In diesem Artikel werden wir verstehen, was ist Grad von. Hier geben wir Definitionen des Grades einer Zahl, wobei wir alle möglichen Exponenten des Grades im Detail betrachten, beginnend mit einem natürlichen Exponenten, endend mit einem irrationalen. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Grad mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Kubikzahl einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Vorausschauend nehmen wir an, dass die Definition des Grades von a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, was wir nennen werden Basis des Abschlusses, und n , die wir nennen werden Exponent. Beachten Sie auch, dass der Grad mit einem natürlichen Indikator durch das Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also eine Vorstellung von der Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz der Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n , dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist der Grad einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 = a.

Unmittelbar erwähnenswert sind die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Lesart für den Eintrag a n lautet: „a hoch n“. In einigen Fällen sind auch solche Optionen akzeptabel: "a hoch n-te Potenz" und "n-te Potenz der Zahl a". Nehmen wir zum Beispiel die Potenz von 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölf“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Die zweite Potenz einer Zahl sowie die dritte Potenz einer Zahl haben ihre eigenen Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt das Quadrat einer Zahl, zum Beispiel wird 7 2 als „Sieben zum Quadrat“ oder „Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahl, zum Beispiel kann 5 3 als "fünf Würfel" gelesen werden oder sagen "Würfel der Zahl 5".

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Abschlüsse mit physikalischen Indikatoren. Beginnen wir mit der Potenz von 5 7 , wobei 5 die Basis der Potenz und 7 der Exponent ist. Nehmen wir ein anderes Beispiel: 4,32 ist die Basis, und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis des Grads 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Diskrepanzen zu vermeiden, werden wir alle Basis des Grads, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Abschlüsse mit natürlichen Indikatoren an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, also werden sie in Klammern geschrieben. Nun, zur vollständigen Klarheit zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in den Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist die Potenz von −2 mit dem natürlichen Exponenten 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für den Grad von a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent außerdem in Klammern gesetzt. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind weitere Beispiele für das Schreiben von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Schreibweise des Grades der Form an .

Eines der Probleme, die Umkehrung der Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten, ist das Problem, die Basis des Grades aus einem bekannten Wert des Grades und einem bekannten Exponenten zu finden. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht, und jede Bruchzahl kann als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Wir haben im vorherigen Absatz den Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher die Bedeutung des Grades der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n angeben. wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Machen wir das.

Betrachten Sie einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form . Damit die Eigenschaft Grad in einem Grad gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir definiert haben, berücksichtigen, dann ist es logisch zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass für gegebene m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist.

Ob alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten für as gelten, lässt sich leicht nachprüfen (dies geschieht im Abschnitt über die Eigenschaften eines Grades mit rationalem Exponenten).

Die obige Argumentation erlaubt uns, Folgendes zu machen Fazit: Wenn für gegebenes m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist, dann ist die Potenz der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n die Wurzel vom n-ten Grad von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur zu beschreiben, für welche m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist. Abhängig von den Beschränkungen, die m, n und a auferlegt werden, gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg, a einzuschränken, besteht darin, a≥0 für positives m und a>0 für negatives m anzunehmen (da m≤0 keine Potenz von 0 m hat). Dann erhalten wir die folgende Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit Bruchexponent m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die Wurzel aus dem n-ten der Zahl a hoch m, also .

Der Bruchgrad Null wird ebenfalls definiert, mit der einzigen Einschränkung, dass der Exponent positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht definiert ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, macht keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Nuance gibt: Für einige negative a und einige m und n macht der Ausdruck Sinn, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Zum Beispiel ist es sinnvoll zu schreiben oder , und die obige Definition zwingt uns zu sagen, dass Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind bedeutungslos, da die Basis nicht negativ sein darf.

Ein weiterer Ansatz zur Bestimmung des Grads mit einem gebrochenen Exponenten m / n besteht darin, die geraden und ungeraden Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Der Grad der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Grad der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird unten erklärt). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m macht der Ausdruck Sinn für jedes nicht-negative a (die Wurzel eines geraden Grades aus einer negativen Zahl ergibt keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst gibt es wird eine Division durch Null sein). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a alles sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt Null).

