folgt:

1) Zeichnen Sie eine Grafik f(x) in einem Intervall von mindestens zwei Perioden, um zu zeigen, dass die gegebene Funktion periodisch ist;

2) Zeichnen Sie eine Grafik S(x)ähnlich, damit ersichtlich ist, an welchen Stellen f(x)¹S(x);

3) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten und schreiben Sie die Fourier-Reihe auf.

Aufgaben

№1. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe

Lösung. beachte das f(x) auf das Längenintervall gegeben T=4. Da f(x) als periodisch angenommen wird, dann ist diese Zahl ihre Periode, dann - l = 2.

1) Grafik f(x):

2) Diagramm S(x):

Die Pfeile an den Enden der Linien zeigen, dass die Funktion an den Enden des Intervalls nicht den Wert annimmt, der aus dem für das Intervall angegebenen Ausdruck bestimmt wird. Beim Vergleich von Grafiken f(x) und S(x) das ist an den Unstetigkeitspunkten deutlich zu sehen f(x)¹S(x).

3) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten. Dies kann mit den Formeln (3*) erfolgen: ; ; . Exakt: ; Also,

Zersetzung f(x) in einer Fourier-Reihe hat die Form:

Bemerkungen . 1) Beim Integrieren an [-1;3] Dieser Abschnitt wurde unterteilt in und , Weil auf diesen Segmenten f(x) auf unterschiedliche Werte einstellen.

2) Bei der Berechnung der Koeffizienten wurden Integrale verwendet: und , wobei a = konst.

№2 . Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe

Lösung. Hier T=2, l = 1.

Die Fourier-Reihe hat die Form: , wobei ; ; , Weil l = 1.

1) Grafik f(x):

2) Diagramm S(x):

№3. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe in Bezug auf Sinus

Lösung. Beachten Sie, dass nur ungerade Funktionen in der Fourier-Reihe in Form von Sinus erweitert werden. Da f(x) nur für definiert x > 0, xí(0;2)И(2;3), dann bedeutet dies, dass auf dem symmetrischen Intervall (-3;-2)È(-2;0) f(x) muss so fortgesetzt werden, dass die Gleichberechtigung f(-x) = -f(x). Daher ist die Länge des Intervalls, auf dem f(x) gegeben als ungerade Funktion, gleich 6. Daher T = 6, l = 3. Fourierreihe für f(x) hat die Form: , wobei , n = 1, 2, 3, (gemäß Formeln (5")).

1) Grafik f(x).

Um ein Diagramm zu zeichnen f(x) Als ungerade Funktion zeichnen wir zunächst einen Graphen auf (0;2)È(2;3), und nutzen Sie dann die Tatsache aus, dass der Graph einer ungeraden Funktion bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist. Aus diesen Überlegungen erhalten wir den Graphen f(x) auf der (-3;-2)È(-2;0). Dann machen wir weiter f(x) T=6.

2) Diagramm S(x).

Zeitlicher Ablauf S(x) anders als Diagramm f(x) an den Unterbrechungspunkten der Funktion f(x). Zum Beispiel in T. x = 2f(x) nicht definiert, aber S(x) hat bei x=2 ein Wert gleich der halben Summe der einseitigen Grenzen der Funktion f(x), exakt: , wo , .

Also dann die Zerlegung f(x) in einer Fourier-Reihe hat die Form: .

№4 . Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe in Cosinus.

Lösung. Beachten Sie, dass nur gerade Funktionen in der Fourier-Reihe in Cosinus entwickelt werden können. Da f(x) nur für einstellen x>0, xí(0;2)И(2;3], dann bedeutet dies, dass auf dem symmetrischen Intervall [-3;-2)È(-2;0) f(x) wir müssen so fortfahren, dass die Gleichheit gilt: f(-x) = f(x). Daher ist die Länge des Intervalls, auf dem f(x) gegeben als gerade Funktion ist dann gleich 6 T = 6, l = 3. Die Fourier-Reihe hat in diesem Fall die Form:

wo ; ; n=1,2,...(gemäß Formeln (4")).

1) Grafik f(x).

Um ein Diagramm zu zeichnen f(x) als gerade Funktion zeichnen wir zunächst einen Graphen f(x) auf der (0;2)È(2;3], und nutzen Sie dann die Tatsache, dass der Graph einer geraden Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Aus diesen Überlegungen erhalten wir den Graphen f(x) auf der [-3;-2)È(-2;0). Dann machen wir weiter f(x) auf dem gesamten Zahlenstrahl als periodische Funktion mit Punkt T=6.

Hier ist das Diagramm f(x) auf zwei volle Perioden der Funktion gezogen.

2) Diagramm S(x).

Zeitlicher Ablauf S(x) anders als Diagramm f(x) an den Unterbrechungspunkten der Funktion f(x). Zum Beispiel in T. x = 0 f(x) nicht definiert, aber S(x) hat die Bedeutung: , also die Grafik S(x) wird nicht unterbrochen x=0, im Gegensatz zum Diagramm f(x).

Zersetzung f(x) in einer Fourier-Reihe in Cosinus hat die Form: .

№5. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe f(x) = |x|, xí(-2;2)..

Lösung. Nach Bedingung, f(x) ist eine gerade Funktion an (-2;2) ; diese. seine Fourier-Reihe enthält nur Kosinusse, während T = 4, l = 2, ,

wo ; ; n = 1, 2,

1) Grafik f(x):

2) Diagramm S(x):

3), weil |x| = x zum x > 0.; .

Dann die Zersetzung f(x) in einer Fourier-Reihe hat die Form: . Beachten Sie, dass beim Integrieren von Ausdrücken oder die Formel für die Integration nach Teilen verwendet wird: , where u=x; dv = cos(ax)dx oder dv = sin(ax)dx.

№6. Erweitern Sie die Funktion in einer Fourier-Reihe: a) im Intervall (-?,?); b) im Intervall (0, 2?); c) im Intervall (0, ?) in einer Reihe von Sinus.

Lösung. a) Graph einer Funktion mit 2? - periodische Fortsetzung hat die Form

Die Funktion erfüllt die Bedingungen des Satzes von Dirichlet und kann daher zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden.

Lassen Sie uns die Fourier-Koeffizienten berechnen. Da die Funktion gerade ist, ist bn = 0 (n = 0, 1, 2, …) und (n = 0, 1, 2, …).

Zur Berechnung dieses Integrals wird die Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral verwendet. Wir bekommen

Die Fourier-Reihe dieser Funktion hat die Form . Aufgrund des Dirichlet-Tests repräsentiert diese Reihe die Funktion x2 im Intervall (-?,?).

b) Das Intervall (0, 2?) ist nicht symmetrisch zum Ursprung und hat die Länge 2 l= 2?. Wir berechnen die Fourier-Koeffizienten mit den Formeln:

Daher hat die Fourier-Reihe die Form . Aufgrund des Satzes von Dirichlet konvergiert die Reihe an den Punkten x?(0,2?) und an den Punkten 0 und 2? schätzen. Das Reihensummendiagramm sieht so aus

c) Die sinusförmig entwickelte Funktion einer Reihe muss ungerade sein. Daher erweitern wir die gegebene Funktion x2 in (-π,π) auf eine ungerade Weise, d.h. bedenke die Funktion. Für diese Funktion f(x) haben wir an = 0 (n = 0, 1, 2,…) und

Die gewünschte Erweiterung hat die Form .

Das Reihensummendiagramm sieht so aus

Beachten Sie, dass an den Punkten x = (-π, π) die Fourier-Reihe gegen Null konvergiert.

№7 Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine grafisch gegebene Funktion:

Lösung . Wir erhalten einen expliziten Ausdruck für f(x). Der Graph der Funktion ist eine Gerade, wir verwenden die Gleichung einer Geraden in der Form. Wie aus der Zeichnung ersichtlich, d.h. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Diese Funktion erfüllt die Bedingungen des Dirichlet-Tests, erweitert sich also zu einer Fourier-Reihe. Berechnen wir die Fourier-Koeffizienten ( l = 1):

; (n = 1, 2, …);

Die Fourier-Reihe für die Funktion f(x) hat die Form

Es repräsentiert die Funktion f(x) bei -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Erweitern Sie die Funktion zu einer trigonometrischen Fourier-Reihe auf einem Segment und geben Sie die Funktion an, gegen die die resultierende Reihe konvergiert.

Lösung. Zeichnen Sie einen Graphen einer Funktion und setzen Sie ihn periodisch mit einem Punkt oder auf der gesamten Achse fort. Die fortgesetzte Funktion hat einen Punkt.

Überprüfen Sie die Bedingungen auf hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Fourier-Reihe (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet).

Die Funktion ist auf dem Segment stückweise monoton: Sie steigt immer weiter an. Die Funktion weist an einigen Stellen Unstetigkeiten erster Art auf.

