72 mal 0 ist wie viel. Was ist Null

Zum ersten Mal lernen Schüler auf der Schulbank eine Rechenoperation wie die Multiplikation kennen. Der Mathematiklehrer wirft unter den zahlreichen Regeln das Thema „Multiplizieren mit Null“ auf. Trotz der Eindeutigkeit des Wortlauts haben Studierende viele Fragen. Schauen wir uns an, was passiert, wenn wir mit 0 multiplizieren.

Die Regel, dass man nicht mit Null multiplizieren darf, führt zu vielen Streitigkeiten zwischen Lehrern und ihren Schülern. Es ist wichtig zu verstehen, dass die Multiplikation mit Null aufgrund ihrer Mehrdeutigkeit ein umstrittener Aspekt ist.

Zunächst wird auf den Mangel an ausreichendem Wissensstand bei Schülern weiterführender Schulen geachtet. Beim Überschreiten der Schwelle einer Bildungseinrichtung denkt ein Teilnehmer am Bildungsprozess in den meisten Fällen nicht über das Hauptziel nach, das verfolgt werden muss.

Während der Ausbildung behandelt der Lehrer verschiedene Themen. Dazu gehört die Situation, was passiert, wenn man mit 0 multipliziert. Um der Erzählung des Lehrers zuvorzukommen, geraten einige Schüler in Kontroversen. Sie beweisen, zumindest versuchen sie es, dass die Multiplikation mit 0 gültig ist. Aber das ist leider nicht der Fall. Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 ergibt nichts. In einigen literarischen Quellen wird sogar erwähnt, dass jede mit Null multiplizierte Zahl eine Lücke bildet.

Wichtig! Aufmerksame Zuhörer erkennen sofort, dass das Ergebnis 0 ist, wenn man die Zahl mit 0 multipliziert. Eine andere Entwicklung lässt sich bei den Schülern beobachten, die systematisch den Unterricht schwänzen. Unaufmerksame oder skrupellose Schüler denken eher als andere darüber nach, wie viel es kostet, wenn sie mit Null multiplizieren.

Aufgrund der mangelnden Kenntnis des Themas befinden sich der Lehrer und der nachlässige Schüler auf entgegengesetzten Seiten einer widersprüchlichen Situation.

Der Meinungsunterschied zum Streitthema liegt im Grad der Aufklärung darüber, ob eine Multiplikation mit 0 möglich ist oder noch nicht. Der einzig akzeptable Ausweg aus dieser Situation besteht darin, sich auf logisches Denken zu berufen, um die richtige Antwort zu finden.

Es wird nicht empfohlen, das folgende Beispiel zur Erläuterung der Regel zu verwenden. Vanya hat 2 Äpfel als Snack in ihrer Tasche. Beim Mittagessen dachte er darüber nach, noch ein paar Äpfel in seine Aktentasche zu packen. Aber in diesem Moment war keine einzige Frucht in der Nähe. Vanya hat nichts gesagt. Mit anderen Worten, er hat 0 Äpfel auf 2 Äpfel gelegt.

Arithmetisch gesehen stellt sich in diesem Beispiel heraus, dass es keine Lücke gibt, wenn 2 mit 0 multipliziert wird. Die Antwort ist in diesem Fall klar. Für dieses Beispiel ist die Multiplikation mit Null-Regel nicht relevant. Die richtige Lösung ist Summation. Deshalb ist die richtige Antwort 2 Äpfel.

Andernfalls bleibt dem Lehrer nichts anderes übrig, als eine Reihe von Aufgaben zusammenzustellen. Die letzte Maßnahme besteht darin, den Durchgang des Themas neu festzulegen und nach Ausnahmen bei der Multiplikation zu suchen.

Essenz des Handelns

Es ist ratsam, mit dem Studium des Aktionsalgorithmus beim Multiplizieren mit Null zu beginnen, indem man das Wesen der arithmetischen Operation angibt.

Das Wesen der Multiplikationsaktion wurde ursprünglich ausschließlich für eine natürliche Zahl bestimmt. Wenn der Wirkmechanismus aufgedeckt ist, wird eine bestimmte an der Berechnung beteiligte Zahl zu sich selbst addiert.

Es ist wichtig, die Anzahl der Ergänzungen zu berücksichtigen. Abhängig von diesem Kriterium werden unterschiedliche Ergebnisse erzielt. Die Addition einer Zahl relativ zu sich selbst bestimmt eine Eigenschaft dieser Zahl wie Natürlichkeit.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Es ist notwendig, die Zahl 15 mit 3 zu multiplizieren. Bei der Multiplikation mit 3 erhöht sich der Wert der Zahl 15 um das Dreifache. Mit anderen Worten sieht die Aktion wie folgt aus: 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Basierend auf dem Berechnungsmechanismus wird deutlich, dass es sich bei der Multiplikation einer Zahl mit einer anderen natürlichen Zahl um den Anschein einer Addition in vereinfachter Form handelt .

Es empfiehlt sich, den Aktionsalgorithmus bei der Multiplikation mit 0 zu starten, indem man ein Merkmal mit Null angibt.

Beachten Sie! Nach landläufiger Meinung steht Null für das gesamte Nichts. Für eine solche Leerheit ist in der Arithmetik eine Bezeichnung vorgesehen. Trotz dieser Tatsache trägt der Nullwert nichts.

Es sollte beachtet werden, dass eine solche Meinung in der modernen wissenschaftlichen Gesellschaft von der Sichtweise der alten östlichen Wissenschaftler abweicht. Nach ihrer Theorie war Null gleich Unendlich.

Mit anderen Worten: Wenn Sie mit Null multiplizieren, erhalten Sie eine Vielzahl von Optionen. Im Nullwert betrachteten Wissenschaftler eine Art Tiefe des Universums.

Als Bestätigung der Möglichkeit der Multiplikation mit 0 führten Mathematiker die folgende Tatsache an. Wenn Sie eine 0 neben eine beliebige natürliche Zahl setzen, erhalten Sie einen Wert, der zehnmal größer ist als der ursprüngliche.

Das angegebene Beispiel ist eines der Argumente. Neben Beweisen dieser Art gibt es noch viele weitere Beispiele. Sie sind es, die den anhaltenden Streitigkeiten bei der Multiplikation mit Leere zugrunde liegen.

Die Machbarkeit eines Versuchs

Unter Schülern kommt es zu Beginn der Beherrschung des Lehrstoffs häufig zu Versuchen, eine Zahl mit 0 zu multiplizieren. Eine solche Aktion ist ein grober Fehler.

Im Wesentlichen wird aus solchen Versuchen nichts werden, aber es wird auch keinen Nutzen bringen. Wenn Sie mit einem Nullwert multiplizieren, erhalten Sie im Tagebuch eine ungenügende Note.

Der einzige Gedanke, der bei der Multiplikation mit der Leere entstehen sollte, ist die Unmöglichkeit des Handelns. Dabei spielt das Auswendiglernen eine wichtige Rolle. Nachdem der Schüler die Regel ein für alle Mal gelernt hat, verhindert er das Entstehen kontroverser Situationen.

Als Beispiel für die Multiplikation mit Null darf die folgende Situation verwendet werden. Sasha beschloss, Äpfel zu kaufen. Als sie im Supermarkt war, wählte sie fünf große reife Äpfel aus. Als sie in die Abteilung für Milchprodukte ging, hatte sie das Gefühl, dass ihr das nicht reichen würde. Das Mädchen legte noch 5 Stücke in ihren Korb.

Nachdem sie etwas nachgedacht hatte, nahm sie noch 5 weitere. Als Ergebnis erhielt Sasha an der Kasse: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 Äpfel. Wenn sie nur 2 Mal 5 Äpfel legen würde, wäre es 5 * 2 = 5 + 5 = 10. Für den Fall, dass Sasha nicht 5 Äpfel in den Korb gelegt hätte, wäre es 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Mit anderen Worten, 0 Mal Äpfel zu kaufen bedeutet, keine zu kaufen.

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Zusammenfassen

Die Regel der Multiplikation mit Null löst viele Kontroversen aus. Um sein Wesen zu verstehen, genügt es, einige Beispiele zu betrachten. Erst wenn Sie sich den Wortlaut merken, wird klar, ob Sie mit 0 multiplizieren können oder nicht.















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Ziel:

  1. Führen Sie Sonderfälle der Multiplikation mit 0 und 1 ein.
  2. Die Bedeutung der Multiplikation und die kommutative Eigenschaft der Multiplikation festigen, Rechenfähigkeiten entwickeln.
  3. Entwickeln Sie Aufmerksamkeit, Gedächtnis, geistige Fähigkeiten, Sprache, Kreativität und Interesse an Mathematik.

Ausrüstung: Folienpräsentation: Anhang1.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Heute ist ein ungewöhnlicher Tag für uns. Es sind Gäste im Unterricht. Erfreuen Sie mich, Freunde, Gäste mit Ihren Erfolgen. Öffnen Sie Notizbücher, notieren Sie die Nummer, Klassenarbeit. Markieren Sie am Rand Ihre Stimmung zu Beginn der Lektion. Folie 2.

Verbal wiederholt die ganze Klasse das Einmaleins auf den Karten und spricht dabei laut (Kinder markieren falsche Antworten mit Klatschen).

Fizkultminutka („Gehirngymnastik“, „Hut zum Nachdenken“, zum Atmen).

2. Formulierung der Lernaufgabe.

2.1. Aufgaben zur Entwicklung der Aufmerksamkeit.

Auf der Tafel und auf dem Tisch haben die Kinder ein zweifarbiges Bild mit Zahlen:

– Was ist an den geschriebenen Zahlen interessant? (In verschiedenen Farben geschrieben; alle „roten“ Zahlen sind gerade und „blaue“ Zahlen sind ungerade.)
Was ist die zusätzliche Zahl? (10 ist rund und der Rest ist es nicht; 10 ist zweistellig und der Rest ist einstellig; 5 wird zweimal wiederholt und der Rest ist eine nach der anderen.)
- Ich werde die Nummer 10 schließen. Gibt es unter den anderen Nummern ein Extra? (3 – er hat kein Paar unter 10, die anderen jedoch schon.)
– Finden Sie die Summe aller „roten“ Zahlen und tragen Sie sie in das rote Quadrat ein. (30.)
– Finden Sie die Summe aller „blauen“ Zahlen und schreiben Sie sie in das blaue Quadrat. (23.)
 Wie viel mehr sind 30 als 23? (Am 7.)
Wie viel ist 23 weniger als 30? (Auch um 7.)
Nach welcher Aktion haben Sie gesucht? (Subtraktion.) Folie 3.

2.2. Aufgaben zur Entwicklung von Gedächtnis und Sprache. Wissensaktualisierung.

a) - Wiederholen Sie der Reihe nach die Wörter, die ich nennen werde: Term, Term, Summe, reduziert, subtrahiert, Differenz. (Kinder versuchen, die Wortreihenfolge wiederzugeben.)
Welche Handlungskomponenten wurden benannt? (Addition und Subtraktion.)
Welche Aktion kennen Sie? (Multiplikation, Division.)
- Benennen Sie die Komponenten der Multiplikation. (Multiplikator, Multiplikator, Produkt.)
Was bedeutet der erste Multiplikator? (Gleiche Terme in der Summe.)
Was bedeutet der zweite Multiplikator? (Die Anzahl solcher Begriffe.)

Schreiben Sie die Definition der Multiplikation auf.

ein + A+… + A= an

b) Schauen Sie sich die Notizen an. Welche Aufgabe werden Sie übernehmen?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a

(Ersetzen Sie die Summe durch das Produkt.)

Was wird passieren? (Der erste Ausdruck hat 5 Terme, von denen jeder gleich 12 ist, also ist er gleich 12 5. Ebenso - 33 4 und 3)

c) Benennen Sie die umgekehrte Operation. (Ersetzen Sie das Produkt durch die Summe.)

– Ersetzen Sie das Produkt durch die Summe in den Ausdrücken: 99 2, 8 4. B 3.(99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). Folie 4.

d) Gleichungen werden an die Tafel geschrieben:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Bilder werden neben jeder Gleichheit platziert.

Die Tiere der Waldschule waren auf einer Mission. Haben sie es richtig gemacht?

Die Kinder stellen fest, dass der Elefant, der Tiger, der Hase und das Eichhörnchen einen Fehler gemacht haben, und erklären, was ihre Fehler sind. Folie 5.

e) Vergleichen Sie die Ausdrücke:

8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
a 3... a 2 + a

(8 5 \u003d 5 8, da sich die Summe durch die Neuordnung der Terme nicht ändert;
5 6 > 3 6, da es links und rechts jeweils 6 Terme gibt, die Terme links aber größer sind;
34 9 > 31 2. da links mehr Begriffe stehen und die Begriffe selbst größer sind;
a 3 \u003d a 2 + a, da es links und rechts 3 Terme gibt, gleich a.)

