya $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. At nangangahulugan ito na:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Halimbawa #4
Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Dahil ang $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ at $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, dito tayo ay humaharap sa kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, ang anyo ng unang kapansin-pansin na limitasyon ay nasira. Ang numerator na naglalaman ng $\sin(5x)$ ay nangangailangan ng $5x$ sa denominator. Sa sitwasyong ito, ang pinakamadaling paraan ay hatiin ang numerator sa $5x$, at agad na i-multiply sa $5x$. Bilang karagdagan, magsasagawa kami ng katulad na operasyon gamit ang denominator, pagpaparami at paghahati ng $\tg(8x)$ sa $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Pagbabawas ng $x$ at pagkuha ng pare-parehong $\frac(5)(8)$ mula sa limit sign, makukuha natin ang:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Tandaan na ganap na natutugunan ng $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ang mga kinakailangan para sa unang kahanga-hangang limitasyon. Upang mahanap ang $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ang sumusunod na formula ay naaangkop:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Halimbawa #5
Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Dahil $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (tandaan na ang $\cos(0)=1$) at $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, pagkatapos ay tatalakayin natin ang isang indeterminacy ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, upang mailapat ang unang kahanga-hangang limitasyon, dapat mong alisin ang cosine sa numerator sa pamamagitan ng pagpunta sa sines (upang mailapat ang formula) o tangents (upang mailapat ang formula). Magagawa mo ito sa sumusunod na pagbabago:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\kaliwa(1-\cos^2(5x)\kanan)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\kanan)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Bumalik tayo sa limitasyon:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$
Ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ay malapit na sa form na kinakailangan para sa unang kapansin-pansing limitasyon. Gawin natin ng kaunti ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, iakma ito sa unang kahanga-hangang limitasyon (tandaan na dapat tumugma ang mga expression sa numerator at sa ilalim ng sine):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Bumalik tayo sa itinuturing na limitasyon:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Halimbawa #6
Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Dahil ang $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ at $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, kung gayon kami ay nakikitungo sa kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Buksan natin ito sa tulong ng unang kapansin-pansing limitasyon. Upang gawin ito, lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga sine. Dahil $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, kung gayon:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Ang pagpasa sa ibinigay na limitasyon sa mga sine, magkakaroon tayo ng:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Halimbawa #7
Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ binigay na $\alpha\neq\ beta $.
Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay nang mas maaga, ngunit dito lamang namin tandaan na muli mayroong isang kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga sine gamit ang formula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Gamit ang formula sa itaas, nakukuha namin:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\kanan)\cdot\sin\kaliwa(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\kanan))(x)\kanan)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\kanan)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.
Halimbawa #8
Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Dahil $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (tandaan na ang $\sin(0)=\tg(0)=0$) at $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, pagkatapos narito tayo ay nakikitungo sa isang indeterminacy ng form na $\frac(0)(0)$. Hatiin natin ito ng ganito:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Halimbawa #9
Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Dahil $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ at $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, pagkatapos ay mayroong kawalan ng katiyakan ng anyo na $\frac(0)(0)$. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, madaling baguhin ang variable sa paraang magiging zero ang bagong variable (tandaan na ang variable na $\alpha \to 0$ sa mga formula). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $t=x-3$. Gayunpaman, para sa kaginhawahan ng karagdagang pagbabago (makikita ang benepisyong ito sa kurso ng solusyon sa ibaba), sulit na gawin ang sumusunod na kapalit: $t=\frac(x-3)(2)$. Tandaan ko na ang parehong mga pagpapalit ay naaangkop sa kasong ito, ang pangalawang pagpapalit lamang ay magbibigay-daan sa iyo upang gumana nang mas kaunti sa mga fraction. Dahil $x\to(3)$, pagkatapos ay $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ sa(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Sagot: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Halimbawa #10
Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Muli tayong nakikitungo sa kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, maginhawang gumawa ng variable na pagbabago sa paraang magiging zero ang bagong variable (tandaan na sa mga formula ang variable ay $\alpha\to(0)$). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $t=\frac(\pi)(2)-x$. Dahil $x\to\frac(\pi)(2)$, pagkatapos ay $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\kaliwa|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\kaliwa(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Sagot: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Halimbawa #11
Maghanap ng mga limitasyon $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Sa kasong ito, hindi natin kailangang gamitin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Pakitandaan: sa una at pangalawang limitasyon, mayroon lamang mga trigonometric na function at numero. Kadalasan, sa mga halimbawa ng ganitong uri, posibleng gawing simple ang expression na matatagpuan sa ilalim ng limit sign. Sa kasong ito, pagkatapos ng nabanggit na pagpapasimple at pagbabawas ng ilang mga kadahilanan, ang kawalan ng katiyakan ay nawawala. Ibinigay ko ang halimbawang ito na may isang layunin lamang: upang ipakita na ang pagkakaroon ng mga function ng trigonometriko sa ilalim ng sign ng limitasyon ay hindi nangangahulugang ang paggamit ng unang kapansin-pansin na limitasyon.
