Da das Bogenmaß eines Winkels dadurch charakterisiert wird, dass die Größe des Winkels über die Länge des Bogens ermittelt wird, ist es möglich, die Beziehung zwischen dem Bogenmaß und dem Gradmaß grafisch darzustellen. Zeichnen Sie dazu einen Kreis mit dem Radius 1 auf der Koordinatenebene, sodass sein Mittelpunkt im Ursprung liegt. Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen, negative Winkel im Uhrzeigersinn.

Das Gradmaß eines Winkels bezeichnen wir wie gewohnt, das Bogenmaß mit Hilfe von auf einem Kreis liegenden Bögen. P 0 - der Ursprung des Winkels. Der Rest sind Punkte. Schnittpunkt der Seiten eines Winkels mit einem Kreis.

Definition: Ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, wird Einheitskreis genannt.

Neben der Winkelbezeichnung hat dieser Kreis noch eine weitere Besonderheit: Er kann mit einem einzigen Punkt dieses Kreises jede reelle Zahl darstellen. Dies kann genauso erfolgen wie auf dem Zahlenstrahl. Wir scheinen die Zahlenlinie so zu biegen, dass sie auf einem Kreis liegt.

P 0 ist der Ursprung, der Punkt der Zahl 0. Positive Zahlen werden in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) markiert, negative Zahlen in negativer Richtung (im Uhrzeigersinn). Das Segment gleich α ist der Bogen P 0 P α .

Jede Zahl kann durch einen Punkt P α auf einem Kreis dargestellt werden, und dieser Punkt ist für jede Zahl eindeutig. Sie können jedoch sehen, dass die Menge der Zahlen α+2πn, wobei n eine ganze Zahl ist, demselben Punkt P α entspricht.

Jeder Punkt hat seine eigenen Koordinaten, die spezielle Namen haben.

Definition:Der Kosinus von α heißt Abszisse des Punktes, der der Zahl α auf dem Einheitskreis entspricht.

Definition:Der Sinus von α ist die Ordinate des Punktes, der der Zahl α auf dem Einheitskreis entspricht.

Pα (cosα, sinα).

Aus der Geometrie:

Kosinus eines Winkels in einem Rechteck Dreieck ist das Verhältnis des Gegenwinkels zur Hypotenuse. In diesem Fall ist die Hypotenuse gleich 1, das heißt, der Kosinus des Winkels wird durch die Länge des Segments OA gemessen.

Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse. Das heißt, der Sinus wird anhand der Länge des Segments OB gemessen.

Schreiben wir die Definitionen des Tangens und Kotangens einer Zahl auf.

Wobei cos α≠0

Wobei sinα≠0

Die Aufgabe, die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer beliebigen Zahl durch Anwendung einiger Formeln zu ermitteln, reduziert sich auf die Ermittlung der Werte von sinα, cosα, tgα und ctgα, wobei 0≤α≤π/2 .

Tabelle der Grundwerte trigonometrischer Funktionen

α		π/6	π/4	π/3	π/2	π	2 π
0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
sinα
cosα				½		-1
tgα					-
ctgα	-					-	-

Finden Sie den Wert von Ausdrücken.

Einer der Zweige der Mathematik, mit dem Schüler die größten Schwierigkeiten haben, ist die Trigonometrie. Kein Wunder: Um dieses Wissensgebiet frei zu beherrschen, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens mit Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in Berechnungen verwenden zu können. Darüber hinaus müssen Sie in der Lage sein, beim Beweisen von Theoremen die Trigonometrie anzuwenden, und dies erfordert entweder ein ausgeprägtes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.

Ursprünge der Trigonometrie

Die Vertrautheit mit dieser Wissenschaft sollte mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels beginnen, aber zuerst müssen Sie herausfinden, was die Trigonometrie im Allgemeinen bewirkt.

In der Vergangenheit waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptforschungsobjekt in diesem Bereich der Mathematik. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht die Durchführung verschiedener Operationen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betrachteten Figur anhand von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.

Erste Stufe

Zunächst wurde über das Verhältnis von Winkeln und Seiten ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke gesprochen. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Anwendungsgrenzen dieses Teils der Mathematik im Alltag zu erweitern.

Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken. Anschließend wird das erworbene Wissen von Schülern in Physik und beim Lösen abstrakter trigonometrischer Gleichungen angewendet, mit denen die Arbeit in der High School beginnt.

Sphärische Trigonometrie

Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der sphärischen Geometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Winkelsumme in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung „bogenförmig“ sein wird dreidimensionaler Raum.

Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten des Globus, sodass er gespannt ist. Achtung – es hat die Form eines Bogens angenommen. Mit solchen Formen befasst sich die Kugelgeometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen verwendet wird.