Die obige Überlegung führt uns zu einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren gewöhnlichen Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz von a mit einem irreduziblen Bruchexponenten m/n ist z



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zuerst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt bezüglich der Irreduzibilität des Bruchs m / n machen, dann stoßen wir auf Situationen ähnlich wie die folgenden: da 6/10=3/5, dann die Gleichheit , aber , a .

Eine potenzierte Zahl Rufen Sie eine Zahl an, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.

Potenz einer Zahl mit negativem Wert (ein) kann so definiert werden, wie der Grad derselben Zahl mit positivem Exponenten bestimmt wird (ein) . Allerdings bedarf es auch einer zusätzlichen Definition. Die Formel ist definiert als:

ein = (1 / ein n)

Die Eigenschaften negativer Werte von Zahlenpotenzen ähneln Potenzen mit positivem Exponenten. Dargestellte Gleichung a m / ein n = ein m-n kann fair sein wie

« Nirgendwo, wie in der Mathematik, erlaubt die Klarheit und Genauigkeit der Schlussfolgerung einer Person nicht, von der Antwort wegzukommen, indem sie um die Frage herum spricht.».

A. D. Alexandrow

bei n mehr m , ebenso gut wie m mehr n . Schauen wir uns ein Beispiel an: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Zuerst müssen Sie die Zahl bestimmen, die als Definition des Abschlusses dient. b=a(-n) . In diesem Beispiel -n ist ein Gradmesser b - gewünschter Zahlenwert, a - die Basis des Grades als natürlicher Zahlenwert. Bestimmen Sie dann den Modul, also den absoluten Wert einer negativen Zahl, die als Exponent fungiert. Berechnen Sie den Grad der gegebenen Zahl relativ zur absoluten Zahl als Indikator. Den Wert des Grads erhält man, indem man eins durch die resultierende Zahl dividiert.

Reis. eines

Betrachten Sie die Potenz einer Zahl mit einem negativen Bruchexponenten. Stellen Sie sich vor, die Zahl a sei eine beliebige positive Zahl, die Zahlen n und m - ganze Zahlen. Per Definition a , die zur Potenz erhoben wird - gleich eins dividiert durch dieselbe Zahl mit positivem Grad (Abb. 1). Wenn die Potenz einer Zahl ein Bruch ist, dann werden in solchen Fällen nur Zahlen mit positiven Exponenten verwendet.

Es lohnt sich, sich zu erinnern dass Null niemals ein Exponent einer Zahl sein kann (Teilungsregel durch Null).

Die Verbreitung eines solchen Konzepts als Zahl begann mit Manipulationen wie Messberechnungen sowie der Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft. Die Einführung negativer Werte war auf die Entwicklung der Algebra zurückzuführen, die allgemeine Lösungen für arithmetische Probleme lieferte, unabhängig von ihrer spezifischen Bedeutung und ihren anfänglichen numerischen Daten. In Indien wurden im 6. bis 11. Jahrhundert negative Zahlenwerte systematisch zur Lösung von Problemen verwendet und genauso interpretiert wie heute. In der europäischen Wissenschaft wurden negative Zahlen dank R. Descartes weit verbreitet, der negative Zahlen als Richtungen von Segmenten geometrisch interpretierte. Es war Descartes, der vorschlug, die potenzierte Zahl als zweistöckige Formel darzustellen ein .

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Indem wir mehrere Zahlen (Variablen) mit Potenzen vergleichen, können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem vom Divisor subtrahiert oder in Form eines Bruchs gesetzt wird.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Also $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Der Exponent wird verwendet, um das Schreiben der Operation des Multiplizierens einer Zahl mit sich selbst zu vereinfachen. Anstatt zu schreiben, kannst du zum Beispiel schreiben 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Eine Erläuterung eines solchen Übergangs finden Sie im ersten Abschnitt dieses Artikels). Potenzen erleichtern das Schreiben langer oder komplexer Ausdrücke oder Gleichungen; Außerdem lassen sich Potenzen leicht addieren und subtrahieren, was zu einer Vereinfachung eines Ausdrucks oder einer Gleichung führt (z. B. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notiz: Wenn Sie eine Exponentialgleichung lösen müssen (in einer solchen Gleichung steht die Unbekannte im Exponenten), lesen Sie.

