Spaltenaufteilung(Sie können auch den Namen sehen Aufteilung Ecke) ist ein Standardverfahren inArithmetik, entwickelt, um einfache oder komplexe mehrstellige Zahlen durch Brechen zu dividierenAufteilung in mehrere einfachere Schritte. Wie bei allen Divisionsproblemen wird eine einzelne Zahl genanntteilbar, wird in eine andere unterteilt, genanntTeiler, was ein Ergebnis namens erzeugtPrivatgelände.

Eine Spalte kann sowohl zur Division natürlicher Zahlen ohne Rest als auch zur Division natürlicher Zahlen verwendet werden mit dem Rest.

Regeln für die Aufzeichnung beim Teilen durch eine Spalte.

Beginnen wir damit, die Regeln zum Schreiben des Dividenden, des Divisors, aller Zwischenberechnungen und Ergebnisse zu studierenDivision natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Sagen wir sofort, dass schriftlich eine Division durch eine Spalte durchzuführen istEs ist am bequemsten auf Papier mit einer karierten Linie - so besteht eine geringere Wahrscheinlichkeit, dass Sie von der gewünschten Zeile und Spalte abweichen.

Zuerst werden der Dividende und der Divisor in einer Zeile von links nach rechts geschrieben, danach zwischen den geschriebenenZahlen repräsentieren das Symbol des Formulars.

Zum Beispiel, wenn der Dividende die Zahl 6105 und der Divisor 55 ist, dann ihre korrekte Notation beim Dividierendie spalte sieht so aus:

Sehen Sie sich das folgende Diagramm an, das die Stellen darstellt, an denen der Dividende, Divisor, Quotient,Rest- und Zwischenrechnungen bei Division durch eine Spalte:

Aus dem obigen Diagramm ist ersichtlich, dass der gesuchte Quotient (bzw unvollständiger Quotient beim Dividieren mit Rest) seingeschrieben unter dem Divisor unter dem horizontalen Balken. Und Zwischenberechnungen werden unten durchgeführtteilbar, und Sie müssen sich im Voraus um die Verfügbarkeit von Platz auf der Seite kümmern. Dabei sollte man sich anleiten lassenRegel: Je größer der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen von Dividende und Divisor ist, desto mehrPlatz wird benötigt.

Division durch eine Spalte einer natürlichen Zahl durch eine einstellige natürliche Zahl, Spaltenteilungsalgorithmus.

Wie man in eine Spalte einteilt, lässt sich am besten an einem Beispiel erklären.Berechnung:

512:8=?

Schreibe zuerst den Dividenden und den Divisor in eine Spalte. Es wird so aussehen:

Ihr Quotient (Ergebnis) wird unter den Divisor geschrieben. Unsere Nummer ist 8.

1. Wir definieren einen unvollständigen Quotienten. Zuerst schauen wir uns die erste Ziffer von links im Dividendeneintrag an.Wenn die durch diese Zahl definierte Zahl größer als der Divisor ist, müssen wir im nächsten Absatz arbeitenmit dieser Nummer. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir der Betrachtung Folgendes hinzufügenlinks die Ziffer im Datensatz des Dividenden, und arbeite weiter mit der von den beiden betrachteten ZahlZahlen. Der Einfachheit halber wählen wir in unserem Datensatz die Nummer aus, mit der wir arbeiten werden.

2. Nimm 5. Die Zahl 5 ist kleiner als 8, also musst du eine weitere Ziffer von der Dividende nehmen. 51 ist größer als 8. Also.dies ist ein unvollständiger Quotient. Wir setzen einen Punkt in den Quotienten (unter der Ecke des Teilers).

Nach 51 gibt es nur eine Zahl 2. Also fügen wir dem Ergebnis einen weiteren Punkt hinzu.

3. Jetzt erinnern Multiplikationstabelle durch 8 finden wir das Produkt, das 51 am nächsten ist → 6 x 8 = 48→ schreibe die Zahl 6 in den Quotienten:

Wir schreiben 48 unter 51 (wenn wir 6 vom Quotienten mit 8 vom Divisor multiplizieren, erhalten wir 48).

Aufmerksamkeit! Wenn unter einem unvollständigen Quotienten geschrieben wird, muss die Ziffer ganz rechts des unvollständigen Quotienten darüber stehenZiffer ganz rechts funktioniert.

4. Geben Sie zwischen 51 und 48 auf der linken Seite "-" (Minus) ein. Subtrahiere nach den Subtraktionsregeln in Spalte 48 und unter der Zeileschreibe das Ergebnis auf.

Wenn das Ergebnis der Subtraktion jedoch Null ist, muss es nicht aufgeschrieben werden (es sei denn, die Subtraktion inDieser Absatz ist nicht die allerletzte Aktion, die den Teilungsprozess vollständig abschließt Säule).

Der Rest war 3. Vergleichen wir den Rest mit dem Divisor. 3 ist weniger als 8.

Aufmerksamkeit!Wenn der Rest größer als der Divisor ist, haben wir uns bei der Berechnung vertan und es entsteht ein Produktnäher als die, die wir genommen haben.

5. Jetzt unter der horizontalen Linie rechts von den dort befindlichen Zahlen (oder rechts von der Stelle, an der wir dies nicht tunbegann, Null aufzuschreiben) schreiben wir die Zahl auf, die sich in derselben Spalte in der Aufzeichnung der Dividende befindet. Wenn drinStehen in dieser Spalte keine Ziffern, dann endet hier die Division durch eine Spalte.

Die Zahl 32 ist größer als 8. Und wieder finden wir mithilfe der Multiplikationstabelle für 8 das nächste Produkt → 8 x 4 = 32:

Der Rest ist Null. Das bedeutet, dass die Zahlen vollständig (ohne Rest) geteilt werden. Wenn nach dem letztenNull subtrahieren, und es sind keine Ziffern mehr übrig, dann ist dies der Rest. Wir fügen es dem privaten in hinzuKlammern (z. B. 64(2)).

Division durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen.

Die Division durch eine natürliche mehrstellige Zahl erfolgt auf ähnliche Weise. Gleichzeitig im erstenDie „Zwischen“-Dividende enthält so viele höherwertige Ziffern, dass sie mehr als der Divisor ist.

Zum Beispiel, 1976 geteilt durch 26.

• Die Zahl 1 in der höchstwertigen Ziffer ist kleiner als 26, also betrachte eine Zahl, die aus zwei Ziffern besteht höhere Ränge - 19.
• Die Zahl 19 ist auch kleiner als 26, also betrachte die Zahl, die aus den Ziffern der drei höchstwertigen Ziffern besteht - 197.
• Die Zahl 197 ist größer als 26, dividiere 197 Zehner durch 26: 197: 26 = 7 (15 Zehner übrig).
• Wir übersetzen 15 Zehner in Einheiten, fügen 6 Einheiten aus der Einheitenkategorie hinzu, wir erhalten 156.
• Teilen Sie 156 durch 26, um 6 zu erhalten.

Also 1976: 26 = 76.

Wenn sich bei einem Teilungsschritt herausstellte, dass der „Zwischendividende“ kleiner als der Divisor war, dann im QuotientenEs wird eine 0 geschrieben und die Zahl von dieser Stelle an die nächste, niedrigere Stelle übertragen.

Division mit einem Dezimalbruch in einem Quotienten.

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Wenn eine natürliche Zahl nicht ohne Rest durch eine einstellige natürliche Zahl teilbar ist, können Sie fortfahrenbitweise Division und erhalte einen Quotienten dezimal.

Zum Beispiel, 64 geteilt durch 5.

• Teilen Sie 6 Zehner durch 5, um 1 Zehner und 1 Zehnerrest zu erhalten.
• Wir übersetzen die restlichen zehn in Einheiten, fügen 4 aus der Kategorie der Einheiten hinzu, wir erhalten 14.
• 14 Einheiten geteilt durch 5 erhalten wir 2 Einheiten und 4 Einheiten als Rest.
• Wir übersetzen 4 Einheiten in Zehntel, wir bekommen 40 Zehntel.
• Teilen Sie 40 Zehntel durch 5, um 8 Zehntel zu erhalten.