Rechtwinkliges Dreieck

Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.

Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Sie ist die Längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein numerischer Wert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

Wenn beispielsweise zwei Seiten 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.

Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Darüber hinaus müssen wir bedenken, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.

Definition

Mit einem soliden Verständnis der geometrischen Basis können wir uns schließlich der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Warum? Weil die Hypotenuse standardmäßig die längste ist. Egal wie lang das Bein ist, es wird kürzer als die Hypotenuse sein, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in der Antwort auf die Aufgabe einen Sinus oder Kosinus mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in den Berechnungen oder der Argumentation. Diese Antwort ist eindeutig falsch.

Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Das gleiche Ergebnis ergibt die Division des Sinus durch den Kosinus. Schauen Sie: Gemäß der Formel dividieren wir die Länge der Seite durch die Hypotenuse, dividieren dann durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Somit erhalten wir das gleiche Verhältnis wie bei der Tangensdefinition.

Der Kotangens ist jeweils das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Einheit durch den Tangens dividieren.

Wir haben uns also mit den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens befasst und können uns mit Formeln befassen.

Die einfachsten Formeln

In der Trigonometrie kommt man ohne Formeln nicht aus – wie findet man Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Und genau das ist bei der Lösung von Problemen erforderlich.

Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, spart jedoch Zeit, wenn Sie den Wert des Winkels und nicht der Seite wissen möchten.

Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch bei der Lösung von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Schließlich handelt es sich hier um die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur dass beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus geteilt wurden. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie wissen, was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind, die Umrechnungsregeln und einige Grundformeln kennen, können Sie die erforderlichen komplexeren Formeln jederzeit selbstständig auf einem Blatt Papier ableiten.

Doppelwinkelformeln und Addition von Argumenten

Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Cosinus für die Summe und Differenz der Winkel. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.

Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verknüpft sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet. Versuchen Sie zur Übung, sie selbst zu erhalten, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel annehmen.

Beachten Sie abschließend, dass die Doppelwinkelformeln umgewandelt werden können, um den Grad von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu verringern.

Theoreme

Die beiden Hauptsätze der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Theoreme können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.

Der Sinussatz besagt, dass wir die gleiche Zahl erhalten, wenn wir die Länge jeder Seite des Dreiecks durch den Wert des entgegengesetzten Winkels dividieren. Darüber hinaus entspricht diese Zahl zwei Radien des umschriebenen Kreises, also des Kreises, der alle Punkte des gegebenen Dreiecks enthält.

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass man von der Summe der Quadrate der beiden Seiten ihr Produkt multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels subtrahiert – der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Somit erweist sich der Satz des Pythagoras als Sonderfall des Kosinussatzes.

Fehler aufgrund von Unaufmerksamkeit

Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man aufgrund von Geistesabwesenheit oder einem Fehler bei den einfachsten Berechnungen leicht einen Fehler machen. Um solche Fehler zu vermeiden, machen wir uns mit den beliebtesten davon vertraut.

Erstens sollten Sie gewöhnliche Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis das Endergebnis vorliegt. Sie können das Ergebnis als gewöhnlichen Bruch belassen, sofern in der Bedingung nichts anderes angegeben ist. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, es sollte jedoch beachtet werden, dass in jeder Phase des Problems neue Wurzeln entstehen können, die nach Ansicht des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Dies gilt insbesondere für Werte wie die Wurzel aus drei oder zwei, da sie in Aufgaben bei jedem Schritt vorkommen. Gleiches gilt für das Runden „hässlicher“ Zahlen.

Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz auf jedes Dreieck anwendbar ist, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Doppelte des Produkts aus den Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Missverständnis des Themas. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.

Drittens: Verwechseln Sie nicht die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Es ist leicht, sie zu verwechseln, was unweigerlich zu einem falschen Ergebnis führt.

Anwendung

Viele Studierende haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie deren praktische Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Dies sind Konzepte, mit denen Sie die Entfernung zu entfernten Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen und eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken können. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung der Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.

Abschließend

Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.

Das ganze Wesen der Trigonometrie besteht darin, dass unbekannte Parameter aus den bekannten Parametern des Dreiecks berechnet werden müssen. Insgesamt gibt es sechs Parameter: die Längen von drei Seiten und die Beträge von drei Winkeln. Der ganze Unterschied der Aufgaben liegt darin, dass unterschiedliche Eingabedaten vorgegeben werden.

Wie man Sinus, Cosinus und Tangens anhand der bekannten Längen der Beine oder der Hypotenuse ermittelt, wissen Sie jetzt. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel des trigonometrischen Problems darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die normale Schulmathematik.

