Zähler und Nenner eines Bruchs. Arten von Brüchen. Machen wir weiter mit Brüchen. Zunächst eine kleine Einschränkung: Wenn wir Brüche und die entsprechenden Beispiele damit betrachten, werden wir vorerst nur mit ihrer numerischen Darstellung arbeiten. Es gibt auch gebrochene Literalausdrücke (mit und ohne Zahlen).Allerdings gelten auch für sie alle „Prinzipien“ und Regeln, über solche Ausdrücke werden wir in Zukunft aber gesondert sprechen. Ich empfehle, das Thema Brüche Schritt für Schritt zu besuchen und zu studieren (sich daran zu erinnern).

Das Wichtigste ist, zu verstehen, sich daran zu erinnern und zu erkennen, dass ein Bruchteil eine Zahl ist!!!

Gemeinsamer Bruch ist eine Zahl der Form:

Die „oben“ liegende Zahl (in diesem Fall m) nennt man Zähler, die darunter liegende Zahl (die Zahl n) nennt man Nenner. Diejenigen, die das Thema gerade erst angesprochen haben, sind oft verwirrt – wie heißt es?

Hier ist ein Trick für Sie, wie Sie sich für immer erinnern können: Wo ist der Zähler und wo ist der Nenner? Diese Technik ist mit einer verbal-figurativen Assoziation verbunden. Stellen Sie sich ein Glas mit trübem Wasser vor. Es ist bekannt, dass beim Absetzen von Wasser sauberes Wasser oben bleibt und sich Trübungen (Schmutz) absetzen. Denken Sie daran:

CHISSS-Schmelzwasser OBEN (CHISSS-Ausgießer oben)

Dreck ZZZNNN das Wasser UNTEN (ZZZNN Amenator unten)

Sobald es also notwendig wird, sich daran zu erinnern, wo der Zähler und wo der Nenner ist, stellten sie sofort visuell ein Glas mit abgesetztem Wasser dar, in dem sich oben SAUBERES Wasser und unten schmutziges Wasser befindet. Es gibt noch andere Tricks, die Sie sich merken sollten. Wenn sie Ihnen helfen, dann gut.

Beispiele für gewöhnliche Brüche:

Was bedeutet die horizontale Linie zwischen den Zahlen? Dies ist nichts weiter als ein Teilungszeichen. Es stellt sich heraus, dass ein Bruch als Beispiel für die Aktion der Division betrachtet werden kann. Diese Aktion wird einfach in diesem Formular aufgezeichnet. Das heißt, die obere Zahl (Zähler) wird durch die untere Zahl (Nenner) dividiert:

Darüber hinaus gibt es noch eine andere Form der Schreibweise – ein Bruch kann wie folgt geschrieben werden (durch einen Schrägstrich):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 und so weiter ...

Wir können die obigen Brüche wie folgt schreiben:

Das Ergebnis der Division ist bekanntlich die Zahl.

Geklärt - DIESE NUMMER IN FRAKTIONIEREN!!!

Wie Sie bereits bemerkt haben, kann bei einem gewöhnlichen Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, größer als der Nenner und möglicherweise gleich diesem sein. Es gibt viele wichtige Punkte, die ohne theoretischen Schnickschnack intuitiv verständlich sind. Zum Beispiel:

1. Die Brüche 1 und 3 können als 0,5 und 0,01 geschrieben werden. Lassen Sie uns ein wenig weitermachen – das sind Dezimalbrüche, wir werden etwas weiter unten darüber sprechen.

2. Die Brüche 4 und 6 ergeben eine ganze Zahl 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Fraktion 5 ergibt als Ergebnis eine Einheit 155:155 = 1.

Welche Schlussfolgerungen liegen vor? Die folgende:

1. Der Zähler kann, wenn er durch den Nenner dividiert wird, eine endliche Zahl ergeben. Es funktioniert möglicherweise nicht, dividieren Sie durch eine Spalte 7 durch 13 oder 17 durch 11 – auf keinen Fall! Sie können auf unbestimmte Zeit teilen, aber wir werden auch etwas weiter unten darüber sprechen.

2. Ein Bruch kann eine ganze Zahl ergeben. Daher können wir jede ganze Zahl als Bruch oder vielmehr als unendliche Reihe von Brüchen darstellen. Sehen Sie, alle diese Brüche sind gleich 2:

Noch! Wir können jede ganze Zahl immer als Bruch schreiben – diese Zahl selbst steht im Zähler, eine im Nenner:

3. Wir können eine Einheit immer als Bruch mit einem beliebigen Nenner darstellen:

*Die angegebenen Punkte sind äußerst wichtig für die Arbeit mit Brüchen in Berechnungen und Umrechnungen.

Arten von Brüchen.

Und nun zur theoretischen Division gewöhnlicher Brüche. Sie sind unterteilt in richtig und falsch.

Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, heißt echter Bruch. Beispiele:

Ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, wird als unechter Bruch bezeichnet. Beispiele:

gemischte Fraktion(gemischte Zahl).

Ein gemischter Bruch ist ein Bruch, der als ganze Zahl und echter Bruch geschrieben wird und als Summe dieser Zahl und ihres Bruchteils verstanden wird. Beispiele:

Ein gemischter Bruch kann immer als unechter Bruch dargestellt werden und umgekehrt. Gehen wir weiter!

Dezimalstellen.

