Оглавление 4
От редактора перевода 10
Предисловие к третьему изданию 13
Предисловие ко второму изданию 15
Предисловие к первому изданию 16
Обозначения 20
Глава 1. Введение 22
§ 1. Упругость 22
§ 2. Напряжения 23
§ 3. Обозначения для сил и напряжений 24
§ 4. Компоненты напряжений 25
§ 5. Компоненты деформаций 26
§ 6. Закон Гука 28
§ 7. Индексные обозначения 32
Задачи 34
Глава 2. Плоское напряженное состояние и плоская деформация 35
§ 8. Плоское напряженное состояли 35
§ 9. Плоская деформация 35
§ 10. Напряжения в точке 37
§ 11. Деформации в точке 42
§ 12. Измерение поверхностных деформаций 44
§ 13. Построение круга деформаций Мора для розетки 46
§ 14. Дифференциальные уравнения равновесия 46
§ 15. Граничные условия 47
§ 16. Уравнения совместности 48
§ 17. Функция напряжений 50
Задачи 52
Глава 3. Двумерные задачи в прямоугольных координатах 54
§ 18. Решение в полиномах 54
§ 19. Концевые эффекты. Принцип Сен-Венана 58
§ 20. Определение перемещений 59
§ 21. Изгиб консоли, нагруженной на конце 60
§ 22. Изгиб балки равномерной нагрузкой 64
§ 23. Другие случаи балок с непрерывным распределением нагрузки 69
§ 24. Решение двумерной задачи при помощи рядов Фурье 71
§ 25. Другие приложения рядов Фурье. Нагрузка от собственного веса 77
§ 26. Влияние кондов. Собственные функции 78
Задачи 80
Глава 4. Двумерные задачи в полярных координатах 83
§ 27. Общие уравнения в полярных координатах 83
§ 28. Полярно-симметричное распределение напряжений 86
§ 29. Чистый изгиб кривых брусьев 89
§ 30. Компоненты деформаций в полярных координатах 93
§ 31. Перемещения при симметричных нолях напряжений 94
§ 32. Вращающиеся диски 97
§ 33. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце 100
§ 34. Краевые дислокации 105
§ 35. Влияние круглого отверстия на распределение напряжений в пластинке 106
§ 36. Сосредоточенная сила, приложенная в некоторой точке прямолинейной границы 113
§ 37. Произвольная вертикальная нагрузка на прямолинейной границе 119
§ 38. Сила, действующая на острие клина 125
§ 39. Изгибающий момент, действующий на острие клина 127
§ 40. Действие на балку сосредоточенной силы 128
§ 41. Напряжения в круглом диске 137
§ 42. Сила, действующая в точке бесконечной пластинки 141
§ 43. Обобщенное решение двумерной задачи в полярных координатах 146
§ 44. Приложения обобщенного решения в полярных координатах 150
§ 45. Клин, нагруженный вдоль граней 153
§ 46. Собственные решения для клиньев и вырезов 155
Задачи 158
Глава 5. Экспериментальные методы. Метод фотоупругости и метод «муара» 163
§ 47. Экспериментальные методы и проверка теоретических решений 163
§ 48. Измерение напряжений фотоупругим методом 163
§ 49. Круговой полярископ 169
§ 50. Примеры определения напряжений фотоупругим методом 171
§ 51. Определение главных напряжений 174
§ 52. Методы фотоупругости в трехмерном случае 175
§ 53. Метод муара 177
Глава 6. Двумерные задачи в криволинейных координатах 180
§ 54. Функции комплексного переменного 180
§ 55. Аналитические функции и уравнение Лапласа 182
§ 56. Функции напряжений, выраженные через гармонические и комплексные функции 184
§ 57. Перемещения, отвечающие заданной функции напряжений 186
§ 58. Выражение напряжений и перемещений через комплексные потенциалы 188
§ 59. Результирующая напряжений, действующих по некоторой кривой. Граничные условия 190
§ 60. Криволинейные координаты 193
§ 61. Компоненты напряжений в криволинейных координатах 196
Задачи 198
§ 62. Решения в эллиптических координатах. Эллиптическое отверстие в пластинке с однородным напряженным состоянием 198
§ 63. Эллиптическое отверстие в пластинке, подвергнутой одноосному растяжению 202
§ 64. Гиперболические границы. Вырезы 206
§ 65. Биполярные координаты 208
§ 66. Решения в биполярных координатах 209
§ 67. Определение комплексных потенциалов по заданным граничным условиям. Методы Н. И. Мусхелишвили 214
§ 68 Формулы для комплексных потенциалов 217
§ 69. Свойства напряжений и деформаций, отвечающих комплексным потенциалам, аналитическим в области материала, расположенной вокруг отверстия 219
§ 70. Теоремы для граничных интегралов 221
§ 71. Отображающая функция ω(ξ)для эллиптического отверстия. Второй граничный интеграл 224
§ 72. Эллиптическое отверстие. Формула для ψ(ζ) 225
§ 73. Эллиптическое отверстие. Частные задачи 226
Задачи 229
Глава 7. Анализ напряжений и деформаций в пространственном случае 230
§ 74. Введение 230
§ 75. Главные напряжения 232
§ 76. Эллипсоид напряжений и направляющая поверхность напряжений 233
§ 77. Определение главных напряжений 234
§ 78. Инварианты напряжений 235
§ 79. Определение максимального касательного напряжения 236
§ 80. Однородная деформация 238
§ 81. Деформации в точке тела 239
§ 82. Главные оси деформаций 242
§ 83. Вращение 243
Задачи 245
Глава 8. Общие теоремы 246
§ 84. Дифференциальные уравнения равновесия 246
§ 85. Условия совместности 247
§ 86. Определение перемещений 250
§ 87. Уравнения равновесия в перемещениях 251
§ 88. Общее решение для перемещений 252
§ 89. Принцип суперпозиции 253
§ 90. Энергия деформации 254
§ 91. Энергия деформации для краевой дислокации 259
§ 92. Принцип виртуальной работы 261