Schritte

Einfache Probleme mit Potenzen lösen

Multipliziere die Basis des Exponenten so oft mit sich selbst, wie der Exponent. Wenn Sie ein Problem mit Exponenten manuell lösen müssen, schreiben Sie den Exponenten als Multiplikationsoperation um, bei der die Basis des Exponenten mit sich selbst multipliziert wird. Zum Beispiel angesichts des Abschlusses 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In diesem Fall muss die Basis von Grad 3 4-mal mit sich selbst multipliziert werden: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Hier sind weitere Beispiele:

Multiplizieren Sie zuerst die ersten beiden Zahlen. Zum Beispiel, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Keine Sorge – der Berechnungsprozess ist nicht so kompliziert, wie es auf den ersten Blick scheint. Multipliziere zuerst die ersten beiden Quadrupel und ersetze sie dann durch das Ergebnis. So:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multiplizieren Sie das Ergebnis (in unserem Beispiel 16) mit der nächsten Zahl. Jedes nachfolgende Ergebnis erhöht sich proportional. Multiplizieren Sie in unserem Beispiel 16 mit 4. So:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Multiplizieren Sie das Ergebnis der Multiplikation der ersten beiden Zahlen mit der nächsten Zahl, bis Sie das endgültige Ergebnis erhalten. Multiplizieren Sie dazu die ersten beiden Zahlen und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit der nächsten Zahl in der Folge. Diese Methode gilt für alle Studiengänge. In unserem Beispiel sollten Sie Folgendes erhalten: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Löse die folgenden Probleme.Überprüfe deine Antwort mit einem Taschenrechner.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Suchen Sie auf dem Taschenrechner nach der Taste mit der Bezeichnung „exp“ oder „ xn (\displaystyle x^(n))“ oder „^“. Mit dieser Taste potenzieren Sie eine Zahl. Es ist fast unmöglich, den Grad mit einem großen Exponenten manuell zu berechnen (z 9 15 (\displaystyle 9^(15))), aber der Taschenrechner kann diese Aufgabe problemlos bewältigen. In Windows 7 kann der Standardrechner in den Engineering-Modus geschaltet werden; Klicken Sie dazu auf "Ansicht" -\u003e "Engineering". Um in den normalen Modus zu wechseln, klicken Sie auf "Ansicht" -\u003e "Normal".

   • Überprüfen Sie die erhaltene Antwort mit einer Suchmaschine (Google oder Yandex). Geben Sie den Ausdruck mit der Taste "^" auf der Computertastatur in die Suchmaschine ein, die sofort die richtige Antwort anzeigt (und möglicherweise ähnliche Ausdrücke zum Lernen vorschlägt).

   Addition, Subtraktion, Multiplikation von Potenzen

   1. Sie können Potenzen nur dann addieren und subtrahieren, wenn sie dieselbe Basis haben. Wenn Sie Potenzen mit denselben Basen und Exponenten addieren müssen, können Sie die Additionsoperation durch eine Multiplikationsoperation ersetzen. Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Denken Sie daran, dass der Grad 4 5 (\displaystyle 4^(5)) darstellen kann als 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); auf diese Weise, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(wobei 1 +1 =2). Das heißt, zähle die Anzahl ähnlicher Grade und multipliziere dann einen solchen Grad und diese Zahl. Potenzieren Sie in unserem Beispiel 4 mit der fünften Potenz und multiplizieren Sie das Ergebnis dann mit 2. Denken Sie daran, dass die Additionsoperation durch eine Multiplikationsoperation ersetzt werden kann, zum Beispiel: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Hier sind weitere Beispiele:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten addiert (die Basis ändert sich nicht). Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In diesem Fall müssen Sie nur die Indikatoren hinzufügen und die Basis unverändert lassen. Auf diese Weise, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Hier ist eine visuelle Erklärung dieser Regel:

      Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Zum Beispiel mit einem Abschluss. Da die Exponenten also multipliziert werden (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Die Bedeutung dieser Regel ist, dass Sie die Leistung multiplizieren (x 2) (\displaystyle (x^(2))) auf sich selbst fünfmal. So:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Da die Basis dieselbe ist, addieren sich die Exponenten einfach: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ein Exponent mit einem negativen Exponenten sollte in einen Bruch umgewandelt werden (inverse Potenz). Es macht nichts, wenn Sie nicht wissen, was ein Kehrwert ist. Wenn Sie beispielsweise einen Abschluss mit negativem Exponenten erhalten, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), schreibe diese Potenz in den Nenner des Bruchs (setze 1 in den Zähler) und mache den Exponenten positiv. In unserem Beispiel: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Hier sind weitere Beispiele:

      Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert (die Basis ändert sich nicht). Die Divisionsoperation ist das Gegenteil der Multiplikationsoperation. Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Subtrahiere den Exponenten im Nenner vom Exponenten im Zähler (verändere die Basis nicht). Auf diese Weise, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Der Grad im Nenner kann wie folgt geschrieben werden: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Denken Sie daran, dass ein Bruch eine Zahl (Potenz, Ausdruck) mit einem negativen Exponenten ist.

   4. Im Folgenden finden Sie einige Ausdrücke, die Ihnen helfen sollen, Energieprobleme zu lösen. Die obigen Ausdrücke decken das in diesem Abschnitt präsentierte Material ab. Um die Antwort zu sehen, markieren Sie einfach das leere Feld nach dem Gleichheitszeichen.

   Lösen von Problemen mit Bruchexponenten

   Ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten (z. B. ) wird in eine Wurzelziehoperation umgewandelt. In unserem Beispiel: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Es spielt keine Rolle, welche Zahl im Nenner des Bruchexponenten steht. Zum Beispiel, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) ist die vierte Wurzel von "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist, dann kann ein solcher Exponent in zwei Potenzen zerlegt werden, um die Lösung des Problems zu vereinfachen. Daran ist nichts Kompliziertes - denken Sie nur an die Regel zum Multiplizieren von Potenzen. Zum Beispiel mit einem Abschluss. Verwandle diesen Exponenten in eine Wurzel, deren Exponent gleich dem Nenner des Bruchexponenten ist, und erhöhe dann diese Wurzel auf den Exponenten, der gleich dem Zähler des Bruchexponenten ist. Denken Sie daran, um dies zu tun 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). In unserem Beispiel:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Einige Taschenrechner haben eine Schaltfläche zum Berechnen von Exponenten (zuerst müssen Sie die Basis eingeben, dann die Schaltfläche drücken und dann den Exponenten eingeben). Es wird als ^ oder x^y bezeichnet.
   3. Denken Sie daran, dass jede Zahl gleich sich selbst zur ersten Potenz ist, zum Beispiel, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Außerdem ist jede Zahl multipliziert oder dividiert mit eins gleich sich selbst, zum Beispiel 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) und 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Wisse, dass der Grad 0 0 nicht existiert (ein solcher Grad hat keine Lösung). Wenn Sie versuchen, einen solchen Abschluss auf einem Taschenrechner oder Computer zu lösen, erhalten Sie eine Fehlermeldung. Aber denken Sie daran, dass jede Zahl hoch Null gleich 1 ist, zum Beispiel, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. In der höheren Mathematik, die mit imaginären Zahlen operiert: e ein ich x = c o s ein x + ich s ich n ein x (\ displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), wo ich = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e eine Konstante ist, die ungefähr gleich 2,7 ist; a ist eine beliebige Konstante. Den Beweis dieser Gleichheit findet man in jedem Lehrbuch der höheren Mathematik.

   Warnungen

   • Wenn der Exponent zunimmt, nimmt sein Wert stark zu. Wenn Ihnen also die Antwort falsch erscheint, kann sie sich tatsächlich als wahr herausstellen. Sie können dies testen, indem Sie eine beliebige Exponentialfunktion zeichnen, z. B. 2 x .

Das Potenzieren mit einer negativen Potenz ist eines der Grundelemente der Mathematik, dem man häufig beim Lösen algebraischer Probleme begegnet. Nachfolgend finden Sie eine detaillierte Anleitung.