Wir haben sie oben bereits angesprochen, das sind die Beispiele (1) und (3), nun ausführlicher. Hier sind Beispiele für Dezimalzahlen: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist, z. B. 10, 100, 1000 usw., wird Dezimalzahl genannt. Es ist nicht schwer, die ersten drei angegebenen Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben:

Der vierte ist ein gemischter Bruch (gemischte Zahl):

Eine Dezimalzahl hat die folgende Notation - mitder ganzzahlige Teil beginnt, dann ist das Trennzeichen des ganzzahligen und des Bruchteils ein Punkt oder Komma und dann der Bruchteil, die Anzahl der Ziffern des Bruchteils wird streng durch die Dimension des Bruchteils bestimmt: Wenn es sich um Zehntel handelt, die Bruchteil wird als eine Ziffer geschrieben; wenn Tausendstel - drei; Zehntausendstel - vier usw.

Diese Brüche sind endlich und unendlich.

Enddezimalbeispiele: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Beispiele sind endlos. Zum Beispiel ist die Zahl Pi ein unendlicher Dezimalbruch, aber - 0,333333333333…... 0,16666666666…. und andere. Auch das Ergebnis der Wurzelbildung aus den Zahlen 3, 5, 7 usw. wird ein unendlicher Bruchteil sein.

Der Bruchteil kann zyklisch sein (es gibt einen Zyklus darin), die beiden obigen Beispiele sind genau gleich, weitere Beispiele:

0,123123123123…... Zyklus 123

0,781781781718…... Zyklus 781

0,0250102501…. Zyklus 02501

Sie können als 0, (123) 0, (781) 0, (02501) geschrieben werden.

Die Zahl Pi ist kein zyklischer Bruch, wie beispielsweise die Wurzel aus drei.

Unten in den Beispielen erklingen Wörter wie „den Bruch umdrehen“ – das bedeutet, dass Zähler und Nenner vertauscht sind. Tatsächlich hat ein solcher Bruch einen Namen – den Kehrwertbruch. Beispiele für reziproke Brüche:

Kleine Zusammenfassung! Brüche sind:

Gewöhnlich (richtig und falsch).

Dezimalzahlen (endlich und unendlich).

Gemischt (gemischte Zahlen).

Das ist alles!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

Im Artikel zeigen wir es wie man Brüche löst mit einfachen, klaren Beispielen. Lassen Sie uns verstehen, was ein Bruch ist, und darüber nachdenken Brüche lösen!

Konzept Brüche wird ab der 6. Klasse der Sekundarstufe in den Mathematikunterricht eingeführt.

Brüche sehen wie folgt aus: ±X / Y, wobei Y der Nenner ist, der angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und X der Zähler ist, der angibt, wie viele solcher Teile genommen wurden. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem Kuchen:

Im ersten Fall wurde der Kuchen gleich geschnitten und eine Hälfte genommen, d.h. 1/2. Im zweiten Fall wurde der Kuchen in 7 Teile geschnitten, von denen 4 Teile entnommen wurden, d.h. 4/7.

Wenn der Teil der Division einer Zahl durch eine andere keine ganze Zahl ist, wird er als Bruch geschrieben.

Beispielsweise ergibt der Ausdruck 4:2 = 2 eine ganze Zahl, aber 4:7 ist nicht vollständig teilbar, daher wird dieser Ausdruck als Bruch 4/7 geschrieben.

Mit anderen Worten Fraktion ist ein Ausdruck, der die Division zweier Zahlen oder Ausdrücke bezeichnet und mit einem Schrägstrich geschrieben wird.

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch richtig, umgekehrt ist er falsch. Ein Bruch kann eine ganze Zahl enthalten.

Zum Beispiel 5 ganze 3/4.

Dieser Eintrag bedeutet, dass ein Teil von vier nicht ausreicht, um die ganze 6 zu erhalten.

Wenn Sie sich erinnern wollen wie man Brüche für die 6. Klasse löst das musst du verstehen Brüche lösen Im Grunde kommt es darauf an, ein paar einfache Dinge zu verstehen.

• Ein Bruch ist im Wesentlichen ein Ausdruck für einen Bruch. Das heißt, ein numerischer Ausdruck dafür, welchen Teil ein bestimmter Wert von einem Ganzen ausmacht. Der Bruch 3/5 drückt beispielsweise aus, dass wir ein Ganzes in 5 Teile teilen und die Anzahl der Teile bzw. Teile dieses Ganzen drei beträgt.
• Ein Bruch kann kleiner als 1 sein, zum Beispiel 1/2 (oder im Wesentlichen die Hälfte), dann ist er richtig. Wenn der Bruch größer als 1 ist, zum Beispiel 3/2 (drei Hälften oder eineinhalb), dann ist er falsch und um die Lösung zu vereinfachen, ist es für uns besser, den ganzen Teil 3/2= 1 ganze 1 zu wählen /2.
• Brüche sind die gleichen Zahlen wie 1, 3, 10 und sogar 100, nur dass die Zahlen nicht ganz, sondern gebrochen sind. Mit ihnen können Sie dieselben Operationen wie mit Zahlen durchführen. Das Zählen von Brüchen ist nicht schwieriger, und wir werden dies anhand konkreter Beispiele weiter zeigen.

So lösen Sie Brüche. Beispiele.

Auf Brüche sind verschiedene arithmetische Operationen anwendbar.

Einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Beispielsweise müssen Sie die Brüche 3/4 und 4/5 vergleichen.

Um das Problem zu lösen, ermitteln wir zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner, d.h. die kleinste Zahl, die durch jeden Nenner der Brüche ohne Rest teilbar ist

Kleinster gemeinsamer Nenner (4,5) = 20

Dann wird der Nenner beider Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert

Antwort: 15/20

Addition und Subtraktion von Brüchen

Wenn es notwendig ist, die Summe zweier Brüche zu berechnen, werden diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, dann werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert bleibt. Die Differenz von Brüchen wird auf ähnliche Weise betrachtet, der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zähler subtrahiert werden.