Welche Multiplikationseigenschaft wurde im ersten Beispiel verwendet? (Verschiebung.) Folie 6.

2.3. Formulierung des Problems. Ziele setzen.

Sind Gleichheiten wahr? Warum? (Richtig, da die Summe 5 + 5 + 5 = 15 ist. Dann wird die Summe zu einem weiteren Term 5 und die Summe erhöht sich um 5.)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Setzen Sie dieses Muster nach rechts fort. (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
- Setzen Sie diesen nun nach links fort. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- Was bedeutet der Ausdruck 5 1? 50? (? Problem!)

Ergebnis der Diskussion:

Allerdings ergeben die Ausdrücke 5 1 und 5 0 keinen Sinn. Wir können uns darauf einigen, diese Gleichheiten als wahr zu betrachten. Dazu müssen wir aber prüfen, ob wir die kommutative Eigenschaft der Multiplikation verletzen.

Der Zweck unserer Lektion ist also Bestimmen Sie, ob wir die Gleichungen zählen können 5 1 = 5 und 5 0 = 0 richtig?

Unterrichtsproblem! Folie 7.

3. „Entdeckung“ neuen Wissens durch Kinder.

a) - Befolgen Sie die Schritte: 1 7, 1 4, 1 5.

Kinder lösen Beispiele mit Kommentaren in einem Notizbuch und an der Tafel:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

- Machen Sie eine Schlussfolgerung: 1 a -? (1 a = a.) Karte wird freigelegt: 1 a = a

b) - Sind die Ausdrücke 7 1, 4 1, 5 1 sinnvoll? Warum? (Nein, da die Summe keinen Term haben kann.)

– Was sollten sie sein, um die kommutative Eigenschaft der Multiplikation nicht zu verletzen? (7 1 muss auch gleich 7 sein, also 7 1 = 7.)

4 1 = 4; 5 1 = 5.

- Machen Sie eine Schlussfolgerung: a 1 =? (a 1 = a.)

Die Karte wird aufgedeckt: a 1 = a. Die erste Karte wird der zweiten überlagert: a 1 = 1 a = a.

- Stimmt unsere Schlussfolgerung mit dem überein, was wir auf dem numerischen Balken erhalten haben? (Ja.)
– Übersetzen Sie diese Gleichheit ins Russische. (Wenn Sie eine Zahl mit 1 oder 1 mit einer Zahl multiplizieren, erhalten Sie dieselbe Zahl.)
- Gut gemacht! Wir betrachten also: a 1 \u003d 1 a \u003d a. Folie 8.

2) Der Fall der Multiplikation mit 0 wird ähnlich untersucht. Fazit:

- Wenn eine Zahl mit 0 oder 0 mit einer Zahl multipliziert wird, erhält man Null: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. Folie 9.
- Vergleichen Sie beide Gleichheiten: Woran erinnern Sie 0 und 1?

Kinder äußern ihre Meinung. Sie können sie auf die Bilder aufmerksam machen:

1 – „Spiegel“, 0 – „schreckliches Biest“ oder „Unsichtbarkeitskappe“.

Gut gemacht! Die Multiplikation mit 1 ergibt also dieselbe Zahl. (1 - „Spiegel“), und wenn wir mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0 ( 0 – „Unsichtbarkeitsobergrenze“).

4. Sportunterricht (für die Augen – „Kreis“, „oben – unten“, für die Hände – „Schloss“, „Nocken“).

5. Primäre Befestigung.

Beispiele stehen an der Tafel:

23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =

Kinder lösen sie in einem Notizbuch und an einer Tafel mit lauter Aussprache der erhaltenen Regeln, zum Beispiel:

3 1 = 3, da man beim Multiplizieren einer Zahl mit 1 dieselbe Zahl erhält (1 ist ein „Spiegel“) usw.

a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.

- Als man 145 mit einer unbekannten Zahl multiplizierte, ergab sich 145. Also multiplizierten sie mit 1 x = 1. usw.

a) 8 x = 0; b) x 1 \u003d 0.

- Die Multiplikation von 8 mit einer unbekannten Zahl ergab 0. Also multipliziert mit 0 x = 0. Und so weiter.

6. Selbstständiges Arbeiten mit Klassencheck. Folie 10.

Kinder lösen aufgezeichnete Beispiele selbstständig. Dann fertig

Überprüfen Sie Ihre Antworten anhand der Aussprache in lauter Rede, markieren Sie richtig gelöste Beispiele mit einem Plus und korrigieren Sie gemachte Fehler. Diejenigen, die Fehler gemacht haben, erhalten eine ähnliche Aufgabe auf einer Karte und bearbeiten diese einzeln, während die Klasse Wiederholungsaufgaben löst.

7. Aufgaben zur Wiederholung. (Partnerarbeit). Folie 11.

a) - Möchten Sie wissen, was Sie in Zukunft erwartet? Das können Sie herausfinden, indem Sie den Eintrag entschlüsseln:

G – 49:7 Ö – 9 8 N – 9 9 V – 45:5 Th – 6 6 D – 7 8 S – 24:3

81 72 5 8 36 7 72 56

„Was erwartet uns also?“ (Neues Jahr.)

b) – „Ich dachte an eine Zahl, subtrahierte 7 davon, addierte 15, addierte dann 4 und erhielt 45. Welche Zahl fiel mir ein?“

Rückwärtsoperationen müssen in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt werden: 45 – 4 – 15 + 7 = 31.

8. Das Ergebnis der Lektion.Folie 12.

Was sind die neuen Regeln?
Was hat dir gefallen? Was war schwierig?
Kann dieses Wissen im wirklichen Leben angewendet werden?
Am Rand können Sie Ihre Stimmung am Ende der Lektion ausdrücken.
Füllen Sie die Selbsteinschätzungstabelle aus:

Ich möchte mehr wissen
Ok, aber ich kann es besser machen
Während ich in Schwierigkeiten bin

Vielen Dank für Ihre Arbeit, Sie haben einen tollen Job gemacht!

9. Hausaufgaben

S. 72–73 Regel, Nr. 6.

Schon in der Schule versuchten Lehrer, uns die einfachste Regel einzuprägen: „Jede Zahl multipliziert mit Null ergibt Null!“, - aber dennoch kommt es ständig zu vielen Kontroversen um ihn. Jemand hat die Regel einfach auswendig gelernt und beschäftigt sich nicht mit der Frage „Warum?“. „Hier kann man nicht alles machen, denn in der Schule heißt es ja, Regel ist Regel!“ Jemand kann ein halbes Notizbuch mit Formeln füllen und so diese Regel oder umgekehrt ihre Unlogik beweisen.

Wer hat am Ende Recht?

Während dieser Auseinandersetzungen sehen sich beide Menschen mit gegensätzlichen Standpunkten wie einen Widder an und beweisen mit aller Kraft, dass sie Recht haben. Wenn man sie jedoch von der Seite betrachtet, sieht man nicht einen, sondern zwei Widder, die mit ihren Hörnern aneinander lehnen. Der einzige Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass der eine etwas weniger gebildet ist als der andere. Meistens versuchen diejenigen, die diese Regel für falsch halten, auf folgende Weise nach Logik zu rufen:

Ich habe zwei Äpfel auf meinem Tisch. Wenn ich null Äpfel darauf lege, also keinen einzigen, dann verschwinden meine beiden Äpfel nicht davon! Die Regel ist unlogisch!

Tatsächlich werden Äpfel nirgendwo verschwinden, aber nicht, weil die Regel unlogisch ist, sondern weil hier eine etwas andere Gleichung verwendet wird: 2 + 0 = 2. Wir werden eine solche Schlussfolgerung also sofort verwerfen – sie ist unlogisch, obwohl sie das hat entgegengesetztes Ziel - zur Logik aufrufen.

Das ist interessant: Wie findet man den Zahlenunterschied in der Mathematik?

Was ist Multiplikation?

Die ursprüngliche Multiplikationsregel wurde nur für natürliche Zahlen definiert: Multiplikation ist eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Malen zu sich selbst addiert wird, was die Natürlichkeit der Zahl impliziert. Somit kann jede Zahl mit Multiplikation auf diese Gleichung reduziert werden:

  • 25x3=75
  • 25 + 25 + 25 = 75
  • 25x3 = 25 + 25 + 25

    • Aus dieser Gleichung folgt die Schlussfolgerung: dass die Multiplikation eine vereinfachte Addition ist.

    Was ist Null

    Jeder Mensch weiß aus seiner Kindheit: Null ist Leere. Obwohl diese Leere eine Bezeichnung hat, trägt sie überhaupt nichts. Wissenschaftler des alten Ostens dachten anders – sie gingen philosophisch an das Thema heran, zogen einige Parallelen zwischen Leere und Unendlichkeit und sahen in dieser Zahl eine tiefe Bedeutung. Schließlich multipliziert die Null, die den Wert der Leere hat und neben einer natürlichen Zahl steht, diese zehnmal. Daher die ganze Kontroverse über die Multiplikation – diese Zahl weist so viele Inkonsistenzen auf, dass es schwierig wird, nicht verwirrt zu werden. Darüber hinaus wird die Null ständig verwendet, um leere Ziffern in Dezimalbrüchen zu ermitteln, und zwar sowohl vor als auch nach dem Dezimalpunkt.

    Ist es möglich, mit Leere zu multiplizieren?

    Es ist möglich, mit Null zu multiplizieren, aber es ist nutzlos, denn was auch immer man sagen mag, aber selbst wenn man negative Zahlen multipliziert, erhält man immer noch Null. Es genügt, sich an diese einfachste Regel zu erinnern und diese Frage nie wieder zu stellen. Tatsächlich ist alles einfacher, als es auf den ersten Blick scheint. Es gibt keine verborgenen Bedeutungen und Geheimnisse, wie alte Wissenschaftler glaubten. Die logischste Erklärung wird weiter unten gegeben, dass diese Multiplikation nutzlos ist, denn wenn man eine Zahl damit multipliziert, erhält man immer noch dasselbe – Null.

    Das ist interessant: Was ist der Modul einer Zahl?

    Zurück zum Anfang: Der Streit um zwei Äpfel, 2 mal 0 sieht so aus:

  • Wenn Sie fünfmal zwei Äpfel essen, dann haben Sie 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 Äpfel gegessen
  • Wenn man zwei davon dreimal isst, dann isst man 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 Äpfel
  • Wenn Sie zwei Äpfel null Mal essen, wird nichts gegessen - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

    • Denn wenn man null Mal einen Apfel isst, heißt das, dass man keinen einzigen Apfel isst. Dies wird selbst dem kleinsten Kind klar sein. Ob es Ihnen gefällt oder nicht, es wird 0 herauskommen, zwei oder drei können durch absolut jede Zahl ersetzt werden und es wird absolut das Gleiche herauskommen. Und um es einfach auszudrücken: Null ist nichts und wenn du es hast es gibt nichts, dann ist es egal, wie viel man multipliziert – es ist alles das Gleiche wird Null sein. Es gibt keine Magie und aus nichts entsteht ein Apfel, selbst wenn man 0 mit einer Million multipliziert. Dies ist die einfachste, verständlichste und logischste Erklärung der Multiplikationsregel mit Null. Für eine Person, die weit von allen Formeln und Mathematik entfernt ist, wird eine solche Erklärung ausreichen, damit sich die Dissonanz im Kopf auflöst und alles seinen Platz findet.

    Aus all dem folgt eine weitere wichtige Regel:

    Man kann nicht durch Null dividieren!

    Auch diese Regel wurde uns seit unserer Kindheit hartnäckig in den Kopf eingehämmert. Wir wissen einfach, dass es unmöglich ist, und das ist alles, ohne unseren Kopf mit unnötigen Informationen vollzustopfen. Wenn Ihnen plötzlich die Frage gestellt wird, warum es verboten ist, durch Null zu dividieren, ist die Mehrheit verwirrt und kann die einfachste Frage aus dem Lehrplan nicht klar beantworten, da es nicht so viele Streitigkeiten und Widersprüche gibt um diese Regel herum.