Wie man zu einer negativen Potenz erhebt - Theorie

Wenn wir eine Zahl mit der üblichen Potenz nehmen, multiplizieren wir ihren Wert mehrmals. Zum Beispiel 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Bei einem negativen Bruch ist das Gegenteil der Fall. Die allgemeine Form gemäß der Formel lautet wie folgt: a -n = 1/a n . Um also eine Zahl negativ zu potenzieren, müssen Sie die Einheit durch die angegebene Zahl teilen, aber bereits positiv.

Wie man zu einer negativen Potenz erhebt - Beispiele für gewöhnliche Zahlen

Lassen Sie uns unter Berücksichtigung der obigen Regel einige Beispiele lösen.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Antwort: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Die Antwort ist -4 -2 = 1/16.

Aber warum ist die Antwort im ersten und zweiten Beispiel gleich? Tatsache ist, dass wenn eine negative Zahl mit einer geraden Potenz (2, 4, 6 usw.) potenziert wird, das Vorzeichen positiv wird. Wenn der Grad gerade wäre, bleibt das Minus erhalten:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Wie man zu einer negativen Potenz erhebt - Zahlen von 0 bis 1

Denken Sie daran, dass, wenn eine Zahl zwischen 0 und 1 mit einer positiven Potenz potenziert wird, der Wert mit zunehmender Potenz abnimmt. Also zum Beispiel 0,5 2 = 0,25. 0,25

Beispiel 3: Berechnen Sie 0,5 -2
Lösung: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Antwort: 0,5 -2 = 4

Parsing (Abfolge von Aktionen):

• Wandeln Sie dezimal 0,5 in Bruch 1/2 um. Es ist einfacher.
  Erhebe 1/2 zu einer negativen Potenz. 1/(2) -2 . Teilen Sie 1 durch 1/(2) 2 , wir erhalten 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Beispiel 4: Berechnen Sie 0,5 -3
Lösung: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Beispiel 5: Berechnen Sie -0,5 -3
Lösung: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Antwort: -0,5 -3 = -8

Basierend auf dem 4. und 5. Beispiel werden wir mehrere Schlussfolgerungen ziehen:

• Bei einer positiven Zahl im Bereich von 0 bis 1 (Beispiel 4), potenziert mit einer negativen Potenz, spielt der gerade oder ungerade Grad keine Rolle, der Wert des Ausdrucks ist positiv. In diesem Fall gilt: je höher der Grad, desto höher der Wert.
• Bei einer negativen Zahl zwischen 0 und 1 (Beispiel 5), potenziert mit einer negativen Potenz, ist der gerade oder ungerade Grad unwichtig, der Wert des Ausdrucks ist negativ. In diesem Fall gilt: je höher der Grad, desto niedriger der Wert.

Wie man mit einer negativen Potenz potenziert - die Potenz als Bruchzahl

Ausdrücke dieses Typs haben die folgende Form: a -m/n , wobei a eine gewöhnliche Zahl ist, m der Zähler des Grades ist, n der Nenner des Grades ist.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Berechnen Sie: 8 -1/3

Lösung (Aktionsfolge):

• Denken Sie an die Regel zum Potenzieren einer Zahl mit einer negativen Potenz. Wir erhalten: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Beachte, dass der Nenner 8 hoch gebrochen ist. Die allgemeine Form zur Berechnung eines Bruchgrades lautet wie folgt: a m/n = n √8 m .
• Somit ist 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Wir erhalten die Kubikwurzel von acht, die 2 ist. Basierend darauf ist 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Antwort: 8 -1/3 = 2

Aus der Schule kennen wir alle die Potenzregel: Jede Zahl mit einem Exponenten N ist gleich dem Ergebnis der N-fachen Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst. Mit anderen Worten, 7 hoch 3 ist 7 multipliziert mit sich selbst dreimal, dh 343. Eine andere Regel - das Erhöhen eines beliebigen Werts mit 0 ergibt eins, und das Erhöhen eines negativen Werts ist das Ergebnis einer gewöhnlichen Potenzierung, wenn es ist gerade, und das gleiche Ergebnis mit einem Minuszeichen, wenn es ungerade ist.