Die Konzepte Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Hauptkategorien der Trigonometrie – einem Teilgebiet der Mathematik – und untrennbar mit der Definition eines Winkels verbunden. Der Besitz dieser mathematischen Wissenschaft erfordert das Auswendiglernen und Verstehen von Formeln und Theoremen sowie ein ausgeprägtes räumliches Denken. Deshalb bereiten trigonometrische Berechnungen Schülern und Studenten oft Schwierigkeiten. Um sie zu überwinden, sollten Sie sich mit trigonometrischen Funktionen und Formeln vertraut machen.

Konzepte in der Trigonometrie

Um die Grundkonzepte der Trigonometrie zu verstehen, müssen Sie zunächst entscheiden, was ein rechtwinkliges Dreieck und ein Winkel in einem Kreis sind und warum alle grundlegenden trigonometrischen Berechnungen damit verbunden sind. Ein Dreieck, bei dem einer der Winkel 90 Grad beträgt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Historisch gesehen wurde diese Figur häufig von Menschen in den Bereichen Architektur, Navigation, Kunst und Astronomie verwendet. Dementsprechend gelangten die Menschen durch das Studium und die Analyse der Eigenschaften dieser Figur zur Berechnung der entsprechenden Verhältnisse ihrer Parameter.

Die mit rechtwinkligen Dreiecken verbundenen Hauptkategorien sind die Hypotenuse und die Beine. Die Hypotenuse ist die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Beine sind jeweils die anderen beiden Seiten. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.

Die sphärische Trigonometrie ist ein Teilbereich der Trigonometrie, der in der Schule nicht studiert wird, aber in angewandten Wissenschaften wie Astronomie und Geodäsie von Wissenschaftlern verwendet wird. Ein Merkmal eines Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie ist, dass es immer eine Winkelsumme von mehr als 180 Grad aufweist.

Winkel eines Dreiecks

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis des Schenkels gegenüber dem gewünschten Winkel zur Hypotenuse des Dreiecks. Dementsprechend ist der Kosinus das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. Beide Werte haben immer einen Wert kleiner als eins, da die Hypotenuse immer länger ist als das Bein.

Der Tangens eines Winkels ist ein Wert, der dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel des gewünschten Winkels oder Sinus zu Kosinus entspricht. Der Kotangens wiederum ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des gewünschten Winkels zum gegenüberliegenden Kaktett. Der Kotangens eines Winkels kann auch durch Division der Einheit durch den Wert des Tangens ermittelt werden.

Einheitskreis

Ein Einheitskreis ist in der Geometrie ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Ein solcher Kreis wird im kartesischen Koordinatensystem konstruiert, wobei der Mittelpunkt des Kreises mit dem Ursprungspunkt zusammenfällt und die Anfangsposition des Radiusvektors durch die positive Richtung der X-Achse (Abszissenachse) bestimmt wird. Jeder Punkt des Kreises hat zwei Koordinaten: XX und YY, also die Koordinaten der Abszisse und der Ordinate. Wenn wir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis in der XX-Ebene auswählen und die Senkrechte von dort auf die Abszissenachse fallen lassen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das durch einen Radius zum ausgewählten Punkt (bezeichnen wir ihn mit dem Buchstaben C) gebildet wird, eine Senkrechte, zu der gezogen wird die X-Achse (der Schnittpunkt wird mit dem Buchstaben G bezeichnet) und ein Segment der Abszissenachse zwischen dem Ursprung (der Punkt wird mit dem Buchstaben A bezeichnet) und dem Schnittpunkt G. Das resultierende Dreieck ACG ist ein eingeschriebenes rechtwinkliges Dreieck ein Kreis, in dem AG die Hypotenuse und AC und GC die Schenkel sind. Den Winkel zwischen dem Radius des Kreises AC und dem Segment der Abszissenachse mit der Bezeichnung AG definieren wir als α (Alpha). Also, cos α = AG/AC. Unter der Annahme, dass AC der Radius des Einheitskreises ist und gleich eins ist, ergibt sich, dass cos α=AG. Ebenso ist sin α=CG.

Darüber hinaus ist es bei Kenntnis dieser Daten möglich, die Koordinate von Punkt C auf dem Kreis zu bestimmen, da cos α=AG und sin α=CG, was bedeutet, dass Punkt C die angegebenen Koordinaten (cos α; sin α) hat. Wenn wir wissen, dass der Tangens gleich dem Verhältnis von Sinus zu Kosinus ist, können wir bestimmen, dass tg α = y / x und ctg α = x / y. Betrachtet man Winkel in einem negativen Koordinatensystem, kann man berechnen, dass die Sinus- und Cosinuswerte einiger Winkel negativ sein können.