Also 64:5 = 12,8

Also, wenn man eine natürliche Zahl durch eine natürliche ein- oder mehrstellige Zahl dividiertder Rest wird erhalten, dann können Sie ein privates Komma setzen, den Rest in die Einheiten des nächsten umrechnen,kleinere Ziffer und weiter dividieren.

Einstellige natürliche Zahlen lassen sich im Kopf leicht teilen. Aber wie dividiert man mehrstellige Zahlen? Wenn die Zahl bereits mehr als zwei Ziffern enthält, kann das mentale Zählen sehr lange dauern, und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers bei Operationen mit mehrstelligen Zahlen steigt.

Das Dividieren durch eine Spalte ist eine praktische Methode, die häufig zum Dividieren mehrwertiger natürlicher Zahlen verwendet wird. Dieser Artikel ist dieser Methode gewidmet. Im Folgenden sehen wir uns an, wie die Division durch eine Spalte durchgeführt wird. Betrachten Sie zunächst den Algorithmus zum Dividieren einer mehrwertigen Zahl in eine einwertige Zahl und dann eine mehrwertige Zahl durch eine mehrwertige Zahl. Neben der Theorie liefert der Artikel praktische Beispiele für die Aufteilung in eine Spalte.

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Es ist am bequemsten, Notizen auf Papier in einem Käfig aufzubewahren, da Sie bei der Berechnung der Linie nicht durch die Entladungen verwirrt werden. Zuerst werden der Dividende und der Divisor von links nach rechts in eine Zeile geschrieben und dann durch ein spezielles Divisionszeichen in einer Spalte getrennt, die wie folgt aussieht:

Angenommen, wir müssen 6105 durch 55 teilen, schreiben Sie:

Wir schreiben Zwischenrechnungen unter den Dividenden und das Ergebnis unter den Divisor. Im Allgemeinen sieht das Spaltenteilungsschema so aus:

Es ist zu beachten, dass Sie für Berechnungen freien Speicherplatz auf der Seite benötigen. Je größer der Unterschied in den Ziffern des Dividenden und des Divisors ist, desto mehr Berechnungen werden außerdem erforderlich sein.

Zum Beispiel erfordert das Teilen der Zahlen 614808 und 51234 weniger Platz als das Teilen der Zahl 8058 durch 4. Obwohl die Zahlen im zweiten Fall kleiner sind, ist der Unterschied in der Anzahl ihrer Ziffern größer und die Berechnungen werden umständlicher. Lassen Sie uns dies veranschaulichen:

Praktische Fähigkeiten werden am besten mit einfachen Beispielen geübt. Deshalb teilen wir die Zahlen 8 und 2 in eine Spalte. Natürlich ist diese Operation einfach im Kopf oder mit dem Einmaleins durchzuführen, aber es wird nützlich sein, eine detaillierte Analyse zur Verdeutlichung durchzuführen, obwohl wir bereits wissen, dass 8 ÷ 2 = 4 ist.

Also schreiben wir zuerst den Dividenden und den Divisor nach der Divisionsmethode in eine Spalte.

Der nächste Schritt besteht darin, herauszufinden, wie viele Teiler der Dividende enthält. Wie kann man das machen? Wir multiplizieren den Divisor sukzessive mit 0 , 1 , 2 , 3 . . Wir tun dies, bis das Ergebnis eine Zahl ist, die gleich oder größer als die Teilbare ist. Wenn sich herausstellt, dass das Ergebnis sofort eine Zahl gleich dem Dividenden ist, schreiben wir unter den Divisor die Zahl, mit der der Divisor multipliziert wurde.

Andernfalls, wenn eine Zahl größer als die Teilbare ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Gehen wir zurück zum Beispiel.

2 0 = 0; 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 6; 2 4 = 8

Wir haben also sofort eine Zahl, die gleich der Teilbaren ist. Wir schreiben es unter den Dividenden und die Zahl 4, mit der wir den Divisor multipliziert haben, schreiben wir anstelle des Quotienten.

Jetzt müssen die Zahlen unter dem Divisor subtrahiert werden (ebenfalls mit der Spaltenmethode). In unserem Fall 8 - 8 = 0 .

Dieses Beispiel ist die Division von Zahlen ohne Rest. Die Zahl nach der Subtraktion ist der Rest der Division. Ist er gleich Null, dann werden die Zahlen ohne Rest dividiert.

Betrachten Sie nun ein Beispiel, wenn Zahlen mit einem Rest geteilt werden. Teilen Sie die natürliche Zahl 7 durch die natürliche Zahl 3.

In diesem Fall wird das Tripel nacheinander mit 0, 1, 2, 3 multipliziert. . wir bekommen als ergebnis:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Unter den Dividenden schreiben wir die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl. Entsprechend dem Divisor schreiben wir die Zahl 2 - den unvollständigen Quotienten, der im vorletzten Schritt erhalten wird. Wir multiplizierten den Divisor mit zwei, als wir 6 bekamen.

Subtrahieren Sie am Ende der Operation 6 von 7 und erhalten Sie:

Dieses Beispiel ist die Division von Zahlen mit einem Rest. Der partielle Quotient ist 2 und der Rest ist 1 .

Lassen Sie uns nun, nachdem wir elementare Beispiele betrachtet haben, mit der Division mehrwertiger natürlicher Zahlen durch einwertige Zahlen fortfahren.

Wir betrachten den Divisionsalgorithmus durch eine Spalte am Beispiel der Division einer mehrstelligen Zahl 140288 durch die Zahl 4. Nehmen wir gleich an, dass es viel einfacher ist, das Wesentliche der Methode anhand praktischer Beispiele zu verstehen, und dieses Beispiel wurde nicht zufällig ausgewählt, da es alle möglichen Nuancen der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte veranschaulicht.

1. Schreiben wir die Zahlen zusammen mit dem Divisionszeichen durch eine Spalte. Nun schauen wir uns die erste Ziffer links im Datensatz der Dividende an. Zwei Fälle sind möglich: Die durch diese Ziffer bestimmte Zahl ist größer als der Divisor und umgekehrt. Im ersten Fall arbeiten wir mit dieser Zahl, im zweiten nehmen wir zusätzlich die nächste Ziffer der Dividendeneingabe und arbeiten mit der entsprechenden zweistelligen Zahl. Gemäß diesem Absatz wählen wir im Beispieldatensatz die Nummer aus, mit der wir zunächst arbeiten werden. Diese Zahl ist 14, weil die erste Ziffer des Dividenden 1 kleiner als der Teiler von 4 ist.

2. Ermitteln Sie, wie oft der Zähler in der resultierenden Zahl enthalten ist. Lassen Sie uns diese Zahl als x = 14 bezeichnen. Wir multiplizieren den Divisor 4 nacheinander mit jedem Mitglied der Reihe natürlicher Zahlen ℕ , einschließlich Null: 0 , 1 , 2 , 3 und so weiter. Wir tun dies, bis wir als Ergebnis x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn die Zahl 14 als Ergebnis der Multiplikation erhalten wird, schreiben wir sie gemäß den Regeln zum Schreiben der Subtraktion in eine Spalte unter die ausgewählte Zahl. Unter dem Divisor steht der Faktor, mit dem der Divisor multipliziert wurde. Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl größer als x ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten (unter dem Divisor) den Faktor, mit dem die Multiplikation durchgeführt wurde im vorletzten Schritt.

Nach dem Algorithmus haben wir:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Unter die ausgewählte Zahl schreiben wir die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl 12. Anstelle des Quotienten schreiben wir den Faktor 3.

3. Subtrahieren Sie die Spalte von 14 12, schreiben Sie das Ergebnis unter die horizontale Linie. Analog zum ersten Absatz vergleichen wir die resultierende Zahl mit einem Divisor.

4. Die Zahl 2 ist kleiner als die Zahl 4, also schreiben wir unter den horizontalen Strich nach der Zwei die Zahl, die sich in der nächsten Ziffer des Dividenden befindet. Wenn der Dividende keine weiteren Ziffern enthält, endet die Divisionsoperation. In unserem Beispiel schreiben wir nach der im vorherigen Absatz erhaltenen Zahl 2 die nächste Ziffer des Dividenden auf - 0. Als Ergebnis markieren wir eine neue Arbeitsnummer - 20.