    Jeder hat die Regel einfach auswendig gelernt und dividiert nicht durch Null, ohne zu ahnen, dass die Antwort an der Oberfläche liegt. Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion sind ungleich, nur Multiplikation und Addition sind voll davon, und alle anderen Manipulationen mit Zahlen basieren auf ihnen. Das heißt, der Eintrag 10: 2 ist eine Abkürzung der Gleichung 2 * x = 10. Daher ist der Eintrag 10: 0 die gleiche Abkürzung von 0 * x = 10. Es stellt sich heraus, dass die Division durch Null eine Aufgabe ist, die es zu finden gilt Wenn man eine Zahl mit 0 multipliziert, erhält man 10. Und wir haben bereits herausgefunden, dass eine solche Zahl nicht existiert, was bedeutet, dass diese Gleichung keine Lösung hat und von vornherein falsch sein wird.

    Lass mich dir sagen

    Nicht durch 0 dividieren!

    Schneiden Sie 1 nach Belieben entlang,

    Nur nicht durch 0 dividieren!

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    Durch Null teilen. Faszinierende Mathematik

    Die Zahl 0 kann als eine Art Grenze dargestellt werden, die die Welt der reellen Zahlen von imaginären oder negativen Zahlen trennt. Aufgrund der mehrdeutigen Position gehorchen viele Operationen mit diesem Zahlenwert nicht der mathematischen Logik. Die Unfähigkeit, durch Null zu dividieren, ist ein Paradebeispiel dafür. Und erlaubte arithmetische Operationen mit Null können mit allgemein anerkannten Definitionen ausgeführt werden.

    Geschichte von Zero

    Null ist der Bezugspunkt in allen Standardzahlensystemen. Die Europäer begannen erst vor relativ kurzer Zeit, diese Zahl zu verwenden, aber die Weisen des alten Indien verwendeten tausend Jahre lang die Null, bevor die leere Zahl regelmäßig von europäischen Mathematikern verwendet wurde. Schon vor den Indianern war die Null ein zwingender Wert im Zahlensystem der Maya. Dieses amerikanische Volk verwendete das Duodezimalsystem und begann den ersten Tag jedes Monats mit einer Null. Interessanterweise stimmte bei den Maya das Zeichen für „Null“ vollständig mit dem Zeichen für „Unendlichkeit“ überein. Daher kamen die alten Maya zu dem Schluss, dass diese Größen identisch und nicht erkennbar seien.

    Mathematische Operationen mit Null

    Standardmathematische Operationen mit Null lassen sich auf wenige Regeln reduzieren.

    Addition: Wenn Sie einer beliebigen Zahl eine Null hinzufügen, ändert sich ihr Wert nicht (0+x=x).

    Subtraktion: Wenn Null von einer beliebigen Zahl subtrahiert wird, bleibt der Wert des Subtrahierten unverändert (x-0=x).

    Multiplikation: Jede mit 0 multiplizierte Zahl ergibt 0 im Produkt (a*0=0).

    Division: Null kann durch jede Zahl ungleich Null geteilt werden. In diesem Fall ist der Wert eines solchen Bruchs 0. Und eine Division durch Null ist verboten.

    Potenzierung. Diese Aktion kann mit einer beliebigen Nummer durchgeführt werden. Eine beliebige Zahl, die mit Null potenziert wird, ergibt 1 (x 0 =1).

    Null zu jeder Potenz ist gleich 0 (0 a \u003d 0).

    In diesem Fall entsteht sofort ein Widerspruch: Der Ausdruck 0 0 ergibt keinen Sinn.

    Paradoxien der Mathematik

    Dass eine Division durch Null unmöglich ist, wissen viele Menschen aus der Schule. Aus irgendeinem Grund ist es jedoch nicht möglich, den Grund für ein solches Verbot zu erklären. Warum gibt es eigentlich keine Division-durch-Null-Formel, aber andere Aktionen mit dieser Zahl sind durchaus sinnvoll und möglich? Die Antwort auf diese Frage geben Mathematiker.

    Die Sache ist die, dass die üblichen Rechenoperationen, die Schulkinder in Grundschulklassen lernen, tatsächlich bei weitem nicht so gleichwertig sind, wie wir denken. Alle einfachen Operationen mit Zahlen lassen sich auf zwei reduzieren: Addition und Multiplikation. Diese Operationen sind die Essenz des eigentlichen Konzepts einer Zahl, und die übrigen Operationen basieren auf der Verwendung dieser beiden.

    Addition und Multiplikation

    Nehmen wir ein Standardsubtraktionsbeispiel: 10-2=8. In der Schule gilt es einfach: Wenn von zehn Gegenständen zwei weggenommen werden, bleiben acht übrig. Aber Mathematiker betrachten diese Operation ganz anders. Schließlich gibt es für sie keine Operation wie Subtraktion. Dieses Beispiel kann auch anders geschrieben werden: x+2=10. Für Mathematiker ist die unbekannte Differenz einfach die Zahl, die zu zwei addiert werden muss, um acht zu ergeben. Und hier ist keine Subtraktion erforderlich, Sie müssen lediglich einen passenden Zahlenwert finden.

    Multiplikation und Division werden auf die gleiche Weise behandelt. Im Beispiel 12:4=3 kann man verstehen, dass es sich um die Aufteilung von acht Objekten in zwei gleiche Stapel handelt. Aber in Wirklichkeit ist dies nur eine umgekehrte Formel zum Schreiben von 3x4 \u003d 12. Solche Beispiele für die Division können endlos gegeben werden.

    Beispiele für die Division durch 0

    Hier wird ein wenig klar, warum eine Division durch Null nicht möglich ist. Multiplikation und Division durch Null haben ihre eigenen Regeln. Alle Beispiele pro Teilung dieser Größe können als 6:0=x formuliert werden. Dies ist jedoch ein umgekehrter Ausdruck des Ausdrucks 6 * x = 0. Aber wie Sie wissen, ergibt jede mit 0 multiplizierte Zahl im Produkt nur 0. Diese Eigenschaft ist dem Konzept eines Nullwerts inhärent.

    Es stellt sich heraus, dass eine solche Zahl, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, einen greifbaren Wert ergibt, nicht existiert, das heißt, es gibt keine Lösung für dieses Problem. Vor einer solchen Antwort sollte man keine Angst haben, es ist eine natürliche Antwort auf Probleme dieser Art. Nur 6:0 zu schreiben macht keinen Sinn und kann auch nichts erklären. Kurz gesagt, dieser Ausdruck kann durch das unsterbliche „keine Division durch Null“ erklärt werden.

    Liegt ein 0:0-Betrieb vor? Wenn die Operation der Multiplikation mit 0 zulässig ist, kann dann Null durch Null dividiert werden? Schließlich ist eine Gleichung der Form 0x5=0 durchaus zulässig. Anstelle der Zahl 5 können Sie auch eine 0 eingeben, das Produkt ändert sich dadurch nicht.

    Tatsächlich ist 0x0=0. Aber du kannst immer noch nicht durch 0 dividieren. Wie bereits erwähnt, ist die Division nur die Umkehrung der Multiplikation. Wenn also im Beispiel 0x5=0 ist, müssen Sie den zweiten Faktor bestimmen, wir erhalten 0x0=5. Oder 10. Oder unendlich. Unendlich durch Null teilen – wie gefällt dir das?

    Aber wenn irgendeine Zahl in den Ausdruck passt, dann macht das keinen Sinn, wir können keine aus einer unendlichen Menge von Zahlen auswählen. Und wenn ja, bedeutet das, dass der Ausdruck 0:0 keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null selbst durch Null geteilt werden kann.

    Höhere Mathematik

    Die Division durch Null bereitet Mathematikern an weiterführenden Schulen Kopfschmerzen. Die an technischen Universitäten studierte mathematische Analyse erweitert das Konzept der Probleme, für die es keine Lösung gibt, geringfügig. Zum bereits bekannten Ausdruck 0:0 kommen beispielsweise neue hinzu, für die es im Schulmathematikunterricht keine Lösung gibt:

  • Unendlich geteilt durch Unendlich: ∞:∞;
  • Unendlich minus Unendlich: ∞−∞;
  • Einheit auf eine unendliche Potenz erhoben: 1 ∞ ;
  • Unendlich multipliziert mit 0: ∞*0;
  • einige andere.

    • Es ist unmöglich, solche Ausdrücke mit elementaren Methoden zu lösen. Aber die höhere Mathematik liefert dank zusätzlicher Möglichkeiten für eine Reihe ähnlicher Beispiele endgültige Lösungen. Dies wird insbesondere bei der Betrachtung grenzwerttheoretischer Probleme deutlich.

    Offenlegung von Unsicherheiten

    In der Grenzwerttheorie wird der Wert 0 durch eine bedingte Infinitesimalvariable ersetzt. Und Ausdrücke, bei denen beim Ersetzen des gewünschten Wertes eine Division durch Null entsteht, werden umgewandelt. Nachfolgend finden Sie ein Standardbeispiel für die Grenzwerterweiterung unter Verwendung der üblichen algebraischen Transformationen:

    Wie Sie im Beispiel sehen können, führt eine einfache Reduktion eines Bruchs zu einer völlig rationalen Antwort.

    Wenn man die Grenzen trigonometrischer Funktionen betrachtet, werden ihre Ausdrücke tendenziell auf die erste bemerkenswerte Grenze reduziert. Bei der Betrachtung der Grenzen, bei denen der Nenner beim Ersetzen der Grenze auf 0 geht, wird die zweite bemerkenswerte Grenze verwendet.

    L'Hopital-Methode

    In einigen Fällen können die Grenzen von Ausdrücken durch die Grenzen ihrer Ableitungen ersetzt werden. Guillaume Lopital ist ein französischer Mathematiker und Begründer der französischen Schule der mathematischen Analyse. Er bewies, dass die Grenzen der Ausdrücke gleich den Grenzen der Ableitungen dieser Ausdrücke sind. In mathematischer Schreibweise lautet seine Regel wie folgt.

    Derzeit wird die L'Hopital-Methode erfolgreich zur Lösung von Unsicherheiten vom Typ 0:0 oder ∞:∞ eingesetzt.

    Mathematik: lange Division und Multiplikation

    Das Multiplizieren und Dividieren einstelliger Zahlen wird für jeden Schüler, der das Einmaleins gelernt hat, nicht schwierig sein. Es ist im Mathematiklehrplan der 2. Klasse enthalten. Eine andere Sache ist, wenn mathematische Operationen mit mehrstelligen Zahlen durchgeführt werden müssen. Sie beginnen mit solchen Aktionen im Mathematikunterricht in der 3. Klasse. Wir analysieren das neue Thema „Division und Multiplikation in einer Spalte“

    Multiplikation mehrstelliger Zahlen

    Komplexe Zahlen lassen sich am einfachsten in einer Spalte dividieren und multiplizieren. Dazu benötigen Sie die Ziffern der Zahl: Hunderter, Zehner, Einer:

    235 = 200 (Hunderter) + 30 (Zehner) + 5 (Einer).

    Diese benötigen wir für die korrekte Erfassung von Zahlen beim Multiplizieren.

    Wenn man zwei Zahlen schreibt, die multipliziert werden müssen, schreibt man sie untereinander und schreibt die Zahlen in Ziffern (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner). Beim Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl treten keine Schwierigkeiten auf:

    Die Aufnahme erfolgt so:

    Die Berechnung erfolgt vom Ende her – ausgehend von der Einheitenkategorie. Bei der Multiplikation mit der ersten Ziffer – aus der Einheitenkategorie – erfolgt die Aufzeichnung ebenfalls vom Ende her:

    • 3 x 5 = 15, notieren Sie 5 (Einer), Zehner (1) merken Sie sich;
    • 2 x 5 \u003d 10 und 1 Zehner, an den wir uns erinnerten, nur 11, wir schreiben 1 (Zehner) auf, wir erinnern uns an Hunderter (1);
    • Da wir im Beispiel keine weiteren Ziffern haben, schreiben wir Hunderter auf (1 – die wir uns gemerkt haben).

    Der nächste Schritt besteht darin, mit der zweiten Ziffer (Zehnerstelle) zu multiplizieren:

    Da wir mit einer Zahl von der Zehnerstelle aus multipliziert haben, beginnen wir auf die gleiche Weise mit dem Schreiben, vom Ende an, beginnend mit der zweiten Stelle rechts (dort, wo sich die Zehnerstelle befindet).

    1. Sie müssen die Multiplikation in einer Spalte nach Ziffern aufschreiben;

    2. Berechnungen ausgehend von Einheiten durchführen;

    3. Notieren Sie die Summe nach Ziffern – wenn wir mit einer Zahl aus dem Rang der Einheiten multiplizieren – beginnen wir die Aufzeichnung ab der letzten Spalte, ab der Ziffer – Zehner – aus dieser Spalte und führen die Aufzeichnung.

    Die Regel, die für die Multiplikation in einer Spalte mit einer zweistelligen Zahl gilt, gilt auch für Zahlen mit vielen Ziffern.

