Grundlegendes Konzept

Im Rahmen der Frage der Winkelmessung betrachten wir in diesem Abschnitt mehrere Konzepte im Zusammenhang mit anfänglichen geometrischen Informationen:

• Ecke;
• entfalteter und unentwickelter Winkel;
• Grad, Minute und Sekunde;
• Gradmaß des Winkels;
• rechter, spitzer und stumpfer Winkel.

Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus einem Punkt (Scheitelpunkt) und zwei von ihm ausgehenden Strahlen (Seiten) besteht. Ein Winkel heißt entwickelt, wenn beide Strahlen auf derselben Geraden liegen.

Dank des Winkelmaßes können Winkel gemessen werden. Das Messen von Winkeln erfolgt ähnlich wie das Messen von Segmenten. Genau wie beim Messen von Segmenten wird auch beim Messen von Winkeln eine spezielle Maßeinheit verwendet. Meistens ist es ein Abschluss.

Definition 1

Ein Grad ist eine Maßeinheit. In der Geometrie stellt er den Winkel dar, mit dem andere Winkel verglichen werden. Der Grad ist gleich $\frac(1)(180)$ aus dem geraden Winkel.

Jetzt können wir das Gradmaß eines Winkels definieren.

Definition 2

Das Gradmaß eines Winkels ist eine positive Zahl, die angibt, wie oft ein Grad in einem bestimmten Winkel platziert wird.

Zum Messen von Winkeln wird ein Winkelmesser verwendet.

Ein Beispiel für das Schreiben eines Gradmaßes: $\angle ABC = 150^(\circ)$. In der Abbildung bedeutet dieser Eintrag Folgendes:

Mündlich sagen sie Folgendes: „Der Winkel ABC beträgt 150 Grad.“

Einige Teile des Abschlusses haben ihre eigenen speziellen Namen. Eine Minute ist ein $\frac(1)(60)$-Teil einer Minute, gekennzeichnet durch das Zeichen $"$. Eine Sekunde ist ein $\frac(1)(60)$-Teil einer Minute, gekennzeichnet durch $" "$. Ein Beispiel für das Schreiben eines Winkels in 75 Grad, 45 Minuten und 28 Sekunden: $75^(\circ)45"28""$.

Die Winkel, deren Gradmaße gleich sind, heißen gleich. Dementsprechend können Winkel verglichen werden, indem man sagt, dass ein Winkel kleiner als ein anderer oder ein Winkel größer als ein anderer ist.

Die Definition eines gedrehten Winkels wurde oben gegeben. Mit dem Konzept eines Gradmaßes können wir den Unterschied zwischen einem entwickelten und einem nicht entwickelten Winkel beschreiben. Der umgekehrte Winkel beträgt immer $180^(\circ)$. Ein unentwickelter Winkel ist jeder Winkel kleiner als $180^(\circ)$.

Es gibt rechte, spitze und stumpfe Winkel. Ein rechter Winkel ist gleich $90^(\circ)$, ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^(\circ)$, ein stumpfer Winkel ist mehr als $90^(\circ)$ und kleiner als $180^(\circ) $.

Abbildung 4. Rechter, spitzer und stumpfer Winkel. Author24 – Online-Austausch studentischer Arbeiten

Im Alltag gibt es Beispiele für die Notwendigkeit und Bedeutung der Fähigkeit, Winkel zu messen und Grade zu verstehen. Winkelmessungen sind in verschiedenen Studien notwendig, unter anderem in der Astronomie bei der Bestimmung der Position von Himmelskörpern.

Versuchen Sie zum Üben, mindestens drei entwirrte Winkel und einen auf unterschiedliche Weise entfalteten Winkel zu zeichnen, messen Sie die Winkel mit einem Winkelmesser und notieren Sie diese Ergebnisse. Sie können Zufallszahlen festlegen und die Genauigkeit des Zeichnens von Winkeln mit einem Winkelmesser üben, indem Sie sie durch eine Winkelhalbierende teilen (eine Winkelhalbierende ist ein Strahl, der vom Scheitelpunkt eines bestimmten Winkels ausgeht und den Winkel in zwei Hälften teilt).

Beispielprobleme

Beispiel 1

Aufgabe. Es gibt eine Zeichnung:

Die Strahlen $DE$ und $DF$ sind die Winkelhalbierenden der entsprechenden Winkel $ADB$ und $BDC$. Sie müssen den Winkel $ADC$ ermitteln, wenn $\angle EDF = 75^(\circ)$.