Wichtig!

Die Punkte 2 - 4 werden zyklisch wiederholt, bis die Operation zum Teilen natürlicher Zahlen durch eine Spalte beendet ist.

2. Berechnen wir wieder, wie viele Teiler in der Zahl 20 enthalten sind. 4 mit 0, 1, 2, 3 multiplizieren. . wir bekommen:

Da wir als Ergebnis eine Zahl gleich 20 erhalten haben, schreiben wir sie unter die markierte Zahl und anstelle des Quotienten schreiben wir im nächsten Bit 5 - den Multiplikator, mit dem die Multiplikation durchgeführt wurde.

3. Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch. Da die Zahlen gleich sind, erhalten wir als Ergebnis die Zahl Null: 20 - 20 = 0.

4. Wir werden die Zahl Null nicht aufschreiben, da diese Phase noch nicht das Ende der Division ist. Erinnern wir uns einfach an die Stelle, an der wir es aufschreiben könnten, und schreiben Sie daneben die Zahl aus der nächsten Ziffer des Dividenden. In unserem Fall die Zahl 2 .

Wir nehmen diese Zahl als Arbeitszahl und führen die Schritte des Algorithmus erneut durch.

2. Multiplizieren Sie den Divisor mit 0, 1, 2, 3. . und vergleiche das Ergebnis mit der markierten Zahl.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Dementsprechend schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 und unter den Divisor im nächsten Bit des Quotienten schreiben wir ebenfalls 0.

3. Wir führen die Subtraktionsoperation durch und schreiben das Ergebnis unter den Strich.

4. Fügen Sie rechts unter der Linie die Zahl 8 hinzu, da dies die nächste Ziffer der teilbaren Zahl ist.

Somit erhalten wir eine neue Arbeitsnummer - 28. Wir wiederholen die Punkte des Algorithmus noch einmal.

Nachdem wir alles nach den Regeln gemacht haben, erhalten wir das Ergebnis:

Wir verschieben die letzte Ziffer des Dividenden - 8 die Linie nach unten. Zum letzten Mal wiederholen wir die Schritte des Algorithmus 2 - 4 und erhalten:

In die unterste Zeile schreiben wir die Zahl 0 . Diese Nummer wird erst in der letzten Phase der Division geschrieben, wenn die Operation abgeschlossen ist.

Das Ergebnis der Division der Zahl 140228 durch 4 ist also die Zahl 35072. Dieses Beispiel wird sehr detailliert analysiert, und bei der Lösung praktischer Aufgaben ist es nicht erforderlich, alle Aktionen so gründlich zu malen.

Wir geben weitere Beispiele zum Teilen von Zahlen in eine Spalte und Beispiele zum Schreiben von Lösungen.

Beispiel 1. Division natürlicher Zahlen in einer Spalte

Teilen Sie die natürliche Zahl 7136 durch die natürliche Zahl 9 .

Nach dem zweiten, dritten und vierten Schritt des Algorithmus hat der Eintrag folgende Form:

Wiederholen wir den Zyklus:

Der letzte Durchgang, und wir lehren das Ergebnis:

Antwort: Der unvollständige Teil der Zahlen 7136 und 9 ist 792, und der Rest ist 8.

Verwenden Sie beim Lösen praktischer Beispiele im Idealfall keine Erklärungen in Form von verbalen Kommentaren.

Beispiel 2. Division natürlicher Zahlen in einer Spalte

Teilen Sie die Zahl 7042035 durch 7 .

Antwort: 1006005

Der Algorithmus zum Teilen mehrstelliger Zahlen in eine Spalte ist dem zuvor betrachteten Algorithmus zum Teilen einer mehrstelligen Zahl durch eine einzelne sehr ähnlich. Genauer gesagt betreffen die Änderungen nur den ersten Absatz, während die Absätze 2 bis 4 unverändert bleiben.
Wenn wir bei der Division durch eine einstellige Zahl nur die erste Ziffer des Dividenden betrachtet haben, betrachten wir jetzt so viele Ziffern, wie der Divisor hat.Wenn die durch diese Ziffern bestimmte Zahl größer als der Divisor ist, Wir nehmen es als Arbeitsnummer. Andernfalls fügen wir eine weitere Ziffer von der nächsten Ziffer des Dividenden hinzu. Dann folgen wir den Schritten des oben beschriebenen Algorithmus.

Betrachten Sie die Anwendung des mehrstelligen Divisionsalgorithmus anhand eines Beispiels.

Beispiel 3. Division natürlicher Zahlen in einer Spalte

Teilen Sie 5562 durch 206 .

An der Divisor-Eingabe sind drei Zeichen beteiligt, daher wählen wir im Dividenden sofort die Zahl 556 aus.
556 > 206, also nehmen wir diese Nummer als Arbeitsnummer und gehen zu Schritt 2 des Aglorhythmus.
Multipliziere 206 mit 0, 1, 2, 3. . und wir bekommen:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556 , also schreiben wir unter den Divisor das Ergebnis der vorletzten Aktion und unter die Teilbare - den Faktor 2

Spaltensubtraktion durchführen

Als Ergebnis der Subtraktion haben wir die Zahl 144. Rechts neben dem Ergebnis schreiben wir unter der Linie die Zahl aus der entsprechenden Ziffer des Dividenden und erhalten eine neue Arbeitszahl - 1442.

Wir wiederholen mit ihm die Punkte 2-4. Wir bekommen:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Unter die markierte Arbeitsnummer schreiben wir 1442 und in die nächste Ziffer des Quotienten schreiben wir die Zahl 7 - den Multiplikator.

Wir führen eine Subtraktion in einer Spalte durch und verstehen, dass die Divisionsoperation beendet ist: Es gibt keine Ziffern mehr im Divisor, um sie rechts vom Subtraktionsergebnis zu schreiben.

Am Ende dieses Themas geben wir bereits ohne Erklärung ein weiteres Beispiel für die Aufteilung mehrstelliger Zahlen in eine Spalte.

Beispiel 5. Division natürlicher Zahlen in einer Spalte

Teilen Sie die natürliche Zahl 238079 durch 34 .

Antwort: 7002

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Die Division ist eine der vier mathematischen Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation). Division ist wie andere Operationen nicht nur in der Mathematik wichtig, sondern auch im Alltag. Sie werden zum Beispiel das Geld mit einer ganzen Klasse (25 Personen) übergeben und ein Geschenk für den Lehrer kaufen, aber Sie werden nicht alles ausgeben, es wird Wechselgeld geben. Sie müssen also das Wechselgeld unter allen aufteilen. Die Divisionsoperation kommt ins Spiel, um Ihnen bei der Lösung dieses Problems zu helfen.

Die Teilung ist eine interessante Operation, wie wir mit Ihnen in diesem Artikel sehen werden!

Zahlenteilung

Also, ein bisschen Theorie und dann Praxis! Was ist Teilung? Division bedeutet, etwas in gleiche Teile zu zerlegen. Das heißt, es kann sich um eine Süßigkeitenpackung handeln, die in gleiche Teile geteilt werden muss. Zum Beispiel gibt es 9 Süßigkeiten in einer Tüte, und die Person, die sie erhalten möchte, hat drei. Dann müssen Sie diese 9 Süßigkeiten auf drei Personen aufteilen.

Es ist so geschrieben: 9:3, die Antwort wird die Zahl 3 sein. Das heißt, die Division der Zahl 9 durch die Zahl 3 zeigt die Anzahl der Zahlen drei, die in der Zahl 9 enthalten sind. Die umgekehrte Aktion, der Test, wird sein Multiplikation. 3*3=9. Recht? Unbedingt.

Betrachten Sie also das Beispiel von 12:6. Lassen Sie uns zunächst jede Komponente des Beispiels benennen. 12 - teilbar, das heißt. Zahl, die teilbar ist. 6 - Divisor, das ist die Anzahl der Teile, in die der Dividende geteilt wird. Und das Ergebnis wird eine Nummer sein, die "privat" genannt wird.

Teilen Sie 12 durch 6, das Ergebnis ist die Zahl 2. Sie können die Lösung überprüfen, indem Sie multiplizieren: 2*6=12. Es stellt sich heraus, dass die Zahl 6 zweimal in der Zahl 12 enthalten ist.