Berechnungen und Grundformeln

Werte trigonometrischer Funktionen

Nachdem wir das Wesen trigonometrischer Funktionen durch den Einheitskreis betrachtet haben, können wir die Werte dieser Funktionen für einige Winkel ableiten. Die Werte sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Die einfachsten trigonometrischen Identitäten

Gleichungen, in denen unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion ein unbekannter Wert steht, werden als trigonometrisch bezeichnet. Identitäten mit dem Wert sin x = α, k ist eine beliebige ganze Zahl:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitäten mit dem Wert cos x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identitäten mit dem Wert tg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identitäten mit dem Wert ctg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Gussformeln

Diese Kategorie konstanter Formeln bezeichnet Methoden, mit denen Sie von trigonometrischen Funktionen der Form zu Funktionen des Arguments gelangen können, d das Intervall von 0 bis 90 Grad für eine einfachere Berechnung.

Die Formeln für Reduktionsfunktionen für den Sinus eines Winkels sehen wie folgt aus:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Für den Kosinus eines Winkels:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Die Verwendung der oben genannten Formeln ist unter zwei Regeln möglich. Erstens: Wenn der Winkel als Wert (π/2 ± a) oder (3π/2 ± a) dargestellt werden kann, ändert sich der Wert der Funktion:

• von der Sünde zur Sünde;
• von cos zu sin;
• von tg bis ctg;
• von ctg bis tg.

Der Wert der Funktion bleibt unverändert, wenn der Winkel als (π ± a) oder (2π ± a) dargestellt werden kann.

Zweitens ändert sich das Vorzeichen der reduzierten Funktion nicht: War sie zunächst positiv, bleibt sie es auch. Das Gleiche gilt für negative Funktionen.

Additionsformeln

Diese Formeln drücken die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz zweier Drehwinkel anhand ihrer trigonometrischen Funktionen aus. Winkel werden üblicherweise als α und β bezeichnet.

Die Formeln sehen so aus:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Diese Formeln gelten für alle Winkel α und β.

Doppel- und Dreifachwinkelformeln

Die trigonometrischen Formeln eines Doppel- und Dreifachwinkels sind Formeln, die die Funktionen der Winkel 2α bzw. 3α mit den trigonometrischen Funktionen des Winkels α in Beziehung setzen. Abgeleitet aus Additionsformeln:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Übergang von der Summe zum Produkt

Unter Berücksichtigung von 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) erhalten wir durch Vereinfachung dieser Formel die Identität sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ebenso ist sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα – tgβ = sin(α – β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Übergang vom Produkt zur Summe

Aus den Identitäten für den Übergang der Summe zum Produkt ergeben sich folgende Formeln:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Reduktionsformeln

In diesen Identitäten können die quadratischen und kubischen Potenzen von Sinus und Cosinus als Sinus und Cosinus der ersten Potenz eines Mehrfachwinkels ausgedrückt werden:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universeller Ersatz

Die universellen trigonometrischen Substitutionsformeln drücken trigonometrische Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels aus.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), während x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), wobei x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), wobei x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), während x \u003d π + 2πn.

Sonderfälle

Sonderfälle der einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind unten aufgeführt (k ist eine beliebige ganze Zahl).

Privat für Sinus:

sin x-Wert	x-Wert
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk oder 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk oder -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk oder 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk oder -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk oder 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk oder -2π/3 + 2πk

Kosinusquotienten:

cos x-Wert	x-Wert
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat für Tangente:

tg x-Wert	x-Wert
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangensquotienten:

ctg x-Wert	x-Wert
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Theoreme

Sinussatz

Es gibt zwei Versionen des Theorems – eine einfache und eine erweiterte. Einfacher Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In diesem Fall sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α, β, γ die entgegengesetzten Winkel.

Erweiterter Sinussatz für ein beliebiges Dreieck: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In dieser Identität bezeichnet R den Radius des Kreises, in den das gegebene Dreieck eingeschrieben ist.

Kosinussatz

Die Identität wird folgendermaßen angezeigt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. In der Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α ist der Winkel gegenüber der Seite a.

Tangentensatz

Die Formel drückt die Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel und der Länge der ihnen gegenüberliegenden Seiten aus. Die Seiten sind mit a, b, c bezeichnet und die entsprechenden entgegengesetzten Winkel sind α, β, γ. Die Formel des Tangentensatzes: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangenssatz

Ordnet den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises der Länge seiner Seiten zu. Wenn a, b, c die Seiten eines Dreiecks und A, B, C jeweils ihre entgegengesetzten Winkel sind, r der Radius des eingeschriebenen Kreises und p der halbe Umfang des Dreiecks ist, ergeben sich die folgenden Identitäten halten:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Anwendungen

Trigonometrie ist nicht nur eine theoretische Wissenschaft, die mit mathematischen Formeln verbunden ist. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, und viele andere.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind die Grundkonzepte der Trigonometrie, mit denen Sie die Beziehung zwischen Winkeln und Seitenlängen in einem Dreieck mathematisch ausdrücken und die gewünschten Größen durch Identitäten, Theoreme und Regeln ermitteln können.