Lösung. Da der Winkel $EDF$ die Hälfte jedes Winkels $ADB$ und $BDC$ enthält, können wir daraus schließen, dass $EDF$ genau die Hälfte des Winkels $ADC$ selbst ist. Wir erhalten einfache Berechnungen: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Antwort: $150^(\circ)$.

Lassen Sie uns ein weiteres interessantes Beispiel geben.

Beispiel 2

Aufgabe. Eine Zeichnung wird gegeben.

Winkel $ABC$ ist richtig. Die Winkel $ABE$, $EBD$ und $DBC$ sind gleich. Sie müssen den Winkel ermitteln, den die Winkelhalbierenden $ABE$ und $DBC$ bilden.

Lösung. Da $ABC$ ein rechter Winkel ist, bedeutet dies, dass er gleich $90^(\circ)$ ist. Winkel $\angle EBD=90/3=30^(\circ)$. Da die Winkel $ABE$, $EBD$ und $DBC$ gleich sind, ist jeder von ihnen gleich $30^(\circ)$. Die Winkelhalbierende eines dieser Winkel teilt jeden dieser Winkel in zwei Winkel gleich $15^(\circ)$. Da die beiden Winkelhälften $ABE$ und $DBC$ zum gewünschten Winkel gehören, können wir sagen, dass der gewünschte Winkel gleich $30+15+15=60^(\circ)$ ist.

Antwort. $60^(\circ)$

In diesem Artikel haben wir uns ausführlich mit dem Gradmaß eines Winkels und der Messung von Winkeln befasst.

Wie finde ich das Gradmaß eines Winkels?

Für viele Schüler ist Geometrie eine echte Herausforderung. Eine der grundlegenden geometrischen Formen ist ein Winkel. Unter diesem Begriff versteht man zwei Strahlen, die am selben Punkt entstehen. Um den Wert (die Größe) eines Winkels zu messen, werden Grad oder Bogenmaß verwendet. Wie Sie das Gradmaß eines Winkels ermitteln, erfahren Sie in unserem Artikel.

Arten von Winkeln

Nehmen wir an, wir haben einen Winkel. Wenn wir es zu einer geraden Linie erweitern, beträgt sein Wert 180 Grad. Ein solcher Winkel wird Drehwinkel genannt und 1/180 seines Teils wird als ein Grad betrachtet.

Neben einem geraden Winkel gibt es auch spitze (weniger als 90 Grad), stumpfe (mehr als 90 Grad) und rechte Winkel (gleich 90 Grad). Diese Begriffe werden verwendet, um das Gradmaß eines Winkels zu charakterisieren.

Winkelmessung

Der Winkel wird mit einem Winkelmesser gemessen. Dabei handelt es sich um ein spezielles Gerät, bei dem der Halbkreis bereits in 180 Teile geteilt ist. Platzieren Sie den Winkelmesser so an der Ecke, dass eine Seite der Ecke mit der Unterseite des Winkelmessers übereinstimmt. Der zweite Strahl muss den Bogen des Winkelmessers schneiden. Wenn dies nicht der Fall ist, entfernen Sie den Winkelmesser und verlängern Sie den Balken mit einem Lineal. Wenn sich der Winkel nach rechts vom Scheitelpunkt „öffnet“, wird sein Wert auf der oberen Skala abgelesen, nach links - auf der unteren.

Im SI-System ist es üblich, die Größe eines Winkels im Bogenmaß und nicht in Grad zu messen. In den ausgeklappten Winkel passen nur 3,14 Bogenmaß, daher ist dieser Wert unpraktisch und wird in der Praxis fast nie verwendet. Aus diesem Grund müssen Sie wissen, wie man Bogenmaß in Grad umrechnet. Dafür gibt es eine Formel:

• Grad = Bogenmaß/π x 180

Der Winkel beträgt beispielsweise 1,6 Bogenmaß. In Grad umrechnen: 1,6/3,14 * 180 = 92

Eigenschaften von Ecken

Jetzt wissen Sie, wie Sie Winkelgrade messen und neu berechnen. Um Probleme zu lösen, muss man aber auch die Eigenschaften von Winkeln kennen. Bisher wurden folgende Axiome formuliert:

• Jeder Winkel kann in Grad größer als Null ausgedrückt werden. Die Größe des gedrehten Winkels beträgt 360.
• Besteht ein Winkel aus mehreren Winkeln, so ist sein Gradmaß gleich der Summe aller Winkel.
• In einer gegebenen Halbebene ist es aus jedem Strahl möglich, einen Winkel mit einem gegebenen Wert von weniger als 180 Grad und nur einem zu konstruieren.
• Die Werte gleicher Winkel sind gleich.
• Um zwei Winkel hinzuzufügen, müssen Sie deren Werte addieren.