§ 93. Теорема Кастильяно 266
§ 94. Приложения принципа минимальной работы. Прямоугольные пластинки 270
§ 95. Эффективная ширина широких полок балок 273
Задачи 279
§ 96. Единственность решения 280
§ 97. Теорема взаимности 282
§ 98. Приближенный характер решений для плоского напряженного состояния 285
Задачи 287
Глава 9. Элементарные трехмерные задачи теории упругости 289
§ 99. Однородное напряженное состояние 289
§ 100. Растяжение призматического стержня под действием собственного веса 290
§ 101. Кручение круглых валов постоянного поперечного сечения 293
§ 102. Чистый изгиб призматических стержней 294
§ 103. Чистый изгиб пластинок 298
Глава 10. Кручение 300
§ 104. Кручение прямолинейных стержней 300
§ 105. Эллиптическое поперечное сечение 305
§ 106. Другие элементарные решения 307
§ 107. Мембранная аналогия 310
§ 108. Кручение стержня узкого прямоугольного поперечного сечения 314
§ 109. Кручение прямоугольных стержней 317
§ 110. Дополнительные результаты 320
§ 111. Решение задач о кручении энергетическим методом 323
§ 112. Кручение стержней прокатных профилей 329
§ 113. Экспериментальные аналогии 331
§ 114. Гидродинамические аналогии 332
§ 115. Кручение полых валов 335
§ 116. Кручение тонкостенных труб 339
§ 117. Винтовые дислокации 343
§ 118. Кручение стержня, одно из поперечных сечений которого остается плоским 345
§ 119. Кручение круглых валов переменного диаметра 347
Задачи 355
Глава 11. Изгиб брусьев 359
§ 120. Изгиб консоли 359
§ 121. Функция напряжений 361
§ 122. Круглое поперечное сечение 363
§ 123. Эллиптическое поперечное сечение 364
§ 124. Прямоугольное поперечное сечение 365
§ 125. Дополнительные результаты 371
§ 126. Несимметричные поперечные сечения 373
§ 127. Центр изгиба 375
§ 128. Решение задач изгиба с помощью метода мыльной пленки 378
§ 129. Перемещения 381
§ 130. Дальнейшие исследования изгиба брусьев 382
Глава 12. Осесимметричные напряжения и деформации в телах вращения 384
§ 131. Общие уравнения 384
§ 132. Решение в полиномах 387
§ 133. Изгиб круглой пластинки 388
§ 134. Трехмерная задача о вращающемся диске 391
§ 135. Сила, приложенная в некоторой точке бесконечного тела 393
§ 136. Сферический сосуд под действием внутреннего или внешнего равномерного давления 396
§ 137. Местные напряжения вокруг сферической полости 399
§ 138. Сила, приложенная на границе полубесконечного тела 401
§ 139. Нагрузка, распределенная по части границы полубесконечного тела 405
§ 140. Давление между двумя соприкасающимися сферическими телами 412
§ 141. Давление между двумя соприкасающимися телами. Более общий случай 417
§ 142. Соударение шаров 422
§ 143. Симметричная деформация круглого цилиндра 424
§ 144. Круглый цилиндр под действием опоясывающего давления 428
§ 145. Решение Буссинеска в виде двух гармонических функций 430
§ 146. Растяжение винтовой пружины (винтовые дислокации в кольце) 431
§ 147. Чистый изгиб части круглого кольца 434
Глава 13. Температурные напряжения 436
§ 148. Простейшие случаи распределения температурных напряжений. Метод устранения деформаций 436
Задачи 442
§ 149. Продольное изменение температуры в полосе 442
§ 150. Тонкий круглый диск: распределение температуры, симметричное относительно центра 445
§ 151. Длинный круглый цилиндр 447
Задачи 455
§ 152. Сфера 455
§ 153. Общие уравнения 459
§ 154. Теорема взаимности в термоупругости 463
§ 155. Полные термоупругие деформации. Произвольное распределение температуры 464
§ 156. Термоупругие перемещения. Интегральное решение В. М. Май-зеля 466
Задачи 469
§ 157. Начальные напряжения 469
§ 158. Общее изменение объема, связанное с начальными напряжениями 472
§ 159. Плоская деформация и плоское напряженное состояние. Метод устранения деформаций 472
§ 160. Двумерные задачи со стационарным потоком тепла 474
§ 161. Плоское термонапряженное состояние, вызванное возмущением однородного потока тепла изолированным отверстием 480
§ 162. Решения общих уравнений. Термоупругий потенциал перемещения 481
§ 163. Общая двумерная задача для круговых областей 485
§ 164. Общая двумерная задача. Решение в комплексных потенциалах 487
Глава 14. Распространение волн в упругой сплошной среде 490
§ 165. Введение 490
§ 166. Волны расширения и волны искажения в изотропной упругой среде 491
§ 167. Плоские волны 492
§ 168. Продольные волны в стержнях постоянного сечения. Элементарная теория 497
§ 169. Продольное соударение стержней 502
§ 170. Поверхностные волны Рэлея 510
§ 171. Волны со сферической симметрией в бесконечной среде 513
§ 172. Взрывное давление в сферической полости 514
Приложение. Применение конечно-разностных уравнений в теории упругости 518
§ 1. Вывод конечно-разностных уравнений 518
§ 2. Методы последовательных приближений 522
§ 3. Метод релаксации 525
§ 4. Треугольные и шестиугольные сетки 530
§ 5. Блочная и групповая релаксации 535
§ 6. Кручение стержней с многосвязными поперечными сечениями 536
§ 7. Точки, расположенные вблизи границы 538
§ 8. Бигармоническое уравнение 540
§ 9. Кручение круговых валов переменного диаметра 548
§ 10. Решение задач с помощью ЭВМ 551
Именной указатель 553
Предметный указатель 558

