In diesem Artikel zeigen wir, wie Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von Winkel und Zahl in der Trigonometrie. Hier werden wir über Notation sprechen, Beispiele für Aufzeichnungen geben und grafische Illustrationen geben. Abschließend ziehen wir eine Parallele zwischen den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens in Trigonometrie und Geometrie.

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Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Folgen wir der Bildung der Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens im Schulmathematikkurs. Im Geometrieunterricht wird die Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben. Und später wird Trigonometrie studiert, die sich auf Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels und der Zahl bezieht. Wir geben all diese Definitionen, geben Beispiele und geben die notwendigen Kommentare.

Spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Studium der Geometrie sind die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt. Sie werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Wir stellen ihre Formulierungen vor.

Definition.

Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.

Definition.

Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden Bein.

Dort wird auch die Notation von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingeführt - sin, cos, tg bzw. ctg.

Wenn beispielsweise ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C ist, dann ist der Sinus des spitzen Winkels A gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels BC zur Hypotenuse AB, also sin∠A=BC/AB.

Mit diesen Definitionen können Sie die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels aus den bekannten Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sowie aus den bekannten Werten von Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens und die Länge einer der Seiten, finden Sie die Längen der anderen Seiten. Wenn wir zum Beispiel wüssten, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel AC 3 und die Hypotenuse AB 7 ist, dann könnten wir per Definition den Kosinus des spitzen Winkels A berechnen: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Drehwinkel

In der Trigonometrie beginnen sie, den Winkel umfassender zu betrachten - sie führen das Konzept des Rotationswinkels ein. Der Rotationswinkel ist im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht durch Rahmen von 0 bis 90 Grad begrenzt, der Rotationswinkel in Grad (und im Bogenmaß) kann durch eine beliebige reelle Zahl von −∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Vor diesem Hintergrund sind die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens kein spitzer Winkel mehr, sondern ein Winkel beliebiger Größe – der Rotationswinkel. Sie sind gegeben durch die x- und y-Koordinaten des Punktes A 1 , in den der sogenannte Anfangspunkt A(1, 0) übergeht, nachdem er sich um den Punkt O - den Anfang eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems - um den Winkel α gedreht hat und der Mittelpunkt des Einheitskreises.

Definition.

Sinus des Drehwinkelsα ist die Ordinate des Punktes A 1 , dh sinα = y .

Definition.

Kosinus des Drehwinkelsα wird die Abszisse des Punktes A 1 genannt, d. h. cosα = x .

Definition.

Tangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 zu seiner Abszisse, dh tgα = y/x .

Definition.

Der Kotangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 zu seiner Ordinate, dh ctgα = x/y.

Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert, da wir immer die Abszisse und Ordinate eines Punktes bestimmen können, die man durch Drehen des Startpunktes um den Winkel α erhält. Und Tangens und Kotangens sind für keinen Winkel definiert. Für solche Winkel α, bei denen der Anfangspunkt auf einen Punkt mit Nullabszisse (0, 1) oder (0, −1) geht, ist die Tangente nicht definiert, und dies geschieht bei den Winkeln 90°+180° k , k∈Z (π /2 + π k rad). Allerdings ist bei solchen Drehwinkeln der Ausdruck tgα=y/x nicht sinnvoll, da er eine Division durch Null enthält. Was den Kotangens betrifft, so ist er für solche Winkel α, bei denen der Startpunkt zu einem Punkt mit Null-Ordinate (1, 0) oder (−1, 0) geht, nicht definiert, und dies ist der Fall für Winkel 180 ° k , k ∈Z (π k rad).

Also sind Sinus und Cosinus für alle Rotationswinkel definiert, der Tangens ist für alle Winkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) definiert und der Kotangens ist für alle Winkel außer 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Die uns bereits bekannten Schreibweisen tauchen in den Definitionen sin, cos, tg und ctg auf, sie werden auch zur Bezeichnung von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels verwendet (manchmal findet man auch die Schreibweise tan und cot, die Tangente und entsprechen Kotangens). Der Sinus des Rotationswinkels von 30 Grad lässt sich also als sin30° schreiben, die Aufzeichnungen tg(−24°17′) und ctgα entsprechen dem Tangens des Rotationswinkels −24 Grad 17 Minuten und dem Kotangens des Rotationswinkels α . Denken Sie daran, dass beim Schreiben des Bogenmaßes eines Winkels die Notation "rad" oft weggelassen wird. Beispielsweise wird der Kosinus eines Rotationswinkels von drei Pi rad üblicherweise als cos3 π bezeichnet.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass bei der Rede von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels der Ausdruck „Rotationswinkel“ oder das Wort „Rotation“ oft weggelassen wird. Das heißt, anstelle des Ausdrucks "Sinus des Drehwinkels Alpha" wird normalerweise der Ausdruck "Sinus des Winkels Alpha" oder noch kürzer - "Sinus von Alpha" verwendet. Dasselbe gilt für Kosinus, Tangens und Kotangens.