Das Verständnis dieser Regeln und das Wissen, wie man Winkel misst, ist der Schlüssel zum erfolgreichen Erlernen der Geometrie.

Ein Winkel ist eine Figur, die aus einem Punkt – dem Scheitelpunkt des Winkels – und zwei verschiedenen von diesem Punkt ausgehenden Halblinien – den Seiten des Winkels – besteht (Abb. 14). Wenn die Seiten eines Winkels komplementäre Halblinien sind, wird der Winkel als entwickelter Winkel bezeichnet.

Ein Winkel wird entweder durch Angabe seines Scheitelpunkts oder durch Angabe seiner Seiten oder durch Angabe von drei Punkten bezeichnet: dem Scheitelpunkt und zwei Punkten auf den Seiten des Winkels. Das Wort „Winkel“ wird manchmal ersetzt

Das Winkelsymbol in Abbildung 14 kann auf drei Arten bezeichnet werden:

Ein Strahl c verläuft zwischen den Seiten eines Winkels, wenn er von seinem Scheitelpunkt ausgeht und ein Segment schneidet, dessen Enden auf den Seiten des Winkels liegen.

In Abbildung 15 verläuft Strahl c zwischen den Seiten des Winkels, während er das Segment schneidet

Bei einem geraden Winkel verläuft jeder Strahl, der von seinem Scheitelpunkt ausgeht und sich von seinen Seiten unterscheidet, zwischen den Seiten des Winkels.

Winkel werden in Grad gemessen. Wenn Sie einen geraden Winkel nehmen und ihn in 180 gleiche Winkel teilen, wird das Gradmaß jedes dieser Winkel als Grad bezeichnet.

Die grundlegenden Eigenschaften der Winkelmessung werden in folgendem Axiom ausgedrückt:

Jeder Winkel hat ein bestimmtes Gradmaß größer als Null. Der Drehwinkel beträgt 180°. Das Gradmaß eines Winkels ist gleich der Summe der Gradmaße der Winkel, in die er durch einen zwischen seinen Seiten verlaufenden Strahl geteilt wird.

Das heißt, wenn ein Strahl c zwischen den Seiten eines Winkels verläuft, dann ist der Winkel gleich der Summe der Winkel

Das Gradmaß eines Winkels wird mit einem Winkelmesser ermittelt.

Ein Winkel von 90° wird rechter Winkel genannt. Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitzer Winkel bezeichnet. Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180° wird als stumpf bezeichnet.

Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Beiseitelegens von Ecken formulieren.

Von jeder Halblinie aus kann man in eine gegebene Halbebene einen Winkel mit einem gegebenen Gradmaß von weniger als 180° eintragen, und zwar nur einen.

Betrachten Sie die Halbgerade a. Verlängern wir es über den Startpunkt A hinaus. Die resultierende Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Abbildung 16 zeigt, wie man mit einem Winkelmesser einen Winkel mit einem gegebenen Gradmaß von 60° von einer Halblinie zur oberen Halbebene zeichnet.

T. 1. 2. Wenn zwei Winkel einer gegebenen Halblinie in eine Halbebene gebracht werden, dann verläuft die Seite des kleineren Winkels, die sich von der gegebenen Halblinie unterscheidet, zwischen den Seiten des größeren Winkels.

Seien die Winkel, die von einer gegebenen Halblinie a in eine Halbebene gelegt werden, und der Winkel sei kleiner als der Winkel . Satz 1.2 besagt, dass der Strahl zwischen den Seiten des Winkels verläuft (Abb. 17).

Die Winkelhalbierende ist der Strahl, der von seinem Scheitelpunkt ausgeht, zwischen den Seiten verläuft und den Winkel in zwei Hälften teilt. In Abbildung 18 ist der Strahl die Winkelhalbierende

In der Geometrie gibt es den Begriff eines ebenen Winkels. Ein ebener Winkel ist ein Teil einer Ebene, die durch zwei verschiedene Strahlen begrenzt wird, die von einem Punkt ausgehen. Diese Strahlen werden Winkelseiten genannt. Es gibt zwei ebene Winkel mit vorgegebenen Seiten. Sie werden zusätzlich genannt. In Abbildung 19 ist einer der ebenen Winkel mit den Seiten a und schraffiert.

Vorlesung: Die Größe des Winkels, das Gradmaß des Winkels, die Entsprechung zwischen der Größe des Winkels und der Länge des Kreisbogens

Winkelmaß ist der Betrag, um den ein Strahl relativ zu seiner ursprünglichen Position abweicht.