Ich denke, du verdienst mehr als das. Hier ist mein Schlüssel zur Trigonometrie:

• Zeichnen Sie die Kuppel, die Wand und die Decke
• Trigonometrische Funktionen sind nichts anderes als Prozentsätze dieser drei Formen.

Metapher für Sinus und Cosinus: Kuppel

Anstatt nur die Dreiecke selbst zu betrachten, stellen Sie sie sich in Aktion vor, indem Sie ein bestimmtes Beispiel aus dem wirklichen Leben finden.

Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich in der Mitte einer Kuppel und möchten eine Filmprojektor-Leinwand aufhängen. Sie zeigen mit dem Finger in einem „x“-Winkel auf die Kuppel, und an dieser Stelle sollte ein Bildschirm aufgehängt werden.

Der Winkel, auf den Sie zeigen, bestimmt:

• Sinus(x) = sin(x) = Bildschirmhöhe (Montagepunkt vom Boden bis zur Kuppel)
• Kosinus(x) = Kosinus(x) = Entfernung von Ihnen zum Bildschirm (pro Etage)
• Hypotenuse, der Abstand von Ihnen zum oberen Rand des Bildschirms, immer gleich, gleich dem Radius der Kuppel

Möchten Sie, dass der Bildschirm so groß wie möglich ist? Hängen Sie es direkt über sich auf.

Möchten Sie, dass der Bildschirm so weit wie möglich von Ihnen entfernt hängt? Hängen Sie es gerade und senkrecht auf. Der Bildschirm hat an dieser Position die Höhe Null und hängt so weit nach hinten, wie Sie es gewünscht haben.

Höhe und Abstand vom Bildschirm sind umgekehrt proportional: Je näher der Bildschirm hängt, desto höher ist seine Höhe.

Sinus und Cosinus sind Prozentangaben

Leider hat mir in meinen Studienjahren niemand erklärt, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus nichts anderes als Prozentzahlen sind. Ihre Werte reichen von +100 % über 0 bis -100 % oder von einem positiven Maximum über Null bis zu einem negativen Maximum.

Nehmen wir an, ich habe eine Steuer von 14 Rubel bezahlt. Sie wissen nicht, wie viel es ist. Aber wenn Sie sagen, dass ich 95 % der Steuern bezahlt habe, werden Sie verstehen, dass ich einfach nur gehäutet wurde wie ein Klebriger.

Die absolute Höhe bedeutet nichts. Aber wenn der Sinuswert 0,95 beträgt, dann verstehe ich, dass der Fernseher fast oben auf Ihrer Kuppel hängt. Sehr bald erreicht er in der Mitte der Kuppel seine maximale Höhe und beginnt dann wieder zu sinken.

Wie können wir diesen Prozentsatz berechnen? Ganz einfach: Teilen Sie die aktuelle Bildschirmhöhe durch den maximal möglichen (den Radius der Kuppel, auch Hypotenuse genannt).

Deshalb Uns wird gesagt, dass „Kosinus = Gegenkathete / Hypotenuse“. Das ist alles, um einen Prozentsatz zu bekommen! Der Sinus lässt sich am besten als „Prozentsatz der aktuellen Höhe vom maximal möglichen“ definieren. (Der Sinus wird negativ, wenn Ihr Winkel „unter der Erde“ zeigt. Der Kosinus wird negativ, wenn der Winkel auf den Kuppelpunkt hinter Ihnen zeigt.)

Vereinfachen wir die Berechnungen, indem wir annehmen, dass wir uns im Mittelpunkt des Einheitskreises befinden (Radius = 1). Wir können die Division überspringen und einfach den Sinus gleich der Höhe nehmen.

Tatsächlich ist jeder Kreis ein einzelner, vergrößert oder verkleinert auf die gewünschte Größe. Bestimmen Sie also die Beziehungen auf dem Einheitskreis und wenden Sie die Ergebnisse auf Ihre spezielle Kreisgröße an.

Experimentieren Sie: Nehmen Sie eine beliebige Ecke und sehen Sie, wie viel Prozent der Höhe zur Breite sie anzeigt:

Das Diagramm des Sinuswertwachstums ist nicht nur eine gerade Linie. Die ersten 45 Grad decken 70 % der Höhe ab und die letzten 10 Grad (von 80° bis 90°) decken nur 2 % ab.

Dadurch wird es Ihnen klarer: Wenn Sie im Kreis gehen, steigen Sie bei 0° fast senkrecht auf, aber wenn Sie sich der Spitze der Kuppel nähern, ändert sich die Höhe immer weniger.