Beispielsweise müssen Sie die Summe der Brüche 1/2 und 1/3 ermitteln

Finden Sie nun den Unterschied zwischen den Brüchen 1/2 und 1/4

Multiplikation und Division von Brüchen

Hier ist die Lösung von Brüchen einfach, hier ist alles ganz einfach:

• Multiplikation – Zähler und Nenner von Brüchen werden untereinander multipliziert;
• Division – zuerst erhalten wir einen Bruch, den Kehrwert des zweiten Bruchs, d. h. Vertauschen Sie Zähler und Nenner und multiplizieren Sie anschließend die resultierenden Brüche.

Zum Beispiel:

Zu diesem Thema wie man Brüche löst, Alle. Wenn Sie Fragen dazu haben Brüche lösen, etwas ist nicht klar, dann schreiben Sie in die Kommentare und wir werden Ihnen antworten.

Wenn Sie Lehrer sind, können Sie eine Präsentation für eine Grundschule herunterladen (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), die sich als nützlich erweisen wird.

Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier lernen wir das Konzept eines Bruchs eines Ganzen kennen, was uns zur Definition eines gewöhnlichen Bruchs führt. Als nächstes werden wir uns mit der akzeptierten Schreibweise für gewöhnliche Brüche befassen und Beispiele für Brüche geben, beispielsweise für den Zähler und Nenner eines Bruchs. Danach geben wir Definitionen von richtigen und falschen, positiven und negativen Brüchen und betrachten auch die Position von Bruchzahlen auf dem Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die wichtigsten Aktionen mit Brüchen auf.

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Anteile am Ganzen

Zuerst stellen wir vor Share-Konzept.

Nehmen wir an, dass wir ein Objekt haben, das aus mehreren absolut identischen (also gleichen) Teilen besteht. Zur Verdeutlichung können Sie sich beispielsweise einen Apfel vorstellen, der in mehrere gleiche Teile geschnitten ist, oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Scheiben besteht. Jeder dieser gleichen Teile, aus denen das gesamte Objekt besteht, wird aufgerufen Anteil am Ganzen oder einfach Anteile.

Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Nehmen wir an, wir haben zwei Äpfel. Schneiden wir den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass sich der Anteil des ersten Apfels vom Anteil des zweiten Apfels unterscheiden wird.

Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen sich das Gesamtobjekt zusammensetzt, haben diese Anteile eigene Namen. Lassen Sie uns analysieren Namen teilen. Wenn das Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als zweiter Teil des gesamten Objekts bezeichnet. Wenn das Objekt aus drei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als dritter Teil bezeichnet und so weiter.

Eine zweite Aktie hat einen besonderen Namen - Hälfte. Ein Drittel wird aufgerufen dritte, und ein Vierfaches - Quartal.

Der Kürze halber Folgendes Aktienbezeichnungen. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil als oder 1/3; ein Viertel der Aktie - Like oder 1/4 und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um das Material zu festigen, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet einhundertsiebenundsechzigstel des Ganzen.

Der Begriff einer Aktie erstreckt sich natürlich von Objekten bis zu Größen. Eines der Längenmaße ist beispielsweise der Meter. Um Längen von weniger als einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie beispielsweise einen halben Meter oder einen Zehntel oder Tausendstel Meter verwenden. Anteile anderer Größen werden analog angesetzt.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche

Zur Beschreibung wird die Anzahl der Anteile verwendet gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.

Eine Orange bestehe aus 12 Teilen. Jede Aktie repräsentiert in diesem Fall ein Zwölftel einer ganzen Orange, also . Bezeichnen wir zwei Schläge als, drei Schläge als usw. und zwölf Schläge als. Jeder dieser Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.

Lassen Sie uns nun einen allgemeinen Überblick geben Definition gemeinsamer Brüche.

Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, sie zu bringen Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Und hier sind die Aufzeichnungen passen nicht zur stimmhaften Definition gewöhnlicher Brüche, das heißt, sie sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Der Einfachheit halber unterscheiden wir in gewöhnlichen Brüchen Zähler und Nenner.

Definition.

Zähler Der gewöhnliche Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl m.

Definition.

Nenner Der gewöhnliche Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl n.

Der Zähler befindet sich also über dem Bruchstrich (links vom Schrägstrich) und der Nenner unter dem Bruchstrich (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel einen gewöhnlichen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.

Es bleibt noch die Bedeutung zu diskutieren, die im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs enthalten ist. Der Nenner des Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Gegenstand besteht, der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Beispielsweise bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Artikel aus fünf Teilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Teile genommen werden.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, also etwas Ganzes ist. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Posten genommen werden. Somit hat ein gewöhnlicher Bruch der Form m/1 die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. Damit haben wir die Gleichheit m/1=m begründet.

Schreiben wir die letzte Gleichung folgendermaßen um: m=m/1 . Diese Gleichheit ermöglicht es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103498 der Bruch 103498/1.

Also, Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Aufteilung in n gleiche Teile. Nachdem der Artikel in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, von denen jedes in n Anteile aufgeteilt ist, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen und jeder Person von jedem der m Objekte einen Anteil geben. In diesem Fall hat jede Person m Anteile 1/n, und m Anteile 1/n ergeben einen gewöhnlichen Bruchteil m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Elementen auf n Personen darzustellen.