Division mit Rest

Was ist Division mit Rest? Dies ist die gleiche Division, nur das Ergebnis ist keine gerade Zahl, wie oben gezeigt.

Teilen wir zum Beispiel 17 durch 5. Da die größte Zahl, die durch 5 bis 17 teilbar ist, 15 ist, ist die Antwort 3 und der Rest 2 und wird so geschrieben: 17:5=3(2).

Zum Beispiel 22:7. Auf die gleiche Weise bestimmen wir die maximale Zahl, die durch 7 bis 22 teilbar ist. Diese Zahl ist 21. Dann lautet die Antwort: 3 und der Rest 1. Und es steht geschrieben: 22:7=3(1).

Division durch 3 und 9

Ein Spezialfall der Division wird die Division durch die Zahl 3 und die Zahl 9 sein. Willst du wissen, ob eine Zahl ohne Rest durch 3 oder 9 teilbar ist, dann brauchst du:

Finde die Quersumme der Dividende.

Teilen Sie durch 3 oder 9 (je nachdem, was Sie brauchen).

Wenn die Antwort ohne Rest erhalten wird, wird die Zahl ohne Rest geteilt.

Zum Beispiel die Zahl 18. Die Summe der Ziffern 1+8 = 9. Die Summe der Ziffern ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar. Die Zahl 18:9=2, 18:3=6. Spurenlos geteilt.

Zum Beispiel die Zahl 63. Die Summe der Ziffern 6 + 3 = 9. Teilbar durch 9 und 3. 63: 9 = 7 und 63: 3 = 21. Solche Operationen werden mit jeder Zahl durchgeführt, um herauszufinden, ob es ist teilbar mit einem Rest 3 oder 9 oder nicht.

Multiplikation und Division

Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Operationen. Die Multiplikation kann als Divisionstest und die Division als Multiplikationstest verwendet werden. In unserem Artikel über die Multiplikation kannst du mehr über die Multiplikation erfahren und die Operation beherrschen. In welcher Multiplikation genau beschrieben wird und wie man sie richtig durchführt. Dort findest du auch das Einmaleins und Beispiele zum Training.

Hier ist ein Beispiel für die Überprüfung von Division und Multiplikation. Nehmen wir an, ein Beispiel ist 6*4. Antwort: 24. Dann prüfen wir die Antwort durch Division: 24:4=6, 24:6=4. Richtig entschieden. In diesem Fall erfolgt die Überprüfung durch Teilen der Antwort durch einen der Faktoren.

Oder es wird ein Beispiel für die Teilung 56:8 gegeben. Antwort: 7. Dann wird der Test 8*7=56 sein. Recht? Ja. In diesem Fall erfolgt die Überprüfung durch Multiplikation der Antwort mit dem Divisor.

Klasse Klasse 3

In der dritten Klasse beginnt die Teilung gerade zu vergehen. Daher lösen Drittklässler die einfachsten Probleme:

Aufgabe 1. Ein Fabrikarbeiter erhielt die Aufgabe, 56 Kuchen in 8 Pakete zu packen. Wie viele Kuchen müssen in jedes Paket gesteckt werden, um in jedem die gleiche Menge zu erhalten?

Aufgabe 2. An Silvester verteilte die Schule 75 Süßigkeiten an Kinder einer Klasse mit 15 Schülern. Wie viele Bonbons sollte jedes Kind bekommen?

Aufgabe 3. Roma, Sasha und Misha haben 27 Äpfel vom Apfelbaum gepflückt. Wie viele Äpfel bekommt jeder, wenn sie gleichmäßig geteilt werden müssen?

Aufgabe 4. Vier Freunde kauften 58 Kekse. Aber dann erkannten sie, dass sie sie nicht gleichmäßig aufteilen konnten. Wie viele Kekse müssen Sie für jedes Kind kaufen, um 15 Kekse zu erhalten?

Klasse Klasse 4

Die Trennung in der vierten Klasse ist ernster als in der dritten. Alle Berechnungen werden durch Teilen in eine Spalte durchgeführt, und die Zahlen, die an der Teilung teilnehmen, sind nicht klein. Was ist die Aufteilung in eine Spalte? Die Antwort finden Sie unten:

Lange Teilung

Was ist die Aufteilung in eine Spalte? Dies ist eine Methode, mit der Sie die Antwort auf die Division großer Zahlen finden können. Wenn Primzahlen wie 16 und 4 geteilt werden können und die Antwort klar ist - 4. Dann ist 512:8 im Kopf nicht einfach für ein Kind. Und über die Technik zur Lösung solcher Beispiele zu berichten, ist unsere Aufgabe.

Betrachten Sie das Beispiel 512:8.

1 Schritt. Wir schreiben den Dividenden und den Divisor wie folgt:

Der Quotient wird als Ergebnis unter den Divisor geschrieben, die Berechnungen unter den Dividenden.

2 Schritt. Die Teilung beginnt von links nach rechts. Nehmen wir zuerst Nummer 5.

3 Schritt. Die Zahl 5 ist kleiner als die Zahl 8, was bedeutet, dass eine Teilung nicht möglich ist. Daher nehmen wir eine weitere Ziffer des Dividenden:

Jetzt ist 51 größer als 8. Dies ist ein unvollständiger Quotient.

4 Schritt. Wir setzen einen Punkt unter den Teiler.

5 Schritt. Nach 51 gibt es eine weitere Zahl 2, was bedeutet, dass die Antwort eine weitere Zahl hat, das heißt. Quotient ist eine zweistellige Zahl. Wir setzen den zweiten Punkt:

6 Schritt. Wir beginnen mit der Teilungsoperation. Die größte Zahl, die ohne Rest durch 8 bis 51 teilbar ist, ist 48. Wenn wir 48 durch 8 teilen, erhalten wir 6. Wir schreiben die Zahl 6 anstelle des ersten Punktes unter den Divisor:

7 Schritt. Dann schreiben wir die Zahl genau unter die Zahl 51 und setzen das „-“ Zeichen:

8 Schritt. Dann subtrahieren Sie 48 von 51 und erhalten Sie die Antwort 3.

* 9 Schritte*. Wir reißen die Zahl 2 ab und schreiben neben die Zahl 3:

10 Schritt Die resultierende Zahl 32 wird durch 8 geteilt und wir erhalten die zweite Ziffer der Antwort - 4.

Die Antwort lautet also 64, spurlos. Wenn wir die Zahl 513 dividieren würden, wäre der Rest eins.

Dreistellige Teilung

Die Division von dreistelligen Zahlen erfolgt nach der Methode der langen Division, die am Beispiel oben erläutert wurde. Ein Beispiel für genau dieselbe dreistellige Zahl.

Division von Brüchen

Das Dividieren von Brüchen ist nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick scheint. Beispiel: (2/3):(1/4). Die Teilungsmethode ist recht einfach. 2/3 ist der Dividende, 1/4 der Divisor. Sie können das Divisionszeichen (:) durch Multiplikation ( ), aber dafür müssen Sie Zähler und Nenner des Divisors vertauschen. Das heißt, wir erhalten: (2/3)(4/1), (2/3) * 4, das ist gleich - 8/3 oder 2 ganze Zahlen und 2/3 Geben wir ein weiteres Beispiel mit einer Illustration zum besseren Verständnis. Betrachten Sie Brüche (4/7):(2/5):

Wie im vorherigen Beispiel drehen wir den Divisor um 2/5 und erhalten 5/2, indem wir Division durch Multiplikation ersetzen. Wir erhalten dann (4/7)*(5/2). Wir reduzieren und antworten: 10/7, dann nehmen wir den ganzen Teil heraus: 1 ganz und 3/7.

Eine Zahl in Klassen einteilen

Stellen wir uns die Zahl 148951784296 vor und dividieren sie durch drei Ziffern: 148 951 784 296. Also von rechts nach links: 296 ist die Anteilsklasse, 784 ist die Tausenderklasse, 951 ist die Millionenklasse, 148 ist die Klasse von Milliarden. In jeder Klasse haben wiederum 3 Ziffern eine eigene Kategorie. Von rechts nach links: Die erste Ziffer ist Einer, die zweite Ziffer Zehner, die dritte Hunderter. Zum Beispiel ist die Einheitenklasse 296, 6 sind Einheiten, 9 sind Zehner, 2 sind Hunderter.