Tangente und Sekante. Wand

Eines Tages baute ein Nachbar eine Mauer gleich Rücken an Rücken Zu deiner Kuppel. Weinte wegen der Aussicht aus dem Fenster und dem guten Wiederverkaufspreis!

Aber ist es möglich, in dieser Situation irgendwie zu gewinnen?

Ja natürlich. Was wäre, wenn wir eine Kinoleinwand direkt an die Wand des Nachbarn hängen würden? Sie zielen auf die Ecke (x) und erhalten:

• tan(x) = tan(x) = Bildschirmhöhe an der Wand
• Abstand von dir zur Wand: 1 (das ist der Radius deiner Kuppel, die Wand bewegt sich nirgendwo von dir weg, oder?)
• secant(x) = sec(x) = „Länge der Leiter“ von Ihnen in der Mitte der Kuppel bis zur Oberseite des aufgehängten Bildschirms

Lassen Sie uns ein paar Dinge über die Tangente oder Bildschirmhöhe klären.

• es beginnt bei 0 und kann unendlich hoch gehen. Sie können den Bildschirm immer höher an der Wand ausspannen, um eine endlose Leinwand zum Ansehen Ihres Lieblingsfilms zu erhalten! (Für so ein riesiges Exemplar muss man natürlich viel Geld ausgeben).
• Tangens ist nur eine vergrößerte Version von Sinus! Und während sich das Wachstum des Sinus verlangsamt, während Sie sich der Spitze der Kuppel nähern, wächst die Tangente weiter!

Sekansu hat auch einiges zu bieten:

• Die Sekante beginnt bei 1 (die Leiter befindet sich auf dem Boden, von Ihnen weg zur Wand) und beginnt von dort aus nach oben
• Die Sekante ist immer länger als die Tangente. Die geneigte Leiter, an der Sie Ihren Bildschirm aufhängen, muss länger sein als der Bildschirm selbst, oder? (Bei unrealistischen Größen, wenn der Bildschirm sooooo lang ist und die Leiter fast vertikal platziert werden muss, sind ihre Größen fast gleich. Aber selbst dann wird die Sekante etwas länger sein.)

Denken Sie daran, die Werte sind Prozent. Wenn Sie sich dafür entscheiden, den Bildschirm in einem Winkel von 50 Grad aufzuhängen, beträgt tan(50)=1,19. Ihr Bildschirm ist 19 % größer als der Abstand zur Wand (Kuppelradius).

(Geben Sie x=0 ein und testen Sie Ihre Intuition – tan(0) = 0 und sec(0) = 1.)

Kotangens und Kosekans. Decke

Unglaublicherweise hat Ihr Nachbar jetzt beschlossen, eine Decke über Ihrer Kuppel zu bauen. (Was ist mit ihm los? Er möchte anscheinend nicht, dass du ihn anstarrst, während er nackt im Garten herumläuft ...)

Nun, es ist Zeit, einen Ausgang zum Dach zu bauen und mit dem Nachbarn zu reden. Sie wählen den Neigungswinkel und beginnen mit dem Bau:

• Der vertikale Abstand zwischen Dachdurchführung und Boden beträgt immer 1 (Kuppelradius)
• Kotangens(x) = cot(x) = Abstand zwischen Kuppelspitze und Austrittspunkt
• Kosekans(x) = csc(x) = Länge Ihres Weges zum Dach

Tangens und Sekante beschreiben die Wand, während Kotangens und Kosekans den Boden beschreiben.

Unsere intuitiven Schlussfolgerungen ähneln diesmal den vorherigen:

• Wenn Sie einen Winkel von 0° wählen, wird der Weg zum Dach ewig dauern, da er nie die Decke erreicht. Problem.
• Die kürzeste „Treppe“ zum Dach erhält man, wenn man sie in einem Winkel von 90 Grad zum Boden baut. Der Kotangens ist gleich 0 (wir bewegen uns überhaupt nicht entlang des Daches, wir verlassen das Dach streng senkrecht) und der Kosekans ist gleich 1 („die Länge der Leiter“ wird minimal sein).

Visualisieren Sie Verbindungen

Wenn alle drei Fälle in einer Kuppel-Wand-Boden-Kombination gezeichnet werden, erhält man Folgendes:

Na ja, wow, es ist alles das gleiche Dreieck, vergrößert, um die Wand und die Decke zu erreichen. Wir haben vertikale Seiten (Sinus, Tangens), horizontale Seiten (Kosinus, Kotangens) und „Hypotenusen“ (Sekanten, Kosekans). (Anhand der Pfeile können Sie erkennen, wie weit jedes Element reicht. Der Kosekans ist die Gesamtentfernung von Ihnen bis zum Dach.)