Wir haben also einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division erhalten (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Dieser Zusammenhang drückt sich wie folgt aus: Der Balken eines Bruchs kann als Divisionszeichen verstanden werden, also m/n=m:n.

Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die keine Division durch eine ganze Zahl durchgeführt wird. Das Ergebnis der Division von 5 Äpfeln durch 8 Personen kann beispielsweise als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8=5/8.

Gleiche und ungleiche gewöhnliche Brüche, Vergleich von Brüchen

Eine ziemlich natürliche Aktion ist Vergleich gemeinsamer Brüche, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange sich von 5/12 unterscheidet und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie das andere 1/6 dieses Apfels.

Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten ungleiche gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

gleich, wenn die Gleichheit a d=b c wahr ist.

Definition.

Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, wenn die Gleichheit a d=b c nicht erfüllt ist.

Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gemeinsame Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1 4=2 2 (siehe ggf. die Regeln und Beispiele der Multiplikation natürlicher Zahlen). Der Übersichtlichkeit halber können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, den ersten halbieren und den zweiten in 4 Stücke schneiden. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels einer halben Aktie entsprechen. Weitere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Brüchepaar 81/50 und 1620/1000.

Und die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4 14=56 und 13 5=65, also 4 14≠13 5. Ein weiteres Beispiel für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.

Wenn sich beim Vergleich zweier gewöhnlicher Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gewöhnlichen Brüche es ist weniger ein anderer, und welcher mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Bruchzahlen

Jeder Bruch ist ein Datensatz Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl, ihr Aussehen und die gesamte semantische Last ist genau in einer Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Bequemlichkeit halber werden die Konzepte eines Bruchs und einer Bruchzahl jedoch kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, ein bekanntes Sprichwort zu paraphrasieren: Wir sagen einen Bruch – wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.

Brüche auf dem Koordinatenstrahl

Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihren eigenen eindeutigen Platz auf , das heißt, es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Brüchen und Punkten des Koordinatenstrahls.

Um zu dem Punkt zu gelangen, der dem Bruchteil m / n auf dem Koordinatenstrahl entspricht, müssen m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung verschoben werden, deren Länge 1 / n Bruchteil des Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein einzelnes Segment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Zeigen wir zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge des Segments mit Enden am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt, markiert mit einem kleinen Strich, beträgt 1/10 des Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird um 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.

Gleiche Brüche entsprechen derselben Bruchzahl, das heißt, gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Ein Punkt entspricht beispielsweise den Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er befindet sich im Abstand von der Hälfte des Einheitssegments, verschoben von der Ursprung in positiver Richtung).

Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl befindet sich der Punkt, dessen Koordinate ein großer Bruchteil ist, rechts vom Punkt, dessen Koordinate ein kleinerer Bruchteil ist. Ebenso liegt der Punkt mit der kleineren Koordinate links vom Punkt mit der größeren Koordinate.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es Echte und unechte Brüche. Diese Division besteht grundsätzlich aus einem Vergleich von Zähler und Nenner.

Lassen Sie uns eine Definition der echten und unechten gewöhnlichen Brüche geben.

Definition.

Richtiger Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, das heißt, wenn m

Definition.

Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, d. h. wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht.

Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4 , , 32 765/909 003 . Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikel Vergleich natürlicher Zahlen), sodass sie per Definition korrekt sind.

Und hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4,. Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den übrigen Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner.

Es gibt auch Definitionen von echten und unechten Brüchen, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren.

Definition.

richtig wenn es kleiner als eins ist.

Definition.

Der gemeinsame Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist.

Der gewöhnliche Bruch 7/11 ist also korrekt, da 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1 .

Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche, deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, einen solchen Namen verdienen – „falsch“.

Nehmen wir als Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass neun Teile eines Objekts genommen werden, das aus neun Teilen besteht. Das heißt, aus den verfügbaren neun Aktien können wir ein ganzes Thema zusammenstellen. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen ein ganzes Objekt, also 9/9=1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch eine natürliche Zahl 1 ersetzt werden.

Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ganz offensichtlich, dass wir aus diesen sieben Dritteln zwei ganze Objekte machen können (ein ganzes Objekt hat 3 Anteile, um dann zwei ganze Objekte zusammenzusetzen, brauchen wir 3 + 3 = 6 Anteile) und es wird immer noch ein Drittel Anteil geben. Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Elemente und sogar 1/3 des Anteils eines solchen Elements. Und aus zwölf Vierteln können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit jeweils vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte.

Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler durch den Nenner geteilt wird (z. B. 9/9=1 und 12/4=3), oder die Summe von a natürliche Zahl und echter Bruch, wenn der Zähler nicht gleichmäßig durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3 ). Vielleicht verdienen unechte Brüche genau deshalb diesen Namen – „falsch“.

Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Extraktion eines ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine gesonderte und sorgfältigere Betrachtung.

Es ist auch erwähnenswert, dass zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen ein sehr enger Zusammenhang besteht.

Positive und negative Brüche

Jeder gewöhnliche Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Beispielsweise sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn es notwendig ist, die Positivität eines Bruchs hervorzuheben, wird ihm ein Pluszeichen vorangestellt, zum Beispiel +3/4, +72/34.

Wenn Sie einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall kann man davon sprechen negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10, −65/13, −1/18.

Die positiven und negativen Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und −5/7 entgegengesetzte Brüche.

Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Steigerung, ein Einkommen, eine Wertänderung nach oben usw. Negative Brüche entsprechen Ausgaben, Schulden und einer Wertänderung in Richtung einer Abnahme. Beispielsweise kann ein negativer Bruchteil -3/4 als eine Schuld interpretiert werden, deren Wert 3/4 beträgt.