Division natürlicher Zahlen

Die Division natürlicher Zahlen ist die einfachste Division, die in diesem Artikel beschrieben wird. Es kann sowohl mit Rest als auch ohne Rest sein. Der Divisor und der Dividende können alle nicht gebrochenen ganzen Zahlen sein.

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Division Präsentation

Die Präsentation ist eine weitere Möglichkeit, das Thema Teilung visuell darzustellen. Unten finden Sie einen Link zu einer ausgezeichneten Präsentation, die gut erklärt, wie man dividiert, was Division ist, was Dividende, Divisor und Quotient ist. Verschwenden Sie keine Zeit und festigen Sie Ihr Wissen!

Divisionsbeispiele

Einfaches Niveau

Durchschnittsniveau

Schwieriges Niveau

Spiele zur Entwicklung des mentalen Zählens

Spezielle Lernspiele, die unter Beteiligung russischer Wissenschaftler aus Skolkovo entwickelt wurden, werden dazu beitragen, die mündlichen Zählfähigkeiten in einer interessanten Spielform zu verbessern.

Spiel "Erraten Sie die Operation"

Das Spiel "Errate die Operation" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, ein mathematisches Zeichen zu wählen, damit die Gleichheit wahr ist. Beispiele werden auf dem Bildschirm angezeigt, schauen Sie genau hin und setzen Sie das gewünschte „+“ oder „-“ Zeichen, damit die Gleichheit wahr ist. Die Zeichen „+“ und „-“ befinden sich am unteren Bildrand, wählen Sie das gewünschte Zeichen aus und klicken Sie auf die gewünschte Schaltfläche. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Vereinfachen"

Das Spiel "Simplify" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, schnell eine mathematische Operation durchzuführen. Ein Schüler wird auf den Bildschirm an der Tafel gezeichnet und eine mathematische Aktion wird gegeben, der Schüler muss dieses Beispiel berechnen und die Antwort schreiben. Unten sind drei Antworten, zählen Sie und klicken Sie mit der Maus auf die gewünschte Zahl. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Schnelle Addition"

Das Spiel "Quick Addition" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, Zahlen zu wählen, deren Summe gleich einer bestimmten Zahl ist. Dieses Spiel erhält eine Matrix von eins bis sechzehn. Über der Matrix steht eine bestimmte Zahl, Sie müssen die Zahlen in der Matrix so auswählen, dass die Summe dieser Zahlen gleich der angegebenen Zahl ist. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Visuelle Geometrie"

Das Spiel "Visuelle Geometrie" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, schnell die Anzahl der schattierten Objekte zu zählen und sie aus der Liste der Antworten auszuwählen. Bei diesem Spiel werden für einige Sekunden blaue Quadrate auf dem Bildschirm angezeigt, sie müssen schnell gezählt werden, dann schließen sie sich. Unterhalb der Tabelle sind vier Zahlen geschrieben, Sie müssen eine richtige Zahl auswählen und mit der Maus darauf klicken. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Sparschwein-Spiel

Das Spiel "Sparschwein" entwickelt Denken und Gedächtnis. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, zu wählen, welches Sparschwein mehr Geld hat. In diesem Spiel werden vier Sparschweine gegeben, Sie müssen zählen, welches Sparschwein mehr Geld hat, und dieses Sparschwein mit der Maus zeigen. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

Spiel "Fast addition reload"

Das Spiel "Fast Addition Reboot" entwickelt Denken, Gedächtnis und Aufmerksamkeit. Die Hauptessenz des Spiels besteht darin, die richtigen Begriffe zu wählen, deren Summe einer bestimmten Zahl entspricht. In diesem Spiel werden drei Nummern auf dem Bildschirm angezeigt und die Aufgabe wird gegeben, addieren Sie die Nummer, der Bildschirm zeigt an, welche Nummer hinzugefügt werden soll. Sie wählen die gewünschten Nummern aus den drei Nummern aus und drücken sie. Wenn Sie richtig antworten, erhalten Sie Punkte und spielen weiter.

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Die Division natürlicher Zahlen, insbesondere mehrwertiger, erfolgt zweckmäßigerweise durch ein spezielles Verfahren, das aufgerufen wird Division durch eine Spalte (in einer Spalte). Sie können auch den Namen sehen Eckeinteilung. Wir stellen sofort fest, dass in der Spalte sowohl die Division natürlicher Zahlen ohne Rest als auch die Division natürlicher Zahlen mit Rest durchgeführt werden kann.

In diesem Artikel werden wir verstehen, wie die Division durch eine Spalte durchgeführt wird. Hier sprechen wir über die Schreibregeln und über alle Zwischenberechnungen. Lassen Sie uns zunächst auf die Division einer mehrwertigen natürlichen Zahl durch eine einstellige Zahl durch eine Spalte eingehen. Danach konzentrieren wir uns auf Fälle, in denen sowohl der Dividende als auch der Divisor mehrwertige natürliche Zahlen sind. Die gesamte Theorie dieses Artikels ist mit charakteristischen Beispielen für die Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen mit detaillierten Erklärungen zur Lösung und Illustrationen versehen.

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Regeln für die Aufzeichnung beim Teilen durch eine Spalte

Beginnen wir mit dem Studium der Regeln zum Schreiben des Dividenden, des Divisors, aller Zwischenberechnungen und Ergebnisse beim Teilen natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Nehmen wir gleich an, dass es am bequemsten ist, eine Spalte schriftlich auf Papier mit einer karierten Linie zu unterteilen - so besteht eine geringere Wahrscheinlichkeit, dass Sie von der gewünschten Zeile und Spalte abweichen.

Zuerst werden der Dividende und der Divisor in einer Zeile von links nach rechts geschrieben, danach wird ein Symbol der Form zwischen den geschriebenen Zahlen angezeigt. Wenn der Dividende beispielsweise die Zahl 6 105 und der Divisor 5 5 ist, dann lautet ihre korrekte Notation bei der Aufteilung in eine Spalte:

Werfen Sie einen Blick auf das folgende Diagramm, das die Stellen zum Schreiben von Dividenden-, Divisor-, Quotienten-, Rest- und Zwischenberechnungen beim Teilen durch eine Spalte veranschaulicht.

Aus dem obigen Diagramm ist ersichtlich, dass der gewünschte Quotient (oder unvollständige Quotient beim Teilen mit einem Rest) unter dem Divisor unter der horizontalen Linie geschrieben wird. Unterhalb der Dividende werden Zwischenberechnungen durchgeführt, und Sie müssen sich im Voraus um die Verfügbarkeit von Platz auf der Seite kümmern. In diesem Fall sollte man sich an der Regel orientieren: Je größer der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen von Dividende und Divisor ist, desto mehr Platz wird benötigt. Wenn zum Beispiel eine natürliche Zahl 614.808 durch 51.234 durch eine Spalte dividiert wird (614.808 ist eine sechsstellige Zahl, 51.234 ist eine fünfstellige Zahl, die Differenz in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen beträgt 6−5=1), dazwischenliegend Berechnungen benötigen weniger Platz als bei der Division der Zahlen 8 058 und 4 (hier beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen 4−1=3 ). Um unsere Worte zu bestätigen, präsentieren wir die vollständigen Aufzeichnungen der Division durch eine Spalte dieser natürlichen Zahlen:

Jetzt können Sie direkt zum Prozess der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte gehen.

Division durch eine Spalte einer natürlichen Zahl durch eine einstellige natürliche Zahl, Divisionsalgorithmus durch eine Spalte

Es ist klar, dass das Dividieren einer einstelligen natürlichen Zahl durch eine andere ziemlich einfach ist, und es gibt keinen Grund, diese Zahlen in eine Spalte zu unterteilen. Es wird jedoch nützlich sein, die anfänglichen Fähigkeiten der Division durch eine Spalte an diesen einfachen Beispielen zu üben.

Beispiel.

Lassen Sie uns durch eine Spalte 8 durch 2 dividieren.

Lösung.

Natürlich können wir mit dem Einmaleins dividieren und sofort das Ergebnis 8:2=4 aufschreiben.

