Möchten Sie wissen, wie hoch die mathematischen Erfolgschancen Ihrer Wette sind? Dann haben wir zwei gute Nachrichten für Sie. Erstens: Um die Durchgängigkeit zu berechnen, müssen Sie keine komplexen Berechnungen durchführen und viel Zeit aufwenden. Es reicht aus, einfache Formeln zu verwenden, deren Bearbeitung einige Minuten in Anspruch nimmt. Zweitens werden Sie nach dem Lesen dieses Artikels leicht in der Lage sein, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Sie einen Ihrer Trades bestehen.
Um die Durchgängigkeit korrekt zu bestimmen, müssen Sie drei Schritte ausführen:
- Berechnen Sie den Prozentsatz der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses eines Ereignisses gemäß dem Büro des Buchmachers;
- Berechnen Sie selbst die Wahrscheinlichkeit aus statistischen Daten;
- Finden Sie den Wert einer Wette bei beiden Wahrscheinlichkeiten heraus.
Lassen Sie uns jeden der Schritte im Detail betrachten, indem wir nicht nur Formeln, sondern auch Beispiele verwenden.
Schneller Durchgang
Berechnung der in die Wettquoten eingebetteten Wahrscheinlichkeit
Zunächst gilt es herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Buchmacher die Chancen auf ein bestimmtes Ergebnis einschätzt. Schließlich ist klar, dass Buchmacher Quoten nicht einfach so setzen. Dazu verwenden wir folgende Formel:
PB=(1/K)*100%,
wobei P B die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses laut Buchmacherbüro ist;
K - Buchmacherquoten für das Ergebnis.
Nehmen wir an, die Quoten für den Sieg des Londoner Arsenals im Duell gegen die Bayern stehen bei 4. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit seines Sieges vom BC mit (1/4) * 100 % = 25 % angenommen wird. Oder Djokovic spielt gegen South. Der Multiplikator für Novaks Sieg beträgt 1,2, seine Chancen sind gleich (1/1,2)*100%=83%.
So bewertet der Buchmacher selbst die Erfolgschancen für jeden Spieler und jede Mannschaft. Nachdem wir den ersten Schritt abgeschlossen haben, gehen wir zum zweiten über.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch den Spieler
Der zweite Punkt unseres Plans ist unsere eigene Einschätzung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Da wir solche Parameter wie Motivation, Spielton nicht mathematisch berücksichtigen können, verwenden wir ein vereinfachtes Modell und verwenden nur die Statistiken früherer Begegnungen. Um die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu berechnen, verwenden wir die Formel:
PUnd\u003d (UM / M) * 100%,
woPUnd- die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses laut Spieler;
UM - die Anzahl erfolgreicher Spiele, in denen ein solches Ereignis stattfand;
M ist die Gesamtzahl der Übereinstimmungen.
Um es klarer zu machen, geben wir Beispiele. Andy Murray und Rafael Nadal haben 14 Spiele bestritten. In 6 davon wurden insgesamt unter 21 Spiele verzeichnet, in 8 - insgesamt über. Es ist notwendig, die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass das nächste Spiel mit einem Gesamtüberstand gespielt wird: (8/14)*100=57%. Valencia bestritt 74 Spiele im Mestalla gegen Atlético, in denen sie 29 Siege erzielten. Wahrscheinlichkeit, dass Valencia gewinnt: (29/74)*100%=39%.
Und das wissen wir alle nur dank der Statistiken früherer Spiele! Natürlich kann eine solche Wahrscheinlichkeit nicht für ein neues Team oder einen neuen Spieler berechnet werden, daher eignet sich diese Wettstrategie nur für Spiele, in denen die Gegner nicht zum ersten Mal aufeinander treffen. Jetzt wissen wir, wie man die Wett- und eigenen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse bestimmt, und wir haben das gesamte Wissen, um zum letzten Schritt zu gehen.
Bestimmung des Wertes einer Wette
Der Wert (Wertigkeit) der Wette und die Passierbarkeit stehen in direktem Zusammenhang: Je höher die Bewertung, desto höher die Passchance. Der Wert errechnet sich wie folgt:
V=PUnd*K-100%,
wobei V der Wert ist;
P I - die Wahrscheinlichkeit eines besseren Ergebnisses;
K - Buchmacherquoten für das Ergebnis.
Nehmen wir an, wir wollen wetten, dass Mailand das Spiel gegen Roma gewinnt, und wir haben berechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Rot-Schwarz gewinnt, 45 % beträgt. Der Buchmacher bietet uns für dieses Ergebnis einen Koeffizienten von 2,5 an. Wäre eine solche Wette wertvoll? Wir führen Berechnungen durch: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Super, wir haben eine wertvolle Wette mit guten Passchancen.