Auf der horizontalen und nach rechts gerichteten Seite befinden sich negative Brüche links vom Bezugspunkt. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruchteil m/n und der negative Bruchteil −m/n sind, liegen im gleichen Abstand vom Ursprung, jedoch auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O .

Hier sind Brüche der Form 0/n zu erwähnen. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0 .

Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen.

Aktionen mit Brüchen

Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir oben bereits betrachtet. Es werden vier weitere Arithmetiken definiert Operationen mit Brüchen- Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Lassen Sie uns auf jeden einzelnen eingehen.

Das allgemeine Wesen von Aktionen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Aktionen mit natürlichen Zahlen. Lassen Sie uns eine Analogie ziehen.

Multiplikation von Brüchen kann als eine Aktion betrachtet werden, bei der ein Bruch aus einem Bruch gebildet wird. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Angenommen, wir haben 1/6 eines Apfels und müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem bestimmten Fall einer natürlichen Zahl entspricht). Darüber hinaus empfehlen wir, die Informationen des Artikels Multiplikation von Brüchen – Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Vilenkin N.Ya. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Wenn man von Mathematik spricht, kann man nicht anders, als sich an Brüche zu erinnern. Ihrem Studium wird viel Aufmerksamkeit und Zeit gewidmet. Denken Sie daran, wie viele Beispiele Sie lösen mussten, um bestimmte Regeln für die Arbeit mit Brüchen zu lernen, wie Sie sich die Haupteigenschaft eines Bruchs eingeprägt und angewendet haben. Wie viele Nerven hat es gekostet, einen gemeinsamen Nenner zu finden, besonders wenn mehr als zwei Begriffe in den Beispielen vorkommen!

Erinnern wir uns daran, was es ist, und frischen wir unser Gedächtnis ein wenig über die grundlegenden Informationen und Regeln für die Arbeit mit Brüchen auf.

Definition von Brüchen

Beginnen wir mit dem Wichtigsten – den Definitionen. Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Einheitsteilen besteht. Eine Bruchzahl wird als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. In diesem Fall wird der obere (oder erste) Zähler und der untere (zweite) Nenner genannt.

Es ist erwähnenswert, dass der Nenner angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist, und der Zähler die Anzahl der genommenen Anteile oder Teile angibt. Oft sind Brüche, wenn sie richtig sind, kleiner als eins.

Schauen wir uns nun die Eigenschaften dieser Zahlen und die Grundregeln an, die bei der Arbeit mit ihnen verwendet werden. Bevor wir jedoch ein Konzept wie „die Haupteigenschaft eines rationalen Bruchs“ analysieren, sprechen wir über die Arten von Brüchen und ihre Merkmale.

Was sind Brüche?

Es gibt verschiedene Arten solcher Zahlen. Erstens sind dies gewöhnliche und dezimale Zahlen. Bei den ersten handelt es sich um die von uns bereits mit einem Quer- oder Schrägstrich gekennzeichneten Datensatztypen. Die zweite Art von Brüchen wird mit der sogenannten Positionsschreibweise angegeben, bei der zuerst der ganzzahlige Teil der Zahl und dann nach dem Dezimalpunkt der Bruchteil angegeben wird.

Hierbei ist zu beachten, dass in der Mathematik sowohl Dezimal- als auch gewöhnliche Brüche gleichermaßen verwendet werden. Die Haupteigenschaft des Bruchs gilt nur für die zweite Option. Darüber hinaus wird bei gewöhnlichen Brüchen zwischen richtigen und falschen Zahlen unterschieden. Bei ersterem ist der Zähler immer kleiner als der Nenner. Beachten Sie auch, dass ein solcher Bruch kleiner als eins ist. Bei einem unechten Bruch hingegen ist der Zähler größer als der Nenner und er selbst ist größer als eins. In diesem Fall kann daraus eine ganze Zahl extrahiert werden. In diesem Artikel betrachten wir nur gewöhnliche Brüche.

Brucheigenschaften

Jedes Phänomen, ob chemisch, physikalisch oder mathematisch, hat seine eigenen Merkmale und Eigenschaften. Bruchzahlen sind keine Ausnahme. Sie verfügen über eine wichtige Funktion, mit deren Hilfe bestimmte Operationen an ihnen durchgeführt werden können. Was ist die Haupteigenschaft eines Bruchs? Die Regel besagt, dass wir einen neuen Bruch erhalten, dessen Wert dem ursprünglichen Wert entspricht, wenn Zähler und Nenner mit derselben rationalen Zahl multipliziert oder dividiert werden. Das heißt, wenn wir die beiden Teile der Bruchzahl 3/6 mit 2 multiplizieren, erhalten wir einen neuen Bruch 6/12, während sie gleich sind.

Basierend auf dieser Eigenschaft können Sie Brüche kürzen und gemeinsame Nenner für ein bestimmtes Zahlenpaar auswählen.

Operationen

Obwohl Brüche für uns komplexer erscheinen, können sie auch grundlegende mathematische Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division ausführen. Darüber hinaus gibt es eine so spezifische Aktion wie die Reduzierung von Brüchen. Natürlich wird jede dieser Aktionen nach bestimmten Regeln ausgeführt. Die Kenntnis dieser Gesetze erleichtert die Arbeit mit Brüchen und macht sie einfacher und interessanter. Aus diesem Grund werden wir uns weiter mit den Grundregeln und dem Aktionsalgorithmus bei der Arbeit mit solchen Zahlen befassen.