Finden Sie heraus, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.

a) wenn die Funktion auf eingestellt ist

b) wenn die Funktion auf eingestellt ist

Bilden Sie die Fourier-Reihe der Funktion: .

Geben Sie die Funktion an, gegen die diese Reihe konvergiert, indem Sie punktweise Konvergenzkriterien verwenden: Gemäß dem Dirichlet-Kriterium konvergiert die Fourier-Reihe der Funktion gegen die Summe:

№9. Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe in Form von Sinus weiter und verwenden Sie diese Erweiterung, um die Summe der Zahlenreihe zu finden.

Lösung. Setze die Funktion gerade (ungerade) fort auf (- p,0) oder (- l,0) und dann periodisch mit Periode 2 p oder 2 l die Funktion auf die ganze Achse fortsetzen.

Wir setzen die Funktion auf eine seltsame Weise auf fort, und dann setzen wir sie periodisch mit einem Punkt auf der gesamten Achse fort.

Zeichnen Sie einen periodischen Fortsetzungsgraphen. Wir erhalten eine Funktion der Form:

Überprüfen Sie die Bedingungen auf hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Fourier-Reihe (Dini-Lipitz, Jordan, Dirichlet).

Die Funktion ist im Intervall stückweise konstant: Sie ist gleich -1 on und 1 on . Die Funktion weist an einigen Stellen Unstetigkeiten erster Art auf.

Fourier-Koeffizienten berechnen:

Seine Fourier-Koeffizienten werden durch die Formeln berechnet:

Bilden Sie die Fourier-Reihe der Funktion. .

Geben Sie die Funktion an, zu der diese Reihe konvergiert, indem Sie punktweise Konvergenzkriterien verwenden.

Nach dem Dirichlet-Test konvergiert die Fourier-Reihe der Funktion gegen die Summe:

Daher wann

Geben Sie durch Ersetzen der Werte die Summe der angegebenen Zahlenreihen an.

Unter der Annahme in der resultierenden Zerlegung finden wir ,

woher, seit , .

№10. Schreiben Sie die Gleichheit von Parseval für die Funktion und finden Sie basierend auf dieser Gleichheit die Summe der Zahlenreihe .

Lösung. Bestimmen Sie, ob die gegebene Funktion eine quadratisch integrierbare Funktion auf ist.

Die Funktion ist stetig und damit integrierbar auf . Aus demselben Grund ist sein Quadrat auf integrierbar.

Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten mit den Formeln:

Da es sich um eine ungerade Funktion handelt, werden ihre Fourier-Koeffizienten durch die Formeln berechnet:

Integral berechnen.

Schreiben Sie die Parseval-Formel:

Somit hat die Parseval-Formel die Form

Nachdem Sie, falls erforderlich, arithmetische Operationen auf der rechten und linken Seite durchgeführt haben, erhalten Sie die Summe der angegebenen Zahlenreihen.

Teilen wir beide Teile der resultierenden Gleichheit durch 144, finden wir: .

№11. Finden Sie das Fourier-Integral einer Funktion

und erstelle seinen Graphen.

Lösung. Zeichnen Sie die Funktion.

Überprüfen Sie die Erfüllung der Bedingungen hinreichender Bedingungen für die Konvergenz des Fourier-Integrals (Dini, Dirichlet-Jordan oder Konsequenzen daraus).

Die Funktion ist im Intervall absolut integrierbar, stetig für und und hat an einer Stelle eine Unstetigkeit erster Art. Ferner hat for und die Funktion eine endliche Ableitung, und bei Null gibt es endliche rechte und linke Ableitungen. Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. ; .

Also, oder

Fourier-Reihe periodischer Funktionen mit Periode 2π.

Mit der Fourier-Reihe können Sie periodische Funktionen untersuchen, indem Sie sie in Komponenten zerlegen. Wechselströme und -spannungen, Verschiebungen, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Kurbeltrieben und Schallwellen sind typische praktische Anwendungen periodischer Funktionen in technischen Berechnungen.

Die Fourier-Reihenentwicklung basiert auf der Annahme, dass alle Funktionen von praktischer Bedeutung im Intervall -π ≤ x ≤ π als konvergente trigonometrische Reihe ausgedrückt werden können (eine Reihe gilt als konvergent, wenn die Folge von Partialsummen aus ihren Termen konvergiert) :

Standard (=übliche) Notation durch die Summe von sinx und cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

wobei a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. reelle Konstanten sind, d.h.

Wobei für den Bereich von -π bis π die Koeffizienten der Fourier-Reihe nach den Formeln berechnet werden:

Die Koeffizienten a o , a n und b n werden genannt Fourier-Koeffizienten, und wenn sie gefunden werden können, wird Reihe (1) aufgerufen in der Nähe von Fourier, entsprechend der Funktion f(x). Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx+b 1 sinx) das erste Oder genannt Hauptharmonika,

Eine andere Möglichkeit, eine Reihe zu schreiben, ist die Verwendung der Beziehung acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Wo a o eine Konstante ist, sind c 1 \u003d (a 1 2 + b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 die Amplituden der verschiedenen Komponenten und gleich a n \ u003d arctg ein n /b n.

Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx + b 1 sinx) oder c 1 sin (x + α 1) das erste Oder genannt Hauptharmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) oder c 2 sin(2x+α 2) heißt zweite Harmonische usw.

Um ein komplexes Signal genau darzustellen, ist normalerweise eine unendliche Anzahl von Termen erforderlich. Bei vielen praktischen Problemen reicht es jedoch aus, nur die ersten Terme zu betrachten.

Fourier-Reihe nichtperiodischer Funktionen mit Periode 2π.

Entwicklung nichtperiodischer Funktionen in einer Fourier-Reihe.

Wenn die Funktion f(x) nicht periodisch ist, dann kann sie nicht für alle Werte von x in eine Fourier-Reihe entwickelt werden. Es ist jedoch möglich, eine Fourier-Reihe zu definieren, die eine Funktion über einen beliebigen Bereich der Breite 2π darstellt.

Bei einer nichtperiodischen Funktion kann man eine neue Funktion zusammensetzen, indem man f(x)-Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs wählt und sie außerhalb dieses Bereichs in 2π-Intervallen wiederholt. Da die neue Funktion periodisch mit einer Periode von 2π ist, kann sie für alle Werte von x in eine Fourier-Reihe entwickelt werden. Beispielsweise ist die Funktion f(x)=x nicht periodisch. Wenn es jedoch notwendig ist, es zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall von 0 bis 2π zu entwickeln, dann wird eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π außerhalb dieses Intervalls konstruiert (wie in der folgenden Abbildung gezeigt).

Für nichtperiodische Funktionen wie f(x)=x ist die Summe der Fourier-Reihe an allen Punkten im gegebenen Bereich gleich dem Wert von f(x), aber für Punkte ist sie nicht gleich f(x). außerhalb der Reichweite. Um die Fourier-Reihe einer nichtperiodischen Funktion im Bereich 2π zu finden, wird die gleiche Formel der Fourier-Koeffizienten verwendet.

Gerade und ungerade Funktionen.

Sie sagen die Funktion y=f(x) eben wenn f(-x)=f(x) für alle Werte von x. Graphen gerader Funktionen sind immer symmetrisch zur y-Achse (also gespiegelt). Zwei Beispiele für gerade Funktionen: y=x 2 und y=cosx.

Sie sagen, dass die Funktion y=f(x) seltsam, wenn f(-x)=-f(x) für alle Werte von x. Graphen ungerader Funktionen sind immer symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

Fourier-Reihenentwicklung in Cosinus.

Die Fourier-Reihe einer geradzahligen periodischen Funktion f(x) mit der Periode 2π enthält nur Cosinus-Terme (d. h. enthält keine Sinus-Terme) und kann einen konstanten Term enthalten. Folglich,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Die Fourier-Reihe einer ungeradzahligen periodischen Funktion f(x) mit Periode 2π enthält nur Terme mit Sinus (d. h. enthält keine Terme mit Cosinus).

Folglich,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Fourier-Reihe auf einem Halbzyklus.

Wenn eine Funktion über einen Bereich definiert ist, sagen wir 0 bis π und nicht nur 0 bis 2π, kann sie nur in Bezug auf Sinus oder nur in Bezug auf Kosinus in eine Reihe erweitert werden. Die resultierende Fourier-Reihe wird aufgerufen in der Nähe von Fourier auf einem Halbzyklus.