    Damit Sie sich die Regeln zum Schreiben von Beispielen für die Multiplikation mehrstelliger Zahlen in einer Spalte leichter merken können, können Sie Karten erstellen, indem Sie verschiedene Ziffern in verschiedenen Farben hervorheben.

    Wenn Zahlen in einer Spalte mit Nullen am Ende multipliziert werden, werden sie bei der Berechnung nicht berücksichtigt und die Aufzeichnung wird so geführt, dass die signifikante Zahl unter der signifikanten Eins liegt und die Nullen auf der rechten Seite bleiben. Nach den Berechnungen wird ihre Nummer rechts hinzugefügt:

    Der Mathematiker Yakov Trakhtenberg entwickelte ein System zum schnellen Zählen. Die Trachtenberg-Methode erleichtert die Multiplikation, wenn ein bestimmtes Berechnungssystem angewendet wird. Zum Beispiel mit 11 multiplizieren. Um das Ergebnis zu erhalten, müssen Sie eine Zahl zur nächsten addieren:

    2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.

    Der Wahrheitsbeweis ist einfach: 11 = 10 + 1

    2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.

    Die Berechnungsalgorithmen für verschiedene Zahlen sind unterschiedlich, ermöglichen Ihnen jedoch eine schnelle Berechnung.

    Video „Spaltenmultiplikation“

    Division mehrstelliger Zahlen

    Das Teilen durch eine Spalte mag für Kinder schwierig erscheinen, aber es ist nicht schwer, sich den Algorithmus zu merken. Erwägen Sie, mehrstellige Zahlen durch eine einstellige Zahl zu dividieren:
    215: 5 = ?
    Die Berechnung lautet wie folgt:

    Unter den Divisor schreiben wir das Ergebnis. Die Division wird wie folgt durchgeführt: Wir vergleichen die Ziffer ganz links des Dividenden mit dem Divisor: 2 ist kleiner als 5, wir können 2 nicht durch 5 dividieren, also nehmen wir eine weitere Ziffer: 21 ist größer als 5, wenn man dividiert, stellt sich heraus : 20: 5 = 4 (Rest 1)

    Wir zerlegen die folgende Zahl zum resultierenden Rest: Wir erhalten 15. 15 ist mehr als 5, wir dividieren: 15: 5 = 3

    Die Lösung wird so aussehen:

    So erfolgt eine Division ohne Rest. Nach dem gleichen Algorithmus erfolgt die Division in eine Spalte mit Rest, mit dem einzigen Unterschied, dass der letzte Eintrag nicht Null, sondern den Rest enthält.

    Wenn es notwendig ist, dreistellige Zahlen in einer Spalte durch zweistellige zu dividieren, ist die Vorgehensweise die gleiche wie bei der Division durch eine einstellige Zahl.

    Hier einige Beispiele für die Teilung:


    Ebenso erfolgt die Berechnung bei der Division einer mehrstelligen Zahl durch eine zweistellige Zahl mit Rest: 853: 15 = 50 und (3) der Rest
    Beachten Sie diesen Eintrag: Wenn bei Zwischenberechnungen das Ergebnis 0 ist, das Beispiel aber nicht zu Ende gelöst wird, wird die Null nicht aufgeschrieben, sondern die nächste Ziffer sofort abgerissen und die Berechnung geht weiter.

    Es wird Ihnen helfen, die Regeln zum Teilen mehrstelliger Zahlen in einer Video-Tutorial-Spalte zu erlernen. Nachdem Sie den Algorithmus auswendig gelernt und die Reihenfolge der Aufzeichnungsberechnungen befolgt haben, werden Beispiele für Multiplikation und Division in einer Spalte in der 4. Klasse nicht mehr so ​​kompliziert erscheinen.

    Wichtig! Folgen Sie der Aufzeichnung: Die Ziffern sollten in einer Spalte unter die Ziffern geschrieben werden.

    Video „Unterteilung in einer Spalte“

    Wenn ein Kind in der 2. Klasse das Einmaleins gelernt hat, bereiten ihm Beispiele für die Multiplikation und Division einer zwei- oder dreistelligen Zahl im Mathematikunterricht der 4. Klasse keine Schwierigkeiten.

    www.razvitiedetei.info

    Multiplikations- und Divisionsregeln

    Nachdem die Multiplikationstabelle erlernt wurde, werden den Schülern die Regeln der Multiplikation und Division erklärt und ihnen beigebracht, sie bei der Berechnung mathematischer Ausdrücke zu verwenden.

    Was ist Multiplikation? Es ist eine kluge Ergänzung

    Beim Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Zahlen in einfachen Ausdrücken haben Kinder keine Schwierigkeiten:

    Bei solchen Berechnungen müssen Sie lediglich die Additions- und Subtraktionsregeln sowie das Einmaleins kennen.
    Wenn komplexere Übungen beginnen, bestehen die Beispiele aus zwei oder mehr Aktionen, und selbst mit Klammern machen Kinder Fehler beim Lösen. Und der Hauptgrund ist die falsche Reihenfolge der Aktionen.

    Was ist der Unterschied?

    Ist es tatsächlich so wichtig, welche Aktion im Beispiel zuerst und welche als zweites auszuführen ist?

    Wenn wir die Schritte der Reihe nach ausführen, erhalten wir:

    Wir bekamen zwei unterschiedliche Antworten. Dies sollte jedoch nicht der Fall sein, daher ist die Reihenfolge, in der die Aktionen ausgeführt werden, wichtig. Vor allem, wenn der Ausdruck Klammern enthält:

    Wir versuchen es auf zwei Arten zu lösen:

    Die Antworten sind unterschiedlich und um die Reihenfolge der Aktionen festzulegen, gibt es im Ausdruck Klammern – sie zeigen an, welche Aktion zuerst ausgeführt werden muss. Die richtige Lösung wäre also:

    Für die Antwort im Beispiel dürfte es keine andere Lösung geben.

    Was ist wichtiger: Multiplikation oder Addition?

    Beim Lösen von Beispielen
    Ordnen Sie die Vorgehensweise.
    Multiplizieren oder dividieren – an erster Stelle.

    Für Ausdrücke, in denen es keine Addition oder Subtraktion, sondern eine Multiplikation oder Division gibt, gilt die gleiche Regel: Alle Operationen mit Zahlen werden der Reihe nach von links beginnend ausgeführt:

    Ein schwierigerer Fall ist, wenn in einer Aufgabe Multiplikation oder Division mit Addition oder Subtraktion vorkommen. Wie ist dann die Reihenfolge der Berechnungen?

    Wenn Sie alle Schritte der Reihe nach ausführen, zuerst Division, dann Addition. Als Ergebnis erhalten wir:

    Das Beispiel ist also richtig. Was ist, wenn es Klammern enthält?

    Alles in Klammern hat immer Vorrang. Deshalb stehen sie im Ausdruck. Daher ist die Reihenfolge der Berechnungen in solchen Ausdrücken wie folgt:

  • Wir öffnen die Klammern. Wenn es mehrere davon gibt, führen wir für jeden eine Berechnung durch.
  • Multiplikation oder Division.
  • Wir berechnen das Endergebnis, indem wir Operationen von links nach rechts ausführen.

    • Beispiel:
    81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?

    81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.

    Und was wird die Priorität sein: Multiplikation – oder Division, Subtraktion – oder Addition, wenn beide Aktionen in der Aufgabe vorkommen? Nichts, sie sind gleich, in diesem Fall gilt die erste Regel: Aktionen werden nacheinander ausgeführt, beginnend von links.

    Algorithmus zur Lösung des Ausdrucks:

  • Wir analysieren das Problem – gibt es Klammern, welche mathematischen Operationen müssen durchgeführt werden?
  • Wir führen Berechnungen in Klammern durch.
  • Wir machen Multiplikation und Division.
  • Führen Sie Addition und Subtraktion durch.

    • 28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?

    1. 11 – 4 = 7;
    2. 25 – 8 = 17;
    3. 28: 7 = 4;
    4. 4 + 18 = 22;
    5. 22 – 17 = 5.

    Antwort: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.

    Wichtig! Wenn der Ausdruck Buchstaben enthält, bleibt die Vorgehensweise gleich.

    Round Zero ist so hübsch
    Aber es bedeutet nichts.

    In den Beispielen kommt Null nicht als Zahl vor, sondern kann das Ergebnis einer Zwischenaktion sein, zum Beispiel:

    Bei der Multiplikation mit 0 besagt die Regel, dass das Ergebnis immer 0 sein wird. Warum? Es lässt sich einfach erklären: Was ist Multiplikation? Dies ist die gleiche Zahl, die mehrmals zu ihrer eigenen Art hinzugefügt wurde. Ansonsten:

    0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

    Eine Division durch 0 ist bedeutungslos und eine Division von Null durch eine beliebige Zahl führt immer zu 0:

    0: 5 = 0.

    Erinnern Sie sich an andere arithmetische Operationen mit Null:

    Multiplikation und Division durch eins

    Mathematische Operationen mit Eins unterscheiden sich von Operationen mit Null. Wenn eine Zahl mit 1 multipliziert oder dividiert wird, erhält man die ursprüngliche Zahl selbst:

    7 x 1 = 7;

    7: 1 = 7.

    Wenn du 7 Freunde hast und jeder dir ein Bonbon schenkt, hast du natürlich 7 Bonbons, und wenn du sie alleine gegessen hast, also nur mit dir selbst geteilt hast, dann landeten sie alle in deinem Magen.

    Berechnungen mit Brüchen, Potenzen und komplexen Funktionen

    Dabei handelt es sich um komplexe Rechenfälle, die in der Grundschule nicht behandelt werden.

    Einfache Brüche miteinander zu multiplizieren ist nicht schwierig. Multiplizieren Sie einfach den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.
    Beispiel:

  • 2 × 3 = 6 - Zähler
  • 5 × 8 = 40 - Nenner

    • Nach der Reduktion erhalten wir: \(\) = \(\).

    Einfache Brüche zu dividieren ist nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick scheint. Es reicht aus, das Problem umzuwandeln – es mit Multiplikation in ein Beispiel umzuwandeln. Das geht ganz einfach: Sie müssen den Bruch umdrehen, sodass der Nenner zum Zähler und der Zähler zum Nenner wird.
    Beispiel:

    Wenn in der Aufgabe eine Zahl angetroffen wird, die als Potenz dargestellt wird, wird ihr Wert vor allen anderen berechnet (Sie können sich vorstellen, dass sie in Klammern steht – und die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt).
    Beispiel:

    Durch die Umwandlung einer als Potenz dargestellten Zahl in einen regulären Ausdruck mit einer Multiplikationsaktion erwies sich die Lösung des Beispiels als einfach: zuerst Multiplikation, dann Subtraktion (weil es in Klammern steht) und Division.

  • Aktionen mit Wurzeln, Logarithmen, Funktionen

    • Da solche Funktionen nur im Rahmen des Gymnasiums untersucht werden, werden wir sie nicht berücksichtigen. Es genügt zu sagen, dass sie, wie im Fall von Potenzen, bei der Berechnung Vorrang haben: Zunächst wird der Wert dieses Ausdrucks ermittelt , dann ist die Berechnungsreihenfolge normal - Klammern, Multiplikation mit Division, dann in der Reihenfolge von links nach rechts.

    Hauptregeln zum Thema

    Wenn man über die Haupt- und Nebenoperationen der Mathematik spricht, muss man sagen, dass die vier Hauptoperationen auf zwei reduziert werden können: Addition und Multiplikation. Erscheinen Schulkindern das Subtrahieren und Dividieren schwer, merken sie sich schneller die Regeln der Addition und Multiplikation. Tatsächlich kann der Ausdruck 5 - 2 anders geschrieben werden:

    Bei der Multiplikation gelten ähnliche Regeln wie bei der Addition: Das Produkt ändert sich durch eine Neuordnung der Faktoren nicht:

    Beim Lösen komplexer Probleme ist die erste Aktion diejenige, die in Klammern hervorgehoben ist, dann Division oder Multiplikation, dann alle anderen Aktionen der Reihe nach.
    Wenn Sie Beispiele ohne Klammern lösen müssen, wird zuerst eine Multiplikation oder Division durchgeführt, dann eine Subtraktion oder Addition.

    Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

    Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen gelten mehrere Regeln. In dieser Lektion werden wir uns jeden einzelnen davon ansehen.

    Achten Sie beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen auf die Vorzeichen der Zahlen. Es wird von ihnen abhängen, welche Regel anzuwenden ist. Sie müssen auch einige Gesetze der Multiplikation und Division lernen. Das Erlernen dieser Regeln wird Ihnen helfen, in Zukunft einige peinliche Fehler zu vermeiden.