Die Regeln geben auch eine Antwort darauf, wie man eine Zahl mit einer negativen Potenz potenziert. Dazu müssen Sie den erforderlichen Wert wie üblich um das Modul des Indikators erhöhen und dann die Einheit durch das Ergebnis dividieren.

Aus diesen Regeln wird deutlich, dass die Umsetzung realer Aufgaben mit großen Mengen die Verfügbarkeit technischer Mittel erfordern wird. Manuell wird sich herausstellen, dass ein maximaler Zahlenbereich bis zu zwanzig oder dreißig und dann nicht mehr als drei- oder viermal mit sich selbst multipliziert wird. Ganz zu schweigen davon, dass dann auch die Einheit durch das Ergebnis dividiert wird. Für diejenigen, die keinen speziellen Ingenieurrechner zur Hand haben, erklären wir Ihnen daher, wie Sie in Excel eine Zahl mit einer negativen Potenz potenzieren.

Probleme in Excel lösen

Um Probleme mit der Potenzierung zu lösen, können Sie in Excel eine von zwei Optionen verwenden.

Die erste ist die Verwendung der Formel mit dem Standard-Cap-Symbol. Geben Sie die folgenden Daten in die Arbeitsblattzellen ein:

Auf die gleiche Weise können Sie den gewünschten Wert beliebig potenzieren - negativ, gebrochen. Lassen Sie uns das Folgende tun und die Frage beantworten, wie man eine Zahl mit einer negativen Potenz potenziert. Beispiel:

Es ist möglich direkt in der Formel =B2^-C2 zu korrigieren.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die vorgefertigte Funktion "Grad" zu verwenden, die zwei obligatorische Argumente akzeptiert - eine Zahl und einen Indikator. Um es zu verwenden, reicht es aus, ein Gleichheitszeichen (=) in eine beliebige freie Zelle zu setzen, um den Anfang der Formel anzuzeigen, und die obigen Wörter einzugeben. Es müssen noch zwei Zellen ausgewählt werden, die an der Operation teilnehmen (oder bestimmte Zahlen manuell angeben) und die Eingabetaste drücken. Schauen wir uns ein paar einfache Beispiele an.

			Formel	Ergebnis
			LEISTUNG(B2;C2)
			LEISTUNG(B3;C3)	0,002915

Wie Sie sehen, ist es nicht kompliziert, eine Zahl mit Excel in eine negative Potenz und in eine normale zu potenzieren. Um dieses Problem zu lösen, können Sie sowohl das bekannte „Deckel“-Symbol als auch die eingebaute Funktion des Programms verwenden, die leicht zu merken ist. Das ist ein klares Plus!

Kommen wir zu komplexeren Beispielen. Erinnern wir uns an die Regel, wie man eine Zahl mit einer negativen Potenz eines Bruchzeichens potenziert, und wir werden sehen, dass diese Aufgabe in Excel sehr einfach gelöst wird.

Bruchindikatoren

Kurz gesagt, der Algorithmus zum Berechnen einer Zahl mit einem gebrochenen Exponenten ist wie folgt.

1. Wandeln Sie einen Bruchexponenten in einen echten oder unechten Bruch um.
2. Erhöhen Sie unsere Zahl auf den Zähler des resultierenden umgewandelten Bruchs.
3. Berechnen Sie aus der im vorherigen Absatz erhaltenen Zahl die Wurzel unter der Bedingung, dass der Wurzelindikator der Nenner des in der ersten Stufe erhaltenen Bruchs ist.

Stimmen Sie zu, dass solche Berechnungen viel Zeit in Anspruch nehmen können, selbst wenn Sie mit kleinen Zahlen und echten Brüchen arbeiten. Gut, dass es dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel egal ist, welche Zahl und in welchem ​​Umfang er anhebt. Versuchen Sie, das folgende Beispiel in einem Excel-Arbeitsblatt zu lösen:

Anhand der obigen Regeln können Sie überprüfen und sicherstellen, dass die Berechnung korrekt ist.

Am Ende unseres Artikels geben wir in Form einer Tabelle mit Formeln und Ergebnissen einige Beispiele, wie man eine Zahl ins Negative potenziert, sowie einige Beispiele mit Bruchzahlen und Potenzen.