Aber uns interessiert, wie man diese Zahlen durch eine Spalte dividiert.

Zuerst schreiben wir den Dividenden 8 und den Divisor 2, wie es die Methode erfordert:

Jetzt fangen wir an herauszufinden, wie oft der Divisor in der Dividende vorkommt. Dazu multiplizieren wir den Divisor sukzessive mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis das Ergebnis eine Zahl gleich dem Dividenden ist (oder eine Zahl größer als der Dividende, falls es sich um eine Division mit Rest handelt ). Wenn wir eine Zahl gleich dem Dividenden erhalten, schreiben wir sie sofort unter den Dividenden und anstelle des Privaten schreiben wir die Zahl, mit der wir den Divisor multipliziert haben. Wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als die Teilbare ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Los geht's: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Wir haben eine Zahl, die der Dividende entspricht, also schreiben wir sie unter die Dividende, und anstelle des Privaten schreiben wir die Zahl 4. Der Datensatz sieht dann so aus:

Die letzte Stufe der Division einstelliger natürlicher Zahlen durch eine Spalte bleibt bestehen. Unter der Zahl, die unter dem Dividenden steht, müssen Sie eine horizontale Linie zeichnen und Zahlen über dieser Linie auf die gleiche Weise subtrahieren, wie Sie es tun, wenn Sie natürliche Zahlen mit einer Spalte subtrahieren. Die nach der Subtraktion erhaltene Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die ursprünglichen Zahlen ohne Rest dividiert.

In unserem Beispiel erhalten wir

Jetzt haben wir eine fertige Aufzeichnung der Division durch eine Spalte mit der Zahl 8 durch 2. Wir sehen, dass der Quotient 8:2 4 ist (und der Rest 0 ist).

Antworten:

8:2=4 .

Überlegen Sie nun, wie die Division durch eine Spalte mit einstelligen natürlichen Zahlen mit Rest durchgeführt wird.

Beispiel.

Teile durch eine Spalte 7 durch 3.

Lösung.

In der Anfangsphase sieht der Eintrag so aus:

Wir beginnen herauszufinden, wie oft der Dividenden einen Divisor enthält. Wir multiplizieren 3 mit 0, 1, 2, 3 usw. bis wir eine Zahl erhalten, die größer oder gleich dem Dividenden 7 ist. Wir erhalten 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ggf. siehe Artikel Vergleich natürlicher Zahlen). Unter den Dividenden schreiben wir die Zahl 6 (er wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (er wurde im vorletzten Schritt multipliziert).

Es bleibt die Subtraktion durchzuführen, und die Division durch eine Spalte mit einstelligen natürlichen Zahlen 7 und 3 wird abgeschlossen.

Der partielle Quotient ist also 2 und der Rest ist 1 .

Antworten:

7:3=2 (Ruhe 1) .

Jetzt können wir dazu übergehen, mehrwertige natürliche Zahlen durch einstellige natürliche Zahlen durch eine Spalte zu dividieren.

Jetzt werden wir analysieren Spaltenteilungsalgorithmus. In jeder Phase präsentieren wir die Ergebnisse, die durch Division der vielwertigen natürlichen Zahl 140 288 durch die einwertige natürliche Zahl 4 erhalten werden. Dieses Beispiel wurde nicht zufällig gewählt, da wir bei der Lösung auf alle möglichen Nuancen stoßen und sie im Detail analysieren können.

Zuerst schauen wir uns die erste Ziffer von links im Dividendeneintrag an. Wenn die durch diese Zahl definierte Zahl größer als der Divisor ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links im Dividendendatensatz hinzufügen und mit der Zahl weiterarbeiten, die durch die beiden betreffenden Ziffern bestimmt wird. Der Einfachheit halber wählen wir in unserem Datensatz die Nummer aus, mit der wir arbeiten werden.

Die erste Ziffer von links im Dividenden 140.288 ist die Zahl 1. Die Zahl 1 ist kleiner als der Divisor 4, also schauen wir uns auch die nächste Ziffer links im Dividendendatensatz an. Gleichzeitig sehen wir die Zahl 14, mit der wir weiter arbeiten müssen. Wir wählen diese Zahl in der Notation der Dividende.

Die folgenden Punkte vom zweiten bis zum vierten werden zyklisch wiederholt, bis die Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

Jetzt müssen wir bestimmen, wie oft der Divisor in der Zahl enthalten ist, mit der wir arbeiten (der Einfachheit halber bezeichnen wir diese Zahl als x ). Dazu multiplizieren wir den Divisor sukzessive mit 0, 1, 2, 3, ... bis wir die Zahl x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn eine Zahl x erhalten wird, schreiben wir sie unter die ausgewählte Zahl gemäß den Notationsregeln, die beim Subtrahieren um eine Spalte natürlicher Zahlen verwendet werden. Die Zahl, mit der die Multiplikation durchgeführt wurde, wird beim ersten Durchlauf des Algorithmus anstelle des Quotienten geschrieben (bei weiteren Durchläufen von 2-4 Punkten des Algorithmus wird diese Zahl rechts neben die bereits vorhandenen Zahlen geschrieben). Wenn eine Zahl erhalten wird, die größer als die Zahl x ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des Quotienten (oder rechts neben den bereits vorhandenen Zahlen) die Zahl von dem die Multiplikation im vorletzten Schritt durchgeführt wurde. (Wir haben ähnliche Aktionen in den beiden oben diskutierten Beispielen durchgeführt).

Wir multiplizieren den Teiler von 4 mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die gleich 14 oder größer als 14 ist. Wir haben 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>vierzehn . Da wir im letzten Schritt die Zahl 16 erhalten haben, die größer als 14 ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die Zahl 12, die sich im vorletzten Schritt herausstellte, und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 3, da in im vorletzten Absatz wurde genau darauf die Multiplikation durchgeführt.


In diesem Stadium subtrahieren Sie von der ausgewählten Zahl die Zahl darunter in einer Spalte. Unterhalb der horizontalen Linie befindet sich das Ergebnis der Subtraktion. Wenn das Ergebnis der Subtraktion jedoch Null ist, muss es nicht aufgeschrieben werden (es sei denn, die Subtraktion an dieser Stelle ist die allerletzte Aktion, die die Division durch eine Spalte vollständig vervollständigt). Hier ist es für Ihre Kontrolle nicht überflüssig, das Ergebnis der Subtraktion mit dem Divisor zu vergleichen und sicherzustellen, dass es kleiner als der Divisor ist. Ansonsten ist irgendwo ein Fehler unterlaufen.

Wir müssen in einer Spalte die Zahl 12 von der Zahl 14 subtrahieren (für die korrekte Schreibweise darf man nicht vergessen, links neben den subtrahierten Zahlen ein Minuszeichen zu setzen). Nach Abschluss dieser Aktion erschien die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Jetzt überprüfen wir unsere Berechnungen, indem wir die resultierende Zahl mit einem Divisor vergleichen. Da die Zahl 2 kleiner als der Teiler 4 ist, kannst du getrost zum nächsten Element übergehen.


Jetzt schreiben wir unter der horizontalen Linie rechts von den dort befindlichen Zahlen (oder rechts von der Stelle, an der wir keine Null geschrieben haben) die Zahl auf, die sich in derselben Spalte im Datensatz des Dividenden befindet. Wenn in dieser Spalte keine Zahlen im Datensatz des Dividenden vorhanden sind, endet die Division durch eine Spalte hier. Danach wählen wir die unter der horizontalen Linie gebildete Zahl aus, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit 2 bis 4 Punkte des Algorithmus.

Unter der horizontalen Linie rechts neben der bereits vorhandenen Zahl 2 schreiben wir die Zahl 0, da es die Zahl 0 ist, die im Datensatz des Dividenden 140 288 in dieser Spalte steht. Somit wird die Zahl 20 unter der horizontalen Linie gebildet.


Wir wählen diese Zahl 20 aus, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Aktionen des zweiten, dritten und vierten Punktes des Algorithmus.