    Gesetze der Multiplikation

    Einige der Gesetze der Mathematik haben wir in der Lektion „Gesetze der Mathematik“ betrachtet. Aber wir haben nicht alle Gesetze berücksichtigt. In der Mathematik gibt es viele Gesetze, und es wäre klüger, sie nach Bedarf der Reihe nach zu studieren.

    Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Multiplikation besteht. Die Multiplikation besteht aus drei Parametern: multiplizieren, Multiplikator Und funktioniert. Im Ausdruck 3 × 2 = 6 ist beispielsweise die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt.

    Multiplikand zeigt, was wir genau steigern. In unserem Beispiel erhöhen wir die Zahl 3.

    Faktor Zeigt an, wie oft Sie den Multiplikanden erhöhen müssen. In unserem Beispiel ist der Multiplikator die Zahl 2. Dieser Multiplikator zeigt, wie oft Sie den Multiplikator 3 erhöhen müssen. Das heißt, während der Multiplikationsoperation wird die Zahl 3 verdoppelt.

    Arbeiten Dies ist tatsächlich das Ergebnis der Multiplikationsoperation. In unserem Beispiel ist das Produkt die Zahl 6. Dieses Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von 3 mit 2.

    Der Ausdruck 3 × 2 kann auch als Summe zweier Tripel verstanden werden. Der Multiplikator 2 zeigt in diesem Fall an, wie oft Sie die Zahl 3 nehmen müssen:

    Nimmt man also zweimal hintereinander die Zahl 3, erhält man die Zahl 6.

    Kommutatives Gesetz der Multiplikation

    Der Multiplikator und der Multiplikator werden als ein gemeinsames Wort bezeichnet - Faktoren. Das Kommutativgesetz der Multiplikation sieht folgendermaßen aus:

    Durch die Permutation der Stellen der Faktoren ändert sich das Produkt nicht.

    Lassen Sie uns prüfen, ob dies der Fall ist. Multiplizieren Sie zum Beispiel 3 mit 5. Dabei sind 3 und 5 Faktoren.

    Lassen Sie uns nun die Faktoren vertauschen:

    In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 15, was bedeutet, dass wir zwischen den Ausdrücken 3 × 5 und 5 × 3 ein Gleichheitszeichen setzen können, da sie den gleichen Wert haben:

    Und mit Hilfe von Variablen lässt sich das kommutative Gesetz der Multiplikation wie folgt schreiben:

    Wo A Und B- Faktoren

    Assoziatives Multiplikationsgesetz

    Dieses Gesetz besagt, dass das Produkt nicht von der Reihenfolge der Operationen abhängt, wenn ein Ausdruck aus mehreren Faktoren besteht.

    Beispielsweise besteht der Ausdruck 3 × 2 × 4 aus mehreren Faktoren. Um es zu berechnen, können Sie 3 und 2 multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 4 multiplizieren. Es wird so aussehen:

    3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

    Dies war die erste Lösung. Die zweite Möglichkeit besteht darin, 2 und 4 zu multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 3 zu multiplizieren. Das sieht dann so aus:

    3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

    In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 24. Daher können wir zwischen den Ausdrücken (3 × 2) × 4 und 3 × (2 × 4) ein Gleichheitszeichen setzen, da sie den gleichen Wert haben:

    (3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

    und mit Hilfe von Variablen lässt sich das assoziative Multiplikationsgesetz wie folgt schreiben:

    a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

    wo statt a, b, C kann eine beliebige Zahl sein.

    Verteilungsgesetz der Multiplikation

    Das Verteilungsgesetz der Multiplikation ermöglicht es Ihnen, eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren. Dazu wird jedes Glied dieser Summe mit dieser Zahl multipliziert und anschließend werden die Ergebnisse addiert.

    Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 ermitteln

    Der Ausdruck in Klammern ist die Summe. Dieser Betrag muss mit der Zahl 5 multipliziert werden. Dazu muss jedes Glied dieser Summe, also die Zahlen 2 und 3, mit der Zahl 5 multipliziert werden und dann die Ergebnisse addiert werden:

    (2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

    Der Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 ist also 25 .

    Mit Hilfe von Variablen lässt sich das Verteilungsgesetz der Multiplikation wie folgt schreiben:

    (a + b) × c = a × c + b × c

    wo statt a, b, c kann eine beliebige Zahl sein.

    Das Gesetz der Multiplikation mit Null

    Dieses Gesetz besagt, dass das Ergebnis Null ist, wenn es in einer Multiplikation mindestens eine Null gibt.

    Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

    Beispielsweise ist der Ausdruck 0 × 2 Null

    In diesem Fall ist die Zahl 2 ein Multiplikator und zeigt an, wie oft Sie den Multiplikanden erhöhen müssen. Das heißt, wie oft Null erhöht werden soll. Wörtlich wird dieser Ausdruck als „Null zweimal erhöhen“ gelesen. Aber wie kann man die Null verdoppeln, wenn sie Null ist?

    Mit anderen Worten: Wenn „nichts“ verdoppelt oder sogar millionenfach wird, bleibt es immer noch „nichts“.

    Und wenn wir im Ausdruck 0 × 2 die Faktoren vertauschen, erhalten wir wieder Null. Das wissen wir aus dem vorherigen Verschiebungsgesetz:

    Beispiele für die Anwendung des Gesetzes der Multiplikation mit Null:

    2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

    In den letzten beiden Beispielen gibt es mehrere Faktoren. Als wir darin eine Null sahen, setzten wir sofort eine Null in die Antwort ein und wendeten dabei das Gesetz der Multiplikation mit Null an.

    Wir haben die Grundgesetze der Multiplikation betrachtet. Betrachten Sie als nächstes die Multiplikation ganzer Zahlen.

    Ganzzahlige Multiplikation

    Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks −5 × 2

    Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. −5 ist negativ und 2 ist positiv. Für solche Fälle sollte die folgende Regel angewendet werden:

    Um Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und vor der erhaltenen Antwort ein Minuszeichen setzen.

    −5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

    Normalerweise kürzer geschrieben: −5 × 2 = −10

    Jede Multiplikation kann als Summe von Zahlen dargestellt werden. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 2 × 3. Er entspricht 6.

    Der Multiplikator in diesem Ausdruck ist die Zahl 3. Dieser Multiplikator zeigt, wie oft Sie die beiden erhöhen müssen. Der Ausdruck 2 × 3 kann aber auch als Summe dreier Zweier verstanden werden:

    Das Gleiche passiert mit dem Ausdruck −5 × 2. Dieser Ausdruck kann als Summe dargestellt werden

    Und der Ausdruck (-5) + (-5) ist gleich -10, und das wissen wir aus der letzten Lektion. Dies ist die Addition negativer Zahlen. Denken Sie daran, dass das Ergebnis der Addition negativer Zahlen eine negative Zahl ist.

    Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 12 × (−5)

    Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−5) ist negativ. Auch hier wenden wir die vorherige Regel an. Wir multiplizieren die Zahlenmodule und setzen vor der erhaltenen Antwort ein Minus:

    12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

    Normalerweise kürzer geschrieben: 12 × (−5) = −60

    Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2

    Dieser Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Multiplizieren Sie zuerst 10 und (−4) und dann die resultierende Zahl mit 2. Wenden Sie dabei die zuvor untersuchten Regeln an:

    10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

    Zweite Aktion:

    −40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

    Der Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2 beträgt also −80

    Normalerweise kürzer geschrieben: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80

    Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−4) × (−2)

    Dies ist die Multiplikation negativer Zahlen. In solchen Fällen sollte folgende Regel gelten:

    Um negative Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und vor der erhaltenen Antwort ein Pluszeichen setzen.

    (−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

    Außerdem schreiben wir traditionell nicht auf, also schreiben wir einfach die Antwort 8 auf.

    Normalerweise kürzer geschrieben (−4) × (−2) = 8

    Es stellt sich die Frage, warum bei der Multiplikation negativer Zahlen plötzlich eine positive Zahl herauskommt. Versuchen wir zu beweisen, dass (−4) × (−2) gleich 8 ist und nichts anderes.

    Zuerst schreiben wir den folgenden Ausdruck:

    Setzen wir es in Klammern:

    Fügen wir zu diesem Ausdruck unseren Ausdruck (−4) × (−2) hinzu. Setzen wir es auch in Klammern:

    Wir setzen das alles mit Null gleich:

    (4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

    Jetzt beginnt der Spaß. Die Quintessenz ist, dass wir die linke Seite dieses Ausdrucks berechnen müssen und als Ergebnis 0 erhalten.

    Das erste Produkt (4 × (−2)) ist also −8. Schreiben wir in unserem Ausdruck die Zahl −8 anstelle des Produkts (4 × (−2))

    Anstelle des zweiten Produkts setzen wir nun vorübergehend Auslassungspunkte

    Schauen wir uns nun den Ausdruck −8 + […] = 0 genau an. Welche Zahl sollte anstelle der Auslassungspunkte verwendet werden, damit Gleichheit eingehalten wird? Die Antwort liegt auf der Hand. Anstelle der Auslassungspunkte sollte eine positive Zahl 8 stehen und keine andere. Nur so kann die Gleichberechtigung gewahrt bleiben. Weil −8 + 8 gleich 0 ist.

    Wir kehren zum Ausdruck −8 + ((−4) × (−2)) = 0 zurück und schreiben anstelle des Produkts ((−4) × (−2)) die Zahl 8

    Beispiel 5 Finden Sie den Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4)

    Wir wenden das Verteilungsgesetz der Multiplikation an, das heißt, wir multiplizieren die Zahl −2 mit jedem Term der Summe (6 + 4).

    −2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)

    Lassen Sie uns nun die Ausdrücke in Klammern auswerten. Dann addieren wir die Ergebnisse. Wenden Sie nebenbei die zuvor erlernten Regeln an. Der Eintrag mit Modulen kann weggelassen werden, um den Ausdruck nicht zu überladen

    −2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12

    −2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

    Dritte Aktion:

    Der Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4) beträgt also −20

    Normalerweise kürzer geschrieben: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

    Beispiel 6 Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4)

    Der Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Zuerst multiplizieren wir die Zahlen -2 und -3 und das resultierende Produkt wird mit der verbleibenden Zahl -4 multipliziert. Den Eintrag mit Modulen überspringen wir, um den Ausdruck nicht zu überladen

    Der Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4) beträgt also −24

    Normalerweise kürzer geschrieben: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

    Divisionsgesetze

    Bevor man ganze Zahlen dividiert, ist es notwendig, zwei Divisionsgesetze zu studieren.

    Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Division besteht. Die Division besteht aus drei Parametern: teilbar, Teiler Und Privat. Zum Beispiel im Ausdruck 8: 2 = 4, 8 ist der Dividend, 2 ist der Divisor, 4 ist der Quotient.

    Dividende zeigt genau, was wir teilen. In unserem Beispiel dividieren wir die Zahl 8.

    Teiler Zeigt an, in wie viele Teile die Dividende geteilt werden soll. In unserem Beispiel ist der Divisor die Zahl 2. Dieser Divisor zeigt an, durch wie viele Teile der Dividend 8 geteilt werden soll. Das heißt, während der Divisionsoperation wird die Zahl 8 in zwei Teile geteilt.

    Privat ist das tatsächliche Ergebnis der Divisionsoperation. In unserem Beispiel ist der Quotient 4. Dieser Quotient ist das Ergebnis der Division von 8 durch 2.

    Kann nicht durch Null dividieren

    Jede Zahl kann nicht durch Null geteilt werden. Dies liegt daran, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Wenn zum Beispiel 2 × 6 = 12, dann ist 12:6 = 2

    Es ist ersichtlich, dass der zweite Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge geschrieben ist.

    Jetzt machen wir dasselbe für den Ausdruck 5 × 0. Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Der Ausdruck 5 × 0 ist also auch Null

    Wenn wir diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge schreiben, erhalten wir:

    Die Antwort fällt sofort ins Auge: 5, das Ergebnis der Division von Null durch Null. Es ist unmöglich und dumm.

    Ein anderer ähnlicher Ausdruck kann in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden, zum Beispiel 2 × 0 = 0

    Im ersten Fall erhalten wir durch Division von Null durch Null 5 und im zweiten Fall 2. Das heißt, jedes Mal, wenn wir Null durch Null dividieren, können wir unterschiedliche Werte erhalten, und das ist inakzeptabel.

    Die zweite Erklärung ist, dass die Division des Dividenden durch den Divisor bedeutet, eine Zahl zu finden, die, multipliziert mit dem Divisor, den Dividenden ergibt.