Wenn Sie eine Zerlegung erhalten möchten Fourier auf einem Halbzyklus in Cosinus Funktionen f(x) im Bereich von 0 bis π, dann ist es notwendig, eine gerade periodische Funktion zu bilden. Auf Abb. unten ist die Funktion f(x)=x, die auf dem Intervall von x=0 bis x=π aufgebaut ist. Da die gerade Funktion symmetrisch zur f(x)-Achse ist, zeichnen wir die Linie AB, wie in Abb. unter. Wenn wir davon ausgehen, dass außerhalb des betrachteten Intervalls die resultierende Dreiecksform periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann hat der endgültige Graph die Form display. in Abb. unter. Da es erforderlich ist, die Fourier-Entwicklung nach wie vor in Cosinus zu erhalten, berechnen wir die Fourier-Koeffizienten a o und a n

Wenn Sie Funktionen f (x) im Bereich von 0 bis π erhalten möchten, müssen Sie eine ungerade periodische Funktion erstellen. Auf Abb. unten ist die Funktion f(x)=x, die auf dem Intervall von x=0 bis x=π aufgebaut ist. Da die ungerade Funktion symmetrisch zum Ursprung ist, konstruieren wir die Gerade CD, wie in Abb. Wenn wir davon ausgehen, dass das empfangene Sägezahnsignal außerhalb des betrachteten Intervalls periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann hat der endgültige Graph die in Abb. Da es erforderlich ist, die Fourier-Entwicklung auf einem Halbzyklus in Form von Sinus zu erhalten, berechnen wir wie zuvor den Fourier-Koeffizienten. b

Fourier-Reihe für ein beliebiges Intervall.

Erweiterung einer periodischen Funktion mit der Periode L.

Die periodische Funktion f(x) wiederholt sich, wenn x um L zunimmt, d.h. f(x+L)=f(x). Der Übergang von den bisher betrachteten Funktionen mit Periode 2π zu Funktionen mit Periode L ist recht einfach, da er über einen Variablenwechsel erfolgen kann.

Um die Fourier-Reihe der Funktion f(x) im Bereich –L/2≤x≤L/2 zu finden, führen wir eine neue Variable u ein, sodass die Funktion f(x) eine Periode von 2π bezüglich u hat. Wenn u=2πx/L, dann x=-L/2 für u=-π und x=L/2 für u=π. Sei auch f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Die Fourier-Reihe F(u) hat die Form

Wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Häufiger führt die obige Formel jedoch zu einer Abhängigkeit von x. Da u=2πх/L, dann du=(2π/L)dx, und die Integrationsgrenzen sind von -L/2 bis L/2 anstatt von -π bis π. Daher hat die Fourier-Reihe für die Abhängigkeit von x die Form

wobei im Bereich von -L/2 bis L/2 die Koeffizienten der Fourier-Reihe stehen,

(Integrationsgrenzen können durch beliebige Intervalle der Länge L ersetzt werden, z. B. von 0 bis L)

Fourierreihen auf einer Halbperiode für Funktionen, die im Intervall L≠2π gegeben sind.

Für die Substitution u=πx/L entspricht das Intervall von x=0 bis x=L dem Intervall von u=0 bis u=π. Daher kann die Funktion nur nach Kosinus oder nur nach Sinus in eine Reihe entwickelt werden, d.h. in Fourier-Reihe auf einem Halbzyklus.

Die Kosinusentwicklung im Bereich von 0 bis L hat die Form

In der Nähe von Fourier Funktionen f (x) auf dem Intervall (-π; π) wird eine trigonometrische Reihe der Form genannt:
, wo

Die Fourier-Reihe der Funktion f (x) auf dem Intervall (-l; l) heißt trigonometrische Reihe der Form:
, wo

Geplanter Termin. Der Online-Rechner dient dazu, die Funktion f(x) in einer Fourier-Reihe zu erweitern.

Verwenden Sie für Modulo-Funktionen (z. B. |x|). Kosinusentwicklung.

Eingaberegeln für Funktionen:

Verwenden Sie für Modulo-Funktionen die Cosinus-Entwicklung. Zum Beispiel für |x| es ist notwendig, eine Funktion ohne Modul einzuführen, d.h. x .

Fourier-Reihe stückweise kontinuierlich, stückweise monoton und auf das Intervall beschränkt (- l;l) der Funktion konvergiert auf der gesamten reellen Achse.

Die Summe der Fourier-Reihe S(x) :

• ist eine periodische Funktion mit Periode 2 l. Eine Funktion u(x) heißt periodisch mit Periode T (oder T-periodisch), wenn für alle x des Definitionsbereichs R gilt u(x+T)=u(x).
• im Intervall (- l;l) stimmt mit der Funktion überein f(x), mit Ausnahme von Haltepunkten
• an Unstetigkeitsstellen (erster Art, da die Funktion begrenzt ist) der Funktion f(x) und nimmt Durchschnittswerte an den Enden des Intervalls:

.
Sie sagen, dass die Funktion im Intervall (- l;l): .

Wenn ein f(x) eine gerade Funktion ist, dann nehmen an ihrer Entwicklung nur gerade Funktionen teil, d.h. b n=0.
Wenn ein f(x) eine ungerade Funktion ist, dann nehmen nur ungerade Funktionen an ihrer Entwicklung teil, d.h. ein=0

In der Nähe von Fourier Funktionen f(x) auf dem Intervall (0; l) durch Kosinus mehrerer Bögen die Reihe heißt:
, wo
.
In der Nähe von Fourier Funktionen f(x) auf dem Intervall (0; l) durch Sinus mehrerer Bogen die Reihe heißt:
, wo .
Die Summe der Fourier-Reihe über den Kosinus mehrerer Bögen ist eine gerade periodische Funktion mit Periode 2 l, zusammenfallend mit f(x) auf dem Intervall (0; l) an Kontinuitätspunkten.
Die Summe der Fourier-Reihe über die Sinus mehrerer Bögen ist eine ungerade periodische Funktion mit einer Periode von 2 l, zusammenfallend mit f(x) auf dem Intervall (0; l) an Kontinuitätspunkten.
Die Fourier-Reihe für eine bestimmte Funktion in einem bestimmten Intervall hat die Eigenschaft der Eindeutigkeit, dh wenn die Erweiterung auf andere Weise als durch Verwendung von Formeln erhalten wird, beispielsweise durch Auswahl von Koeffizienten, dann stimmen diese Koeffizienten mit den durch die Formeln berechneten überein .

Beispiel 1. Erweitern Sie die Funktion f(x)=1:
a) in einer vollständigen Fourier-Reihe auf dem Intervall(-π ;π);
b) in einer Reihe entlang der Sinus mehrerer Bögen auf dem Intervall(0;π); Zeichnen Sie die resultierende Fourier-Reihe
Lösung:
a) Die Entwicklung in der Fourier-Reihe auf dem Intervall (-π; π) hat die Form:
,
und alle Koeffizienten b n=0, weil diese Funktion ist gerade; auf diese Weise,

Offensichtlich wird die Gleichheit erfüllt sein, wenn wir nehmen
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Aufgrund der Eindeutigkeitseigenschaft sind dies die gewünschten Koeffizienten. Somit ist die erforderliche Erweiterung: oder einfach 1=1.
Wenn in diesem Fall die Reihe identisch mit ihrer Funktion übereinstimmt, fällt der Graph der Fourier-Reihe mit dem Graphen der Funktion auf der gesamten reellen Linie zusammen.
b) Die Erweiterung des Intervalls (0;π) nach den Sinus mehrerer Bögen hat die Form:
Es ist offensichtlich unmöglich, die Koeffizienten so zu wählen, dass die Gleichheit identisch gilt. Verwenden wir die Formel, um die Koeffizienten zu berechnen:


Also für eben n (n=2k) wir haben b n=0, für ungerade ( n=2k-1) -
Endlich, .
Zeichnen wir die resultierende Fourier-Reihe anhand ihrer Eigenschaften (siehe oben).
Zunächst erstellen wir einen Graphen dieser Funktion in einem bestimmten Intervall. Unter Ausnutzung der Ungeradheit der Summe der Reihen setzen wir den Graphen symmetrisch zum Ursprung fort:

Wir fahren periodisch auf der gesamten Zahlenachse fort:


Und schließlich tragen wir an den Unterbrechungspunkten die Durchschnittswerte (zwischen der rechten und linken Grenze) ein:

Beispiel #2. Funktion erweitern auf dem Intervall (0;6) entlang der Sinus mehrerer Bögen.
Lösung: Die gewünschte Erweiterung hat die Form:

Da sowohl der linke als auch der rechte Teil der Gleichheit nur Sinusfunktionen unterschiedlicher Argumente enthalten, sollten Sie prüfen, ob die Argumente der Sinus im linken und rechten Teil der Gleichheit für beliebige Werte von n (natürlich!)
oder , womit n = 18. Das bedeutet, dass ein solcher Term auf der rechten Seite enthalten ist und der Koeffizient dafür mit dem Koeffizienten auf der linken Seite übereinstimmen muss: b 18 =1;
oder , womit n =4. Meint, b 4 =-5.
Durch die Auswahl der Koeffizienten war es somit möglich, die gewünschte Erweiterung zu erhalten.

Die sind schon ziemlich satt. Und ich fühle, dass der Moment gekommen ist, in dem es an der Zeit ist, neue Konserven aus den strategischen Reserven der Theorie zu extrahieren. Ist es möglich, die Funktion auf andere Weise zu einer Reihe zu erweitern? Zum Beispiel ein gerades Liniensegment durch Sinus und Cosinus ausdrücken? Es scheint unglaublich, aber solche scheinbar entfernten Funktionen bieten sich an
"Wiedervereinigung". Neben den bekannten Abschlüssen in Theorie und Praxis gibt es weitere Ansätze, eine Funktion zu einer Reihe zu erweitern.

In dieser Lektion werden wir uns mit der trigonometrischen Fourier-Reihe vertraut machen, das Thema ihrer Konvergenz und Summe ansprechen und natürlich zahlreiche Beispiele für die Erweiterung von Funktionen zu einer Fourier-Reihe analysieren. Ich wollte den Artikel aufrichtig „Fourierreihe für Dummies“ nennen, aber das wäre schlau, da das Lösen von Problemen Kenntnisse in anderen Bereichen der mathematischen Analyse und einige praktische Erfahrungen erfordert. Daher wird die Präambel dem Training von Astronauten ähneln =)

Erstens sollte das Studium der Seitenmaterialien in ausgezeichneter Form angegangen werden. Schläfrig, ausgeruht und nüchtern. Ohne starke Emotionen über die gebrochene Pfote eines Hamsters und obsessive Gedanken über die Strapazen des Aquarienfischlebens. Die Fourier-Reihe ist vom Verständnis her nicht schwierig, praktische Aufgaben erfordern jedoch einfach eine erhöhte Konzentration der Aufmerksamkeit – idealerweise sollte man auf äußere Reize komplett verzichten. Die Situation wird durch die Tatsache verschlimmert, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die Lösung und die Antwort zu überprüfen. Wenn Ihre Gesundheit also unterdurchschnittlich ist, dann ist es besser, etwas Einfacheres zu tun. Wahrheit.

Zweitens ist es vor dem Flug ins All notwendig, die Instrumententafel des Raumfahrzeugs zu studieren. Beginnen wir mit den Werten der Funktionen, die auf der Maschine angeklickt werden sollen:

Für jeden natürlichen Wert:

eines) . Und tatsächlich "blitzt" die Sinuskurve die x-Achse durch jedes "pi":
. Bei negativen Werten des Arguments ist das Ergebnis natürlich dasselbe: .

2). Aber das wussten nicht alle. Der Kosinus „pi en“ entspricht einem „Blinklicht“:

Ein negatives Argument ändert nichts am Fall: .

Vielleicht genug.

Und drittens, liebes Kosmonautenkorps, müssen Sie in der Lage sein ... integrieren.
Insbesondere sicher Bringen Sie eine Funktion unter ein Differentialzeichen, partiell integrieren und sich gut verstehen Newton-Leibniz-Formel. Beginnen wir mit den wichtigen Übungen vor dem Flug. Ich empfehle dringend, es nicht zu überspringen, damit Sie später nicht in der Schwerelosigkeit platt machen:

Beispiel 1

Bestimmte Integrale berechnen

wo nimmt natürliche Werte.

Lösung: Die Integration wird über die Variable "x" ausgeführt und in diesem Stadium wird die diskrete Variable "en" als Konstante betrachtet. In allen Integralen Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials:

Eine kurze Version der Lösung, die gut zum Schießen wäre, sieht so aus:

Sich an etwas gewöhnen:

Die vier verbleibenden Punkte sind für sich alleine. Versuchen Sie, die Aufgabe gewissenhaft zu bearbeiten und die Integrale kurz zu ordnen. Beispiellösungen am Ende der Lektion.

Nach einer QUALITÄTSübung ziehen wir Raumanzüge an
und startklar machen!

Erweiterung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall

Betrachten wir eine Funktion, die bestimmt zumindest auf dem Intervall (und möglicherweise auf einem größeren Intervall). Wenn diese Funktion auf dem Segment integrierbar ist, kann sie in eine trigonometrische erweitert werden die Fourierreihe:
, wo sind die sog Fourier-Koeffizienten.

In diesem Fall wird die Nummer angerufen Zersetzungszeit, und die Zahl ist Halbwertszeitzerlegung.

Offensichtlich besteht die Fourier-Reihe im allgemeinen Fall aus Sinus und Cosinus:

Schreiben wir es in der Tat im Detail:

Der Nullterm der Reihe wird normalerweise als geschrieben.

Fourier-Koeffizienten werden mit den folgenden Formeln berechnet:

Ich verstehe sehr gut, dass neue Begriffe für Anfänger immer noch undurchsichtig sind, um das Thema zu studieren: Zersetzungszeit, Halbzyklus, Fourier-Koeffizienten Keine Panik, es ist nicht vergleichbar mit der Aufregung vor einem Weltraumspaziergang. Lassen Sie uns alles im nächsten Beispiel herausfinden, bevor Sie es ausführen, was logisch ist, dringende praktische Fragen zu stellen:

Was müssen Sie bei den folgenden Aufgaben tun?

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe. Außerdem ist es oft erforderlich, einen Funktionsgraphen, einen Reihensummengraphen, eine Partialsumme zu zeichnen und bei ausgefeilten Professorenphantasien noch etwas anderes zu tun.

Wie erweitert man eine Funktion in eine Fourier-Reihe?

Im Wesentlichen müssen Sie finden Fourier-Koeffizienten, das heißt, komponiere und berechne drei bestimmte Integrale.

Bitte übertrage die allgemeine Form der Fourier-Reihe und die drei Arbeitsformeln in dein Heft. Ich freue mich sehr, dass bei einigen Besuchern der Website ein Kindheitstraum, Astronaut zu werden, vor meinen Augen wahr wird =)

Beispiel 2

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall . Erstellen Sie einen Graphen, einen Graphen der Summe einer Reihe und einer Teilsumme.

Lösung: Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern.

Der Anfang ist Standard, notieren Sie sich Folgendes:

In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode .

Wir erweitern die Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall:

Unter Verwendung der entsprechenden Formeln finden wir Fourier-Koeffizienten. Jetzt müssen wir drei zusammensetzen und berechnen bestimmte Integrale. Der Einfachheit halber nummeriere ich die Punkte:

1) Das erste Integral ist das einfachste, erfordert aber schon Auge und Auge:

2) Wir verwenden die zweite Formel:

Dieses Integral ist bekannt und er nimmt es Stück für Stück:

Wenn gebraucht gefunden Methode, eine Funktion unter ein Differentialzeichen zu bringen.

Bei der betrachteten Aufgabe ist es bequemer, sie sofort zu verwenden Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral :

Ein paar technische Anmerkungen. Zuerst nach Anwendung der Formel der gesamte Ausdruck muss in große Klammern eingeschlossen werden, da vor dem ursprünglichen Integral eine Konstante steht. Lass es uns nicht verlieren! Klammern können bei jedem weiteren Schritt geöffnet werden, ich habe es in der allerletzten Runde gemacht. Im ersten "Stück" Wir zeigen extreme Genauigkeit bei der Substitution, wie Sie sehen können, ist die Konstante aus dem Geschäft und die Integrationsgrenzen werden in das Produkt eingesetzt. Diese Aktion ist mit eckigen Klammern gekennzeichnet. Nun, das Integral des zweiten "Stücks" der Formel ist Ihnen aus der Trainingsaufgabe bekannt ;-)

Und vor allem - die ultimative Aufmerksamkeitskonzentration!

3) Wir suchen den dritten Fourier-Koeffizienten:

Ein Relativer des vorherigen Integrals wird erhalten, was auch ist stückweise integriert:

Diese Instanz ist etwas komplizierter, ich werde die weiteren Schritte Schritt für Schritt auskommentieren:

(1) Der gesamte Ausdruck wird in große Klammern eingeschlossen.. Ich wollte nicht wie ein Langweiler wirken, sie verlieren zu oft die Konstante.

(2) In diesem Fall habe ich diese großen Klammern sofort erweitert. Besondere Aufmerksamkeit widmen wir uns dem ersten „Stück“: das raucht ständig am Rande und beteiligt sich nicht an der Substitution der Integrationsgrenzen ( und ) in das Produkt . Angesichts der Unordnung des Protokolls empfiehlt es sich wiederum, diese Aktion in eckigen Klammern hervorzuheben. Mit dem zweiten "Stück" alles ist einfacher: Hier erschien der Bruch nach dem Öffnen großer Klammern und die Konstante - als Ergebnis der Integration des bekannten Integrals ;-)

(3) In eckigen Klammern führen wir Transformationen durch und im rechten Integral setzen wir die Integrationsgrenzen ein.

(4) Wir entfernen den „Flasher“ aus den eckigen Klammern: , danach öffnen wir die inneren Klammern: .

(5) Wir kürzen die 1 und -1 in Klammern und nehmen letzte Vereinfachungen vor.

Endlich alle drei Fourier-Koeffizienten gefunden:

Setze sie in die Formel ein :

Vergessen Sie nicht, in zwei Hälften zu teilen. Im letzten Schritt wird die Konstante ("minus zwei"), die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt.

Damit haben wir die Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall erhalten:

Betrachten wir die Frage der Konvergenz der Fourier-Reihe. Ich werde insbesondere die Theorie erläutern Satz von Dirichlet, wörtlich "an den Fingern", wenn Sie also strenge Formulierungen benötigen, schlagen Sie bitte in einem Lehrbuch über Analysis nach (zum Beispiel der 2. Band von Bohan; oder der 3. Band von Fichtenholtz, aber darin ist es schwieriger).

Im zweiten Teil der Aufgabe gilt es, einen Graphen, einen Reihensummengraphen und einen Teilsummengraphen zu zeichnen.

Der Graph der Funktion ist der übliche Gerade im Flugzeug, die mit einer schwarzen gepunkteten Linie gezeichnet ist:

Wir beschäftigen uns mit der Summe der Reihen. Wie Sie wissen, konvergieren Funktionsreihen zu Funktionen. In unserem Fall die konstruierte Fourier-Reihe für jeden Wert von "x" konvergiert gegen die rot dargestellte Funktion. Diese Funktion unterliegt Pausen der 1. Art in Punkten , sondern auch darin definiert (rote Punkte in der Zeichnung)

Auf diese Weise: . Es ist leicht zu erkennen, dass es sich deutlich von der ursprünglichen Funktion unterscheidet, weshalb in der Notation Anstelle eines Gleichheitszeichens wird eine Tilde verwendet.

Untersuchen wir einen Algorithmus, mit dem es bequem ist, die Summe einer Reihe zu bilden.

Auf dem zentralen Intervall konvergiert die Fourier-Reihe zur Funktion selbst (das zentrale rote Segment fällt mit der schwarz gepunkteten Linie der linearen Funktion zusammen).

Lassen Sie uns nun ein wenig über die Natur der betrachteten trigonometrischen Erweiterung sprechen. die Fourierreihe enthält nur periodische Funktionen (Konstante, Sinus und Cosinus), also die Summe der Reihen ist ebenfalls eine periodische Funktion.

Was bedeutet das in unserem speziellen Beispiel? Und das bedeutet, dass die Summe der Reihe –unbedingt periodisch und das rote Segment des Intervalls muss links und rechts unendlich wiederholt werden.

Ich denke, dass jetzt endlich die Bedeutung des Ausdrucks "Zeit der Zersetzung" klar geworden ist. Einfach gesagt, jedes Mal wiederholt sich die Situation immer wieder.

In der Praxis reicht es meist aus, wie in der Zeichnung drei Zersetzungsperioden darzustellen. Nun, und weitere "Stümpfe" benachbarter Perioden - um deutlich zu machen, dass das Diagramm fortgesetzt wird.

Von besonderem Interesse sind Unstetigkeitsstellen 1. Art. An solchen Stellen konvergiert die Fourier-Reihe zu isolierten Werten, die sich genau in der Mitte des Unstetigkeits-"Sprungs" befinden (rote Punkte in der Zeichnung). Wie findet man die Ordinate dieser Punkte? Suchen wir zunächst die Ordinate der „oberen Etage“: Dazu berechnen wir den Wert der Funktion am äußersten rechten Punkt der mittleren Expansionsperiode: . Um die Ordinate der „unteren Etage“ zu berechnen, nehmen Sie am einfachsten den Wert ganz links im gleichen Zeitraum: . Die Ordinate des Mittelwertes ist das arithmetische Mittel der Summe aus „oben und unten“: . Schön ist, dass man beim Erstellen einer Zeichnung sofort sieht, ob die Mitte richtig oder falsch berechnet ist.

Bilden wir eine Partialsumme der Reihe und wiederholen wir gleichzeitig die Bedeutung des Begriffs "Konvergenz". Das Motiv ist aus der Lektion über bekannt die Summe der Zahlenreihe. Lassen Sie uns unser Vermögen im Detail beschreiben:

Um eine Teilsumme zu bilden, musst du null + zwei weitere Terme der Reihe aufschreiben. Also,

In der Zeichnung ist der Graph der Funktion grün dargestellt, und wie Sie sehen können, umschließt er die Gesamtsumme ziemlich eng. Wenn wir eine Teilsumme von fünf Termen der Reihe betrachten, wird der Graph dieser Funktion die roten Linien noch genauer annähern, wenn es hundert Terme gibt, dann verschmilzt die „grüne Schlange“ tatsächlich vollständig mit den roten Segmenten, usw. Somit konvergiert die Fourier-Reihe gegen ihre Summe.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Teilsumme ist kontinuierliche Funktion, aber die Gesamtsumme der Reihe ist immer noch unstetig.

In der Praxis ist es nicht ungewöhnlich, einen Partialsummengraphen zu erstellen. Wie kann man das machen? In unserem Fall ist es notwendig, die Funktion auf dem Segment zu berücksichtigen und ihre Werte an den Enden des Segments und an Zwischenpunkten zu berechnen (je mehr Punkte Sie berücksichtigen, desto genauer wird das Diagramm). Dann sollten Sie diese Punkte auf der Zeichnung markieren und sorgfältig ein Diagramm über die Periode zeichnen und es dann in benachbarte Intervalle „replizieren“. Wie sonst? Approximation ist schließlich auch eine periodische Funktion ... ... deren Graph erinnert mich irgendwie an einen gleichmäßigen Herzrhythmus auf dem Display eines Medizingerätes.

Natürlich ist es nicht sehr bequem, die Konstruktion durchzuführen, da Sie äußerst vorsichtig sein müssen und eine Genauigkeit von nicht weniger als einem halben Millimeter einhalten müssen. Ich werde jedoch Leser erfreuen, die mit dem Zeichnen uneins sind - bei einer "echten" Aufgabe ist es bei weitem nicht immer notwendig, eine Zeichnung durchzuführen, irgendwo in 50% der Fälle ist es erforderlich, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern und das ist es.

Nach Abschluss der Zeichnung erledigen wir die Aufgabe:

Antworten:

Bei vielen Aufgaben leidet die Funktion Ruptur 1. Art direkt am Zersetzungszeitraum:

Beispiel 3

Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die auf dem Intervall gegebene Funktion. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Gesamtsumme der Reihe.

Die vorgeschlagene Funktion ist stückweise gegeben (und wohlgemerkt nur auf dem Segment) und aushalten Ruptur 1. Art am Punkt . Kann man die Fourier-Koeffizienten berechnen? Kein Problem. Sowohl der linke als auch der rechte Teil der Funktion sind in ihren Intervallen integrierbar, daher sollten die Integrale in jeder der drei Formeln als Summe von zwei Integralen dargestellt werden. Sehen wir uns zum Beispiel an, wie dies für einen Koeffizienten von Null gemacht wird:

Das zweite Integral stellte sich als gleich Null heraus, was die Arbeit reduzierte, aber das ist nicht immer der Fall.

Zwei andere Fourier-Koeffizienten werden ähnlich geschrieben.

Wie zeigt man die Summe einer Reihe an? Auf dem linken Intervall zeichnen wir ein gerades Liniensegment und auf dem Intervall - ein gerades Liniensegment (markieren Sie den Achsenabschnitt fett-fett). Das heißt, im Expansionsintervall stimmt die Summe der Reihe überall mit der Funktion überein, mit Ausnahme von drei "schlechten" Punkten. An der Unstetigkeitsstelle der Funktion konvergiert die Fourier-Reihe gegen einen isolierten Wert, der genau in der Mitte des „Sprungs“ der Unstetigkeit liegt. Es ist nicht schwer, es mündlich zu sehen: linke Grenze:, rechte Grenze: und offensichtlich ist die Ordinate des Mittelpunkts 0,5.

Aufgrund der Periodizität der Summe muss das Bild in benachbarte Perioden „multipliziert“ werden, insbesondere auf den Intervallen und dasselbe darstellen. In diesem Fall konvergiert die Fourier-Reihe an den Punkten gegen die Medianwerte.

Eigentlich gibt es hier nichts Neues.

Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Ein ungefähres Beispiel für feines Design und Zeichnen am Ende der Lektion.

Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine beliebige Periode

Für eine beliebige Expansionsperiode, bei der "el" eine beliebige positive Zahl ist, unterscheiden sich die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten in einem etwas komplizierten Sinus- und Cosinus-Argument:

Wenn , dann erhalten wir die Formeln für das Intervall, mit dem wir begonnen haben.

Der Algorithmus und die Prinzipien zur Lösung des Problems bleiben vollständig erhalten, aber die technische Komplexität der Berechnungen nimmt zu:

Beispiel 4

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe und zeichnen Sie die Summe.

Lösung: in der Tat ein Analogon von Beispiel Nr. 3 mit Ruptur 1. Art am Punkt . In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Die Funktion ist nur auf dem Halbintervall definiert, aber das ändert nichts - es ist wichtig, dass beide Teile der Funktion integrierbar sind.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe:

Da die Funktion am Ursprung unstetig ist, sollte jeder Fourier-Koeffizient offensichtlich als Summe zweier Integrale geschrieben werden:

1) Ich schreibe das erste Integral so detailliert wie möglich:

2) Schauen Sie vorsichtig in die Oberfläche des Mondes:

Zweites Integral Teile aufnehmen:

Worauf sollten Sie genau achten, nachdem wir die Fortsetzung der Lösung mit einem Sternchen geöffnet haben?

Erstens verlieren wir das erste Integral nicht , wo wir sofort ausführen unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Zweitens, vergessen Sie nicht die unglückselige Konstante vor den großen Klammern und Lassen Sie sich nicht von Zeichen verwirren bei Verwendung der Formel . Große Klammern ist es schließlich bequemer, sie gleich im nächsten Schritt zu öffnen.

Der Rest ist eine Frage der Technik, nur unzureichende Erfahrung beim Lösen von Integralen kann zu Schwierigkeiten führen.

Ja, es war nicht umsonst, dass die bedeutenden Kollegen des französischen Mathematikers Fourier empört waren - wie konnte er es wagen, Funktionen in trigonometrische Reihen zu zerlegen?! =) Wahrscheinlich interessiert sich übrigens jeder für die praktische Bedeutung der jeweiligen Aufgabe. Fourier selbst arbeitete an einem mathematischen Modell der Wärmeleitung, und in der Folge begann man mit der nach ihm benannten Reihe viele periodische Prozesse zu untersuchen, die in der Außenwelt scheinbar unsichtbar sind. Jetzt habe ich mich übrigens dabei ertappt, dass ich den Graphen des zweiten Beispiels nicht zufällig mit einem periodischen Herzrhythmus verglichen habe. Interessierte können sich mit der praktischen Anwendung vertraut machen Fourier-Transformationen aus Drittquellen. ... Obwohl es besser ist, es nicht zu tun - es wird als First Love in Erinnerung bleiben =)

3) Angesichts der immer wieder erwähnten Schwachstellen behandeln wir den dritten Koeffizienten:

Teilweise integrieren:

Wir setzen die gefundenen Fourier-Koeffizienten in die Formel ein , ohne zu vergessen, den Nullkoeffizienten zu halbieren:

Lassen Sie uns die Summe der Reihe zeichnen. Lassen Sie uns den Vorgang kurz wiederholen: Auf dem Intervall bauen wir eine Linie und auf dem Intervall - eine Linie. Bei einem Nullwert von "x" setzen wir einen Punkt in die Mitte des "Sprungs" der Lücke und "replizieren" das Diagramm für benachbarte Perioden:


An den "Verbindungspunkten" der Perioden ist die Summe auch gleich den Mittelpunkten des "Sprungs" der Lücke.

Bereit. Ich erinnere Sie daran, dass die Funktion selbst nur im Halbintervall bedingt definiert ist und offensichtlich mit der Summe der Reihen in den Intervallen übereinstimmt

Antworten:

Manchmal ist eine stückweise gegebene Funktion auch auf der Expansionsperiode stetig. Das einfachste Beispiel: . Lösung (Siehe Bohan Band 2) ist dasselbe wie in den beiden vorherigen Beispielen: trotz Funktionskontinuität am Punkt wird jeder Fourier-Koeffizient als Summe zweier Integrale ausgedrückt.

In der Trennungspause Unstetigkeitsstellen 1. Art und/oder "Knoten"-Punkte des Graphen können mehr sein (zwei, drei und im Allgemeinen beliebige Finale Menge). Wenn eine Funktion auf jedem Teil integrierbar ist, dann ist sie auch in einer Fourier-Reihe erweiterbar. Aber aus praktischer Erfahrung erinnere ich mich nicht an eine solche Dose. Trotzdem gibt es schwierigere Aufgaben als gerade betrachtet, und am Ende des Artikels gibt es für alle Links zu Fourier-Reihen mit erhöhter Komplexität.

In der Zwischenzeit entspannen wir uns, lehnen uns in unseren Stühlen zurück und betrachten die endlosen Weiten der Sterne:

Beispiel 5

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall und zeichnen Sie die Summe der Reihen.

In dieser Aufgabe ist die Funktion kontinuierlich auf dem Zersetzungshalbintervall, was die Lösung vereinfacht. Alles ist sehr ähnlich zu Beispiel Nr. 2. Es gibt kein Entkommen aus dem Raumschiff - Sie müssen sich entscheiden =) Ein ungefähres Designbeispiel am Ende der Lektion, der Zeitplan ist beigefügt.

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen

Bei geraden und ungeraden Funktionen wird die Problemlösung spürbar vereinfacht. Und deshalb. Kehren wir zur Erweiterung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine Periode von "zwei Pi" zurück und beliebiger Zeitraum "zwei Ales" .

Nehmen wir an, unsere Funktion ist gerade. Wie Sie sehen können, enthält der allgemeine Begriff der Reihe gerade Kosinusse und ungerade Sinusse. Und wenn wir eine GERADE-Funktion zerlegen, warum brauchen wir dann ungerade Sinus?! Lassen Sie uns den unnötigen Koeffizienten zurücksetzen: .

Auf diese Weise, Eine gerade Funktion wird nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe erweitert:

Weil die Integrale gerader Funktionenüber ein zu Null symmetrisches Integrationssegment verdoppelt werden, dann werden auch die übrigen Fourier-Koeffizienten vereinfacht.

Für Spanne:

Für ein beliebiges Intervall:

Lehrbuchbeispiele, die in fast jedem Lehrbuch für Analysis zu finden sind, beinhalten Erweiterungen von geraden Funktionen . Darüber hinaus haben sie sich in meiner persönlichen Praxis immer wieder getroffen:

Beispiel 6

Gegeben eine Funktion. Erforderlich:

1) Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe mit Punkt , wobei eine beliebige positive Zahl ist;

2) Schreiben Sie die Erweiterung des Intervalls auf, bauen Sie eine Funktion auf und stellen Sie die Gesamtsumme der Reihe graphisch dar.

Lösung: Im ersten Absatz wird vorgeschlagen, das Problem allgemein zu lösen, und das ist sehr praktisch! Es wird einen Bedarf geben - ersetzen Sie einfach Ihren Wert.

1) In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Im weiteren Verlauf, insbesondere beim Integrieren, wird "el" als Konstante betrachtet

Die Funktion ist gerade, was bedeutet, dass sie nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe expandiert: .

Fourier-Koeffizienten werden durch die Formeln gesucht . Achten Sie auf ihre absoluten Vorteile. Zunächst wird die Integration über das positive Segment der Erweiterung durchgeführt, was bedeutet, dass wir das Modul sicher loswerden , wobei nur "x" von zwei Stücken berücksichtigt wird. Und zweitens wird die Integration spürbar vereinfacht.

Zwei:

Teilweise integrieren:

Auf diese Weise:
, während die Konstante , die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt wird.

Antworten:

2) Wir schreiben die Erweiterung auf das Intervall, dazu setzen wir den gewünschten Wert der Halbperiode in die allgemeine Formel ein:

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen Entwicklung einer auf einer Strecke gegebenen Funktion in eine Reihe nach Sinus oder Cosinus Fourier-Reihen für eine Funktion mit beliebiger Periode Komplexe Darstellung der Fourier-Reihen Fourier-Reihen in allgemeinen orthogonalen Systemen von Funktionen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimumeigenschaft von Fourier-Koeffizienten Besselsche Ungleichung Gleichheit Parseval Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit von Systemen

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen Die Funktion f(x), definiert auf dem Segment \-1, wobei I > 0, heißt gerade, wenn der Graph der geraden Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Die auf dem Segment J definierte Funktion f(x) mit I > 0 heißt ungerade, wenn der Graph der ungeraden Funktion bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist. Beispiel. a) Die Funktion ist gerade auf dem Segment |-jt, jt), da für alle x e b) Die Funktion ist ungerade, da die Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen die Entwicklung einer auf dem Segment gegebenen Funktion in eine Reihe von ist Sinus oder Cosinus Fourier-Reihen für eine Funktion mit beliebiger Periode Komplexe Notation der Fourier-Reihen Fourier-Reihen in allgemeinen orthogonalen Funktionssystemen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Bessel-Ungleichung Parseval-Gleichheit Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit von Systemen weder zu gerade noch ungerade Funktionen, da die Funktion f(x), die die Bedingungen von Theorem 1 erfüllt, auf dem Segment x| gerade ist. Dann für alle, d.h. /(g) cos nx ist eine gerade Funktion, und f(x)sinnx ist eine ungerade. Daher sind die Fourier-Koeffizienten einer geraden Funktion /(x) gleich, daher hat die Fourier-Reihe einer geraden Funktion die Form f(x) sin nx ist eine gerade Funktion. Daher haben wir also die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion die Form Wir haben Zweimal partielle Integration angewendet, erhalten wir also die Fourier-Reihe dieser Funktion sieht also so aus: oder, in erweiterter Form, Diese Gleichheit gilt für jedes x €, da an den Punkten x = ±ir die Summe der Die Reihe stimmt mit den Werten der Funktion f(x ) = x2 überein, da die Graphen der Funktion f(x) = x und die Summen der resultierenden Reihe in Abb. Kommentar. Mit dieser Fourier-Reihe können Sie die Summe einer der konvergenten numerischen Reihen finden, nämlich für x \u003d 0 erhalten wir das Die Funktion /(x) erfüllt die Bedingungen von Theorem 1, daher kann sie zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden, die aufgrund der Seltsamkeit dieser Funktion die Form haben wird. Durch partielle Integration finden wir die Fourier-Koeffizienten. Daher die Fourier Reihe dieser Funktion hat die Form Diese Gleichheit gilt für alle x  Punkte x - ±tg die Summe der Fourier-Reihe fällt nicht mit den Werten der Funktion / (x) = x zusammen, da sie gleich Außerhalb der ist Segment [- *, n-] Die Summe der Reihe ist eine periodische Fortsetzung der Funktion / (x) \u003d x; sein Graph ist in Abb. 6. § 6. Entwicklung einer auf einem Intervall gegebenen Funktion in eine Reihe in Bezug auf Sinus oder Cosinus Es sei eine beschränkte stückweise monotone Funktion / auf einem Intervall gegeben. Die Werte dieser Funktion auf dem Intervall 0| kann auf verschiedene Weise definiert werden. Beispielsweise ist es möglich, die Funktion / auf dem Segment mc] so zu definieren, dass /. In diesem Fall heißt es, dass) "gleichmäßig bis zum Segment 0 verlängert wird"; seine Fourier-Reihe enthält nur Kosinusse. Wenn jedoch die Funktion /(x) auf dem Segment [-x, mc] definiert ist, so dass /(, dann erhält man eine ungerade Funktion, und dann sagen wir, dass / "auf das Segment [-*, 0 verlängert wird ] auf eine seltsame Weise"; in diesem Fall enthält die Fourier-Reihe nur Sinuswerte. Daher kann jede begrenzte stückweise monotone Funktion /(x), die auf dem Segment definiert ist, in eine Fourier-Reihe erweitert werden, und zwar sowohl in Bezug auf Sinus und Cosinus. Beispiel 1. Erweitern Sie die Funktion in einer Fourier-Reihe: a) um Cosinus; b) entlang der Sinus. M Diese Funktion mit ihren geraden und ungeraden Erweiterungen zum Segment |-x, 0) wird beschränkt und stückweise monoton sein. a) Wir setzen / (z) in das Segment 0 fort) a) Wir setzen j \ x) in das Segment (-m, 0 | in gerader Weise fort (Abb. 7), dann hat seine Fourier-Reihe i die Form P \u003d 1, wobei die Fourier-Koeffizienten jeweils gleich sind. Daher b) Fahren wir mit /(z) im Segment [-x,0] auf ungerade Weise fort (Abb. 8). Dann seine Fourier-Reihe §7. Fourier-Reihe für eine Funktion mit beliebiger Periode Die Funktion fix) sei periodisch mit einer Periode von 21,1 ^ 0. Um sie zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall mit I > 0 zu erweitern, ändern wir die Variable, indem wir x = jt setzen . Dann ist die Funktion F(t) = / ^tj eine periodische Funktion des Arguments t mit einem Punkt und kann auf ein Segment in einer Fourier-Reihe erweitert werden. Zurück zur Variablen x, d. h. zum Setzen erhalten wir , bleiben in gilt auch für periodische Funktionen mit beliebiger Periode 21. Insbesondere bleibt auch das hinreichende Kriterium für die Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe gültig. Beispiel 1. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine periodische Funktion mit einer Periode von 21, die auf dem Segment [-/,/] durch die Formel (Abb. 9) gegeben ist. Da diese Funktion gerade ist, hat ihre Fourier-Reihe die Form. Wenn wir die gefundenen Werte der Fourier-Koeffizienten in die Fourier-Reihe einsetzen, erhalten wir Wir bemerken eine wichtige Eigenschaft periodischer Funktionen. Satz 5. Wenn eine Funktion eine Periode T hat und integrierbar ist, dann gilt für jede Zahl a die Gleichheit m. d.h. das Integral auf einem Segment, dessen Länge gleich der Periode T ist, hat den gleichen Wert, unabhängig von der Position dieses Segments auf der reellen Achse. In der Tat nehmen wir eine Änderung der Variablen im zweiten Integral vor, vorausgesetzt Daraus ergibt sich und daher geometrisch bedeutet diese Eigenschaft, dass im Falle des schraffierten Bereichs in Abb. 10 Bereiche sind einander gleich. Insbesondere für eine Funktion f(x) mit einer Periode erhält man bei der Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen die Entwicklung einer auf einer Strecke gegebenen Funktion in eine Reihe in Form von Sinus- oder Cosinus-Fourier-Reihen für eine Funktion mit einer beliebigen Periode Komplexe Darstellung der Fourier-Reihen Fourier-Reihen in allgemeinen orthogonalen Systemen Funktionen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Bessel-Ungleichung Parseval-Gleichheit Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit von Systemen, die die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion f(x) mit einer Periode von 21 kann mit den Formeln berechnet werden, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist (beachten Sie, dass die Funktionen cos - und sin eine Periode von 2/ haben). Beispiel 3. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine Funktion, die auf einem Intervall mit einer Periode von 2x gegeben ist (Abb. 11). 4 Finden Sie die Fourier-Koeffizienten dieser Funktion. Wenn wir die Formeln einsetzen, finden wir für Daher sieht die Fourier-Reihe so aus: An der Stelle x = jt (Unstetigkeitsstelle erster Art) haben wir §8. Komplexe Notation der Fourier-Reihe In diesem Abschnitt werden einige Elemente der komplexen Analysis verwendet (siehe Kapitel XXX, wo alle hier mit komplexen Ausdrücken durchgeführten Operationen streng begründet sind). Die Funktion f(x) erfülle hinreichende Bedingungen für die Entwicklung in eine Fourier-Reihe. Dann kann es auf dem Segment x] durch eine Reihe der Form dargestellt werden Unter Verwendung der Euler-Formeln Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Reihe (1) anstelle von cos nx und sin xy erhalten wir Wir führen die folgende Notation ein Dann die Reihe (2) nimmt die Form an Somit wird die Fourier-Reihe (1) in der komplexen Form (3) dargestellt. Lassen Sie uns Ausdrücke für die Koeffizienten in Form von Integralen finden. Wir haben Ähnlich finden wir Schließlich können die Formeln für с„, с_п und с wie folgt geschrieben werden: . . Die Koeffizienten cn heißen die komplexen Fourier-Koeffizienten der Funktion Für eine periodische Funktion mit einer Periode) nimmt die komplexe Form der Fourier-Reihe die Formwerte w an, wenn Grenzwerte existieren Beispiel. Entwickle die Periodenfunktion in eine komplexe Fourier-Reihe Diese Funktion erfüllt hinreichende Bedingungen für die Entfaltung in eine Fourier-Reihe. Lassen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten dieser Funktion finden. Wir haben für ungerade für gerade n, oder kurz. Durch Einsetzen der Werte) erhalten wir schließlich Beachten Sie, dass diese Reihe auch wie folgt geschrieben werden kann: Fourierreihen in allgemeinen orthogonalen Funktionensystemen 9.1. Orthogonale Funktionensysteme Bezeichnen mit die Menge aller (reellen) Funktionen, die auf dem Intervall [a, 6] quadratdefiniert und integrierbar sind, also solche, für die es ein Integral gibt, insbesondere alle Funktionen f(x), die sind stetig auf dem Intervall [a , 6], gehören zu 6], und die Werte ihrer Lebesgue-Integrale stimmen mit den Werten der Riemann-Integrale überein. Definition. Das System der Funktionen, wobei, heißt orthogonal auf dem Intervall [a, b\, wenn Bedingung (1) insbesondere voraussetzt, dass keine der Funktionen identisch gleich Null ist. Das Integral wird im Sinne von Lebesgue verstanden. und wir nennen die Größe die Norm einer Funktion.Wenn wir in einem orthogonalen System für jedes n haben, dann heißt das System von Funktionen orthonormal. Wenn das System (y>n(x)) orthogonal ist, dann das System Beispiel 1. Ein trigonometrisches System ist orthogonal auf einer Strecke. Das Funktionensystem ist ein orthonormales Funktionensystem, Beispiel 2. Das Kosinussystem und das Sinussystem ist orthonormal. Lassen Sie uns die Notation einführen, dass sie orthogonal auf dem Segment sind (0, f|, aber nicht orthonormal (für I ↦ 2). Da ihre Normen COS sind, bilden die Funktionen ein orthonormales System von Funktionen auf einem Segment. Lassen Sie uns zeigen, zum Beispiel, dass die Legendre-Polynome orthogonal sind, sei m > n. In diesem Fall finden wir, indem wir n-mal in Teilen integrieren, da für die Funktion t/m = (z2 - I)m alle Ableitungen bis zur Ordnung m - I einschließlich verschwinden an den Enden des Intervalls [-1,1). Definition. Das Funktionensystem (pn(x)) heißt orthogonal auf dem Intervall (a, b) durch Überhang p(x), wenn: 1) es Integrale für alle n = 1,2,... gibt. Dabei wird angenommen, dass die Gewichtsfunktion p(x) ist überall auf dem Intervall (a, b) definiert und positiv, mit der möglichen Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten, wo p(x) verschwinden kann. Nach Durchführung der Differentiation in Formel (3) finden wir. Es kann gezeigt werden, dass die Chebyshev-Hermite-Polynome orthogonal auf dem Intervall sind Beispiel 4. Das System der Bessel-Funktionen (jL(pix)^ ist orthogonal auf dem Intervall von Nullen des Bessel-Funktionen-Systems. Sei ein orthogonales System von Funktionen im Intervall (a, 6) und konvergiere die Reihe (cj = const) auf diesem Intervall gegen die Funktion f(x): Aufgrund der Orthogonalität des Systems erhalten wir: Diese Operation hat im allgemeinen rein formalen Charakter. In einigen Fällen jedoch, beispielsweise wenn die Reihe (4) gleichmäßig konvergiert, alle Funktionen stetig sind und das Intervall (a, 6) endlich ist, ist diese Operation zulässig. Aber es ist die formale Interpretation, die für uns jetzt wichtig ist. Nehmen wir also an, eine Funktion ist gegeben. Wir bilden die Zahlen c* nach der Formel (5) und schreiben Die Reihe auf der rechten Seite heißt Fourierreihe der Funktion f (x) bezüglich des Systems (^n (n)) - Die Zahlen Cn sind in diesem System die Fourier-Koeffizienten der Funktion f (x) genannt. Das Zeichen ~ in Formel (6) bedeutet nur, dass die Zahlen Cn durch Formel (5) mit der Funktion /(x) in Beziehung stehen (es wird nicht angenommen, dass die rechte Reihe überhaupt konvergiert, geschweige denn gegen die Funktion f (x)). Daher stellt sich natürlich die Frage: Welche Eigenschaften hat diese Serie? In welchem ​​Sinne "repräsentiert" es die Funktion f(x)? 9.3. Definition der durchschnittlichen Konvergenz. Eine Folge konvergiert im Mittel gegen ein Element ], wenn die Norm im Raum liegt Satz 6. Wenn eine Folge ) gleichmäßig konvergiert, dann konvergiert sie auch im Mittel. M Die Folge ()) konvergiere gleichmäßig auf der Strecke [a, b] gegen die Funktion f(x). Das bedeutet, dass wir für jedes hinreichend große n Daher haben, woraus unsere Behauptung folgt. Die Umkehrung gilt nicht: Die Folge () kann im Mittel gegen /(x) konvergieren, aber nicht gleichmäßig konvergieren. Beispiel. Betrachten wir die Folge nx Es ist leicht zu sehen, dass diese Konvergenz jedoch nicht einheitlich ist: Es existiert beispielsweise e, so dass, egal wie groß n ist, auf dem Intervall eine Fourier-Reihe für eine Funktion mit beliebiger Periode komplexe Notation von die Fourier-Reihen Fourier-Reihen im Allgemeinen Orthogonale Systeme von Funktionen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Bessel-Ungleichung Parseval-Gleichheit Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Geschlossenheit von Systemen und let ) im orthonormalen System b Betrachten Sie eine Linearkombination, bei der n ^ 1 ist eine feste ganze Zahl, und finden Sie die Werte der Konstanten, für die das Integral seinen Mindestwert annimmt. Lassen Sie es uns detaillierter schreiben Durch Term für Term integrieren, erhalten wir aufgrund der Orthonormalität des Systems: Die ersten beiden Terme auf der rechten Seite von Gleichheit (7) sind unabhängig, und der dritte Term ist nichtnegativ. Daher nimmt das Integral (*) einen Minimalwert bei ak = sk an. Das Integral wird als Root-Mean-Square-Approximation der Funktion f(x) als Linearkombination von Tn(x) bezeichnet. Somit nimmt die Root-Mean-Square-Approximation der Funktion /\ einen minimalen Wert an, wenn. wenn Tn(x) die 71. Partialsumme der Fourier-Reihe der Funktion /(x) im System ( ist. Setzen wir ak = ck, erhalten wir aus (7) Gleichheit (9) heißt Bessel-Identität Seite nichtnegativ ist, dann folgt daraus die Besselsche Ungleichung Da i hier beliebig ist, lässt sich die Besselsche Ungleichung in verstärkter Form darstellen, d.h. für jede Funktion / konvergiert die Reihe quadrierter Fourierkoeffizienten dieser Funktion in einem Orthonormalsystem ). . Da das System auf dem Intervall [-x, r] orthonormal ist, ergibt die Ungleichung (10), übersetzt in die übliche Notation der trigonometrischen Fourier-Reihe, die Beziehung do, die für jede Funktion f(x) mit einem integrierbaren Quadrat gilt. Ist f2(x) integrierbar, so erhalten wir dies aufgrund der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe auf der linken Seite der Ungleichung (11). Parsevalsche Gleichheit Für einige Systeme (^n(x)) kann das Ungleichheitszeichen in Formel (10) (für alle Funktionen f(x) 6 x) durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden. Die resultierende Gleichheit wird als Parseval-Steklov-Gleichung (Vollständigkeitsbedingung) bezeichnet. Die Bessel-Identität (9) erlaubt uns, Bedingung (12) in äquivalenter Form zu schreiben durch die Raumnorm 6]. Definition. Ein Orthonormalsystem ( heißt vollständig in b2[ay b], wenn sich jede Funktion durch eine Linearkombination der Form mit genügend vielen Termen im Mittel einigermaßen genau approximieren lässt, d.h. wenn für jede Funktion f(x) € b2[a, b\ und für jedes e > 0 gibt es eine natürliche Zahl nq und Zahlen a\, a2y..., so dass Nein. Satz 7. Wenn das System ) durch Orthonormierung räumlich vollständig ist, die Fourier-Reihe von jede Funktion / in diesem System konvergiert im Mittel gegen f( x), d.h. gemäß der Norm Es kann gezeigt werden, dass das trigonometrische System räumlich vollständig ist, was die Behauptung impliziert. Satz 8. Wenn eine Funktion /0 ist, konvergiert ihre trigonometrische Fourier-Reihe im Mittel gegen sie. 9.5. geschlossene Systeme. Vollständigkeit und Geschlossenheit von Systemen Definition. Ein Orthonormalsystem von Funktionen \, heißt abgeschlossen, wenn es im Raum Li\a, b) keine von Null verschiedene Funktion orthogonal zu allen Funktionen gibt Im Raum L2\a, b\ die Begriffe Vollständigkeit und Geschlossenheit von Orthonormalsystemen übereinstimmen. Aufgaben 1. Erweitern Sie die Funktion in der Fourier-Reihe im Intervall (-i-, x) 2. Erweitern Sie die Funktion in der Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) 3. Erweitern Sie die Funktion in der Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) 4. Erweitere in einer Fourier-Reihe in der Intervallfunktion (-jt, r) 5. Entfalten Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) die Funktion f(x) = x + x. 6. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-jt, r) die Funktion n 7. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-r, x) die Funktion / (x) \u003d sin2 x. 8. Entwickeln Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-m, jt) die Funktion f(x) = y 9. Entwickeln Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-mm, -k) die Funktion f(x) = | Sünde|. 10. Entwickeln Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-x-, r) die Funktion f(x) = g. 11. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) die Funktion f (x) \u003d sin §. 12. Entfalte in einer Fourier-Reihe die im Intervall (0, x) gegebene Funktion f (x) = n -2x und setze sie im Intervall (-x, 0) fort: a) gerade; b) auf seltsame Weise. 13. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe in Bezug auf Sinus die Funktion / (x) \u003d x2, die im Intervall (0, x) angegeben ist. 14. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die Funktion / (x) \u003d 3-x, die im Intervall (-2,2) angegeben ist. 15. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die Funktion f (x) \u003d |x |, die im Intervall (-1,1) angegeben ist. 16. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe in Bezug auf Sinus die Funktion f (x) \u003d 2x, die im Intervall (0,1) angegeben ist.