Созданию теории упругости и пластичности как самостоятельного раздела механики предшествовали работы ученых XVII и XVIII вв, Еще в начале XVII в. Г. Галилей (1564-1642) сделал попытку решить задачи о растяжении и изгибе бруса. Он был одним из первых, кто попытался применить расчеты к инженерно-строительным задачам.

Теорией изгиба тонких упругих стержней занимались такие выдаю­щиеся ученые, как Э. Мариотт, Я. Бернулли-старший, Ш.О. Кулон, Л. Эйлер, причем становление теории упругости как науки можно свя­зать с работами Р. Гуна, Т. Юнга, Ж.Л. Лагранжа, С. Жермен.

Роберт Гук (1635-1703) положил начало механике упругих тел, опубликовав в 1678 r . работу, в которой описал установленный им за кон пропорциональности между нагрузкой и деформацией при растя­жении. Томас Юнг (1773-1829) в самом начале XIX в. ввел понятие модуля упругости при растяжении и сжатии. Он установил также раз­личие между деформацией растяжения или сжатия и деформацией сдви­га. К этому же времени относятся работы Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813) и Софи Жермен (1776-1831). Они нашли решение задачи об изгибе и колебаниях упругих пластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовали С. Пуассон и 781-1840) и Л. Навье (1785-1836).

Так, к концу XVIII и началу XIX вв. были заложены основы со­противления материалов и создана почва для возникновения теории упругости. Быстрое развитие техники ставило перед математикой огромное количество практических задач, что и привело к быстрому развитию теории. Одной из многих важных проблем была проблема ис­следования свойств упругих материалов. Решение этой проблемы да­вало возможность более глубоко и полно изучить внутренние силы и деформации, возникающие в упругом теле под действием внешних сил.

Датой возникновения математической теории упругости надо счи­тать 1821 г., когда вышла в свет работа Л. Навье, в которой были сформулированы основные уравнения.

Большие математические трудности решения задач теории упруго­сти привлекли к ней внимание многих выдающихся ученых-математи­ков XIX в.: Ламе, Клапейрона, Пуассона и др. Дальнейшее развитие теория упругости получила в трудах французского математика О. Коши (1789-1857), который ввел понятия деформации и напряжения, упростив тем самым вывод общих уравнений.