Beispieltabelle

Überprüfen Sie das Excel-Arbeitsblatt auf die folgenden Beispiele. Damit alles richtig funktioniert, müssen Sie beim Kopieren der Formel eine gemischte Referenz verwenden. Legen Sie die Nummer der Spalte fest, die die zu erhebende Nummer enthält, und die Nummer der Zeile, die den Indikator enthält. Ihre Formel sollte in etwa so aussehen: "=$B4^C$3".

Nummer / Grad

Bitte beachten Sie, dass positive Zahlen (auch nicht ganzzahlige) für beliebige Exponenten problemlos berechnet werden. Es gibt keine Probleme, beliebige Zahlen auf Ganzzahlen zu erhöhen. Das Erhöhen einer negativen Zahl auf eine gebrochene Potenz wird sich für Sie jedoch als Fehler herausstellen, da es unmöglich ist, die am Anfang unseres Artikels angegebene Regel zum Erhöhen negativer Zahlen zu befolgen, da die Parität ein Merkmal einer ausschließlich INTEGER-Zahl ist.

Eine potenzierte Zahl Rufen Sie eine Zahl an, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.

Potenz einer Zahl mit negativem Wert (ein) kann so definiert werden, wie der Grad derselben Zahl mit positivem Exponenten bestimmt wird (ein) . Allerdings bedarf es auch einer zusätzlichen Definition. Die Formel ist definiert als:

ein = (1 / ein n)

Die Eigenschaften negativer Werte von Zahlenpotenzen ähneln Potenzen mit positivem Exponenten. Dargestellte Gleichung a m / ein n = ein m-n kann fair sein wie

« Nirgendwo, wie in der Mathematik, erlaubt die Klarheit und Genauigkeit der Schlussfolgerung einer Person nicht, von der Antwort wegzukommen, indem sie um die Frage herum spricht.».

A. D. Alexandrow

bei n mehr m , ebenso gut wie m mehr n . Schauen wir uns ein Beispiel an: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Zuerst müssen Sie die Zahl bestimmen, die als Definition des Abschlusses dient. b=a(-n) . In diesem Beispiel -n ist ein Gradmesser b - gewünschter Zahlenwert, a - die Basis des Grades als natürlicher Zahlenwert. Bestimmen Sie dann den Modul, also den absoluten Wert einer negativen Zahl, die als Exponent fungiert. Berechnen Sie den Grad der gegebenen Zahl relativ zur absoluten Zahl als Indikator. Den Wert des Grads erhält man, indem man eins durch die resultierende Zahl dividiert.

Reis. eines

Betrachten Sie die Potenz einer Zahl mit einem negativen Bruchexponenten. Stellen Sie sich vor, die Zahl a sei eine beliebige positive Zahl, die Zahlen n und m - ganze Zahlen. Per Definition a , die zur Potenz erhoben wird - gleich eins dividiert durch dieselbe Zahl mit positivem Grad (Abb. 1). Wenn die Potenz einer Zahl ein Bruch ist, dann werden in solchen Fällen nur Zahlen mit positiven Exponenten verwendet.

Es lohnt sich, sich zu erinnern dass Null niemals ein Exponent einer Zahl sein kann (Teilungsregel durch Null).

Die Verbreitung eines solchen Konzepts als Zahl begann mit Manipulationen wie Messberechnungen sowie der Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft. Die Einführung negativer Werte war auf die Entwicklung der Algebra zurückzuführen, die allgemeine Lösungen für arithmetische Probleme lieferte, unabhängig von ihrer spezifischen Bedeutung und ihren anfänglichen numerischen Daten. In Indien wurden im 6. bis 11. Jahrhundert negative Zahlenwerte systematisch zur Lösung von Problemen verwendet und genauso interpretiert wie heute. In der europäischen Wissenschaft wurden negative Zahlen dank R. Descartes weit verbreitet, der negative Zahlen als Richtungen von Segmenten geometrisch interpretierte. Es war Descartes, der vorschlug, die potenzierte Zahl als zweistöckige Formel darzustellen ein .