Nehmen wir auch an, dass die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den gerade gegebenen Definitionen für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Rotationswinkels im Bereich von 0 bis 90 übereinstimmen Grad. Wir werden dies belegen.

Zahlen

Definition.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t ist eine Zahl, die dem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels in t Bogenmaß entspricht.

Beispielsweise ist der Kosinus von 8 π per Definition eine Zahl gleich dem Kosinus eines Winkels von 8 π rad. Und der Kosinus des Winkels in 8 π rad ist gleich eins, also ist der Kosinus der Zahl 8 π gleich 1.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Sie besteht darin, dass jeder reellen Zahl t ein im Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems zentrierter Punkt des Einheitskreises zugeordnet wird und durch die Koordinaten dieses Punktes Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens bestimmt werden. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.

Lassen Sie uns zeigen, wie die Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten des Kreises hergestellt wird:

• der Zahl 0 wird der Startpunkt A(1, 0) zugeordnet;
• eine positive Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir uns vom Startpunkt aus gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegen und einen Weg der Länge t durchlaufen;
• Eine negative Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir den Kreis vom Startpunkt im Uhrzeigersinn umrunden und einen Weg der Länge |t| durchlaufen .

Kommen wir nun zu den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Zahl t. Nehmen wir an, dass die Zahl t einem Punkt des Kreises A 1 (x, y) entspricht (zum Beispiel entspricht die Zahl &pi/2; dem Punkt A 1 (0, 1) ).

Definition.

Der Sinus einer Zahl t ist die Ordinate des Einheitskreispunktes, der der Zahl t entspricht, d. h. sint=y .

Definition.

Der Kosinus einer Zahl t wird die Abszisse des Punktes des Einheitskreises genannt, der der Zahl t entspricht, d. h. cost=x .

Definition.

Tangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh tgt = y/x. In einer anderen äquivalenten Formulierung ist der Tangens der Zahl t das Verhältnis des Sinus dieser Zahl zum Kosinus, d. h. tgt = sint/cost .

Definition.

Kotangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh ctgt = x/y. Eine andere Formulierung lautet wie folgt: Der Tangens der Zahl t ist das Verhältnis des Kosinus der Zahl t zum Sinus der Zahl t : ctgt=cost/sint .

Hier stellen wir fest, dass die gerade gegebenen Definitionen mit der am Anfang dieses Unterabschnitts gegebenen Definition übereinstimmen. Tatsächlich fällt der Punkt des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, mit dem Punkt zusammen, den man erhält, wenn man den Startpunkt um einen Winkel von t im Bogenmaß dreht.

Es lohnt sich auch, diesen Punkt zu klären. Nehmen wir an, wir haben einen sin3-Eintrag. Wie kann man verstehen, ob es sich um den Sinus der Zahl 3 oder den Sinus des Drehwinkels von 3 Radianten handelt? Das geht meist aus dem Kontext hervor, sonst ist es wahrscheinlich egal.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Gemäß den im vorhergehenden Absatz gegebenen Definitionen entspricht jeder Rotationswinkel &agr; einem wohldefinierten Wert sin &agr; sowie dem Wert cos &agr; . Außerdem entsprechen alle Drehwinkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) den Werten tgα , und außer 180° k , k∈Z (π k rad ) sind die Werte von ctgα . Daher sind sinα, cosα, tgα und ctgα Funktionen des Winkels α. Mit anderen Worten, dies sind Funktionen des Winkelarguments.

Ebenso können wir über die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines numerischen Arguments sprechen. Tatsächlich entspricht jede reelle Zahl t einem wohldefinierten Wert von sint sowie cost . Außerdem entsprechen alle Zahlen außer π/2+π·k , k∈Z den Werten tgt , und die Zahlen π·k , k∈Z entsprechen den Werten ctgt .

Die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden aufgerufen grundlegende trigonometrische Funktionen.

Aus dem Kontext geht meist hervor, dass es sich um trigonometrische Funktionen eines Winkelarguments oder eines Zahlenarguments handelt. Andernfalls können wir die unabhängige Variable sowohl als Maß für den Winkel (das Winkelargument) als auch als numerisches Argument betrachten.

Die Schule untersucht jedoch hauptsächlich numerische Funktionen, dh Funktionen, deren Argumente sowie ihre entsprechenden Funktionswerte Zahlen sind. Wenn wir also über Funktionen sprechen, ist es ratsam, trigonometrische Funktionen als Funktionen numerischer Argumente zu betrachten.

Verbindung von Definitionen aus Geometrie und Trigonometrie

Wenn wir den Rotationswinkel α von 0 bis 90 Grad betrachten, stimmen die Daten im Zusammenhang mit der Trigonometrie der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels vollständig mit den Definitionen von Sinus, Cosinus überein , Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck, die im Geometriekurs gegeben werden. Lassen Sie uns das begründen.