В 1828 г. основной аппарат математической теории упругости на­шел свое завершение в трудах французских ученых и инженеров Г. Ла­ме (1795-1870) и Б. Клапейрона (1799-1864), преподававших в то вре­мя в Институте инженеров путей сообщения в Петербурге. В их сов­местной работе дано приложение общих уравнений к решению практи­ческих проблем.

Решение многих задач теории упругости стало возможным после того, как французский механик Б. Сен-Венан (1797-1886) выдвинул принцип, носящий его имя, и предложил эффективный метод решения задач теории упругости. Заслуга его, по словам известного английского ученого А. Лява (1863-1940), заключается еще и в том, что он увязал проблемы кручения и изгиба балок с общей теорией.

Если французские математики занимались в основном общими проблемами теории, то русские ученые внесли большой вклад в разви­тие науки о прочности решением многих актуальных практических задач. С 1828 но 1860 г. в петербургских технических вузах препода­вал математику и механику выдающийся ученый М. В. Остроградс­кий (1801-1861). Его исследования по вопросам колебаний, возни­кающих в упругой среде, имели важное значение для развития теории упругости. Остроградский воспитал плеяду ученых и инженеров. Сре­ди них следует назвать Д. И. Журавского (1821-1891), который, ра­ботая на строительстве Петербурго-Московской железной дороги, создал не только новые схемы мостов, но и теорию расчета мостовых ферм, а также вывел формулу касательных напряжений в изгибаемой балке.

А. В. Гадолин (1828-1892) применил задачу Ламе об осесимметричной деформации толстостенной трубы к исследованию напряжений, возникающих в стволах артиллерийских орудий, одним из первых при­ложив теорию упругости к конкретной инженерной задаче.

Из других задач, решенных в конце XIX в., нужно отметить работы X. С. Головина (1844-1904), произведшего методами теории упруго сти точный расчет кривого бруса, что дало возможность определить степень точности приближенных решений.

Большая заслуга в развитии науки о прочности принадлежит В. Л. Кирпичеву (1845-1913). Ему удалось значительно упростить различные методы расчета статически неопределимых конструкций. Он первый применил оптический метод к экспериментальному опреде­лению напряжений, создал метод подобия.

Тесная связь с практикой строительства, принципиальность и глу­бина анализа характеризуют советскую науку. И. Г. Бубнов (1872- 1919) разработал новый приближенный метод интегрирования диффе­ренциальных уравнений, блестяще развитый Б. Г. Галеркиным (1871-1945). Вариационный метод Бубнова-Галеркина в настоя­щее время получил широкое распространение. Большое значение име­ют труды этих ученых в теории изгиба пластинок. Новые важные ре­зультаты, продолжая исследования Галеркина, получил П.Ф. Папкович (1887-1946).

Метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был предло­жен Г.В. Колосовым (1867-1936). Впоследствии этот метод был раз­вит и обобщен Н.И. Мусхелишвили (1891-1976). Ряд задач по устой­чивости стержней и пластинок, вибрациям стержней и дисков, по тео­рии удара и сжатия упругих тел решил А.Н. Динник (1876-1950). Большое практическое значение имеют работы Л.С. Лейбензона (1879-1951) по устойчивости упругого равновесия длинных закру­ченных стержней, по устойчивости сферических и цилиндрических оболочек. Важное практическое значение имеют капитальные работы В. 3. Власова (1906-1958) по общей теории тонкостенных простран­ственных стержней, складчатых систем и оболочек.

Теория пластичности имеет более короткую историю. Первая мате­матическая теория пластичности была создана Сен-Венаном в 70-е годы XIX в. на основании опытов французского инженера Г. Треска. В начале XX в. над проблемами пластичности работали Р. Мизес. Г. Генки, Л. Прандтль, Т. Карман. С 30-х годов XX в, теория плас­тичности привлекла к себе внимание большого круга видных зарубеж­ных ученых (А. Надаи, Р. Хилла, В. Прагера, Ф. Ходжа, Д. Друккера и др.). Широко известны работы по теории пластичности советских уче­ных В.В. Соколовского, А.Ю. Ишлинского, Г.А. Смирнова-Аляева, Л. М. Качанова. Фундаментальный вклад в создание деформационной теории пластичности внес А.А. Ильюшин. А.А. Гвоздев разработал теорию расчета пластинок и оболочек по разрушающим нагрузкам Эта теория успешно развита А.Р. Ржаницыным.