Dahil $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (tandaan na ang $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) at $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (tandaan na $\cos\frac(\pi)(2)=0$), pagkatapos ay haharapin natin ang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na kailangan nating gamitin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, sapat na upang isaalang-alang na $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Mayroong katulad na solusyon sa aklat ng solusyon ni Demidovich (No. 475). Tulad ng para sa pangalawang limitasyon, tulad ng sa mga nakaraang halimbawa ng seksyong ito, mayroon kaming kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Bakit ito lumitaw? Lumilitaw ito dahil $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ at $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang baguhin ang mga expression sa numerator at denominator. Ang layunin ng ating mga aksyon: isulat ang kabuuan sa numerator at denominator bilang isang produkto. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay madalas na maginhawa upang baguhin ang isang variable sa loob ng isang katulad na form upang ang bagong variable ay may posibilidad na zero (tingnan, halimbawa, ang mga halimbawa No. 9 o No. 10 sa pahinang ito). Gayunpaman, sa halimbawang ito, walang punto sa pagpapalit ng variable, bagama't madaling ipatupad ang pagpapalit ng variable na $t=x-\frac(2\pi)(3)$ kung ninanais.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Gaya ng nakikita mo, hindi namin kinailangang ilapat ang unang kahanga-hangang limitasyon. Siyempre, maaari itong gawin kung ninanais (tingnan ang tala sa ibaba), ngunit hindi ito kinakailangan.
Ano ang magiging solusyon gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon? Ipakita itago
Gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon, nakukuha namin ang:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ kanan))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Sagot: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay kadalasang ginagamit upang kalkulahin ang mga limitasyon na naglalaman ng sine, arcsine, tangent, arctangent at ang mga nagresultang kawalan ng katiyakan na zero na hinati ng zero.
Formula
Ang formula para sa unang kapansin-pansing limitasyon ay: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Napansin namin na ang $ \alpha\to 0 $ ay nagbubunga ng $ \sin\alpha \to 0 $, kaya mayroon kaming mga zero sa numerator at denominator. Kaya, ang pormula ng unang kapansin-pansing limitasyon ay kailangan upang ipakita ang mga kawalan ng katiyakan ng $ \frac(0)(0) $.
Para mailapat ang formula, dapat matugunan ang dalawang kundisyon:
- Ang mga expression na nakapaloob sa sine at denominator ng isang fraction ay pareho
- Ang mga expression sa sine at denominator ng isang fraction ay may posibilidad na zero
Pansin! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Kahit na ang mga expression sa ilalim ng sine at sa denominator ay pareho, gayunpaman $ 2x ^2+1 = 1 $, kapag $ x\to 0 $. Ang pangalawang kundisyon ay hindi natugunan, kaya ang formula ay HINDI mailalapat!
Mga kahihinatnan
Medyo bihira, sa mga gawain maaari mong makita ang isang malinis na unang kahanga-hangang limitasyon kung saan maaari mong agad na isulat ang sagot. Sa pagsasagawa, ang lahat ay mukhang medyo mas kumplikado, ngunit para sa mga ganitong kaso magiging kapaki-pakinabang na malaman ang mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansin na limitasyon. Salamat sa kanila, maaari mong mabilis na kalkulahin ang nais na mga limitasyon.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Mga halimbawa ng solusyon
Isaalang-alang natin ang unang kapansin-pansin na limitasyon, mga halimbawa ng solusyon kung saan para sa pagkalkula ng mga limitasyon na naglalaman ng mga trigonometriko function at kawalan ng katiyakan $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Halimbawa 1 |
| Kalkulahin ang $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Desisyon |
|
Isaalang-alang ang limitasyon at tandaan na naglalaman ito ng sine. Susunod, pinapalitan natin ang $ x = 0 $ sa numerator at denominator at makuha ang kawalan ng katiyakan ng zero na hinati ng zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Mayroon nang dalawang palatandaan na kailangan mong mag-aplay ng isang kahanga-hangang limitasyon, ngunit mayroong isang maliit na nuance: hindi namin agad mailalapat ang formula, dahil ang expression sa ilalim ng sine sign ay naiiba sa expression sa denominator. At kailangan natin silang maging pantay. Samakatuwid, sa tulong ng elementarya na pagbabago ng numerator, gagawin natin itong $2x$. Upang gawin ito, aalisin namin ang deuce mula sa denominator ng fraction sa pamamagitan ng isang hiwalay na kadahilanan. Mukhang ganito: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , na sa dulo ay nakuha ng formula ang $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $. Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong maging pamilyar sa pag-usad ng pagkalkula at makakalap ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyong makakuha ng kredito mula sa guro sa isang napapanahong paraan! |
| Sagot |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Halimbawa 2 |
| Hanapin ang $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Desisyon |
|