Bevor wir jedoch über mathematische Operationen wie Addition und Subtraktion sprechen, analysieren wir eine Operation wie die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Hier ist das Wissen darüber, welche Grundeigenschaft ein Bruch besitzt, von Nutzen.

Gemeinsamer Nenner

Um eine Zahl auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ermitteln. Das heißt, die kleinste Zahl, die gleichzeitig durch beide Nenner ohne Rest teilbar ist. Der einfachste Weg, das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zu finden, besteht darin, in eine Zeile für einen Nenner und dann für den zweiten zu schreiben und unter ihnen eine passende Zahl zu finden. Für den Fall, dass das LCM nicht gefunden wird, das heißt, dass diese Zahlen kein gemeinsames Vielfaches haben, sollten sie multipliziert werden und der resultierende Wert sollte als LCM betrachtet werden.

Wir haben also das LCM gefunden, jetzt müssen wir einen zusätzlichen Multiplikator finden. Dazu müssen Sie das LCM abwechselnd in Nenner von Brüchen aufteilen und über jeden von ihnen die resultierende Zahl aufschreiben. Als nächstes multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor und schreiben die Ergebnisse als neuen Bruch. Wenn Sie bezweifeln, dass die erhaltene Zahl mit der vorherigen übereinstimmt, denken Sie an die Haupteigenschaft des Bruchs.

Zusatz

Kommen wir nun direkt zu den mathematischen Operationen mit Bruchzahlen. Beginnen wir mit dem Einfachsten. Für die Addition von Brüchen gibt es mehrere Möglichkeiten. Im ersten Fall haben beide Zahlen den gleichen Nenner. In diesem Fall müssen nur noch die Zähler addiert werden. Aber der Nenner ändert sich nicht. Beispiel: 1/5 + 3/5 = 4/5.

Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf einen gemeinsamen reduziert werden und erst dann die Addition durchgeführt werden. Wie das geht, haben wir weiter oben mit Ihnen besprochen. In dieser Situation wird die Haupteigenschaft des Bruchs nützlich sein. Die Regel ermöglicht es Ihnen, die Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Der Wert wird sich in keiner Weise ändern.

Alternativ kann es vorkommen, dass die Fraktion gemischt wird. Dann sollten Sie zuerst die ganzen Teile addieren und dann die Bruchteile.

Multiplikation

Es sind keine Tricks erforderlich, und um diese Aktion auszuführen, ist es nicht notwendig, die Grundeigenschaft des Bruchs zu kennen. Es reicht aus, zunächst Zähler und Nenner miteinander zu multiplizieren. In diesem Fall wird das Produkt der Zähler zum neuen Zähler und das Produkt der Nenner zum neuen Nenner. Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes.

Das Einzige, was von Ihnen verlangt wird, sind Kenntnisse der Multiplikationstabelle und Aufmerksamkeit. Darüber hinaus sollten Sie nach Erhalt des Ergebnisses unbedingt prüfen, ob diese Zahl reduziert werden kann oder nicht. Wir werden etwas später darüber sprechen, wie man Brüche reduziert.

Subtraktion

Beim Ausführen sollten die gleichen Regeln gelten wie beim Hinzufügen. Bei Zahlen mit gleichem Nenner reicht es also aus, den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden zu subtrahieren. Falls die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann diese Operation durchführen. Wie beim analogen Additionsfall müssen Sie die Grundeigenschaft eines algebraischen Bruchs sowie Kenntnisse im Ermitteln des kgV und gemeinsamer Faktoren für Brüche nutzen.

Aufteilung

Und die letzte und interessanteste Operation bei der Arbeit mit solchen Zahlen ist die Division. Es ist ganz einfach und bereitet auch denjenigen keine besonderen Schwierigkeiten, die nicht verstehen, wie man mit Brüchen arbeitet, insbesondere Additions- und Subtraktionsoperationen durchführt. Beim Dividieren gilt eine solche Regel wie die Multiplikation mit einem Kehrwertbruch. Die Haupteigenschaft eines Bruchs, wie im Fall der Multiplikation, wird für diese Operation nicht verwendet. Lass uns genauer hinschauen.

Bei der Division von Zahlen bleibt die Dividende unverändert. Der Divisor wird umgekehrt, d. h. Zähler und Nenner sind vertauscht. Anschließend werden die Zahlen miteinander multipliziert.

Die Ermäßigung

Wir haben also bereits die Definition und Struktur von Brüchen, ihre Typen und die Regeln für Operationen mit gegebenen Zahlen untersucht und die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs herausgefunden. Lassen Sie uns nun über einen solchen Vorgang wie die Reduktion sprechen. Beim Kürzen eines Bruchs handelt es sich um den Vorgang, ihn umzuwandeln – indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Somit wird der Bruch reduziert, ohne seine Eigenschaften zu ändern.

Normalerweise sollten Sie bei der Durchführung einer mathematischen Operation das am Ende erhaltene Ergebnis sorgfältig prüfen und herausfinden, ob es möglich ist, den resultierenden Bruch zu reduzieren oder nicht. Denken Sie daran, dass das Endergebnis immer als Bruchzahl geschrieben wird, die keiner Reduzierung bedarf.

Andere Operationen

Abschließend stellen wir fest, dass wir bei weitem nicht alle Operationen mit Bruchzahlen aufgelistet haben und nur die bekanntesten und notwendigsten erwähnen. Brüche können auch verglichen, in Dezimalzahlen umgewandelt werden und umgekehrt. In diesem Artikel haben wir diese Operationen jedoch nicht berücksichtigt, da sie in der Mathematik viel seltener ausgeführt werden als die oben aufgeführten.