Zeichnen Sie einen Einheitskreis im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy. Beachten Sie den Startpunkt A(1, 0) . Drehen wir es um einen Winkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad, erhalten wir den Punkt A 1 (x, y) . Lassen Sie uns die Senkrechte A 1 H vom Punkt A 1 auf die Ox-Achse fallen lassen.

Es ist leicht zu sehen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel A 1 OH gleich dem Drehwinkel α ist, die Länge des an diesen Winkel angrenzenden Schenkels OH gleich der Abszisse des Punktes A 1 ist, also |OH |=x, die Länge des Schenkels A 1 H gegenüber dem Winkel ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 , das heißt |A 1 H| = y , und die Länge der Hypotenuse OA 1 ist gleich eins , da es der Radius des Einheitskreises ist. Dann ist nach geometrischer Definition der Sinus eines spitzen Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck A 1 OH gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, also sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Und per Definition aus der Trigonometrie ist der Sinus des Drehwinkels α gleich der Ordinate des Punktes A 1, dh sinα = y. Dies zeigt, dass die Definition des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck der Definition des Sinus des Drehwinkels α für α von 0 bis 90 Grad entspricht.

Ebenso kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels α mit den Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels α übereinstimmen.

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Einer der Zweige der Mathematik, mit dem Schulkinder die größten Schwierigkeiten haben, ist die Trigonometrie. Kein Wunder: Um dieses Wissensgebiet frei zu meistern, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens anhand von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in Berechnungen einsetzen zu können. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweis von Theoremen Trigonometrie anwenden können, und dies erfordert entweder ein entwickeltes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.

Ursprünge der Trigonometrie

Die Bekanntschaft mit dieser Wissenschaft sollte mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels beginnen, aber zuerst müssen Sie herausfinden, was Trigonometrie im Allgemeinen tut.

In der Vergangenheit waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptstudienobjekt in diesem Bereich der mathematischen Wissenschaft. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht es, verschiedene Operationen durchzuführen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betrachteten Figur unter Verwendung von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.

Erste Stufe

Anfangs sprach man ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke über das Verhältnis von Winkeln und Seiten. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Grenzen der Verwendung dieses Teils der Mathematik im Alltag zu erweitern.

Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, wonach das erworbene Wissen von Schülern der Physik und dem Lösen abstrakter trigonometrischer Gleichungen verwendet wird, mit denen die Arbeit in der High School beginnt.

Sphärische Trigonometrie

Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in der sphärischen Geometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Summe der Winkel in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung "bogenförmig" ist dreidimensionaler Raum.

Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten auf dem Globus, so dass er straff ist. Passen Sie auf - es hat die Form eines Bogens angenommen. Mit solchen Formen befasst sich die sphärische Geometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen verwendet wird.

Rechtwinkliges Dreieck

Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.

Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Sie ist die längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein Zahlenwert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist.

Wenn beispielsweise zwei Seiten 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.

Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Außerdem müssen wir uns daran erinnern, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.

Definition

Schließlich können wir uns mit einem soliden Verständnis der geometrischen Basis der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Wieso den? Da die Hypotenuse standardmäßig am längsten ist, ist sie, egal wie lang das Bein ist, kürzer als die Hypotenuse, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in der Antwort auf die Aufgabe einen Sinus oder Kosinus mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in Berechnungen oder Argumentationen. Diese Antwort ist eindeutig falsch.

Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Das gleiche Ergebnis ergibt die Division des Sinus durch den Kosinus. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Seitenlänge durch die Hypotenuse, danach teilen wir durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Damit erhalten wir das gleiche Verhältnis wie bei der Tangentendefinition.

Der Kotangens ist jeweils das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Einheit durch den Tangens dividieren.

Wir haben also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens betrachtet und können uns mit Formeln befassen.

Die einfachsten Formeln

In der Trigonometrie kann man nicht auf Formeln verzichten - wie findet man Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Und genau das ist beim Lösen von Problemen gefragt.

Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, aber sie spart Zeit, wenn Sie den Wert des Winkels wissen wollen, nicht die Seite.

Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch beim Lösen von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus Eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich Eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Das ist immerhin die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur wurden beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus dividiert. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie wissen, was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind, die Umrechnungsregeln und ein paar Grundformeln kennen, können Sie die benötigten komplexeren Formeln jederzeit selbstständig auf einem Blatt Papier herleiten.

Doppelwinkelformeln und Addition von Argumenten

Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Kosinus für die Summe und Differenz der Winkel. Sie sind in der Abbildung unten dargestellt. Beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.

Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verbunden sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet - als Übung versuchen Sie, sie selbst zu bekommen, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel nehmen.

Beachten Sie schließlich, dass die Doppelwinkelformeln konvertiert werden können, um den Grad von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu verringern.

Sätze

Die beiden Hauptsätze in der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Sätze können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Kosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.