Ein bisschen Magie. Alle Dreiecke haben die gleichen Gleichheiten:

Aus dem Satz des Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) sehen wir, wie die Seiten jedes Dreiecks verbunden sind. Darüber hinaus müssen die Verhältnisse von Höhe zu Breite bei allen Dreiecken gleich sein. (Gehen Sie einfach vom größten Dreieck zum kleineren zurück. Ja, die Größe hat sich geändert, aber die Proportionen der Seiten bleiben gleich.)

Wenn wir wissen, welche Seite in jedem Dreieck 1 ist (der Radius der Kuppel), können wir leicht berechnen, dass „sin/cos = tan/1“.

Ich habe immer versucht, mich durch einfache Visualisierung an diese Fakten zu erinnern. Auf dem Bild kann man diese Abhängigkeiten deutlich erkennen und nachvollziehen, woher sie kommen. Diese Technik ist viel besser als das Auswendiglernen trockener Formeln.

Vergessen Sie nicht andere Blickwinkel

Pssst ... Sie müssen sich nicht auf ein Diagramm beschränken und denken, dass die Tangente immer kleiner als 1 ist. Wenn Sie den Winkel vergrößern, können Sie die Decke erreichen, ohne die Wand zu erreichen:

Pythagoräische Verbindungen funktionieren immer, aber die relativen Größen können unterschiedlich sein.

(Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass das Verhältnis von Sinus und Cosinus immer am kleinsten ist, weil sie in einer Kuppel eingeschlossen sind.)

Zusammenfassend: Woran müssen wir uns erinnern?

Für die meisten von uns würde ich sagen, dass dies ausreichen wird:

• Trigonometrie erklärt die Anatomie mathematischer Objekte wie Kreise und sich wiederholende Intervalle
• Die Kuppel/Wand/Dach-Analogie zeigt die Beziehung zwischen verschiedenen trigonometrischen Funktionen
• Das Ergebnis der trigonometrischen Funktionen sind die Prozentsätze, die wir auf unser Szenario anwenden.

Sie müssen sich Formeln wie 1 2 + cot 2 = csc 2 nicht merken. Sie eignen sich nur für dumme Tests, bei denen das Wissen über einen Sachverhalt als dessen Verstehen dargestellt wird. Nehmen Sie sich eine Minute Zeit, um einen Halbkreis in Form einer Kuppel, einer Wand und eines Daches zu zeichnen, markieren Sie die Elemente und schon werden Ihnen alle Formeln auf Papier vorgelegt.

Anwendung: Umkehrfunktionen

Jede trigonometrische Funktion verwendet einen Winkel als Eingabe und gibt das Ergebnis als Prozentsatz zurück. sin(30) = 0,5. Das bedeutet, dass ein 30-Grad-Winkel 50 % der maximalen Höhe einnimmt.

Die inverse trigonometrische Funktion wird als sin -1 oder arcsin („arxine“) geschrieben. Es wird auch oft in verschiedenen Programmiersprachen geschrieben.

Wenn unsere Höhe 25 % der Kuppelhöhe beträgt, welchen Winkel haben wir dann?

In unserer Proportionstabelle finden Sie das Verhältnis, in dem die Sekante durch 1 geteilt wird. Beispielsweise ist die Sekante durch 1 (die Hypotenuse zur Horizontalen) gleich 1 geteilt durch den Kosinus:

Nehmen wir an, unser Sekant ist 3,5, d.h. 350 % des Einheitskreisradius. Welchem ​​Neigungswinkel zur Wand entspricht dieser Wert?

Anhang: Einige Beispiele

Beispiel: Finden Sie den Sinus des Winkels x.

Langweilige Aufgabe. Verkomplizieren wir das banale „Finde den Sinus“ zu „Wie groß ist die Höhe als Prozentsatz des Maximums (Hypotenuse)?“.

Beachten Sie zunächst, dass das Dreieck gedreht ist. Daran ist nichts auszusetzen. Das Dreieck hat auch eine Höhe, diese ist in der Abbildung grün dargestellt.

Wie groß ist die Hypotenuse? Durch den Satz des Pythagoras wissen wir:

3 2 + 4 2 = Hypotenuse 2 25 = Hypotenuse 2 5 = Hypotenuse

Bußgeld! Der Sinus ist der Prozentsatz der Höhe von der längsten Seite des Dreiecks oder der Hypotenuse. In unserem Beispiel beträgt der Sinus 3/5 oder 0,60.

Natürlich können wir auf verschiedene Arten vorgehen. Jetzt wissen wir, dass der Sinus 0,60 beträgt und können einfach den Arkussinus ermitteln:

Asin(0,6)=36,9

Und hier ist ein anderer Ansatz. Beachten Sie, dass das Dreieck „Angesicht zu Angesicht mit der Wand“ liegt, sodass wir Tangens anstelle von Sinus verwenden können. Die Höhe beträgt 3, der Abstand zur Wand beträgt 4, also beträgt die Tangente ¾ oder 75 %. Wir können den Arcus-Tangens verwenden, um vom Prozentsatz zurück zum Winkel zu gelangen:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Beispiel: Wirst du ans Ufer schwimmen?

