In dieser Lektion werden wir über Exponential- und Logarithmusfunktionen sprechen. Sie werden normalerweise zusammen untersucht, da sie zueinander invers sind. Wir werden über die Verwendung dieser Funktionen sprechen und darüber, warum diese Funktionen zum Studium ausgewählt werden.

Die Exponentialfunktion wird verwendet, um alle Phänomene zu beschreiben, die wir Lawinenprozesse nennen. Genauer gesagt handelt es sich um Prozesse, bei denen die Größenänderung proportional zu der bereits vorhandenen Größe ist (je mehr, desto mehr ändert sie sich; je weniger, desto weniger ändert sie sich).

Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist die Vermehrung von Bakterien. Betrachten wir eine solche Aufgabe. Es gibt ein Bakterium im Glas. Jede Sekunde teilt es sich in zwei Bakterien, neue Bakterien teilen sich ebenfalls jede Sekunde in zwei und so weiter. Innerhalb einer Minute war das gesamte Glas mit Bakterien gefüllt. Wie viele Bakterien waren eine Sekunde zuvor im Glas?

Ich würde gerne sagen, dass irgendwo etwas weniger als ein ganzes Glas gefüllt wurde, aber die richtige Antwort ist: ein halbes Glas. Wenn die Hälfte des Glases gefüllt ist, teilt sich jedes Bakterium in einer Sekunde in Teile und füllt das gesamte Glas. Wie Sie sehen können, wurde die erste Hälfte des Glases in Sekunden gefüllt, und die zweite Hälfte wurde in nur einer Sekunde gefüllt.

Schmelzende Gletscher

Sicherlich hat jeder von dem Problem des schmelzenden Eises auf dem Planeten gehört. Warum kommt es zu solchen Vereisungs- und umgekehrt Erwärmungsprozessen? Sie waren es früher, obwohl sie jetzt sagen, dass menschliche Aktivitäten einen entscheidenden Einfluss auf ihre Geschwindigkeit haben. Es gibt verschiedene Hypothesen, aber das ist nicht so wichtig.

Noch wichtiger ist, dass die Reduzierung der Eismenge die Menge der absorbierten Sonnenenergie erhöht. Das heißt, je weniger Eis wird, desto schneller schmilzt es. Der Prozess ist exponentiell, oder mit anderen Worten, selbstaufrufend, selbsternährend.

Ein solches Verfahren wird beschrieben Exponentialfunktion (oder Exponentialfunktion): (Abb. 1). - Basis, , , und - Exponent, wechselnder Wert.

Reis. 1. Graph einer Funktion

Ein weiteres Beispiel für eine Exponentialfunktion, das vielen bekannt ist, ist Zinseszins. Wenn wir Geld zu einem festen Prozentsatz auf die Bank einzahlen, während wir kein Geld abheben, und Zinsen auf den gesamten verfügbaren Betrag erhoben werden, dann ist der Betrag, den wir über Zeiträume erhalten: , wo ist die anfängliche Einzahlung, ist der Zinssatz, ist die Anzahl der Perioden (Jahre, Monate usw.), die vergangen sind. Zunächst wird die Menge langsam wachsen, aber dann wird sich das Wachstum beschleunigen.

Ein weiteres gutes Beispiel. Wenn wir potenzieren, dann bekommen wir ungefähr, aber potenziert ist es praktisch. Wenn wir dieses Beispiel in Form von Zinsen darstellen, wird es im ersten Fall pro Tag berechnet, und in einem Jahr erhöht sich der Betrag um einen Faktor. Und im zweiten Fall wird ein Prozent pro Tag abgezogen, dann ist in einem Jahr fast nichts mehr übrig.

Gleichzeitig ist eines der charakteristischen Merkmale der Exponentialfunktion, dass bei einem solchen Schema die Summe nicht abnehmen kann. Ein ähnliches Beispiel aus der Kernphysik ist die Halbwertszeit. Radioaktive Elemente haben beispielsweise eine Halbwertszeit, die Masse eines Stoffes nimmt im Laufe der Jahre um die Hälfte ab (Abb. 2).

Reis. 2. Tabelle der Halbwertszeiten einiger Elemente

Das heißt, wenn wir ein Kilogramm Substanz hatten, wird in den ersten Jahren ein Gramm Substanz (ziemlich viel) verschwinden und in den nächsten Jahren bereits ein Gramm usw. Und dann wird es einen Zeitraum geben, in dem über die Jahre etwa ein Gramm einer Substanz verbraucht wird. Dies ist ein Beispiel für einen abnehmenden Exponenten.

Betrachten wir die Menge aller Funktionen und wählen daraus diejenigen aus, die folgende Eigenschaft haben: , so ist für Exponentialfunktionen erfüllt: .