Nehmen wir einen anderen Fall. Maria Sharapova spielt gegen Petra Kvitova. Wir wollen einen Deal machen, bei dem Maria gewinnt, was nach unseren Berechnungen eine Wahrscheinlichkeit von 60 % hat. Buchmacher bieten für dieses Ergebnis einen Multiplikator von 1,5 an. Bestimmen Sie den Wert: V=60%*1,5-100=-10%. Wie Sie sehen, ist diese Wette wertlos und sollte unterlassen werden.
als ontologische Kategorie das Maß der Möglichkeit der Entstehung einer Entität unter beliebigen Bedingungen widerspiegelt. Im Gegensatz zu den mathematisch-logischen Interpretationen dieses Begriffs verbindet sich das ontologische V. nicht mit der Notwendigkeit eines quantitativen Ausdrucks. Der Wert von V. zeigt sich im Zusammenhang mit dem Verständnis des Determinismus und der Natur der Entwicklung im Allgemeinen.
Großartige Definition
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WAHRSCHEINLICHKEIT
ein Konzept, das Mengen charakterisiert. ein Maß für die Möglichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses zu einem bestimmten Zeitpunkt. Bedingungen. Im wissenschaftlichen Wissen gibt es drei Interpretationen von V. Der klassische Begriff von V., der aus dem Mathematischen entstanden ist. Analyse des Glücksspiels und am weitesten entwickelt von B. Pascal, J. Bernoulli und P. Laplace, betrachtet V. als das Verhältnis der Anzahl günstiger Fälle zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen. Wenn zum Beispiel ein Würfel mit 6 Seiten geworfen wird, kann erwartet werden, dass jede von ihnen ein V gleich 1/6 ergibt, da keine Seite Vorteile gegenüber der anderen hat. Eine solche Symmetrie der Erfahrungsergebnisse wird besonders bei der Organisation von Spielen berücksichtigt, ist jedoch bei der Untersuchung objektiver Ereignisse in Wissenschaft und Praxis relativ selten. Klassisch V.s Deutung wich der Statistik. V., deren Kernkonzepte gültig sind. Beobachtung des Auftretens eines bestimmten Ereignisses während der Dauer. Erfahrung unter genau festgelegten Bedingungen. Die Praxis bestätigt, je öfter ein Ereignis eintritt, desto größer ist der Grad der objektiven Möglichkeit seines Eintretens, oder V. Also die Statistik. Die Interpretation von V. basiert auf dem Konzept der Relationen. Frequenzen kann ein Cut empirisch ermittelt werden. V. als theoretisch. der Begriff fällt jedoch in vielerlei Hinsicht niemals mit einer empirisch ermittelten Häufigkeit zusammen. Fällen unterscheidet es sich praktisch wenig vom Verwandten. Frequenz gefunden als Ergebnis der Dauer. Beobachtungen. Viele Statistiker betrachten V. als „doppelt“ bezeichnet. Frequenz, Rand wird durch Statistik bestimmt. Untersuchung von Beobachtungsergebnissen
oder Experimente. Weniger realistisch war die Definition von V. als Grenzwert. Häufigkeiten von Massenveranstaltungen oder Kollektiven, vorgeschlagen von R. Mises. Als Weiterentwicklung des Frequenzansatzes zu V. wird eine Dispositions- oder Neigungsinterpretation von V. vorgeschlagen (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Nach dieser Interpretation charakterisiert V. beispielsweise die Eigenschaft, Bedingungen zu erzeugen. Experiment. Installation, um eine Folge massiver Zufallsereignisse zu erhalten. Aus dieser Haltung entsteht das Physische Dispositionen oder Veranlagungen, V. to-rykh können anhand von relativ überprüft werden. Frequenzen.
Statistisch Die Deutung V.s dominiert die Wissenschaftlichkeit. Wissen, weil es das Spezifische widerspiegelt. die Art der Muster, die Massenphänomenen zufälliger Natur innewohnen. In vielen physikalischen, biologischen, wirtschaftlichen, demographischen und andere soziale Prozesse, es ist notwendig, die Wirkung vieler zufälliger Faktoren zu berücksichtigen, Roggen zeichnet sich durch eine stabile Frequenz aus. Identifizierung dieser stabilen Frequenz und Mengen. seine Bewertung mit Hilfe von V. ermöglicht es, die Notwendigkeit aufzuzeigen, die sich durch die kumulierte Wirkung vieler Unfälle durchsetzt. Hier manifestiert sich die Dialektik der Verwandlung von Zufall in Notwendigkeit (vgl. F. Engels, in dem Buch: K. Marx und F. Engels, Soch., Bd. 20, S. 535-36).