Sie sitzen in einem Boot und haben genug Treibstoff, um 2 km zurückzulegen. Sie sind jetzt 0,25 km von der Küste entfernt. In welchem ​​maximalen Winkel zum Ufer kann man dorthin schwimmen, damit man genügend Treibstoff hat? Ergänzung zum Problemzustand: Wir haben nur eine Tabelle mit Arkuskosinuswerten.

Was wir haben? Die Küstenlinie kann in unserem berühmten Dreieck als „Mauer“ dargestellt werden, und die „Länge der an der Mauer befestigten Treppen“ kann als maximal mögliche Entfernung mit dem Boot zum Ufer (2 km) dargestellt werden. Es entsteht eine Sekante.

Zuerst müssen Sie auf Prozentsätze umstellen. Wir haben 2 / 0,25 = 8, was bedeutet, dass wir das 8-fache der geraden Distanz zum Ufer (oder zur Wand) schwimmen können.

Es stellt sich die Frage „Was ist die Sekante 8?“. Aber darauf können wir keine Antwort geben, da wir nur Arkuskosinus haben.

Wir verwenden unsere zuvor abgeleiteten Abhängigkeiten, um die Sekante auf den Kosinus abzubilden: „sec/1 = 1/cos“

Der Sekante von 8 ist gleich dem Kosinus von ⅛. Ein Winkel, dessen Kosinus ⅛ ist, ist acos(1/8) = 82,8. Und das ist der größte Winkel, den wir uns auf einem Boot mit der angegebenen Treibstoffmenge leisten können.

Nicht schlecht, oder? Ohne die Kuppel-Wand-Decke-Analogie wäre ich in einer Reihe von Formeln und Berechnungen verwirrt. Die Visualisierung des Problems vereinfacht die Suche nach einer Lösung erheblich, außerdem ist es interessant zu sehen, welche trigonometrische Funktion letztendlich helfen wird.

Überlegen Sie sich bei jeder Aufgabe Folgendes: Interessiere ich mich für eine Kuppel (sin/cos), eine Wand (tan/sec) oder eine Decke (cot/csc)?

Und die Trigonometrie wird viel angenehmer. Einfache Berechnungen für Sie!

Wo die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie sich immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (angrenzend oder gegenüberliegend). Ich habe beschlossen, es nicht auf unbestimmte Zeit aufzuschieben, das nötige Material finden Sie unten, bitte lesen Sie es 😉

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, dass Schüler der 10. bis 11. Klasse Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut daran, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber welche- vergessen und verwirrt. Der Preis für einen Fehler ist, wie man in der Prüfung weiß, ein verlorener Punktestand.

Die Informationen, die ich direkt mit der Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Es ist mit figurativem Denken und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung verbunden. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnertDefinitionsdaten. Wenn Sie sie dennoch vergessen, können Sie sie sich mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht merken.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Welche Assoziationen weckt das Wort Kosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder sein eigenesDenken Sie an den Link:

So bleibt Ihnen sofort ein Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis des benachbarten Beins zur Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck merken müssen, können Sie durch die Erinnerung an die Definition des Kosinus leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Schließlich gibt es nur zwei Zweige. Wenn der benachbarte Zweig vom Kosinus „besetzt“ ist, bleibt nur die Gegenseite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich daran zu erinnern, welches sich auf welches bezieht – entweder das Gegenteil von benachbarten Beinen oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie erinnert man sich? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine nutzt ebenfalls einen verbal-logischen Zusammenhang, der andere einen mathematischen.

MATHEMATISCHE METHODE

Es gibt eine solche Definition – der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich die Formel merken, können Sie immer bestimmen, dass der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum angrenzenden Schenkel ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

Also! Wenn Sie sich diese Formeln merken, können Sie immer Folgendes feststellen:

- Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum angrenzenden

- Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

VERBAL-LOGISCHE METHODE

Über Tangente. Denken Sie an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich die Definition der Tangente merken müssen, können Sie sich mithilfe dieser logischen Verbindung leicht merken, was sie ist

„... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten“

Wenn es um Kotangens geht, dann können Sie, wenn Sie sich an die Definition von Tangens erinnern, die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

„... das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden“

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , sehen.

METHODE UNIVERSAL

Sie können einfach mahlen.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich ein Mensch dank verbal-logischer Zusammenhänge lange an Informationen, und zwar nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken von der Seite berichten würden.