Теория ползучести как раздел механики деформируемого тела сформировалась сравнительно недавно. Первые исследования в этой области относятся к 20-м годам XX в. Их общий характер определяет­ся тем, что проблема ползучести представляла большую важность для энергомашиностроения и инженеры были вынуждены искать простые и быстро ведущие к цели методы решения практических задач. В создании теории ползучести большая роль принадлежит тем авторам, ко­торые внесли существенный вклад в создание современной теории пластичности. отсюда общность многих идей и подходов. В нашей стране первые работы по механической теории ползучести принадлежат Н.М. Беляеву (1943), К.Д. Миртову (1946), к концу 40-х годов отно­сятся первые исследования Н. Н. Малинина, Ю.Н. Работнова.

Исследования в области упруговязких тел выполнены в работах А.Ю. Ишлинского, А.Н. Герасимова, А.Р. Ржаницына, Ю.Н. Работнова. Применение этой теории к стареющим материалам, в первую очередь к бетону, дано в работах Н.X. Арутюняна, А.А. Гвоздева, Г.Н Маслова. Большой объем исследований ползу чести полимерных материалов выполнен научными коллективами под руководством А.А. Ильюшина, А.К. Малмейстера, М.И. Розовского, Г.Н. Савина.

Советское государство уделяет большое внимание науке. Органи­зация научно-исследовательских институтов, участие в разработке актуальных проблем больших коллективов ученых позволили поднять советскую науку на более высокую ступень.

В кратком обзоре нет возможности подробнее остановиться на рабо­тах всех ученых, внесших свой вклад в развитие теории упругости и пластичности. Желающие подробно ознакомиться с историей развития этой науки могут обратиться к учебнику Н.И. Безухова, где дан детальный разбор основных этапов развития теории упругости и плас­тичности, а также приведена обширная библиография.

1.1.Основные гипотезы, принципы и определения

Теория напряжений как раздел механики сплошных сред базируется на ряде гипотез, основными из которых следует назвать гипотезы сплошности и естественного (фонового) напряженного состояния.

Согласно гипотезе о сплошности все тела принимаются за совершенно сплошные как до приложения нагрузки (до деформирования), так и после ее действия. При этом сплошным (непрерывным) остается любой объем тела, в том числе и элементарный, то есть бесконечно малый. В связи с этим деформации тела считаются непрерывными функциями координат, когда материал тела деформируется без образования в нем трещин или прерывистых складок.

Гипотеза об естественном напряженном состоянии предполагает наличие начального (фонового) уровня напряженности тела, обычно принимаемого за нулевой, а фактические напряжения, вызываемые внешней нагрузкой, считаются приращения напряжений над ест естественным уровнем.

Наряду с названными основными гипотезами, в теории напряжений принят и ряд основополагающих принципов, среди которых в первую очередь необходимо назвать наделение тел идеальной упругостью, шаровой изотропией, совершенной однородностью, линейной зависимостью между напряжениями и деформациями.

Идеальная упругость есть способность материалов, подвергаемых деформированию, восстанавливать свою первоначальную форму (размеры и объем) после снятия внешней нагрузки (внешнего воздействия). Практически все горные породы и большинство строительных материалов обладают в известной степени упругостью, к этим материалам можно отнести и жидкости, и газы.

Шаровая изотропия предполагает одинаковость свойств материалов во всех направлениях действия нагрузки, антиподом ей является анизотропия, то есть неодинаковость свойств в различных направлениях (некоторые кристаллы, древесина и др.). При этом нельзя смешивать понятия шаровой изотропии и однородности: например, для однородной структуры древесины свойственна анизотропия – различие в прочности дерева вдоль и поперек волокон. Упругим, изотропным и однородным материалам присуща линейная зависимость между напряжениями и деформациями, описываемая законом Гука, рассмотрению которого посвящен соответствующий раздел учебного пособия.

Основополагающим принципом в теории напряжений (и деформаций, в том числе) является и принцип локальности действия самоуравновешенных внешних нагрузок – принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу, приложенные к телу в какой либо точке (линии) уравновешенная система сил вызывает в материале напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузки, например, по экспоненциальному закону. Примером такого действия может служить разрезание бумаги ножницами, которые деформируют (режут) бесконечно малую часть листа (линию), тогда как остальные части листа бумаги не будут нарушены, то есть будет иметь место локальная деформация. Применение принципа Сен-Венана способствует упрощению математических выкладок при решении задач по оценке НДС за счет замены заданной сложной для математического описания нагрузки на более простую, но эквивалентную ей.

Говоря о предмете изучения в теории напряжений, следует дать и определение самого напряжения, под которым понимается мера внутренних усилий в теле, в пределах некоторого его сечения, распределенных по рассматриваемому сечению и противодействующих внешней нагрузке. При этом напряжения, действующие на поперечной площадке и перпендикулярной ей, называются нормальными; соответственно напряжения, параллельные этой площадке или касающиеся ее, будут касательными.