Schlussfolgerungen

Wir haben mit ihnen über Bruchzahlen und Operationen gesprochen. Wir haben auch die Hauptimmobilie analysiert. Wir stellen jedoch fest, dass wir alle diese Fragen am Rande berücksichtigt haben. Wir haben nur die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Regeln angegeben und die unserer Meinung nach wichtigsten Ratschläge gegeben.

Dieser Artikel soll die Informationen auffrischen, die Sie über Brüche vergessen haben, anstatt neue Informationen zu liefern und Ihren Kopf mit endlosen Regeln und Formeln zu „füllen“, die Ihnen höchstwahrscheinlich keinen Nutzen bringen werden.

Wir hoffen, dass das im Artikel einfach und prägnant präsentierte Material für Sie nützlich ist.

Beim Studium der Königin aller Wissenschaften – der Mathematik – wird jeder irgendwann mit Brüchen konfrontiert. Obwohl dieses Konzept (wie auch die Arten von Brüchen selbst oder mathematische Operationen mit ihnen) überhaupt nicht schwierig ist, muss es mit Vorsicht behandelt werden, da es im wirklichen Leben außerhalb der Schule sehr nützlich sein wird. Lassen Sie uns also unser Wissen über Brüche auffrischen: Was sie sind, wozu sie dienen, welche Arten sie haben und wie man mit ihnen verschiedene arithmetische Operationen durchführt.

Ihre Majestät der Bruch: Was ist das?

Brüche sind in der Mathematik Zahlen, die jeweils aus einem oder mehreren Teilen der Einheit bestehen. Solche Brüche werden auch gewöhnliche oder einfache Brüche genannt. In der Regel werden sie als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind, man spricht von einem „Bruch“. Zum Beispiel: ½, ¾.

Die obere oder erste dieser Zahlen ist der Zähler (zeigt an, wie viele Brüche der Zahl gebildet werden), und die untere oder zweite dieser Zahlen ist der Nenner (zeigt an, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist).

Der Bruchstrich fungiert tatsächlich als Divisionszeichen. Beispiel: 7:9=7/9

Traditionell sind gemeinsame Brüche kleiner als eins. Während Dezimalzahlen größer sein können.

Wozu dienen Brüche? Ja, für alles, denn in der realen Welt sind nicht alle Zahlen ganze Zahlen. Zum Beispiel kauften zwei Schülerinnen in der Mensa gemeinsam eine leckere Tafel Schokolade. Als sie gerade den Nachtisch teilen wollten, trafen sie eine Freundin und beschlossen, sie ebenfalls zu verwöhnen. Nun gilt es jedoch, die Tafel Schokolade richtig zu teilen, da sie aus 12 Quadraten besteht.

Zuerst wollten die Mädchen alles zu gleichen Teilen teilen, dann bekam jedes vier Stücke. Aber nachdem sie darüber nachgedacht hatten, beschlossen sie, ihrer Freundin nicht 1/3, sondern 1/4 Pralinen zu gönnen. Und da Schulmädchen Brüche nicht gut lernten, berücksichtigten sie nicht, dass sie in einer solchen Situation 9 Teile hätten, die sich sehr schlecht in zwei Teile teilen ließen. Dieses eher einfache Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, den Teil einer Zahl richtig finden zu können. Aber im Leben gibt es noch viel mehr solcher Fälle.

Arten von Brüchen: gewöhnlich und dezimal

Alle mathematischen Brüche werden in zwei große Ziffern unterteilt: gewöhnliche und dezimale. Die Merkmale des ersten davon wurden im vorherigen Absatz beschrieben, daher lohnt es sich nun, dem zweiten Aufmerksamkeit zu schenken.

Eine Dezimalzahl ist eine Positionsschreibweise eines Bruchteils einer Zahl, die in einem durch Komma getrennten Buchstaben ohne Bindestrich oder Schrägstrich festgelegt ist. Zum Beispiel: 0,75, 0,5.

Tatsächlich ist ein Dezimalbruch identisch mit einem gewöhnlichen Bruch, sein Nenner ist jedoch immer eine Eins gefolgt von Nullen – daher der Name.

Die Zahl vor dem Dezimalpunkt ist der ganzzahlige Teil und alles nach dem Dezimalpunkt ist der Bruchteil. Jeder einfache Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Die im vorherigen Beispiel angegebenen Dezimalbrüche können also als gewöhnliche Brüche geschrieben werden: ¾ und ½.

Es ist erwähnenswert, dass sowohl Dezimalbrüche als auch gewöhnliche Brüche sowohl positiv als auch negativ sein können. Wenn ihnen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, ist dieser Bruch negativ, wenn „+“ – dann positiv.

Unterarten gewöhnlicher Brüche

Es gibt solche Arten einfacher Brüche.

Unterarten des Dezimalbruchs

Im Gegensatz zu einem einfachen Bruch wird der Dezimalbruch nur in zwei Typen unterteilt.

• Final – hat seinen Namen aufgrund der Tatsache, dass es nach dem Dezimalpunkt eine begrenzte (endgültige) Anzahl von Ziffern hat: 19,25.
• Ein unendlicher Bruch ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Wenn man beispielsweise 10 durch 3 dividiert, erhält man als Ergebnis einen unendlichen Bruch 3,333 ...

Addition von Brüchen

Die Durchführung verschiedener arithmetischer Manipulationen mit Brüchen ist etwas schwieriger als mit gewöhnlichen Zahlen. Wenn Sie jedoch die Grundregeln kennen, wird es nicht schwierig sein, jedes Beispiel damit zu lösen.