Gaya ng nakasanayan, kailangan mo munang malaman ang uri ng kawalan ng katiyakan. Kung ito ay zero na hinati ng zero, pagkatapos ay binibigyang pansin natin ang pagkakaroon ng isang sine: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Ang kawalan ng katiyakan na ito ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang formula ng unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang expression mula sa denominator ay hindi katumbas ng argumento ng sine? Samakatuwid, imposibleng ilapat ang formula "sa noo". Kailangan mong i-multiply at hatiin ang fraction sa pamamagitan ng argument ng sine: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Ngayon inilalarawan namin ang mga katangian ng mga limitasyon: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Ang pangalawang limitasyon ay akma lang sa formula at katumbas ng isa: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Palitan muli ang $ x = 0 $ sa isang fraction at makuha ang kawalan ng katiyakan $ \frac(0)(0) $. Upang alisin ito, sapat na upang kunin ang $ x $ mula sa mga bracket at bawasan ito: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Sagot |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Halimbawa 4 |
| Kalkulahin ang $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Desisyon |
|
Simulan natin ang pagkalkula sa pamamagitan ng pagpapalit ng $ x=0 $. Bilang resulta, nakukuha namin ang kawalan ng katiyakan $ \frac(0)(0) $. Ang limitasyon ay naglalaman ng sine at tangent, na nagpapahiwatig ng posibleng pag-unlad ng sitwasyon gamit ang formula ng unang kapansin-pansing limitasyon. Ibahin natin ang numerator at denominator ng fraction sa isang formula at isang resulta: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Ngayon nakikita natin sa numerator at denominator mayroong mga expression na angkop para sa formula at mga kahihinatnan. Ang argumentong sine at ang argumentong padaplis ay pareho para sa kani-kanilang mga denominador $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Sagot |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Sa artikulong: "Ang unang kapansin-pansin na limitasyon, mga halimbawa ng mga solusyon" sinabi ito tungkol sa mga kaso kung saan ipinapayong gamitin ang formula na ito at ang mga kahihinatnan nito.
Ang formula para sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Ang isa pang anyo ng pagsulat ay ganito ang hitsura: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Kapag pinag-uusapan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon, kailangan nating harapin ang isang kawalan ng katiyakan ng form 1 ∞ , i.e. yunit sa isang walang katapusang antas.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Isaalang-alang ang mga problema kung saan kailangan natin ng kakayahang kalkulahin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Halimbawa 1
Hanapin ang limitasyon lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Desisyon
Palitan ang gustong formula at gawin ang mga kalkulasyon.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Sa aming sagot, nakakuha kami ng isang yunit sa kapangyarihan ng infinity. Upang matukoy ang paraan ng solusyon, ginagamit namin ang talahanayan ng mga kawalan ng katiyakan. Pinipili namin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon at gumawa ng pagbabago ng mga variable.
t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2
Kung x → ∞ pagkatapos t → - ∞ .
Tingnan natin kung ano ang nakuha namin pagkatapos ng kapalit:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Sagot: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Halimbawa 2
Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Desisyon
Palitan ang infinity at kunin ang sumusunod.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Sa sagot, muli naming nakuha ang parehong bagay tulad ng sa nakaraang problema, samakatuwid, maaari naming muli gamitin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Susunod, kailangan nating piliin ang bahagi ng integer sa base ng power function:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Pagkatapos nito, kinukuha ng limitasyon ang sumusunod na anyo:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Pinapalitan namin ang mga variable. Sabihin natin na t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; kung x → ∞ , pagkatapos ay t → ∞ .
Pagkatapos nito, isusulat namin kung ano ang nakuha namin sa orihinal na limitasyon:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2
Upang maisagawa ang pagbabagong ito, ginamit namin ang mga pangunahing katangian ng mga limitasyon at kapangyarihan.
Sagot: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Halimbawa 3
Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3-5 .
Desisyon
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞
Pagkatapos nito, kailangan nating magsagawa ng pagbabagong-anyo ng function upang mailapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Nakuha namin ang sumusunod:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Dahil ngayon ay mayroon tayong parehong mga exponent sa numerator at denominator ng fraction (katumbas ng anim), ang limitasyon ng fraction sa infinity ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient na ito sa mas mataas na kapangyarihan.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Ang pagpapalit ng t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, makuha namin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon. Ibig sabihin:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Sagot: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
napag-alaman
Kawalang-katiyakan 1 ∞ , ibig sabihin. yunit sa isang walang katapusang antas, ay isang kawalan ng katiyakan sa batas ng kapangyarihan, samakatuwid, maaari itong ihayag gamit ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga limitasyon ng mga pagpapaandar ng exponential power.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