Рассмотрение теории напряжений упрощается при введении следующих допущений, практически не снижающих точность получаемых решений:

Относительные удлинения (укорочения), а также относительные сдвиги (углы сдвига) много меньше единицы;

Перемещения точек тела при его деформировании малы по сравнению с линейными размерами тела;

Углы поворота сечений при изгибном деформировании тела также очень малы по сравнению с единицей, а их квадраты пренебрежимо малы в сравнении с величинами относительных линейных и угловых деформаций.

4. СТРОЕНИЕ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ СЕЙСМОЛОГИИ

Основы теории упругости: тензор деформации, тензор напряжений, закон Гука, упругие модули, однородные деформации, упругие волны в изотропной среде, законы Ферма, Гюйгенса, Снеллиуса. Сейсмические волны. Развитие сейсмометрических наблюдений: сейсмические станции и их сети, годографы, траектории волн внутри Земли. Определение скорости распространения сейсмических волн с помощью уравнения Гертлоца-Вихерта. Скорости продольных и поперечных волн как функции радиуса Земли. Состояние вещества Земли по данным сейсмологии. Земная кора. Литосфера и астеносфера. Сейсмология и глобальная тектоника.

Основы теории упругости [Ландау, Лифшиц, 2003, с. 9-25, 130-144]

Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости . Основные уравнения теории упругости были установлены О.Л. Коши и С.Д. Пуассоном в 20-х годах 19 века (подробнее см. главу 15).

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором r (с компонентами х 1 = х , х 2 = у , х 3 = z ) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был r , то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое

значение r / (с компонентами x i / ). Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором r / - r , который обозначим буквой u :

u = x/ − x .

Вектор u называют вектором деформации (или вектором смещения ). Знание вектора u

как функции от x i полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Если радиусвектор между ними до деформирования был dx i , то в деформированном теле радиус-

вектор между теми же двумя точками будет dx i / = dx i + du i . Само расстояние между точками до деформирования было равно:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2 ,

а после деформирования:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Окончательно получаем:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂x k

∂x k

∂x i

∂x i

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор u ik называется тензором деформации ; по своему определению он симметричен:

u ik = u ki .

Как и всякий симметричный тензор, тензор u ik в каждой точке можно привести к

главным осям и убедиться, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформации по трем перпендикулярным направлениям – главным осям тензора деформации. Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей.

За исключением некоторых особых случаев, которых касаться не будем, если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации также являются малыми. Поэтому в выражении (4.3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определится выражением:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k ) .
			∂x k	∂x i

Итак, силы являются причиной возникающих в теле движений (перемещений), а деформации – результатом движений [Хайкин, 1963, с. 176].

Основное допущение классической теории упругости

В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю.

При деформировании же расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникнут силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформировании внутренние силы называются внутренними напряжениями . Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют.

Внутренние напряжения обуславливаются молекулярными связями, т.е. силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние распространяется вокруг создающей их частицы лишь на расстоянии порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния, большие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому «радиус действия» молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным нулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам.

Таким образом, в классической теории упругости силы, действующие на какуюнибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, проявляют это действие только непосредственно через поверхность этой части тела.

По сути, такой же идеологии применительно к теории упругости вслед за [Ландау, Лифшиц, 2003] придерживается и автор фундаментального труда [Хайкин, 1963, с. 484].

Тензор напряжений

Вывод о том, что все силы проявляют свое действие только через поверхность, является ключевым для классической теории упругости. Он позволяет для любого объема тела каждую из трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений сил

∫ F i dV (где F i - сила, действующая на единицу объема dV ) преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. В таком случае, как следует из векторного анализа, вектор F i должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т.е. иметь вид:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Тогда сила, действующая на некоторый объем, сможет быть записана в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей этот объем:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
где вектор d f = df 2			Df 2	направлен	по внешней нормали к поверхности,

охватывающей объем dV .

Тензор σ ik называется тензором напряжений . Как видно из (4.7), σ ik df k есть i -я

компонента силы, действующей на элемент поверхности d f . Выбирая элементы поверхности в плоскостях ху , уz , xz , находим, что компонента σ ik тензора напряжений

есть i -я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси x k . Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси х , действуют нормальная к

ней (направленная вдоль оси х ) сила σ xx и тангенциальные (направленные по осям y и z )

силы σ yx и σ zx .

Отметим, что сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, в отличие от (4.7) есть:

− ∫ σ ik df k .

Записывая момент сил M ik , действующих на некоторый объем тела, в виде:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

и требуя, чтобы он выражался в виде интеграла только по поверхности, получаем, что тензор напряжения является симметричным:

σ ik = σ ki .

К аналогичному выводу можно прийти и более простым путем [Сивухин, 1974, с. 383]. А именно. Момент dM ik прямо пропорционален моменту инерции элементарного

объема dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 и, следовательно, получаем (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , откуда автоматически следует соотношение (4.8).