Zum Beispiel: 2/3+3/4. Das kleinste gemeinsame Vielfache für sie ist 12, daher ist es notwendig, dass diese Zahl in jedem Nenner enthalten ist. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 4, es ergibt sich 8/12, mit dem zweiten Term machen wir dasselbe, multiplizieren aber nur mit 3 - 9/12. Jetzt können Sie das Beispiel ganz einfach lösen: 8/12+9/12= 17/12. Der resultierende Bruch ist ein falscher Wert, da der Zähler größer als der Nenner ist. Es kann und sollte durch Division von 17:12 = 1 und 5/12 in die richtige gemischte umgewandelt werden.

Wenn gemischte Brüche addiert werden, werden die Aktionen zuerst mit ganzen Zahlen und dann mit gebrochenen Zahlen ausgeführt.

Wenn das Beispiel einen Dezimalbruch und einen gewöhnlichen Bruch enthält, müssen beide einfach werden, sie dann auf den gleichen Nenner bringen und addieren. Zum Beispiel 3.1+1/2. Die Zahl 3,1 kann als gemischter Bruch aus 3 und 1/10 oder als unechter Bruch geschrieben werden – 31/10. Der gemeinsame Nenner der Terme ist 10, Sie müssen also Zähler und Nenner 1/2 nacheinander mit 5 multiplizieren, das Ergebnis ist 5/10. Dann können Sie ganz einfach alles berechnen: 31/10+5/10=35/10. Das erhaltene Ergebnis ist ein unechter kontrahierbarer Bruch. Wir bringen ihn in die Normalform und reduzieren ihn um 5: 7/2=3 und 1/2 oder dezimal - 3,5.

Beim Addieren von 2 Dezimalstellen ist es wichtig, dass gleich viele Nachkommastellen vorhanden sind. Ist dies nicht der Fall, müssen Sie nur die erforderliche Anzahl an Nullen hinzufügen, da dies bei einem Dezimalbruch problemlos möglich ist. Beispiel: 3,5+3,005. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen Sie zur ersten Zahl zwei Nullen hinzufügen und dann nacheinander addieren: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Subtraktion von Brüchen

Beim Subtrahieren von Brüchen lohnt es sich, dasselbe zu tun wie beim Addieren: auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, einen Zähler vom anderen subtrahieren, ggf. das Ergebnis in einen gemischten Bruch umwandeln.

Zum Beispiel: 16.20.-5.10. Der gemeinsame Nenner ist 20. Sie müssen den zweiten Bruch auf diesen Nenner bringen und beide Teile mit 2 multiplizieren. Sie erhalten 10/20. Jetzt können Sie das Beispiel lösen: 16/20-10/20= 6/20. Dieses Ergebnis gilt jedoch für reduzierbare Brüche, daher lohnt es sich, beide Teile durch 2 zu dividieren und das Ergebnis ist 3/10.

Multiplikation von Brüchen

Division und Multiplikation von Brüchen sind viel einfachere Operationen als Addition und Subtraktion. Tatsache ist, dass bei der Erfüllung dieser Aufgaben nicht nach einem gemeinsamen Nenner gesucht werden muss.

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie lediglich abwechselnd beide Zähler und dann beide Nenner miteinander multiplizieren. Reduzieren Sie das resultierende Ergebnis, wenn der Bruch ein reduzierter Wert ist.

Zum Beispiel: 4/9x5/8. Nach alternativer Multiplikation ist das Ergebnis 4x5/9x8=20/72. Ein solcher Bruch kann um 4 gekürzt werden, sodass die endgültige Antwort im Beispiel 5/18 lautet.

So teilen Sie Brüche

Auch das Dividieren von Brüchen ist eine einfache Aktion, tatsächlich läuft es immer noch darauf hinaus, sie zu multiplizieren. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den zweiten umdrehen und mit dem ersten multiplizieren.

Zum Beispiel die Division der Brüche 5/19 und 5/7. Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie Nenner und Zähler des zweiten Bruchs vertauschen und multiplizieren: 5/19x7/5=35/95. Das Ergebnis kann um 5 reduziert werden - es ergibt sich 7/19.

Wenn Sie einen Bruch durch eine Primzahl dividieren müssen, ist die Technik etwas anders. Zunächst lohnt es sich, diese Zahl als unechten Bruch zu schreiben und sie dann nach dem gleichen Schema zu dividieren. Beispielsweise sollte 2/13:5 als 2/13:5/1 geschrieben werden. Jetzt müssen Sie 5/1 umdrehen und die resultierenden Brüche multiplizieren: 2/13x1/5= 2/65.

Manchmal muss man gemischte Brüche dividieren. Sie müssen mit ihnen wie mit ganzen Zahlen umgehen: Sie müssen sie in unechte Brüche umwandeln, den Divisor umdrehen und alles multiplizieren. Zum Beispiel 8 ½: 3. Alles in unechte Brüche umwandeln: 17/2: 3/1. Darauf folgt ein 3/1-Flip und eine Multiplikation: 17/2x1/3= 17/6. Jetzt sollten Sie den falschen Bruch in den richtigen umwandeln – 2 ganze Zahlen und 5/6.

Nachdem Sie also herausgefunden haben, was Brüche sind und wie Sie mit ihnen verschiedene arithmetische Operationen ausführen können, müssen Sie versuchen, es nicht zu vergessen. Schließlich neigen Menschen immer eher dazu, etwas in Teile zu zerlegen, als es hinzuzufügen. Sie müssen also in der Lage sein, es richtig zu machen.