Das logische oder induktive Denken charakterisiert die Beziehung zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung des nicht demonstrativen und insbesondere des induktiven Denkens. Anders als bei der Deduktion garantieren die Prämissen der Induktion nicht die Wahrheit des Schlusses, sondern machen ihn nur mehr oder weniger plausibel. Diese Glaubwürdigkeit lässt sich bei präzise formulierten Prämissen manchmal mit Hilfe von V einschätzen. Der Wert dieser V. wird meist durch Vergleichen ermittelt. Konzepte (größer als, kleiner als oder gleich) und manchmal in numerischer Form. Logik Interpretation wird häufig verwendet, um induktives Denken zu analysieren und verschiedene Systeme probabilistischer Logik aufzubauen (R. Carnap, R. Jeffrey). In der Semantik logische Konzepte. V. wird oft definiert als der Grad der Bestätigung einer Aussage durch andere (z. B. die Hypothese ihrer empirischen Daten).
Im Zusammenhang mit der Entwicklung von Entscheidungs- und Spieltheorien, den sog. personalistische Interpretation von V. Obwohl V. in diesem Fall den Glaubensgrad des Subjekts und das Eintreten eines bestimmten Ereignisses ausdrückt, müssen V. selbst so gewählt werden, dass die Axiome der Berechnung von V. erfüllt sind , V. drückt mit einer solchen Auslegung nicht so sehr den Grad des subjektiven, sondern des vernünftigen Glaubens aus . Folglich werden Entscheidungen, die auf der Grundlage solcher V. getroffen werden, rational sein, weil sie das Psychologische nicht berücksichtigen. Eigenschaften und Neigungen des Subjekts.
Aus Erkenntnistheorie t. sp. Unterschied zwischen Statistik., Logisch. und personalistischen Interpretationen von V. liegt in der Tatsache, dass, wenn die erste die objektiven Eigenschaften und Beziehungen von Massenphänomenen zufälliger Natur charakterisiert, die letzten beiden die Merkmale des Subjektiven, Erkennenden analysieren. menschliche Aktivitäten unter Bedingungen der Ungewissheit.
WAHRSCHEINLICHKEIT
einer der wichtigsten Wissenschaftsbegriffe, der eine besondere systemische Sicht auf die Welt, ihre Struktur, Evolution und Erkenntnis charakterisiert. Die Besonderheit des probabilistischen Weltbildes zeigt sich durch die Einbeziehung der Begriffe Zufall, Unabhängigkeit und Hierarchie (Ideen von Ebenen in der Struktur und Bestimmung von Systemen) zu den Grundbegriffen des Seins.
Vorstellungen über Wahrscheinlichkeiten stammen aus der Antike und bezogen sich auf die Eigenschaften unseres Wissens, während das Vorhandensein von probabilistischem Wissen anerkannt wurde, das sich von zuverlässigem Wissen und von falschem unterscheidet. Der Einfluss der Wahrscheinlichkeitsidee auf das wissenschaftliche Denken, auf die Wissensentwicklung steht in direktem Zusammenhang mit der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematische Disziplin. Der Ursprung der mathematischen Wahrscheinlichkeitslehre geht auf das 17. Jahrhundert zurück, als die Entwicklung des Kerns von Konzepten ermöglicht wurde. quantitative (numerische) Merkmale und Ausdruck einer probabilistischen Vorstellung.
Intensive Anwendungen der Wahrscheinlichkeit zur Entwicklung von Wissen fallen in den 2. Stock. 19- 1. Stock. 20. Jahrhundert Die Wahrscheinlichkeit ist in die Strukturen grundlegender Naturwissenschaften wie der klassischen statistischen Physik, der Genetik, der Quantentheorie und der Kybernetik (Informationstheorie) eingedrungen. Dementsprechend verkörpert die Wahrscheinlichkeit jene Stufe in der Entwicklung der Wissenschaft, die heute als nicht-klassische Wissenschaft definiert wird. Um die Neuheit, Merkmale der probabilistischen Denkweise aufzudecken, ist es notwendig, von der Analyse des Themas Wahrscheinlichkeitstheorie und der Grundlagen ihrer vielen Anwendungen auszugehen. Wahrscheinlichkeitstheorie wird normalerweise als eine mathematische Disziplin definiert, die die Gesetze von Massenzufallsphänomenen unter bestimmten Bedingungen untersucht. Zufälligkeit bedeutet, dass im Rahmen des Massencharakters die Existenz jedes Elementarphänomens nicht von der Existenz anderer Phänomene abhängt und nicht durch diese bestimmt wird. Gleichzeitig hat die Massennatur von Phänomenen eine stabile Struktur, enthält gewisse Regelmäßigkeiten. Ein Massenphänomen ist ziemlich streng in Subsysteme unterteilt, und die relative Anzahl von Elementarphänomenen in jedem der Subsysteme (relative Häufigkeit) ist sehr stabil. Diese Stabilität wird mit der Wahrscheinlichkeit verglichen. Ein Massenphänomen als Ganzes zeichnet sich durch eine Verteilung von Wahrscheinlichkeiten aus, d.h. durch das Setzen von Subsystemen und deren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Die Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Sprache der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dementsprechend wird die Wahrscheinlichkeitstheorie als die abstrakte Wissenschaft des Umgangs mit Verteilungen definiert.