    Der Ausdruck 8:2 bedeutet beispielsweise, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, 8 ergibt

    Anstelle der Auslassungspunkte sollte hier eine Zahl stehen, die mit 2 multipliziert die Antwort 8 ergibt. Um diese Zahl zu finden, reicht es aus, diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben:

    Stellen Sie sich nun vor, Sie müssen den Wert des Ausdrucks 5: 0 ermitteln. In diesem Fall ist 5 der Dividend, 0 der Divisor. 5 durch 0 zu dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 5 ergibt

    Anstelle der Auslassungspunkte sollte hier eine Zahl stehen, deren Multiplikation mit 0 die Antwort 5 ergibt. Aber es gibt keine Zahl, die bei Multiplikation mit Null 5 ergibt.

    Der Ausdruck […] × 0 = 5 widerspricht dem Gesetz der Multiplikation mit Null, das besagt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

    Es macht also keinen Sinn, den Ausdruck […] × 0 = 5 in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben und 5 durch 0 zu dividieren. Deshalb heißt es, man könne nicht durch Null dividieren.

    Mit Hilfe von Variablen lässt sich dieses Gesetz wie folgt schreiben:

    Bei B ≠ 0

    Nummer A kann durch eine Zahl geteilt werden B, unter der Vorraussetzung, dass B ungleich Null.

    Privatbesitz

    Dieses Gesetz besagt, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividende und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

    Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 12: 4. Der Wert dieses Ausdrucks ist 3

    Versuchen wir, den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl zu multiplizieren, zum Beispiel mit der Zahl 4. Glaubt man der Quotienteneigenschaft, müssten wir als Antwort wieder die Zahl 3 erhalten

    (12×4) : (4×4)

    (12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

    Versuchen wir nun, nicht zu multiplizieren, sondern den Dividenden und den Divisor durch die Zahl 4 zu dividieren

    (12: 4) : (4: 4)

    (12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3

    Antwort erhalten 3.

    Wir sehen, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

    Division ganzer Zahlen

    Beispiel 1 Finden Sie den Wert von Ausdruck 12: (−2)

    Dies ist die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−2) ist negativ. In solchen Fällen benötigen Sie

    12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

    Normalerweise kürzer als 12 geschrieben: (−2) = −6

    Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks −24: 6

    Dies ist die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. −24 ist negativ, 6 ist positiv. Auch in solchen Fällen gilt: Teilen Sie den Dividendenmodul durch den Divisormodul und setzen Sie ein Minuszeichen vor die erhaltene Antwort.

    −24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

    Wird normalerweise kürzer als -24 geschrieben: 6 = -4

    Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−45): (−5)

    Dies ist die Division negativer Zahlen. In solchen Fällen benötigen Sie Teilen Sie den Dividendenmodul durch den Divisormodul und setzen Sie ein Pluszeichen vor die erhaltene Antwort.

    (−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

    Normalerweise kürzer geschrieben (−45): (−5) = 9

    Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−36): (−4): (−3)

    Wenn der Ausdruck nur Multiplikation oder Division enthält, müssen entsprechend der Reihenfolge der Operationen alle Aktionen von links nach rechts in der Reihenfolge ausgeführt werden, in der sie erscheinen.

    Teilen Sie (−36) durch (−4) und teilen Sie die resultierende Zahl durch (−3)

    Erste Aktion:

    (−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

    9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

    Wird normalerweise kürzer geschrieben (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

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    Schon in der Schule versuchten Lehrer, uns die einfachste Regel einzuprägen: „Jede Zahl multipliziert mit Null ergibt Null!“, - aber dennoch kommt es ständig zu vielen Kontroversen um ihn. Jemand hat die Regel einfach auswendig gelernt und beschäftigt sich nicht mit der Frage „Warum?“. „Hier kann man nicht alles machen, denn in der Schule heißt es ja, Regel ist Regel!“ Jemand kann ein halbes Notizbuch mit Formeln füllen und so diese Regel oder umgekehrt ihre Unlogik beweisen.

    Wer hat am Ende Recht?

    Während dieser Auseinandersetzungen sehen sich beide Menschen mit gegensätzlichen Standpunkten wie einen Widder an und beweisen mit aller Kraft, dass sie Recht haben. Wenn man sie jedoch von der Seite betrachtet, sieht man nicht einen, sondern zwei Widder, die mit ihren Hörnern aneinander lehnen. Der einzige Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass der eine etwas weniger gebildet ist als der andere.

    Meistens versuchen diejenigen, die diese Regel für falsch halten, auf folgende Weise nach Logik zu rufen:

    Ich habe zwei Äpfel auf meinem Tisch. Wenn ich null Äpfel darauf lege, also keinen einzigen, dann verschwinden meine beiden Äpfel nicht davon! Die Regel ist unlogisch!

    Tatsächlich werden Äpfel nirgendwo verschwinden, aber nicht, weil die Regel unlogisch ist, sondern weil hier eine etwas andere Gleichung verwendet wird: 2 + 0 = 2. Wir werden eine solche Schlussfolgerung also sofort verwerfen – sie ist unlogisch, obwohl sie das hat entgegengesetztes Ziel - zur Logik aufrufen.

    Was ist Multiplikation?

    Die ursprüngliche Multiplikationsregel wurde nur für natürliche Zahlen definiert: Multiplikation ist eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Malen zu sich selbst addiert wird, was die Natürlichkeit der Zahl impliziert. Somit kann jede Zahl mit Multiplikation auf diese Gleichung reduziert werden:

    1. 25x3=75
    2. 25 + 25 + 25 = 75
    3. 25x3 = 25 + 25 + 25

    Aus dieser Gleichung folgt die Schlussfolgerung: dass die Multiplikation eine vereinfachte Addition ist.

    Was ist Null

    Jeder Mensch weiß aus seiner Kindheit: Null ist Leere. Obwohl diese Leere eine Bezeichnung hat, trägt sie überhaupt nichts. Wissenschaftler des alten Ostens dachten anders – sie gingen philosophisch an das Thema heran, zogen einige Parallelen zwischen Leere und Unendlichkeit und sahen in dieser Zahl eine tiefe Bedeutung. Schließlich multipliziert die Null, die den Wert der Leere hat und neben einer natürlichen Zahl steht, diese zehnmal. Daher die ganze Kontroverse über die Multiplikation – diese Zahl weist so viele Inkonsistenzen auf, dass es schwierig wird, nicht verwirrt zu werden. Darüber hinaus wird die Null ständig verwendet, um leere Ziffern in Dezimalbrüchen zu ermitteln, und zwar sowohl vor als auch nach dem Dezimalpunkt.

    Ist es möglich, mit Leere zu multiplizieren?

    Es ist möglich, mit Null zu multiplizieren, aber es ist nutzlos, denn was auch immer man sagen mag, aber selbst wenn man negative Zahlen multipliziert, erhält man immer noch Null. Es genügt, sich an diese einfachste Regel zu erinnern und diese Frage nie wieder zu stellen. Tatsächlich ist alles einfacher, als es auf den ersten Blick scheint. Es gibt keine verborgenen Bedeutungen und Geheimnisse, wie alte Wissenschaftler glaubten. Die logischste Erklärung wird weiter unten gegeben, dass diese Multiplikation nutzlos ist, denn wenn man eine Zahl damit multipliziert, erhält man immer noch dasselbe – Null.

    Zurück zum Anfang: Der Streit um zwei Äpfel, 2 mal 0 sieht so aus:

    • Wenn Sie fünfmal zwei Äpfel essen, dann haben Sie 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 Äpfel gegessen
    • Wenn man zwei davon dreimal isst, dann isst man 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 Äpfel
    • Wenn Sie zwei Äpfel null Mal essen, wird nichts gegessen - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

    Denn wenn man null Mal einen Apfel isst, heißt das, dass man keinen einzigen Apfel isst. Dies wird selbst dem kleinsten Kind klar sein. Ob es Ihnen gefällt oder nicht, es wird 0 herauskommen, zwei oder drei können durch absolut jede Zahl ersetzt werden und es wird absolut das Gleiche herauskommen. Und um es einfach auszudrücken: Null ist nichts und wenn du es hast es gibt nichts, dann ist es egal, wie viel man multipliziert – es ist alles das Gleiche wird Null sein. Es gibt keine Magie und aus nichts entsteht ein Apfel, selbst wenn man 0 mit einer Million multipliziert. Dies ist die einfachste, verständlichste und logischste Erklärung der Multiplikationsregel mit Null. Für eine Person, die weit von allen Formeln und Mathematik entfernt ist, wird eine solche Erklärung ausreichen, damit sich die Dissonanz im Kopf auflöst und alles seinen Platz findet.

    Aufteilung

    Aus all dem folgt eine weitere wichtige Regel:

    Man kann nicht durch Null dividieren!

    Auch diese Regel wurde uns seit unserer Kindheit hartnäckig in den Kopf eingehämmert. Wir wissen einfach, dass es unmöglich ist, und das ist alles, ohne unseren Kopf mit unnötigen Informationen vollzustopfen. Wenn Ihnen plötzlich die Frage gestellt wird, warum es verboten ist, durch Null zu dividieren, ist die Mehrheit verwirrt und kann die einfachste Frage aus dem Lehrplan nicht klar beantworten, da es nicht so viele Streitigkeiten und Widersprüche gibt um diese Regel herum.

    Jeder hat die Regel einfach auswendig gelernt und dividiert nicht durch Null, ohne zu ahnen, dass die Antwort an der Oberfläche liegt. Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion sind ungleich, nur Multiplikation und Addition sind voll davon, und alle anderen Manipulationen mit Zahlen basieren auf ihnen. Das heißt, der Eintrag 10: 2 ist eine Abkürzung der Gleichung 2 * x = 10. Daher ist der Eintrag 10: 0 die gleiche Abkürzung von 0 * x = 10. Es stellt sich heraus, dass die Division durch Null eine Aufgabe ist, die es zu finden gilt Wenn man eine Zahl mit 0 multipliziert, erhält man 10. Und wir haben bereits herausgefunden, dass eine solche Zahl nicht existiert, was bedeutet, dass diese Gleichung keine Lösung hat und von vornherein falsch sein wird.

    Lass mich dir sagen

    Nicht durch 0 dividieren!

    Schneiden Sie 1 nach Belieben entlang,

    Nur nicht durch 0 dividieren!

    Präsentation für den Unterricht

    Präsentation herunterladen (489,5 kB)

    1. Führen Sie Sonderfälle der Multiplikation mit 0 und 1 ein.
    2. Die Bedeutung der Multiplikation und die kommutative Eigenschaft der Multiplikation festigen, Rechenfähigkeiten entwickeln.
    3. Entwickeln Sie Aufmerksamkeit, Gedächtnis, geistige Fähigkeiten, Sprache, Kreativität und Interesse an Mathematik.

    Ausrüstung: Folienpräsentation: Anhang1.

    1. Organisatorischer Moment.

    Heute ist ein ungewöhnlicher Tag für uns. Es sind Gäste im Unterricht. Erfreuen Sie mich, Freunde, Gäste mit Ihren Erfolgen. Öffnen Sie Notizbücher, notieren Sie die Nummer, Klassenarbeit. Markieren Sie am Rand Ihre Stimmung zu Beginn der Lektion. Folie 2.

    Verbal wiederholt die ganze Klasse das Einmaleins auf den Karten und spricht dabei laut (Kinder markieren falsche Antworten mit Klatschen).

    Fizkultminutka („Gehirngymnastik“, „Hut zum Nachdenken“, zum Atmen).

    2. Formulierung der Lernaufgabe.

    2.1. Aufgaben zur Entwicklung der Aufmerksamkeit.

    Auf der Tafel und auf dem Tisch haben die Kinder ein zweifarbiges Bild mit Zahlen:

    – Was ist an den geschriebenen Zahlen interessant? (In verschiedenen Farben geschrieben; alle „roten“ Zahlen sind gerade und „blaue“ Zahlen sind ungerade.)
    Was ist die zusätzliche Zahl? (10 ist rund und der Rest ist es nicht; 10 ist zweistellig und der Rest ist einstellig; 5 wird zweimal wiederholt und der Rest ist eine nach der anderen.)
    - Ich werde die Nummer 10 schließen. Gibt es unter den anderen Nummern ein Extra? (3 – er hat kein Paar unter 10, die anderen jedoch schon.)
    – Finden Sie die Summe aller „roten“ Zahlen und tragen Sie sie in das rote Quadrat ein. (30.)
    – Finden Sie die Summe aller „blauen“ Zahlen und schreiben Sie sie in das blaue Quadrat. (23.)
    Wie viel mehr sind 30 als 23? (Am 7.)
    Wie viel ist 23 weniger als 30? (Auch um 7.)
    Nach welcher Aktion haben Sie gesucht? (Subtraktion.) Folie 3.