Симметрия тензора напряжений позволяет его в каждой точке привести его к главным осям , т.е. в каждой точке тензор напряжений может быть представлен в виде:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

В равновесии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема тела, т.е. должно быть F i = 0 . Таким образом, уравнения

равновесия деформированного тела имеют вид:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Если тело находится в поле силы тяжести, то должна исчезать сумма F + ρ g сил внутренних напряжений F и силы тяжести ρ g , действующей на единицу объема, ρ -

плотность тела, g – вектор ускорения свободного падения. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂x k

Энергия деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации u i изменяется на малую величину δ u i .

Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу (4.6) на перемещение δ u i и интегрируя по всему объему тела, получим:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂ σ ik	δ ui dV .

Символом δ R обозначена работа сил внутренних напряжений в единице объема тела. Интегрируя по частям, рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремляя поверхность интегрирования в бесконечность, тогда на ней σ ik = 0 , получаем:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Таким образом, находим:

δ R = − σ ikδ u ik .

Полученная формула определяет работу по изменению тензора деформации, которая и определяет изменение внутренней энергии тела.

Теория упругости изучает напряжения и деформации упругих тел, возникающие под действием на них внешних сил (нагрузки).

Упругость - это способность тела, изменившего свою форму и размеры под нагрузкой, принимать исходные размеры и форму после снятия нагрузки. Если изменение размеров тела линейно зависит от нагрузки, то имеет место линейная упругость . Тело, обладающее этим свойством, называют идеально упругим . Материалы, обладающие идеальной упругостью - это сталь, чугун, алюминий, дерево, стекло. Если изменение размеров тела нелинейно зависит от нагрузки, то говорят о нелинейной упругости. Нелинейной упругостью обладает, например, резина. Мы будем изучать линейную теорию упругости .

Рис. 1 - Линейная (1) и нелинейная (2) упругость

Если в каждой точке свойства тела одинаковы во всех направлениях, то такое тело называют изотропным . С инженерной точностью изотропной можно считать сталь. Если в каждой точке свойства тела различны в разных направлениях, то такое тело называют анизотропным . Такими свойствами обладает дерево, которое имеет одни свойства вдоль волокон и другие - поперек волокон. Мы будем изучать линейную теорию упругости изотропных тел .

Дополнительно введем следующие ограничения:

1. Материал тел является однородным , т. е. его свойства одинаковы во всех точках тела;
2. Материал тел обладает сплошностью , т. е. деформирование тела происходит без разрывов;
3. Рассматриваются только тела, деформации и перемещения которых под нагрузкой малы по сравнению с размерами тела.

Таким образом, из нашего рассмотрения выпадают проблемы устойчивости упругого равновесия, расчеты сильно изогнутых стержней и изгиб пластин и оболочек при прогибах, сопоставимых с толщиной оболочки. Эти задачи рассматривает геометрически нелинейная теория упругости .

Линейная теория упругости изучает внутренние силы, возникающие в идеально упругом теле под действием на него внешних сил.

Таким образом, силы подразделяются на внешние (силы взаимодействия разных тел) и внутренние (силы, возникающие между двумя смежными элементами внутри тела). Внешние силы бывают приложены в точке (сосредоточенные), по поверхности тела (поверхностные) и в каждой точке тела (объемные).

Рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил F1, F2, …, Fn (рис. 2а). Между частями тела возникают внутренние силы взаимодействия, которые могут разрушить тело. Чтобы определить эти силы в интересующем нас сечении, мысленно расчленим тело на две части и, отбросив правую часть, заменим ее действие на оставшуюся часть равнодействующей силой Р (рис. 2б).

Пусть ось OX направлена перпендикулярно нашему сечению. Тогда оси OY и OZ расположены в плоскости сечения. Проекция равнодействующей силы P на ось OX дает нам нормальную Px , а на оси OY и OZ - касательные Py и Pz составляющие этой силы.

В действительности сила P приложена не в точке, а неравномерно распределена по всему сечению. Интенсивность этой силы, то есть силу, действующую на единице площади, называют напряжением . Полное напряжение в точке определяют как предел отношения:

Нормальное напряжение в точке определяют как предел отношения

Касательные напряжения в точке определяют как пределы отношений

Первый индекс при касательных напряжениях обозначает направление касательных напряжений, а второй индекс - ось, нормальную к грани, на которой действуют касательные напряжения. Вырежем мысленно в произвольной точке рассматриваемого сечения элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и рассмотрим напряжения, действующие на гранях этого параллелепипеда (рис. 3).

Тогда в каждой точке действуют напряжения, которые представляются матрицей, называемой тензором напряжений .