Die Wahrscheinlichkeit hat in der Wissenschaft zu Ideen über statistische Regelmäßigkeiten und statistische Systeme geführt. Letztere sind aus unabhängigen oder quasi-unabhängigen Einheiten gebildete Systeme, deren Struktur durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen gekennzeichnet ist. Aber wie ist es möglich, Systeme aus unabhängigen Entitäten zu bilden? Üblicherweise wird angenommen, dass zur Bildung von Systemen mit integralen Eigenschaften ausreichend stabile Bindungen zwischen ihren Elementen bestehen müssen, die die Systeme zementieren. Die Stabilität statistischer Systeme wird durch das Vorhandensein äußerer Bedingungen, der äußeren Umgebung, eher äußerer als innerer Kräfte gegeben. Die eigentliche Definition von Wahrscheinlichkeit basiert immer darauf, die Bedingungen für die Entstehung des anfänglichen Massenphänomens festzulegen. Eine weitere wichtige Idee, die das probabilistische Paradigma charakterisiert, ist die Idee der Hierarchie (Unterordnung). Diese Idee drückt die Beziehung zwischen den Eigenschaften einzelner Elemente und den integralen Eigenschaften von Systemen aus: Letztere bauen gewissermaßen auf ersteren auf.
Die Bedeutung probabilistischer Methoden in der Kognition liegt darin, dass sie es uns ermöglichen, die Struktur- und Verhaltensmuster von Objekten und Systemen zu erforschen und theoretisch auszudrücken, die eine hierarchische, „zweistufige“ Struktur haben.
Die Analyse der Art der Wahrscheinlichkeit basiert auf ihrer Häufigkeit und statistischen Interpretation. Gleichzeitig dominierte in der Wissenschaft sehr lange ein solches Wahrscheinlichkeitsverständnis, das als logische oder induktive Wahrscheinlichkeit bezeichnet wurde. Die logische Wahrscheinlichkeit interessiert sich für Fragen der Gültigkeit eines einzelnen Einzelurteils unter bestimmten Bedingungen. Ist es möglich, den Grad der Bestätigung (Zuverlässigkeit, Wahrheit) eines induktiven Schlusses (hypothetischer Schluss) in quantitativer Form zu beurteilen? Im Laufe der Entstehung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurden solche Fragen immer wieder diskutiert, und sie begannen, über den Grad der Bestätigung hypothetischer Schlussfolgerungen zu sprechen. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß wird durch die Informationen bestimmt, über die eine bestimmte Person verfügt, ihre Erfahrung, ihre Weltanschauung und ihre psychologische Denkweise. In all diesen Fällen ist die Größe der Wahrscheinlichkeit strengen Messungen nicht zugänglich und liegt praktisch außerhalb der Kompetenz der Wahrscheinlichkeitstheorie als einer konsistenten mathematischen Disziplin.
Eine objektive Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit hat sich in der Wissenschaft nur mit erheblichen Schwierigkeiten etabliert. Anfangs war das Verständnis der Natur der Wahrscheinlichkeit stark von jenen philosophischen und methodologischen Ansichten beeinflusst, die für die klassische Wissenschaft charakteristisch waren. Historisch gesehen erfolgte die Entstehung probabilistischer Methoden in der Physik unter dem entscheidenden Einfluss der Ideen der Mechanik: Statistische Systeme wurden einfach als mechanische behandelt. Da die entsprechenden Probleme nicht mit strengen Methoden der Mechanik gelöst wurden, kamen Aussagen auf, dass die Berufung auf probabilistische Methoden und statistische Gesetzmäßigkeiten das Ergebnis der Unvollständigkeit unseres Wissens sei. In der Entwicklungsgeschichte der klassischen statistischen Physik sind zahlreiche Versuche unternommen worden, sie auf der Grundlage der klassischen Mechanik zu begründen, aber alle sind gescheitert. Die Grundlage der Wahrscheinlichkeit ist, dass sie die Merkmale der Struktur einer bestimmten Klasse von Systemen ausdrückt, die keine mechanischen Systeme sind: Der Zustand der Elemente dieser Systeme ist durch Instabilität und eine besondere (nicht auf Mechanik reduzierbare) Art von Wechselwirkungen gekennzeichnet .
Der Eintritt der Wahrscheinlichkeit in die Erkenntnis führt zur Leugnung des Konzepts des starren Determinismus, zur Leugnung des im Entstehungsprozess der klassischen Wissenschaft entwickelten Grundmodells von Sein und Erkennen. Die Grundmodelle der statistischen Theorien sind anderer, allgemeinerer Natur: Sie beinhalten die Vorstellungen von Zufälligkeit und Unabhängigkeit. Die Idee der Wahrscheinlichkeit ist mit der Offenlegung der inneren Dynamik von Objekten und Systemen verbunden, die nicht vollständig durch äußere Bedingungen und Umstände bestimmt werden kann.
Das Konzept einer probabilistischen Weltanschauung, basierend auf der Verabsolutierung von Unabhängigkeitsvorstellungen (nach wie vor das Paradigma der starren Determination), hat nun seine Grenzen offenbart, was den Übergang der modernen Wissenschaft zu analytischen Methoden für komplexes Lernen am stärksten betrifft organisierte Systeme und die physikalischen und mathematischen Grundlagen von Selbstorganisationsphänomenen.
Großartige Definition
Unvollständige Definition ↓
Maßnahmen zu Wahrscheinlichkeiten werden erforderlich, wenn die Wahrscheinlichkeiten einiger Ereignisse bekannt sind und die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse, die diesen Ereignissen zugeordnet sind, berechnet werden müssen.
Die Wahrscheinlichkeitsaddition wird verwendet, wenn es notwendig ist, die Wahrscheinlichkeit einer Kombination oder einer logischen Summe zufälliger Ereignisse zu berechnen.
Summe der Ereignisse EIN und B benennen EIN + B oder EIN ∪ B. Die Summe zweier Ereignisse ist ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn mindestens eines der Ereignisse eintritt. Das bedeutet es EIN + B- ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn während der Beobachtung ein Ereignis eintritt EIN oder Veranstaltung B, oder gleichzeitig EIN und B.
Wenn Veranstaltungen EIN und B widersprüchlich sind und ihre Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, wird die Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ereignisse als Ergebnis eines Versuchs eintritt, durch Addition von Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Der Wahrscheinlichkeitssatz. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei miteinander unvereinbaren Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:
So seien bei der Jagd zwei Schüsse abgefeuert worden. Vorfall ABER– Schlagen einer Ente vom ersten Schuss an, Ereignis BEI– Treffer aus dem zweiten Schuss, Ereignis ( ABER+ BEI) - Treffer aus dem ersten oder zweiten Schuss oder aus zwei Schüssen. Also wenn zwei Veranstaltungen ABER und BEI sind also inkompatible Ereignisse ABER+ BEI- das Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse oder zweier Ereignisse.
Beispiel 1 Eine Schachtel enthält 30 gleich große Knäuel: 10 rote, 5 blaue und 15 weiße. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein farbiger (nicht weißer) Ball genommen wird, ohne hinzusehen.
Lösung. Nehmen wir an, dass das Ereignis ABER– „der rote Ball wird genommen“ und das Ereignis BEI- "Der blaue Ball ist genommen." Dann ist das Ereignis „ein farbiger (nicht weißer) Ball wird genommen“. Finde die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER:
und Veranstaltungen BEI:
Entwicklungen ABER und BEI- gegenseitig unvereinbar, denn wenn ein Ball genommen wird, können keine Bälle unterschiedlicher Farbe genommen werden. Daher verwenden wir die Addition von Wahrscheinlichkeiten:
Der Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten für mehrere inkompatible Ereignisse. Wenn die Ereignisse den vollständigen Satz von Ereignissen bilden, ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich 1:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ist ebenfalls gleich 1:
Entgegengesetzte Ereignisse bilden einen vollständigen Satz von Ereignissen, und die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Satzes von Ereignissen ist 1.
Die Wahrscheinlichkeiten gegensätzlicher Ereignisse werden üblicherweise in Kleinbuchstaben angegeben. p und q. Insbesondere,
woraus folgende Formeln für die Wahrscheinlichkeit gegenläufiger Ereignisse folgen:
Beispiel 2 Das Ziel im Armaturenbrett ist in 3 Zonen unterteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Schütze auf ein Ziel in der ersten Zone schießt, beträgt 0,15, in der zweiten Zone - 0,23, in der dritten Zone - 0,17. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft und die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel verfehlt.
Lösung: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft:
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel verfehlt:
Schwierigere Aufgaben, bei denen Sie sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden müssen - auf der Seite "Verschiedene Aufgaben zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten" .
Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse
Zwei zufällige Ereignisse werden als verbunden bezeichnet, wenn das Auftreten eines Ereignisses das Auftreten eines zweiten Ereignisses in derselben Beobachtung nicht ausschließt. Zum Beispiel beim Würfeln das Ereignis ABER gilt als das Auftreten der Zahl 4 und das Ereignis BEI- Fallenlassen einer geraden Zahl. Da die Zahl 4 eine gerade Zahl ist, sind die beiden Ereignisse kompatibel. In der Praxis gibt es Aufgaben zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines der miteinander verbundenen Ereignisse.
Der Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten für gemeinsame Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der gemeinsamen Ereignisse eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, von der die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens beider Ereignisse abgezogen wird, also das Produkt der Wahrscheinlichkeiten. Die Formel für die Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse lautet wie folgt:
Denn die Ereignisse ABER und BEI kompatibel, Veranstaltung ABER+ BEI tritt ein, wenn eines von drei möglichen Ereignissen eintritt: oder AB. Nach dem Additionssatz unvereinbarer Ereignisse rechnen wir wie folgt:
Vorfall ABER tritt auf, wenn eines von zwei inkompatiblen Ereignissen eintritt: oder AB. Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren unvereinbaren Ereignissen ist jedoch gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller dieser Ereignisse:
Ähnlich:
Durch Einsetzen der Ausdrücke (6) und (7) in den Ausdruck (5) erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsformel für gemeinsame Ereignisse:
Bei der Verwendung von Formel (8) ist zu berücksichtigen, dass die Ereignisse ABER und BEI kann sein:
- voneinander unabhängig;
- voneinander abhängig.
Wahrscheinlichkeitsformel für voneinander unabhängige Ereignisse:
Wahrscheinlichkeitsformel für voneinander abhängige Ereignisse:
Wenn Veranstaltungen ABER und BEI widersprüchlich sind, dann ist ihre Koinzidenz ein unmöglicher Fall und somit P(AB) = 0. Die vierte Wahrscheinlichkeitsformel für inkompatible Ereignisse lautet wie folgt:
Beispiel 3 Bei Autorennen, beim Fahren im ersten Auto, die Gewinnwahrscheinlichkeit, beim Fahren im zweiten Auto. Finden:
- die Wahrscheinlichkeit, dass beide Autos gewinnen;
- die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Auto gewinnt;
1) Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Auto gewinnt, hängt nicht vom Ergebnis des zweiten Autos ab, also von den Ereignissen ABER(erstes Auto gewinnt) und BEI(zweites Auto gewinnt) - unabhängige Veranstaltungen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Autos gewinnen:
2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Autos gewinnt:
Schwierigere Aufgaben, bei denen Sie sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden müssen - auf der Seite "Verschiedene Aufgaben zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten" .
Lösen Sie das Problem der Addition von Wahrscheinlichkeiten selbst und schauen Sie sich dann die Lösung an
Beispiel 4 Es werden zwei Münzen geworfen. Vorfall EIN- Wappenverlust auf der ersten Münze. Vorfall B- Wappenverlust auf der zweiten Münze. Finde die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses C = EIN + B .
Wahrscheinlichkeitsmultiplikation
Die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit eines logischen Produkts von Ereignissen berechnet werden soll.
In diesem Fall müssen zufällige Ereignisse unabhängig sein. Zwei Ereignisse werden als voneinander unabhängig bezeichnet, wenn das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des zweiten Ereignisses nicht beeinflusst.
Wahrscfür unabhängige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zweier unabhängiger Ereignisse ABER und BEI ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse und wird nach folgender Formel berechnet:
Beispiel 5 Die Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen alle drei Male herausfällt.
Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen beim ersten Münzwurf, beim zweiten Mal und beim dritten Mal fällt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen alle drei Male herausfällt:
Löse Aufgaben zum Multiplizieren von Wahrscheinlichkeiten selbst und schaue dir dann die Lösung an
Beispiel 6 Es gibt eine Kiste mit neun neuen Tennisbällen. Für das Spiel werden drei Bälle genommen, nach dem Spiel werden sie zurückgelegt. Bei der Auswahl der Bälle wird nicht zwischen gespielten und unbespielten Bällen unterschieden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach drei Spielen keine unbespielten Bälle mehr im Kasten sind?
Beispiel 7 32 Buchstaben des russischen Alphabets sind auf ausgeschnittenen Alphabetkarten geschrieben. Fünf Karten werden nacheinander zufällig gezogen und in der Reihenfolge ihres Erscheinens auf den Tisch gelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchstaben das Wort „Ende“ bilden.
Beispiel 8 Aus einem vollen Kartenspiel (52 Blätter) werden vier Karten auf einmal entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier dieser Karten dieselbe Farbe haben.
Beispiel 9 Dasselbe Problem wie in Beispiel 8, aber jede Karte wird nach dem Ziehen zurück in den Stapel gelegt.
Komplexere Aufgaben, bei denen Sie sowohl Addition als auch Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden und das Produkt mehrerer Ereignisse berechnen müssen, finden Sie auf der Seite "Verschiedene Aufgaben zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten" .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der voneinander unabhängigen Ereignisse eintritt, lässt sich berechnen, indem man das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse von 1 subtrahiert, also nach der Formel:
Beispiel 10 Die Ladungen werden mit drei Verkehrsträgern geliefert: Fluss-, Schienen- und Straßentransport. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ladung per Binnenschiff angeliefert wird, beträgt 0,82, per Bahn 0,87, per Straße 0,90. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ware mit mindestens einem der drei Transportmittel geliefert wird.
- Wahrscheinlichkeit - der Grad (relatives Maß, quantitative Bewertung) der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses. Wenn die Gründe für das tatsächliche Eintreten eines möglichen Ereignisses die gegenteiligen Gründe überwiegen, wird dieses Ereignis als wahrscheinlich bezeichnet, andernfalls als unwahrscheinlich oder unwahrscheinlich. Das Übergewicht positiver Gründe gegenüber negativen und umgekehrt kann unterschiedlich stark sein, wodurch die Wahrscheinlichkeit (und Unwahrscheinlichkeit) größer oder kleiner wird. Daher wird die Wahrscheinlichkeit häufig auf qualitativer Ebene geschätzt, insbesondere in Fällen, in denen eine mehr oder weniger genaue quantitative Bewertung unmöglich oder äußerst schwierig ist. Es sind verschiedene Abstufungen von Wahrscheinlichkeits-"Stufen" möglich.
Die Untersuchung der Wahrscheinlichkeit aus mathematischer Sicht ist eine spezielle Disziplin - die Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik wird das Konzept der Wahrscheinlichkeit als numerisches Merkmal eines Ereignisses formalisiert - ein Wahrscheinlichkeitsmaß (oder sein Wert) - ein Maß für eine Menge von Ereignissen (Teilmengen einer Menge von Elementarereignissen), wobei Werte angenommen werden von
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Bedeutung
(\displaystyle 1)
Entspricht einem gültigen Ereignis. Ein unmögliches Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 0 (das Gegenteil gilt im Allgemeinen nicht immer). Wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ist
(\displaystyle p)
Dann ist die Wahrscheinlichkeit seines Nichtauftretens gleich
(\displaystyle 1-p)
Vor allem die Wahrscheinlichkeit
(\displaystyle 1/2)
Bedeutet gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens und Nichteintretens des Ereignisses.
Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit basiert auf dem Konzept der Äquiwahrscheinlichkeit von Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die ein bestimmtes Ereignis begünstigen, zur Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Ergebnisse. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei einem zufälligen Münzwurf Kopf oder Zahl zu erhalten, 1/2, wenn nur davon ausgegangen wird, dass diese beiden Möglichkeiten eintreten und sie gleich wahrscheinlich sind. Diese klassische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit lässt sich auf den Fall einer unendlichen Anzahl möglicher Werte verallgemeinern – zum Beispiel, wenn ein Ereignis an jedem Punkt (die Anzahl der Punkte ist unendlich) eines begrenzten Bereichs mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten kann Raum (Ebene), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Teil dieses zulässigen Bereichs auftritt, gleich dem Verhältnis des Volumens (Fläche) dieses Teils zum Volumen (Fläche) der Fläche aller möglichen Punkte .
Die empirische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses, basierend darauf, dass bei einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen die Häufigkeit zum objektiven Wahrscheinlichkeitsgrad dieses Ereignisses tendieren sollte. In der modernen Darstellung der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch als Sonderfall der abstrakten Theorie des Mengenmaßes definiert. Die Verbindung zwischen dem abstrakten Maß und der Wahrscheinlichkeit, die den Grad der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausdrückt, ist jedoch gerade die Häufigkeit seiner Beobachtung.
Die probabilistische Beschreibung bestimmter Phänomene ist in der modernen Wissenschaft weit verbreitet, insbesondere in der Ökonometrie, der statistischen Physik makroskopischer (thermodynamischer) Systeme, wo selbst im Fall einer klassischen deterministischen Beschreibung der Bewegung von Teilchen eine deterministische Beschreibung des gesamten Systems erfolgt von Partikeln ist praktisch nicht möglich und angemessen. In der Quantenphysik sind die beschriebenen Prozesse selbst probabilistischer Natur.
Wenn die Ereignisse H 1 , H 2 , …, H n eine vollständige Gruppe bilden, können Sie zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verwenden:
P (A) \u003d P (A / H 1) P (H 1) + P (A / H 2) P (H 2)
Demnach lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A darstellen als die Summe der Produkte der bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A unter der Bedingung des Eintretens der Ereignisse H i mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse H i . Diese Ereignisse H i werden Hypothesen genannt.
Die Bayes-Formel folgt aus der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
Die Wahrscheinlichkeiten P(H i) der Hypothesen H i werden a priori-Wahrscheinlichkeiten genannt - die Wahrscheinlichkeiten vor den Experimenten.
Die Wahrscheinlichkeiten P(A/H i) werden A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten genannt - die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen H i , die als Ergebnis des Experiments verfeinert wurden.
Dienstzuweisung. Der Online-Rechner dient zur Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit mit der Gestaltung des gesamten Lösungsverlaufs im Word-Format (siehe Beispiele zur Problemlösung).
Beispiel 1. Das Geschäft erhält Glühbirnen von zwei Fabriken, wobei der Anteil der ersten Fabrik 25 % beträgt. Es ist bekannt, dass der Anteil der Mängel in diesen Fabriken 5 % bzw. 10 % aller hergestellten Produkte beträgt. Der Verkäufer nimmt zufällig eine Glühbirne. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist?
Lösung: Bezeichnen Sie mit A das Ereignis - "Die Glühbirne wird defekt sein." Folgende Hypothesen über die Herkunft dieser Glühbirne sind möglich: H1- "Die Glühbirne kam aus der ersten Fabrik." H2- "Die Glühbirne kam aus der zweiten Fabrik." Da der Anteil der ersten Anlage 25 % beträgt, sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen entsprechend 
; 
.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine defekte Glühbirne von der ersten Fabrik produziert wurde, beträgt 
, die zweite Pflanze - p(A/H2)=
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass der Verkäufer eine defekte Glühbirne genommen hat, finden wir durch die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel
0,25 0,05+0,75 0,10=0,0125+0,075=0,0875
Antworten: p(A)= 0,0875.
Beispiel #2. Das Geschäft erhielt zwei Chargen desselben Produkts mit demselben Namen und in gleicher Menge. Es ist bekannt, dass 25 % der ersten Charge und 40 % der zweiten Charge Waren der ersten Sorte sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Einheit eines Rohstoffs nicht von erster Güte ist?
Lösung:
Bezeichnen Sie mit A das Ereignis – „das Produkt wird von erster Güte sein“. Folgende Hypothesen über die Herkunft dieses Produktes sind möglich: H1- "Ware aus der ersten Charge." H2- „Ware aus der zweiten Charge“. Da der Anteil der ersten Partei 25 % beträgt, sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen jeweils gleich ; 
.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Element in der ersten Charge befindet 
, aus der zweiten Charge - 
die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Wareneinheit von erster Güte ist
p (A) \u003d P (H 1) p (A / H 1) + P (H 2) (A / H 2) \u003d 0,25 0,5+0,4 0,5=0,125+0,2=0,325
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Wareneinheit nicht die erste Klasse ist, gleich: 1 – 0,325 = 0,675
Antworten:
.
Beispiel #3. Es ist bekannt, dass 5 % der Männer und 1 % der Frauen farbenblind sind. Eine zufällig ausgewählte Person war nicht farbenblind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Mann handelt (angenommen, Männer und Frauen sind gleich verteilt).
Lösung.
Ereignis A – eine zufällig ausgewählte Person war nicht farbenblind.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt.
P(A) = P(A|H=männlich) + P(A|H=weiblich) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies ein Mann ist: p = P(A|H=männlich) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Beispiel Nr. 4. An der Sportolympiade nehmen 4 Schüler aus dem ersten Jahr, aus dem zweiten - 6, aus dem dritten - 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler aus dem ersten, zweiten, dritten Jahr die Olympiade gewinnt, beträgt jeweils 0,9; 0,7 und 0,8.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer gewinnt.
b) Unter den Bedingungen dieser Aufgabe hat ein Student die Olympiade gewonnen. Zu welcher Gruppe gehört er am ehesten?
Lösung.
Event A - Gewinnen Sie einen zufällig ausgewählten Teilnehmer.
Hier ist P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Die Lösung kann mit diesem Rechner ermittelt werden.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Wählen Sie aus p1, p2, p3 das Maximum.
Beispiel Nummer 5. Das Unternehmen verfügt über drei Maschinen des gleichen Typs. Einer von ihnen gibt 20% der Gesamtproduktion, der zweite - 30%, der dritte - 50%. Gleichzeitig produziert die erste Maschine 5 % Ausschuss, die zweite 4 %, die dritte 2 %. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes unbrauchbares Produkt von der ersten Maschine produziert wird.