    2.2. Aufgaben zur Entwicklung von Gedächtnis und Sprache. Wissensaktualisierung.

    a) - Wiederholen Sie der Reihe nach die Wörter, die ich nennen werde: Term, Term, Summe, reduziert, subtrahiert, Differenz. (Kinder versuchen, die Wortreihenfolge wiederzugeben.)
    Welche Handlungskomponenten wurden benannt? (Addition und Subtraktion.)
    Welche Aktion kennen Sie? (Multiplikation, Division.)
    - Benennen Sie die Komponenten der Multiplikation. (Multiplikator, Multiplikator, Produkt.)
    Was bedeutet der erste Multiplikator? (Gleiche Terme in der Summe.)
    Was bedeutet der zweite Multiplikator? (Die Anzahl solcher Begriffe.)

    Schreiben Sie die Definition der Multiplikation auf.

    b) Schauen Sie sich die Notizen an. Welche Aufgabe werden Sie übernehmen?

    12 + 12 + 12 + 12 + 12
    33 + 33 + 33 + 33
    a + a + a

    (Ersetzen Sie die Summe durch das Produkt.)

    Was wird passieren? (Der erste Ausdruck hat 5 Terme, von denen jeder gleich 12 ist, also ist er gleich 12 5. Ebenso - 33 4 und 3)

    c) Benennen Sie die umgekehrte Operation. (Ersetzen Sie das Produkt durch die Summe.)

    – Ersetzen Sie das Produkt durch die Summe in den Ausdrücken: 99 2, 8 4. B 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). Folie 4.

    d) Gleichungen werden an die Tafel geschrieben:

    81 + 81 = 81 – 2
    21 3 = 21 + 22 + 23
    44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
    17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

    Bilder werden neben jeder Gleichheit platziert.

    Die Tiere der Waldschule waren auf einer Mission. Haben sie es richtig gemacht?

    Die Kinder stellen fest, dass der Elefant, der Tiger, der Hase und das Eichhörnchen einen Fehler gemacht haben, und erklären, was ihre Fehler sind. Folie 5.

    e) Vergleichen Sie die Ausdrücke:

    8 5. 5 8
    5 6. 3 6
    34 9… 31 2
    a 3. a 2 + a

    (8 5 \u003d 5 8, da sich die Summe durch die Neuordnung der Terme nicht ändert;
    5 6 > 3 6, da es links und rechts jeweils 6 Terme gibt, die Terme links aber größer sind;
    34 9 > 31 2. da links mehr Begriffe stehen und die Begriffe selbst größer sind;
    a 3 \u003d a 2 + a, da es links und rechts 3 Terme gibt, gleich a.)

    Welche Multiplikationseigenschaft wurde im ersten Beispiel verwendet? (Verschiebung.) Folie 6.

    2.3. Formulierung des Problems. Ziele setzen.

    Sind Gleichheiten wahr? Warum? (Richtig, da die Summe 5 + 5 + 5 = 15 ist. Dann wird die Summe zu einem weiteren Term 5 und die Summe erhöht sich um 5.)

    5 3 = 15
    5 4 = 20
    5 5 = 25
    5 6 = 30

    – Setzen Sie dieses Muster nach rechts fort. (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
    - Setzen Sie diesen nun nach links fort. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
    - Was bedeutet der Ausdruck 5 1? 50? (? Problem!)

    Allerdings ergeben die Ausdrücke 5 1 und 5 0 keinen Sinn. Wir können uns darauf einigen, diese Gleichheiten als wahr zu betrachten. Dazu müssen wir aber prüfen, ob wir die kommutative Eigenschaft der Multiplikation verletzen.

    Der Zweck unserer Lektion ist also Bestimmen Sie, ob wir die Gleichungen zählen können 5 1 = 5 und 5 0 = 0 richtig?

    Unterrichtsproblem! Folie 7.

    3. „Entdeckung“ neuen Wissens durch Kinder.

    a) - Befolgen Sie die Schritte: 1 7, 1 4, 1 5.

    Kinder lösen Beispiele mit Kommentaren in einem Notizbuch und an der Tafel:

    1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
    1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
    1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

    - Machen Sie eine Schlussfolgerung: 1 a -? (1 a = a.) Karte wird freigelegt: 1 a = a

    b) - Sind die Ausdrücke 7 1, 4 1, 5 1 sinnvoll? Warum? (Nein, da die Summe keinen Term haben kann.)

    – Was sollten sie sein, um die kommutative Eigenschaft der Multiplikation nicht zu verletzen? (7 1 muss auch gleich 7 sein, also 7 1 = 7.)

    4 1 = 4; 5 1 = 5.

    - Machen Sie eine Schlussfolgerung: a 1 =? (a 1 = a.)

    Die Karte wird aufgedeckt: a 1 = a. Die erste Karte wird der zweiten überlagert: a 1 = 1 a = a.

    - Stimmt unsere Schlussfolgerung mit dem überein, was wir auf dem numerischen Balken erhalten haben? (Ja.)
    – Übersetzen Sie diese Gleichheit ins Russische. (Wenn Sie eine Zahl mit 1 oder 1 mit einer Zahl multiplizieren, erhalten Sie dieselbe Zahl.)
    - Gut gemacht! Wir betrachten also: a 1 \u003d 1 a \u003d a. Folie 8.

    2) Der Fall der Multiplikation mit 0 wird ähnlich untersucht. Fazit:

    - Wenn eine Zahl mit 0 oder 0 mit einer Zahl multipliziert wird, erhält man Null: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. Folie 9.
    - Vergleichen Sie beide Gleichheiten: Woran erinnern Sie 0 und 1?

    Kinder äußern ihre Meinung. Sie können sie auf die Bilder aufmerksam machen:

    1 – „Spiegel“, 0 – „schreckliches Biest“ oder „Unsichtbarkeitskappe“.

    Gut gemacht! Die Multiplikation mit 1 ergibt also dieselbe Zahl. (1 - „Spiegel“), und wenn wir mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0 ( 0 – „Unsichtbarkeitsobergrenze“).

    4. Sportunterricht (für die Augen – „Kreis“, „oben – unten“, für die Hände – „Schloss“, „Nocken“).

    5. Primäre Befestigung.

    Beispiele stehen an der Tafel:

    Kinder lösen sie in einem Notizbuch und an einer Tafel mit lauter Aussprache der erhaltenen Regeln, zum Beispiel:

    3 1 = 3, da man beim Multiplizieren einer Zahl mit 1 dieselbe Zahl erhält (1 ist ein „Spiegel“) usw.

    a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.

    - Als man 145 mit einer unbekannten Zahl multiplizierte, ergab sich 145. Also multiplizierten sie mit 1 x = 1. usw.

    - Die Multiplikation von 8 mit einer unbekannten Zahl ergab 0. Also multipliziert mit 0 x = 0. Und so weiter.

    6. Selbstständiges Arbeiten mit Klassencheck. Folie 10.

    Kinder lösen aufgezeichnete Beispiele selbstständig. Dann fertig

    Überprüfen Sie Ihre Antworten anhand der Aussprache in lauter Rede, markieren Sie richtig gelöste Beispiele mit einem Plus und korrigieren Sie gemachte Fehler. Diejenigen, die Fehler gemacht haben, erhalten eine ähnliche Aufgabe auf einer Karte und bearbeiten diese einzeln, während die Klasse Wiederholungsaufgaben löst.

    7. Aufgaben zur Wiederholung. (Partnerarbeit). Folie 11.

    a) - Möchten Sie wissen, was Sie in Zukunft erwartet? Das können Sie herausfinden, indem Sie den Eintrag entschlüsseln:

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Multiplikation mit 1 und 0-Regel

    Nach der allgemein anerkannten Definition ist null ist die Zahl, die positive Zahlen von negativen Zahlen auf der Zahlengeraden trennt. Null- Dies ist die problematischste Stelle in der Mathematik, die weder der Logik noch allen mathematischen Operationen gehorcht null basierend nicht auf Logik, sondern auf allgemein anerkannten Definitionen.

    Das erste Beispiel für problematisch null sind natürliche Zahlen. in russischen Schulen null ist keine natürliche Zahl, in anderen Schulen ist Null eine natürliche Zahl. Da es sich bei dem Konzept der „natürlichen Zahlen“ um eine künstliche Trennung einiger Zahlen von allen anderen Zahlen nach bestimmten Kriterien handelt, kann es keinen mathematischen Beweis für die Natürlichkeit oder Nichtnatürlichkeit der Null geben. Null gilt in Bezug auf Additions- und Subtraktionsoperationen als neutrales Element.

    Null wird als Ganzzahl ohne Vorzeichen betrachtet. Auch null gilt als gerade Zahl, denn wenn man Null durch 2 teilt, erhält man eine ganze Zahl null.

    Null ist die erste Ziffer in allen Standardzahlensystemen. In Positionszahlensystemen, zu denen das uns bekannte Dezimalzahlensystem gehört, ist die Ziffer null zeigen beim Schreiben einer Zahl an, dass für dieses Bit kein Wert vorhanden ist. Die Maya-Indianer verwendeten die Null tausend Jahre vor den indischen Mathematikern in ihrem duodezimalen Zahlensystem. Jeder Monat begann am Tag Null im Maya-Kalender. Interessanterweise das gleiche Zeichen null Maya-Mathematiker bezeichneten auch die Unendlichkeit – das zweite Problem der modernen Mathematik.

    Wort " null„Klingt auf Arabisch wie „syfr“. Vom arabischen Wort null(syfr) Das Wort „Nummer“ kam vor.

    Wie buchstabiert man - null oder null? Die Wörter Null und Null haben die gleiche Bedeutung, unterscheiden sich jedoch in der Verwendung. Allgemein, null wird in der Alltagssprache und in einer Reihe stabiler Kombinationen verwendet, null- in der Terminologie, in der wissenschaftlichen Rede. Beide Schreibweisen dieses Wortes sind korrekt. Zum Beispiel: Durch Null teilen. Null Ganzes. Null Aufmerksamkeit. Null ohne Zauberstab. Absoluter Nullpunkt. Null Komma fünf.

    In der Grammatik werden Wörter von Wörtern abgeleitet null Und null werden wie folgt geschrieben: Null oder Null, Null oder Null, Null oder Null, Null oder weniger gemeinsame Null, Null-Null. Zum Beispiel: Unter Null. Entspricht Null. Auf Null reduzieren. Nullmeridian. Null Kilometerstand. Um zwölf null null.

    Bei mathematischen Operationen mit Null wurden bisher folgende Ergebnisse definiert:

    Zusatz- wenn Sie zu einer beliebigen Zahl hinzufügen null, die Zahl bleibt unverändert; wenn zum null Fügen Sie eine beliebige Zahl hinzu. Das Ergebnis der Addition ist das gleiche wie bei jeder Zahl:

    Subtraktion- wenn Sie von einer beliebigen Zahl subtrahieren null, die Zahl bleibt unverändert; wenn von null Wenn Sie eine beliebige Zahl subtrahieren, ist das Ergebnis dasselbe wie jede Zahl mit dem umgekehrten Vorzeichen:

    Multiplikation- Wenn eine beliebige Zahl mit Null multipliziert wird, ist das Ergebnis Null; Wenn Null mit einer beliebigen Zahl multipliziert wird, ist das Ergebnis null:

    Aufteilung- Division durch null verboten, weil das Ergebnis nicht existiert; Die allgemein akzeptierte Sichtweise des Problems der Division durch Null ist im Werk von Alexander Sergeev dargelegt. Warum kann man nicht durch Null dividieren?» ; Für die Neugierigen wurde ein weiterer Artikel geschrieben, der die Möglichkeit der Division durch Null diskutiert:

    a: 0 = keine Division durch Null, dabei A ungleich Null

    Null durch Null dividieren- Der Ausdruck ergibt keinen Sinn, da er nicht definiert werden kann:

    0: 0 = Ausdruck ergibt keinen Sinn

    Null dividiert durch eine Zahl- Wenn null Wenn man durch eine Zahl dividiert, erhält man immer das Ergebnis null, egal welche Zahl im Nenner steht (eine Ausnahme von dieser Regel ist die Zahl null, siehe oben):

    0:a=0, dabei A ungleich Null

    Null zur Potenz — null in jedem Maße gleich null:

    0 a = 0, dabei A ungleich Null

    Potenzierung- eine beliebige Zahl hoch null gleich eins (Zahl hoch 0):

    a 0 = 1, dabei A ungleich Null

    Null hoch Null- Der Ausdruck ergibt keinen Sinn, da er nicht definiert werden kann (null hoch null, 0 hoch 0):

    0 0 = Ausdruck ergibt keinen Sinn

    Wurzelextraktion ist eine beliebige Gradwurzel von null gleicht null:

    0 1/a = 0, dabei A ungleich Null

    Fakultät- Fakultät von Null oder Null-Fakultät ist gleich eins:

    Ziffernverteilung- bei der Berechnung der Zahlenverteilung null als unbedeutende Zahl angesehen. Änderung des Ansatzes in den Regeln zum Zählen der Ziffernverteilung wann null Wenn Sie die Ziffer als SIGNIFIKANT betrachten, erhalten Sie genauere Ergebnisse zur Verteilung der Ziffern in allen Standardzahlensystemen, einschließlich des binären Zahlensystems.

    Wen interessiert die Frage? null Ich schlage vor, den Artikel „The History of Zero“ von J. J. O'Connor und E. F. Robertson zu lesen, übersetzt von I. Yu. Osmolovsky.

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    So multiplizieren Sie mit 0,1

    Lassen Sie uns die Regel analysieren und uns Beispiele ansehen, wie man eine beliebige Zahl mit 0,1 multipliziert.

    Daher kann die Multiplikation einer Zahl mit 0,1 durch eine Division durch 10 ersetzt werden. Allgemein ausgedrückt kann dies wie folgt geschrieben werden:

    Hier kommt die Regel ins Spiel.

    0,1 Multiplikationsregel

    Um eine Zahl mit 0,1 zu multiplizieren, müssen Sie das Komma im Eintrag dieser Zahl um eine Ziffer nach links verschieben.

    Wenn Sie eine natürliche Zahl schreiben, schreiben Sie am Ende kein Komma:

    Eine natürliche Zahl mit 0,1 zu multiplizieren bedeutet, dieses Komma um ein Zeichen nach links zu verschieben:

    Wenn die letzte Ziffer im Datensatz einer natürlichen Zahl Null ist, erhalten wir durch Multiplikation dieser Zahl mit 0,1 eine natürliche Zahl (da die Null nach dem Dezimalpunkt am Ende der Zahl nicht geschrieben wird):

    Um einen gewöhnlichen Bruch mit 0,1 zu multiplizieren, müssen beide Brüche auf die gleiche Form reduziert werden – entweder wird der gewöhnliche Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt, oder die Dezimalzahl wird in eine gewöhnliche umgewandelt.

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    Regel zum Multiplizieren einer beliebigen Zahl mit Null

    Schon in der Schule versuchten Lehrer, uns die einfachste Regel einzuprägen: „Jede Zahl multipliziert mit Null ergibt Null!“, - aber dennoch kommt es ständig zu vielen Kontroversen um ihn. Jemand hat die Regel einfach auswendig gelernt und beschäftigt sich nicht mit der Frage „Warum?“. „Hier kann man nicht alles machen, denn in der Schule heißt es ja, Regel ist Regel!“ Jemand kann ein halbes Notizbuch mit Formeln füllen und so diese Regel oder umgekehrt ihre Unlogik beweisen.

    Wer hat am Ende Recht?

    Während dieser Auseinandersetzungen sehen sich beide Menschen mit gegensätzlichen Standpunkten wie einen Widder an und beweisen mit aller Kraft, dass sie Recht haben. Wenn man sie jedoch von der Seite betrachtet, sieht man nicht einen, sondern zwei Widder, die mit ihren Hörnern aneinander lehnen. Der einzige Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass der eine etwas weniger gebildet ist als der andere.

    Das ist interessant: Bitbegriffe – was ist das?

    Meistens versuchen diejenigen, die diese Regel für falsch halten, auf folgende Weise nach Logik zu rufen:

    Ich habe zwei Äpfel auf meinem Tisch. Wenn ich null Äpfel darauf lege, also keinen einzigen, dann verschwinden meine beiden Äpfel nicht davon! Die Regel ist unlogisch!

    Tatsächlich werden Äpfel nirgendwo verschwinden, aber nicht, weil die Regel unlogisch ist, sondern weil hier eine etwas andere Gleichung verwendet wird: 2 + 0 = 2. Wir werden eine solche Schlussfolgerung also sofort verwerfen – sie ist unlogisch, obwohl sie das hat entgegengesetztes Ziel - zur Logik aufrufen.

    Das ist interessant: Wie findet man den Zahlenunterschied in der Mathematik?

    Was ist Multiplikation?

    Die ursprüngliche Multiplikationsregel wurde nur für natürliche Zahlen definiert: Multiplikation ist eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Malen zu sich selbst addiert wird, was die Natürlichkeit der Zahl impliziert. Somit kann jede Zahl mit Multiplikation auf diese Gleichung reduziert werden:

    1. 25x3=75
    2. 25 + 25 + 25 = 75
    3. 25x3 = 25 + 25 + 25

    Aus dieser Gleichung folgt die Schlussfolgerung: dass die Multiplikation eine vereinfachte Addition ist.

    Das ist interessant: Was ist eine Kreissehne in Geometrie, Definition und Eigenschaften?

    Was ist Null

    Jeder Mensch weiß aus seiner Kindheit: Null ist Leere. Obwohl diese Leere eine Bezeichnung hat, trägt sie überhaupt nichts. Wissenschaftler des alten Ostens dachten anders – sie gingen philosophisch an das Thema heran, zogen einige Parallelen zwischen Leere und Unendlichkeit und sahen in dieser Zahl eine tiefe Bedeutung. Schließlich multipliziert die Null, die den Wert der Leere hat und neben einer natürlichen Zahl steht, diese zehnmal. Daher die ganze Kontroverse über die Multiplikation – diese Zahl weist so viele Inkonsistenzen auf, dass es schwierig wird, nicht verwirrt zu werden. Darüber hinaus wird die Null ständig verwendet, um leere Ziffern in Dezimalbrüchen zu ermitteln, und zwar sowohl vor als auch nach dem Dezimalpunkt.

    Ist es möglich, mit Leere zu multiplizieren?

    Es ist möglich, mit Null zu multiplizieren, aber es ist nutzlos, denn was auch immer man sagen mag, aber selbst wenn man negative Zahlen multipliziert, erhält man immer noch Null. Es genügt, sich an diese einfachste Regel zu erinnern und diese Frage nie wieder zu stellen. Tatsächlich ist alles einfacher, als es auf den ersten Blick scheint. Es gibt keine verborgenen Bedeutungen und Geheimnisse, wie alte Wissenschaftler glaubten. Die logischste Erklärung wird weiter unten gegeben, dass diese Multiplikation nutzlos ist, denn wenn man eine Zahl damit multipliziert, erhält man immer noch dasselbe – Null.

    Das ist interessant: Was ist der Modul einer Zahl?

    Zurück zum Anfang: Der Streit um zwei Äpfel, 2 mal 0 sieht so aus:

    • Wenn Sie fünfmal zwei Äpfel essen, dann haben Sie 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 Äpfel gegessen
    • Wenn man zwei davon dreimal isst, dann isst man 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 Äpfel
    • Wenn Sie zwei Äpfel null Mal essen, wird nichts gegessen - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

    Denn wenn man null Mal einen Apfel isst, heißt das, dass man keinen einzigen Apfel isst. Dies wird selbst dem kleinsten Kind klar sein. Ob es Ihnen gefällt oder nicht, es wird 0 herauskommen, zwei oder drei können durch absolut jede Zahl ersetzt werden und es wird absolut das Gleiche herauskommen. Und um es einfach auszudrücken: Null ist nichts und wenn du es hast es gibt nichts, dann ist es egal, wie viel man multipliziert – es ist alles das Gleiche wird Null sein. Es gibt keine Magie und aus nichts entsteht ein Apfel, selbst wenn man 0 mit einer Million multipliziert. Dies ist die einfachste, verständlichste und logischste Erklärung der Multiplikationsregel mit Null. Für eine Person, die weit von allen Formeln und Mathematik entfernt ist, wird eine solche Erklärung ausreichen, damit sich die Dissonanz im Kopf auflöst und alles seinen Platz findet.

    Aus all dem folgt eine weitere wichtige Regel:

    Man kann nicht durch Null dividieren!

    Auch diese Regel wurde uns seit unserer Kindheit hartnäckig in den Kopf eingehämmert. Wir wissen einfach, dass es unmöglich ist, und das ist alles, ohne unseren Kopf mit unnötigen Informationen vollzustopfen. Wenn Ihnen plötzlich die Frage gestellt wird, warum es verboten ist, durch Null zu dividieren, ist die Mehrheit verwirrt und kann die einfachste Frage aus dem Lehrplan nicht klar beantworten, da es nicht so viele Streitigkeiten und Widersprüche gibt um diese Regel herum.

    Jeder hat die Regel einfach auswendig gelernt und dividiert nicht durch Null, ohne zu ahnen, dass die Antwort an der Oberfläche liegt. Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion sind ungleich, nur Multiplikation und Addition sind voll davon, und alle anderen Manipulationen mit Zahlen basieren auf ihnen. Das heißt, der Eintrag 10: 2 ist eine Abkürzung der Gleichung 2 * x = 10. Daher ist der Eintrag 10: 0 die gleiche Abkürzung von 0 * x = 10. Es stellt sich heraus, dass die Division durch Null eine Aufgabe ist, die es zu finden gilt Wenn man eine Zahl mit 0 multipliziert, erhält man 10. Und wir haben bereits herausgefunden, dass eine solche Zahl nicht existiert, was bedeutet, dass diese Gleichung keine Lösung hat und von vornherein falsch sein wird.

    Lass mich dir sagen

    Nicht durch 0 dividieren!

    Schneiden Sie 1 nach Belieben entlang,

    Nur nicht durch 0 dividieren!

    obrazovanie.guru

    Multiplikation mit 0 und 1. 2. Klasse

    Präsentation für den Unterricht

    Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und spiegelt möglicherweise nicht den gesamten Umfang der Präsentation wider. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

    Lernziele:

    • Lehrreich:
      • die Fähigkeit zu bilden, Multiplikationen mit Null und Eins durchzuführen;
      • um die Fähigkeit zu entwickeln, mathematische Ausdrücke richtig zu lesen, benennen Sie die Komponenten der Multiplikation;
      • die Fähigkeit zu festigen, das Produkt von Zahlen durch die Summe zu ersetzen und ihren Wert verbal zu berechnen; um die ersten Fähigkeiten für die Arbeit mit dem Test zu entwickeln.
    • Lehrreich:
      • Förderung der Entwicklung der mathematischen Sprache, des Arbeitsgedächtnisses, der freiwilligen Aufmerksamkeit und des visuell-effektiven Denkens.
    • Lehrreich:
      • eine Verhaltenskultur in der Frontalarbeit und Einzelarbeit zu pflegen; Interesse am Thema.

    Unterrichtsart- eine Lektion in der Entdeckung neuen Wissens.

    Die Bildung neuer Fähigkeiten ist nur in der Aktivität möglich, daher wurde bei der Entwicklung des Unterrichts die Technologie der Aktivitätsmethode verwendet. Der Einsatz dieser Technologie ist ein wesentlicher Faktor für die Steigerung der Effizienz der Beherrschung des Fachwissens durch die Studierenden und der Bildung universeller Bildungsmaßnahmen: regulierend, kommunikativ, kognitiv.

    Die entwickelte Lektion hat folgenden Aufbau:

    1. Erwerb primärer Handlungserfahrung und Motivation.
    2. Bildung einer neuen Handlungsmethode (Algorithmus), Herstellung primärer Verknüpfungen mit bestehenden Methoden.
    3. Schulung, Klärung von Zusammenhängen, Selbstkontrolle und Korrektur.
    4. Kontrolle.

    Ausrüstung für den Unterricht:

    • Standard: ein Lehrbuch, eine Tabelle zum Ausfüllen von Testantworten, farbige Papiersterne, Memos für Schüler.
    • Innovativ: Multimediaprojektor, interaktives Whiteboard, Multimediapräsentation „Reise zum Planeten der Multiplikation“

    Der Einsatz multimedialer Komponenten im Unterricht bringt etwas Neues mit sich, macht den Arbeitsprozess anschaulich und hilft dem Lehrer, sich auf das Wesentliche zu konzentrieren. Die Arbeit in jeder Phase des Unterrichts ist als eine Art Dialog zwischen Lehrer und Schüler aufgebaut, bei dem das interaktive Whiteboard als Demonstrator für die Lösung von Fragen dient. Durch den Einsatz im Bildungsprozess kann ein hohes Maß an Wirksamkeit erreicht werden.

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