Der Sinussatz besagt, dass wir als Ergebnis der Division der Länge jeder Seite des Dreiecks durch den Wert des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl erhalten. Außerdem ist diese Zahl gleich zwei Radien des umschriebenen Kreises, dh des Kreises, der alle Punkte des gegebenen Dreiecks enthält.

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass von der Summe der Quadrate der beiden Seiten ihr Produkt multipliziert mit dem Doppelkosinus des angrenzenden Winkels subtrahiert wird - der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Damit erweist sich der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes.

Fehler durch Unachtsamkeit

Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man leicht einen Fehler aufgrund von Zerstreutheit oder einen Fehler in den einfachsten Berechnungen machen. Um solche Fehler zu vermeiden, machen wir uns mit den beliebtesten von ihnen vertraut.

Erstens sollten Sie gewöhnliche Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten haben - Sie können die Antwort als gewöhnlichen Bruch belassen, es sei denn, die Bedingung besagt etwas anderes. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, aber es sollte daran erinnert werden, dass in jeder Phase des Problems neue Wurzeln auftreten können, die nach der Idee des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Das gilt besonders für Werte wie die Wurzel aus drei oder zwei, weil sie bei Aufgaben bei jedem Schritt vorkommen. Gleiches gilt für das Runden von "hässlichen" Zahlen.

Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz für jedes Dreieck gilt, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Produkt der Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zweimal zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Missverständnis des Themas. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.

Drittens verwechseln Sie die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad nicht mit Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Sie können leicht verwechselt werden, wodurch Sie zwangsläufig ein falsches Ergebnis erhalten.

Anwendung

Viele Studenten haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie ihre angewandte Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Dies sind Konzepte, mit denen Sie die Entfernung zu fernen Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen und eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken können. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung der Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.

Abschließend

Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.

Die ganze Essenz der Trigonometrie läuft darauf hinaus, dass unbekannte Parameter aus den bekannten Parametern des Dreiecks berechnet werden müssen. Es gibt insgesamt sechs Parameter: die Längen von drei Seiten und die Größen von drei Winkeln. Der ganze Unterschied bei den Aufgaben liegt darin, dass unterschiedliche Eingabedaten gegeben werden.

Wie man Sinus, Cosinus, Tangens anhand der bekannten Beinlängen oder der Hypotenuse findet, weißt du jetzt. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel des trigonometrischen Problems darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die gewöhnliche Schulmathematik.

Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen und ihre Verwendung in der Geometrie untersucht. Die Entwicklung der Trigonometrie begann in den Tagen des antiken Griechenlands. Im Mittelalter leisteten Wissenschaftler aus dem Nahen Osten und Indien einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung dieser Wissenschaft.

Dieser Artikel ist den grundlegenden Konzepten und Definitionen der Trigonometrie gewidmet. Es behandelt die Definitionen der wichtigsten trigonometrischen Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Ihre Bedeutung im Kontext der Geometrie wird erklärt und illustriert.

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Anfänglich wurden die Definitionen trigonometrischer Funktionen, deren Argument ein Winkel ist, durch das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ausgedrückt.

Definitionen trigonometrischer Funktionen

Der Sinus eines Winkels (sin α) ist das Verhältnis des diesem Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.

Der Kosinus des Winkels (cos α) ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens des Winkels (t g α) ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten.

Der Kotangens des Winkels (c t g α) ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

Diese Definitionen gelten für einen spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks!

Lassen Sie uns eine Illustration geben.

Im Dreieck ABC mit rechtem Winkel C ist der Sinus des Winkels A gleich dem Verhältnis von Schenkel BC zu Hypotenuse AB.

Die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ermöglichen es, die Werte dieser Funktionen aus den bekannten Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen.

Wichtig zu merken!

Der Bereich der Sinus- und Kosinuswerte: von -1 bis 1. Mit anderen Worten, Sinus und Kosinus nehmen Werte von -1 bis 1 an. Der Bereich der Tangens- und Kotangenswerte ist die gesamte Zahlenlinie, dh diese Funktionen können beliebige Werte annehmen.

Die oben angegebenen Definitionen beziehen sich auf spitze Winkel. In der Trigonometrie wird das Konzept des Drehwinkels eingeführt, dessen Wert im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht durch Rahmen von 0 bis 90 Grad begrenzt ist.Der Drehwinkel in Grad oder Bogenmaß wird durch eine beliebige reelle Zahl von ausgedrückt - ∞ bis + ∞.

Dabei kann man Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels beliebiger Größe definieren. Stellen Sie sich einen Einheitskreis vor, dessen Mittelpunkt der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist.

Der Startpunkt A mit den Koordinaten (1 , 0) dreht sich um einen Winkel α um den Mittelpunkt des Einheitskreises und geht zum Punkt A 1 . Die Definition erfolgt durch die Koordinaten des Punktes A 1 (x, y).

Sinus (sin) des Drehwinkels

Der Sinus des Drehwinkels α ist die Ordinate des Punktes A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) des Drehwinkels

Der Kosinus des Drehwinkels α ist die Abszisse des Punktes A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) des Drehwinkels

Der Tangens des Drehwinkels α ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 (x, y) zu seiner Abszisse. t g α = y x

Kotangens (ctg) des Drehwinkels

Der Kotangens des Drehwinkels α ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 (x, y) zu seiner Ordinate. c t g α = x y

Sinus und Cosinus sind für beliebige Drehwinkel definiert. Dies ist logisch, da die Abszisse und Ordinate des Punktes nach der Drehung in jedem beliebigen Winkel bestimmt werden können. Anders verhält es sich mit Tangens und Kotangens. Die Tangente ist nicht definiert, wenn der Punkt nach der Drehung zu dem Punkt mit der Abszisse Null (0 , 1) und (0 , - 1) geht. In solchen Fällen macht der Ausdruck für die Tangente t g α = y x einfach keinen Sinn, da er eine Division durch Null enthält. Ähnlich verhält es sich mit dem Kotangens. Der Unterschied besteht darin, dass der Kotangens in Fällen, in denen die Ordinate des Punktes verschwindet, nicht definiert ist.

Wichtig zu merken!

Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert.

Die Tangente ist für alle Winkel definiert außer α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Der Kotangens ist für alle Winkel definiert außer α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Sagen Sie beim Lösen von praktischen Beispielen nicht "Sinus des Drehwinkels α". Die Wörter "Drehwinkel" werden einfach weggelassen, was impliziert, dass aus dem Kontext bereits klar ist, worum es geht.

Zahlen

Was ist mit der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl und nicht des Drehwinkels?

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens einer Zahl

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t eine Zahl genannt, die jeweils gleich dem Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ist t Bogenmaß.

Beispielsweise ist der Sinus von 10 π gleich dem Sinus des Rotationswinkels von 10 π rad.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Betrachten wir es genauer.

Jede reelle Zahl t Ein Punkt auf dem Einheitskreis wird in Übereinstimmung mit dem Mittelpunkt am Ursprung des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems gesetzt. Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden in Bezug auf die Koordinaten dieses Punktes definiert.

Der Startpunkt auf dem Kreis ist Punkt A mit den Koordinaten (1 , 0).

positive Zahl t

Negative Zahl t entspricht dem Punkt, zu dem sich der Startpunkt bewegt, wenn er sich gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegt und den Pfad t passiert.

Nachdem nun die Verbindung zwischen der Zahl und dem Punkt auf dem Kreis hergestellt ist, fahren wir mit der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens fort.

Sinus (Sünde) der Zahl t

Sinus einer Zahl t- Ordinate des Punkts des Einheitskreises, der der Zahl entspricht t. Sünde t = y

Kosinus (cos) von t

Kosinus einer Zahl t- Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl entspricht t. Kosten t = x

Tangente (tg) von t

Tangens einer Zahl t- das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl entspricht t. t g t = y x = sin t cos t

Die letztgenannten Definitionen stimmen mit der Definition zu Beginn dieses Abschnitts überein und widersprechen ihr nicht. Zeigen Sie auf einen Kreis, der einer Zahl entspricht t, fällt mit dem Punkt zusammen, zu dem der Startpunkt nach dem Wenden durch den Winkel führt t Bogenmaß.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Jeder Wert des Winkels α entspricht einem bestimmten Wert des Sinus und Cosinus dieses Winkels. Wie alle Winkel α außer α = 90 ° + 180 ° · k , entspricht k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) einem bestimmten Wert der Tangente. Der Kotangens ist, wie oben erwähnt, für alle α definiert, außer für α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Wir können sagen, dass sin α , cos α , t g α , c t g α Funktionen des Winkels alpha oder Funktionen des Winkelarguments sind.

Ebenso kann man von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens als Funktionen eines numerischen Arguments sprechen. Jede reelle Zahl t entspricht einem bestimmten Wert des Sinus oder Cosinus einer Zahl t. Alle Zahlen außer π 2 + π · k , k ∈ Z entsprechen dem Wert der Tangente. Der Kotangens ist für alle Zahlen außer π · k , k ∈ Z ähnlich definiert.

Grundfunktionen der Trigonometrie

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind die grundlegenden trigonometrischen Funktionen.

Aus dem Zusammenhang ist meist ersichtlich, mit welchem ​​Argument der Winkelfunktion (Winkelargument oder Zahlenargument) wir es zu tun haben.

Kommen wir zurück zu den Daten ganz am Anfang der Definitionen und dem Winkel Alpha, der im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt. Die trigonometrischen Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens stimmen vollständig mit den geometrischen Definitionen überein, die durch die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind. Zeigen wir es.

Nehmen Sie einen Einheitskreis, der auf einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem zentriert ist. Drehen wir den Startpunkt A (1, 0) um einen Winkel von bis zu 90 Grad und zeichnen vom resultierenden Punkt A 1 (x, y) senkrecht zur x-Achse. In dem resultierenden rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel A 1 O H gleich dem Rotationswinkel α, die Länge des Schenkels O H ist gleich der Abszisse des Punktes A 1 (x, y) . Die Länge des Beins gegenüber der Ecke ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 (x, y), und die Länge der Hypotenuse ist gleich eins, da sie der Radius des Einheitskreises ist.

Gemäß der Definition aus der Geometrie ist der Sinus des Winkels α gleich dem Verhältnis des Gegenschenkels zur Hypotenuse.

Sünde α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Das bedeutet, dass die Definition des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck durch das Seitenverhältnis gleichbedeutend ist mit der Definition des Sinus des Drehwinkels α, wobei Alpha im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt.

Ebenso kann die Übereinstimmung der Definitionen für Cosinus, Tangens und Kotangens gezeigt werden.

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Lehrer glauben, dass jeder Schüler in der Lage sein sollte, Berechnungen durchzuführen, trigonometrische Formeln zu kennen, aber nicht jeder Lehrer erklärt, was Sinus und Cosinus sind. Welche Bedeutung haben sie, wo werden sie eingesetzt? Warum reden wir von Dreiecken, aber im Lehrbuch wird ein Kreis gezeichnet? Versuchen wir, alle Fakten miteinander zu verbinden.

Schulfach

Das Studium der Trigonometrie beginnt normalerweise in der 7. oder 8. Klasse der High School. Zu diesem Zeitpunkt wird den Schülern erklärt, was Sinus und Cosinus sind, und es wird ihnen angeboten, geometrische Probleme mit diesen Funktionen zu lösen. Später tauchen komplexere Formeln und Ausdrücke auf, die algebraisch umgerechnet werden müssen (Doppel- und Halbwinkelformeln, Potenzfunktionen), es wird mit einem trigonometrischen Kreis gearbeitet.

Lehrer sind jedoch nicht immer in der Lage, die Bedeutung der verwendeten Konzepte und die Anwendbarkeit der Formeln klar zu erklären. Daher sieht der Schüler oft den Sinn in diesem Fach nicht, und auswendig gelernte Informationen werden schnell vergessen. Es lohnt sich jedoch, beispielsweise einem Gymnasiasten einmal den Zusammenhang zwischen einer Funktion und einer oszillatorischen Bewegung zu erklären, und der logische Zusammenhang wird viele Jahre in Erinnerung bleiben und Witze über die Nutzlosigkeit des Themas werden zur Sache die Vergangenheit.

Verwendungszweck

Lassen Sie uns aus Neugier einen Blick in verschiedene Zweige der Physik werfen. Willst du die Reichweite eines Geschosses bestimmen? Oder berechnen Sie die Reibungskraft zwischen einem Objekt und einer bestimmten Oberfläche? Ein Pendel schwingen, Strahlen beobachten, die durch Glas gehen, Induktion berechnen? Trigonometrische Konzepte kommen in fast jeder Formel vor. Was sind also Sinus und Cosinus?

Definitionen

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, der Kosinus ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur gleichen Hypotenuse. Hier ist absolut nichts kompliziert. Vielleicht sind die Schüler normalerweise verwirrt von den Werten, die sie in der trigonometrischen Tabelle sehen, weil dort Quadratwurzeln erscheinen. Ja, es ist nicht sehr bequem, Dezimalbrüche von ihnen zu bekommen, aber wer hat gesagt, dass alle Zahlen in der Mathematik gerade sein sollten?

Tatsächlich findet man in Problembüchern zur Trigonometrie einen lustigen Hinweis: Die meisten Antworten hier sind gerade und enthalten im schlimmsten Fall die Wurzel aus zwei oder drei. Die Schlussfolgerung ist einfach: Wenn Sie in Ihrer Antwort einen „mehrstöckigen“ Bruch erhalten, überprüfen Sie die Lösung auf Fehler in Berechnungen oder Argumentationen. Und Sie werden sie höchstwahrscheinlich finden.

Woran man sich erinnern sollte

Wie in jeder Wissenschaft gibt es auch in der Trigonometrie Daten, die gelernt werden müssen.

Zunächst sollten Sie sich die Zahlenwerte für die Sinus- und Kosinuswerte eines rechtwinkligen Dreiecks 0 und 90 sowie 30, 45 und 60 Grad merken. Diese Indikatoren finden sich in neun von zehn Schulaufgaben wieder. Wenn Sie diese Werte in das Lehrbuch gucken, verlieren Sie viel Zeit, und Sie werden nirgendwo nach der Kontrolle oder Prüfung suchen können.

Es muss daran erinnert werden, dass der Wert beider Funktionen eins nicht überschreiten kann. Wenn Sie irgendwo in der Berechnung einen Wert außerhalb des Bereichs 0-1 erhalten, hören Sie auf und lösen Sie das Problem erneut.

Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus ist gleich eins. Wenn Sie bereits einen der Werte gefunden haben, verwenden Sie diese Formel, um den Rest zu finden.

Sätze

Es gibt zwei Hauptsätze in der grundlegenden Trigonometrie: Sinus und Cosinus.

Die erste besagt, dass das Verhältnis jeder Seite eines Dreiecks zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich ist. Zweitens kann man das Quadrat jeder Seite erhalten, indem man die Quadrate der beiden verbleibenden Seiten addiert und ihr Produkt zweimal subtrahiert, multipliziert mit dem Kosinus des dazwischen liegenden Winkels.

Wenn wir also den Winkelwert von 90 Grad in den Kosinussatz einsetzen, erhalten wir ... den Satz des Pythagoras. Wenn Sie nun die Fläche einer Figur berechnen müssen, die kein rechtwinkliges Dreieck ist, können Sie sich keine Sorgen mehr machen - die beiden betrachteten Theoreme vereinfachen die Lösung des Problems erheblich.

Vorgaben und Ziele

Das Studium der Trigonometrie wird erheblich vereinfacht, wenn Sie eine einfache Tatsache erkennen: Alle Aktionen, die Sie ausführen, zielen darauf ab, ein Ziel zu erreichen. Alle Parameter eines Dreiecks können gefunden werden, wenn Sie die allermindesten Informationen darüber kennen - es kann der Wert eines Winkels und die Länge von zwei Seiten oder beispielsweise drei Seiten sein.

Um Sinus, Cosinus und Tangens eines beliebigen Winkels zu bestimmen, reichen diese Daten aus, mit deren Hilfe Sie die Fläche der Figur leicht berechnen können. Fast immer wird einer der genannten Werte als Antwort benötigt, und Sie können sie mit denselben Formeln finden.

Ungereimtheiten im Studium der Trigonometrie

Eine der obskuren Fragen, die die Schüler lieber vermeiden, ist die Entdeckung der Verbindung zwischen verschiedenen Konzepten in der Trigonometrie. Es scheint, dass Dreiecke verwendet werden, um die Sinus- und Kosinuswerte von Winkeln zu untersuchen, aber aus irgendeinem Grund werden die Symbole häufig in der Figur mit einem Kreis gefunden. Darüber hinaus gibt es einen völlig unverständlichen wellenförmigen Graphen namens Sinuskurve, der äußerlich weder mit einem Kreis noch mit Dreiecken Ähnlichkeit hat.

Außerdem werden Winkel entweder in Grad oder im Bogenmaß gemessen, und die Zahl Pi, einfach geschrieben als 3,14 (ohne Einheiten), erscheint aus irgendeinem Grund in den Formeln, was 180 Grad entspricht. Wie hängt das alles zusammen?

Einheiten

Warum ist Pi genau 3,14? Erinnern Sie sich, was dieser Wert ist? Dies ist die Anzahl der Radien, die in den Bogen auf der Hälfte des Kreises passen. Wenn der Durchmesser des Kreises 2 Zentimeter beträgt, beträgt der Umfang 3,14 * 2 oder 6,28.

Der zweite Punkt: Sie haben vielleicht die Ähnlichkeit der Wörter "Bogenmaß" und "Radius" bemerkt. Tatsache ist, dass ein Radiant numerisch gleich dem Winkel ist, der vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Bogen mit einer Länge von einem Radius gemessen wird.

Jetzt kombinieren wir die gewonnenen Erkenntnisse und verstehen, warum „Pi in Half“ in der Trigonometrie oben auf der Koordinatenachse und „Pi“ links geschrieben steht. Dies ist ein Winkelwert, der im Bogenmaß gemessen wird, da ein Halbkreis 180 Grad oder 3,14 Bogenmaß hat. Und wo Grade sind, da sind Sinus und Cosinus. Das Dreieck lässt sich leicht vom gewünschten Punkt aus zeichnen, indem die Segmente in die Mitte und auf die Koordinatenachse verschoben werden.

Schauen wir in die Zukunft

Die in der Schule gelernte Trigonometrie befasst sich mit einem geradlinigen Koordinatensystem, bei dem, egal wie seltsam es klingen mag, eine Linie eine Linie ist.

Es gibt jedoch komplexere Möglichkeiten, mit dem Raum zu arbeiten: Die Summe der Winkel des Dreiecks beträgt hier mehr als 180 Grad, und die gerade Linie sieht aus unserer Sicht wie ein echter Bogen aus.

Lassen Sie uns von Worten zu Taten übergehen! Nimm einen Apfel. Machen Sie drei Schnitte mit einem Messer, sodass Sie von oben betrachtet ein Dreieck erhalten. Nehmen Sie das entstandene Apfelstück heraus und sehen Sie sich die "Rippen" an, wo die Schale endet. Sie sind überhaupt nicht gerade. Die Frucht in Ihren Händen kann bedingt als rund bezeichnet werden, und stellen Sie sich nun vor, wie komplex die Formeln sein müssen, mit deren Hilfe Sie die Fläche des geschnittenen Stücks finden können. Aber einige Experten lösen solche Probleme täglich.

Trigonometrische Funktionen im wirklichen Leben

Ist Ihnen aufgefallen, dass die kürzeste Flugroute von Punkt A nach Punkt B auf der Oberfläche unseres Planeten eine ausgeprägte Bogenform hat? Der Grund ist einfach: Die Erde ist kugelförmig, was bedeutet, dass Sie mit Dreiecken nicht viel berechnen können - hier müssen Sie komplexere Formeln verwenden.

Auf den Sinus/Cosinus eines spitzen Winkels kann man in keiner raumbezogenen Angelegenheit verzichten. Interessanterweise laufen hier eine Reihe von Faktoren zusammen: Trigonometrische Funktionen werden benötigt, um die Bewegung von Planeten in Kreisen, Ellipsen und verschiedenen Bahnen komplexerer Formen zu berechnen; der Prozess des Startens von Raketen, Satelliten, Shuttles, Abdocken von Forschungsfahrzeugen; ferne Sterne beobachten und Galaxien untersuchen, die Menschen in absehbarer Zeit nicht erreichen können.

Im Allgemeinen ist das Tätigkeitsfeld einer Person, die Trigonometrie besitzt, sehr breit und wird sich anscheinend nur mit der Zeit erweitern.

Fazit

Heute haben wir gelernt oder auf jeden Fall wiederholt, was Sinus und Cosinus sind. Dies sind Konzepte, vor denen Sie keine Angst haben müssen - Sie wollen es einfach, und Sie werden ihre Bedeutung verstehen. Denken Sie daran, dass Trigonometrie kein Ziel ist, sondern nur ein Werkzeug, mit dem echte menschliche Bedürfnisse erfüllt werden können: Häuser bauen, Verkehrssicherheit gewährleisten, sogar die Weiten des Universums erobern.

In der Tat mag die Wissenschaft selbst langweilig erscheinen, aber sobald Sie darin einen Weg finden, Ihre eigenen Ziele zu erreichen, wird die Selbstverwirklichung, der Lernprozess interessant und Ihre persönliche Motivation steigt.

Versuchen Sie als Hausaufgabe, Möglichkeiten zu finden, trigonometrische Funktionen auf ein Gebiet anzuwenden, das Sie persönlich interessiert. Träumen Sie, schalten Sie Ihre Vorstellungskraft ein, und dann wird sich sicherlich herausstellen, dass Ihnen neues Wissen in Zukunft nützlich sein wird. Und außerdem ist die Mathematik nützlich für die allgemeine Entwicklung des Denkens.

Als die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (neben oder gegenüber). Ich habe mich entschieden, es nicht auf unbestimmte Zeit zu verschieben, das notwendige Material ist unten, bitte lesen Sie es 😉

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, wie Schüler in den Klassen 10-11 Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber auf welche- vergessen und verwirrt. Der Preis eines Fehlers ist, wie Sie in der Prüfung wissen, eine verlorene Punktzahl.

Die Informationen, die ich direkt mit Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Es ist mit figurativem Denken und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung verbunden. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnertDefinitionsdaten. Wenn Sie sie dennoch vergessen, dann ist es mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht, sich daran zu erinnern.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Also, welche Assoziationen weckt das Wort Cosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder seine eigeneErinnere dich an den Link:

So haben Sie sofort einen Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis von benachbartem Bein zu Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich an die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern müssen und sich an die Definition des Kosinus erinnern müssen, können Sie leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Es gibt schließlich nur zwei Schenkel, wenn der benachbarte Schenkel mit dem Kosinus „besetzt“ ist, dann bleibt nur die gegenüberliegende Seite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich zu merken, welches sich auf welches bezieht - entweder entgegengesetzt zu benachbart oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie kann man sich erinnern? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine verwendet auch eine verbal-logische Verbindung, der andere - eine mathematische.

Mathematische Methode

Es gibt eine solche Definition - der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich an die Formel erinnern, können Sie immer feststellen, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

So! Wenn Sie sich an diese Formeln erinnern, können Sie immer Folgendes feststellen:

- Die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten

- Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

VERBALOGISCHE METHODE

Über Tangente. Erinnere dich an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich an die Definition der Tangente erinnern müssen, können Sie sich anhand dieser logischen Verbindung leicht daran erinnern, was es ist

"... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten"

Wenn es um Kotangens geht, können Sie die Definition von Kotangens leicht aussprechen, wenn Sie sich an die Definition von Tangens erinnern -

"... das Verhältnis des angrenzenden Beins zum gegenüberliegenden"

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , sehen.

METHODE UNIVERSAL

Du kannst einfach schleifen.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich eine Person dank verbal-logischer Verbindungen lange an Informationen und nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.