Wir multiplizieren den Teiler von 4 mit 0, 1, 2, ... bis wir die Zahl 20 oder eine Zahl größer als 20 erhalten. Wir haben 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Wir führen die Subtraktion nach einer Spalte durch. Da wir gleiche natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir aufgrund der Eigenschaft, gleiche natürliche Zahlen zu subtrahieren, als Ergebnis Null. Wir schreiben keine Null (da dies nicht die letzte Stufe der Division durch eine Spalte ist), aber wir erinnern uns an die Stelle, an der wir sie aufschreiben könnten (der Einfachheit halber markieren wir diese Stelle mit einem schwarzen Rechteck).


Unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Stelle schreiben wir die Nummer 2 auf, da sie in dieser Spalte die Dividende 140 288 aufzeichnet. Unter der horizontalen Linie haben wir also die Zahl 2 .


Wir nehmen die Nummer 2 als Arbeitsnummer, markieren sie und müssen erneut die Schritte von 2 bis 4 Punkten des Algorithmus ausführen.

Wir multiplizieren den Divisor mit 0 , 1 , 2 usw. und vergleichen die resultierenden Zahlen mit der markierten Zahl 2 . Wir haben 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Deshalb schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten rechts von der bereits vorhandenen Zahl schreiben wir die Zahl 0 (wir haben beim vorletzten mit 0 multipliziert Schritt).


Wir führen eine Subtraktion durch eine Spalte durch, wir erhalten die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Wir überprüfen uns selbst, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor 4 vergleichen. Seit 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Unter der horizontalen Linie rechts neben der Zahl 2 fügen wir die Zahl 8 hinzu (da sie in dieser Spalte im Datensatz des Dividenden 140 288 steht). Unter der horizontalen Linie steht also die Zahl 28.


Wir akzeptieren diese Nummer als Arbeiter, markieren sie und wiederholen die Schritte 2-4 der Absätze.

Hier sollte es keine Probleme geben, wenn man bisher vorsichtig war. Nachdem alle erforderlichen Aktionen durchgeführt wurden, wird das folgende Ergebnis erhalten.

Es bleibt zum letzten Mal, die Aktionen aus den Punkten 2, 3, 4 auszuführen (wir stellen sie Ihnen zur Verfügung), danach erhalten Sie ein vollständiges Bild der Teilung der natürlichen Zahlen 140 288 und 4 in einer Spalte:

Bitte beachten Sie, dass die Zahl 0 ganz unten in der Zeile steht. Wenn dies nicht der letzte Schritt der Division durch eine Spalte wäre (das heißt, wenn in den Spalten rechts im Datensatz des Dividenden Zahlen wären), dann würden wir diese Null nicht schreiben.

Wenn wir uns also die vollständige Aufzeichnung der Division der mehrwertigen natürlichen Zahl 140 288 durch die einwertige natürliche Zahl 4 ansehen, sehen wir, dass die Zahl 35 072 privat ist (und der Rest der Division Null ist, es ist genau Endeffekt).

Wenn Sie natürliche Zahlen durch eine Spalte dividieren, werden Sie natürlich nicht alle Ihre Aktionen so detailliert beschreiben. Ihre Lösungen werden in etwa wie in den folgenden Beispielen aussehen.

Beispiel.

Führen Sie eine lange Division durch, wenn der Dividende 7136 und der Divisor eine einzelne natürliche Zahl 9 ist.

Lösung.

Im ersten Schritt des Algorithmus zum Teilen natürlicher Zahlen durch eine Spalte erhalten wir eine Aufzeichnung des Formulars

Nachdem die Aktionen vom zweiten, dritten und vierten Punkt des Algorithmus ausgeführt wurden, nimmt der Datensatz der Division durch eine Spalte die Form an

Den Zyklus wiederholend, werden wir haben

Ein weiterer Durchgang gibt uns ein vollständiges Bild der Division durch eine Spalte mit den natürlichen Zahlen 7 136 und 9

Somit ist der partielle Quotient 792 und der Rest der Division ist 8 .

Antworten:

7 136:9=792 (Rest 8) .

Und dieses Beispiel zeigt, wie eine lange Teilung aussehen sollte.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 7 042 035 durch die einstellige natürliche Zahl 7 .

Lösung.

Es ist am bequemsten, eine Division durch eine Spalte durchzuführen.

Antworten:

7 042 035:7=1 006 005 .

Division durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen

Wir beeilen uns, Ihnen zu gefallen: Wenn Sie den Algorithmus zum Teilen durch eine Spalte aus dem vorherigen Absatz dieses Artikels gut beherrschen, wissen Sie bereits fast, wie man vorgeht Division durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen. Dies ist richtig, da die Schritte 2 bis 4 des Algorithmus unverändert bleiben und nur geringfügige Änderungen im ersten Schritt auftreten.

In der ersten Stufe der Division in eine Spalte mit mehrwertigen natürlichen Zahlen müssen Sie nicht auf die erste Ziffer links im Dividendeneintrag schauen, sondern auf so viele davon, wie Ziffern im Divisoreintrag vorhanden sind. Wenn die durch diese Zahlen definierte Zahl größer als der Divisor ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links im Datensatz des Dividenden zur Betrachtung hinzufügen. Danach werden die in den Absätzen 2, 3 und 4 des Algorithmus angegebenen Aktionen durchgeführt, bis das Endergebnis erreicht ist.

Es bleibt nur noch die Anwendung des Algorithmus zum Teilen durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen in der Praxis beim Lösen von Beispielen zu sehen.

Beispiel.

Führen wir eine Division durch eine Spalte mit mehrwertigen natürlichen Zahlen 5562 und 206 durch.

Lösung.

Da am Datensatz des Divisors 206 3 Zeichen beteiligt sind, schauen wir uns die ersten 3 Ziffern links im Datensatz des Dividenden 5 562 an. Diese Nummern entsprechen der Nummer 556. Da 556 größer als der Divisor 206 ist, nehmen wir die Zahl 556 als funktionierende Zahl, wählen sie aus und fahren mit der nächsten Stufe des Algorithmus fort.

Jetzt multiplizieren wir den Divisor 206 mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ... bis wir eine Zahl erhalten, die entweder gleich 556 oder größer als 556 ist. Wir haben (wenn die Multiplikation schwierig ist, dann ist es besser, die Multiplikation natürlicher Zahlen in einer Spalte durchzuführen): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Da wir eine Zahl erhalten haben, die größer als 556 ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die Zahl 412 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (da sie im vorletzten Schritt multipliziert wurde). Schritt). Der Spaltenteilungseintrag hat folgende Form:

Spaltensubtraktion durchführen. Wir erhalten die Differenz 144, diese Zahl ist kleiner als der Divisor, sodass Sie die erforderlichen Aktionen sicher fortsetzen können.

Unter die horizontale Linie rechts neben der dort verfügbaren Zahl schreiben wir die Zahl 2, da sie im Datensatz des Dividenden 5 562 in dieser Spalte steht:

Jetzt arbeiten wir mit der Nummer 1442, wählen sie aus und gehen die Schritte zwei bis vier erneut durch.

Wir multiplizieren den Divisor 206 mit 0, 1, 2, 3, ... bis wir die Zahl 1442 oder eine Zahl größer als 1442 erhalten. Los geht's: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Wir subtrahieren um eine Spalte, wir bekommen Null, aber wir schreiben sie nicht gleich auf, sondern merken uns nur ihre Position, weil wir nicht wissen, ob die Division hier endet, oder wir müssen die Schritte des Algorithmus wiederholen wieder:

Jetzt sehen wir, dass wir unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Position keine Zahl schreiben können, da es in dieser Spalte keine Zahlen in der Aufzeichnung des Dividenden gibt. Damit ist diese Trennung durch eine Spalte beendet und wir vervollständigen den Eintrag:

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Das Dividieren in einer Spalte ist eine der grundlegenden Fähigkeiten, die erforderlich sind, um mit zwei- und dreistelligen Zahlen zu arbeiten. Wenn Sie die Reihenfolge aller Teilungsschritte kennen, können Sie jede Zahl teilen. Es gibt keine Probleme, wenn Sie nicht nur mit einer ganzen Zahl arbeiten, sondern auch mit einer Zahl, die als Dezimalbruch dargestellt wird.

Diese nützliche mathematische Fähigkeit ist nicht nur für die erfolgreiche Entwicklung des Schullehrplans in Mathematik und einer Reihe anderer Fächer erforderlich. Die Fähigkeit zu teilen wird sicherlich allen im Alltag helfen.

Teil eins. Aufteilung

Der Dividende, also die zu dividierende Zahl, muss also links stehen. Die durch geteilte Zahl wird Divisor genannt und steht auf der rechten Seite.

Unter dem Divisor wird ein Strich gezogen, unter den der Quotient (Lösung) geschrieben wird.

Unter dem Dividenden müssen Sie den für Berechnungen erforderlichen Platz lassen.

Die Aufgabe selbst sieht so aus: Eine Packung mit sechs Pilzen wiegt 250 Gramm. Sie müssen herausfinden, wie viel ein Pilz wiegt. Dazu wird 250 durch 6 geteilt. Die erste dieser beiden Zahlen steht links, die zweite rechts.

Jetzt müssen wir berechnen, wie oft die erste Ziffer (die Zählung erfolgt vom linken Ende) des Dividenden durch den Divisor ganzzahlig geteilt wird.

Um unser Problem zu lösen, müssen wir herausfinden, wie oft die Zahl 2 durch 6 teilbar ist. Da dies unmöglich ist, lautet die Antwort 0, die unter dem Divisor steht. Null ist in diesem Fall die erste Zahl des Quotienten, auf eine solche Eingabe darf jedoch verzichtet werden.

Jetzt müssen wir herausfinden, wie viele ganzzahlige Male die ersten beiden Ziffern des Dividenden durch den Divisor geteilt werden.

Wenn in der vorherigen Aktion 0 empfangen wurde, müssen die ersten beiden Ziffern des Dividenden berücksichtigt werden. In der betrachteten Aufgabe muss berechnet werden, wie oft 25 durch 6 teilbar ist.

Wenn der Divisor eine zwei- oder mehrstellige Zahl ist, müssen Sie die ersten drei (vier, fünf usw.) Ziffern des Dividenden durch ihn dividieren. Unser Ziel ist es, eine ganze Zahl zu erhalten.

Der nächste Schritt besteht darin, mit ganzen Zahlen zu arbeiten. Wenn Sie einen Mikrorechner verwenden, um 25 durch 6 zu teilen, erhält die Antwort die Zahl 4,167. Diese Antwort ist nicht für eine lange Division geeignet. In diesem Fall brauchen Sie nur 4 zu nehmen.

Das in der dritten Stufe erhaltene Ergebnis wird direkt unter die entsprechende Teilerziffer geschrieben - unter den Strich. Dieses Ergebnis ist die erste Ziffer des gewünschten Quotienten, dh der Antwort.

Das Ergebnis muss unter die entsprechende Teilerziffer geschrieben werden. Wenn diese Anforderung vernachlässigt wird, wird ein Fehler gemacht, der sich auf das Endergebnis auswirkt: Es wird falsch sein.

In diesem Fall wird 4 unter 5 geschrieben, da die Zahl 25 durch 6 teilbar ist, nicht durch 2.

Zweiter Teil. Multiplikation

Diese Phase ist ein Übergang zu einem neuen Teil der Arbeit "Wie man in einer Spalte zählt". Die Division wird in diesem Fall durch ... Multiplikation ersetzt.

Der Divisor wird mit der darunter geschriebenen Zahl multipliziert. Dies bedeutet, dass wir über die erste Ziffer des gewünschten Quotienten sprechen.

Das Ergebnis dieses Produkts wird unter die Dividende gestellt.

In diesem Beispiel ist 6 x 4 = 24. Die Zahl in der Antwort, also 24, wird unter 25 geschrieben. Wichtig: 2 sollte unter 2 und 4 unter 5 stehen.

Das Ergebnis der Arbeit ist unterstrichen. In unserem Fall sprechen wir davon, die Zahl 24 zu unterstreichen.

Teil drei. Subtrahieren und Weglassen von Ziffern

Hier gibt es einen Übergang zum Subtrahieren und Weglassen von Zahlen.

Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben, der wiederum unter die Zahl gezogen wird, die unter dem Dividenden steht.

Wir müssen 24 von 25 subtrahieren. Das Ergebnis in diesem Fall ist: 1.

Die dritte Ziffer des Dividenden wird weggelassen, das heißt, sie wird neben das Ergebnis der Subtraktion geschrieben.

In unserem Fall ist 1 nicht durch 6 teilbar. Aus diesem Grund wird die dritte Ziffer des Dividenden erniedrigt (die dritte Ziffer der Zahl 250 ist 0). Es wird neben 1 gesetzt. Wir erhalten die Zahl 10, die durch 6 geteilt werden kann.

Jetzt müssen Sie den Vorgang mit einer neuen Nummer wiederholen.

Dazu wird die resultierende Zahl durch unseren Divisor geteilt, und das in diesem Fall erhaltene Ergebnis wird unter den Divisor gesetzt, der die zweite Ziffer des Privaten, dh unserer Antwort, sein wird.

In dem zu lösenden Beispiel dividieren wir 10 durch 6, das ergibt 1. Die Einheit steht im Quotienten – neben 4. Danach wird 6 mit 1 multipliziert und das Ergebnis von 10 subtrahiert. Wir sollten 4 (Rest) bekommen.

Wenn der Dividende eine zwei-, drei-, vier- oder mehrstellige Zahl ist, wird der obige Vorgang wiederholt, bis alle Ziffern des Dividenden weggelassen wurden. Ein Beispiel zur Veranschaulichung: Wenn bekannt ist, dass Pilze 2.506 g wiegen, müssen Sie die Zahl 6 weglassen, also neben 4 schreiben.

Teil vier. Schreibe einen Quotienten mit Rest oder als Dezimalbruch

Kommen wir nun zum Schreiben eines Quotienten mit Rest oder als Dezimalbruch.

Unser Rest war 4, was darauf zurückzuführen ist, dass diese Zahl - 4 - nicht durch 6 teilbar ist und wir keine Ziffern mehr haben, um sie zu verringern.

Die Antwort sieht in diesem Fall so aus: 41 (Rest. 4).

Die Berechnungen in diesem Stadium können abgeschlossen werden, wenn das Problem die Anforderung enthält, etwas zu finden, das ausschließlich in ganzen Zahlen ausgedrückt wird. Wir können über die Anzahl der Autos sprechen, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl von Personen zu transportieren.

Wenn eine Antwort in Form eines Dezimalbruchs erforderlich ist, können Sie mit den nächsten Schritten des Algorithmus „So teilen Sie in eine Spalte“ fortfahren.

Wenn Sie die Antwort nicht mit einem Rest aufschreiben möchten, finden Sie die Antwort in Form eines Dezimalbruchs. Bei der Bildung eines nicht teilbaren Restes muss ein Dezimalzeichen (zum Quotienten) hinzugefügt werden.

In unserem Fall kann die Zahl 250 als Dezimalbruch geschrieben werden: 250.000.

Da nun Ziffern (nur Nullen) weggelassen werden können, können wir mit der Berechnung fortfahren. Wir lassen Null weg und zählen, wie viele ganzzahlige Male die resultierende Zahl durch einen Teiler geteilt werden kann.

In unserem Beispiel schreiben wir nach der privaten 41 (die wir direkt unter den Divisor setzen) einen Dezimalpunkt und ordnen dem Rest (4) eine 0 zu. Dann dividieren wir die resultierende Zahl, also 40, durch den Divisor (der 6 ist). Wir bekommen wieder 6, die wir in den Quotienten nach dem Komma schreiben. Es sieht aus wie 41,6. Danach wird 6 mit 6 multipliziert, dann wird das Ergebnis der Multiplikation von 40 subtrahiert. Wir sollten wieder 4 erhalten.

In einer Reihe von Situationen muss man sich bei der Suche nach einer Antwort in Form eines Dezimalbruchs mit Zahlenwiederholungen auseinandersetzen. Dazu müssen Sie die Berechnungen unterbrechen und die bereits erhaltene Antwort runden - nach unten oder nach oben.

Insbesondere muss im betrachteten Beispiel auf den unendlichen Erhalt der Zahl 4 verzichtet werden. Sie müssen lediglich die Berechnungen unterbrechen und den Quotienten runden. Da 6 größer als 5 ist, ergibt das Aufrunden eine Bruchzahl von 41,67.