Das Maß eines Winkels kann in zwei Größen gemessen werden: Grad und Bogenmaß, daher der Name der Einheiten – Grad und Bogenmaß des Winkels.

Gradmaß des Winkels

Mit dem Gradmaß lässt sich abschätzen, wie viele Grad, Minuten oder Sekunden in einem bestimmten Winkel liegen.

Winkel in Grad werden unter dem Gesichtspunkt berechnet, dass die volle Drehung des Strahls 360° beträgt. Eine halbe Drehung um 180° ist ein gerader Winkel, eine viertel Drehung um 90° ist ein rechter Winkel usw.

Winkelmaß im Bogenmaß

Lassen Sie uns nun herausfinden, was das Bogenmaß eines Winkels ist. Wie wir aus der Physik wissen, gibt es noch weitere Einheiten. Um beispielsweise die Temperatur zu messen, ist die Haupteinheit Kelvin und die zusätzliche Einheit Celsius. Zur Längenmessung verwenden wir Meter, die Briten jedoch Fuß. Diese Liste geht weiter und weiter. Wichtig ist, dass Sie verstehen, dass es neben dem Gradmaß des Winkels auch ein Bogenmaß gibt, das ebenfalls eine Daseinsberechtigung hat.

Um das Bogenmaß eines Winkels zu bestimmen, wird ein Kreis verwendet. Es wird angenommen, dass das Bogenmaß die Länge des Kreisbogens ist, der durch den Mittelpunktswinkel beschrieben wird.

Denken Sie daran, dass ein Zentralwinkel ein Winkel ist, dessen Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises liegt und dessen Strahlen auf einem Bogen ruhen.

Ein Winkel von 1 Rad hat also ein Gradmaß von 57,3°. Das Bogenmaß eines Winkels wird entweder durch natürliche Zahlen oder durch die Zahl π ≈ 3,14 beschrieben.

Für die Geometrie ist es bequemer, das Gradmaß des Winkels zu verwenden, für die Trigonometrie wird jedoch das Bogenmaß verwendet.

Mathematik, Geometrie – diese Wissenschaften sowie die meisten anderen exakten Wissenschaften sind für viele äußerst schwierig. Den Menschen fällt es schwer, Formeln und seltsame Terminologie zu verstehen. Was verbirgt sich hinter diesem seltsamen Konzept?

Definition

Zunächst müssen Sie lediglich das Winkelmaß berücksichtigen. Dabei hilft das Bild eines Strahls und einer Geraden. Zuerst müssen Sie beispielsweise eine horizontale gerade Linie zeichnen. Dann wird von seinem ersten Punkt aus ein Strahl gezeichnet, der nicht parallel zur Geraden verläuft. Somit entsteht zwischen der Geraden und dem Strahl ein gewisser Abstand, ein kleiner Winkel. Das Maß eines Winkels ist die Größe dieser Strahlrotation.

Dieses Konzept bezeichnet einen bestimmten digitalen Wert, der größer als Null ist. Sie wird in Grad sowie in ihren Komponenten, also Minuten und Sekunden, ausgedrückt. Die Gradzahl, die in den Winkel zwischen dem Strahl und der geraden Linie passt, ist das Gradmaß.

Eigenschaften von Ecken

• Absolut Jeder Winkel hat ein bestimmtes Gradmaß.
• Wenn es vollständig ausgefahren ist, beträgt die Zahl 180 Grad.
• Um das Gradmaß zu ermitteln, wird die Summe aller vom Strahl gebrochenen Winkel berücksichtigt.
• Mit jedem Strahl können Sie eine Halbebene erstellen, in der Sie tatsächlich einen Winkel bilden können. Es wird ein Gradmaß haben, dessen Wert kleiner als 180 sein wird, und es kann nur einen solchen Winkel geben.

Wie finde ich das Maß eines Winkels heraus?

In der Regel beträgt das kleinste Gradmaß 1 Grad, also 1/180 des gedrehten Winkels. Allerdings kann man manchmal keine so klare Zahl erhalten. In diesen Fällen werden Sekunden und Minuten verwendet.

Sobald der Wert gefunden wurde, kann er in Grad umgerechnet werden, sodass man einen Bruchteil eines Grades erhält. Manchmal werden Bruchzahlen verwendet, beispielsweise 80,7 Grad.

Es ist auch wichtig, sich die Schlüsselgrößen zu merken. Ein rechter Winkel beträgt immer 90 Grad. Ist das Maß größer, gilt es als stumpf, ist es kleiner, gilt es als scharf.