Ясно, что составляющие тензора напряжений зависят от выбора системы координат.

Через составляющие тензора напряжений можно найти так называемое эквивалентное напряжение , которое не зависит от выбора системы координат. Эквивалентное напряжение можно сопоставить с характеристикой прочности материала, которая представляется допускаемым напряжением .

Тогда условие прочности записывается в известном виде:

Задача теории упругости заключается в наиболее точном определении составляющих тензора напряжений, а значит и эквивалентного напряжения .

Обозначим схематично области применения различных теорий для описания напряженно-деформированного состояния деталей на диаграмме растяжения образца из мягкой стали до разрушения.

Рис. 4 - Области применения различных теорий: I - теория упругости, II - теория пластичности, III - механика разрушения

Если напряжения в расчетах получаются больше предела текучести sт (в современных обозначениях Rp ), то их называют условно-упругими. Существуют методы, которые позволяют с помощью упругих решений изучать упруго-пластическое и пластическое состояние детали. Рассмотрим общую структуру теории упругости.

Рис. 6 - Структурная схема теории упругости

С 70-х годов в работах по теории упругости чаще всего используют современный математический аппарат. Формальный математический аппарат - это обозначения и формализация объектов и действий над ними. В теории упругости используют тензорное исчисление. Мы в нашем курсе будем использовать тензорное исчисление только как иллюстрацию краткой записи развернутых выражений. Для возможности краткой записи оси координат и индексы напряжений обозначаются не буквами, а числами.

Ранг тензора - это число индексов при нем. Как будет показано в дальнейшем, тензор напряжений - это тензор второго ранга. По определению тензором второго ранга называют совокупность величин Aij , которые зависят от двух индексов и преобразуются при изменении системы координат по формулам

Ранг тензора не связан с размерностью пространства! Размерность пространства определяется числом значений, которое принимает каждый индекс. Если i , j , k , l принимают значения 1, 2, 3, то тензор (*) определен в трехмерном пространстве. Правила свертывания-развертывания выражений: по внутренним (повторяющимся в одночлене) индексам k , l производится суммирование, а сквозные (повторяющиеся слева и справа) индексы i , j определяют число уравнений. Пример развертывания выражения (*) для значений i = 2, j = 3:

Еще одно сокращение в записи - частные производные обозначаются индексом за запятой. Например:

Тогда запись обозначает несколько соотношений:

В дальнейшем мы убедимся, что табличка напряжений в точке является тензором второго ранга, т. е. удовлетворяет соотношениям (*) при изменении системы координат.

- – раздел механики, изучающий вызванные физическими воздействиями упругие деформации и напряжения в твердом теле. [Терминологический словарь по строительству на 12 языках] Рубрика термина: Общие термины Рубрики энциклопедии: Абразивное… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

теория упругости - Наука о закономерностях изменения напряжённого и деформированного состояний нагруженного твёрдого тела в пределах упругой работы материала [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN elasticity theory DE… … Справочник технического переводчика

теория упругости - tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elasticity theory vok. Elastizitätstheorie, f rus. теория упругости, f pranc. théorie d’élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ - наука о закономерностях изменения напряжённого и деформированного состояний нагруженного твёрдого тела в пределах упругой работы материала (Болгарский язык; Български) теория на еластичността (Чешский язык; Čeština) teorie pružnosti (Немецкий… … Строительный словарь

Теория упругости и пластичности - состоит из двух подразделов: Теории упругости, Теории пластичности. Список значений слова или словосочетан … Википедия

УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ - раздел механики, в к ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость в строит, деле, авиа и… … Физическая энциклопедия

УПРУГОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ - раздел механики, в к ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. Напряжение в любой точке тела характеризуется 6 величинами компонентами напряжений: нормальными … Математическая энциклопедия

Упругости теория - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Упругости теория - раздел механики (См. Механика), в котором изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. теоретическая основа расчётов на прочность, деформируемость и… … Большая советская энциклопедия

Теория пластичности - Теория пластичности раздел механики сплошных сред, задачами которого является определение напряжений и перемещений в деформируемом теле за пределами упругости. Строго говоря, в теории пластичности предполагается, что напряженное состояние… … Википедия

Книги

• Теория упругости , М. Филоненко-Бородич , Предлагаемый вниманию читателей краткий курс теории упругости составлен на основе лекций, прочитанных автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции имеют… Категория: Математика Издатель: ЁЁ Медиа , Производитель: ЁЁ Медиа , Купить за 2200 грн (только Украина)
• Теория упругости , М. Филоненко-Бородич , Предлагаемый вниманию читателей «краткий курс теории упругости» составлен на основе лекций, прочитанных автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции… Категория: Математика и естественные науки Серия: Издатель: